大连理工大学信号第5章_离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

( n) 的一个周期， (n) x(n) ， 其时间长度为 N ，x ( n) 的 DTFT 为 X (e j ) 。 将 x ( n) 考虑为 x 对x
k 。取 a k 的一个周期，即得到离散傅里叶变换 DFT，表示为 X ( k ) 。 X ( k ) 与 做 DFS，得到 a
( n) 的一个周期即 x ( n) 对应，如表 5.1 中最后一行图中的虚线所示。 x
ak
1 N
n N
x(n)e
k N k
jk0 n

1 N
k N
x(n)e
k
jk (2 / N ) n
x( n)
3. 连续时间信号的傅里叶变换
ae
jk0n
k N
ae
（5.2）
jk (2 / N ) n
对于任意满足狄利赫莱条件的连续时间信号 x (t ) ，其傅里变换（FT）为
x (t ) 另一方面， x ( n) 可以看作 x(t ) 的采样序列， X ( k ) 也可以看作是 X ( j ) 的采样序列。
和 X ( j ) 是由 FT 联系的，而 x ( n) 和 X ( k ) 则是由 DFT 联系的。 3. 离散傅里叶变换与其他傅里叶变换的关系 （1）DFT 与 FT 的关系 如前所述，参与 DFT 计算的离散时间信号 x ( n) 可以看作参与 FT 计算的 x(t ) 的时域采 样，而 DFT 得到的离散频谱 X ( k ) 一额可以看作 FT 得到的连续频谱 X ( j ) 的频域采样。 （2）DFT 与 DFS 的关系
k 表示周期性离散时间信号和频谱， (n) 和 a 而以 x ( n) 和 ak 表示有限长时间和频谱序 我们用 x
列。 定义矩形序列符号 RN ( n) 为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN ( n) 或 RN ( k ) 0, 其它 N 0, 其它 N
5.2 离散傅里叶变换
5.2.1 已有傅里叶变换的简要回顾
1
为了便于本章关于傅里叶变换的介绍和研究， 本节简要回顾一下第 2 章介绍的 4 种傅里 叶级数和傅里叶变换的概况。 1. 连续时间周期信号的傅里叶级数 对于满足狄利赫莱条件的连续时间周期信号 x (t ) ，其傅里叶级数（FS）为
ak
（5.6） （5.7）
表示 n 对 N 取余数 （或 k 对 N 取余数） ， 这样， 利用 RN ( n) 和 x (( n )) N 式中，(( n)) N（或 ( k ) N ）
k 表示 (n) 和 a （或对应的 RN ( k ) 和 ( k ) N ） ，可以将有限长序列 x ( n) 和 ak 与对应的周期序列 x
2
信号处理技术对信号和频谱特性的基本要求， 需要有一种变换， 在时间域适合于有限长时间 序列，在频率域适合有限长频谱序列。这个变换就是离散傅里叶变换，简称为 DFT。
5.2.2 由离散傅里叶级数到离散傅里叶变换 1. 离散傅里叶变换的导出与定义 根据 5.2.1 节的分析，在已经给出的 4 种傅里叶级数与变换中，只有 DFS 在时域和频域 都是离散时间序列， 分别用 x ( n) 和 ak 表示。 进一步地， 我们知道 x ( n) 和 ak 均为周期性序列， 且周期均为 N 。DFS 的以上特点，为 DFT 的推导准备了条件。为了便于说明，在本小节中
第 5 章 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
5.1 引言
本书第 2 章已经集中研究了关于傅里叶级数和傅里叶变换的理论与方法， 可以统称为傅 里叶理论。其中包括连续时间周期信号的傅里叶级数（FS） ，离散时间周期信号的傅里叶级 数（DFS） ，连续时间信号的傅里叶变换（FT）和离散时间傅里叶变换（DTFT） 。从某种意 义上来说， 以上傅里叶理论已经相对完备和完善了。 那么我们为什么还要研究离散傅里叶变 换（discrete Fourier transform，简称为 DFT）呢？究竟什么是离散傅里叶变换呢？离散傅里 叶变换域第 2 章介绍的傅里叶理论有什么相同和不同呢？ 大家知道，20 世纪 60 年代以来，随着计算机技术和信息技术的发展，数字信号处理技 术应运而生，并逐步由理论走向实际应用。经过半个世纪的发展，数字信号处理技术已经广 泛应用于语音图像、雷达声纳、地质勘探、通信系统、自动控制、遥感遥测、航空航天、生 物医学和信息检测处理等诸多领域， 一方面有力推动了这些领域的发展域进步， 另一方面也 不断是数字信号处理技术得到不断的发展域完善。 对于基于数字计算机的数字信号处理应用来说， 我们总是希望时间信号是离散的或数字 化的，同时也希望经过傅里叶变换的频谱或频率响应也是离散的或数字化的。在者，实际应 用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。因此，实际应用的需求迫切希望有一种傅里叶 变换方法能够对有限时宽非周期离散时间信号进行变换， 得到的信号频谱也是离散的、 有限 频宽、且非周期的。但是考察一下本书第 2 章介绍的 4 种傅里叶级数或傅里叶变换，尚没有 任何一种能够满足这种需求。 因此， 发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实际应用 的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 正是在这种背景下， 离散傅里叶变换应运而 生，为数字信号处理提供了强有力的支持，同时也进一步丰富发展了傅里叶变换的理论。 离散傅里叶变换是将有限时宽离散时间信号 （常称为有限长序列） 变换为有限长离散频 谱的变换。 或者说， 离散傅里叶变换是信号在时域和频域都呈离散形式且非周期的傅里叶变 换。 离散傅里叶变换是数字信号处理领域最重要的变换之一， 是对信号进行时域和频域处理 的最重要的技术手段。 本章详细介绍傅里叶变换的基本理论与基本方法，包括其定义、性质、与已有傅里叶理 论框架中各种方法的关系、相关应用域需要注意的技术问题、以及傅里叶变换的快速算法， 称为快速傅里叶变换（fast Fourier transform）等，以期使读者进一步掌握傅里叶变换的理论 体系，并掌握实际应用中信号频域分析处理的基本技术和方法。
（5.5）
显然， RN ( n) （或 RN ( k ) ）是两个单位阶跃信号的组合。考虑到有限长序列 x ( n) 和 ak 可以
k 的一个周期，再定义 (n) 和 a 认为是周期性序列 x ( n) x (n 模 N ) x (( n)) N x
k a( k 模 N ) a( k ) N a
1 x ( t )e jk 0t dt x (t )e jk ( 2 /T ) t dt T T T
k
x (t )
ae
kHale Waihona Puke jk 0t
k
ae
k

（5.1）
jk (2 / T ) t
2. 离散时间周期信号的傅里叶级数 对于任意离散时间周期信号 x ( n ) ，其离散傅里叶级数（DFS）为
表 5.1 DFT 的图形解释 序 号 时间信号
(t ) x
频谱
ak
说明
(t ) ， 连续时间周期信号 x
其 FS 为 ak 。
1
T
T
t
k
x (t )
X ( j )
(t ) 截取一个周期，得 对x
到非周期信号 x (t ) ，其 FT 为 X ( j) 。
2
T
x( n)
t
C
C
3
X ( k ) DFT[ x ( n)] x ( n)e
n 0
N 1
j
2 nk N
nk x ( n )WN , k =0， 1 ， ，N 1 n 0
N 1
（5.10）
x ( n) IDFT[ X ( k )]
2 j nk 1 N 1 1 N 1 N ( )e 1 X k ， ，N 1 X (k )WN nk , n=0， N k 0 N k 0

X (e j )
对 x (t ) 采样，得到 x( n) ， 其 DTFT 为 X (e j ) 。
3
N 1
n
s
C
C
s

(n) 的 一 个 考 虑 x( n) 为 x
(n) x
k a
( n ) 做 DFS，得 周期，对 x
k 。取 a k 的一个周期， 到a
4
成如下关系：
( n) RN ( n) x ((n)) N RN ( n) x( n) x
k RN ( k ) a( k ) N RN ( k ) ak a
（5.8） （5.9）
由式（5.3）给出的 DFS 的定义来看，离散傅里叶级数求和是限定在一个周期内的，例 如限定为 0 到 N 1 ，称这个求和区间为主值区间，这样，DFS 的求和也完全适用于对有限 长序列 x ( n) 和 ak 的求和。这样，我们得到离散傅里叶变换的定义如下： 定义 5.1（离散傅里叶变换）有限长离散时间信号（称为有限长序列） x ( n) 的离散傅里 叶变换定义为
（5.11）
式（5.10）和式（5.11）分别为离散傅里叶变换的正变换和逆变换。式中， k 为数字频率变 量，无量纲，具有相对意义。 x ( n) 为有限长序列，长度为 N 。 X ( k ) 为离散傅里叶变换的频 谱，也是有限长序列，长度也为 N 。式中
WN e
j
2 N
（5.12）
显然，DFT 并不是一个新的傅里叶变换形式，其源于 DFS，只不过在时域和频域都仅 取一个周期而已。在实际应用中，对于长度为 N 的有限长序列 x ( n) ，可以通过求 DFT 而得
N 1
得到 DFT x( k ) 。 x( k ) 与
n
N 1 k
( n) 的 一 个 周 期 即 x( n) x
对应，如图中虚线所示。 4
(t ) 截取一 (t ) ，周期为 T ，其 FS 为 ak 。对 x 如表 5.1 所示。现考虑连续时间周期信号 x