2.2.4 点到直线的距离

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21-22版：2.2.4　第1课时　点到直线的距离公式(步步高)

2.2.4 点到直线的距离第1课时点到直线的距离公式学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．导语同学们，距离问题是几何学的基本问题之一，之前我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点的坐标表示，在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离便是唯一的，今天我们就尝试利用点的坐标和直线的方程表示平面点到直线的距离．一、点到直线距离公式的推导问题1 如图，平面直角坐标系中，已知点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)，怎样求出点P 到直线l 的距离呢？提示思路一(几何法)：根据定义，点P 到直线l 的距离是点P 到直线l 的垂线段的长，如图，设点P 到直线l 的垂线为l ′，垂足为Q ，由l ′⊥l 可知l ′的斜率为B A，∴l ′的方程为y －y 0＝B A(x －x 0)，与l 联立方程组，解得交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2x 0－ABy 0－AC A 2＋B 2，A 2y 0－ABx 0－BC A 2＋B 2， ∴|PQ |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 思路二(向量法)：由前面立体几何中点到平面的距离公式可以想到，点到直线的距离就是目标向量PM →在直线的法向量方向上的投影的数量．PQ →可以看作PM →在直线l 的垂线上的投影向量，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的斜率为－A B，所以m ＝(B ，－A )是它的一个方向向量．(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l 垂直的一个单位向量n ＝1A 2＋B 2(A ，B )． (2) 在直线l 上任取点M (x ，y )，可得向量PM →＝(x －x 0，y －y 0)．(3) |PQ |＝|PQ →|＝|PM →·n |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 知识梳理定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 二、点到直线距离公式的简单应用例1 求点P (2，－3)到下列直线的距离．(1)y ＝43x ＋13；(2)3y ＝4；(3)x ＝3. 解 (1)y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185. (2)3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. (3)x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. 反思感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．②当点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点P (3，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 的值为( ) A. 3B ．－33 C.33或－ 3 D.3或－33 答案 D解析由题意得，|3＋3a －4|1＋(3)2＝1，即|3a －1|＝2，解得a ＝3或－33. (2)已知坐标平面内两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为________．答案－6或12解析由|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，得|3m ＋5|＝|m －7|，∴m ＝－6或m ＝12. 三、点到直线距离公式的综合应用例2 已知点P (2，－1)，求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k 2＝2，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y －10＝0.故直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.延伸探究求过点P (2，－1)且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解设原点为O ，连接OP (图略)，易知过点P 且与原点距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 所以直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. 反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练2 求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．解方法一当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.方法二由题意，得l ∥AB 或l 过AB 的中点，当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ，直线l 的斜率为k l ，则k l ＝k AB ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.1．知识清单：(1)点到直线的距离公式的推导过程．(2)点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)点到直线的距离的公式的应用．2．方法归纳：公式法、数形结合．3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 5答案 D2．(多选)已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m 等于( )A ．0 B.34C ．3D ．2 答案 AB解析点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝3，所以m ＝0或34. 3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( )A.10B.355C. 6D ．3 5 答案 B解析点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355. 4．已知直线l 经过点(－2,3)，且原点到直线l 的距离等于2，则直线l 的方程为___________________．答案 x ＋2＝0或5x ＋12y －26＝0解析当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，符合原点到直线l 的距离等于2. 当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，由d ＝|0－0＋2k ＋3|1＋k 2＝2，得k ＝－512，即直线l 的方程为5x ＋12y －26＝0.综上，直线l 的方程为x ＋2＝0或5x ＋12y －26＝0.。

我的说课稿点到直线的距离公式

我的说课稿点到直线的距离公式我的说课稿点到直线的距离公式点到线距离公式讲义尊敬的各位领导、老师上午好，我叫顾客。

今天我说课的课题是点到直线的距离公式（进行板书：§2.2.4点到直线的距离）本节选自《人民教育B版义务教育II》第二章第二节。

我将从以下五个方面进行阐述。

第一个方面是教材分析。

本节内容在解析几何中具有重要的意义与地位，它是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。

对本节的研究，既是两点间距离公式的继续，又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础。

因此，本节课的学习具有承上启下的重要作用。

这个班的教学对象是高二学生。

他们具有一定的观察能力和思维概括能力，为教学的发展做好了认知准备。

在内容上，学生学习了两点之间的距离公式，掌握了直线的基本知识，对坐标法求解几何问题有了初步的了解。

然而，学生仍然存在一些认知困难和思维发展不平衡。

因此，在教学过程中要注意差异性和层次性。

第二个方面教学目标。

依据对教材分析以及新课标对本节课的教学要求，我将教学目标制定如下：一、知识和技能通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

二、过程与方法通过推导公式，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊到一般的方法。

三、情感态度价值观引导学生从联系和转化的角度看待问题，在探索问题的过程中体验挫折感和成功感，培养合作意识和创新精神。

同时，感受数学的形式美和简洁美，从而激发学习兴趣。

结合学生的认知水平和思维特点，本节的教学重点是：点到直线距离公式和简单应用。

难点为：点到直线距离公式的推导。

第三个方面是教学方法。

根据本部分的内容特点、现阶段学生的认知规律，以及新课程标准中的学生发展理念。

本课程采用“归纳与启发式”的教学方法，引导学生从简单到深入地发现和解决问题。

在这一过程中，培养了学生的思维能力、展示能力和空间想象能力。

数学：2.2.4点到直线的距离课件(新人教B版必修2)

|Ax1＋By1＋C| |C1－C2| 用公式 d＝或 d＝ 2 2 2 2求解． A ＋B A ＋B
求与直线 2x － y － 1 ＝ 0 平行，且与此直线距离为2的直线方程．【分析】可根据平行直线设出所求直线方程，利用距离确定参数．【解】法一：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0，则它到直线 2x－y－1＝0 的 |C－－1| |C＋1| 距离 d＝ 2 ＝ 2，∴ |C＋ 1| ＝ 2＝ 5 2 ＋－1 2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x －y－2 5－1＝0.
课堂互动讲练
考点突破
求点到直线的距离
|Ax1＋By1＋C| 利用公式 d＝求点(x1， y1)到直线 2 2 A ＋B Ax＋By＋C＝0 的距离：
直线 l 经过点 P(2 ，－ 5) ，且与点 A(3 ，－ 2) 和B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．【分析】在已知一点求直线方程时，应首先考虑斜率不存在时直线是否满足题意，然后再设出斜率，利用点到直线的距离公式求之．【解】 ∵直线l过点P(2，－5)，当斜率不存在时，直线为x＝2，这时d1＝1，d2＝3，d1∶d2≠1∶2， ∴所求直线的斜率是存在的． ∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0，
求两平行直线间的距离有两种思路：
(1) 直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意两直线方程中的x、y的系数对应相等；
(2) 将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线
上任意一点到另一条直线的距离来求解．
本题在求解过程中，要注意公式中含有绝对值，
解方程时不要漏解．
跟踪训练 2
求两平行线 l1：3x＋4y＝10和l2：3x

原创1：2.2.4 点到直线的距离

得
y
3
∴所求点的坐标为（5，-3）
跟踪练习
4.求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为 2 的直线的方程．
解：当直线过原点时，设直线的方程为 y＝kx，即kx－y＝0．
由题意知 | 3k 1| 2
1 k2
∴
k=1或
k 1 7
∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．
当直线不经过原点时，设所求直线的方程为 x y 1 ，即x＋y－a＝0．,Βιβλιοθήκη 它们之间的距离为.
解析：由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.
经过验证,m=3时两条直线重合,舍去. ∴m=-1. 直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0分别化为x-y+6=0，x y 2 0.
3
∴它们之间的距离为
|
6
2 3
|
8
2
23
规律方法
求两平行线间距离一般有两种方法 1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． 2．公式法：直接用公式d | C1 C2 ，| 但要注意两直线方程中x，y的系
A2 B2
3.求距离的最值要注意几何意义使用．
跟踪练习
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )
A. 2 B. 2
C.3
D.2
2
解析：(1)由 d | 11| 2 解得d=2 ∴选D
跟踪练习
2.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝_______.

2019-2020人教B版数学必修2 第2章 2.2 2.2.4 点到直线的距离

2.2.4 点到直线的距离1．点到直线的距离 (1)概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d2．两平行线间的距离公式 (1)概念夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． (3)公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．2 B ．3 C ．2 D. 5 D [由点到直线的距离公式得d＝|0＋0－5|12＋22＝ 5.]2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()A．522B．22C．52D． 2 A[由两平行线间的距离公式可得d＝|2－(－3)|12＋12＝52＝522.]3．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于() A． 3 B．－ 3C．－33D．3或－33D[由点到直线的距离公式得|3＋3m－4|12＋(3)2＝1，解得m＝3或－33.]4．两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于() A．3 B．7C．110D．12C[直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－52＝0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋5232＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125＝110.]【例1】求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程．[解]因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因为原点到直线的距离等于22，所以|k＋2|k2＋(－1)2＝22，解得k＝－7或k＝－1.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.点到直线的距离的求解方法1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.3．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．1．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直线y＝34x＋14化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.【例2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．[思路探究]先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论．[解]当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得|1－(－5k)| k2＋(－1)2＝5，解得k＝12 5.此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.求两平行线间距离一般有两种方法1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．2．公式法：直接用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为()A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0D[根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d＝|c－1|22＋12＝55，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.]1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？[提示]如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．[提示]由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而k AB＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【例3】在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B (0,4)的距离之差最大．[思路探究] 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题． [解] 如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1. 所以a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，所以3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0，②解①②得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.所以由⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)．所以点P (2,5)为所求．在本例中，求到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小的P 点的坐标？[解] 如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以AC ′所在直线的方程为 19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267为所求．求最值问题的处理思路1．利用对称转化为两点之间的距离问题．2．利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． 3．利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法， (2)求两平行直线间的距离有两种思路， (3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．( )(2)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b . ( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ [提示] (1)正确． (2)应是d ＝|y 0－b |. (3)正确．2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．322B．22C．32D．12A[d＝|1＋1＋1|12＋(－1)2＝322.]3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．5[d＝|3－(－2)|＝5.]4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．[解]∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得|b－6|52＋(－12)2＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.。

新高考高中数学选修一课件+类型题2.2.4 点到直线的距离

原创1：2.2.4 点到直线的距离（讲授式）

注意：特别地，当A=0或B=0，此公式也成立.
R
l
x
| + +|
+
.
新课讲授
点到直线的距离公式的注意事项
1.此公式的作用是求点到直线的距离，虽然是在点，不
在直线上的前提下推导出来的，但对于点在直线上同样适用；
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的，但对于A=0或B=0，此公式
答：方法一 (转化法)
y
由两条平行直线间的距离的含义，
我们可以在其中一条直线上任取一点
(如图，一般取直线与坐标轴的交点，运算简单)，
Q
P0
O
l1
l2
利用点到直线的距离公式，求出这个点到另一条直线的距离即可.
x
新课讲授
思考3
两条平行线间的距离的求法
如何求两条平行直线间的距离呢？
答：方法二(公式法)
注意：该公式在使用时，两条平
直线的方程变
成x与y的对应
系数相等是关
键的一步，否
. 则公式不可用.
典例精析
例题5
两条平行线间的距离的求法
，是分别经过(，)，(，－)两点的两条平行直线，
当，间的距离最大时，直线的方程是________________．
解析
当两条平行直线与，两点连线垂
直时两条平行直线的距离最大．因为
如图，若点，在直线上，则规定距离为0；
若点，在直线 l 外，
过点P0向直线 l 做垂线，垂足是Q，
点到直线的距离是指从点P0到直线l的垂线段P0Q的长度.
Q
O
0 0 ，0
x
新课讲授
探究一：直接法
点到直线的距离公式的探究

2.2.4点到直线的距离课件高二上学期数学人教B版选择性2

则按照向量数量积的几何意义可知， 0, 0 到直线的距离
满足d | PP1 v | . |v|
注意到
1=
− 0,
−0
，所以 d PP1 v A(x x0 ) B( y y0 )
|v|
A2 B2
Ax By (Ax0 By0 ) ， A2 B2
又因为 1( , ) 是直线上一点，所以 + + = 0，因此 + =
B 错误.
l1
:
2x
2
y
13
0
与 l2
:
2x
2
y
8
0
之间的距离为
|13 8 | 44
21 4
2
，故
C 正确.
点 M 为 AB 的中点，则可设点 M 所在直线方程为 2x 2y C 0（C 13 ，C 8 ），
且 | C 8 | | C 13 | ，解得 C 5 ，所以点 M 在直线 2x 2 y 5 0 上，故 M 到
13
解析：直线 3x 2y 1 0 与3x 2y 4 0 间的距离 d1
|1 4 | 3 13 ， 32 22 13
直线 4x 6 y c1 0 与 4x 6 y c2 0 间的距离 d2
c1 c2 42 62
13 26
c1 c2
，
由正方形的性质可知 d1
d
2
2
，所以 sin
2
2 2
1 2
，解得
30 .因为直线l1 ，l2 的斜
率为 1，所以其倾斜角为 45 ，所以直线 l 的倾斜角为15 或75 .
12.已知直线 l1 : 3x 4 y 7 0 ，l2 : 3x 4 y 8 0 ，点 A 和点 B 分别是直线l1 ，l2 上的动点. （1）若直线 AB 经过原点 O，且| AB | 3 ，求直线 AB 的方程；（2）设线段 AB 的中点为 P，求点 P 到原点 O 的最短距离.

高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离课件 bb高一数学课件

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求点到直线的距离求点 P(1，2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
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【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0，由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2． (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0，由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3．
2 4
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4．当点 P(x1，y1)在直线 Ax＋By＋C＝0 上时，还适合点到直线的距离公式吗？
解：适合．点 P 在直线 Ax＋By＋C＝0 上，则距离 d＝0，且有 Ax1＋By1＋C＝0，所以 d＝|Ax1＋A2B＋y1B＋2 C|＝0．
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两平行线间距离的求法 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式． (2)应用两平行线间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2时，两直线方程必须是一般形式，而且 x，y 的系数对应相等．
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2．求过点 P(1，2)且与原点距离最大的直线方程．解：由题意知与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大，因为 kOP＝2，所以所求直线方程为 y－2＝－12(x－1)，即 x＋2y－5＝0．
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1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法 “设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用公式．

【成才之路】人教B版数学必修2练习：2.2.4点到直线的距离(含答案解析)

第二章 2.2.4一、选择题1．已知两点A(－2，－4)、B(1,5)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为导学号 03310705( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．1或3[答案] C[解析] 由题意|－2a －4＋1|a 2＋1＝|a ＋5＋1|a 2＋1，解得a ＝－3或3．2．若点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP|的最小值是导学号 03310706( )A ．10B ．2 2C ． 6D ．2[答案] B[解析] |OP|的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，由点到直线的距离公式，得d ＝|－4|12＋12＝22．3．已知点A(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝导学号 03310707( ) A ．2 B ．2－ 2C ．2－1D ．2＋1[答案] C[解析] 由点到直线距离公式，得：|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a>0，∴a ＝2－1．4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是导学号 03310708( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0 [答案] A[解析] 所求直线与两点A(1,2)、O(0,0)连线垂直时与原点距离最大．5．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为导学号 03310709( )A ．95B ．185C ．2910D ．295[答案] C[解析] |PQ|的最小值即为两平行直线的距离d ＝|－12－52|32＋42＝2910． 6．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是导学号 03310710( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0[答案] B[解析] 解法一：l 1关于P(2,3)的对称直线l 3，l 2关于P(2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P(2,3)距离分别相等， ∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出．解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B ．二、填空题7．两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________.导学号 03310711 [答案]102[解析] 由两平行线间的距离公式，得d ＝|－5＋10|12＋32＝102．8．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________. 导学号 03310712[答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A(－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0．三、解答题9．已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程.导学号 03310713[解析] 正方形中心G(－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610．设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7．故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0．设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0．由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3．∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0．综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0． 10．如图，在△ABC 中，顶点A 、B 和内心I 的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点C 的坐标.导学号 03310714[解析] AB 边所在直线方程为y －14－1＝x －93－9，即x ＋2y －11＝0．内心I 到直线AB 的距离， d ＝|4＋2×1－11|5＝5．可设AC 边所在直线的方程为y －1＝k(x －9)，即kx －y ＋1－9k ＝0．又I 到直线AC 的距离也是5， ∴|4k －1＋1－9k|k 2＋1＝5，解得k ＝±12． ∵k AB ＝－12，∴k ＝12．故AC 所在直线的方程为y －1＝12(x －9)，即x －2y －7＝0．同理，可求BC 边所在直线方程为2x －y －2＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0x －2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－4．故C 点坐标为(－1，－4).一、选择题1．与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是导学号 03310715( )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0 [答案] A[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －－32＋－2＝2，解得m ＝9或－11．2．两平行直线l 1、l 2分别过点P(－1,3)、Q(2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是导学号 03310716( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17][答案] C[解析] 当这两条直线l 1、l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝＋2＋－1－2＝5．∴0<d≤5．二、填空题3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为________.导学号 03310717[答案] (1,2)或(2，－1)[解析] 设点P 的坐标为(a,5－3a)，由题意得|a －－－1|12＋－2＝2，解得a ＝1或2．∴点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．4．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________.导学号 03310718[答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0 [解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－－2＝522．所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522，∴c ＝0或－10，∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0．三、解答题5．△ABC 的三个顶点是A(－1,4)、B(－2，－1)、C(2,3).导学号 03310719 (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S ．[解析] (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A(－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0． (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A(－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22，又|BC|＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC|·d ＝12×42×22＝8．6．已知直线l 经过点A(2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程.导学号 03310720[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴设点M 坐标为(t,3－t)，则点M 到l 1、l 2的距离相等，即|t －－＋1|2＝|t －－－1|2，解得t ＝32，∴M ⎝⎛⎭⎫32，32．又l 过点A(2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0．解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32y ＝32．∴M ⎝⎛⎭⎫32，32.又l 过点A(2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0．解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1．∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1． ∵M 为中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1．又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5．故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0．7．已知直线l 过点P(3,1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l 的方程.导学号 03310721[解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得线段A′B′的长为|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1．∵|AB|＝5， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1．综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1．。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的

点到直线的距离两条平行线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两平行线间的公垂线段的长度
图示
公式 (或求法)
d=|Ax1+By1+C|
A2+B2
d= |C2-C1|
A2+B2
思考 1 点 P0(x0,y0)到 x 轴、y 轴、与 x 轴平行的直线 y=a(a≠0)、
与 y 轴平行的直线 x=b(b≠0)的距离 d 分别等于什么?
离,d=|3×1-2×0+0|=3.
12+02
探究一
探究二
探究三
点评直线方程先化为一般式 Ax+By+C=0,再使用点到直线的距
离公式 d=|��0+B��0+C|不易出错,当直线与坐标轴平行或重合时,不必使用点
��2+��2
到直线的距离公式,如点 P(3,2)到直线 x=5 与直线 y=-1 的距离分别为 2 与 3.
点评过一定点求直线方程多用待定系数法,且注意验证过该点且
斜率不存在的直线是否满足题意.
探究一
探究二
探究三
探究二两条平行线之间的距离
对于两平行直线间的距离公式,应注意以下几点: (1)直线的方程必须是一般式,而且方程中 x,y 项的系数分别对应相等, 对于不同系数的应先化为相同后再求距离. (2)两条平行直线间的距离,也可以转化为在一条直线上的一个点到另一条直线的距离来求,即转化为点到直线的距离. (3)两条平行线间的距离是这两条直线上的点之间的最小距离,也就是它们的垂线段的长.
探究二
探究三
解:(1)当过点 A(2,1)的直线的斜率不存在时,直线方程为 x=2,此时,直线到原点的距离为 d=|x-0|=|2-0|=2,所以 x=2 适合要求.

20 2.2.4 点到直线的距离

(2)与两直线等距离的平行直线的方程。
拓展：（BC选做）
1.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是___________________________
2.点P在直线x+y+4=0上，O为坐标原点，则|0P|的最小值为_________________
3.过点A(-3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程是_____________________
2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课再做，对于选作部分BC层可以不做；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.必须记住的内容：点到直线距离公式。
预习案
1.如何推导点P( )到直线Ax+By+C=0( )的距离公式？
d=________________
说明：①应用距离公式时，若给出的方程不是一般式方程，应先将方程化为一般式方程
课题：2.2.4点到直线的距离
【学习目标】
1.掌握点到直线距离公式，提高应用公式求解的能力。
2.自主学习、合作探究，探究点到直线距离公式的推导过程。
3.激情投入，高效学习，体会数形结合的魅力。
【使用说明及学法指导】
1.先精读一遍教材必修二课本P87-P89，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答；
(3) A(-1,1), y=2x-3;(4)A(2,3), y-1=2(x-2);
(5) A(-2,3), y=7;(6) A(-1,1), x=-3
【我的疑惑】
探究案
探究一：求两条平行直线的距离
例1.;3=0之间的距离。
探究二：综合应用距离公式
例2.(1)求过点A(-1,2)且与原点的距离为1的直线方程。

高中数学同步教学点到直线的距离

4
解:(1)将直线方程化为一般式得 3x-4y+1=0,
根据点到直线的距离公式得 d= 3 3 4 2 1 = 18 .
32 42
5
(2)因为直线y=6平行于x轴,所以d=|6-(-2)|=8. (3)d=|3-0|=3.
方法技巧
利用公式求点到直线的距离时,要注意:①直线方程要化
为一般式;②对于特殊直线如垂直于两坐标轴的直线可以通过点的2x-y+2 5 -1=0 或 2x-y-2 5 -1=0.
法二设所求直线上任意一点 P(x,y),则 P 到 2x-y-1=0 的距离为
d= 2x y 1 = 2x y 1 =2,
22 12
5
所以 2x-y-1=±2 5 , 所以所求直线的方程为 2x-y+2 5 -1=0 或 2x-y-2 5 -1=0.
类型三距离公式的综合应用
【例3】已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上.求直线l的方程.
解:法一因为点 M 在直线 x+y-3=0 上,所以设点 M 坐标为(t,3-t),
则点 M 到 l1,l2 的距离相等,即 t 3 t 1 = t 3 t 1 ,
法二设直线 l 上任一点 P(x,y),依题意可知 P 到直线 l1 的距离等于 d1,到直线 l2 的距离等于 d2.
由 2d1=d2 可得 2× 7x 8y 9 = 7x 8y 3 ,
72 82
72 82
即 2(7x+8y+9)=±(7x+8y-3).
所以所求直线 l 的方程为 7x+8y+21=0 或 7x+8y+5=0.

人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第二章 2.2.4 点到直线的距离

3
3 34
2
=
=
.
34
68

,∴m=2.
1
将直线 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,
得
|-1+6|
62 +22
=
5
40
=
10
.
4
(3)设直线l的方程为2x-y+C=0.
由题意,得
|3-|
22 +12
=
|+1|
22 +12
,解得 C=1,
∴直线l的方程为2x-y+1=0.
直线 l1:x+my+6=0 与 l2:(m-2)x+3y+2m=0 分别化为
∴它们之间的距离为
6-
2
3
2
=
8 2
.
3
2
x-y+6=0,x-y+3=0,
6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l
的方程.
解(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设
= 5,
解方程组
得
4
= -3,
-1 = - 3 (-2),
∴所求点的坐标为(5,-3).
5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值
为
答案 -1
,它们之间的距离为
.
8 2
3
解析由m(m-2)-3=0,解得m=3或m=-1.
经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.

第二章 2.2.4 点到直线的距离

2.2.4 点到直线的距离学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．知识点一点到直线的距离1．定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．2．图示：3．公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二两条平行直线间的距离1．定义：两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．2．图示：3．求法：转化为点到直线的距离．4．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.(A ，B 不全为0，C 1≠C 2)1．点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )2．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( √ )3．两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )4．直线x ＝x 1与直线x ＝x 2的距离为d ＝x 2－x 1.( × )一、点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185.②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. ③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. (2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．解方法一当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，得|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k＝－13，此时l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二由题意，得l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时，设直线AB的斜率为k AB，直线l的斜率为k l，则k l＝k AB＝5－3－4－2＝－13，此时直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.反思感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．②当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1(1)若点P(3，a)到直线x＋3y－4＝0的距离为1，则a的值为()A. 3 B．－3 3C.33或－ 3 D.3或－33答案 D解析由题意得，|3＋3a－4|1＋(3)2＝1，即|3a －1|＝2，解得a ＝3或－33. (2)已知坐标平面内两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为________．答案－6或12解析由|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，得|3m ＋5|＝|m －7|，∴m ＝－6或m ＝12.二、两平行线间的距离例2 (1)已知两平行直线l 1：3x ＋5y ＋1＝0和l 2：6x ＋10y ＋5＝0，则l 1与l 2间的距离为________．答案33468解析 l 2：6x ＋10y ＋5＝0可以化为3x ＋5y ＋52＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪52－132＋52＝3234＝33468.(2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．答案 2x －y ＋1＝0解析设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0，由题意，得|3－C |22＋12＝|C ＋1|22＋12，解得C ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为______．答案104解析由题意，得63＝m 1≠－3－1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104.(2)已知△ABC 的两顶点A ，B 在直线l 1：2x －y ＋3＝0上，点C 在直线l 2：2x －y －1＝0上，若△ABC 的面积为2，则AB 边的长为________．答案5解析点C 到AB 的距离即为l 1与l 2之间的距离， ∴d ＝|－1－3|22＋(－1)2＝45＝455，S △ABC ＝12|AB |·d ＝2，∴|AB |＝4÷455＝ 5.三、距离公式的应用例3 (1)已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________．答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离，即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. (2)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . ①求d 的取值范围；②求d 取最大值时，两条直线的方程．解 ①设经过点A 和点B 的直线分别为l 1，l 2，显然当⎩⎨⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]． ②由(1)知，d max ＝310，因为过点A ，B 直线的斜率为13，所以d 取最大值时两平行线的斜率k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0. 反思感悟 (1)(x －a )2＋(y －b )2可表示为点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性解决问题．(2)两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练3 (1)已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32D.32答案 D解析两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－(－10)|62＋82＝32. (2)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |最小时点P 的坐标为________．答案 (2,2)解析直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在的直线方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)．1．已知原点O (0,0)，则点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 d ＝|0＋0＋2|12＋12＝ 2.2．已知点(a ,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 答案 D解析由题意知，|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.3．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －C ＝0的距离为25，则C 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11 D ．9或－11答案 B解析两平行线间的距离为d ＝|－1－(－C )|12＋(－2)2＝25，解得C ＝－9或11.4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．答案 (5，－3)解析由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线，设垂足为M (图略)，则|MP |为最小距离，直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3 ∴所求点的坐标为(5，－3)．1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)两平行线之间的距离．2．方法归纳：公式法、分类讨论、数形结合．3．常见误区：求两条平行线之间的距离时，只需把两直线方程化成一般式，且x 与y 的系数对应相同．1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2 B.22C ．3D ．2答案 D解析 d ＝|－1－1|1＋0＝2，故选D.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m 等于( ) A ．0 B.34 C ．3 D ．0或34答案 D解析点M 到直线的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝3，∴m ＝0或34.3．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4答案 B解析由两条直线平行可得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.由两条平行线间的距离公式得d ＝|－3－7|32＋42＝2.4．直线l 1：2x ＋y －4＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，则与直线l 1与l 2距离相等的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x －2y －1＝0答案 A解析令所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则|c －(－4)|22＋12＝|c －2|22＋12，即|c ＋4|＝|c －2|，解得c ＝－1，故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.5．(多选)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( ) A.79 B ．－13C ．－79D.13答案 BC解析由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得实数a ＝－79或－13.6．(多选)若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－1,2) 答案 AC解析P在直线3x＋y－5＝0上，令P(x0，－3x0＋5)，∴|x0－(－3x0＋5)－1|12＋(－1)2＝2，即|2x0－3|＝1，解得x0＝1或x0＝2，∴点P坐标为(1,2)或(2，－1)．7．过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________________．答案x＋2y－5＝0解析由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵k OP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.8．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________．答案x＝－3或7x＋24y－75＝0解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝|3k＋4|k2＋(－1)2＝3，解得k＝－724.直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.9．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．解由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为y＝kx.由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142. 若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0(a ≠0)．由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ， y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 10．已知正方形的中心为点M (－1,0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．解 M 到x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|12＋32＝3105，设与x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)，∴|－1＋c |10＝3105，解得c ＝7(舍c ＝－5)，∴直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两条边所在直线方程为3x －y ＋m ＝0，∵|－3＋m |10＝3105， ∴|m －3|＝6，解得m ＝－3或m ＝9，故另两条边所在的直线方程为3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.综上，其它三边所在的直线方程为x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.11．点P (2,3)到直线l ：ax ＋y －2a ＝0的距离为d ，则d 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7答案 A解析 d ＝|2a ＋3－2a |a 2＋1＝3a 2＋1≤3，当a ＝0时等号成立．12．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C 解析设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离，AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.13．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0答案 D解析当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，不合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，∴|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，即|－5k ＋2|＝|k ＋6|，解得k ＝2或k ＝－23，故选D. 14．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________________．答案 x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0解析 l 1∥l 2且l 1与l 2之间的距离为d ＝|2－(－3)|2＝52＝522，设正方形另一边所在直线方程为x ＋y ＋c ＝0(c ≠－5)，∴|c －(－5)|2＝522，即|c ＋5|＝5，解得c ＝0或c ＝－10，故所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.15．已知点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，若(a －1)2＋(b －1)2的最小值为4，则实数c 的值为( )A ．－21或19B ．－11或9C ．－21或9D ．－11或19 答案 B解析 (a －1)2＋(b －1)2表示点M (a ，b )与点N (1,1)之间的距离的平方，即(a －1)2＋(b －1)2＝|MN |2，∴|MN |min ＝2.又点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，∴点N (1,1)到直线4x －3y ＋c ＝0的距离为2，∴|c ＋1|42＋(－3)2＝2，即|c ＋1|＝10，∴c ＝－11或c ＝9.16．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，求点P 到直线l 3的距离．解如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称，故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式，得l 1与l 3间的距离d ＝|3－(－3)|12＋22＝655，即点P 到直线l 3的距离为655.。

人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件第2章平面解析几何 2.2.4 点到直线的距离

6-(-3)
即 3x+y-20=0,3x+y+10=0.
数形结合思想是数学中常用的思想方法.解决与距离有关的问题,常利用数
形结合思想,借助图形,可以直观地看出距离的变化情况,进而求出距离的
取值范围或最值等.
【变式训练】设x+2y=1,则x2+y2的最小值为
解析: 2 + 2 =
.
第二章
2.2.4 点到直线的距离
内
容
索
引
01
自主预习新知导学
02
合作探究释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握点到直线的距离公式,并能灵活运用此公式解决距离问题.
2.会求两条平行直线的距离.
3.重点提升数学运算和逻辑推理素养.
自主预习新知导学
一、点到直线的距离
1.已知点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,如何求P到直线l的距离?
|-15-(-10)|
d=
32 +4-10=0平行,且距离为1的直线方程.
解:因为所求直线与直线3x+4y-10=0平行,所以设所求直线方程为
3x+4y+C=0(C≠-10).
由两条平行直线之间的距离公式,得
|+10|
32 +42
=1,解得 C=-5 或 C=-15.
有什么关系?
(3)如何求直线l1与l2之间的距离?
提示:(1)l1∥l2.(2)d1=d2.
(3)在直线l1上取一点M,利用点到直线的距离公式求出点M到直线l2的距离
就是直线l1与l2之间的距离.
2.若直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则直线l1与l2之间的距离

(全国通用版)2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离练习

2.2.4 点到直线的距离1点(3,1)到直线y=2x的距离为()A.5B.C.D.解析：直线方程化为2x-y=0,故所求距离d=.答案：B2已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值是()A. B.2- C.-1 D.+1解析：由点到直线的距离公式,得=1,因为|a+1|=,所以a=±-1.又因为a>0,所以a=-1.答案：C3已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是()A.4B.C.D.解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公式得d=.答案：D4已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是()A.(a-b)B.b-aC.(b-a)D.解析：因为P(a,b)是第二象限的点,所以a<0,b>0.所以a-b<0.所以点P到直线x-y=0的距离d=(b-a).答案：C5若P,Q分别为3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C.3 D.6解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离,则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|==3.答案：C6已知x,y满足3x+4y-10=0,则x2+y2的最小值为()A.2B.4C.0D.1解析：因为x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d==2,所以x2+y2的最小值为4.答案：B7过点M(1,5)和点N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有()A.0组B.1组C.2组D.3组解析：因为|MN|==5,所以满足条件的直线有且仅有1组,它们与线段MN所在的直线垂直.答案：B8已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是.解析：可设B(x,-x),所以d(A,B)=,又d(A,B)min=,这时x=-,点B的坐标为.答案：9已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=.解析：由已知可得=3,即|m+3|=3,解得m=0或m=.答案：0或10与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线m的方程为.解析：设所求直线为5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得2=,解得c=32或c=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.答案：5x-12y+32=0或5x-12y-20=011已知直线l过直线y=-x+1和y=2x+4的交点,(1)若直线l与直线x-3y+2=0垂直,求直线l的方程;(2)若原点O到直线l的距离为1,求直线l的方程.解(1)由得交点(-1,2),因为直线x-3y+2=0的斜率是,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1),即3x+y+1=0.(2)如果l⊥x轴,则l的方程为x=-1符合要求.如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+2+k=0,原点O到直线l的距离=1,解之,得k=-,此时l:y-2=-(x+1).综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.12两条互相平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着A,B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围;(2)求当d取得最大值时两条直线的方程.解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段AB垂直时,距离d=|AB|=3最大;当两平行线重合,即都过A,B点时,距离d=0最小.但平行线不能重合,所以0<d≤3.(2)当d=3时,所求的两条直线的斜率相同,且k=-3,所以两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0.★13已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点O距离为2的直线l的方程;(2)过点P且与原点O距离最大的直线l的方程,并求此最大距离.解(1)点P的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况:①若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,原点到直线x=2的距离为2,满足题意;②若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,故设直线l、直线OP的斜率分别为k l,k OP.由题意知k OP=-,由l⊥OP,得k l·k OP=-1,即k l=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线l:2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,且最大距离为.★14已知在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1<m<4),C(4,2),则当m为何值时,△ABC的面积S最大? 解∵A(1,1),C(4,2),∴|AC|=.又直线AC的方程为x-3y+2=0,根据点到直线的距离公式可得点B(m,)到直线AC的距离d=,∴S=|AC|·d=|m-3+2|=.∵1<m<4,∴1<<2⇒-.∴0≤,∴S=.∴当=0,即m=时,S最大.故当m=时,△ABC的面积S最大.。

教学设计4：2.2.4 点到直线的距离

2.2.4点到直线的距离整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.三维目标1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.重点难点教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax＋By＋C＝0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P (x 0,y 0)和直线l :Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设A 、B ≠0).图1推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0,y 0)和直线l :Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x 0＝0,y 0＝0时，d ＝22||B A C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0＝0时，d ＝220||B A C Ax ++；(ⅲ)x 0＝0,y 0≠0时，d ＝220||B A C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0,y 0)，d ＝?学生应能得到猜想：d ＝2200||B A C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，令y ＝0，得P ′(AC 1-,0).∴P ′N ＝112222|()|||C A C C C A A B A B⋅-+-=++. (*) ∵P 在直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0上,∴Ax 0＋By 0＋C 1＝0.∴C 1＝－Ax 0－By 0.代入(*)得|P ′N |＝2200||B A By Ax C +++即d ＝2200||B A C By Ax +++,.②可以验证，当A ＝0或B ＝0时，上述公式也成立.应用示例例1 求点P 0(－1，2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0;(2)3x ＝2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d ＝5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝|32－(－1)|＝35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A (a ，6)到直线3x －4y ＝2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a ＝4⇒|3a －6|＝20⇒a ＝20或a ＝346. 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，求△ABC 的面积.解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝21|AB |·h . |AB |＝22)31()13(22=-+-，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC ＝21×2522⨯＝5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A (－1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例3 已知点()2,3A -到直线1y ax =+的距离为2，求a 的值。

点到直线的距离公式的教学设计

点到直线的距离公式教学设计李亚敏2.2.4点到直线的距离公式教学设计一、教材分析本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法基础上，研究两条直线平行线间距离的一个重要公式。

推导此公式，把对点与直线从定性的认识上升到了定量的认识，不仅完善了两条直线位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的性质奠定了基础。

更为重要的是本节课能使学生在探索过程中深刻领悟到蕴涵于公式推导中的重要数学思想和方法，学会用化归思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。

二、学情分析学生在此之前已学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究平面解析几何问题的重要方法，并且高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。

这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。

三、教学目标1、认知目标：①探索并掌握点到直线的距离公式；②会求两条平行直线间的距离；③体会“数形结合”研究解析几何的思想.2、能力目标：通过让学生在实践中的探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，进而培养学生的观察、归纳能力，思维、应用和创新能力。

3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，培养其良好的数学学习品质。

四、教学重点和教学难点：教学重点：空间两点距离公式；教学难点：空间两点距离公式的推导.五、教学方式1教法在“以生为本”的理念指导下，充分体现“学生为主体，教师为主导”。

本节课的主要任务是公式推导思路的获得和公式的推导和应用。

我选择的是问题解决法，启发引导法等，通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展，学生自主学习，使学生真正成为教学的主体。

2.2.4 点到直线的距离

21-22版：2.2.4 第1课时 点到直线的距离公式(步步高)

我的说课稿 点到直线的距离公式

数学：2.2.4点到直线的距离 课件(新人教B版必修2)