中北大学高数课件D2_3 高阶导数
2-3高阶导数
π
故 y
(n)
= (sin x ) = sin( x + n ⋅ ).
(n)
π
2
抽象复合函数的二阶导数
作业 习题2.3 习题 1.(7) 2.(3) 在[0, t]这段时间内 所走路程为S = S(t), 指出S''(t)的物理意义. 解: 我们知道, S'=V(t). 而S''=V'(t) 注意到, ∆V = V ( t +∆t)−V(t)表示在[t, t +∆t]这 段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而
∆V = a 表示在 ∆ t 这段时间内的平均加速 度 . ∆t ∆V lim 故 ∆t →0 ∆t = a (t ). 即, S'' = V'(t) = a(t)为物体
在时刻t的加速度.
例1.
设 y = x , n 为正整数 , 求 y
n
(n)
和y
( n +1)
.
解: y' = nxn–1, y'' = n(n–1)xn–2, y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3, …,
几点说明 P37的例 的例6 的例
x − a = (x −a)(x + ax +....+ a )
n n
n−1
n−2
n−1
2.3 高阶导数
2.3.1 高阶导数的概念 2.3.2 二阶导数的意义
一般, 设y= f (x)的导数y' = f '(x)存在且仍
d2 y , y ′′或 f ′′( x ). 可导, 记f '(x)的导数为 2 dx d2 y 即, = y′′ = f ′′( x) = ( f ′( x))′, 称为f (x)的 2 dx
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。
D2.3
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高等数学
例8. 如何求下列函数的 n 阶导数? 1 1− x (3) y = 2 (1 y = ) 1+ x x −3x +2 1 解: 解: (x−2)(x−1 ) n! (n) n y = 2(−1 ) (x−1 −(x−2) ) n+ 1 = ( + x) 1+x 3 (x−2)(x−1 ) x (2) y = 1 1 1−x = − x −2 x −1 解: 1 1 (n) n n! (n) y = , n ≥3 y =(−1) n! (x−2)n+1 −(x−1)n+1 (1− x)n+1
例1 证明: 函数 y = 2x − x2 满足关系式 y 3 y′′ +1= 0 . 证明 因 y′= 2−2x = 1−x , 为 2 2x−x2 2x−x2 − 2x−x2 −( −x) 2−2x 1 2 2x−x2 y′′= 2x−x2 −2x+x2 −( −x)2 1 1 1, = =− =− 3 3 2) (2 −x2) y (2x−x x 2)2 (2x−x 所以y 3y′′+1=0.
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§2.3 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 引例 速度 加速度 即 即 v = s′
a =(s′)′
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定义. 定义 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 可导, 则称 的导数为 f (x)的二阶导数 , 记作 或 即
3 2
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二、高阶导数的运算法则
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
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Hunan
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高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
2-3 高阶导数(高等数学)
§2.3 高阶导数教学内容： 一．高阶导数二阶导数的定义：0(+)()()limx f x x f x f x x∆→''∆-''=∆.高阶导数：(1)(1)()0(+)()()lim n n n x f x x f x f x x--∆→∆-=∆二．高阶导数的运算法则（1）若函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数，则()()±u x v x 、()(Cu x C 为常数)在点x 点处具有n 阶导数，且()()()()±=±n n n u v u v ，()()()=n n Cu Cu .（2）函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数, ()()()()1C nn k n k k n k uv u v -==∑，此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设3π()4cos 3sin sin 2f x x x x =-+-，求()f x '，(0)f '．例2.设2e sin x y x x +，求y '．例3.设x y tan =，求y '．同理可推得 ()x x 2csc cot -='．例4.设x y sec =，求y '．同理可推得 ()x x x cot csc csc -='．例5.证明(arcsin )'x =．例6.证明 ()ln x xa a a '=．特别地，当e a =时， (e )e x x'=．例7.求下列函数的导数．（1）3cos y x =； （2）1e xy =； （3）y =； （4）arcsin y =.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦 e e sh 2x x x -- =；（2）双曲余弦 e e ch 2x x x -+ =； （3）双曲正切 e e th e +e x xx xx --- = ．例9.求下列函数的导数． （1）3sin ln x y =； （2）1tan2xy =； （3）2sin (34)y x =-.例10.求下列函数的导数．（1）221cos sin y x x=⋅； （2）ln(y x =．例11.已知()f u 可导，求下列函数的导数．（1）3f y =； （2）(ln )ln ()y f x f x =+．例14.设324e 5ln xy x x =-+，求y ''．例15.求下列函数的n 阶导数．（1）xa y =； （2）x y sin =.例16.求函数11=+y x的n 阶导数.例17.已知214=-y x ，求(100)y .例18.已知2sin 3=y x x ，求(20)y .。
高等数学 课件 D2_3高阶导数
一般地 , 类似可证:
) (sin x ) ( n ) sin( x n π 2
(cos x )
(n)
) cos( x n π 2
(n) f (0) 存在的最高 求使 例6. 设 f ( x ) 3 x x x , 2 阶数
3 2
分析:
4x3 , f ( x) 2x3 ,
n
2 2
2 x 3x 2 各项均含因 (x )(2 x 子 ( x2 – ) 1)
n2时f
提示:
(n)
n 1 n ! [ f ( x )] ( x)
f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 2 ! [ f ( x )]3 f ( x ) 2 ! 3[ f ( x )]2 f ( x ) 3 ! [ f ( x )]4
n ax
特别有: (e x ) ( n ) e x 求 解: y
1 y 1 x
1 y (1 x) 2
1 1 2 1 2 , y ( 1) , , y 2 3 1 x (1 x ) (1 x )
,
思考:
y
(n)
( 1)
用数学归纳法可证
(nk ) (k ) (uv ) ( n ) C k u v n k 0 n
例7.
2x
求
2
解: 设 u e , v x , 则
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2 x , v 2 ,
v (k ) 0
n 1
( n 1) !
(1 x) n
规定 0 ! = 1
例4. 设
《高等数学导数》课件
凸函数与凹函数
通过导函数的符号变化及导数的 递增、递减趋势判断函数的凸凹 性质。
高阶导数
1
高阶导数的概念及计算
通过迭代导数公式及高阶导数定义，计算出函数的高阶导数。
2
函数的泰勒公式
通过多次求导得到函数的各阶导数，并结合泰勒公式，用多项式逼近函数的过程。
补充知识点
反函数与隐函数求导
通过反函数的定义以及隐函数求导公式，可以求 得反函数与隐函数的导数。
同一函数的导函数之间 的关系
同一函数的导函数，是在不 同点的导数值所组成的函数。 一般情况下，它是原函数的 一阶导数、二阶导数、三阶 导数……
导数的计算
1
基本初等函数的导数
可以通过求导数的定义式来计算，得到$x^n$,$\sin{x}$,$\cos{x}$,$e^x$,通过链式法则，即先对内函数求导，再外函数求导，可以得到复合函数的导数。
3
导数的四则运算
对两个函数进行加、减、乘、除的运算，可以通过导数加减法、乘法、除法公式 求得。
导数的应用
极值与最值
通过导函数的零点及导数符号的 变化，判断函数的极值及最值。
函数的单调性
通过导数的符号变化来判断函数 的单调性。
高等数学导数PPT课件
本课件以教材内容为基础，通过丰富的图表及实例，讲解导数的基本概念、 计算方法、应用及高阶导数等内容，帮助您掌握导数的知识。
基本概念
导数的定义
导数是用来描述函数在某一 点的变化速率的数值。它是 函数曲线上一点处的斜率， 或者说是切线的斜率。
函数的切线与导数
切线是函数曲线在某一点处 的切线，导数就是该点处切 线的斜率。
微分的概念
微分是函数在某一点上的变化量，在数学中被广 泛应用于近似计算、误差分析等方面。
第四节高阶导数ppt课件
3、 y ln( x 1 x 2 ).
三、试从dx 1 ，导出： dy y
1、d 2 x dy 2
(
y y)3
；
2、
d3x dy3
3(
y)2 yy ( y)5
.
四、验证函数 y c1e x c2e x ( ,c1 满足关系式 y 2 y 0.
,c2 是常数）
五、下列函数的 n 阶导数：
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x),
y(n) ,
dny dxn
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .
高数二章课件03高阶导数
d3y d 4y dny 或 3 4 n dx dx dx
d 2 y d dy ( ) y(y ) f (x)[f (x)] 2 dx dx dx
例1 yaxb 求y 解 ya y0 例2 ssinwt 求s 解 swcoswt sw 2sinwt
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
1 cos 2 sin 2
2
y
(n)
3 n ) 4 cos(4 x n 2 8 a 3 b 3 (a b) (a 2 ab b 2 )
2. (填空题) (1) 设
n
x2
各项均含因 子(x–2)
n2时 f
提示:
(n)
( x) n ! [ f ( x)]
n 1
f ( x) 2 f ( x) f ( x) 2 ! [ f ( x)]3 f ( x) 2 ! 3[ f ( x)]2 f ( x) 3 ! [ f ( x)]4
即
例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解 ysin x
y cos x sin( x ) 2 y cos(x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos(x 2 ) sin( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 2 2 一般地 可得
ym(m1)(m2)xm3 y(4)m(m1)(m2)(m3)xm4
一般地 可得
y(n)m(m1)(m2) (mn1)xmn 即 (x m )(n) m(m1)(m2) (mn1)xmn
当mn时 得到
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第二章 一元函数微分学
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
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第二章 一元函数微分学
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
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3
2
(n)
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第二章 一元函数微分学
例6.
求
解: 设 u sin 2 x, v x 2 , 则
u
(k )
2 sin 2 x k 2
k
v 2 x ,
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第二章 一元函数微分学
例5. 设 f ( x) 3x x x , 求使 f (0) 存在的最高 2 阶数 3 分析: 4x , x 0 3 f ( x) 2x 0 3 x0 (0) lim 2 x , f 0 x x 0 2 3 12 x , x0 4x 0 f ( x) (0) lim f 0 2 6 x , x0 x x 0 6 x2 0 (0) lim 又 f 0 x 24 x , x 0 x 0 2 f ( x) 12 x 0 12 x , x 0 (0) lim f 0 x x 0 (0) 24 , f (0) 不存在 . 但是 f (0) 12 , f
sin( x 2 π ) 2
π) y cos( x 2 π ) sin( x 3 2 2
一般地 ,
) (sin x) ( n ) sin( x n π 2
( n)
类似可证: (cos x)
) cos( x n π 2
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y ( y)
2
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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第二章 一元函数微分学
例1. 设
解答
求 求 求
求
3 2
例2.设
解答
例3. 设
解答
例4. 设
解答
(n) f (0) 存在的最高 求使 例5. 设 f ( x) 3x x x , 阶数 解答
n
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依次类推 , 可得 y ( n) n! 如果设 则 y ( n) ？
y ( n1) y (n 2)
0
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第二章 一元函数微分学
设 例2.设 解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
依次类推 , 可得
y
( n)
n! a n
y x ( 为任意常数 ) , 问 思考: 设
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第二章 一元函数微分学
例3. 设 解:
求
y cos x sin( x π ) 2
π π) y cos( x π ) sin( x 2 2 2
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第二章 一元函数微分学
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数? x3 (2) y 1 x 解:
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x)
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第二章 一元函数微分学
二、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
2 Cn
莱布尼茨(Leibniz) 公式
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第二章 一元函数微分学
例4. 设
解:
求
y
1
1 x
, 2
y
(n)
2
1 x
1
, y 3
n!
3 2
1 x
4
,
1 依次类推 , 可得 1 x
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第二章 一元函数微分学
若函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 可导, 则称 定义： 的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 或 即
d y d dy 或 ( ) 2 d x dx dx 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
v 2 , v ( k ) 0
(k 3 ,
, 50)
2x
代入莱布尼茨公式 , 得
50 x 2 1 49 49 y (50) 250 sin 2x C50 2 sin 2 x 2 2 48 2 48 C50 2 sin 2 x 2 2
y ln 1 x , 求 思考：
n
1 x
n 1
n 1 1 n 1 ! 1 n 1 n n 1 y , y y 1 n 1 x 1 x 1 x
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第二章 一元函数微分学
例6.
解答
求
解答 解答
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本节完
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第二章 一元函数微分学
例1. 设
n 1 y nx 解:
求
y n n 1 x n2
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第二章 一元函数微分学
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 1 x (1) y 1 x 解:
y
(n)
n! 2 (1) n 1 (1 x)
n
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第二章 一元函数微分学
(3)
1 y 2 x 3x 2
1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
1 1 y x 2 x 1
y
( n)
1 1 (1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)