北师大版-数学-九年级上册-2.3 公式法 学案
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要介绍了公式法在解一元二次方程中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握一元二次方程的求根公式，并能够运用公式法解一元二次方程。
教材中通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握公式法解题的步骤和技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的其他解法，如配方法、因式分解法等。
但是对于公式法的理解和运用还需要进一步的引导和练习。
学生在学习过程中需要通过具体的例题和练习题，来理解和掌握公式法解题的步骤和技巧。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式法解一元二次方程。
2.能够理解公式法解题的步骤和技巧，提高解题能力。
3.通过解决实际问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的求根公式。
2.能够熟练运用公式法解一元二次方程。
3.理解公式法解题的步骤和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，让学生理解和掌握公式法解题的步骤和技巧；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）呈现一元二次方程的求根公式，引导学生理解公式法解题的原理。
3.操练（15分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）通过PPT上的案例，让学生进一步理解和掌握公式法解题的步骤和技巧。
5.拓展（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决实际问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固所学知识。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生进一步巩固公式法解一元二次方程的能力。
北师大版-数学-九年级上册-2.3公式法导学案
2.3公式法学习目标、重点、难点【学习目标】1、一元二次方程的求根公式的推导；2、有实数根的条件：b 2－4ac ≥0，无实数根的条件：b 2－4ac ＜0；【重点难点】1、求根公式x＝2b a-±（b 2－4ac ≥0） 2、有实数根的条件：b 2－4ac ≥0，无实数根的条件：b 2－4ac ＜0；新课导引某市实验中学为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排9场比赛，则全校有多少个队参赛？问题探究 这个问题可以转化为方程的问题来解决，设全校有x 个队参赛，那么一个队要比赛（x －1）次，又因为比赛是两支队伍同时进行，所以可列方程12x （x －1）＝5×9，化为一般形式为x 2－x －90＝0． 解析 x 119.2±=故x 1＝10，x 2＝－9（不符合实际，舍去）．教材精华知识点１ 公式法一元二次方程的求根公式的推导．一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的过程．∵a ≠0，∴方程的两边都除以a ，得x 2＋0.b c x a a+=配方，得x 2＋22()(),22b b c b x a a a a+=-+即2224(),24b b ac x a a -+= ∵a ≠0，∴a 2＞0；∴4a 2＞0，∴当b 2－4ac ≥0时，2244b ac a-是非负数．根据平方根的定义，得x ＋2b a ∴x拓展 （1）被开方数b 2－4ac（2）在x ＋2b a ＝2a ±2｜a ｜，但因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a ＞0，还是a ＜0，最终结果都是x ＋2b a ＝（3）由求根公式可知，一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可代入公式求一元二次方程的根．公式法．求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．拓展 （1）求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有当确定方程是一元二次方程时，才可使用．（2）应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．（3）b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．探究交流1、在求根公式的推导中为什么强调b 2－4ac ≥0？如果b 2－4ac ＜0，会怎么样呢?解析 只有当b 2－4ac ≥0b 2－4ac＜0b 2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式．当b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．2、如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根，那么x 1，x 2与a ，b ，c 之间有怎样的关系呢?解析 由一元二次方程的求根公式可知：x 1＝2b a -+，x 2＝2b a--则x 1＋x 2＝2b a -+2b a -＝22b b a a-=-x 1·x 2222(4)4b b ac a --＝244ac c a a= 即x 1＋x 2＝—b a，x 1·x 2＝c a 这就是一元二次方程的根与系数之间的关系． 课堂检测基础知识应用题1、用公式法解下列方程．（1）x 2＋2x －2＝0； （2）x 2＋3＝x ； （3）n 2n+18=0．2、不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3 x 2＋2＝（2）2x 2＋1=2x （3）－2 x 2－3x ＋4＝0．综合应用题3、若方程x 2－5x －1＝0的两根为x 1，x 2，求1211x x +的值．4、 已知关于x 的方程（m 2－m －2）x 2＋2x －1＝0是一元二次方程，求m 的取值范围．探索创新题5、已知关于x 的一元二次方程a x 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．（1）当a ,c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a ,c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出—个a ,c 同号，且有实数根的一元二次方程并解这个方程．体验中考1、当m满足时，关于x的方程x2－4x＋m－12＝0有两个不相等的实数根．2、如果一元二次方程a x2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知a x2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A.a＝cB.a＝bC.b＝cD.a＝b＝c学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析方程（1）（3）可直接确定a，b，c的值，方程（2）需先化为一般形式，再确定a，b，c的值．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝—2，∴b2－4ac＝22－4×1×（－2）＝12＞0．x＝212-±=-±∴x1＝—1x2＝—1（2）将方程化为一般形式，得x2－x＋3＝0．∵a＝1，b＝—c＝3，∴b2－4ac＝（2－4×1×3＝－4＜0，∴原方程没有实数根．（3）∵a＝l，b，c=18∴b2－4ac＝（－2）2 －4×1×18＝0．∴n＝224=n 1＝n 2规律·方法（1）用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．（2）b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，当b 2－4ac ＜0时，直接得到原方程没有实数根．（3）当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－2b a的形式，从而说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．2、分析 利用一元二次方程求根公式中有根的条件b 2－4ac ≥0来判断．解：（1）原方程可变形为3 x 2－x ＋2＝0，其中，a ＝3，b ＝—，c ＝2． b 2－4ac ＝（－2－4×3×2＝0，所以原方程有两个相等的实数根． （22＋1＝02x ＋2＝0，其中，a，b，c ＝2，b 2－4ac）2－4×3×2＝2－0，所以原方程没有实数根．（3）原方程可变形为2x 2＋3x －4＝0，其中，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，b 2－4ac ＝32－4×2×（－4）＝41＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．规律·方法 将方程先整理成一般形式，有分母的往往要去分母，这样做可简化运算．正确确定a ，b ，c 的值后，即可利用根的判别式b 2－4ac 判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．3、解：由一元二次方程的根与系数之间的关系可得：1212515,111x x x x --+=-=•==-, ∴1212121151x x x x x x ++==•-=－5 规律·方法 本题若用求根公式先求出x 1，x 2的数值，再求1211x x +的值，比较繁琐，用一元二次方程的根与系数之间的关系做此题，就简单明了．4、解：∵原方程是关于x 的一元二次方程，∴m 2－m －2≠0．若m2－m－2＝0，则m 13 2±,即m1＝2，m2＝－1，∴当m≠2且m≠－1时，原方程是一元二次方程．解题策略在含有字母系数的一元二次方程中（如前面例题中的字母m，n等），要注意：（1）二次项系数不等于0；（2）方程有实根时b2—4ac≥0．这也是在学习一元二次方程过程中易遗漏的．5、分析第（1）问只需说明b2－4ac>0即可．第（２）问是一个开放性问题，写出的方程满足a，c同号，且b2－4a c≥0即可．解：（1）因为a ，c异号，所ac<0,所以－4ac>0，所以b2－4ac>0，所以当a,c异号时，该方程必有两个不相等的实数根．（2）当a,c同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b2－4ac≥0．例如方程x2—4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1．解题策略第（2）问中并不是任意的方程都成立，它满足的条件是a,c，同号且b2—4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程．体验中考1、分析若方程有两个不等的实根，则△＝16－4(m－12)＞0，即m＜92故填m＜922、分析若方程有两个相等的实数根，则△＝b2－4ac＝0①．又a＋b＋c＝0②，①②联立，有a＝c．故选A．规律·方法对于一元二次方程a x2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，方程有实根，当b2－4ac＜0，方程没有实数根．。
北师大版-数学-九年级上册-2.3公式法 精品教案
初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 公式法
知识与技能目标：
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
过程与方法目标：
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
情感态度与价值观目标：
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
重点、难点、关键：
1．重点：掌握用公式法解一元二次方程。
2．难点；对公式法中求根公式的推导过程的理解．
3．关键：运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。
教学过程：
问题：你能用配方法解方程02=++c bx ax 吗？ 通过推导得出答案：a
ac b b x 242+±-= 例题：
1．用篱笆国成一个长方形菜地，其中一面靠墙，且在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，如果墙长50米，现有能围成91米长的篱笆，菜地的面积需要1080平方米，求菜地的长和宽．
2．随着改革开放，市场经济不向发展，许多农民走上了致富的门道路。
《新华日报》1994年3月18B 报道了江苏省金湖县塔泉乡对坝村王兴国利用一幢旧平房改建成免舍成为十万元户的消息．王兴国的旧平房墙长16米，若欲再利用一面墙扩建一面积为150平方米的长方形免舍，现有的材料可供这另三面墙共35米长，问免舍的长与宽各为多少米？
随堂练习：
随堂练习1、2
课堂小结：
公式法实际上是配方法的一般化和程式化，利用公式法可以较为简便地解一元二次方程。
作业：
课本习题2．6 1、2。
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教学设计一. 教材分析《公式法》是北师大版数学九年级上册第2.3节的内容，本节主要让学生掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
公式法是数学中的一种重要方法，通过运用已知的公式来求解未知数。
本节内容为后续学习其他数学知识奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了代数、几何等基本知识。
但学生在运用公式法解决问题方面可能存在一定的困难，因此需要通过本节课的教学，让学生熟练掌握公式法，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握公式法的概念，学会运用公式法解决问题。
2.难点：如何引导学生灵活运用公式法解决问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的概念和运用方法。
2.案例分析法：分析具体例子，让学生学会运用公式法解决问题。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论问题，共同解决问题。
4.练习法：让学生通过做练习题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示公式法的概念和运用方法。
2.练习题：准备一些有关公式法的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入公式法，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一道应用题，让学生观察如何运用公式来解决问题。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的概念，让学生了解公式法的基本原理。
通过PPT展示公式法的运用方法，让学生直观地感受公式法的步骤。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些有关公式法的练习题，检验学生对公式法的掌握程度。
教师在这个过程中给予个别辅导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生在小组内讨论如何运用公式法解决问题。
2.3《公式法》教案(北师大版九年级上)(7套)-公式法教案(3)
练掌握求根公式后，可以简化求 解过程
例：解方程：2x +7X =4 解：移项，得
2X 2+7X — 4=0
这里，a=1 , b=7 , c= — 4 ■/ b 2—
4ac=72 — 4X 1 X (— 4)=81>0 .— 7±J81 — 7± 9
• • x= ' =
2X 2 4 1
即：X i =2 ,
X 2= — 4
学生小结
步骤：(1)指出a 、b 、c
(2)求出 b 2— 4ac
⑶求x (4)求 X 1, X 2
三、巩固练习：
P58随堂练习：1、2
四、 小结：
—b ±xl b — 4ac
2
(1)求根公式：x=
( b — 4ac > 0)
2a
(2 )利用求根公式解一元二次方程的步骤
五、 作业：
(一) P59 习题 2.6
1、2
(二) 预习内容：P59〜P61
看课本P56〜P57，然后小结
这节课我们探讨了一元二次方 程的另
一种解法一一公式法。
(1) 求根公式的推导，实
际上是“配方”与“开平方” 的综合
应用。
对于
a^ 0，知
4a 2 >0等条件在推导过程中的 应用，
也要弄清其中的道理。
(2) 应用求根公式解一元 二次
方程，通常应把方程写成一 般形式，并写出a 、b 、c 的数值 以及计算b 2 —
4ac 的值。
当熟
板书设计: 一、 复习
二、 求根公式的推导 三、 练习 四、 小结 五、 作业。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。
通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。
2.运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。
公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。
让学生举例说明，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。
北师大版-数学-九年级上册-2.3 用公式法求解一元二次方程(第一课时)导学案
2.3 用公式法求解一元二次方程【学习目标】课标要求：1、在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力2、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.3、通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
目标达成：通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力学习流程：【课前展示】用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算【创境激趣】由学生总结用配方法解方程的一般方法【自学导航】自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导【合作探究】针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数:a 02=++ac x a b x 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a答：因为a≠0配方:加上再减去一次项系数一半的平方04)2(2222=+-++a c a b a b x a b x 即: 044)(222=--+a ac b a b x 22244)(a ac b a b x -=+ 问：现在可以两边开平方吗？答：不可以，因为不能保证 04422≥-a ac b 问：什么情况下 04422≥-aac b 学生讨论后回答：答： ∵ a≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-aac b 只要 b 2-4ac≥0即可∴当b 2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： 2244a ac b a b x -±=+ aac b a b x 242-±=+ aac b a b x 242-±-= aac b b x 242-±-= 问：如果b 2-4ac<0时，会出现什么问题？答：方程无解如果b 2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
新北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程学案.doc
新北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程学案学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.提高运算能力并养成良好的运算习惯；4.通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心. 学习过程：；一、自主学习：利用配方法推导一元二次方程的求根公式若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），你觉得应如何利用配方法求解？（1） ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到： . （2）把上式中的常数项移项可得：（3）如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？. （4）配方后可得： .（5）思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当时，它的根是：x= .式子称为求根公式，用解一元二次方程的方法称为公式法. 1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法： .2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么？与同学交流一下的想法.3、利用公式法解方程的一般步骤：（1） （2） （3） （4） .二、课堂检测：1、用公式法解下列方程： （1）x 2+2x-35=0 （2）5x 2-15x-10=0(3)9x 2+6x+1=0 (4)16x 2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长.3、对于问题：k 取何值时,kx 2+3x+4=0有两个不相等的实数根，下面的解法是否正确？若不正确，请给出正确解法.解：∵ =32-4·k ·4=9-16k令9-16k >0，则k<169 即当k<169时，方程kx 2+3x+4=0有两个不相等的实数根.。
北师大版九年级上册数学 2.3用公式法求解一元二次方程 教案设计
C．m＞ D．m≥
2.（2018深圳题）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
要求学生用配方法求解
学生先独立思考，再组内讨论，师指导
学生板演，老师订正
提问总结
学生独立在练习本上完成，组内交流答案
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
3．一元二次方程 有实根，则a的取值范围是_______．
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k＞1
C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0
1.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2－4ac<0时，方程没有实数根；
1.用公式法求解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列方程
（1）2x2+5=7x
（2）9x2+6x+1=0
（3）16x2+8x=3
（4）x(x-3)+5=0
2．一元二次方程 －x－2=0的根的情况是（ ）
学生小组讨论，代表回答
学生独立解决，组内合作交流，并统一解题思路
组内统计解题情况
找两个组的同学展示结果
小组互查
学生展示，师生共同订正
教师更正总结归纳
学生展示，师生共同订正
教师作更正
激活记忆
北师大版九年级数学上册2.3公式法解一元二次方程(1)导学案设计
北师大版九年级数学上册公式法解一元二次方程（1）导教案设计北师版九年级数学（上）第二章公式法解一元二次方程（1）导教案一、学习目标1．能用配方法推导求根公式2．会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3．不解方程能判断一元二次方程根的状况二、温故知新1．一元二次方程的一般形式是：，（ 1）方程2 x 2 3x 1 0 中，a=( ),b=( ),c=( )(2) 方程2x 1 2 4, a=( ),b=( ),c=( )2、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？3、用配方法解方程：1x 2－ 6x+3=04三、自主研究：阅读课本 p38—39研究（一）推导求根公式：1、用配方法解方程 ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 解：移项，得 ，二次项系数化为 1，得 ，配方 ，方程左侧写成平方式 ，∵ a ≠ 0, ∴4a 2 0, 有以下三种状况：（ 1）当 b 2-4ac>0 时， x 1； x 2。
2。
（ 2）当 b -4ac=0 时， x 1 x 2（ 3） b 2-4ac<0 时，方程根的状况为 。
2. 由上可知，一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数 a 、 b 、 c 而定，所以：（ 1）式子 b 24ac2bx c a，叫做方程 ax ＋ ＋ = 0 （ ≠0）根的 鉴别式当 b 2 4ac 0时， 方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 有实数根；当 b 2 4ac 0时， 方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 有 实数根；当 b 2 4ac时， 方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)实数根。
（ 2）解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当 b24ac ≥ 0 时，将 、 、 代入式子 x－b ± b 2－ 4ac 就a b c2a获得方程的根．这个式子叫做一元二次方程的，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．3、例题学习：解方程：（ 1） x2―7x― 18=0 （ 2）4x2+1=4x概括：用公式法解一元二次方程的步骤：四、随堂练习：1. 已知一元二次方程 x 2＋x－1＝0，以下判断正确的选项是（）A．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．根的状况不确立2. 以下方程中，有两个不相等实数根的是（）A. x 2 2 1 0B. x2 23 0C.x2 2 3x 3D.x2 4 4 0x x x3、利用公式解方程：（ 1）x 2 2 2 0（2）2 2 2x 2x 7 x 4 （） x 4x 1 0 （）3 4 x 4 3x 10 04、一张桌子长 4 米 , 宽 2 米, 台布的面积是桌面面积的 2 倍 , 铺在桌子上时 , 各边下垂的长度相同 , 求台布的长和宽五．讲堂小结：（ 1）这节课我学会了：（ 2）易错点：（ 3）你有哪些迷惑？六：当堂检测：1、不解方程，判断以下方程根的状况： （ 1） 3x 2－ x ＋ 1 = 3x （2）(2x+1)(9x+8)=1（ 3） 3x 2－ 43 x = － 42、用公式法解方程 x 2x ，以下代入公式正确的选项是 （ ）3 +4=12A. x 1、 2 12122 3 4 B. x 1、2 = 12 122 3 4C. x 1、 2 12122 3 4D.x 1 、2( 12)( 12)2 4 3 4=22=2=2 33、方程 x 2 x（） +3 =14 的解是A. x=365 B. x= 3 65C. x=323D. x= 32322 224、对于 x 的一元二次方程2的取值范围是x2 x m 0 有两个实数根，则 m．5、已知对于 x 的一元二次方程 x 2－（ m －1）x ＋m ＋2＝0．若方程有两个相等的实数根，则 m 的值是 ；6、 假如对于 x 的方程 ax 2 +x –1= 0 有实数根，则 a 的取值范围是（）1111A ．a ＞– 4B ．a ≥– 4C ．a ≥– 4 且 a ≠ 0D ．a ＞– 4 且 a ≠ 0课后作业： P40. 习题 2.4: 1 、2、3北师版九年级数学（上）第二章公式法解一元二次方程（2）导教案一、学习目标1．利用方程解决实质问题2．进一步掌握用公式法解题的技术3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题三、温故知新1. 一元二次方程的求根公式：（此中：）2、用公式法解一元二次方程的步骤：1）化成；2）确立的数值；3）求出 b2－ 4ac 的数值，并鉴别其是不是非负数；4）若 b2－4ac≥ 0，用求出方程的根；若b2－4ac<0，直接写出原方程，不要代入求根公式。
九年级数学上册 2.3 用公式法求解一元二次方程学案 (新版)北师大版
用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．理解求根公式的推导过程和判别公式．2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．3．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【学习重点】求根公式的推导和公式法的应用．【学习难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．情景导入 生成问题1．方程3x 2－x ＝2化成一般形式后，式中( C ) A ．a ＝3，b ＝－1，c ＝2 B ．a ＝2，b ＝1，c ＝－2C ．a ＝3，b ＝－1，c ＝－2D ．a ＝3，b ＝1，c ＝－22．用配方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0； (2)2x 2－4x ＝1解：(1)x 1＝1＋52，x 2＝1－52；(2)x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 自学互研 生成能力知识模块一 探索一元二次方程的求根公式先阅读教材P 41－42“议一议”前面的内容，然后完成下面的问题：1．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，当b 2－4a c≥0时，它的根是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a ． 2．用求根公式法解一元二次方程x 2－2x ＝8时，应先把方程化成一般形式为x 2－2x －8＝0，再计算出b 2－4ac ＝36．最后利用公式求得方程的两个根为x 1＝4，x 2＝－2．探究：用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c ，因为a≠0，所以方程两边同除以a ，得：x 2＋b a x ＝－c a .配方，得：x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，∵a ≠0，∴4a 2＞0，当b 2－4ac≥0时，b 2－4ac 4a 2≥0.∴x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a 即x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 归纳总结：由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac 2a，就可求出方程的根；(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．知识模块二 用公式求解一元二次方程自学自研教材P 42例题．解：(1)这里a ＝1，b ＝－7，c ＝－18.∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，∴x ＝7±1212×1＝7±112，即：x 1＝9，x 2＝－2；(2)将原方程化为一般形式，得：4x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝4，b ＝－4，c ＝1.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴x ＝－（－4）±02×4＝12，即：x 1＝x 2＝12.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0； (3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；(2)x 1＝x 2＝33；(3)方程无实数根． 归纳总结：(1)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；(2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个相等实数根即x 1＝x 2＝－b 2a；(3)当Δ＝b 2－4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)没有实数根． 对应练习完成教材P 43随堂练习第2、3两题．知识模块三 一元二次方程根的判别式及其应用阅读教材P 42“议一议”部分内容，理解并掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式b 2－4ac 的值与方程根的情况，并完成教材P 43随堂练习第1题．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a (b 2－4ac≥0)知识模块二 用公式求解一元二次方程知识模块三 判别式b 2－4ac 的应用检测反馈 达成目标1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( A ) A ．x 2－3x ＋1＝0 B ．x 2＋1＝0 C ．x 2－2x ＋1＝0 D ．x 2＋2x ＋3＝02．把一元二次方程x 2＝3(2x －3)化为一般形式是x 2－6x ＋9＝0，b 2－4ac ＝0，则该方程根的情况为有两个相等的实数根．3．方程2x 2－5x ＝7的两个根分别为x 1＝72，x 2＝－1． 4．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．解：由b 2－4ac ＝4－4(k －1)＝8－4k ＞0，且k －1≠0，解得：k ＜2，且k≠1．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版-数学-九年级上册-2.3 用公式法求解一元二次方程(第二课时)导学案
2.3 用公式法求解一元二次方程【学习目标】课标要求：（1）通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。
目标达成：1、巩固解一元二次方程的方法2、展示自己驾驭数学去解决实际问题学习流程：【课前展示】举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？【创境激趣】师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？【自学导航】1、见教材44—45页的学习内容。
2、探讨图形的设计方案。
【合作探究】1、学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。
(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)【展示提升】典例分析 知识迁移1、 1、如何设未知数？怎样列方程？2、 分组解答图（5）、（6）所列的方程。
图（5）的解答：解：设小路的宽为xm,由题意得：（16-2x ）（12-2x ）=16×12×21整理，得：x-14x+24=0x-14x+49=-24+49(x-7) =25x 1=12 ,x 2=2答：（略）问题：你认为小路的宽为12m 和2m 都符合实际意义吗？图（6）的解答：解：设扇形的半径为xm,由题意得：πx=16×12×21 πx=96x=± ≈±5、5 x 1≈5、5 ，x 2≈-5、5（ 舍去）3、集体解答图（7）：根据学生所列的方程进行解答。
【强化训练】在一幅长90cm 、宽60cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？(1) (2) (3)出示图（2）和图（3）做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？96解：设金边的宽为xm,由题意得：（90+2x ）(40+2x) ×72%=90 ×40【归纳总结】通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？【板书设计】2.3（2）【教学反思】1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。
北师大版九年级数学上册导学案：2.3 用公式法求解一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0（2）2x2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知.二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax2+bx=-c因为a≠0，所以方程两边同除以a，得：x2+bax=ca-配方，得：x2+bax+（2ba）2=ca-+（2ba）2即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0∴x+2b a =2a ± 即x=2b a -∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-- 【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ≥0）， 就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式；（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？（1）2x 2-3x=0；（2）3x 2x+1=0；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1x 2； （2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2b a；（3）当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程.（1）2x2-x-1=0；（2）x2+1.5=-3x；（3）x2x+12=0；（4）4x2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.2.不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3；（2）9x2+6x+1=0；（3）2x2-9x+8=0；（4）x2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.。
北师大版九年级上册数学 2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:223272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方0231649)47(2722=+-+-x x即:1625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方02391)31(3222=+-++x x即:1825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
北师大版-数学-九年级上册-2.3 公式法 教学设计 (2)
公式法教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点一元二次方程的求根公式．教学难点求根公式的条件：b2-4ac≥0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A)第二张：试一试(记作投影片§2．3B)第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C)第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)第五张：例题(记作投影片§2．3 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入课题我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3 A)1．用配方法解方程2x2-7x+3＝0．解：2x2-7x+3＝0，两边都除以2，得x227-x+23＝0．移项，得；x2-27x=-23．配方，得x2-27x+(-47)2＝-23+(-47)2．两边分别开平方，得 x-47＝±45即x-47=45或x-47=-45．∴x1=3，x2=21．同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3 B)试一试，肯定行：1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x2+ax ＝1；(2)x2+2bx+4ac ＝0．(1)解x2+ax ＝1，配方得x2+ax+(2a )2＝1+(2a)2， (x+2a )2=442a +．两边都开平方，得 x+2a ＝±242a +，即x+2a ＝242a +，x+2a =-242a +.∴x1=242a a ++-， x2＝242a a +--(2)解x2-2bx+4ac ＝0，移项，得x2+2bx ＝-4ac ．配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，(x+b)2=b2-4ac ．两边同时开平方，得x+b ＝±ac b 42-，即 x+b ＝ac b 42-，x+b ＝-ac b 42-∴x1=-b+ac b 42-，x2＝-b-ac b 42- 老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b2-4ac ．根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x 来．所以，在这里应该加一个条件：b2-4ac ≥0．噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗？戊同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac ＝0时，必须有条件：b2-4ac ≥0，才有丁同学求出的解．否则，这个方程就没有实数解．同学们理解得很正确，那解方程x2+ax ＝1时用不用加条件呢？不用．那为什么呢？因为把方程x2+ax ＝1配方变形为(x+2a )2=442a + ，右边442a +就是一个正数，所以就不必加条件了．好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．讲授新课刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)呢？大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行．因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得 x2+ a c x ab +=0． 因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．好，接下来该如何呢？移项，得x2+a c x ab -= 配方，得x2+22)2()2(a b a c a b x ab +-=+， (x+22244)2a ac b ab -=. 这时，可以直接开平方求解吗？不，还需要讨论．因为a ≠0，所以4a2>0．当b2-4ac ≥0时，就可以开平方．对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244a acb -≥0．因为4a2>0恒成立，所以只需b2-4ac 是非负数即可．因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b2=±2244a ac b -.大家来想一想，讨论讨论：±2244a ac b -=±a acb 242-吗？……当b2-4ac ≥0时，x+a b2=±2244a ac b -=±||242a ac b -因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果：±a acb 242-所以x+a b2=±a ac b 242-， x=-a b2±a ac b 242- =a acb b 242-±-好，我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C)这样，我们就得到一元二次方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)的求根公式：x=a acb b 242-±- (b2-4ac ≥0)，即(出示投影片§2．3 D)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b2-4ac ≥0时，它的根是x=a acb b 242-±-−−−−→−a 两边都除以−−→−配方−−→−≥-如果042ac b用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数A.B.c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数A.B.c 的值代入，就可以求得方程的根．注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac 的值；当b2-4ac ≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．(2)把方程化为一般形式后，在确定A.B.c 时，需注意符号．接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3 E)解方程x2-7x-18＝0．分析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定A.B.c 的值．注意A.B.c 带有符号． 解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18．∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0，∴x=2117121217±=⨯±， 却x1＝9，x2＝-2．好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定A.b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac ≥0的前提下，把A.B.c 的直代入求根公式，求出a acb b 242-±-的值，最后写出方程的根．接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．Ⅲ．课堂练习(一)课本P57随堂练习 1、21．用公式法解下列方程：(1)2x2-9x+8＝0；(2)9x2+6x+1＝0．解：(1)这里a ＝2，b ＝-9，c ＝8．∵b2-4ac=(-9)2-4×2×8＝17>0，∴x=417922179±=⨯± 目x1= 4179+，x2＝4179-(2)这里a ＝9，b ＝6，c ＝1．∵b2-4ac ＝62-4×9×1＝0，∴x=,319206-=⨯±- 即x1＝x2=-31，2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．解：设中间的数为x ，则另外两数为x-2，x+2．根据题意，得(x+2)2＝(x-2)2+x2．整理，得x2-8x=0．解这个方程，得x1＝0，x2＝8．因为直角三角形的边长为正数，所以x1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10．(二)看课本P56～P57，然后小结．Ⅳ．课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．(1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a ≠0，b2-4ac ≥0。
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2.3 公式法【重点难点】1．能够推导出一元二次方程的求根公式。
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程。
【预习导引】方华在学习了一元二次方程及其解法就思考：一个一元二次方程是由其各项的系数确定的，那么它们的解肯定与其系数有关系，于是他写出了二个一元二次方程:（1）x 2－3x －4=0;（2）3x 2－4x+1=0.并分别求出它们的解：方程（1）的解为x 1=4,x 2=－1,方程（2）的解为x 1=31,x 2=1. 通过尝试他发现： 方程（1）中，x 1+x 2=3=)13(-,x 1x 2=－4=14-; 在方程（2）中也有：x 1+x 2=)34(34--=,x 1x 2=3131= 于是他就猜测:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1,x 2,则a b x x -=+21，ac x x =21 你认为方华的对于一元二次方程两个根与方程系数关系的猜测正确吗？能运用前面学习过的有关一元二次方程知识帮助方华证明吗？不妨与同伴交流一下。
点拔 方华同学从两个特殊的方程猜测归纳出一元二次方程根与系数的关系，这种思考问题的方法是数学中一种常见的方法。
至于方华的这种猜想是否正确，通过后面学习，大家自然就知道了。
【知能互动】1．求根公式的推导推导求根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的过程。
∵a≠0 ∴可以把方程两边同时除以二次项的系数a ，得：02=++ac x a b x 移项得：ac x a b x -=+2配方得：222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 即22244)2(a ac b a b x -=+∵a≠0 ∴4a 2>0∴当b 2－4ac≥0时，两边开方得：22442aac b a b x -±=+ 即aac b a b x 2422-±=+ ∴aac b b x 242-±-= 这样就得到了一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),当b 2－4ac≥0时，它的根为aac b b x 242-±-=。
2．运用求根公式解一元二次方程因为任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系数a,b,c 确定，因此求根时，只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。
对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根。
因此在运用求根公式之前，应先求b 2－4ac ，当b 2－4ac≥0时可继续把根求出；当b 2－4ac<0时，由于负数没有平方根，所以方程无解，这时不必代入公式求解了。
运用公式解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程一般形式。
（2）确定a 、b 、c 的值。
（3）求出b 2－4ac 的值,确定方程是否有实根.（4）代入求根公式求根。
3．选择合适的方法解一元二次方程前面学习了用直接开平方法，配方法，公式法解一元二次方程。
直接开平方法只能解左边是含未知数的平方式，右边是一个非负数的方程;而公式法是由配方法推导出来的，它比配方法简单，所以选用适当的方法解方程，首先要看方程是含符合直接开平方法的条件，符合条件的就用直接开平方法来解，其它的时候用公式法。
例如：方程(2x+1)2－5=0宜用 求解;方程2x 2+5(2x+1)=0 求解.答案:直接开平方法，公式法.【名题探究】例1．运用求根公式解下列方程：（1）5x 2=3x (2)x 2－x 22+2=0 (3)(y －1)(y+3)+5=0解析 运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式，正确确定a 、b 、c 的值；计算出b 2－4ac 的值再代入公式求解。
（1）中应注意到常数项 c=0.解：（1）移项得：5x 2－3x=0,∵a=5,b=－3,c=0,∴b 2－4ac=(－3)2－4×5×0=9>0. ∴1033529)3(±=⨯±--=x 。
∴531=x , x 2=0。
(2)这里a=1,b=22-,c=2 ∴b 2－4ac=（22-）2－4×1×2=0 ∴212022=⨯±=x 。
∴221==x x 。
（3）方程化为一般形式为：y 2+2y+2=0.∵a=1,b=2,c=2, ∴b 2－4ac=22－4×1×2=－4<0。
∴此方程无实根。
思路探究 一元二次方程的根可以会出现三种情况：有两不等实根，有两相等实根，无实根。
例2．选择适当的方法解下列方程:（1）4(3x －2)2=36 (2)3x 2+5(2x+1)=0解析 方程（1）变形为(3x －2)2=9,根据其特点选择用直接开平方法解。
方程无其它这特殊性，故选择用公式法解。
解：（1）将原方程化为(3x －2)2=9，两边直接开平方得：3x －2=±3, ∴31,3521-==x x 。
(2)将原方程整理得：3x 2+10x+5=0, ∵a=3,b=10,c=5, ∴b 2－4ac=102－4×3×5=40>0。
∴3105324010±-=⨯±-=x 。
∴3105,310521--=+-=x x 。
思路探究 结合不同问题的特点，选择适当的方法求解，是煅炼思维灵活性的有效途径，选择的标准是使解答过程简便。
例3．已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x 2－8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 . A.3 B.3 C.6 D.9解析 解答本题,关键是正确求出方程的两根,即得直角三角形的两直角边,然后利用勾股定理求解.解：∵a=2,b=－8,c=7 ∴b 2－4ac=(－8)2－4×2×7=8>0 ∴2242288±=⨯±=x ∴224,22421-=+=x x ∴斜边长为3436)424()224(22==-++ 故选B 思路探究 通过解方程求解是本例的一种解法,在以后的学习中,我们还可以运用根与系数的关系求解.【中考链接】例4 先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.(1)如果a 是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根,并且a≠0,求 的值.(①ab ②ab ③a+b ④a －b) (2)已知7x 2+5y 2=12xy,并且xy≠0,求 的值.(①xy ②yx ③x+y ④x －y 解析 (1)把x=a 代入方程x 2+bx+a=0中,得到a 2+ab+a=0,因为a≠0,所以a+b+1=0,即a+b=－1因此可以求出a+b 的值;(2)7x 2+5y 2=12xy 可变为7x 2－12xy+5y 2=0,因而可求得x 与y 之间的关系,从而能确定求出哪一个式子的值.思路探究 留空回填，完善试题，是近年中考试题的创新亮点处。
解答这类问题应着眼于题设条件，通过推导分析等，看从中能推出何种结果。
【达标训练】一、选择:1．方程2x(x －3)=5(x －3)的根为( ) A.25=x B.x=3 C.3,2521==x x D.52=x 2.若代数式4x 2－2x －5与2x 2+1的值互为相反数,则x 的值为( )A.1或23-B.1或32-C.－1或32D.1或23 3.利用求根公式求x x 62152=+的根时,a,b,c 的值分别是( ) A.5, 21,6 B.5,6, 21 C.5,－6, 21 D.5,－6,－ 21 4.方程(x －1)(x －5)=1的两个根等于( )A.x 1=5,x 2－1B.x 1=6,x 2=2C.x 1=53,532-=+xD.53,5321--=+==x x5.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0,下列叙述正确的是( )A.方程总有两个实数根B.只有当b 2－4ac≥0时,才有两实根C.当b 2－4ac<0时,方程只有一个实根;D.当b 2－4ac=0时,方程无实根6.如果分式3322---x x x 的值为0,则x 值为( ) A.3或－1 B.3 C.－1 D.1或－37.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个直角三角形三边的长分别是( )A.2、4、6B.4、6、8C.6、8、10D.3、4、58.已知关于x 的一元二次方程023)2(22=-++-m x x m 的一个根是0,则m 的值为( ) A.2 B.2- C.2± D.不能求出9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2－5x+3=0的根,则这个三角形的周长是( )A.4B.214C.4或214 D.不存在 10.已知x 0是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根,则△=b 2－4ac 与M=（2ax 0+b 2）的关系是( )A.△>MB.△=MC.△<MD.不能确定二、填空：11.把2)3(32x x +=+化成ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c= .12.当x= 时,1532++x x x 与既是最简根式又是同类根式.13.请写出一个一元二次方程,使其一根为－1,你写的方程是 .14.若分式222---x x x 的值为0,则x= .15.已知(x 2+y 2+1)2=4,则x 2+y 2= .16.方程x 2=|x|的根是 .三、解答题:17.解方程223422=+x x ,有一位同学解答如下:解:这里a=2,b=34,c=22 ∴b 2－4ac=(2)34－322224=⨯ ∴26223234242±-=+-=-±-=a ac b b x ∴26,2621--=+-=x x请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.18.用适当的方法解下列方程: (1)02522=+-x x (2)02)82(42=++-y y(3)(y －3)2－18=0 (4)y y 34)3(2=+19.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?20.要建一个面积为150m2的长方形养猪场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米(1)你能求出鸡场的长与宽吗?试试看;(2)题中的墙的长度a对解题有什么作用。