平面向量高考试题精选
高三数学平面向量试题
高三数学平面向量试题1.若向量的夹角为，且.则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,,,．故选A．【考点】平面向量数量积的运算．2.已知向量满足，，，则与夹角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设可得，即，所以，即，代入可得，应选答案A。
点睛：本题旨在考查平面向量及平行位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想运算求解能力和分析问题解决问题的能力。
3.平面向量不共线，且两两所成的角相等，若，则______．【答案】【解析】因向量不共线，故可设三个向量的始点为，则由题设三个向量两两相等可知每两个向量的夹角均为，则，所以，即，应填答案。
4.平面向量满足，在上的投影为，则的模为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由题意，所以，即，由于，所以，应选答案B。
5.已知平面向量，，则的值是（）A．1B．5C．D．【答案】B【解析】由题意可知，则，应选答案B。
6.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,D为BC边中点,且,那么( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可知，，即，所以有，故选B．【考点】向量的运算．7.若的内角的余弦值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，故，应选答案B。
8.对于非零向量，，下列命题中正确的是A．或B．在方向上的投影为C．D．【答案】C【解析】因为,所以A,D是错的,由投影的定义可知当方向相反时为—,所以B是错的,答案选C.【考点】向量的数量积运算与几何意义9.已知向量, 若, 则实数等于（）A．B．C．或D．0【答案】C【解析】.【考点】向量平行的坐标运算.10.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，同理可求，所以，故选C.【考点】1.向量的线性运算；2.向量数量积的几何运算.【名师】本题考查向量的线性运算、向量数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积.。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
高中 平面向量高考真题
平面向量高考真题1、（2020全国Ⅰ理14）设,a b 为单位向量，且||1a b += ，则||a b -= ______________.32、（2020全国Ⅱ理13）已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.223、（2020全国Ⅲ理6）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （）A.3135-B.1935-C.1735D.19354、（2020北京13）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．(1).5(2).1-5、（2020天津理15）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．(1).16(2).1326、（2020浙江17）17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．28297、（2020全国新高考山东卷7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是（）AA.()2,6-B.(6,2)-C.(2,4)- D.(4,6)-8、（2020江苏13）13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．1859、（2019全国Ⅰ理7）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为BA ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610、（2019全国Ⅱ理3）已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =CA ．-3B ．-2C ．2D ．311、（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.2312、（2019北京7）设点A ,B ,C 不共线，则”是的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件13、（2019天津14）在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=.1-14、（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．0,15、（2019江苏12）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，=2BE EA ，AD 与CE 交于O ，若=6AB AC AO EC ⋅⋅ ，则ABAC的值是______.。
(7)历届高考中的“平面向量”试题精选(自我测试)
17.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a· (b+c)=(sinx,－cosx)· (sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ 2 sin(2x+
2 ＝ . 2 3 k 3 3 （Ⅱ）由 sin(2x+ )＝0 得 2x+ ＝k. ，即 x＝ ,k∈Z， 4 2 8 4 k 3 k 3 2 于是 d＝（ ，－2） ，d ( ) 4 , k∈Z. 2 8 2 8
8． （2005 北京理、文）若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为( （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 9.（2007全国Ⅱ文、理）在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD =2 DB ， CD = 则=（ (A) ） (B)
sin 2 2sin 1 cos 2 2 cos 1 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 3 4
当 sin(
) =1 时 a b 有最大值,此时 4 4
2 1
最大值为 2 2 3
cos PQ BC | PQ | | BC | cx by . a2
cx by a 2 cos . BP CQ a 2 a 2 cos . 故当cos 1, 即 0( PQ与BC方向相同)时, BC CQ最大, 其最大值为 0.
2． （2001 江西、山西、天津理）若向量 a=（1，1） ，b=（1，－1） ，c=（－1，2） ，则 c= ( 1 1 3 3 3 1 3 1 （A） a+ b （B） a－ b （C） a b （D）－ a b 2 2 2 2 2 2 2 2
高考数学平面向量专题练习、参考答案
高考数学平面向量专题练习考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
1、已知向量b a 与不共线，且0||||≠=b a ，则下列结论中正确的是 A ．向量b a b a -+与垂直 B ．向量b a -与a 垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用b a ,表示为 。
4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i OA 24，→→+=j i OB 43，则△OAB 的面积等于 ：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC AC AB ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，AC AB ⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量AB 与CD 的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[π B ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（ ）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m a y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a -⊥+C. b a //D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值； （2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.参考答案1、A ；2、D ；3、→→+b a 4341；4、231或；5、D ；6、)2,1(-，)1,2(--；7、D ；8、3π, 2；9、A ；10、C ；11、D ；12、0932=--y x ；13、D ；14、D ；15、35±；16、)0(162≠-=x x y ,)21,0(；17、C ；18、B19（1）解：(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-∴BC AC ⋅=－1⇒cos (cos 3)sin (sin 3)1αααα-+-=- ∴2cos sin 3αα+=，∴224cos sin 2sin cos 9αααα++= ∴5sin 29α=- （2）∵(3cos ,sin )OA OC αα+=+=化简得1cos 2α=， ∵(0,)απ∈，∴sin 2α=∴3sin cos ,sin 3||||OB OC OB OC OB OC αα⋅<>====2 ∴OB 与OC 的夹角为6π20．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=).](32,6[:).](6,3[:)(.1,23,3)(,]6,0[6,262.1)62sin(2)()2(.12sin 32cos )(Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈+-∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ单调减区间是的单调增区间是可解得函数解得由取最大值时解得 21．解：（I ）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x AC +=），)0,4(=AB则),6(00y x AC AB +=+，故)2,32()(2100y x AC AB AD +=+=又解得故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=.2,232),,2(00y y x x y x AD ⎩⎨⎧=-=.2,2200y y x x 代入2)2(||2020=++=y x AC 得122=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.（II ）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.又设椭圆方程为)4(1422222>=-+a a y a x ②. 因为直线l 与圆122=+y x 相切.故11|2|2=+k k ，解得.312=k将①代入②整理得，0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ， 而313=k ，即0443)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则32221--=+a a x x ，由题意有)3(5423222>⨯=-a a a ，求得82=a .经检验，此时.0>∆ 故所求的椭圆方程为.14822=+y x 22．解：（1）由已知，得.2tan 1cos ||||)sin(||||21S FQ OF SFQ OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅θθθπ ∵21＜S ＜2，∴2＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞0，b ＞0），Q 的坐标为（x 1，y 1），则FQ =（x 1－c ，y 1）,∵△OFQ 的面积为,43||211c y OF =⋅∴y 1 =23又由OF ·FQ =（c ，0）·⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,1c x =（x 1－c ）c = 1，得x 1 =491|| ,122121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+c c y x OQ c c （c ≥2）.当且仅当c = 2时|OQ |最小，此时Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛23 ,25，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6104149425222222b a b a b a ， 故椭圆方程为161022=+y x .。
高考数学数学平面向量多选题试题附解析
高考数学数学平面向量多选题试题附解析一、平面向量多选题1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD 【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos AB AC AB BAC C+与AH共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.2．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A 23+ B 33+ C 323+ D 423+【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+的最小值为47+，ABC选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.3．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.4．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.5．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.6．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.8．下列说法中错误的为 （）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++， 即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠， 故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，AB CA ABCA+表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.二、立体几何多选题9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -6πC ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF的距离为7【答案】ACD【分析】 A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积；C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积；D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离.【详解】A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确. B 选项：当122BE BF BC ===时，112,A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=，三棱锥1A EFD -，体积为334433R ππ==， 故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ===在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin EA F ∠=则1111111717sin 3322A EF S A E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 11111117217433A EFD D A EF A EF V V S A D --∴==⋅⋅=⨯⨯= 故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则在EFD △中，()22222255224cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯，7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFD S DE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 1117217332A EFD DEF V S h h -∴=⋅⋅=⨯⨯= 即4177h = 故D 正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C Pn ⋅⋅＝∴当a＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.。
高考数学平面向量多选题测试含答案
高考数学平面向量多选题测试含答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b+= B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB的中点，AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG长的最大值为1 D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r=--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C x y+++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.4．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．2OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．6．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C D 【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得32k ±=综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.8．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.二、立体几何多选题9．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =43∴A'M 3,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角， DN =DA'=4,A'N =A'M 3,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,22121627A N BN +=+=',∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心，设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()()22222433x x R +=-+=,解得23x =-,舍去；故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()()22222433x x R +=++=, 解得23x =, ∴244371699R ⨯=+=,237R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（ ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =248R ππ=，所以C 对；对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为PNS∠，其正弦值为22PSPN==，所以D对．故选：BCD．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
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一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+5．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为766．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C8．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为8710．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5311．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥12．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形 13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ）A ．0B C ．-4 D ．417．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1619．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 20．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒21．如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===D 在边BC 上，且sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．233B ．33C ．332D ．43322．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A 33B 53C 73D 8323．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A 2B 3C ．2D ．326．题目文件丢失！27．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1328．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8329．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．73B ．273C ．2D ．21330．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 31．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A ．15B ．14C ．3 D ．3 32．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形34．题目文件丢失！35．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．23【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，解析：BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，设1(0,),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，所以133y y -=-，解得：2y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；1(3ED =，(1,BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确；对于选项： 选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.9．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin C ==所以2R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.10．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.11．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.12．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.13．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．14．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】 如图所示，AB AF2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()230,3,3,1,,33B FE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此()BFAEBF233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 17．C 【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 19．D 【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得k =∴tan 3B k ==B ＝3π．故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键20．C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 21．A 【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】AB =3==，2223cos 22323AB BC AC B AB BC +-∴===⋅⨯⨯， 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，27sin BAD ∠=，221cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， 21sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD BAD BAD⋅=∠，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC CAD DAC⋅=∠，()13232227217DC DC -⨯⨯∴=，解得：23DC =. 故选：A 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 22．B 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒， 在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．23．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=，所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.25．D【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！26．无27．A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3 ＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－13．令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.28．C【分析】作出图形，先推导出212 AM ABAB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC⋅=⨯⨯=，由221212AM AB ABAM AC AC⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC ABAB AC ACλμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 29．C【分析】化简得到22AM AB ACλμ=+，根据1AM=得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大值.【详解】()1222AM AE AF AB ACλμ=+=+，故2222224cos1201222AM AB ACλμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-=⎪⎝⎭故()()()222223134λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.故选：C .【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.30．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ， 已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =， 解得：37AM AC →→=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =，解得：1 7AN AB→→=，四边形AMFN是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM→→→=+，所以1377AF AB AC→→→=+.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 31．B【分析】利用正弦定理可得sin2sinB C=，结合a b=和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos2sin cos sin cos2sinc A a C c C A A C C+=⇒+=，∴sin()2sin sin2sinA C CB C+=⇒=，∴2b c=，又a b=，∴22222114cos12422ba c bBac b⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE⎛⎫=+=+=-+++⎪⎝⎭111223AB AD AB CB⎛⎫=-+++⎪⎝⎭111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．34．无35．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.。
平面向量高考题选及答案
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
14、（2016 年山东高考）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= 1 .若 n⊥ 3
（tm+n），
则实数 t 的值为（ ）（A）4 （B）–4
（C） 9 （D）– 9
4
4
15、（2016 年四川高考）在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC ,
MN x AB y AC ，则 x
；y
．
30.【2015 高考湖北，理 11】已知向量 OA AB ，| OA | 3 ，则 OA • OB .
31.【2015 高考天津，理 14】在等腰梯形 ABCD 中,
已知 AB / / DC, AB 2, BC 1, ABC 60 ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,
5.（2013全国1.理数. 13）已知两个单位向量 a ， b 的夹角为60°， c ＝t a ＋(1－t) b ，若
b • c =0，则t=_____.
6．【2017 全国高考新课标 II 卷理数·12T】已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为
平
面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小是 ）A． 2 B． 3
y0 ， b ．
33.【2015 高考新课标 2，理 13】设向量 a ， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实
数 _________．
34.【2015 江苏高考，14】设向量 ak (cos k ,sin k cos k )(k 0,1, 2,
66
6
11
(ak ak+1)的值为
(完整)平面向量高考题集锦
平面向量高考题集锦一，选择题1．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r（ ）（A ）0 （B ）BE u u u r（C ）AD u u u r（D ）CF u u u r2．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m n = （A ）215（B ）15（C ）415（D ）133. 已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。
若λ为实数，（()a b λ+∥c ），则λ=A ．14B ．12C ．1D ．24．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx x x 2220 给定，若M （x ，y ）为D上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z=OM ·OA 的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．425．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r6．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a b -的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4π D ．34π 7．已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-⋅b a a ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．128．向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A ．2B ．3C ．5D ．79．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v（λ∈R），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C （c ，o ）,D （d ，O ） （c ，d∈R）调和分割点A （0，0），B （1，0），则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上10．设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A （B （C ）（D ）10 11．设a ，b 是两个非零向量。
高中数学平面向量精选题目(附答案)
高中数学平面向量精选题目（附答案）一、平面向量的概念及线性运算1.在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→. ∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)， ∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→ ＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －16 注：向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D ∵AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)． 又∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.3.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→，则λ＝( )A.56B.45C.34D.23解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 即(mn ＋λ－1)OA ―→＋(2mn －λ)OB ―→＝0.而OA ―→与OB ―→不共线，故有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23.选D.4.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32μ，λ－12μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32μ＝1，λ－12μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33.∴λ＋μ＝ 3. 答案：3二、平面向量的数量积5.(1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D.32(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→， ∴AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→－14 AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C 注：(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．6．已知△ABC 中，AB ―→＝c ，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，若a ·b ＝b ·c 且c ·b ＋c ·c ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．等腰非直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由c ·b ＋c ·c ＝c ·(b ＋c )＝0，即AB ―→·(CA ―→＋AB ―→)＝AB ―→·CB ―→＝0，可得∠B 是直角． 又由a ·b ＝b ·c ，可得b ·(a －c )＝0， 即CA ―→·(BC ―→＋BA ―→)＝0， 所以CA 与CA 边的中线垂直， 所以△ABC 是等腰直角三角形．7．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.8．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.答案：19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB ―→|＝x ，x ＞0，则AB ―→·AD ―→＝12x .又AC ―→·BE ―→＝(AD ―→＋AB ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12 AB ―→ ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：12三、平面向量与三角函数的综合问题10.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3， 即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．11．已知向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝( ) A.π4B.π6C.π3D.5π12解析：选B 因为向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，所以24sin 2α＝6，所以sin 2α＝14，sin α＝±12.又α是锐角，所以sin α＝12，α＝π6.12．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0B ．1C ．2 D. 53．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 C. 5D ．35．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．67．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA ―→·MB ―→的最小值是________．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．参考答案：1.解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，④将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，解得AP ―→＝27a ＋47b .2.解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3.解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4.解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12(舍去)．故选B.5.解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.6.解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3－32＝3，∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7.解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－28.解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－69.解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB―→＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8.答案：－810.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11.解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k.∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12.设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12.解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
平面向量高考试题含详细答案
平面向量高考试题含详细答案TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1] C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C． D．110．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．012．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．18．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．三．选择题（共2小题）23．（2012•上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f （x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1] C．[2，2]D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C． D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f （x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值范围是．。
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)303n n n n ⋅-=-+=⇒=±， 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a aab ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=，4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高
完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高1.题目中给出了两个命题p和q，要求判断哪个是真命题。
p是关于向量a、b、c的等式，q是关于向量a、b、c的平行关系。
因为p和q都是关于向量a、b、c的命题，所以可以将它们合并成一个命题，即“若a·b＝，b·c＝，且a∥b，b∥c，则a·c＝”。
然后通过代入向量的坐标进行计算，可以得出a·c ＝，因此命题p和q都是真命题，答案为B。
2.已知AO＝(AB＋AC)，需要求出∠BAC的大小。
可以通过向量的几何意义进行推导，将向量AB和AC分别平移至点O，得到向量AO＝AB＋AC，这说明向量AO是向量AB和AC的合成向量。
根据三角形余弦定理，有cos∠BAC＝(AB·AC)/(AB*AC)，化简后得到cos∠BAC＝1/2，所以∠BAC ＝60°，答案为60.3.首先计算出向量a和向量b的夹角θ，有cosθ＝a·b/(|a||b|)，代入向量的坐标计算得到cosθ＝9/(√5*√21)，然后可以根据向量的线性运算得到向量c＝(m+4.2m+4)，并且c与a的夹角等于θ，c与b的夹角也等于θ。
根据向量的数量积公式，有cosθ＝c·a/(|c||a|)＝(m+6)/(√[(m+4)²+(2m+4)²]*√5)，代入cosθ的值计算得到m＝-2，因此答案为A。
4.根据中线定理，有EB＝FC＝AB/2，因此EB＋FC＝AB＝11，答案为A。
5.根据平行四边形对角线的性质，有OA＋OC＝OB＋OD＝2OM，因此OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，答案为4OM。
6.根据向量的数量积公式，有a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。
因为a＝1，|b|≤1，所以a·b＝|b|cosθ≤cosθ。
根据平行四边形面积公式，有|a×b|＝|a||b|sinθ/2，因此|a×b|≤|a||b|/2＝1/2.将a＝1，b＝1/2代入可得cosθ≥1/4，因此-3π/4≤θ≤3π/4，答案为[-3π/4.3π/4]。
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平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A． B．C． D．2．（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π7．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A． B． C． D．8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C． D．110．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A． B． C． D．11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B． C． D．012．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B． C． D．14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= ．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．18．19．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是．21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则= ．三．选择题（共2小题）23．（2012•上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A． B．C． D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A． B． C． D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B． C． D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A． B． C． D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B． C． D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B． C． D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18 ．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为 5 ．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是（0，] ．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值范围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则= ﹣2 ．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值范围是．。