三角函数图象的轴对称问题解法浅谈
专题5.3 三角函数的图象与性质 (精讲)(解析版)
专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲要求】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数 ()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【考点梳理】考点一 三角函数的定义域和值域【典例1】（2020·镇原中学高一期末）函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）A ．,4x x x R π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,4x x x R π⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭D ．3,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】函数的解析式即：tan 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 函数有意义，则：()42x k k Z πππ-≠+∈，解得：()34x k k Z ππ≠+∈， 据此可得函数4y tan x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是3,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.本题选择D 选项.【典例2】（2017新课标2）函数f (x )=sin 2x +√3cosx −34（x ∈[0,π2]）的最大值是__________． 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1−cos 2x +√3cosx −34=−cos 2x +√3cosx +14= −(cosx −√32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cosx ∈[0,1]，当cosx =√32时，函数f(x)取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·新疆高三三模（理））f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω＝________.【答案】34【解析】函数f (x )的周期T ＝2πω， 因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34.2.（2019·伊美区第二中学高一月考）函数y =__________．【答案】{}x |2(21),k x k k Z ππ<<+∈ 【解析】 由120log sinx ≥得0<sin x ≤1，由正弦函数图象得22,k x k k Z πππ<<∈＋， 所以函数的定义域为{|22,}x k x k k Z πππ<<∈＋答案：{|22,}x k x k k Z πππ<<∈＋【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________.【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2，因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C <B ．tan tan AC >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】 若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sinsin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误. 在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．考点三 三角函数的周期性【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数f(x)=tanx1+tan 2x 的最小正周期为（ ） A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C 【解析】由已知得f (x )=tanx 1+tan 2x=sinxcosx 1+(sinx cosx)2=sinxcosx =12sin2xf(x)的最小正周期T =2π2=π故选C.【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π.【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)，若f(π4)=1，则函数y =f(π4−x) A. 是奇函数 B. 的图象关于点(π2,0)对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线x =π2对称 【答案】C 【解析】由题意得f(π4)=sin (ωπ4+φ)=1，∴ωπ4+φ=π2+2kπ,k ∈Z ．∴y =f(π4−x)=sin[ω(π4−x)+φ]=sin(ωπ4+φ−ωx)=sin(π2+2kπ−ωx)=sin(π2−ωx)=cosωx ， ∴函数y =f(π4−x)为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数y =(cos2x )•ln |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意得函数f(x)=(cos2x )•ln |x |的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，∵f (−x )=[cos (−2x )]•ln |−x |=(cos2x )•ln |x |=f(x)， ∴函数f(x)为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当x ∈(0,1)时，f (x )<0， 因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 考点五 三角函数的对称性【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】)(2Z k k x ∈+=+ππϕωB y =（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误；对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误；对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④. 【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．考点六 三角函数的图象和性质的应用【典例9】（2020·甘肃高一期末）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论 ①()f x 的图像关于直线3x π=对称②()f x 的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像④()f x 的最小正周期为π，且在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数其中正确的序号为________.（填上所有正确结论的序号） 【答案】③ 【解析】 对于①，因为f （3π）＝sin π＝0，所以3x π=不是对称轴，故①错； 对于②，因为f （4π）＝sin 5162π=，所以点,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，故②错； 对于③，将把f （x ）的图象向左平移12π个单位，得到的函数为 y ＝sin[2（x 12π+）3π+]＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，所以得到一个偶函数的图象；对于④，因为若x ∈[0，6π]，则22333x πππ≤+≤，所以f （x ）在[0，6π]上不单调，故④错；故正确的结论是③ 故答案为③．【典例10】（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =的图像的一条对称轴是直线8x π=．（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（1）34π-；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】 （1）因为8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭. 所以42k ππϕπ+=+，k Z ∈，得4k πϕπ=+，又0πϕ-<<，所以1k =-时，34πϕ=-. （2）由（1）可得3()sin(2)4f x x π=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令t =324x π-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则t ∈3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则sin ,y t =t ∈3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的图象得[1,2y ∈- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】（1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x =【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得wππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩3.（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。
三角函数常见问题十种求解策略
三角函数常见问题十种求解策略导语：三角形中的三角函数问题,是三角函数和解三角形两个知识点的有机结合,也是近年来高考中常见的考点之一。
以下是为大家精心的高中数学，欢迎大家参考！一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90，90）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcot α(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα>0(或2.sinα-cosα>0(或3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。
四、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.五、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.六、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.七、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？八、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
专题四 三角函数 第一讲 三角函数的图像及性质——2024届高考数学二轮复习
当 x 2k , k Z时，y取得最小值-1
得最大值1
当 x 2k , k Z
2
时，y取得最小值-1
解题技巧
1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式， 常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
解题技巧
2．三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用 sinx，cosx 的值域．
6
关于 y 轴对称，则 的最小值为( )
A.1
B.2
C. 2
3
√D.5
f (x) sinx
3
cos x
2 sin
x
π 3
，
g(x)
2
sin
x
π 6
π 3
2
sin
x
π 6
π 3
.
又函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称，则 π π kπ π ， k Z ， 6k 5 ， k Z . 0 ，
)
A. f (x) 的一个周期为 2π
B. f (x) 的图象关于直线 x 8π 对称
3
C. f (x π) 的一个零点为 x π
6
√D.
f
(x)
在
π 2
,
π
上单调递减
f
(x)
的周期为
2kπ
，
k
Z
，故
A
中结论正确；
f
8π 3
cos
8π 3
π 3
cos 3π
1
，
为 f (x) 的最小值，故 B 中结论正确；
f
(x
π)
cos
x
π
π 3
cos
x
对中学数学教学中几种常见“对称”问题[论文]
![对中学数学教学中几种常见“对称”问题[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8f79e8eec3a87c24128c403.png)
对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨摘要：数学是社会科学中最基础的学科，在解答数学题目过程中会涉及很多方面的数学技巧问题，我们要善于总结、归纳。
本文主要总结、归纳高中数学解题中常遇到的有关点的对称，有关直线的对称，曲线关于特殊点、线的对称，三角函数图象中的对称等几种对称问题进行探讨。
关键词：点对称直线对称图象对称“对称”问题不仅是高中数学教学的重点和难点，也是历年来高考的热点。
由于“对称”问题的形式较多，知识点较分散，学生对此都感到头疼。
对此，笔者对高中数学教学中常见的几种“对称”问题进行归类总结，找出每种“对称”问题的特点和内在联系，以期使学生能够轻松地解决对称问题。
一、有关点的对称1.点关于点的对称。
点p（x，y）和p′（x′，y′）关于点m （a，b）对称，可把点m看做是线段pp’的中点，利用中点公式，得到它们坐标之间的关系，即a=■，b=■。
2.点关于直线的对称。
点p（x，y）和p′（x′，y′）关于直线l对称，可以利用直l为线段pp′的垂直平分线的特点，即线段pp′的中点在直线l上，其坐标满足直线l所在方程，并且线段pp′与直线l互相垂直。
3.点关特殊点、线对称。
可以省略中间推导过程，按照一定规律直接得到对称点坐标，如点p（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），关于直线y=x对称点的坐标为（y，x）；关于直线y=-x 对称的坐标为（-y，-x）。
例1.点m（8，9）关于x轴的对称点（8，-9），关于y轴的对称点（-8，9），关于原点的对称点（-8，-9），关于直线y=x的对称点（9，8），关于直线y=-x的对称点（-9，-8）。
例2.若函数y=f（x），在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈[0，+∞）时有f（x）=x2-4x-3，求x∈（0，+∞]上的最大值。
解：由于奇函数关于原点对称，可直接得到x∈（-∞，0]的关系式。
重视直观,学会抽象——以一道三角函数对称性习题拓展学习设计为例
对余弦 函数和正切 函数 ， 讨 论上述 同样 的问题．
分析 ： 该题 的主要意 图， 是引导学生对三角 函数 的对 称性 有一个完整的认识． 教师用书说 明“ 利用三角 函数 的
（ ｋ ≠０ ） 图象 关于 原点 对称 ； 进入 高 中 ， 在 奇偶性 概念 学 习中知道“ 偶 函数 图象关于ｙ 轴对称 ， 奇 函数 图象关 于原
、 ／
图象 与性质 ” 后是 学 习对称性 的最 佳 时机 ： 首先学 生 的 知识技 能 、 研 究方法 的储 备有 了必要 基础 ； 其次 ， 学生思
维、 心智 的发展 水平 ， 使相 对抽象 的对 称性 学 习成为 可
明为什 么没有对称轴 ” ．
（ ２ ） 如何多角度发现 、 描述对称性 ？ 譬如 ， 单位 圆也 可
提供 “ 形” 的支 持 ； 诱 导公式提供 “ 数” 的支持 ； 当然 ， 周 期
性、 奇偶性既可提供思考 的类别参 考 ， 也与对称性本 身存
在内在的联 系．
能． 研 习教 材 ， 不难 发 现专家 们 对此 也给 予 了一定 的思 考， 从 教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第１ １ 题、 第７ ０ 页 复习
设计意 图 ： 借助 图象 ， 观察正弦 曲线对称 中心 的不 唯
一
设计 意图 ： 是学生经 历特殊到 一般 、 具 体到抽 象 、 图
象到符号 的思维过程对 函数 的轴对称给 出形式化定义 ， 即 ｙ － ４￣ ｘ ） 关于直线 ＝ 寸 称 ０ ） ａ ＋ ｘ ） ｃ ： ￣ （ ２ ａ － ｘ ） ） ．
的探讨又可促进对 函数概 念和性 态学习 的深化 ． 对称性
教材必修４ 第４ ６ 页习题 １ ． ４ Ａ 组第 １ ｌ 题：
三角函数图像与性质
题型 2 利用三角函数图象求解析式 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2的部分图象如 图所示，将函数 f(x)的图象向左平移1π2个单位长度后，所得 图象与函数 y＝g(x)的图象重合，则( )
A．g(x)＝2sin2x＋π3 C．g(x)＝2sin2x
B．g(x)＝2sin2x＋π6 D．g(x)＝2sin2x－π3
解析 根据函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2的部分
图象，可得34T＝34·2ωπ＝23π＋1π2，∴ω＝2，利用 f－1π2＝0，
可得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ω·－1π2
＋
φ
＝
2·－1π2
＋
φ
＝
0
，
∴
φ
＝
π 6
，
故
f(x) ＝
2sin2x＋π6，将函数 f(x)的图象向左平移1π2个单位长度后，
所得图象与函数 y＝g(x)的图象重合，故 g(x)＝2sin2x＋π6＋π6
热点题型分析
热点1 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的 基本关系
【方法结论】 1．利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边 位置有关，与终边上点的位置无关． 2．应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号， 利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切化 弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
解法二：因为 C2：y＝sin2x＋23π＝cos2x＋23π－π2＝ cos2x＋π6，把 C1：y＝cosx 图象上各点的横坐标向左平移π6个 单位得到 y＝cosx＋π6，再把 y＝cosx＋π6图象上各点的横坐 标变为原来的12得到 C2.故选 D.
【误区警示】 变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱 导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：一是不改变函 数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的 改变量出错．
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐下面给大家介绍一下三角函数解题技巧，希望能够帮助到大家哦！三角函数解题技巧一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα cosα>0(或<0)óα的终边在直线y x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理：熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx φ)和函数y=Acot(wx φ)的对称性质。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数图像的对称性问题
x=1 对称，故 xi= ×2=m，
故选：B 【2016 全国卷 2 理】 12．（ 5 分 ）已 知 函 数 f（ x）（ x∈R）满 足 f（ ﹣ x）=2﹣ f（ x），若 函 数 y= 与 y=f（ x） 图 象 的 交 点 为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm，
ym）， 则 （ xi+yi） =（
2
2
（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b
－x））关于直线成轴对称，又由 x 的任意性可知：函数 y =f（x）关于直线
成轴对称。反之亦然。
特例： 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)
A．关于直线 x＝0 对称
B．关于直线 x＝1 对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
解：D
【依题意，将 h(x)＝2sin(2x＋π)的图象向右平移π个单位，再向
4
4
上平移 2 个单位后得 y＝2sin[2(x－π)＋π]＋2，即 f(x)＝2sin(2x－π)
44
4
＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象
图象关于
对称
解：由 f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]
令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1
∴φ（x）=－φ（2－x）
∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又 f（x）=φ（x）－1
故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。 典例 5：【可不看】已知函数 f (x) a x 的反函数 f 1(x) 的图象的对称中心
三角函数的对称轴
三角函数图象的对称性质及其应用一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x 为函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。
)cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x 为函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程。
例1、函数)62sin(3π+=x y 图象的一条对称轴方程是（ ）（A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，32π=x ，故选（B ）。
例2、函数)33cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是解：由性质1知， 令1)33cos(±=+πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)33cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程93ππ-=k x )(Z k ∈。
二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ωϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)62sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ）（A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12π=x ，故选（A ）。
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳
一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
三角函数图象的对称问题小结
三角函数图象的对称问题小结
耿玉明
【期刊名称】《数学教学通讯：中学生版高一卷》
【年(卷),期】2004(000)04X
【摘要】在三角函数图象的学习中，其对称性的研究是一个重要内容．由于三角函数特有的周期性，决定了三角函数对称中心及对称轴存在时不唯一，同时也增大了问题的难度．本文拟在归纳三角函数的对称性知识的基础上，通过举例说明三角函数中对称性的应用。
【总页数】3页(P43-45)
【作者】耿玉明
【作者单位】湖北老河口市一中441800
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.三角函数图象的对称问题 [J], 陈根土
2.关于三角函数图象的对称问题 [J], 陈会媛
3.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题 [J], 蔡永强
4.三角函数图象的轴对称问题解法浅谈 [J], 高峰
5.农民信息不对称问题研究之创新力作
——《中国农民信息不对称问题对策研究——基于信息需求侧和供给侧》评介 [J], 王慧军
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三角函数图像的对称轴与对称中心
三角函数图像的对称轴与对称中心Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈． 3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心： 渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k π k Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+=()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________． 解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．。
从三角函数诱导公式五的证明探索角终边的轴对称问题
从三角函数诱导公式四、五的证明探索角终边的轴对称问题——用代数法和几何法（数轴）来证明轴对称角的数量关系宁波东方外国语学校 胡尤案例1.（高中新课程同步练习（高一上）·数学P67）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是 （ C ） A ．sin cos αβ= B.sin cos αβ=- C ．sin sin αβ= D. sin sin αβ=-本题的作业状况分析：在我班（高一（1）班：59人）的作业统计中，这一题目的答题正确率为81.36%，应该说不算低。
但本题却是我班当天课时作业中学生提问最多的一个题目，且在提问学生中，本班数学尖子生占相当大的比例。
本校的其它4个平行班也有类似情况。
分析这一题目，答题思路一般有这样两种： 一、直接应用教科书对任意角三角函数的定义与单位圆的对称性进行判断。
二、 先求出α与β的数量关系（在本题中即为终边关于y 轴对称角的数量关系），再应用诱导公式四进行三角函数的转换。
第二条答题思路涉及的轴对称角的数量关系也是我们证明诱导公式四、五的必经之路。
从这里我们不难看出，通过课堂教学，学生往往只记忆了诱导公式，却忘了诱导公式的推导过程。
造成这一情况的原因是很多的，但逃不了这两点：一、教师在课堂教学中没有把诱导公式的探索与证明过程提到重要的位置，二、教科书的图示也只适合于α为锐角这一特殊情况的讨论。
因此从构建学科文化，培养学生的严谨素质出发，有必要对诱导公式（只要指诱导公式四、五）做进一步的探讨与证明。
1两个问题及其证明新教材数学④1.3从单位圆y 轴、直线y x =的轴对称性出发，推导出了三角函数诱导公式四、五。
在教学引入中，一般须要设立以下2个提问：（1）终边与角α的终边关于y 轴对称的角与α有什么关系，它们的三角函数有什么关系？（2）终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α有什么关系，它们的三角函数有什么关系？对这两个问题的前半问，大多数学生只能对当α为锐角这一特殊情况进行理性分析，进而获得到当α为一般情境下的感性认知。
三角函数的对称问题专项练习附解析
三角函数的对称性专项练习奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈， 对称轴是()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点。
正切函数 )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.一 选择题1 (2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B. x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) ＝k π2－π12(k ∈Z )＝k π2＋π12(k ∈Z )2 ．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 3 .(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是4. (2015·四川省统考)点P ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则A. f (x )的最小正周期是πB. m 的值为1C. f (x )的初相φ为π3D. f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增6 . (2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且v1.0 可编辑可修改其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象A. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B. 关于直线x ＝5π12对称C. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称D. 关于直线x ＝π12对称7． 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么Φ的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π8 ．已知函数()sin(2)3cos(2)(0)f x x x ψψψπ=+++<<是R 上的偶函数，则ψ的值为Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π9 .【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+二 填空题（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（3）已知3f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。
函数图像的对称性问题
函数图像的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面，现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
1.函数自身的对称性探究（1）奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于y 轴对称.45.8.4.2.ππππ==-=-=x D x C x B x A 解：函数252sin(π+=x y 的图像的所有对称轴的方程是2252πππ+=+k x ，所以ππ-=2k x ，显然取1=k 时的对称轴方程是2π-=x ，故选（A ）。
()(b )()()f a x f x f a b x f x ⇔-=+⇔+-=证明：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，f（a ＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系：22b a x b x a +=-++，f（a＋x）=f （b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b －x））关于直线成轴对称，又由x 的任意性可知：函数y =f（x）关于直线成轴对称。
反之亦然。
特例：函数)(x f y =的图象关于直线a x =对称)()2()()(x f x a f x a f x a f =-⇔-=+⇔函数)(x f y =的图像关于y 轴对称⇔)()(x f x f -=【偶函数是4的特例】典例2：二次函数f （x ）满足f （2＋x ）=f （2－x ），又f （2）=1，f （0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（）（A ）0＜m ≤2（B ）m ≥2（C ）m ＞0（D ）2≤m ≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f （x ）关于直线x =2对称，又f （2）=1，f （0）=3，∴f （x ）在[0，2]上是减函数，∴f （x ）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f （2+2）=f （2－2）即f （4）=f （0）∵f （x ）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴2≤m ≤4选（D ）典例3：函数f （x ）对一切实数x 都满足)43()41(x f x f -=+，并且f （x ）=0有3个实根，求这3个实根之和。