2.2.1 椭圆及其方程

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2.2.1椭圆及其标准方程

的，要多琢磨！多培养 ②到两定点F1，F2的距离的和等于定长自己的严谨意识！
③定长大于|F1F2|
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小结(2) 若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数）椭圆；当2a>|F F |时，点M的轨迹是________
1 2
线段F1F 2 当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________ ；不存在当2a<|F F |时，点M的轨迹是________.
尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
椭圆画法演示
改变两个定点的距离，再作图，多画几个
转变观念
改革课堂
服务学生
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尝试探究、形成概念
圆的定义
圆
O
类比 P 椭圆
椭圆的定义
M F1 F2
圆的定义：平面内与一个定点的距离等于常数(大于0) 的点的轨迹叫作圆. 这个定点叫做圆的圆心, 定长叫做圆的半径.
P
y
M (x,y)
b
O
a c
F2 (c,0)
x
那么①式就是
(a>b>0)
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总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
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2、椭圆的标准方程
(1)焦点在x 轴上
这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴是坐标轴
焦点坐标
y
M
a b c
椭圆的定义：平面内与两个定点 F , F 的距离和等于常数( 大于 F F )的点的轨迹叫作椭圆。
1 2
1
2
两个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？

2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2 椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．[注意]椭圆的定义要特别注意：(1)若2a＞2c，则点P的轨迹是椭圆(点P是动点)；(2)若2a＝2c，则点P的轨迹是线段F1F2；(3)若2a＜2c，则点P的轨迹不表示任何图形．[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为x225＋y29＝1.问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：y225＋x29＝1.[导入新知][注意]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．＞b＞0)焦点在x轴上，椭圆x2b2轴上，分母下谁大焦点就在谁的坐标轴上，这叫“大小定焦点”．[例1]当3＜k＜9时，指出方程x9－k＋yk－3＝1表示的曲线．[解]∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y 轴上．[活学活用]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，解得m＝8.答案：8[例2](1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. [类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．解：(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎨⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[例3] 已知P 为椭圆x 12＋y 3＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4.∴S 12V F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. [类题通法](1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．[活学活用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．解：∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，则△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a .2.定义法求解轨迹方程定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．1．求三角形顶点的轨迹方程[例] 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．[解] 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，且y ≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． [类题通法]利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．[活学活用]1．若本题中“且△ABC 周长等于18”变为“且△ABC 周长等于24”，试求此时顶点A 的轨迹方程．解：由题可知，此时2a ＝24－8＝16，则a ＝8，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝48，64482．求动圆圆心的轨迹方程[例] 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8＞|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1. [类题通法]巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA |＋|MB |＝8，而且8＞|AB |＝6，从而判断动点M 的轨迹是椭圆．[活学活用]2．已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64相内切，并且外切于定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，圆心M (x ，y )，两定圆圆心C 1(0,3)，C 2(0，－3)，半径r 1＝8，r 2＝2.则|MC 1|＝8－r ，|MC 2|＝r ＋2.故|MC 1|＋|MC 2|＝(8－r )＋(r ＋2)＝10.又|C 1C 2|＝6，则动圆圆心M 的轨迹是椭圆，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点为C 1(0,3)，C 2(0，－3)，2a ＝10，即a ＝5，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.2516。

课件9：2.2.1 椭圆及其标准方程

❖ 2．焦点三角形的周长等于2a＋2c.
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1，F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
A．2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2设|F1F2|＝2c，常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
❖ 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．
❖ 3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？
P 到右焦点的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[答案] D
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，由椭圆的定
义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－4＝6.
5．椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为________． [答案] 5 或 3 [解析] 若焦点在 x 轴上，则 m－4＝1，∴m＝5；若焦点在 y 轴上，则 4－m＝1，∴m＝3.
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距为 8 的椭圆．
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线段 F1F2.
2．椭圆1x424＋1y629＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
❖ [答案] B

高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程

工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
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第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
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第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知 P3，± 23，即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3，即|PF1|＝7 23，所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析：由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程．解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1，即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.

2.2.1椭圆及其标准方程

第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.2 第1课时
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注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1，解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.

高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程

第35页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
第36页
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第27页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型三求经过两点的椭圆的标准方程例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方程．
第28页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型四用定义求椭圆的标准方程例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程．分析注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑利用椭圆的定义来求其方程．
第37页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
第33页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴和y轴两种情况分别求解．
第29页
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第二章 §2.2 2.2.1

用2.2.1椭圆及其标准方程

2 y 故所求椭圆的标准方程为 x 2 1. 4
类型二求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0). ②焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0). ③经过点 A( 3， 2) 和点 B 2 3,1 .
x 2 y2 1，可知焦点在y轴上, 16 25
,焦距为_______.
则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,
则c=3,所以焦点为(0,〒3),焦距为2c=6.
答案:(0,〒3) 6
类型一
椭圆的焦点位置及坐标
例
求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： x2 y2 (1) ＋＝1； (2)8x2＋3y2＝24. 36 24
[解析] (1)已知方程就是椭圆的标准方程，由 36>24 可知，这个椭圆的焦点在 x 轴上，且 a2＝36，b2＝24.得 c2＝a2－b2＝36－24＝12， c＝2 3. 因此，椭圆的焦点坐标为(－2 3，0)，(2 3，0)． x2 y2 (2)把已知椭圆的方程化为标准方程＋＝1. 3 8 由 8>3 可知这个椭圆的焦点在 y 轴上， ∵a2＝8，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝ 5. 因此，椭圆的焦点坐标为(0，－ 5)，(0， 5)．

2 2 3 2 2 1, 2 2 a 5, b 依题意有 a 解得 2 2 b 15. 1 2 3 2 1, 2 b a

a
b

因为a＞b＞0，所以无解.
2 2 x y 综上，所求椭圆的标准方程为 1. 15 5
③应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.

§2.2.1 椭圆及其标准方程

§2.2.1 椭圆及其标准方程一、教学目标1.知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2.能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．二、重点、难点1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……认识椭圆（幻灯片）在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．，，(三)例题与练习例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为∵ 2a ＝10，2c ＝8，∴ a ＝5，c ＝4．∴ b2=a2－c2=52－42=9．所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，又c=2，∴ b2=a2－c2＝10－4=6．所以所求椭圆的标准方程为练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)．【解】 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )．∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ M ＝1N ＝14. ∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. (四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：F1(-c ，0)，F2(c ，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．3.讨论了求椭圆标准方程的方法：注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。

原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程

2
2.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离和为 8 ，焦距为 2 15 ，则此椭圆的标准方程为

＋x2＝1

________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？

【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin

2.2.1 椭圆及其标准方程

2 2
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要点三与椭圆有关的轨迹问题
例3 解
2.2.1 椭圆及其标准方程
已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为
18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程． y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示．
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2.2.1 椭圆及其标准方程
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10，2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程为＋＝1. 25 16
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2.2.1 椭圆及其标准方程
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝ 6，则动点M的轨迹是 ( )
A．椭圆
答案解析 D
B．直线
C．圆
D．线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
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预习导学高中数学 · 选修2-1· 人教A版
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
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2.2.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)

• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
F1
F2
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8
问：能否由此得到：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
说明：在平面上到两个定点F1， F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹为：
当2a＞∣F1F2∣=2c ，轨迹为：椭圆当2a＝ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：线段当2a＜ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：不存在
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6
反思：
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
M
F1
F2
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7
1.椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
13
4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
答案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
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2.2.1椭圆及其标准方程

O F1 M
等于___2__;
若曲线上一点M到焦点F1的距离为3，则点M到另一个焦点F2的距离等于_2___5___3__，则∆F1MF2的周长为___2__5___2___ |MF1|+|MF2|=2a
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1, F2的距离之
和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
两边除以 a 2 (a 2 c 2 )得
x2 a2
Hale Waihona Puke y2 a2 c21.
问题3：观察椭圆，你能从图中
的线段吗？
-10
-5
找出 a , c , a 2 c 2 代表
y
6
4M
M
a b 2
b2 a2 c2
a b 0
M
c F1
OB
F2
5
x
-2
-4
-6
椭圆的标准方程
令 a2 c2 b2 , 其中 b 0
代入上式，得
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
y
M
F1 O
F2 x
该方程叫做椭圆的标准方程。
焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)
这里， c2 a 2 b2
问题4：如果焦点在y轴上，椭圆的标准方程会是什么？
y
F2 x
O F1 M
当焦点在y轴上时，
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因| MF1 | | MF2 | 3 | F1F2 | 2 2，故点M的轨迹为椭圆。
问题二：椭圆方程的推导

2.2.1椭圆及其标准方程

一切是从一个故事开始的： 1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？” 扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。
探究：你能从中找出表示的
a, c, a c
2
2
线段吗？
(x,y) 如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
| PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO | a 2 c 2
令b | PO | a 2 c 2
x2 y2 于是得到方程： 2 2 1(a b 0) a b 美，真美！
公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-

2.2.1椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆及其标准方程一、自主学习与合作探究（一）椭圆的定义1、[动动手]：结合教材38页“探究”，动手画一画。

2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。

②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？3、[讨论]：①平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？②平面上一动点到两个定点的距离之和小于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？4、[概括归纳] 椭圆的定义：（二）椭圆的标准方程1、[问题] ① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？②观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。

【注意】问题1：怎样化简方程22)(y c x +++a y c x 2)(22=+-分组讨论：对a ²－c ² 该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。

问题２：如果焦点F 1，F 2在y 轴上，坐标分别为（０，－c ）（０，c ），a ，b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在x 轴上的椭圆方程有什么区别？3、[归纳总结] 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上：（2）焦点在y 轴上：(三)、基础反馈---------判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.(1) . 焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为 .（2） . 焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为 .(3) . 焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为 .22134x y +=22341x y +=22416x y +=二、典例解析例1 已知椭圆两焦点的坐标分别是()()0,2,0,2-，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，求它的标准方程.变式1、已知椭圆的两个焦点分别是1F (0,4)-、2F (0,4),且经过点P 点，求椭圆的标准方程.变式2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)4,1,a b ==焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上；(3) 10,a b c +==.三．小结：（1）知识小结：（2）数学思想方法：四、达标练习1．到两定点F 1（-2，0）和Ｆ2（2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．线段Ｃ．圆Ｄ．以上都不对2．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6, 那么点P 到另一个焦点F 2的距离是（）Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．15 Ｄ．163．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱PA ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4．椭圆1163222=+y x 的焦距等于（） A.123 Ｂ．8 C.6 D.45. 椭圆两焦点的坐标分别是（0，8）（0,－8）且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆的方程是（）A.11003622=+y x Ｂ．133640022=+y x Ｃ．13610022=+y x Ｄ．140033622=+y x6. 若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .1162522=++-my m x。

2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程1.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( D )(A)+=1 (B)+=1(C)x2+=1 (D)+=1解析:由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.2.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点,则△PF1F2的周长是( B )(A)16 (B)18 (C)20 (D)不确定解析:由方程+=1知a=5,b=3,所以c=4,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8,所以△PF1F2的周长为18.故选B.3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(,-4)和Q(-,3),则此椭圆的方程是( A )(A)+x2=1 (B)+y2=1(C)+y2=1或x2+=1 (D)以上都不对解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以椭圆方程为x2+=1.故选A.5.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=30,则|AB|等于( C )(A)16 (B)18 (C)22 (D)20解析:由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52,又|F2A|+|F2B|=30,所以|AB|+30=52,所以|AB|=22.故选C.6.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( A )(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)无法确定解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故选A.7.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( D )(A)(π,π) (B)(,π)(C)(,π) (D)(,π)解析:椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,得+=1,因为它的焦点在y轴上,所以所以0<-cos α<sin α,因为0≤α<2π,所以<α<.故选D.8.已知P是椭圆+=1(0<n<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若|+|=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( C )(A)6 (B)4 (C)2 (D)解析:设椭圆右焦点是F2,PF1的中点为N,则+=2,所以|+|=2||=8,所以||=4,又O为F1F2中点,所以ON为△PF1F2的中位线,所以|PF2|=2||=8,由方程可知a=5,所以|PF1|=2a-|PF2|=2×5-8=2.故选C.9.椭圆+=1上一点P到椭圆左焦点的距离为7,则点P到右焦点的距离为.解析:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,所以7+|PF2|=20,解得|PF2|=20-7=13.答案:1310.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为.解析:如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,所以×8b=12,所以b=3. 又因为c=4,所以a2=b2+c2=25.所以椭圆的标准方程为+=1.答案:+=111.已知椭圆+=1的上、下两个焦点分别为F1,F2,点P为该椭圆上一点,若|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,则m= .解析:由已知|PF1|+|PF2|=2a=6.又因为|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,所以|PF1|+|PF2|=-2m,所以m=-3.经检验,m=-3满足题意.答案:-312.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为.解析:易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.答案:13.求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1 (a>b>0).将点(5,0)代入上式解得a=5,又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以⇒故椭圆的标准方程为+x2=1.14.如图,已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求△PF1F2的面积.解:(1)因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以△PF1F2是直角三角形,所以|OP|=|F1F2|=c.又|OP|==5,所以c=5.所以椭圆方程为+=1.又P(3,4)在椭圆上,所以+=1,所以a2=45或a2=5.又a>c,所以a2=5舍去.故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,②由①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=×40=20.15.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①且F1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.②由①②得|PF1||PF2|=.所以=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得·<0,所以(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是(-,).16.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( D )(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),因为AQ的垂直平分线交CQ于M,所以|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,所以|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,所以b=,故椭圆方程为+=1,即+=1.故选D.17.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|等于( B )(A)4 (B)8 (C)12 (D)16解析:设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.18.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:719.若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,给出如下五个结论:①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2<b1-b2;⑤椭圆C1比椭圆C2更“圆”.其中正确的序号为.解析:-==<0,所以<由焦点相同知,-=-,即-=由③得=由④知,纵向相差比横向大答案:①③④⑤20.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2.则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2 =25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1.。

§2.2.1 椭圆及其标准方程

b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结一种方法：求椭圆标准方程的方法二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程不同点图形
焦点坐标定义共同 a、b、c 点的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。所以可设椭圆的标准方程为： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b

2.2.1椭圆及其标准方程

x2 y 2 2 1 (a b 0 ) 2 （2）设椭圆的标准方程. a b （3）用待定系数法确定a、b的值. x2 y 2 2 1 2 a b
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2 2
2
c
F2
x
b2= a2 - c2 b a2 c2
a,b,c三者的关系
（1）b2= a2 c2
y M
（2）c2= a2 - b2 （3）a2= b2 + c2
F1
b
O
a
c F2
x
（a>b>0,a>c>0)
x y 例1.已知椭圆方程为 1 ,则 25 16
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____, (-3,0),(3,0) (2)焦点在 x 轴上,焦点为__________, 焦距为____ 6
O
M
x
F1
椭圆的方程
x y 1.焦点在x轴: 2 2 1 (a b 0) a b
y x 2.焦点在y轴: 2 2 1 (a b 0) a b
焦点位置的判断: 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
2 2
2
2
x y 例2.已知椭圆方程为 1 ,则 16 25
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____,
2
2
(2)焦点在 y 轴上,焦点为__________, (0,-3),(0,3) y
焦距为____ 6
F2
O
M
x
F1
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y M