河北省衡水中学2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(扫描版)
【全国百强校首发】河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学(理)试题
河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2-9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)19. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)若6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 62 16. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()0255210209C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，（8分） 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. （10分） （3）当0b =时，2s 达到最小值. (12分)19.解：（1）∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知23DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； （8分） （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3tp t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.(1分)设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分） (2)根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k k S EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+k k k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)21.解：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分） (2)由(1)得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln 30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，则()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分）22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴ABQACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) （2）由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.（10分）。
(优辅资源)河北省衡水中学高三下学期二调数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+26．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．（2，0） D．（9，0）7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．180 B．C．45 D．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．511．数列{a n}满足a1=，a n﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则+1S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}，由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），则A∩B=（﹣1，2）．故选：D．2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴=，∴的共轭复数为1﹣3i．故选：A．3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故选B．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】解：∵S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+2a n﹣（1+2a n ），化为：a n=2a n﹣1，﹣1∴数列{a n}是等比数列，公比与首项都为2．∴S20==221﹣2．故选：B．6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．（2，0） D．（9，0）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m），因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=4，②，②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x ﹣my+4=0，即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，由得x=，y=，所以直线AB恒过定点（，），故选A．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，故组合体的体积V=Sh+Sh=4，故选：A8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得f（x1）＞g（x2）max=2，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，min即可求得a的取值范围．【解答】解：∵函数，====2sin（x+）≤2，即g（x）max=2，因为不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，所以f（x1）min＞g（x2）max，即对任意，＞2恒成立，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，1°由ax2+2x﹣1＜得：ax2＜﹣2x，即a＜﹣=（﹣）2﹣，令h（x）=（﹣）2﹣，因为≤≤，所以，当=时，[h（x）]min=﹣，故a＜﹣；2°由0＜ax2+2x﹣1得：a＞﹣，令t（x）=﹣=（﹣1）2﹣1，因为≤≤，所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣；当x=，即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣，显然，﹣＞﹣，即[t（x）]max=﹣，故a＞﹣；综合1°2°知，﹣＜a＜﹣，故选：D．9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（）A．180 B．C．45 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，然后把m i=转化为求得答案．【解答】解：由图可知，∠B2AC3=30°，又∠AC3B3=60°，∴，即．则，∴m1+m2+…+m10=18×10=180．故选：A．10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y 的最大值为（）A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5【考点】抽象函数及其应用．【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化为f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），由函数f（x）是定义在R上的单调函数，可得x2+y2+2x+8y+5=0，化为（x+1）2+（y+4）2=12，可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），则x+y=2（cosα+sinα）﹣5=2cos（α﹣）﹣5，当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，故选：A．11．数列{a n}满足a1=，a n﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则+1S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，2}【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n+1﹣a n=＞0，可得：数列{a n}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1，=＜1．另一方面：=﹣，可得S n=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，因此数列{a n}单调递增．可得：a n+1则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．=＞1，=＜1，另一方面：=﹣，∴S n=++…+=++…+=﹣=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；当n≥4时，S n=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．综上可得：S n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．故选：A．12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB 可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k （x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，与抛物线联立，解得或，故AB=4p，=×2p×4p=4p2．∴S△OAB∵△AOB的面积为16，∴p=2；焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，则==．令m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当t=3时，等号成立）．故的最大值为，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多10人．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故答案为：10．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．【考点】定积分；函数零点的判定定理．【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），∴m=﹣1，n=1，∴===．故答案为．15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，∴△ABC外接圆的直径为2r==，设球O的半径为R，∴R==∴球O的表面积为，故答案为．16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2} ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xe x+e x﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xe x+e x﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．【解答】[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，而y=f（x）在x∈[﹣4，4]上恰有5个零点，故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，x∈（﹣4，0）时f（x）=log2（xe x+e x﹣m+1），故xe x+e x﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，令g（x）=xe x+e x﹣m，g′（x）=e x+xe x+e x=e x（x+2），故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；而g（﹣4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，而g（﹣4）＜g（0），故﹣2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，故﹣3e﹣4≤m＜1或m=﹣e﹣2故答案为：[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．【解答】解：向量，，函数+b．则==．（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，∴（k∈Z），解得：ω=3k+1（k∈Z），∵ω∈[0，3]，∴ω=1，∴，由，解得：（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（2）由（1）知，∵，∴，∴，即时，函数f（x）单调递增；，即时，函数f（x）单调递减．又，∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．即sin≤﹣b﹣＜sin或，所以满足条件的．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E （1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，），=（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得：，得：m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列为（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．因为，所以当时，E（ξ2）取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%．20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f'（1）=1列式求得a值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到，构造函数，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．令，然后分别取i=1，2，…，n，利用累加法即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题设f'（1）=1，∴，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：，∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即，设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．，g'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m∈（0，1），当，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾；③若m≥1，当x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；综上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣不妨令，∴，即，，，…，．累加可得：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．（Ⅱ）C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1 A2和B1B2的极坐标方程．【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4 坐标系统与参数方程】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（φ为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），∴曲线C2的直角坐标方程为=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），∵这两点间的距离为2，∴a=3…当时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），∵这两点重合，∴b=1…（Ⅱ） C 1，C 2的普通方程分别为x 2+y 2=1和…当时，解方程组，得A 1（，），即射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为，解方程组，得B 1（，），与C 2的交点B 1的横坐标为当时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称因此，直线A 1 A 2、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为，…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0．（Ⅰ）证明f （x ）+f （﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f （x ）+f （2x ））min 即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a |+|﹣﹣a |=|x ﹣a |+|+a |≥|（x ﹣a ）+（+a ）|=|x +|=|x |+≥2=2．（Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a |+|2x ﹣a |，a ＜0． 当x ≤a 时，f （x ）=a ﹣x +a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a +a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x时，f （x ）=x ﹣a +2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞），不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0， 则a 的取值范围是（﹣1，0）．精品文档2017年4月27日试卷。
河北省衡水中学2016届高三下学期二模考试文数试题
文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设集合22{|230},{|log 0}M x x x N x x =--<=<,则M N I 等于（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,3 2.若复数z 的实部为1,且2z =,则复数z 的虚部是（ ） A ．3- B ．3± C ．3i ± D ．3i3.若命题:,cos()cos p a R παα∈-=,命题2:,10q x R x ∀∈+>,则下面结论正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q ⌝是真命题 C ．p q ∧是假命题 D ．p q ∨是真命题4.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则(())f f e =（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．0B ．1C ．2D ．ln(1)xe +5.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.在等差数列{}n a 中,12012a =-,其前n 项和为n S ,若2012122002201210S S -=,则2016S 的值等于（ ） A ．2011 B ．-2012 C ．2014 D ．-20137.如图是某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100,则图中x 的值等于（ ）A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018 8.函数sin y x x =在区间[,]ππ-上的图象是（ ）9.若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A,过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点,则()OB OC OA +⋅=u u u r u u u r u u u r（ ）（其中O 为坐标原点）A ．-32B ．32C ．-72D ．7210.双曲线1C 的中心在原点,焦点在x 轴上,若1C 的一个焦点与抛物线22:12C y x =的焦点重合,且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43,则双曲线1C 的实轴长为（ ） A ．6 B ．26 C ．3D ．2311.已知点P 是椭圆221168x y +=上顶点的动点,12,F F 分别为椭圆的左右焦点,O 是坐标原点,若M 是12F PF ∠的平分线上一点,且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r,则OM u u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)0,3B ．()0,22 C ．[22,3) D ．(0,4]12.已知函数()2,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,若函数()f x 的图象在A 、B 两点处的切线重合,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．()1,2C ．(1,)-+∞D ．(ln 2,)-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13.若直线10ax by -+=平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长,则ab 的取值范围是_____.14.若某程序框图如下图所示,则该程序运行后输出的i 值为______.15.已知变量,x y 满足约束条件240240x y y x y k -+≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩,且目标函数3z x y =+的最小值为-1,则实常数k =_____.16.在一个棱长为4的正方体内,最多能放入个直径为1的球.三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项为1,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）是否存在正整数n 和k ,使得1,,n n n K S S S ++成等比数列？若存在,求出n 和k 的值；若不存在,请说明理由.18.（本小题满分12分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议,2014年3月在北京开幕,期间为了了解企员工的工资收入状况,从108名相关人员中用分层抽样的方法抽取了若干人组成调研小组,有关数据见下表：（单位：人）（1）求,x y ；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人,求这二人都来自中层的概率.19.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,//,90,AD BC ADC BA BC ∠==o,把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置,使得点P 在平面ACD 上正投影O 恰好落在线段AC 上,如图2所示,点E 、F 分别为棱PC 、CD 的中点. （1）求证：平面//OEF 平面APD ；（2）若3,4,5AD CD AB ===,求四棱锥E EFO -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 上,离心率等于12,它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,3),(2,3)P Q 在椭圆上,点,A B 是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ BPQ ∠=∠,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln x xf x x-=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k ,证明不等式222()ln()2e k e k e k ++>+恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,PO 角圆O 于B 、C 两点,20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.（1）求证：AB PC PA AC ⋅=g ； （2）求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数）,点A 、B 是曲线C 上两点,点A 、B 的极坐标分别为125(,),(,)36ππρρ （1）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）求AB 的值.24.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈ （1）当3a =时,解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时,不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案及解析一、选择题1.C2.B3.D4.C5.D6.C7.D8.A9.D 10.D 11.B 12.C 二、填空题13.]81,(-∞ 14.8 15.9 16.66 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d, 在24121n n a n a n -=-中,令n=1,可得312=a a,所以32=a ,所以d=2.所以)()1(2k n n n +=+,经整理得n(k-2)=1.所以n=1,k=3. 即存在正整数n=1和k=3符合题意. 18.解：（1）由题意可得1822763==y x ,所以x=7,y=3. （2）记从中层抽取的3人为321,,b b b ,从高管抽取的2人为21,c c , 则从中层,高层抽取的人员中选2人的基本事件有：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21231322123221113121c c c b c b c b c b b b c b c b b b b b 共10种.设选中的2人都来自中层的事件为A,则A 包含的基本事件有：),,(),,(),,(323121b b b b b b 共3种. 因此3.0103)(==A P . 故选中的2人都来自中层的概率为0.3.19.解：（1）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 所以PO ⊥平面ADC,所以PO ⊥AC.因为PA=PC,又E 为PC 的中点,所以O 是AC 的中点. 所以OE ∥PA,又因为PA ⊂平面PAD,所以OE ∥平面PAD. 同理,OF ∥平面PAD.又OE I OF=O,OE 、OF ⊂平面OEF, 所以平面OEF ∥平面PDA.（2）因为∠ADC=90°,AD=3,CD=4,所以64321=⨯⨯=∆ACD S ,而点O,F 分别是AC,CD 的中点, 所以2341==∆∆ACD CFO S S .由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形,所以高325=OP ,即点P 到平面ACD 的距离为325,所以点E 到平面CFO 的距离为345.故3853452331=⨯⨯=-CFO E V .20.解：（1）设椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,抛物线y x 382=的焦点为)32,0(,∴32=b ,由222,21c b a a c e =-==,解得12,1622==b a . ∴椭圆C 的标准方程为1121622=+y x . （2）当∠APQ=∠BPQ 时,直线PA,PB 斜率之和为0.设PA 斜率为k,则PB 斜率为-k,则PA 的直线方程为y-3=k(x+2). 与椭圆方程联立,得048)23(4)23(8)43(222=--+-++k x k k x k , ∴243)32(82k kk x A +-=+,同理,PB 的直线方程为y-3=-k(x-2),可得243)32(82kk k x B ++=+. ∴2224348,431216k kx x k k x x B A B A +-=-+-=+, 214)(3)2(3)2(=--+=-++++-=--=B A B A B A B A B A B A AB x x k x x k x x x k x k x x y y k .所以直线AB 的斜率为定值21. 21.解：（1）由题意得,函数()f x 的定义域为),0(+∞,()21ln -'=x f x x ,令21ln 0-=xx,得x=e. 当e x ≤<0时,()21ln 0-'=≥xf x x ；当x>e 时,()21ln 0-'=<xf x x, 所以函数()f x 在区间(0,e]上单调递增,在区间),(+∞e 内单调递减. 所以eee f x f -==1)()(极大值,无极小值. （2）欲证原不等式成立,只需证对任意的x>e,xlnx>2x-e,即证xlnx-2x+e>0.令g(x)=xlnx-2x+e,则1ln 21ln )(-=-+='x x x g , 令0)(='x g ,得x=e,当x>e 时,0)(>'x g ,当0<x<e 时,0)(<'x g , 故g(x)在x=e 处取得最小值,g(e)=elne-2e+e=0, 所以e x x x -≥2ln （当且仅当x=e 时取等号）.因为e k e >+2,所以对于任意的非零实数k,不等式2222)ln()(k e k e k e +>++恒成立.22.解：（1）∵PA 为圆O 的切线,∴∠PAB=∠ACP, 又∠P 为公共角,∴△PAB~△PCA,∴PCPAAC AB =, ∴AB PC PA AC ⋅=g .（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线, ∴PC PB PA ⋅=2,∴PC=40,BC=30.又∵∠CAB=90°,∴900222==+BC AB AC , 又由（1）知,21==PC PA AC AB , ∴56,512==AB AC .连接EC.则∠CAE=∠EAB,又∠ABC=∠CEA, ∴△ACE~△ADB,∴ACADAE AB =,∴36051256=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD .23.解：（1）由参数方程2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数）,得普通方程为4)2(22=-+y x ,由普通方程4)2(22=-+y x ,得θθρ(sin 4=为参数). （2）由两点极坐标),65,(),3,(21πρπρB A 可知∠AOB=2π,所以AB 为直径,故4=AB . 24.解：（1）由题得,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤->-=.23,1,223,35,2,1)(x x x x x x x f当x>2时,1-x>0,即x<1,解得∅∈x ；当223≤≤x 时,5-3x>0,即35<x ,解得3523<≤x ； 当23<x 时,x-1>0,即x>1,解得231<<x ,故不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<351x x .（2）当(,2)x ∈-∞时,()0f x <,即222022-<⇒-<-⇒<---a x a x x a x x 或32+>a x 恒成立,解得4≥a ,故a 的取值范围为),4[+∞.。
2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷
2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集 U =R ，集合 A = x x 2−1<0 ，B = x x x −2 ≥0 ，则 A ∩ ∁U B = A. x 0<x <2B. x 0<x <1C. x 0≤x <2D. x −1<x <02. 已知复数 z 满足 1+z i=1−z ，则 z 的虚部为 A. iB. −1C. 1D. −i 3. 已知等比数列 a n 中，a 5=10，则 lg a 2a 8 等于 A. 1B. 2C. 10D. 1004. 已知向量 a = 1,n ，b = −1,n ，若 2a −b与 b 垂直，则 n 2 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 45. “m >2”是“函数 f x =m +log 2x x ≥12 不存在零点”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在 x x3 12 的展开式中，x 项的系数为 A. C 126B. C 125C. C 127D. C 1287. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =32，BC =2，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A −BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 A −BCD 侧视图的面积为 A. 925B. 125C. 3625D. 18258. 若当 x ∈R 时，函数 f x =a x 始终满足 0< f x ≤1，则函数 y =log a 1x的图形大致为A. B.C. D.9. 执行如图所示的程序框图，输出z的值为 A. −1008×2015B. 1008×2015C. −1008×2017D. 1008×201710. 已知函数f x=sin2x+φ，其中φ为实数，若f x≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2>fπ，则f x的单调递增区间是 A. kπ−π3,kπ+π6k∈Z B. kπ,kπ+π2k∈ZC. kπ+π6,kπ+2π3k∈Z D. kπ−π2,kπ k∈Z11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为377，则双曲线的离心率为 A. 3B. 5C. 2D. 412. 已知f x是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f x=x2，当x>1时，f x+1=f x+f1，若直线y=kx与函数y=f x的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为 A. 22−2,26−4B. 3+2,3+6C. 22+2,26+4D. 4,8二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为001，002，⋯，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，⋯，则样本中最大的编号应该为．14. 设变量x，y满足约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6,则目标函数z=2x+y的最大值为．15. 已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为．16. 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk m,k=1,2,3,⋯,n,n≥3，公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=53，b=5，求sin B sin C的值．18. 某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4，其中第二小组的频数为11．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的数学期望与方差．19. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求平面AC1D1与平面C1D1C所成锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，且过点2,．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC ，BD 过原点 O ，若 k AC ⋅k BD =−b 2a ． （i ）求 OA ⋅OB 的最值；（ii ）求证：四边形 ABCD 的面积为定值．21. 已知函数 f x =ln x +1x ，且 f x 在 x =12处的切线方程为 y =g x ．（1）求 y =g x 的解析式；（2）证明：当 x >0 时，恒有 f x ≥g x ； （3）证明：若 a i >0，且 a i n i =1=1，则 a 1+1a 1a 2+1a 2⋯ a n +1a n≥n 2+1nn1≤i ≤n ,i ,n ∈N ∗ ．22. 如图，圆 O 的直径 AB =8，圆周上过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 E ，过点 B 作 AC 的平行线交 EC 的延长线于点 P ．（1）求证：BC 2=AC ⋅BP ； （2）若 EC =2 5，求 PB 的长．23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x =2+t ,y =t +1（t 为参数），在以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 P 的方程为 ρ2−4ρcos θ+3=0． （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A ，B ，求 AB ．24. 已知函数 f x = 2x −1 + 2x −3 ，x ∈R ．（1）解不等式 f x ≤5；（2）若不等式 m 2−m <f x ，∀x ∈R 都成立，求实数 m 的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】A=x−1<x<1，B= x x≥2或x≤0，∁U B=x0<x<2，所以A∩∁U B=x0<x<1．2. C 【解析】由已知得1+z=1−z i=i−i z，则z=−1+i1+i =−1+i1−i2=i，虚部为1．3. B 【解析】由等比数列的性质可知lg a2a8=lg a52=lg100=2．4. C 【解析】由a=1,n，b=−1,n，得2a−b=3,n，若2a−b与b垂直，则2a−b⋅b=0，则有−3+n2=0，解得n2=3．5. A【解析】函数f x的值域是m−1,+∞，当m>2时，f x>1，不存在零点．若函数f x不存在零点，则m>1，所以“m>2”是“函数f x=m+log2x x≥12不存在零点”的充分不必要条件．6. A 【解析】第r+1项T r+1=C12r x12−r x−r3=C12r x6−56r，故当r=6时，x项的系数为C126．7. D 【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧32×222+22=65的等腰直角三角形，其面积为12×652=1825．8. B 【解析】因为当x∈R时，函数f x=a x 始终满足0<f x≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y=log a1x=−log a x，显然此时函数单调递增．9. A 【解析】第一次运行时，S=12，a=2；第二次运行时，S=12，a=3；第三次运行时，S=121+2+3，a=4；第四次运行时，S=121+2+3+4，a=5；⋯⋯，以此类推，第2015次运行时，S=121+2+3+4+⋯+2015，a=2016，此时满足a>2015，结束循环，输出z=log2121+2+3+4+⋯+2015=−1+20152×2015=−1008×2015．10. C【解析】∵f x≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6为函数f x的最大值，即sinπ3+φ =1，∴π3+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π6k∈Z．由fπ2>fπ，可知sinπ+φ>sin2π+φ，即sinφ<0，∴φ=2k+1π+π6k∈Z，代入f x=sin2x+φ，得f x=−sin2x+π6，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3k∈Z．11. C 【解析】设点A x0,y0在第一象限．因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M，N分别为AF，BF的中点，所以AF⊥BF，即在Rt△ABF中，OA=OF=2，因为直线AB的斜率为377，所以x0=72，y0=32，代入双曲线x2a−y2b=1中得74a−94b=1，又a2+b2=4，解得a2=1，b2=3，所以双曲线的离心率为2．12. A 【解析】由x>1时，f x+1=f x+f1=f x+1可得当x∈n,n+1，n∈N∗时，f x=f x−1+1=f x−2+2=⋯=f x−n+n=x−n2+n．因为函数y=f x是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称，因此要使直线y=kx与函数y=f x恰有7个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y=kx与函数y=f x恰有3个不同的公共点即可．作出x>0时函数y=f x图象，由图可知，当直线y=kx与曲线段y=x−12+1，x∈1,2相切时，直线与函数y=f x恰有5个不同的公共点．与曲线段y=x−22+2，x∈2,3相切时，直线与函数y=f x恰有9个公共点，若恰有7个，则介于此两者之间．由直线方程y=kx与y=x−12+1，x∈1,2，消去y得x2−2+k x+2=0，因为相切，所以Δ=2+k2−8=0，又k>0，所以k=22−2．由y=kx与y=x−22+2，x∈2,3，消去y得x2−4+k x+6=0，因为相切，所以Δ=0，得到k=26−4，所以k的取值范围为22−2,26−4．第二部分13. 482【解析】由题意可知系统抽样的每组元素个数为32−7=25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500−25+7=482．14. 9【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图（阴影部分）．由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．由y=x,y=3x−6解得x=3,y=3,即A3,3，将A3,3的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+3=9．即z=2x+y的最大值为9．15. 23【解析】由题知AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90∘，设AC的中点为E，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆半径r=AE=12AC=1，由球的表面积为25π4知4πR2=25π4，解得R=54，因为△ABC的面积为12AB×BC=1，所以要使四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，所以球心到过A，B，C三点的截面的距离d=2−r2=34，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD体积的最大值为13×1×2=23．16. 1【解析】由题意知a mn=1+n−1d m，则a2n−a1n=1+n−1d2−1+n−1d1=n−1d2−d1，同理，a3n−a2n=n−1d3−d2，a4n−a3n=n−1d4−d3，⋯⋯，a nn−a n−1n=n−1d n−d n−1．又因为a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列，所以a2n−a1n= a3n−a2n=⋯⋯=a nn−a n−1n，故d2−d1=d3−d2=⋯⋯=d n−d n−1，即d n是公差为d2−d1的等差数列，所以d m=d1+m−1d2−d1=2−m d1+m−1d2．令p1=2−m，p2=m−1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．第三部分17. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0，即2cos A−1cos A+2=0，解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以∠A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=34bc=53，得bc=20．又b=5，故c=4．由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21，故a=21．又由正弦定理，得sin B sin C=ba sin A⋅casin A=bcasin2A=2021×34=57．18. （1）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为P1，P2，P3．则P2=2P1,P3=4P1,P1+P2+P3+5×0.017+0.043=1.解得P1=1 ,P2=1 ,P3=2 5 .由于P2=15=11n，故n=55．（2）由（1）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5×0.017+0.043=710．由题意知X服从二项分布即：X∼B3,710，所以P X=k=C3k710k3103−kk=0,1,2,3，所以E X=3×710=2110，D X=3×710×310=63100．19. （1）如图，连接CO，则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．（2）连接D1O．因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，故D1O⊥底面ABCD．以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则C1,0,0，D0,1,0，D10,0,1，A0,−1,0，所以DC=1,−1,0，DD1=0,−1,1，D1A=0,−1,−1，D1C1=DC=1,−1,0．设m=x,y,z为平面CDD1C1的法向量，由m⊥DC，m⊥DD1得x−y=0,−y+z=0,令z=1，则y=1，x=1，所以m=1,1,1．又设n=x1,y1,z1为平面AC1D1的法向量，由n⊥D1A，n⊥D1C1得−y1−z1=0, x1−y1=0,令z1=1，则y1=−1，x1=−1，所以n=−1,−1,1，则cos⟨m,n ⟩=3⋅3=−13，故所求锐二面角的余弦值为13．20. （1）由题意知e=ca =22，4a2+2b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4，所以椭圆的标准方程为x 28+y24=1．（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设A x1,y1，B x2,y2，联立y=kx+m,x2+2y2=8得1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0，Δ=4km2−41+2k22m2−8=88k2−m2+4>0, ⋯⋯①x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−81+2k2,因为k OA⋅k OB=−b2a =−12，所以y1y2x1x2=−12，y1y2=−12x1x2=−12⋅2m2−81+2k2=−m2−41+2k2，又y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=k2⋅2m2−81+2k2+km⋅−4km1+2k2+m2=m2−8k2,所以−m 2−41+2k =m2−8k21+2k，所以−m2−4=m2−8k2，所以4k2+2=m2．（i）OA⋅OB=x1x2+y1y2=2m2−81+2k2−m2−41+2k2=m2−4 1+2k2=4k2+2−4 1+2k2=2−42,所以−2=2−4≤OA⋅OB<2，当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA⋅OB取最小值为−2．又直线AB的斜率不存在时，OA⋅OB=2，所以OA⋅OB的最大值为2．（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB=12AB ⋅d=121+k⋅ x2−x1m1+k2=mx1+x22−4x1x2=m2−4km1+2k22−42m2−81+2k2=m64k22−16m2−42=24k2−m2+4=22,所以S四边形ABCD=4S△AOB=82，即四边形ABCD的面积为定值．21. （1）因为fʹx=xx+11−1x=x2−1x+x，所以f x在x=12处的切线的斜率k=fʹ12=−65，又因为 f 12 =ln 52， 所以 f x 在 x =12 处的切线方程为 y −ln 52=−65 x −12， 即 y =g x =−65x +35+ln 52．（2） 令 t x =f x −g x =ln x +1x +65x −35−ln 52x >0 ， 因为 tʹ x =x 2−1x 3+x+65=6x 3+5x 2+6x−55 x 3+x = x−12 6x 2+8x +10 5 x 3+x ， 所以当 0<x <12 时，tʹ x <0；x >12 时，tʹ x >0； 所以 t x min =t 12=0． 故 t x ≥0，即 ln x +1x ≥−65x +35+ln 52． （3） 先求 f x 在点 1n ,ln n +1n处的切线方程， 由（1）知 fʹ 1n =n−n 31+n ， 故 f x 在点 1n ,ln n +1n 处的切线方程为 y −ln n +1n=n−n 3n 2+1 x −1n ， 即 y =n−n 31+n 2x −1−n 2n 2+1+ln n +1n． 再证 f x ≥n−n 3n +1x −1−n 21+n +ln n +1n ． 令 x =ln x +1x −n−n 3n +1x +1−n 21+n −ln n +1nx >0 ， 因为ʹ x =x 2−1x 3+x −n −n 3n 2+1= n 3−n x 3+ n 2+1 x 2+ n 3−n x −n 2−1=x −1n n 3−n x 2+2n 2x +n 3+n x 3+x n 2+1 .所以 0<x <1n 时， ʹ x <0； x >1n 时， ʹ x >0． 所以 x min = 1n=0， 所以 f x ≥n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln n +1n ．因为 a i >0，所以 ln a i +1a i ≥n−n 3n 2+1a i −1−n 21+n 2+ln n +1n ， 所以 ln a i +1a i n i =1≥n−n 3n +1 a i n i =1−n 1−n 2 1+n +n ln n +1n =n ln n +1n ． 所以 a 1+1a 1 a 2+1a 2 ⋯ a n +1a n ≥ n +1n n．22. （1） 因为 AB 为圆 O 的直径，所以∠ACB=90∘．又AC∥BP，所以∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．因为EC为圆O的切线，所以∠ECA=∠ABC，所以∠ABC=∠P，所以△ACB∽△CBP，所以ACBC =BCBP，即BC2=AC⋅BP．（2）因为EC为圆O的切线，EC=25，AB=8，所以EC2=EA⋅EB=EA EA+AB，所以EA=2．因为∠ECA=∠ABC，所以△ACE∽△CBE，所以ACBC =EAEC=5．因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘，所以AC2+BC2=AB2，所以AC=463，由ACBP=EAEB可得PB=2063．23. （1）曲线C的普通方程为x−y−1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2−4x+3=0．（2）曲线P可化为x−22+y2=1，表示圆心为2,0，半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为d=2=22，所以AB=22−d2=2．24. （1）原不等式等价于x<12,4−4x≤5 ⋯⋯①或12≤x≤32,2<5 ⋯⋯②或x>32,4x−4≤5. ⋯⋯③解①求得−14≤x<12，解②求得12≤x≤32，解③求得32<x≤94，因此不等式的解集为 −14,94．（2）因为f x=2x−1+2x−3 ≥ 2x−1−2x−3=2，所以m2−m<2，解得−1<m<2，即实数m的取值范围为−1,2．。
河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学试题
河北省衡水中学 2015-2016 学年度放学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合A1,3, 4,5，会合B x Z | x24x 5 0 ，则 A I B 的子集个数为（）A． 2B．4C．8D．162.如图，复平面上的点Z1, Z2, Z3, Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数 z i （ i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z43.以下四个函数中，在x 0处获得极值的函数是（）① y x3；② y x21；③ y x ；④ y 2xA．①②B．①③C．③④D．②③5.履行如下图的程序框图，输出的结果是（）A． 5B．6C．7D．8两个等差数列的前 n 项和之比为 5n10，则它们的第 7 项之比为（）6.2n1A ． 2B ．3C ．45D ． 7013277.在某次联考数学测试中，学生成绩 听从正态散布 100，20 ，若 在（80,120）内的概率为 0.8，则落在（ 0,80）内的概率为（）A ． 0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数 fx A sin x A 0, 0 的部分图象如下图，f 1 f2f 3f 2015的值为（ ）A ． 0B ．3 2C ．6 2D ．29.若 1x 1 2x 7a 1x a 2 x 2a 8 x 8 ，则 a 1a 2a 7 的值是（）a 0A ． -2B ．-3C ．125D ．-13122cxy2，圆 C 2 : x 22cxy 20，椭圆C: x 2y 21（ a b0 ，10.已知圆 C 1 : xa 2b 2焦距为 2c ），若圆 C 1 , C 2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A ．1 ,1 B ．1 C ．2 D ． 0， 220，,122211.定义在 R 上的函数 f x 对随意 x 1 , x 2 x 1 x 2都有f x1f x 2 0 ，且函数x 1x 2y fx 1 的图象对于（1,0）成中心对称，若 s, t 知足不等式 fs 2 2sf 2t t 2 ，则当 1s 4 时，t2s的取值范围是（）stA ．111D ．13,B ． 3,C ． 5,5,2 22212.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四周体 ABCD 外接球表面积为（） A ． 7B ．19C ．77D ．191966第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如下图，该几何体体积为.uuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60°，且 | AB | | AC | 2 ，若 APABAC ，且14.uuur uuur的值为.AP BC ，则实数x 2y 20 的半焦距为，过右焦点且斜率为 1 的直线与15.已知双曲线 a 2 b 21 a 0, bc双曲线的右支交于两点，若抛物线y 24cx 的准线被双曲线截得的弦长是2 2 be 23（ e 为双曲线的离心率），则 e 的值为.16.用 g n 表示自然数 n 的全部因数中最大的那个奇数，比如：9 的因数有 1,3,9，g 99,10 的因数有 1,2,5,10， g105 ，那么g 1 g 2 g 3g 220151.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.(本小题满分 12 分)在锐角ABC 中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c ，已知a7, b 3, 7 sin B sin A 2 3 .(1)求角A的大小；(2)求ABC 的面积.18.(本小题满分 12 分)某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这 10 个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图 .为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” .(1)当a b 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级卖场”数目为n ，比较 m ， n 的大小关系；(2)在这 10 个卖场中，随机选用 2 个卖场，记X为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的散布列和数学希望；(3)若a1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测b为什么值时， s2达到最小值 .(只需写出结论 )19. (本小题满分 12 分)如图 1，在边长为 4 的菱形ABCD中，BAD60o，DE AB 于点 E ，将 ADE 沿 DE 折起到A1DE的地点，使A1D DC ，如图2.(1)求证： A1 E平面 BCDE ；(2)求二面角 E A1 B C 的余弦值；(3)判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面A1DP平面 A1 BC ？若存在，求出EPPB 的值；若不存在，说明原因.20.(本小题满分 12 分)如图，已知椭圆：x2y2 1 ，点 A, B 是它的两个极点，过原点且斜率为k 的直线 l 4与线段 AB 订交于点 D ，且与椭圆订交于E, F两点.(1)uuur uuur若 ED6DF ，求k的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分 12 分)设函数f x x2 a 2 x a ln x.(1)求函数f x的单一区间；(2)若函数f x有两个零点，求知足条件的最小正整数 a 的值；(3)若方程f x c c R 有两个不相等的实数根 x1 , x2，比较 f 'x1x2与 0 的大小 .请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲如图，直线 PQ 与⊙O相切于点 A, AB 是⊙O的弦，PAB的均分线AC交⊙O于点C，连结 CB ，并延伸与直线PQ订交于Q点.(1)求证： QC BC QC 2QA2；(2)若 AQ 6,AC5，求弦AB的长.23. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程x 2 3t在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），在以原2y t52点 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 2 5 sin .(1)写出直线l的一般方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标3, 5，圆C与直线l交于A, B两点，求| PA || PB |的值.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲(1)已知函数 f x x1x 3 ，求 x 的取值范围，使 f x 为常函数；(2)若 x, y,z R, x2y2z21，求 m2x2y5z 的最大值.参照答案及分析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B11.D12.A二、填空题13.4314.115.616.420151323三、解答题17.解：(1)在ABC中，由正弦定理a b，得73，即 7 sin B 3sin A .(3sin A sin B sin A sin B 分)又因为7 sin B sin A 2 3 ，所以 sin A3. (5分) 2当 ca 2c 2 b 271时，因为 cos B2ac0 ，所以角 B 为钝角，不切合题意，舍去 .14当 ca 2c 2 b 27 ，又 b c, baB C , BA ，所以 ABC2 时，因为 cosB2ac14为锐角三角形， 切合题意 .所以 ABC 的面积 S1bc sin A1 323 3 3. (122222分)18.解： (1)依据茎叶图，得 2 数据的均匀数为1010 14 18 2225 27 30 41 43.(1 分)1024乙组数据的均匀数为1018 20 2223 313233 33 43 26.5 .(2 分)10由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数 m 5 ，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数 n 5，所以 m n .(4 分)(2)由题意，知 X 的全部可能取值为 0,1,2. (5 分 )且PX 0C 50 C 522，PX 1C 51C 515，PX 2C 50 C 522，（8 分）C29C29C29101010所以 X 的散布列为X 012P252999所以E X2 1 5 +2 2=1. （10 分）9 9 9（3）当 b 0 时， s 2 达到最小值 .(12 分)19.解：（1）∵ DE BE ，BE//DC ，∴ DEDC ，又∵ A 1D DC ， A 1D I DE D ，∴DC平面 A 1DE .∴ DC A 1E ，又∵ A 1EDE ，DCI DE D ，∴A 1E平面 BCDE ；(4分)（2）∵ 1平面BCDE ，DEBE ，∴以EB ，ED ，EA1分别为 x 轴， y 轴和 z 轴，A E如图成立空间直角坐标系，易知DE2 3 ，则 A 1 (0,0, 2) ， B(2,0,0) ， C (4, 2 3,0)，uuur uuurrD(0, 23,0) ，∴ BA 1 ( 2,0,2) ， BC (2, 2 3,0) ，平面 A 1 BE 的一个法向量 n (0,1,0)，uruuur ur 设平面 A 1BC 的法向量 m (x, y, z) ，由 BA 1 m urur r3) ，∴ cosur r得 m ( 3,1,m, n ur m n r| m | | n |uuur ur 2x 2z 0，令 y 1 ， 0 ，BC m 0 ，得2 x 2 3y 07，由图，得二面角 EA 1 BC 为钝二7面角，∴二面角 E A 1B C 的余弦值为7 ； （8 分）7（3）假定在线段 EB 上存在一点 P ，使得平面 A 1 DP 平面 A 1BC ，设 P(t ,0,0)(0 t 2) ，uuur uuuurur uuuur ur 则 A 1P (t,0, 2) ，A 1D (0,2 3, 2) ，设平面 A 1DP 的法向量为 p ( x 1 , y 1, z 1 ) ，由 A 1D p 0 ，uuur ur，得23y 1 2z 1 0，令urt ，∵平面1x 1 2 ，得 p (2,,t ) A 1 DP 平面 A 1BC ，A P p tx 12z 1 03ur urt∴ m p 0，即 23t 0 ，解得 t3 ，33∵ 0 t2 ，∴在线段 EB 上不存在点 P ，使得平面 A 1DP 平面 A 1 BC ．(12 分 )20.解： (1)依题设得椭圆的极点 A 2,0 , B 0,1 ，则直线 AB 的方程为 x2 y 20 .(1分)设直线 EF 的方程为 ykx k0 .设D x 0 ,kx 0 ，E x 1 , kx 1 , F x 2 ,kx 2 ，此中 x 1 x 2 .联立直线 l 与椭圆的方程x 2 y 21，消去 y ，得方程 14k 2 x 24.(3 分)4y kx故 xx 2uuuruuur6 x x2，由 ED6DF 知， x x2 2，得11 4k 2x 01 6x 2x 15x 27 10，由点 D 在线段 AB 上，知 x 0 2kx 02 0 ，得771 4k 2x 02，所以2 = 10 ，化简，得 24k 225k 60 ，解得 k2或 k3.（61+2k 1+2k 1+4k 23 8 7分）(2)依据点到直线的距离公式，知点 A, B 到线段 EF 的距离分别为h 12k, h 21 ，又1 4k214k2|EF |4 1 k 2，所以四边形 AEBF 的面积为1 4k 2S1|EF |h 1 h 22 1 2k21 4k 24k21 4k 21 4k2+4k4，当且仅当11 时，取等号 .所以四边2 4k2 112 2 4kk ，即 k21 1 24kk形 AEBF 面积的最大值为 2 2 .(12 分)21.解： (1) f ' x2xa2 x 2 - （a）x a （ xa)( x ） ．a 2x 221 x 0xx当 a 0 时，f ' x，函数 f x 在 0,上单一递加，所以函数 f x 的单一增区间为 0,，无单一减区间．当 a 0 时，由 f ' x0 ，得 xa；由 f ' x0，得 0x a .22所以函数fx 的单一增区间为a,，单一减区间为0,a22.（4 分）(2) 由 (1) 得，若函数 fx 有两个零点，则a 0 ，且 fx 的最小值a ，即f02a 24a 4a lna0 .因为 a0 ，所以 a 4lna4 0 .22令 h aa 4lna4 ，明显 h a 在 0,上为增函数，且2h 22 0, h 34ln3 ln81 ，所以存在 a 02,3 , h a 0 0 .1 1 0216当 a a 0 时， h a 0 ；当 0 aa 0 时， h a 0 .所以知足条件的最小正整数 a 3 .又当a时， f 33 2 ln 30, f 1 0 ，所以时， f x 有两个零点．3a 3综上所述，知足条件的最小正整数 a 的值为 3.(3)证明：因为 x 1 , x 2 是方程 f x c 的两个不等实根，由 (1)知 a 0 .不如设 0x 1x 2 ，则 x 2 - a 2 x a ln xc, x 2 - a 2 x2 a ln x2 c,111 2两式相减得 x 12 a 2 x 1 aln x 1 x 22a 2 x 2a ln x 2 0 ，即 x 12 2x 1 x 22 2x 2 ax 1 a ln x 1 ax 2 a ln x 2 a x 1 ln x 1 x 2 ln x 2 ．所以 ax 12＋2x 1－x 22－2x 2 .x 1＋ln x 1－x 2－ ln x 2因为 f 'a0，当 x0,a时， f ' x0 ，当 xa , 时， f ' x0 ，222故只需证x 1＋ x2>a即可，即证明 x 1x 2x 12＋2x 1－ x 22－2x 2 ，22x 1＋ ln x 1－ x 2－ ln x 2即证明 x 12 x 22 x 1 x 2 ln x 1 ln x 2x 12 2x 1 x 222x 2 ，即证明 lnx 12x 1－2x 2.设 t ＝t x 10 t1．x 2 x 1＋ x 2x 22t －22第11页/共13页因为 t 0 ，所以g ' t0 ，当且仅当t1时，g ' t0 ，所以 g t 在0,上是增函数．又 g 1 0 ，所以当 t0,1 , g t0 总成立．所以原题得证．（12分）22.解： (1)∵PQ与⊙O相切于点A ,∴由切割线定理得QA2QB QC QC BC QC ，∴ QC BC QC2QA2.(5分)(2)∵PQ与⊙O相切于点A ,∴PAC CBA ,∵PAC BAC ,BAC CBA ,∴AC BC 5.由AQ6及(1)知，QC9 .由 QAB QCA ，知 QAB QCA ，∴AB QA，∴ AB10.(10 分)CA QC3x3 2 t23. 解： (1)由2得直线 l的一般方程为 x y350.(2分)y5 2 t2又由得圆 C 的直角坐标方程为x2y2，即 x222 5 sin25y0y55 .(5分)22（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22，即3t t522t20 ，因为20，故可设 t1 , t 2是上述方程的两实数根，32t4324 42所以t1t232，又直线 l的过点 3,5， A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2，所以t1t24| PA|| PB|| t1 || t 2 | 3 2 .(10分)2x2, x324.解： (1) f x x 1 x 34, 3x12x2, x1.(4 分)则当 x3,1 时， f x 为常函数.(5分)（2）由柯西不等式得x2y2z222222252x2 y5z ，所以32x2 y5z 3 ，当且仅当xyz，即 x2, y2, z5时，取最222333大值，所以 m 的最大值为 3.（10 分）。
(优辅资源)河北省衡水高三下学期二调数学试卷(理科) Word版含解析
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．162．如图，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z43．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．A．①②B．②③C．③④D．①③4．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．45．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．86．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（）A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：17．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.28．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣9．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣13110．已知圆C1：x2+2cx+y2=0，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A．[，1） B．（0，）C．[，1）D．（0，]11．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g （9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．如图，已知椭圆： +y2=1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l 与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若=6，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，则A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集个数为23=8个，故选：C2．如图，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z4【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】判断复数的几何意义，利用复数的乘法运算法则，推出结果即可．【解答】解：由题意可知复数z所对应的点为Z1，是虚部大于0的纯虚数，则复数z•i是负实数，对应点在x负半轴，即Z2，共轭复数是Z2．故选：B．3．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x．A．①②B．②③C．③④D．①③【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（﹣∞，0）与（0，+∞）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确．【解答】解：①y′=3x2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点②y′=2x，当x＞0时函数单调递增；当x＜0时函数单调递减且y′|x=0=0②符合③结合该函数图象可知在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减，③符合④y=2x在R上递增，无极值点故选B4．已知变量x，y满足：：，则z=（）2x+y的最大值为（）A．B．2C．2 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据判断条件依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=475时满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=12，i=1满足条件n是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n＞123，满足条件n是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n＞123，不满足条件n是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．故选：B．6．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（）A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：1【考点】等差数列的性质．【分析】直接把两等差数列第7项之比化为前13项和的比得答案．【解答】解：设两个等差数列分别为{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n，T n，则=，∴．故选：B．7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据ξ服从正态分布N，得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．【解答】解：∵ξ服从正态分布N∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．故选：B．8．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B．3C．6D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+…+f=8=，故解得：ω=，可得函数解析式为：f（x）=2sin x，所以，有：f（1）=f（2）=2f（3）=f（4）=0f（5）=﹣f（6）=﹣2f（7）=﹣f（8）=0f（9）=…观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）=0．故选：A．9．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣131【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=•（﹣2）7=﹣128．令x=0得：（1+0）（1﹣0）7=a0，即a0=1；令x=1得：（1+1）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣2，∴a1+a2+…+a7=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1+128=125．故选C．10．已知圆C1：x2+2cx+y2=0，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A．[，1） B．（0，）C．[，1）D．（0，]【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e的范围求出结果．【解答】解：已知圆C1：x2+2cx+y2=0，转化成标准形式为：（x+c）2+y2=c2，圆C2：x2﹣2cx+y2=0，转化成标准形式为：（x﹣c）2+y2=c2，圆C1，C2都在椭圆内，所以：（c，0）到（a，0）的距离大于c则：|c﹣a|＞c解得：a＞2c由于：e=所以：e，由于椭圆的离心率e∈（0，1）则：0＜e＜．故选：B．11．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]【考点】函数单调性的性质．【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且，∴向量•=||||cos60°=2×2×=2，∵，且，∴•=（λ+）•=0，即λ•+•=0，则λ•（﹣）+•（﹣）=0，即λ•﹣λ2+2﹣•=0，则2λ﹣4λ+4﹣2=0，2λ=2，解得λ=1，故答案是：1．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．【解答】解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，即准线被双曲线C截得的弦长为：，∵抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴渐近线y=x的斜率＜1，即b＜c，则b2＜c2，即c2﹣a2＜a2，则c2＜2a2，c＜a，则e=＜∴e=．故答案为：16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．【考点】数列的求和．【分析】本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和．【解答】解：根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），且若n为奇数则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）=1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）=4n+f（n）即f（n+1）﹣f（n）=4n分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+42+…+4n=（4n﹣1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）=（4n﹣1﹣1）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+…+g=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•sinA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲、乙组数据的平均数，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，可得结论；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明DC⊥平面A1DE，可得DC⊥A1E，利用A1E⊥DE，DC∩DE=D，可得A1E⊥平面BCDE；（2）以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，求出平面A1BE、平面A1BC的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）设P（t，0，0）（0≤t≤2），求出平面A1DP的法向量，利用平面A1DP⊥平面A1BC，可得结论．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE=D ， ∴A 1E ⊥平面BCDE ；（2）解：由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE=2，A 1（0，0，2），B （2，0，0），C （4，2，0），D （0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A 1BE 的一个法向量为=（0，1，0），设平面A 1BC 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos ＜，＞=，∴二面角E ﹣A 1B ﹣C 的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P （t ，0，0）（0≤t ≤2），则=（t ，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A 1DP 的法向量为=（a ，b ，c ），则，∴=（2，，t ），∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3， ∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．20．如图，已知椭圆：+y 2=1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若=6，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为x +2y=2，y=kx ，D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，进而求得x 2的表达式，进而根据=6，求得x 0的表达式，由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，进而求得x 0的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（Ⅱ）由题设可知|BO |和|AO |的值，设y 1=kx 1，y 2=kx 2，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆：+y 2=1，A （2，0），B （0，1），直线AB ，EF 的方程分别为x +2y=2，y=kx （k ＞0）． 如图，设D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，故x 2=﹣x 1=．①由=6，知x 0﹣x 1=6（x 2﹣x 0），得x 0=（6x 2+x 1）=x 2=，由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=，所以=，化简得24k 2﹣25k +6=0，解得k=或k=．（Ⅱ）由题设，|BO |=1，|AO |=2．由（Ⅰ）知，E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2）， 不妨设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2＞0， 根据E 与F 关于原点对称可知y 2=﹣y 1＞0，故四边形AEBF 的面积为S=S △OBE +S △OBF +S △OAE +S △OAF=|OB |•（﹣x 1）+|OB |•x 2+|OA |•y 2+|OA |•（﹣y 1）=|OB |（x 2﹣x 1）+|OA |（y 2﹣y 1）=x 2+2y 2==≤=2，当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；（3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．==．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）=lnt﹣，则=．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QC•BC=QC2﹣QA2．（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，由切割线定理得：QA2=QB•QC=（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC=QC2﹣QA2．（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴=，∴AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．【考点】柯西不等式的几何意义；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）去绝对值号可得f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，从而确定使f （x）为常函数时x的取值范围；（2）由柯西不等式可得（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；从而解得．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，故当x∈[﹣3，1]时，f（x）为常数函数；（2）由柯西不等式可得，（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；即（x+y+z）2≤9；故x+y+z≤3；故m=x+y+z的最大值为3．2016年10月18日。
2016-2017学年河北省衡水中学高三下学期期中数学试卷试卷(文科)【解析版】
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2} 2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．648．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为．14．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，则集合B可以是（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，可知集合B＝{x|x≤1}．故选：C．2．（5分）若复数z＝+（1﹣i）2，则|z|等于（）A．B．C．2D．【考点】A8：复数的模．【解答】解：因为z＝z＝+（1﹣i）2＝﹣2i＝1﹣i﹣2i＝1﹣3i，所以|z|＝＝，故选：A．3．（5分）已知tanα＝2，α∈（0，π），则cos（+2α）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵tanα＝2，α∈（0，π），∴cos（+2α）＝﹣sin2α＝﹣2sinαcosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．4．（5分）为了加强某站的安全检查，从甲乙丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲乙丙中有2人被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，共有10种情况，甲、乙、丙中有2个被选中，有3种，故所求事件的概率P＝．故选：A．5．（5分）已知a＝log2，b＝0.33.2，c＝3.20.3，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log2＝﹣3＜1，0＜b＝0.33.2＜0.30＝1，c＝3.20.3＞3.20＝1，∴实数a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．7．（5分）《孙子算经》是中国公元四世纪的数学著作，其中接受了求解依次同余式的方法，他是数论中一个重要的定理，又称《中国剩余定理》，如图所示的程序框图的算法就是源于《中国剩余定理》，执行该程序框图，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如11≡3（mod4），则输出的等于（）A．8B．16C．32D．64【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝11，i＝1i＝2，n＝13不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝4，n＝17，满足条件“n＝2（mod 3）“，不满足条件“n＝1（mod 5）“，i＝8，n＝25，不满足条件“n＝2（mod 3）“，i＝16，n＝41，满足条件“n＝2（mod3）“，满足条件“n＝1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．8．（5分）已知点F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为：y＝，则另一条渐近线方程为：y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），因为F（c，0），A为BF的中点，所以m＝，，解得m＝c，A（，），由F A⊥OA，可得：k F A•k OA＝﹣1，即：•＝﹣1，即b2＝3a2，解得e＝＝＝2．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（wx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2sin（2x﹣）B．g（x）＝2sin（2x+）C．g（x）＝﹣2sin（2x﹣）D．g（x）＝﹣2sin（2x+）【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+π﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，则函数f（x）的值域为（）A．（，]∪（，+∞）B．（，）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．（，]∪[，+∞）【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：函数f（x）＝，且f（e）＝f（1），f（e2）＝f（0）+，可得：，解得a＝﹣1，b＝2，所以当x＞0时，f（x）＝（lnx）2﹣lnx+2＝（lnx﹣）2+，当x≤0时，可得＝，则函数f（x）的值域为（，]∪[，+∞）．故选：D．11．（5分）直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组表示的区域上运动时，m＝4x+3y的最大值为8，此时n＝的最大值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由直线2x﹣y+a＝0与3x+y﹣3＝0交于点A，解方程组，得A（），将直线4x+3y＝0平移经过A点时，m取最大值，∴，得a＝2．于是，点A的坐标为（），∵n＝表示点B（﹣3，0）与P（x，y）连线的斜率，由图可知，当P与点A重合时，n取最大值，∴n的最大值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝1g（x+），若对于任意的x∈（1，2]时，f（）+f[]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵f（x）＝1g（x+），∴f（﹣x）＝1g（﹣x+）＝﹣f（x），∴函数为奇函数，由表达式显然知函数为增函数，∵f（）+f[]＞0恒成立，∴＞﹣，∴（x+1）（x﹣1）（x﹣6）＜﹣m恒成立，令h（x）＝（x+1）（x﹣1）（x﹣6），可知函数h（x）在x∈（1，2]时，单调递减，∴h（x）的最大值大于h（1）＝0，∴0≤﹣m，∴m≤0，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知向量＝（x，y）（x，y∈R），＝（1，2），若x2+y2＝1，则|﹣|的最小值为﹣1．【考点】91：向量的概念与向量的模．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|＝≥||﹣1＝﹣1＝﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣114．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为44．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：设点O到矩形ABCD所在平面的距离为h，则h＝＝．∴棱锥O﹣ABCD的侧面积＝2×＝44．故答案为：44．15．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠A+∠C＝．则BD的长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：在△ABD中由余弦定理可知：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A，在△CDB中与余弦定理可知：BD2＝DC2+BC2﹣2AB•AD•cos C，将AB＝CD＝1，AD＝BC＝2代入，整理得：2cos A﹣cos C＝1，∠A+∠C ＝，2cos A﹣cos（﹣A）＝1，整理得：3cos A+sin A＝1，两边平方（3cos A+sin A）2＝9cos2A+6cos A sin A+sin2A＝cos2A+sin2A，整理得：sin A＝﹣，cos A＝，BD＝，BD＝，故答案为：．16．（5分）已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•＝﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|＝．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x＝my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2＝2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，∵•＝﹣3，即x1x2+y1y2＝﹣3，x1x2＝•＝，∴有﹣p2＝﹣3，解得，p＝2；（舍去负值），∴x1x2＝＝1，由抛物线的定义，可得，|AM|＝x1+1，|BM|＝x2+1，则|AM|+4|BM|＝x 1+4x2+5≥2+5＝9，当且仅当x1＝4x2时取得等号．由于x1x2＝1，可以解得，x2＝2（舍去负值），∴x1＝，代入抛物线方程y2＝4x，解得，y1＝，y2＝±2，即有A（，±）B （2，±2），∴|AB|＝＝＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}，a1＝0，a n＝a n+1+．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n≥1．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）由a n＝a n+1+，则a n+1＝a n﹣，即（a n+1+1）＝（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1＝1为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n﹣1，即a n＝（）n﹣1﹣1，∴数列{a n}的通项公式a n＝（）n﹣1﹣1；（2）由（1）b n＝na n+n＝n（）n﹣1，则S n＝1×（）0+2×（）1+3×（）3+…+（n﹣1）×（）n﹣2+n（）n﹣1，①∴S n＝1×（）1+2×（）2+3×（）4+…+（n﹣1）×（）n﹣1+n（）n，②①﹣②得：S n＝（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n（）n，＝2﹣，S n＝4﹣，∴＝＝，由n+3＜2n+4，则2n+2﹣（n+3）＞2n+2﹣（2n+4），由2n+2﹣（n+3）＞0，2n+2﹣（2n+4）＞0，则＞1，数列{S n}单调递增，故当n＝1时，数列{S n}取得最小值，即S n≥S1＝1．S n≥1．18．（12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二胎政策”的问题，调查统计的结果如下表：已知在被调查人群中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】B3：分层抽样方法；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴＝0.08，解得x＝120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120＝800．∴应在“无所谓”态度抽取800×＝80人．（2）∵y+z＝800，y≥710，z≥78，故满足条件的（y，z）有：（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81），（720，80），（721，79），（722，78），共13种．记本次调查“失效”为事件A，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720．∴事件A包含（710，90），（711，89），（712，88），（713，87），（714，86），（715，85），（716，84），（717，83），（718，82），（719，81）共10种．∴P（A）＝19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则⇒EF∥平面ABC1D1．（2）⇒⇒⇒EF⊥B1C（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2＝B1E2即∠EFB1＝90°，∴＝＝20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，解得a＝2，∵离心率为e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的标准方程为；（2）由题意知A（﹣2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线MN斜率不存在，则N（x1，﹣y1），由AM⊥AN，•＝0，得•＝﹣1，又M和N在椭圆上，代入解得x＝﹣，则直线MN方程为x＝﹣．若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx+m，椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．由AM⊥AN，得×＝﹣1，整理得（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4＝0∴（k2+1）×+（km+2）×（）+m2+4＝0．解得m＝2k或m＝k．若m＝2k，此时直线过定点（﹣2，0）不合题意舍去．故m＝k，即直线MN过定点（﹣，0）．综上可知：直线l过定点（﹣，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1+lnx，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝﹣（e为自然对数的底数）时，若函数g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，求实数b的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）＝2ax+＝，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，令f'（x）＝0得x＝，∴f（x）在（，+∞）上递减，在（0，）上递增；（2）g（x）＝|f（x）|﹣﹣b存在零点，∴|f（x）|＝+b有实数根，当a＝﹣时，f（x）＝﹣x2﹣1+lnx，f'（x）＝﹣m当0＜x＜时，f'（x）＞0，当x＞时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，）上递增，在（，+∞）上递减，函数的最大值为f（）＝﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）＝+b，h'（x）＝，当0＜x＜时，h'（x）＞0，当x＞时，h'（x）＜0，∴h（x）的最大值为h（）＝+b，要使|f（x）|＝+b有实数根，∴h（）＝+b，≥1，∴b≥1﹣＝1﹣．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程＝2，而曲线C的参数方程为（其中φ为参数）；（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）当m＝﹣，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程＝2，展开化为（ρsinθ+ρcosθ）＝2（m+1），即x+y﹣4（m+1）＝0．而曲线C的参数方程为（其中φ为参数），消去参数可得：x2+y2＝2．∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴＝．∴m+1＝，解得m＝，或．（2）m＝﹣时，圆心到直线l的距离d＝＝．∴直线l被曲线C截得的弦长＝2＝2＝．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤2；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）当a＝1，f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．不等式f（x）＞2化为|x﹣1|+|x﹣2|≤2．x＜1时，不等式可化为3﹣2x≤2，∴x≥，∴≤x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为1≤2，成立；x＞2时，不等式可化为2x﹣3≤2，∴x≤，∴2＜x≤；综上所述，不等式的解集为[，]；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥|x﹣a﹣x+2|＝|a﹣2|，即f（x）的最小值为|a﹣2|．∵t＞0，＝t+≥4，当且仅当t＝2时，取得最小值4，由题意，|a﹣2|≤4，∴﹣2≤a≤6．。
河北省衡水中学2016届高三下学期第二次调研考试理数试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==-为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 考点：复数的概念．3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 考点：函数的极值．4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（ ）A．．2 D ．4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 考点：程序框图．6.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B 【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ． 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B考点：正态分布． 8.函数()()s i n 0,0fx A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．． D ．【答案】A 【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++= ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++ ＝(8)0f -=，故选A ．考点：1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω．9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 【答案】C考点：二项式定理．10.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2⎫⎪⎪⎣⎭D ．02，⎛ ⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f”求解．12.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7π B．19π C D【答案】A考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2体的体积为2123V =⨯=考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥，所以0AP BC = ．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ=+-=+ －2AB AB AC λ- ＝22(1)||||cos60||||AB AC AC AB λλ-︒+- ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=． 考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是23（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2）2． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得3sin sin A B=，即3sin B A =.(3分)sin B A +=sin A =. (5分) 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=. (6分)考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0． 【解析】试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.(1)若6ED DF =，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2）故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=， 所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分）考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21.(本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.的值； ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小. 0a >时，单调增区间为0>． 的关系求得单调区间；(2) 由(1)()f x c =的两个不等实根，(3) 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下： 因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-；(2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】(1)见解析； (2)103AB =．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形． 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y ---=，圆C的直角坐标方程为(225x y +-=；（2） 【解析】试题分析：(1) 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：(1)由322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l的普通方程为30x y --=.(2分)又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t，所以12|||PB||||t |PA t +=+=分)考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.【答案】(1) []3,1x ∈-；（2）3．考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。