2012年湖南高考数学试题(理数)

A
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ,即1 × (1 + 2) = (3 - r )(3 + r ),∴ r = 6.
D
O
B
i
CP
A
【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ， 从而求得圆的半径.
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(二)必做题（12~16 题） 12.已知复数 z = (3 + i) 2 (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10 【解析】 z = (3 + i) 2 = 9 + 6i + i 2 = 8 + 6i ， z = 82 + 6 2 = 10 . 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a + bi( a, b ∈ R) 形式，利用
2 2 2
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了 数形结合的思想 和基本运算能力，是近年来常考题型.
-2-
6. 函数 f（x）=sinx-cos(x+
π )的值域为 6
C.[-1,1 ] D.[-
A． [ -2 ,2] 【答案】B
B.[- 3 , 3 ]
3 , 2
3 ] 2
y = log 2 x C A O
1
D B
y=
8 2m + 1
y=m x
【点评】在同一坐标系中作出 y=m，y=
8 (m＞0)， y = log 2 x 图像，结合图像可解得. 2m + 1
二 、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1 ： ⎨
【答案】 −4 【 解 析 】 输 入 x = −1 ,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： i = 2 : S = −6 + 2 + 3 = −3 ；
i = 1: S = −3( −1) + 1 + 1 = 5 ； i = 0 : S = 5( −1) + 0 + 1 = −4 ，所以输出的是 −4 .
3 3 意知 3 − r = 0, r = 3 ，所以二项展开式中的常数项为 T4 = C3 6 2 ( −1) = −160 .
【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 x = −1 ,n=3,则输出的数 S= .
x2 y 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c = 10, c = 5 . a 2 b2 b b x ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，∴1 = i2 ，即 a = 2b . a a
又∵ C 的渐近线为 y = ±
x2 y 2 又 c = a + b ，∴ a = 2 5,b = 5 ，∴ C 的方程为 =1. 20 5
π ，则 tanα=1”的逆否命题是 4 π π A.若α≠ ，则 tanα≠1 B. 若α= ，则 tanα≠1 4 4 π π C. 若 tanα≠1，则α≠ D. 若 tanα≠1，则α= 4 4
2.命题“若α= 【答案】C 【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ” ，所以 “若α= =1”的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠
-1-
是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样 本数据（xi，yi） （i=1，2， …，n） ，用最小二乘法建立的回归方程为 ̂ y =0.85x-85.71，则下列结 论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】 【解析】由回归方程为 ̂ y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线
【解析】曲线 C1 ： ⎨
曲线 C2 ： ⎨
⎧ x = a sin θ , x2 y 2 直角坐标方程为 2 + = 1 ，其与 x 轴交点为 (− a, 0), (a, 0) ， a 9 ⎩ y = 3cos θ
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由 a > 0 ，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上，知 a =
x2 y 2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 a 2 b2
D.
A．
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
x2 y 2 =1 20 80
[w~#ww.z z &s t^@ ]
【答案】A 【解析】设双曲线 C ：
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】∵ N = {0,1} M={-1,0,1} ∴ M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出 N = {0,1} ,再利用交集定义得出 M∩N.
π ，则 tanα 4
π ”. 4
【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题 的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下 面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能
ˆ = bx + a = bx + y − bx (a = y − bx ) ， 性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y
所以回归直线过样本点的中心（ x ， y ） ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是 找不正确的答案，易错. 5. 已知双曲线 C ：
8 (m＞0)， y = log 2 x 图像如下图， 2m + 1
8 − 8 2 m +1 ，得 x3 = 2 2 m +1 , x4 = 2 . 2m + 1
8 8 2 m +1 8 2 m+1
由 log 2 x = m，得 x1 = 2− m , x2 = 2 m ， log 2 x =
依照题意得 a = 2
−m
−2
−
8 2 m +1
,b = 2 − 2
m
8 2 m+1
b , = a
2 −2 2− m − 2
m
−
8 2 m +1
= 2m 2
=2
m+
8 2 m +1
.
∵m +
8 1 4 1 1 1 b =m+ + − ≥ 4 − = 3 ，∴ ( ) min = 8 2 . 2m + 1 2 m+ 1 2 2 2 a 2
A
B
C
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思 想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 AB, BC 的夹角为 ∠B 的外角.
��� � ��� �
8．已知两条直线 l1 ：y=m 和 l2 ： y=
8 (m＞0)， l1 与函数 y = log 2 x 的图像从左至右相 2m + 1
��� � ��� �
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【答案】A
【解析】由下图知 AB i BC = AB BC cos(π − B ) = 2 × BC × ( − cos B ) = 1.
��� � ��� �
��� � ��� �
��� �
∴ cos B =
AB 2 + BC 2 − AC 2 1 .又由余弦定理知 cos B = ，解得 BC = 3 . −2 BC 2 AB ⋅ BC
【 解 析 】 f （ x ） =sinx-cos(x+
3 1 π π ) = sin x − cos x + sin x = 3 sin( x − ) ， 6 2 2 6
π ∵ sin( x − ) ∈ [ −1,1] ，∴ f ( x ) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(ω x + ϕ ) 的形式，利用 sin(ω x + ϕ ) ∈ [ −1,1] ， 求得 f ( x ) 的值域. 7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3， AB i BC = 1 则 BC = ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A，B 两点.若 PA=1，AB=2，PO=3，则圆 O 的半径等于 _______.