第1讲 平面向量的概念及线性表示

第1讲平面向量的概念及线性表示◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算求两个向量和的交换律：结合律：的相反向|λa |＝ |λ||a | ，当λ＞0时，λa 与a3．平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .[知识感悟]1．三点共线的等价转化A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3．三角形的重心已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．[知识自测]1．(思考辨析)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(4)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(5)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( )(6)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (7)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√2．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.[答案] D3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的______条件．[解析] 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． [答案] 充分不必要题型一 平面向量的概念(基础保分题，自主练透)(1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④D ．①④[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③正确，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b .故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.[答案] A(2)(2017·北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若∃λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0，若m ·n<0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件，故选A.[答案] A方法感悟对于向量的概念应注意以下几条1．向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；2．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；3．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【针对补偿】 1．给出下列命题：①向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →＝0；③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；④AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线． 其中不正确的命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] ①正确；②中AB →＋BA →＝0，而不等于0；③正确；④中AB →与CD →所在直线还可能平行，综上可知②④不正确．故选A.[答案] A2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量即有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时a 与b 可以是任意向量．故选C.[答案] C3．(2018·滨州模拟)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |[解析]a |a |＝b|b |⇔a 与b 同向⇔a ＝λb 且λ＞0. [答案] C题型二 平面向量的线性运算(高频考点题、多角突破) 考向一 平面向量的加减运算1．(2018·湖南省永州市三模)如图，在△ABC 中，N 、P 分别是AC 、BN 的中点，设BA →＝a ，BC →＝b ，则AP →等于( )A.34a ＋14b B ．－34a ＋14bC ．－34a －14bD.34a －14b [解析] AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BN →＝－BA →＋12(BC →－NC →)，＝－BA →＋12⎝⎛⎭⎫BC →－12AC → ＝－BA →＋12BC →－14(AB →＋BC →)＝－34BA →＋14BC →＝－34a ＋14b ，故选：B.[答案] B2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.AD → B.12AD → C.BC →D.12BC →[解析] EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.[答案] A考向二 用已知向量表示未知向量3．(2018·吉大附中第五次模拟)在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →[解析] 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.[答案] D4．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → [解析] 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.[答案] D考向三 用线性运算求参数的值5．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为______．[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] 126．(2018·郑州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由MA →＋MB →＋MC →＝0，易得M 是△ABC 的重心，且重心M 分中线AE 的比为AM ∶ME ＝2∶1，∴AB →＋AC →＝2AE →＝mAM →＝2m 3AE →，∴2m 3＝2，∴m ＝3.[答案] B方法感悟平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．【针对补偿】4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b [解析] 如图，连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝CD →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .[答案] D5．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23[解析] ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29， 故选A. [答案] A题型三 共线向量定理及应用设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b ) ＝5AB →，所以AB →，BD →共线．又AB →与BD →有公共点B ，所以A 、B 、C 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1. 即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线．方法感悟(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【针对补偿】6．(2018·山东省济宁市二模试卷)在△ABC 中，点M 为边BC 上任意一点，点N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D.15[解] 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋12×tBC →＝12AB →＋t 2(AC→－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2， ∴λ＋μ＝12，故选：A.[答案] A7．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[解] ∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →.∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二十三)[A 基础巩固练]1．下列四个结论：①AB →＋BC →＋CA →＝0；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝0.其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，①正确；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →，②错；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BD →＋DC →＝CB →＋BC →＝0，③正确；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，④正确．故①③④正确．[答案] C2．(2018·北京市西城区一模)在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( ) A.AD →＝13AB →－23AC →B.AD →＝13AB →＋23AC →C.AD →＝23AB →－13AC →D.AD →＝23AB →＋13AC →[解析] ∵点D 满足BC →＝3BD →，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →，故选：D[答案] D3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3AB →.因为AB →与AD →有公共点A ，所以A 、B 、D 三点共线．故选A. [答案] A4．(2018·辽宁沈阳三模)已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝0C ．mn ＋1＝0D ．mn －1＝0[解析] 由AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )共线，得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即mn －1＝0，故选：D.[答案] D5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[解析]如图所示，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ， 所以CD →＝CE →＋CF →.因为AD →＝2DB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝23CB →，故CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案] A6．(2018·淮北市二模)如图，Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足：BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，(λ，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )A ．2 B.83 C ．3D.103[解析] AP →＝23AB →＋13AC →＝23λAM →＋13μAN →，因为M ，N ，P 三点共线，所以23λ＋13μ＝1，因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)⎝⎛⎭⎫23λ＋13μ＝43＋4μ3λ＋λ3μ≥43＋24μ3λ×λ3μ＝83，选B. [答案] B7．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝______.(用e 1，e 2表示)[解析] 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2 BM →＝CN →＋23BC →＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.[答案] －23e 1＋512e 28．(高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______；y ＝______.[解析] 因为AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)．所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y＝－16.[答案] 12；－169．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP→＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值是______．[解析]如图，因为AN →＝12NC →，P 是BN →上一点．所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.[答案] 1310．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →.又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.[B 能力提升练]1．(2018·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部[解析] 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.[答案] C2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析]∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD →＝－OC →， ∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABC S △AOC ＝4.[答案] B3．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为______． [解析] ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0， GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0， sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sinC.根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°. [答案] 60°4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是______．[解析] 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 5．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． [解] (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )．AE →＝23AD →＝13(a ＋b )．AF →＝12AC →＝12b .BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．[C 尖子生专练]已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. [证明] (1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA → ＋(1－m )OB → ＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线． 又∵BP →与BA →有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线， ∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。