第1讲 平面向量的概念及线性表示
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
z
A
7T
C
A.二1
B
逼
1C.-
D.5
2
2
2
2
14.若平面内不共线的向量
a ,b，
cBiblioteka Baidu两所成的角相等，
且|5| 1，|b|1 ,|C|2，则|a b C|
立的是
①
0；
ur r
②
e20;
ITUU
③e //e;
IT UU
④e //e，或o.
22.已知e,e是同一平面内两个不共线的向量，
UUTrr UJDr rUULT rr
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
置被向量a所唯一确定，这时向量oa又常叫做点a相对于点o的位置向量.
向量的线性运算
1.向量的加法:
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
运算性质
ab ba (a b ) c a (b c ) AB BC AC
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()
A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量
例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是()
A．②③B．①②C．③④D．④⑤
CA
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运
算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向
量－b的和的运算
叫做a与b的差三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a
的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与
a的方向相同；当λ＜0时，
λa的方向与a的方向相反；
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
例3：化简AC
→
－BD
→
＋CD
→
－AB
→
得() A.AB
→
B.DA
向量-------平面向量的定义及线性表示
■知i课梳理&
1向量的有关概念
(1)____________________________ 向量：既有大小，又有__________________________ 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 ________.
⑵零向量：长度为 __________ 的向量，其方向是不确定的.
(3) 单位向量：长度等于_________________ 的向量.
(4) 平行向量：方向相同或___________的非零向量，又叫共线向量，规定：__________________
⑸相等向量：长度相等且 ____________相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且____________相反的向量.
2•线性运算
(1)加法：三角形法则平行四边形法则.
(2)减法：•满足三角形法则.
(3)数乘：求实数入与向量a的积的运算.
大小:|入a=l川a|;
方向：当40时，入a的方向与a的方向_______________ ;当?<0时，入a的方向与a的方向
__________ ; 当 A 0 时，入a 0;
运算律：2(卩)=(入)!a; (J a=入汁(10； %a + b)=入汁入b.
f
f f f f
1 4
AD = — -AB + "AC ，若 BC = ?DC
f
+ yAC ,贝U x =
3. 共线向量定理
向量a （a 工0）与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 入使得 __________
诊断自测 1.
思考辨析（在括号内打“诚“x”）
（1）零向量与任意向量平行.（ ） ⑵若 a // b , b// c ,则 a // c .（ ） ⑶向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A , B , C , D 四点在一条直线上.（ ）
第一节 平面向量的概念及线性运算
第一节平面向量的概念及线性运算
考试要求
1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[知识排查·微点淘金]
知识点1平面向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或模)
平面向量是自由向量
零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的
单位向量长度等于1个单位长度的向量
单位向量记作a0，
a0＝±
a
|a|
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量0与任意向量共线
相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
知识点2平面向量的线性运算
向量 运算
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
减法
求a 与b 的相反向
量－b 的和的运算叫作a 与b 的差
三角形法则 (3)a －b ＝a ＋(－b )
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型
【考点分析】
考点一：向量的基本概念
①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．
⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算
考点三：向量共线定理
①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：
①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；
①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且
1.λμ+=
①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ
=+++． 【题型目录】
题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】
题型一： 平面向量的概念
【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.
第1课时 平面向量的概念及其线性运算
第1课时 平面向量的概念及其线性运算
吴兴昌编 文数组审
1.考纲点击
（1）了解向量的实际背景;
（2）理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; （3）理解向量的几何表示;
（4）掌握向量加法.减法的运算,并理解其几何意义;
（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; （6）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 2.热点提示
（1）重点考查平面向量的有关概念.线性运算及其几何表示;
（2）多以选择.填空的形式呈现,有时和其他知识相结合,在知识的交汇点处命题. 【考纲知识梳理】
1.向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 零向量 记作0
单位向量
平行向量 0
与任一向量平行或共线
共线向量 相等向量
相反向量
0 的相反向量为0
（2）向量的表示方法
①字母表示法,如：,a AB
等;
②几何表示法：用一条有向线段表示向量.
2.向量的线性运算 向量运算
定义
法则（或几何意义） 运算律
加法
求两个向量和的运
算
（1）交换律： a b b a +=+ .
（2）结合律：
()()a b c a b c ++=++
减法
求a 与b
的相反向
量b -
的和的运算叫做a 与b
的差
数乘
求实数λ与向量a
的积的运算
注：式子2222
||||2(||||)a b a b a b ++-=+
的几何意义为：平行四边形两条对角线的
平方和等于它们四条边的平方和.
3.向量(0)a a ≠
与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使.b a λ= 注：用向量法证明三点 A..B.C 共线时,首先求出AB AC 、
高考数学复习第4章平面向量第1讲平面向量及其线性运算
选 A.
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与|aa|的关系： |aa|是与 a 同方向的单位向量.
考点 2 平面向量的线性运算
例 2：(1)(2018 年新课标Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的
中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
解析：E→B＝12A→B＋12D→B＝12A→B＋14C→B＝12A→B＋14A→B－A→C＝
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
既有大小又有方向的量；向
向量 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
零向量
(或称模) 长度为零的向量；其方向是 任意的
记作 0
百度文库
(续表) 名称
定义
备注
单位向量
非零向量 a 的单位向 长度等于 1 个单位的向量 量为± a
|a|
共线向量
零向量与任一向量平
方向相同或相反的非零向量
34A→B＝152b－34a，故选 D. 答案：D
第1节平面向量的概念及线性运算-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)
(1)本部分知识较为琐碎,需要通过梳理分类,构建完整的知识体系,记忆
相关的概念、公式和结论.
(2)重视向量“数”“形”兼备的特点,解题时要注意数形结合思想和转化化
归的数学思想.
(3)重视向量的工具作用,复习时要了解并体会向量与其他知识交汇命题
的特点.
(4)向量数量积公式及其变形是本部分知识的重点,要理清各个知识点间
解析 由点 C 在线段 AB
上,且
设 AC=5,则 CB=2.∴AB=7.
∵ 和同向,∴ =
∵ 和反向,∴
.
5
.
7
2
=- .
7
=
5
,可画出图形如图,
2
C
上,且C
=
5
,则
2
6.(人教A版必修第二册6.2.3节例8改编)已知a,b是两个不共线的向量,若向
A.2CD + C
C.2CD − C
B.CD-2C
D.CD+2C
解析 如图, = + = +2 = +2( − )=2 − .
8.(2019·全国Ⅱ,理 3)已知 =(2,3),C=(3,t),|C|=1,则 ·C=( C )
A.-3
例1(1)(多选题)(2024·吉林实验繁荣学校模拟)下列命题正确的有( AD )
第1讲 平面向量的概念及线性运算
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第五章 平面向量
10
(3)若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心． (4)在△ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点 G(如图所示)， 易知 G 为△ABC 的重心，则有如下结论： ①G→A＋G→B＋G→C＝0； ②A→G＝13(A→B＋A→C)； ③G→D＝12(G→B＋G→C)，G→D＝16(A→B＋A→C)．
所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D.
当 a＝2b 时，|aa|＝|22bb|＝|bb|，故“a＝2b”是“|aa|＝|bb|”成立的充分条件．
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第五章 平面向量
22
3．给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
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第五章 平面向量
9
2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An→－1An＝A→1An.特别地，一个封闭图形首尾连接 而成的向量和为零向量． (2)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→P＝12(O→A＋O→B)．
高考数学一轮复习第1讲 平面向量的概念及线性运算
第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念 名称
定义
备注
向量 既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为030的向量
记作0，其方向是任意的 单位向量
长度等于041个单位的向量
与非零向量a 平行的单位向量为
±a
|a|
平行向量
方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向06相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向07相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运
算
交换律：
a＋b＝
08b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝
09a＋(b＋c)
续表
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
减法求a与b的相反向量
－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的
积的运算
|λa|＝10|λ||a|，当λ
＞0时，λa与a的方
向11相同；当λ＜0
时，λa与a的方向
12相反；当λ＝0
时，λa＝130
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝
14λa＋μa；
λ(a＋b)＝
15λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向
量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋A n －1A n ＝A1An →.特别地，一个封闭图形
首尾连接而成的向量和为零向量．
2．在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：
平面向量的概念及线性运算-课件
(1)|λa|= |λ||a| .
(2)当λ>0时,λa与a的方
向 相同 ;
当 向λ相<0时反,λ;a与a的方
当a=0时，λa=0;
当λ=0时,λa= .0
λ(μa)=
(λμ)a ;
(λ+μ)a=
λa＋μa ;
λ(a+b)=
λa＋λb .
3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一 个实数λ,使 b＝λa(a.≠0)
2.向量的线性运算
向量运算 加法
减法
定义
法则(或几 何意义)
求两个向量
和的运算法 则 三角, 形 平行四.边形
求两个向量 差的运算 三角形.
运算律
(1)交换律: a+b=b＋.a (2)结合律: (a+b)+c=_ _a_＋_ (b＋c) a-b= a＋(－. b)
数乘
求实数 λ与向 量a的 积的运 算
变式3-1 设两个非零向量e1,e2不共线,已知 AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点 共线,试求k的值.
解析： B D =C DC B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
若A、B、D三点共线，则 AB BD ， 从而存在唯一实数λ，使 ABBD， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， 整理得(2－λ)e1＝－(k＋4λ)e2，
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。它通常用有序数对表示，即(x,y)。其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。
平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。
1.向量的加法：
向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。
加法满足以下性质：
-交换律：A+B=B+A
-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)
-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A
2.向量的数乘：
向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。
数乘满足以下性质：
- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A
-1的作用：1*A=A
-0的作用：0*A=0
除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。
3.向量的减法：
向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差
定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
减法满足以下性质：
-A-A=0
4.向量的数量积：
向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。用符号表示为A·B。
数量积的性质：
-交换律：A·B=B·A
-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)
-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C
向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：
第一节 平面向量的概念及线性运算
错误；对于 B，模为 0 的向量为零向量，零向量和任意向量共
线，所以 B 正确；对于 C，共线向量是方向相同或相反的非
零向量，也叫平行向量，所以 C 错误；对于 D，零向量与它
的相反向量相等，所以 D 错误．故选 B. 答案：B
返回
2．在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是
()
A．|―A→B |＝|―A→D |一定成立 B．―A→C ＝―A→B ＋―A→D 一定成立
＋
―→ DB
＝
1 2
―→ AD
＋
1 2
―→ CB
＝
1 2
×
1 2
(
―→ AB
＋
―→ AC
)
＋
12(―A→B －―A→C )＝34―A→B －14―A→C .故选 A.
[答案] A
返回
(2)如图，在直角梯形 ABCD 中，―D→C ＝14―A→B ，
―B→E ＝2―E→C ， 且―A→E ＝r―A→B ＋s―A→D ，则 2r＋3s
为起点、B 为终点的向量记作―A→B ，也可用黑体的单个小写字母
a ，b ，c，…来表示向量． (2)向量的长度(模)：向量―A→B 的大小即向量
―A→B 的长度(模)，记为|―A→B |.
任意向量 a 的 模都是非负实
数，即|a |≥0.
2．几种特殊向量
第一课 平面向量的线性运算及其坐标表示
例 3.平面内给定三个向量 a (3, 2), b ( 1, 2), c (4,1) ，
回答下列问题：
（1）求 3a b 2c ； （2）求满足 a mb nc 的实数 m, n ； 解：（2） a mb nc m(1, 2) n(4,1)
| AB | | AC | 则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：OP OA ( AB AC ), [0, ),
| AB | | AC |
OAP OA( AB( ABAC ),AC)[0, ),
| AB || A|BA|C || AC |
AP ( AB AC ), [0, ),
A
则 1 2 的值为
．
D
解：DE DB BE 1 AB 2 BC
2
3
1
2
B
AB (BA AC )
2
3
EC
1 AB 2 AC
6
3
1
1 6
, 2
2 3
,
1
2
1 2
.
考点2 向量的线性运算的几何意义与单位向量
例2． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(1)λa 的 几 何 意 义 就 是 把 a 沿 着 与 a 相 同 (λ>0) 或 相 反 (λ<0) 的 方 向 伸 长 (|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍． (2)当两个向量a、b不共线时，k1a＋k2b＝0的充要条件是k1＝k2＝0.
【例1】 (2010年高考四川卷)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC―→2＝16， |AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|，则|AM―→|等于( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1
解析：如图，以 AB、AC 为邻边构造平行四边形 ABDC，由 BC―→2＝16，得|BC―→| ＝4，又 AB―→＋AC―→＝AD―→，AB―→－AC―→＝CB―→，|AB―→＋AC―→|＝|AB―→ －AC―→|，所以|AD―→|＝|BC―→|，即四边形 ABDC 为矩形．
1．给出下列命题： ①向量AB―→的长度与向量BA―→的长度相等； ②两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量一定是共线向量． 其中不正确命题的个数为( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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第1讲平面向量的概念及线性表示◆高考导航·顺风启程◆
[知识梳理]
1．向量的有关概念
2．向量的线性运算
求两个向量和的
交换律：结合律：的相反向
|λa |＝ |λ||a | ，当λ＞0时，λa 与a
3．平行向量基本定理
如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .
[知识感悟]
1．三点共线的等价转化
A ，P ，
B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →
(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →
(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．
2．向量的中线公式
若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB →
)．
3．三角形的重心
已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →
)⇔G 是△ABC 的重心．特别
地，P A →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心．
[知识自测]
1．(思考辨析)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )
(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(4)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )
(5)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( )
(6)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (7)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√
2．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
[解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →
，所以λa
＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，
1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.
[答案] D
3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的______条件．
[解析] 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． [答案] 充分不必要
题型一 平面向量的概念(基础保分题，自主练透)
(1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，
则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④
D ．①④
[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.
③正确，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b .故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
[答案] A
(2)(2017·北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 若∃λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0，若m ·n<0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件，故选A.
[答案] A
方法感悟
对于向量的概念应注意以下几条
1．向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；
2．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
3．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
【针对补偿】 1．给出下列命题：
①向量AB →与向量BA →
的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →
＝0；
③两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；