高二数学必修5全套教案(人教版)

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高中数学必修5精品教案

高中数学必修5精品教案
教学目标：
1. 理解函数的定义和基本性质；
2. 掌握函数的表示方法和常见函数的图像；
3. 能够应用函数解决实际问题。

教学重点：
1. 函数的定义和特点；
2. 函数表示方法和常见函数的图像；
3. 函数的应用。

教学难点：
1. 函数的性质和特点；
2. 函数的实际应用。

教学过程：
一、导入讨论（5分钟）
老师介绍函数的概念并举例说明，引导学生思考函数的特点和作用。

二、理论讲解（15分钟）
1. 函数的定义：对于每个自变量 x，对应唯一的因变量 y 的关系称为函数，记作 y = f(x)。

2. 函数的图像：常见函数图像及其特征；
3. 函数的性质：奇函数、偶函数、增函数、减函数等。

三、示例演练（20分钟）
老师通过简单的实例引导学生理解函数的计算方法和性质。

四、练习训练（15分钟）
学生独立或小组完成相关练习题，巩固函数的理论知识和计算技能。

五、实际应用（10分钟）
老师讲解函数在实际问题中的应用，引导学生理解函数在现实生活中的重要性。

六、课堂总结（5分钟）
老师总结本节课的重点内容，提醒学生复习和巩固函数的知识。

七、作业布置
布置相关作业，加深学生对函数的理解和掌握。

教学反思：
本节课通过理论讲解、示例演练、练习训练和实际应用的方式，使学生全面了解函数的概念和特点，并能熟练应用函数解决实际问题。

同时，通过引导学生思考函数在日常生活中的作用，激发他们对数学的兴趣和学习动力。

人教版高中数学必修五教案(全册)

人教版高中数学必修五教案(全册)
本教案共包括必修五全部章节，共计 xx 课时，主要涵盖以下
内容：
第一章函数的概念
本章主要介绍函数的概念、性质、分类以及函数图像的绘制等
方面的知识点。

通过本章的研究，学生将能够掌握函数的基本概念，理解函数的重要性以及掌握函数图像的绘制方法。

第二章三角函数
本章主要介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、图像及其性质等方面的知识点，并针对不同类型的三角函数进
行了详细的讲解。

通过本章的研究，学生将能够深入理解三角函数
的概念，掌握三角函数的性质，运用三角函数解决实际问题。

第三章数学归纳法与递推数列
本章主要介绍数学归纳法的基本原理及其在数学证明中的运用，同时通过递推数列的研究，进一步巩固对数学归纳法的理解和应用。

通过本章的研究，学生将能够掌握数学归纳法的基本原理及其在数
学证明中的应用，同时掌握递推数列的推导与实际应用技巧。

第四章极坐标系与参数方程
本章主要介绍极坐标系的定义、性质，以及参数方程的基本概
念与运用等方面的知识点。

通过本章的研究，学生将能够理解极坐
标系的概念与性质，掌握参数方程的推导与实际应用技巧。

第五章一元函数微积分学初步
本章主要介绍导数与微分、不定积分、定积分等知识点。

通过
本章的学习，学生将能够掌握导数与微分的基本概念与计算方法，
掌握不定积分与定积分的计算方法，以及这些知识在实际问题中的
应用。

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1.1．１正弦定理授课类型:新授课 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系,引导学生通过观察，推导，比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1.1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B,使边A Ｃ绕着顶点Ｃ转动。

Ａ思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然，边ＡB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图１．1-１)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。

如图1.1－2，在Rt ∆ＡBC 中,设BC=ａ,A Ｃ＝ｂ，A Ｂ=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1cC c==， A 则sin sin sin a b c c A B C=== ｂ c 从而在直角三角形A ＢC 中,sin sin sin a b cA B C==C a Ｂ (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图１.１－3，当∆A ＢＣ是锐角三角形时,设边AB 上的高是ＣD ，根据任意角三角函数的定义，有ＣD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =, b a从而sin sin abAB=sin cC=A ｃ B(图1.1－3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

【最新】高中数学人教版必修5全套教案

在MAC中，由正弦定理得
31
AC sin
MAC
3
35 3
MC =sin
AMC=
2
62
=35
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达
M汽车站。
作业：《习案》作业三
1.2解三角形应用举例第二课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
四、课后作业
课本第22页第1、2、3题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路
向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，
题目条
件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角
算出AC的对角，应用正弦定理算出
AB边。
AB
AC
解：根据正弦定理，得
sin ACB
=
sin
ACB
55sin 75
55sin75
AB =
sin A B C=
sin
ABC=
sin(180 51 75 )
精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
sin Bbsin A
28sin400
0.8999.
0
0
B 64
0
0
a
20
因为0
＜B＜180
，所以
，或B 116.

高中必修5数学教案

高中必修5数学教案
课题：直线和平面的位置关系
教学目标：
1. 熟练掌握直线与平面的位置关系及相关概念；
2. 能够运用相关知识解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点与难点：
1. 直线与平面的位置关系；
2. 直线与平面的交点问题。

教学准备：
1. 教材《高中数学必修5》；
2. 教学投影仪；
3. 典型例题解析。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过投影仪展示一幅图，其中有直线与平面相交的图形，请学生描述图中直线与平面的位置关系。

二、讲解与示范（15分钟）
1. 教师讲解直线与平面的定义和位置关系；
2. 展示几个经典的直线与平面的位置关系问题，并讲解解题思路。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生在纸上完成若干直线与平面的位置关系习题；
2. 学生讨论解题思路，并相互交流解题方法。

四、概念巩固（10分钟）
教师对学生提出的问题进行解答，并强调直线与平面的位置关系概念。

五、拓展应用（10分钟）
教师出示一些实际问题，要求学生运用直线与平面的位置关系知识解决问题。

六、课堂小结（5分钟）
教师对今天的教学内容进行总结，强调直线与平面的位置关系的重要性。

七、课后作业
1. 完成相关教材习题；
2. 查找一些实际问题，尝试运用直线与平面的位置关系知识解决。

教学反思：
通过此次教学，学生对直线与平面的位置关系有了更深入的理解，提高了解题能力和逻辑思维能力。

在以后的教学中，需要更多地进行实际应用练习，提高学生的问题解决能力。

高中数学必修5整套教案

高中数学必修5整套教案教学目标：学生能够区分和应用直线和平面的基本概念，理解直线和平面之间的关系。

教学重点：直线与平面的定义、性质和关系。

教学难点：平面的方程和直线与平面的交点问题。

教学过程：一、导入讨论：通过展示一些实际生活中的直线和平面的例子，引出直线和平面的概念。

二、概念讲解：介绍直线和平面的定义、特点和性质，并让学生做一些相关的练习。

三、直线与平面的关系：讲解直线和平面之间的关系，并通过实际例子辅助理解。

四、实例分析：解决一些直线与平面的交点问题，让学生能够灵活应用所学知识。

五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。

第二课：圆的基本概念教学目标：学生能够掌握圆的相关概念和性质，理解圆的作图和计算方法。

教学重点：圆的定义、圆周率及相关概念。

教学难点：圆的作图及相关计算题目。

教学过程：一、导入讨论：通过展示圆的相关图片，引入圆的概念。

二、概念讲解：介绍圆的定义、性质和相关概念，并让学生做一些相关的练习。

三、圆的作图：讲解圆的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。

四、圆周率的应用：介绍圆周率的概念和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。

五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。

第三课：三角形的基本概念教学目标：学生能够掌握三角形的相关概念和性质，理解三角形的分类和计算方法。

教学重点：三角形的定义、分类及性质。

教学难点：三角形的作图及相关计算题目。

教学过程：一、导入讨论：通过展示三角形的相关图片，引入三角形的概念。

二、概念讲解：介绍三角形的定义、性质和分类，并让学生做一些相关的练习。

三、三角形的作图：讲解三角形的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。

四、三角形的应用：介绍三角形的应用知识和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。

高中数学人教版必修5教案

b Ac a Bcos B。

2.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系3.培养数形结合的能力.二、教学重点: 熟练掌握一元二次不等式的解法;教学难点: 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

三、教学过程: 1、复习回顾:一元二次方程、二次函数。

2.引入:P 76 互联网的收费问题。

3.一元二次不等式:(1) 一元二次不等式的定义:只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式. (2) 一元二次不等式的解集:画出二次函数的图象, 如图, 观察函数图象, 可知:当 x<0, 或x>5时, 函数图象位于x 轴上方, 此时, y>0,即；当0<x<5时, 函数图象位于x 轴下方, 此时, y<0,即；所以, 不等式的解集是 .(3) 探究一般的一元二次不等式的解法(a>0) 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根a bx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩画出不等式组所表示的平面区域。

(2) 若生产一件甲产品获利2万元, 生产一件乙产品获利3万元, 采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件, 乙产品y 件时, 工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.可以看到, 直线与不等式组的区域的交点满足不等式组, 而且当截距最大时, z 取得最大值。

高中数学优秀教案人教版---必修5全册教案

2教.正学弦重定点理1的.正证弦明定及理其的基概本念应；用． 2教.已学知难两点边1和.正其弦中定一理边的的探对索角和解证三明角；形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个
三维目标
一1.通、过知对识任与意技三能角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二12..让引、学导过生学程从生与已通方有过法的观几察、何推知导识、出比发,较共，同由探特究殊在到任一意般三归角纳形出中正，弦边定与理其；对角的关系； 3.进行定理基本应用的实践操作．三1.培、养情学感生态在度方与程价思值想观指导下处理解三角形问题的运算能力；的2.培联养系学来生体探现索事数物学之规间律的的普思遍维联能系力与，辩通证过统三一角．函数、正弦定理、向量的数量积等知识间
第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
本章内容是处理三角形中的边角关系从，容与说初课中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中示有呢?大”在边引对入大余角弦，小定边理对内小容角时的，边提角出关探系究.性我问们题是“否如能果得已到知这三个角边形、的角两的条关边系及准其确所量夹化的的角表, 根的据角三度角来形研全究等这的个判问定题，方也法就，这是个研三究角如形何是从大已小知、的形两状边完和全它确们定的的夹三角角计形算.我出们三仍角然形从的量另化一的边和知两识个有角了的新问的题认”识．，这同样时，使用新联知系识的建观立点在，已从有新知的识角的度坚看实过基去础的上问，题形，成使良学好生的对知于识过结去构．
新课标(人教版 A)

高中数学必修五教案(精选5篇)

高中数学必修五教案（精选5篇）高中数学必修五教案篇一教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

B、能力目标：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标：（数学文化价值）（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的。

心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代教育多媒体技术。

教学过程一、创设情景，导入新课。

师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。

提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。

（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

我们来看这样一道一例题。

例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

高中数学必修五教案优秀8篇

高中数学必修五教案优秀8篇新课标高中数学必修5教案篇一知识与技能：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。

过程与方法：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。

情感态度价值观：通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。

通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用两角差余弦公式的推导过程预习自学案一、知识链接1、写出的三角函数线：2、向量，的数量积，①定义：②坐标运算法则：3、，，那么是否等于呢？下面我们就探讨两角差的余弦公式二、教材导读1、、两角差的余弦公式的推导思路如图，建立单位圆O（1）利用单位圆上的三角函数线设则又OM=OB+BM=OB+CP=OA_____ +AP_____=从而得到两角差的余弦公式：____________________________________（2）利用两点间距离公式如图，角的终边与单位圆交于A( )角的终边与单位圆交于B( )角的终边与单位圆交于P( )点T( )AB与PT关系如何？从而得到两角差的余弦公式：____________________________________（3）利用平面向量的知识用表示向量，=（，） =（，）则。

=设与的夹角为①当时:=从而得出②当时显然此时已经不是向量的夹角，在范围内，是向量夹角的补角。

我们设夹角为，则 + =此时 =从而得出2、两角差的余弦公式____________________________三、预习检测1、利用余弦公式计算的值。

2、怎样求的值你的疑惑是什么？______________________________________________________________________________________________________________ 探究案例1. 利用差角余弦公式求的值。

例2.已知，是第三象限角，求的值。

训练案一、基础训练题1、2、¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬3、二、综合题-------------------------------------------------- 高中数学学习方法技巧总结篇二基础很重要，保持耐心多巩固要学好数学，最关键的是要有一个好的基础。

高二数学教案必修五高二数学教案设计全套

高二数学教案必修五高二数学教案设计全套一、教学目标1.理解等差数列的定义、性质及通项公式。

2.掌握等差数列的前n项和公式及其应用。

3.能够运用等差数列解决实际问题。

二、教学重点与难点1.教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式。

2.教学难点：等差数列通项公式的推导和前n项和公式的应用。

三、教学过程第一课时：等差数列的定义与性质1.导入新课利用生活中的实例，如楼梯的每一级高度、音符的频率等，引导学生发现等差数列的存在。

2.等差数列的定义通过实例，讲解等差数列的定义：一个数列，如果从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

引导学生观察等差数列的特点，如数列中的每一项都是前一项加上常数。

3.等差数列的性质讲解等差数列的性质，如：任意两项的和等于这两项中间项的两倍。

通过例题，让学生掌握等差数列的性质，并能够运用性质解决简单问题。

4.练习与巩固布置一些练习题，让学生独立完成，巩固等差数列的定义和性质。

第二课时：等差数列的通项公式1.等差数列通项公式的推导利用等差数列的定义，引导学生推导出通项公式：an=a1+(n-1)d。

讲解通项公式的意义，即数列中的第n项可以通过首项a1和公差d来计算。

2.等差数列通项公式的应用通过例题，让学生掌握如何利用通项公式解决实际问题，如已知数列的首项和公差，求第n项的值。

引导学生发现，通项公式可以用来解决数列中的各种问题，如数列的最大值、最小值等。

3.练习与巩固布置一些练习题，让学生独立完成，巩固等差数列通项公式的应用。

第三课时：等差数列的前n项和公式1.等差数列前n项和公式的推导利用等差数列的通项公式，引导学生推导出前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2。

讲解前n项和公式的意义，即数列的前n项和可以通过首项a1和第n项an来计算。

2.等差数列前n项和公式的应用通过例题，让学生掌握如何利用前n项和公式解决实际问题，如已知数列的首项和公差，求前n项和的值。

高中数学必修五全套教案

高中数学必修五全套教案教案一：立体几何教学目标：学生掌握立体几何中的基本概念和定理，能够运用这些知识解决实际问题。

教学内容：平行四边形、立体图形的体积和表面积计算、空间直角坐标系等。

教学步骤：1. 引入立体几何的基本概念，让学生认识平行四边形、立方体、棱锥等图形。

2. 教授计算立体图形的体积和表面积的方法，包括长方体、正方体等常见图形的计算。

3. 练习题：让学生做一些相关的计算题目，巩固所学知识。

4. 拓展练习：让学生在实际情境中应用所学知识，解决实际问题。

教学评价：通过课堂练习和作业，检验学生对立体几何的掌握程度，及时纠正错误，提高学生的学习兴趣。

教案二：三角函数教学目标：学生掌握三角函数的基本概念和性质，能够灵活运用三角函数解决实际问题。

教学内容：三角函数的定义、性质、图像、变化规律、基本三角恒等式等。

教学步骤：1. 引入三角函数的概念，让学生了解正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。

2. 教授三角函数的图像及变化规律，让学生熟练掌握三角函数的变化趋势。

3. 教授基本三角恒等式的应用方法，让学生学会如何灵活运用。

4. 拓展练习：让学生在更加复杂的题目中练习，提高解决问题的能力。

教学评价：通过课堂表现和考试评分，检验学生对三角函数的理解和运用能力，及时纠正错误，提高学生的学习兴趣。

教案三：概率与统计教学目标：学生掌握概率与统计的基本概念和方法，能够应用这些知识解决实际问题。

教学内容：概率的定义、性质、计算方法、统计的基本概念、频数分布表等。

教学步骤：1. 引入概率与统计的基本概念，让学生了解随机事件、概率、频数等概念。

2. 教授概率的计算方法，包括古典概率、几何概率等，让学生掌握不同方法的应用。

3. 教授统计的基本方法，包括频数分布表、直方图、折线图等，让学生熟练掌握数据的统计与分析。

4. 拓展练习：让学生在更加复杂的情境中练习，提高解决问题的能力。

教学评价：通过课堂表现和作业完成情况，检验学生对概率与统计的理解和运用能力，及时纠正错误，提高学生的学习兴趣。

高中数学必修五教案人教版

高中数学必修五教案人教版
教案名称：一元二次方程
教学目标：
1. 了解一元二次方程的概念和性质
2. 能够用公式求解一元二次方程
3. 能够应用一元二次方程解决实际问题
教学重点：
1. 一元二次方程的定义和性质
2. 一元二次方程的解法
3. 一元二次方程的应用
教学难点：
1. 解决一元二次方程实际问题时的思考过程
2. 不同形式的一元二次方程的解法选择
教学步骤：
一、导入新课
教师简要介绍一元二次方程的基本概念，并通过一个简单的例子引入新知识。

二、讲解一元二次方程的定义和性质
1. 介绍一元二次方程的一般形式及系数的含义
2. 讲解一元二次方程的解的个数及性质
3. 引导学生理解一元二次方程的图像和特点
三、讲解一元二次方程的解法
1. 介绍一元二次方程求解的常用方法：配方法、公式法和因式分解法
2. 案例演练，让学生掌握不同方法的应用技巧
四、讲解一元二次方程的应用
1. 指导学生如何将实际问题转化为一元二次方程
2. 案例分析，让学生理解一元二次方程在实际生活中的应用
五、课堂练习
布置练习题，帮助学生巩固所学知识并提高解题能力。

六、课堂总结
教师总结本节课的重点内容，并鼓励学生勤加练习，提高解题能力。

教学反思：
本节课通过引导学生了解一元二次方程的概念和性质，讲解了一元二次方程的解法和应用，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。

在教学过程中，教师应注重案例分析和实际问
题应用，激发学生学习兴趣和思维能力，提高他们的数学素养。

人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]

1.1.1正弦定理教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题.2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程.教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导.生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D .师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设60∠=︒ACB ，45∠=︒ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？生3：由tan45tan3010AB AB οο-=求出AB .师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ∆中，能求出AD ,也就求出了AB .在∆ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！生4：直角三角形.师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？生5：思考交流得出，如图4，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,则有sin a a A c =，sin b b B c =，又1sin c cC c==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==（二）证明猜想，得出定理师生活动：教师：那么，在斜三角形中也成立吗？用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）学生6：思考得出①在ABC ∆中，成立，如前面检验.②在锐角三角形中，如图5设BC a =，CA b =，AB c =作：AD BC ⊥，垂足为D 在Rt ABD ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADC AC=sin sin AD AC C b C ∴=•=• sin sin c B b C ∴=sin sin c bC B∴= 同理，在ABC ∆中，sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B C∴== ③在钝角三角形中，如图6设C ∠为钝角，BC a =，CA b =，AB c =，作AD BC ⊥交BC 的延长线于D .在Rt ADB ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADACD AC∠=sin sin AD AC ACD b ACB ∴=•∠=•∠sin sin c B b ACB ∴•=•∠sin sin c bACB B∴=∠同锐角三角形证明可知sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B ACB∴==∠ 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？学生要思考一下.师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？生7：向量的数量积师：那向量的数量积的表达式是什么？生8：cos ,a b a b a b •=<>r r r r r r师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦. 生：利用诱导公式.师：式子变形为：cos()cos()22ππ-=-u u u r u u u r CB A CA B ,师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！学生讨论合作，就可以解决这个问题教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索.设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程. （三）利用定理，解决引例师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题. 学生：马上得出在ABC ∆中，18060,sin sin c bB AC C B∠=-∠-∠==oosin 600sin 45sin sin 60b C c B ••︒∴===︒（四）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望. （五）运用定理，解决例题师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题. 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如sin sin b Aa B =； ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sin sin aA B b=.师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤.例1：在ABC ∆中，已知∠30A =︒，∠45B =︒，6a =cm ，解三角形.【解析】“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为︒180求出第三个角∠C ，再由正弦定理求其他两边.解：由题意得，∠C =180°-30°-45°=105°由正弦定理得，6sin 21sin 2a Bb A⨯===6sin 41sin 2a C c A===+例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）.解：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B （1）当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630sin sin40a C c A ==≈cm（2）当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，（六）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容. 学生：思考交流，归纳总结.师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（2sin sin sin a b cR A B C===）及其证明思想方法. （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. （3）分类讨论的数学思想.1.2 应用举例第1课时解三角形的实际应用教学目标1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)教学过程教材整理1基线的概念阅读教材，完成下列问题．1．定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()【解析】(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2测量中有关角的概念阅读教材，完成下列问题．1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-1(1)所示)．图1-2-1(1)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图1-2-1(2)所示)图1-2-1(2)教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．()【解析】(1)√，由方向角的定义可知．(2)√，由仰角与俯角的定义可知．(3)×，点Q 在点P 的南偏西44°. 【答案】 (1)√例1 要测量对岸A ，两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【精彩点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．【解】如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°， ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.名师指津三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[再练一题]1．如图1-2-2，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离.图1-2-2【解】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°，则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)．即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.例2 (1)如图1-2-345°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米图1-2-3(2)在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．【解析】 (1)设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m. 在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，∴EC ＝CD ·tan 60°＝20 3 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋203)m.选B.【答案】(1)D(2)B名师指津解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．[再练一题]2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-4所示，竖直放置的标杆BC 的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.图1-2-4【解】由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H 是124 m.探究1 45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【提示】用线段CD 表示山，用△DAB 表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．探究2在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.图1-2-5例3如图1-2-5，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan 30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB ＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．名师指津测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[再练一题]3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是() A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋500h，解得h＝500(m)．【答案】 D当堂检测1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m【解析】如图，设旗杆高为h，则d1＝htan 50°，d2＝htan 40°.因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.【答案】 B2．如图1-2-6，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()图1-2-6A．503米B．1003米C．50米D．100米【解析】因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503米．【答案】 A3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或 3.【答案】 C4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.【答案】200(3＋1)5．如图1-2-7所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.图1-2-7请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【解】第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得AEsin β＝EFsin(180°－α－β)，解得AE＝a sin βsin(α＋β).第二步：在△CEF中，同理可得CE＝a sin φsin(θ＋φ).第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos γ＝a2sin2βsin2(α＋β)＋a2sin2φsin2(θ＋φ)－2a2sin βsin φcos γsin(α＋β)sin(θ＋φ).§2.1 数列的概念与简单表示法教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1. 若用a n 表示每一层的钢管数，则a 1＝4； a 2＝5＝4＋1＝a 1＋1；a 3＝6＝5＋1＝a 2＋1； a 4＝7＝6＋1＝a 3＋1；a 5＝8＝7＋1＝a 4＋1； a 6＝9＝8＋1＝a 5＋1；a 7＝10＝9＋1＝a 6＋1；即：a n ＝a n －1＋1(2≤n ≤7，n ∈N *)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 2.例题讲解例1 已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2 ＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85 .例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝3a n －1＋a n －2(n ≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3a 2＋a 1＝7，a 4＝3a 3＋a 2＝23 Ⅱ.课堂练习写出下面数列{a n }的前5项.1.a 1＝5，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)解法一：a 1＝5；a 2＝a 1＋3＝8；a 3＝a 2＋3＝11；a 4＝a 3＋3＝14；a 5＝a 4＋3＝17.评析：由已知中的a 1与递推公式a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，得a n －a n －1＝3则a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，……，a n －1－a n －2＝3，a n －a n －1＝3 将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2) 又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2 则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1＝2 若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n (n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2) 解：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2), 得a 1＝1，a 2＝a 1＋1a 1＝2, a 3＝a 2＋1a 2 ＝52 ,a 4＝a 3＋1a 3 ＝52 ＋25 ＝2910, a 5＝a 4＋1a 4 ＝2910 ＋1029 ＝941290Ⅲ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他的项.2.2 等差数列教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.教学用具：投影仪教学设想创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.探索研究由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72.提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A -a =b -A所以就有由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.看来，从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q则等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.⑴我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式.由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20 a b a b 2b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.⑵那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：所以……思考：那么通项公式到底如何表达呢？……n a n 5=)1(548-+=n a n )1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）：是等差数列，所以……两边分别相加得所以（迭代法）：是等差数列，则有……所以例题分析例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由=8，d =5-8=-3，n =20，得⑵由=-5，d =-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ,使得-401=-4n -1成立.解这个关于n 的方程，得n =100，即-401是这个数列的第100项.例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km 处的车费，公差d =1.2.那么当出租车行至14km 处时，n =11，此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元.例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.例3：已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？【解析】判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数.解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），1a 49)3()121(820-=-⨯-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a }{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a }{n a 1-n n a a 与。

高中数学必修5教案全套

高中数学必修5教案全套
课程名称：高中数学必修5
教学目标：通过本课程的学习，学生将掌握函数的概念，了解导数的计算及应用，具备对函数进行分析和优化的能力。

第一课：函数的基本概念
教学内容：
1. 函数的定义及表示方法
2. 函数的性质和分类
3. 函数的图像及其特点
教学方法：讲解结合实例演练，引导学生理解函数的概念，通过练习掌握函数的性质和分类。

第二课：导数的概念
教学内容：
1. 导数的概念和定义
2. 导数的计算方法
3. 导数在函数中的应用
教学方法：讲解结合实例演练，引导学生掌握导数的概念和计算方法，能够运用导数进行函数的分析和优化。

第三课：导数的运算法则
教学内容：
1. 导数的四则运算法则
2. 高阶导数的概念和计算方法
3. 求导数的应用实例分析
教学方法：讲解结合实例演练，引导学生掌握导数的运算法则和高阶导数的计算方法，能够运用导数进行复杂函数的分析和优化。

第四课：微分学应用
教学内容：
1. 函数的极值和拐点
2. 函数的图形和渐进线
3. 函数的最大值和最小值
教学方法：讲解结合实例演练，引导学生掌握函数的极值和拐点的判别方法，能够运用微分学知识进行函数图形的分析和优化。

第五课：函数的数学建模
教学内容：
1. 函数在现实问题中的应用
2. 函数的数学建模步骤和方法
3. 函数模型的验证和优化
教学方法：讲解结合实例演练，引导学生掌握函数在现实问题中的应用和建模方法，能够运用函数模型进行问题的解决和优化。

以上为高中数学必修5课程的教学范本，希望能帮助到您进行课程的教学工作。

祝教学顺利！。

人教版高中必修五数学教案

人教版高中必修五数学教案
课时：第一课时
教学内容：数学基础概念
教学目标：
1.了解数学的起源和发展历史。

2.理解数学基本概念和术语。

3.掌握数学基础知识。

教学重点、难点：
1.数学的起源和发展历史。

2.数学基本概念和术语的理解。

教学方法：讲授、示范演练、讨论
教具准备：教科书、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入：用一个问题引导学生思考数学的起源和意义。

二、讲解：介绍数学的起源和发展历史，引导学生了解数学的重要性。

三、讲解：介绍数学的基本概念和术语，引导学生掌握数学基础知识。

四、示范演练：通过例题演练，让学生掌握数学基础知识。

五、讨论：让学生讨论数学在日常生活中的应用，并分享自己的观点。

六、总结：对本节课的内容进行总结，并布置作业。

教学反思：本节课主要介绍了数学的基础概念和发展历史，通过讲解、示范演练和讨论，让学生深入理解数学的重要性和应用价值。

在未来的教学中，应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

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cosC b2 a2 c 2 2ba
[ 理解定理 ]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，
如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC中， C=900 ，则 cosC 0 ，这时 c2 a2 b2
（1）定理的表示形式：
a
b
c
a bc
kk 0；
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
或 a k sin A， b k sin B ， c k sin C (k 0)
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
13(cm).
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ . 课堂练习
第 5 页练习第 1（ 1）、 2（ 1）题。
[ 补充练习 ] 已知 ABC中， sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，求 a: b: c
（答案： 1： 2： 3）
Ⅳ . 课时小结（由学生归纳总结）
●教学目标

课题 : §1．1． 3 解三角形的进一步讨论
7
授课类型：新授课
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ. 课题导入 [ 创设情景 ]