复变函数与积分变换1.6复变函数的极限和连续性

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复变函数与积分变换知识点

复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。

而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。

本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。

1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。

复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。

（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。

（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。

（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。

2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。

设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。

复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域设 z 平面上的区域 D，若在 D 内无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D，则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个）点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

复变函数与积分变换速成

复变函数与积分变换
一、什么是复变函数
复变函数是一种特殊的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数，而不是将实数映射到
实数。

复变函数的定义域是实数，值域是复数，它可以用来描述某种物理现象，也可以用
来解决复数的问题。

例如，一个常见的复变函数是指数函数：
f(x)=e^x
它将实数x映射到复数e^x。

二、什么是积分变换
积分变换是一种将复变函数变换为另一个复变函数的方法，它可以用来解决复数问题。

积
分变换通过对复变函数进行积分来实现变换，而且还可以用来求解复数的微分方程。

例如，有一个复变函数f(x)=e^x，我们可以通过积分变换将其变换为另一个复变函数：
F(x)=∫e^xdx=e^x
由此可见，积分变换可以将一个复变函数变换为另一个复变函数，从而解决复数问题。

三、复变函数与积分变换的应用
复变函数与积分变换在很多领域都有广泛的应用，例如在电磁学、电路分析、信号处理等
领域，都有复变函数与积分变换的应用。

1、在电磁学中，复变函数可以用来描述电磁场，积分变换可以用来求解电磁场的微分方程。

2、在电路分析中，复变函数可以用来描述电路，积分变换可以用来求解电路的微分方程。

3、在信号处理中，复变函数可以用来描述信号，积分变换可以用来求解信号的微分方程。

四、总结
复变函数是一种特殊的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数，而不是将实数映射到实数。

积分变换是一种将复变函数变换为另一个复变函数的方法，它可以用来解决复数问题。

复变函数与积分变换在很多领域都有广泛的应用，例如在电磁学、电路分析、信号处理等领域，都有复变函数与积分变换的应用。

复变函数-总结

所以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记作 .这样的球面

复变函数与积分变换PPT_图文_图文

x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一点z, 用直线将z 与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直

复变函数第二章 1-2

二、连续性定义 6.2 若 lim f ( z ) = f (z0 ) , 则称 f ( z ) 在 z0 点连续 ; z→ z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注：（1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？否 . z

复变函数与积分变换国外经典教材

标题：探讨复变函数与积分变换在国外经典教材中的应用概述复变函数与积分变换是数学中重要的概念，它们在国外的经典教材中得到了深入研究与广泛应用。

本文将着重探讨这两个主题在国外经典教材中的具体内容和应用。

首先将介绍复变函数和积分变换的基本概念，然后分别从国外的经典教材中选取具有代表性的章节，深入分析其相关内容与应用。

最后将总结复变函数与积分变换在国外经典教材中的重要性和价值。

一、复变函数的基本概念1.1 复数与复平面在国外经典教材中，复变函数往往是以复数和复平面为基础展开讨论的。

复数的概念包括实部与虚部，复平面则是用来表示复数的二维平面。

复数的运算规则、复平面中复数的表示等内容，在教材中都有详细的讲解和丰富的例题。

1.2 复变函数的基本性质复变函数的基本性质是复分析领域的核心内容之一。

在国外经典教材中，通常会深入讨论复变函数的连续性、可导性、解析性等概念，以及相关的定理与推论。

这些内容对于理解复变函数的本质和特点具有重要意义。

1.3 应用举例：洛伦兹变换洛伦兹变换是相对论中重要的基本概念，它可以通过复变函数的方法来进行深入的解释和推导。

国外经典教材中往往会从复变函数的角度来探讨洛伦兹变换的数学原理，这为学生提供了一种全新的视角来理解这一重要的物理现象。

二、积分变换的基本概念2.1 积分变换的定义积分变换是数学中重要的分析工具，它在国外的经典教材中得到了深入的探讨。

教材通常会从积分变换的定义开始，介绍其基本的概念和性质，为后续的应用做好铺垫。

2.2 傅里叶变换傅里叶变换是积分变换领域中的一大重要内容，国外经典教材中对其进行了详细的学习和讨论。

从傅里叶级数到傅里叶变换，教材往往会从浅显到深入地介绍其理论基础和具体应用。

2.3 应用举例：信号处理在现代科学与工程技术中，信号处理是一个非常重要的领域。

积分变换在信号处理中有着广泛的应用，国外经典教材往往会通过具体的案例和实践来说明积分变换在信号处理中的重要性和实用价值。

《复变函数与积分变换》课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。

对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。

并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。

并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。

为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。

复变函数

x x0 y y0
r cos 则 f (z) cos , r
33
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
y
u x2 y2 ,
x
z w
2
x y 4 u 4,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u c1 , v c2 . (如下页图)
17
y
v
W
x
o
o
u
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.
18
7. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点.
2 2
v o
4
2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
22
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
π ( 3) 扇形域 0 , 0 r 2. 4 解设 z re i , w e i , 则 r 2 , 2 ,
π 故扇形域 0 , 4 0 r 2映射为
x : 自变量
y : 因变量

1-6复变函数的极限和连续性

, ∃δ > 0 , 当z ∈ N δ ( z0 ) 时
f ( z ) − f ( z0 ) ≤ f ( z ) − f ( z 0 ) < ε
故 0< f ( z0 ) 2 < f ( z0 ) - ε < f ( z ) ≤ f ( z0 ) + ε
∴ f ( z) ≠ 0
25
32. 试证 arg z 在原点与负实轴上不连续 .
那末 lim f ( z ) = A 的充要条件是
z → z0 x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v0 .
证明:书上26页证明:书上26页 26
4
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
8
当 z 沿不同的射线 arg z = θ 趋于零时, f ( z )趋于不同的值 . 例如 z 沿正实轴 arg z = 0 趋于零时, f ( z ) → 1,
π 沿 arg z = 趋于零时 , f ( z ) → 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
z→0 →
9
1z z 例2 设 f ( z ) = − ( z ≠ 0 ) 2i z z 证明：当 z → 0时， f ( z )的极限不存在
2
= ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = z1 z1 + z2 z2 − z2 z1 − z1 z2

复变函数与积分变换经典-复变函数

解法
通过积分求解，即 $f(z) = int g(z) dz$。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含未知函数的高阶导数的方程。
形式
$f^{(n)}(z) = g(z)$，其中 $f^{(n)}(z)$ 表示函数 $f(z)$ 的第 $n$ 次导数，$g(z)$ 是已知函数。
解法
通过求解一系列一阶微分方程来求解高阶微分方程。
线性微分方程组
定义
01
线性微分方程组是包含多个未知函数的线性微分方程的集合。
形式
02
$sum_{i=1}^{n} a_i(z) f_i'(z) = g(z)$，其中 $a_i(z)$ 和
$g(z)$ 是已知函数，$f_i(z)$ 是未知函数。
解法
03
通过求解一系列一阶和二阶线性微分方程来求解线性微分方程
应用
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可以用于求解某些复杂函数的积分问题。
积分公式与路径无关
路径无关
对于复数函数 $f(z)$，如果 $int_{a}^{b} f(z) dz = int_{c}^{d} f(z) dz$，则称该积分与路径无关。
应用
在解决某些积分问题时，可以利用路径无关的性质选择合适的路径进行计算，简化计算过程。
柯西积分公式
柯西积分公式
如果 $f(z)$ 在包含原点的区域 $D$ 内解析，且 $a, b in D$，则 $int_{a}^{b} f(z) dz = frac{1}{2pi i} int_{C} frac{f(z)}{z-b} dz$，其中 $C$ 是从 $a$ 到 $b$ 的任意封闭曲线。
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和，即 $z = x + yi$，其中 $x$ 是实部，$y$ 是虚部。

大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点

ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章复变函数一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。