【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：专题探究课1 函数与导数

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【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第6章不等式、推理与证

第四节归纳与类比[考纲传真] (教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．(对应学生用书第99页)[基础知识填充]1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27B[5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.]4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [这两个正四面体的体积比为V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13S 1h 1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝1∶8.]5．观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个．．．不等式为________． 1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.](对应学生用书第100页)◎角度1 与数字有关的推理(2018·兰州实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.n 2 [因为1＝1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……，由此可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.]◎角度2 与式子有关的推理已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 019(x )的表达式为________.【导学号：79140205】f 2 019(x )＝x1＋2 019x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x1＋nx，归纳可得f 2 019(x )＝x1＋2 019x .]◎角度3 与图形有关的推理如图641的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．图641n (n ＋1)2(n ∈N ＋) [由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．]与数字有关的等式的推理与式子有关的推理与图形变化有关的推理真伪性.[跟踪训练] (1)数列2，3，3，4，4，4，…，m ＋1，m ＋1，…，m ＋1，…的第20项是( )A.58B.34C.57D.67(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝__________. (3)(2018·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为( ) A ．42 B ．65 C ．143D ．169(1)C (2)n n(n ∈N ＋) (3)B [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. (3)可以通过列表归纳分析得到．所以凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝2＝65条对角线．故选B.](1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图642)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．图642(1)D (2)AE EB ＝S △ACDS △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n . 法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.]常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比和与积、乘与乘方，差与除，除与开方等.处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键[跟踪训练①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [类比结论正确的有①②.]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第2章函数、导数及其应

第十二节定积分与微积分基本定理[考纲传真] (教师用书独具)1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．(对应学生用书第42页)[基础知识填充]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点δi (i ＝1,2，…，n )，作和式s ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n .当每个小区间的长度Δx 趋于0时，s ′的值趋于一个常数A ．我们称常数A 叫作函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，⎠⎛叫作积分号，a 与b 分别叫作积分下限与积分上限，函数f (x )叫作被积函数．(3)定积分的几何意义2.(1)⎠⎛a b 1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(3)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b )．3．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[知识拓展] 函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛abf (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )(3)若⎠⎛ab f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图像，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20 C ．103t 20 D ．53t 20B [S ＝⎠⎛0t 0∫v d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＝5t 2⎪⎪⎪t 00＝5t 20.]3.⎠⎛－11e |x |d x 的值为________．2e －2 [⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e xd x＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e )]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.]4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16[如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16.]5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.](对应学生用书第43页)计算下列定积分． (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x ；(3)⎠⎛-11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x .[解] (1)⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛-11x 2d x ＋⎠⎛-11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.(2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (3)∵x 2tan x ＋x 3是奇函数，∴⎠⎛-11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛-11l d x ＝x ⎪⎪⎪1-1＝2.对被积函数要先化简，再求积分求被积函数为分段函数的定积分，对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分注意用“x ＝x 检验积分的对错2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分[跟踪训练(1)(2018·江西九校联考0【导学号：79140091】(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．(1)1＋π4 (2)43 [(1)∵⎠⎛011－x 2d x 等于半径为1的圆面积的14，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋14π×12＝1＋π4.(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋ln e ＝43.](1)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)定义min {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，1x ，则由函数f (x )的图像与x 轴、直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为( )A ．712 B ．512 C ．13＋ln 2 D ．16＋ln 2 (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.(1)C (2)2 [(1)由题意得所求封闭图形的面积为⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x |21＝13＋ln 2，故选C ．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，所以k ＝2.]根据题意画出图形借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和计算定积分，写出答案易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数的边界不同时，要分不同情况讨论(2)(2017·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140092】(1)76 (2)23－2π3 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪21＝76.(2)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π65π6(2sin x －1)d x＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪⎪π65π6＝23－2π3.]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln(1＋t )⎪⎪⎪4＝4＋25ln 5.]t ，那么从tt .变力做功，一物体在变力x 的作用下，沿着与x 相同方向从＝b 时，力x 所做的功是＝⎠⎛ab F xx[跟踪训练] 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m )处，则力F (x )做的功为________J. 36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练41 空间图

课时分层训练(四十一) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 4．(2018·兰州实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )A．64B．63C．26D．36A [连接AC ，AB 1(图略)，由长方体性质可知AB 1∥DC 1，所以∠AB 1C 就是异面直线B 1C 和C 1D 所成的角．由题知AC ＝1＋(3)2＝2，AB 1＝(3)2＋(3)2＝6，CB 1＝1＋(3)2＝2，所以由余弦定理得cos∠AB 1C ＝AB 21＋CB 21－AC 22AB 1·CB 1＝64，故选A.]5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n .因此直线m ，n 所成的角与直线B 1D 1，CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.] 二、填空题6．(2018·湖北调考)已知正六棱锥S ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．π4[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4.]7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4 [如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2017·郑州模拟)在图727中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1) (2) (3) (4)图727(2)(4) [图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图(2)(4)中，GH 与MN 异面．]三、解答题9.如图728所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：图728(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．[解] (1)AM ，CN 不是异面直线．理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A ═∥C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ，所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，故AM 和CN 不是异面直线． (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线．理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线．]10．如图729所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图729(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组能力提升11．(2018·陕西质检(一))已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AC 中点为O ，连接OM ，ON ，则易证OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，所以∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝12BC ＝2，ON ＝12AP ＝23，则cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22×ON ×MN ＝32，所以∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小是30°，故选A.]12.如图7210，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图721036[取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ═∥12AD ，所以∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6＝36.]13．如图7211，在四棱锥O ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．图7211(1)求四棱锥O ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． [解] (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， ∴四棱锥O ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan∠EMD ＝DEEM＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练67 几何概

课时分层训练(六十七) 几何概型A 组基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23C [由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.]2．若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()图1066A.π2B.π4C.π6D.π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]3．(2018·深圳二调)设实数a ∈(0,1)，则函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点的概率为( )【导学号：79140364】A.34 B.23 C.13D.14D [由函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点，可得Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋1)＝4a －3≥0，解得a ≥34，即有34≤a <1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P ＝1－341－0＝14，故选D.] 4．(2018·湖北调考)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12 D.13D[如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC ＜12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D 1＝{(x ，y )||x |<2，|y |<2}，D 2＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2<4}，在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14B.π4C.π16D.π32C [平面区域D 1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D 1与D 2的公共部分是半径为2的14圆，其面积为14×π×22＝π，则所求概率为π16，故选C.]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.]二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．图106716 [如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 127[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.]10．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x2和y ＝x 2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：79140365】图106823 [由对称性，S 阴影＝4⎠⎛01(1－x 2)d x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝83. 又S 正方形ABCD ＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝23.]B 组能力提升11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD [|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．因为S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图(1))，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图(2))，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]13. (2018·太原模拟(二))如图1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图1069A.55B.255 C.15D.33B [设大正方形边长为a ，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则小正方形的面积为a 2－4×12×a cos θ×a sin θ＝a 2－a 2sin 2θ，则由题意，得a 2－a 2sin 2θa 2＝15，解得sin 2θ＝45.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝35 ①，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝15②.由①＋②解得sin θ＝255，故选B.]14．(2018·贵州适应性考试)已知区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}，由直线x ＝－π3，x ＝π3，曲线y ＝cos x 与x 轴围成的封闭图形所表示的区域记为A .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域A 内的概率为( ) A.24 B.12 C.34D.64C [区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}对应的区域是矩形，面积为22×2＝4，区域A 的面积为2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin π3＝3，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P ＝34，故选C .]15．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________.【导学号：79140366】23 [因为tan θ＝PA AD ＝1AD≤1，所以AD ≥1.在等腰三角形ABC 中，当BD ≤1或CD ≤1时，AD ≥1，又BC ＝3，故所求概率为23.]16.如图10610，正四棱锥S ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．图106101 2π[设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R·R43πR3＝12π.]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练48 直线的

课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组基础达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )，则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.B 组能力提升11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )，且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第10章计数原理、概率

第五节古典概型[考纲传真] (教师用书独具)1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第178页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[知识拓展] 划分基本事件的标准必须统一，保证基本事件的等可能性．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A ．815 B ．18 C ．115D ．130C [法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.法二：所求概率为P ＝1C 13C 15＝115.]3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15C [从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C ．]4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________． 910 [所求概率为P ＝1－C 22C 25＝910.] 5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．56[掷两个骰子一次，向上的点数共有6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P ＝1－66×6＝56.](对应学生用书第178页)(1)(2017·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A ．110 B ．15 C ．310D ．25(1)B (2)D [(1)从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰有1个白球，1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰有1个白球1个红球的概率为50105＝1021.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所以所求概率P ＝1025＝25.故选D ．]判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件分别求出基本事件的总数利用公式A ＝2.确定基本事件个数的方法：基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件[跟踪训练( )【导学号：79140357】A ．16B ．112C ．536D ．518(2)(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A ．518 B ．49 C ．59D ．79(1)C (2)C [(1)同时掷两枚骰子出现的可能有6×6＝36种，其中向上的点数和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种，所以所求概率P ＝536，故选C ．(2)法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C ．法二：依题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.故选C ．]某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3. 则P (ξ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式可知，P (ξ≥2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.基本事件总数较少时，可用列举法把所有基本事件一一列出，但要做到不重复、不遗漏.注意区分排列与组合，以及正确使用计数原理当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P A ＝1A 求解[跟踪训练] (2016·山东高考动的儿童需转动如图1051所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：图1051①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解] 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C．则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．(2018·长沙模拟(二)节选)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：图1052(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．[解] (1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375,0.5,0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种： ①一等品2件，二等品1件，三等品1件； ②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P ＝C 23C 14C 11＋C 13C 24C 11C 48＝37. 依据题目的直接描述或频率分布表、提炼出需要的信息进行统计与古典概型概率的正确计算[跟踪训练进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【导学号：79140358】[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. (2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C 26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件数为C 23＋C 22＝4，所以P (D )＝415.故这2件商品来自相同地区的概率为415.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第8章平面解析几何第

第2课时定点、定值、范围、最值问题(对应学生用书第151页)(2018·郑州第二次质量预测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：由题知，直线l 的斜率存在， ∴设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2，得x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，则直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24.∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，故直线AC 恒过定点(0,2)．＝bx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相切．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：79140309】[解] (1)∵直线l ：y ＝bx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相切． ∴2b 2＋1＝2，∴b 2＝1.∵椭圆的离心率e ＝63， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632，∴a 2＝3，∴所求椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)将直线y ＝kx ＋2代入椭圆方程，消去y 可得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，∴Δ＝36k 2－36＞0，∴k ＞1或k ＜－1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.若以CD 为直径的圆过点E ，则EC ⊥ED ．∵EC →＝(x 1－1，y 1)，ED →＝(x 2－1，y 2)， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.∴(1＋k 2)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5＝0，∴(1＋k 2)×91＋3k 2＋(2k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 2＋5＝0. 解得k ＝－76＜－1.∴存在实数k ＝－76使得以CD 为直径的圆过定点E .(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．[跟踪训练] (2018·石家庄质检(二))设M ，N ，T 是椭圆16＋12＝1上三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1k 2为定值； (2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．[解] (1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 20－q2x 20－p 2，又⎩⎪⎨⎪⎧p 216＋q 212＝1，x 216＋y 2012＝1，两式相减得x 20－p 216＋y 20－q212＝0，即y 20－q2x 20－p 2＝－34， k 1k 2＝－34.(2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，S △MNL ＝12|r －3|·|y M －y N |， S △M 1N 1L ＝12×5·|yM 1－yN 1|.由于S △M 1N 1L ＝5S △MNL 且|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |，得12×5×|yM 1－yN 1|＝5×12|r －3|·|y M －y N |，解得r ＝4(舍去)或r ＝2. 即直线MN 经过点F (2,0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为K (2,0)； ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k (x －2)，则(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2.x 0＝8k 23＋4k 2，y 0＝－6k3＋4k2.消去k ，整理得(x 0－1)2＋4y 23＝1(y 0≠0)．综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2＋4y23＝1(x ＞0)．(2018·合肥一检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围． [解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，∴由λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2＞14， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围[跟踪训练] (2018·江西师大附中)已知椭圆E ：a 2＋b2＝1的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点C 在椭圆E 上，AB ⊥AC ，直线 AC 交y 轴于点D ．(1)当点B 为椭圆的上顶点，△ABD 的面积为2ab 时，求椭圆的离心率； (2)当b ＝3，2|AB |＝|AC |时，求k 的取值范围.【导学号：79140310】[解] (1)直线AB 的方程为y ＝b ax ＋b ，直线AC 的方程为y ＝－a b(x ＋a )，令x ＝0，y ＝－a 2b.S △ABD ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a 2b ·a ＝2ab ，于是a 2＋b 2＝4b 2，a 2＝3b 2，e ＝ca＝1－b 2a 2＝63. (2)直线AB 的方程为y ＝k (x ＋a )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 23＝1，y ＝k (x ＋a )，整理得(3＋a 2k 2)x 2＋2a 3k 2x ＋a 4k 2－3a 2＝0，解得x ＝－a 或x ＝－a 3k 2－3a 3＋a 2k2，所以|AB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 3k 2－3a 3＋a 2k 2＋a＝1＋k 2·6a3＋a 2k2，同理|AC |＝1＋k 2·6a3k ＋a 2k，因为2|AB |＝|AC |，所以2·1＋k 2·6a 3＋a k ＝1＋k 2·6a 3k ＋a k，整理得a 2＝6k 2－3kk 3－2.因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以a 2＞3，即6k 2－3kk 3－2＞3，整理得(k 2＋1)(k －2)k 3－2＜0，解得32＜k ＜2.(2017·浙江高考)如图893，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图893(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值[跟踪训练] (2018·石家庄一模)如图894, 已知椭圆C ：2＋y 2＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF ⊥NF ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．图894(1)求△MFN 的面积的最小值； (2)证明：E ，O ，D 三点共线．[解] (1)法一：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON，可得m ·n ＝－1.∴S △MFN ＝12|MF ||FN |＝121＋m 2·1＋n 2＝121＋m 2＋n 2＋(mn )2＝122＋m 2＋n 2≥122＋2|mn |＝1，当且仅当|m |＝1，|n |＝1时，等号成立． ∴△MFN 的面积的最小值为1. 法二：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON，可得m ·n ＝－1.S △MFN ＝12|OF ||MN |＝12|MN |，∵|MN |2＝|MF |2＋|NF |2≥2|MF |×|NF |，当且仅当|MF |＝|NF |时等号成立．由椭圆的对称性可知，当D 与N 重合，M 与E 重合时， |MF |＝|NF |，∴|MN |min ＝2， ∴(S △MFN )min ＝12|MN |＝1.∴△MFN 的面积的最小值为1.(2)证明：∵A (－2，0)，M (0，m )， ∴直线AM 的方程为y ＝m2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m 2x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得(1＋m 2)x 2＋22m 2x ＋2(m 2－1)＝0，由－2·x E ＝2(m 2－1)1＋m 2，得x E ＝－2(m 2－1)m 2＋1，① 同理可得x D ＝－2(n 2－1)n 2＋1，∵m ·n ＝－1，∴x D ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝－2(1－m 2)m 2＋1，②故由①②可知x E ＝－x D ，代入椭圆方程可得y 2E ＝y 2D .∵MF ⊥NF ，故N ，M 分别在x 轴两侧，y E ＝－y D ，当x E ＝0时，x D ＝0，易得E ，O ，D 三点共线，当x E ≠0时，x D ≠0，此时有y E x E ＝y D x D，小初高试卷教案类∴E，O，D三点共线．K12小学初中高中。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第6章不等式、推理与证

第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第92页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )；a －b ＜0⇔a ＜b(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0).a b ＜1⇔a ＜b2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )； (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.3．“三个二次”的关系(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法[知识拓展] 1.倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.3．(1)f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式． 4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( ) (2)a >b ⇔ac 2>bc 2.( )(3)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0，ab ＞0，又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．]3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．ab>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b ＝________. －14 [由题意知x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.](对应学生用书第93页)(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a(1)A (2)B [(1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a .(2)法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·l n 2＝－a －2·2－a(1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 2 52，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 故选B.]．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特＞b 3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2x x －1，则f (a )与f (b )的大小关系是( )【导学号：79140188】A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定(1)A (2)C [(1)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)＝m 2·b －a(a －1)(b －1)，当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )．综上，f (a )≤f (b )．]解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R 或求：求出对应的一元二次方程的根写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2.解含参数的一元二次不等式的步骤：二次项中若含有参数应讨论是等于不等式或二次项系数为正的形式判断方程的根的个数，讨论判别式确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式[跟踪训练] (1)不等式x －5≥－1的解集为________．(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5(2)B [(1)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x ＞5.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x ＞5. (2)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]◎角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140189】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ◎角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ◎角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.]形如x ＞0x ＜x ∈的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解形如x ＞0x ＜x ∈[a ，b 的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.形如x ＞0x ＜参数∈[a ，b 的不等式确定换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数[跟踪训练] (1)(2017·四川宜宾一中期末不等式x 2－立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定(1)A (2)C [(1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第2章函数、导数及其应

第二节函数的单调性与最值[考纲传真] (教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第10页)[基础知识填充]1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或减少的，那么称A为单调区间． 2．函数的最值[(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数，即Δx 与Δy 同号增，异号减．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(5)f (x )＝x ＋a x(a ＞0)的单调性，如图221可知，(0，a ]减，[a ，＋∞)增，[－a ，0)减，(－∞，－a ]增．图221 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图像如图222所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．图222[答案] [－1,1]，[5,7]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．(教材改编)已知f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.](对应学生用书第11页)(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)的单调性． (1)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.](2)法一：(导数法)f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：(定义法)由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－k x 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数图像法：x 是以图像形式给出的，x 的图像易作出，观性判断函数单调性.导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2.证明函数的单调性有定义法、导数法易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结[跟踪训练] (1)下列函数中，在区间A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间为________.【导学号：79140025】(1)D (2)(－∞，－1]，[0,1] [(1)选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．(2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．](1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________； (2)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．(1)1 (2)2 [(1)令x －1＝t ，则t ≥0，x ＝t 2＋1，∴y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，由二次函数的性质可知，当t ≥0时，函数为增函数，∴当t ＝0时，y min ＝1. (2)法一：∵f ′(x )＝－1x －2，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立， ∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图像是将y ＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[1，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1，∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.] 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值[跟踪训练] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值是________.【导学号：79140026】(2)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关(1)2 (2)B [(1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.(2)法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定．随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图像左右移动，故函数f (x )在区间[0,1]的最大值M 和最小值m 变化，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.]已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] ◎角度2 解抽象不等式f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －，解得8<x ≤9.]◎角度3 求参数的取值范围已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． (2,3] [要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．]比较大小小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“易错警示：若函数在区间的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值跟踪训练] (1)若函数取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (log 19x )＞0的x 的集合为________．(1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13或1＜x ＜3[(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)如图，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，由f (log 19x )＞0，得log 19x ＞12，或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第3章三角函数、解三角

第三节三角函数的图像与性质[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(对应学生用书第51页)[基础知识填充]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质[(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 2．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． (1)f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C ．] 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C ．]5．(教材改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．－22 [由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.](对应学生用书第52页)(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B ． (2)要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图直接法：直接利用化一法：把所给三角函数化为ω＋出函数的值域换元法：把cos x 或x ±cos 解.[跟踪训练] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． (1)B (2)[－1,1] [(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴y ＝2cos x 的值域为[－2,1]， ∴b －a ＝3.(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．](1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________.【导学号：79140111】(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]ω＞图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间2.已知三角函数的单调区间求参数[跟踪训练] (1)函数y ＝|tan x |在⎝ ⎭⎪⎫－2，2上的单调减区间为________.【导学号：79140112】(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6(1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π (2)A [(1)如图，观察图像可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.(2)由题意得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得函数y ＝f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A ．]◎角度1 三角函数的奇偶性与周期性(1)在函数：①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos2x ＋π6；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]◎角度2 三角函数的对称性(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的周期为π，则下列选项正确的是( )A ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称D ．函数f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称(2)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4(1)B (2)A [(1)因为ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12，所以函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称，故选B ．(2)由题意得2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又0＜φ＜π，∴φ＝π4，故选A ．]x ＝Aω的奇偶性与对称性若f x ＝ωx ＋φ为偶函数，则当x 取得最大或最小值；若f x ＝A ωx ＋φ为奇函数，则当＝0时，x ＝0.对于函数y ＝A ωx φ，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝或点x 0，是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验x 0的值进行判断. 求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：ω和的最小正周期为ω的最小正周期为|.借助函数的图像[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2(1)D (2) A [(1)A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D ．(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A ．]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第8章平面解析几何第

第九节圆锥曲线的综合问题[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．(对应学生用书第148页)[基础知识填充]1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |. [知识拓展] 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .( )(4)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( ) [解析] (1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切． (2)错．当直线l 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切． (3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确． (4)错．当直线l 为对称轴时，l 与抛物线有一个交点． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)直线y ＝k (x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定A [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条C [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]4．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．16 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.]第1课时直线与圆锥曲线的位置关系(对应学生用书第149页)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.x 或，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点注意两点：消元后需要讨论含2或2项的系数是否为重视“判别式”起的限制作用2.对于选择题、要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.[跟踪训练] 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：4＋2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(2018·广州综合测试(二))已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.【导学号：79140304】(1)设椭圆C 的方程；(2)设动点M ，N 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m的最大值．[解] (1)双曲线x 25－y 2＝1的焦点坐标为(±6，0)，离心率为305.因为双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ＝6，且a 2－b 2a ＝306，解得b ＝1.故椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1.(2)因为|MN |＝433＞2，所以直线MN 的斜率存在．因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m . 代入椭圆的方程x 26＋y 2＝1中，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6(m 2－1)＝0. 因为Δ＝(12km )2－24(1＋6k 2)(m 2－1) ＝24(1＋6k 2－m 2)＞0，所以m 2＜1＋6k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝－12km1＋6k 2，x 1x 2＝6(m 2－1)1＋6k2则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2. 因为|MN |＝433，则1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24(m 2－1)1＋6k 2＝433. 整理得m 2＝－18k 4＋39k 2＋79(1＋k 2). 令k 2＋1＝t ≥1，则k 2＝t －1.所以m 2＝－18t 2＋75t －509t ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤75－⎝⎛⎭⎪⎫18t ＋50t ≤75－2×309＝53.等号成立的条件是t ＝53，此时k 2＝23，m 2＝53满足m 2＜1＋6k 2，符合题意．故m 的最大值为153. 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况[跟踪训练] (2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 的面积．[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.(1)在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )【导学号：79140305】A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0(2)如图891，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．则实数m 的取值范围为________． (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞ [(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，因为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.(2)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63.]根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解[跟踪训练两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( ) A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练24 正弦定

课时分层训练(二十四) 正弦定理和余弦定理(对应学生用书第243页)A 组基础达标一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°B [由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.] 4．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]5．(2018·南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )【导学号：79140133】A.12 B ．14 C ．1D ．2A [因为cos 2A ＝sin A ，所以1－2sin 2A ＝sin A ，则sin A ＝12(舍负)，则△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×12＝12，故选A.]二、填空题6．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则其最大内角的余弦值为________．－14[因为c ＞b ＞a ，所以在△ABC 中最大的内角为角C ，则由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－162×2×3＝－14.] 7．如图371所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3713 [∵sin∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝________.【导学号：79140134】π6[因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.]三、解答题9．(2018·银川质检)如图372，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cosC －c ＝2b .图372(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a . [解] (1)∵2a cos C －c ＝2b ，∴由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B ，2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝BDsin A ，∴sin∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又AB ＜BD ，∴∠ADB ＝π4.∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6.∴AC ＝AB ＝2，由余弦定理得a ＝BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝ 6.10．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.B 组能力提升11．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C [由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，∴cos A ≥12，在△ABC 中，A ∈(0，π)．由余弦函数的性质，得0＜A ≤π3.]12．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2BD ．B ＝2AA [∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C >0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b . 故选A.]13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.【导学号：79140135】－14 [因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C . 因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以a ＋c ＝2b ，又a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.]14．(2018·兰州模拟)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＋tan C ＝3(tan A tan C －1)．(1)求角B ；(2)如果b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)∵tan A ＋tan C ＝3(tan A tan C －1)，即tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3，∴tan(A ＋C )＝－3，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴tan B ＝3， ∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴a 2＋c 2＝ac ＋4，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤12×4×32＝3，∴△ABC 面积的最大值为 3.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第8章平面解析几何第

第五节椭圆[考纲传真] (教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．(对应学生用书第138页)[基础知识填充]1．椭圆的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质[知识拓展] 1.点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系：(1)P (x 0，y 0)在椭圆内⇔0a ＋y 20b ＜1.(2)P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)P (x 0，y 2)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．对于x 2a 2＋b 2b2＝1(a ＞b ＞0)如图851.图851则：(1)S △PF 1F 2＝b 2tan θ2.(2)|PF 1|＝a ＋e x 0，|PF 2|＝a －e x 0. (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c . (4)过P (x 0，y 0)点的切线方程为x 0x a 2 ＋y 0yb2＝1. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(5)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相同．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A ．133B ．53C ．23D ．59B [∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B ．]3．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1 D [椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB的周长为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C ．]5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(3,4)∪(4,5) [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.](对应学生用书第139页)(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B ．74 C ．72D ．752(1)D (2)C [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.][跟踪训练] (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________.【导学号：79140284】(2)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(1)5 (2)3 [(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， ∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9， ∴b ＝3.](1)若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A ．x 24＋y 23＝1B ．x 28＋y 26＝1C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1(1)C (2)A [(1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.(2)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.][规律方法] 求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝A ＞0，B ＞0，A ≠B 的形式.[跟踪训练] (1)(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 22＝1B ．x 22＋y 2＝1C ．x 24＋y 22＝1 D ．y 24＋x 22＝1(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________.【导学号：79140285】(1)C (2)x 24＋y 23＝1 [(1)由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C ．(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1. ① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2. ②由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.]◎角度1 求离心率的值或范围(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33C ．23D ．13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A ．]◎角度2 根据椭圆的性质求参数已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.] 求椭圆离心率的方法，c 的值，利用离心率公式直接求解，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于方程或不等式求解利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系[跟踪训练] (1)已知椭圆9＋4－k ＝1的离心率为5，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或－21 (2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 (1)D (2)C [(1)当9＞4－k ＞0，即－5＜k ＜4时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5，∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21，所以k 的值为1925或－21.(2)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.](2018·东北三省四市模拟(一))已知椭圆E 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若椭圆右焦点到椭圆E 的中心的距离是 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与该椭圆交于不同的两点B ，C ，若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△BOC 的面积． [解] (1)由题意b ＝1，c ＝2， ∴a 2＝b 2＋c 2＝3，又∵椭圆E 的焦点在x 轴上， ∴椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，将直线方程与椭圆联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋3y 2＝3，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kx ＝0，由原点O 到直线l 的距离为11＋k2＝32，得k 2＝13，又|BC |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 236k23k 2＋1＝2， ∴S △BOC ＝12×|BC |×32＝32，∴△BOC 的面积为32. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题“点差法”解决，往往会更简单设直线与椭圆的交点坐标为x 1，1，x 2，2，则|AB |＝2] ⎛k 为直线斜率利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，B ⎝⎛⎭⎪⎫66，33两点，O 为坐标原点． (1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上两点，向量p ＝(mx 1，ny 1)，q ＝(mx 2，ny 2)，且p ·q ＝0，若直线MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，求直线MN 的斜率． [解] (1)由题可知：⎩⎪⎨⎪⎧18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1.∴曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1.(2)设直线MN 的方程为y ＝kx ＋32，代入椭圆方程y 2＋4x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋3kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝－3kk 2＋4，x 1x 2＝－14k 2＋4，∵p ·q ＝(2x 1，y 1)·(2x 2，y 2)＝4x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴－1k 2＋4＋－14k 2k 2＋4＋32k ·(－3k )k 2＋4＋34＝0，即k 2－2＝0，k ＝± 2. 故直线MN 的斜率为± 2.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练30 数列的

课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法A 组基础达标一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]2．(2017·安徽黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47D [∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N ＋)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N ＋)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N ＋)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.故选D.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图511则第6个三角形数是( )【导学号：79140168】A ．27B ．28C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．nD [∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21·1＝n .] 5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3C [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.] 二、填空题6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第______项．10 [令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．所以a 10＝0.08.]7．(2017·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________.12 [∵S n ＝a 1(4n－1)3，a 4＝32， ∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.] 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________.【导学号：79140169】2n －n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n(n ∈N ＋)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .B 组能力提升11．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A.215B ．225C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]12．(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B [∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N ＋，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.]13．在一个数列中，如果任意n ∈N ＋，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.28 [依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.] 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围.【导学号：79140170】[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.因为n ∈N ＋，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：单元评估检测3 第3章

单元评估检测(三) 第3章三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B2．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q ) D ．p 或(﹁q )[答案] B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π－α)＋cos α＝2，则tan α＝( )【导学号：79140410】A.15 B ．－23 C.12 D ．－5 [答案] D4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图像向左平移π18个单位后，得到的图像可能为( )[答案] D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－125B ．512 C.177 D ．－717[答案] D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B ．3－226C.1＋266D ．1－266[答案] A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B ．2π3 C.4π3 D ．5π3[答案] B8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图31所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图31A ．±223B ．223C ．－223D ．13[答案] C9．(2018·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 [答案] C10．已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图像关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝2sin 2x －1的图像向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数[答案] C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图32)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图32A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米[答案] B12．已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140411】A.⎝⎛⎦⎥⎤2π，2B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2πD ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞ [答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. [答案] 014．如图33，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km.图33 图34[答案] 215．如图34，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． [答案] 516．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．[答案] 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图35，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图35(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan(π－θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2sin(2θ－π)的值；(2)求点B 的坐标． [解] (1)34. (2)B ⎝⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232.18．(本小题满分12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)B ＝π6. (2)26＋16.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.【导学号：79140412】图36(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中(图36)作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． [解] (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)描点画出图像(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z . 20.(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， (1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合．[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)1.(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.21．(本小题满分12分)已知如图37，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图37(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长.【导学号：79140413】[解] (1)1534. (2)192.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)有一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达预测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．[解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin∠ABCsin(45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt△QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第7章立体几何第7节

第2课时利用空间向量求空间角(对应学生用书第125页)如图7715，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图7715(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 夹角的余弦值．[解] (1)证明：连接OC ，由CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，O 是BD 的中点，知CO ＝3，AO ＝1，AO ⊥BD . 在△AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2，则AO ⊥OC ．又BD ∩OC ＝O ，因此AO ⊥平面BCD .(2)如图建立空间直角坐标系O xyz ，则A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，AB →＝(1,0，－1)，CD →＝(－1，－3，0)，所以|cos 〈AB →，CD →〉|＝|AB →·CD →||AB →||CD →|＝24.即异面直线AB 与CD 夹角的余弦值为24. 选好基底或建立空间直角坐标系求出两直线的方向向量代入公式易错警示：两异面直线夹角的范围是相垂直，则异面直线AB 和CD 夹角的余弦值为________.【导学号：79140254】14[设等边三角形的边长为2.取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，∵等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，∴OA ，OC ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0，3)，B (0，－1,0)，C (0,1,0)，D (3，0,0)， ∴AB →＝(0，－1，－3)，CD →＝(3，－1,0)， ∴cos〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×2＝14，∴异面直线AB 和CD 夹角的余弦值为14.](2017·浙江高考)如图7716，已知四棱锥P ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点．图7716(1)证明：CE ∥平面PAB ；(2)求直线CE 与平面PBC 夹角的正弦值．[解] (1)证明：如图，设PA 的中点为F ，连接EF ，FB .因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以EF ∥AD 且EF ＝12AD .又因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF . 因为BF 平面PAB ，CE ⊆/平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .(2)分别取BC ，AD 的中点M ，N . 连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ .因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 的中点．在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD .由DC ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD .所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 的夹角．设CD ＝1.在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2，在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14，在Rt△MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2，所以sin∠QMH＝28.所以，直线CE与平面PBC夹角的正弦值是28.线面角范围线面角θ的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值||cos〈∠BAD＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝3a.图7717(1)求证：EF⊥AC；(2)求直线CE与平面ABF夹角的正弦值．[解] (1)证明：连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥FD.因为BD∩FD＝D，所以AC⊥平面BDF.因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD.所以B，D，F，E四点共面．因为EF平面BDFE，所以EF⊥AC．(2)法一：如图，以D 为坐标原点，分别以DC →，DF →的方向为y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz .可以求得A ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32a ，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，3a . 所以AB →＝(0，a,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，12a ，32a .设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，－32ax ＋12ay ＋32az ＝0，令x ＝1，则平面ABF 的一个法向量为n ＝(1,0,1)．设直线CE 与平面ABF 的夹角为θ，因为CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，3a ，所以sin θ＝|cos 〈n ，CE →〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝368.所以直线CE 与平面ABF 夹角的正弦值为368.法二：如图，设AC ∩BD ＝O ，以O 为坐标原点，分别以OA →，OB →，BE →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz .可以求得A ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，3a ，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a ，32a . 所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，12a ，0.AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－12a ，32a . 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax ＋12ay ＝0，－32ax －12ay ＋32az ＝0，令x ＝1，则平面ABF 的一个法向量为n ＝(1，3，2)．设直线CE 与平面ABF 夹角为θ，因为CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，3a ，所以sin θ＝|cos 〈n ，CE →〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝368.所以直线CE 与平面ABF 夹角的正弦值为368.(2017·全国卷Ⅰ)如图7718，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.图7718(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值． [解] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面PAD . 因为AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F xyz .由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，1，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，0，所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝－23×2＝－33.所以二面角A PB C 的余弦值为－33.找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐钝二面角找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小[跟踪训练＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△PAD 沿AD 折起，构成如图7719(2)所示的四棱锥P ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1) (2)图7719(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M AC B 的余弦值． [解] (1)证明：连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，∴△ABN ∽△CDN ， ∴BN ND ＝BA CD＝2.∵PM ＝12MB ，∴BN ND ＝BMMP ＝2，∴在△BPD 中，MN ∥DP . 又PD ⊆/平面MAC ，MN 平面MAC ，∴PD ∥平面MAC ．(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ，PA平面PAD ，∴PA ⊥平面ABCD .又AD ⊥AB ，∴PA ，AD ，AB 两两垂直．以A 为原点，分别以AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .依题意AP ＝AD ＝1，AB ＝2，又PM ＝12MB ，∴A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，23，C (1,1,0)， ∴AP →＝(0,0,1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，23，AC →＝(1,1,0)．∵PA ⊥平面ABCD .∴取n 1＝AP →＝(0,0,1)为平面BAC 的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )为平面MAC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧23y ＋23z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n 2＝(1，－1,1)为平面MAC 的一个法向量， ∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝11×3＝33，∴二面角M AC B 的余弦值为33.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第5章数列第3节等

第三节等比数列及其前n 项和[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第84页)[基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q(n∈N ＋，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N ＋)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12D [由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14，②由②÷①得q 3＝18，解得q ＝12.故选D.]3．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.1 [设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n)1－2＝126，解得n ＝6.](对应学生用书第85页)(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)C (2)2n－1 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，①②②÷①得1＋q ＋q 2q2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.]方程的思想：等比数列中有五个量方程组求关键量分类讨论的思想：的前n 项和S n ＝点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏(2)(2018·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【导学号：79140176】(3)(2017·洛阳统考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋8a 4＝0，则S 4S 3＝( ) A ．－53B ．157C.56D ．1514(1)B (2)2n ＋12(3)C [(1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.(2)设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，a n ＞0，得(a n q 2)2＋4a 2n ＝4(a n q )2，整理得q 4－4q 2＋4＝0，解得q ＝2或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝2×2n －12＝2n ＋12.(3)在等比数列{a n }中，因为a 1＋8a 4＝0，所以q ＝－12，所以S 4S 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1241－⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝151698＝56.](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.定义法：若q 为非零常数，，则等比中项法：若数列{a n 1＝a n ·2n ∈，则数列列.通项公式法：若数列通项公式可写成nc ，q 均是不为0＋，则{a n }是等比数列易错警示：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可[跟踪训练n n 1n ＋1n (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(2)已知{a n }为各项都是正数的等比数列，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )【导学号：79140177】A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50(1)D (2)A [(1)由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.(2)依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，所以S 40－S 30＝S 10×⎝ ⎛⎭⎪⎫S 20－S 10S 103＝80，S 40＝S 30＋(S 40－S 30)＝70＋80＝150.]n m m ＋2m ＋1(m ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项积为T n ，且T 2m ＋1＝128，则m 的值为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)(2018·合肥二检)等比数列{a n}满足a n＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.(1)A(2)9[(1)因为a m·a m＋2＝2a m＋1，所以a2m＋1＝2a m＋1，即a m＋1＝2，即{a n}为常数列．又T2m＋1＝(a m＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，得m＝3，故选A.(2)由题意可得a2a8＝a25＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：专题探究课4 立体几何中

四立体几何中的高考热点问题(对应学生用书第127页)[命题解读] 立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查．空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．用向量法证明平行、垂直、求空间角，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算来实现，实质是把几何问题代数化，注意问题：(1)恰当建系，建系要直观；坐标简单易求，在图上标出坐标轴，特别注意有时要证明三条轴两两垂直(扣分点)．(2)关键点，向量的坐标要求对，把用到的点的坐标一个一个写在步骤里．(3)计算要认真细心，特别是|n|，n1、n2的运算．(4)弄清各空间角与向量夹角的关系．如图1所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC ＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．[解] (1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(1) (2)(2)证明：法一：如图(1)，取AB 中点G ，连接EG ，FG . 因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG . 又因为EG平面ABE ，C 1F ⊆/平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .法二：如图(2)，取AC 的中点H ，连接C 1H ，FH . 因为H ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以HF ∥AB . 又因为E ，H 分别是A 1C 1，AC 的中点，所以EC 1═∥AH ，所以四边形EAHC 1为平行四边形，所以C 1H ∥AE ，又C 1H ∩HF ＝H ，AE ∩AB ＝A ，所以平面ABE ∥平面C 1HF . 又C 1F平面C 1HF ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题证明∥平面ABE 作出直线足C 1F ∥.②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.图2(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC ．【导学号：79140259】[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)．(1)因为EF →＝－12AB →，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB平面PAB ，EF ⊆/平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC ．又因为AP ∩AD ＝A ，AP 平面PAD ，AD平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD . 因为DC平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC ．此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．(2016·北京高考)如图3，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图3(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO平面ABCD ，所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 如图，建立空间直角坐标系O xyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊆/平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.通常假设题中的数学对象存在或结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理；若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在易错警示：探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用[跟踪训练AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2.图4(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 夹角的正弦值，如果不存在，请说明理由． [解] (1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又PA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥PC ．(2)法一：(作图法) 过点M 作MN ⊥AD 交AD 于点N ，则MN ∥PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD .过点M 作MG ⊥AC 交AC 于点G ，连接NG ，则∠MGN 是二面角M AC D 的平面角．若∠MGN ＝45°，则NG ＝MN ，又AN ＝2NG ＝2MN ，所以MN ＝1，所以MN ═∥12PA ，所以M 是PD 的中点．在三棱锥M ABC 中，可得V M ABC ＝13S △ABC ·MN ，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则V B MAC ＝13S △MAC ·h ，所以S △ABC ·MN ＝S △MAC ·h ，解得h ＝2 2. 在Rt△BMN 中，可得BM ＝3 3.设BM 与平面MAC 的夹角为θ，则sin θ＝h BM ＝269.法二：(向量法) 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)，B (22，－22，0)，PD →＝(0,22，－2)，AC →＝(22，22，0)．设PM →＝t PD →(0＜t ＜1)，则点M 的坐标为(0,22t,2－2t )，所以AM →＝(0,22t,2－2t )．设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·AM →＝0，得⎩⎨⎧22x ＋22y ＝022ty ＋(2－2t )z ＝0，则可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t .又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t t －12＝cos 45°＝22，解得t ＝12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n 0＝(1，－1，2)，BM →＝(－22，32，1)．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 0，BM →〉|＝269.将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，注重考查空间想象能力、知识迁移能力和转化思想．试题以解答题为主要呈现形式，中档难度．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)如图5，菱形ABCD ①的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ②＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.图5(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ③； (2)求二面角B D ′A C 的正弦值． [审题指导]又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF .因为EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .2分由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .5分(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD ′→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5).8分设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B D ′A C 的正弦值是29525.12分[阅卷者说][规律方法] 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.[跟踪训练] (2018·合肥二检)如图6(1)所示，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 为AD 中点，沿BE 将△ABE 折起至△PBE ，如图6(2)所示，点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上.【导学号：79140260】(1) (2)图6(1)求证：BP ⊥CE ；(2)求二面角B PC D 的余弦值．[解] (1)证明：∵点P 在平面BCDE 上的射影O 落在BE 上， ∴PO ⊥平面BCDE ，∵CE 平面BCDE ，∴PO ⊥CE . 易知BE ⊥CE ，BE ∩PO ＝O ，∴CE ⊥平面PBE ，而BP 平面PBE ，∴BP ⊥CE .(2)以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，PO 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22， CD →＝(－1,0,0)，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，22， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，－22，BC →＝(0,2,0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CD →＝0，n 1·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝0，－12x 1－32y 1＋22z 1＝0，令z 1＝2，可得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，2. 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PB →＝0，n 2·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2－12y 2－22z 2＝0，2y 2＝0，令z 2＝2，可得n 2＝(2,0，2)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3311.∵二面角B PC D 为钝二面角，∴二面角B PC D 的余弦值为－3311.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：专题探究课2 三角函数与

二三角函数与解三角形中的高考热点问题(对应学生用书第67页)[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．Aω的单调性找到“ωx ＋[跟踪训练] (2018·北京海淀区期末练习)已知函数f (x )＝sin 2x cos 5－cos 2x sin 5.(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值.【导学号：79140141】[解] (1)f (x )＝sin 2x cos π5－cos 2x sin π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，因为y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，令2x －π5＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝7π20＋12k π，k ∈Z ，f (x )的对称轴方程为x ＝7π20＋12k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ∈[0，π]，所以2x －π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π5，4π5，所以当2x －π5＝π2，即x ＝7π20时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为1.从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[规范解答] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A.2分由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.5分(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.7分由题设得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.9分由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.11分故△ABC 的周长为3＋33. 12分[阅卷者说]C ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值.【导学号：79140142】[解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ，∴ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝23时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤3 3.∴△ABC 面积的最大值为3 3.以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2018·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin Csin A －sin B ＝a ＋ba －c. (1)求角B 的大小；(2)点D 满足BD →＝2BC →，且线段AD ＝3，求2a ＋c 的最大值． [解] (1)∵sin C sin A －sin B ＝a ＋ba －c，由正弦定理可得ca －b ＝a ＋ba －c，∴c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )，即a 2＋c 2－b 2＝ac .又∵a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴cos B ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)法一：在△ABD 中，由余弦定理知，c 2＋(2a )2－2·2a ·c ·cos π3＝32，∴(2a ＋c )2－9＝3·2a ·c .∵2a ·c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋c 22，∴(2a ＋c )2－9≤34(2a ＋c )2，(2a ＋c )2≤36，即当且仅当2a ＝c 时，等号成立，即a ＝32，c ＝3时，2a ＋c 的最大值为6.法二：由正弦定理知2a sin∠BAD ＝csin∠ADB＝3sinπ3＝23，∴2a ＝23sin∠BAD ，c ＝23sin∠ADB ， ∴2a ＋c ＝23sin∠BAD ＋23sin∠ADB ＝23(sin∠BAD ＋sin∠ADB )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin∠BAD ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠BAD ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin∠BAD ＋32cos∠BAD＝6⎝⎛⎭⎪⎫32sin∠BAD ＋12cos∠BAD＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π6. ∵∠BAD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴∠BAD ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，即当且仅当∠BAD ＋π6＝π2，即∠BAD ＝π3时，2a ＋c 的最大值为6.以解三角形的某一结论作为条件，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化. 已知函数cos(π＋(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)∵f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴2C ＋π6＝π6＋2k π，k ∈Z 或2C ＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，又a ＋b ＝23，解得ab ＝3， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：专题探究课5 平面解析几

五平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第153页)[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·石家庄质检)如图1，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.【导学号：79140313】图1(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . [解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接F 1Q ，如图，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，又|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2| ＝(2a －|PF 1|)＋(2a －|QF 1|)，可得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.①又因为PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |，所以|QF 1|＝2|PF 1|.② 由①②可得|PF 1|＝(4－22)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝(22－2)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2，可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62，因此e ＝ca＝9－62＝6－ 3.轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．[解] (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3，∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 3－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，③证明：l过定点． [审题指导]3434 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上. 2分因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a ＋34b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 4分(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设.6分从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. 8分而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 10分即(2k ＋1)·4m 2－44k ＋1＋(m －1)·－8km 4k ＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). 12分[阅卷者说]根据题意选择参数，建立一个含参数的直线系或曲线系方程，经过分析、整理，对方程进行等价变形，以找出适合方程且与参数无关的坐标该坐标对应的点即为所求定点从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.[跟踪训练] (2016·北京高考)已知椭圆C ：a 2＋b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． [解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．(2018·石家庄质检(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围.【导学号：79140314】[解] (1)设T (x ，y )，则直线TA 的斜率为k 1＝yx ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝yx －4.于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx－32＝0，所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)] ＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. －20＜OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 斜率不存在时，易得P ，Q 两点的坐标为(0,23)，(0，－23)，所以OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上所述，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523. 最值问题的主要求解方法几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解[跟踪训练作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，y ，∵点P 是圆：x 2＋y 2＝1上的点， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋y 2＝1. 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1， ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48＞0，则y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.②∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(t 2＋1)(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立，∴(S △AOB )max ＝1.圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2018·郑州第二次质量预测)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m ＞0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将椭圆化成标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m ＞0)，e ＝1－m2m ＝22.(2)由题意，直线AB 的斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，设AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，联立x 2＋2y 2＝m (m ＞0)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m ＞0)．x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k2＝4，k ＝－1，此时由Δ＞0，得m ＞6. 则AB 的方程为x ＋y －3＝0，则CD 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m ，得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·12(m －6)3， |CD |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2|y 3－y 4|＝2·12m －83＞|AB |，若存在符合题意的圆，则圆心在CD 上，CD 的中点N 到直线AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－312＋12＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫4232＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49. 又⎝⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49，所以存在m ＞6，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下：假设满足条件的元素点、直线、曲线或参数存在，组，若方程组有实数解，则元素存在，否则，元素不存在反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.[跟踪训练] (2017·湖北武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Г：y 2＝2x 相交于A ，B两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Г于点N .(1)证明：抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k，则y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k，由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，则x N ＝2y 2N ＝18k 2，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫18k 2，14k ，设抛物线在点N 处的切线方程为y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k ，将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m 8k 2＝0，∵直线与抛物线相切，∴Δ＝12－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行． (2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ， ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |，由(1)得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k 2， ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k2， ∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12，故存在k ＝±12，使NA →·NB →＝0.。

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