高考数学一轮复习抛物线01基础知识检测文

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2023年高考数学一轮复习：抛物线

第八节　抛　物　线2023年高考数学总复习内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.抛物线的定义(1)M为平面内的动点,F为平面内的定点,l 为平面内的定直线,d为M到l 的距离,满足下列两个条件的点M的轨迹为抛物线:①______;②_____.(2)当F∈l 时,点M的轨迹为过__________________.2.抛物线中参数p的几何意义:_________________.|MF|=d 点F且与l 垂直的直线焦点到准线的距离F ∉l3.标准方程的形式:(1)焦点在x轴正半轴:___________;(2)焦点在x轴负半轴:____________;(3)焦点在y轴正半轴:___________;(4)焦点在y轴负半轴:____________.4.标准位置抛物线的对称性:对称轴为焦点所在坐标轴.y 2=2px(p>0)y 2=-2px(p>0)x 2=2py(p>0)x 2=-2py(p>0)【易错点索引】序号易错警示典题索引1不会利用定义转化考点一、T1,22联想不到利用焦点弦的有关结论求解考点二、T33运算不过关导致出错考点三、角度1【教材·基础自测】1.(选修2-1P69例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )A.9B.8C.7D.6【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.2.(选修2-1P73A组T3改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上任意一点,则以PF为直径的圆C与y轴( )A.相交B.相切C.相离D.以上都不对。

高考数学第一轮复习：《抛物线》

高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0，所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．【反思归纳】直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点．又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点所获信息抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，根据对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0，所以x 2＝14，所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12，因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6，直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0，则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2，可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第七节抛物线(课件)

答案：B
答案：B
答案：(1)D
答案：A
反思感悟 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位：根据焦点或准线的位置． (2)再定形：即根据条件求p. 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(0，－2)，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.
答案：B
关键能力—考点突破
答案：(1)A
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__4______．
3．[选修1－1·P64A组T4(2)题改编]顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是__________________.
答案：D
5．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物的标准方程为___y_2＝__1_6_x或__x_2_＝_－__8_y__.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
答案：B
微专题35 活用抛物线焦点弦的几个结论
数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助于数学运算，两者相辅相成，本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一．
向右 |PF|＝

高考数学(文科)一轮复习基础知识检测抛物线02 Word版含解析

抛物线
．若>，且抛物线＝与＝的焦点间距离为，则＝( )
．．．动点到点()的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程是( )
．圆．椭圆．双曲线．抛物线．点在抛物线＝－上移动，点(，－)，则线段的中点的轨迹方程是( )
．(＋)＝－．(－)＝－＋
．(＋)＝－＋．(－)＝－
．已知抛物线＝的准线方程为＝，则＝.
．若直线－＋－＝(>，>)经过抛物线＝的焦点，则＋的最小值为( )
．＋．＋．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－
＝的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )
．＝．＝－
．＝－．＝－．正数、的等差中项是、一个等比中项是，且>，则抛物线＝－
的焦点坐标为( )
．如图－所示，过抛物线＝(>)的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点、、
，若＝，且＝，则抛物线的方程为( )
．＝
．＝
．＝
．＝
．以抛物线＝－的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是．
．若函数()＝(＋)－的零点是抛物线＝焦点的横坐标，则＝.．已知为抛物线＝上一点，设到准线的距离为，到点()的距离为，则＋的最
小值为．
．(分)已知圆过定点，且与直线＝
相切，圆心的轨迹为，曲线与直线：＝(＋)(∈)相交于、两点．
()求曲线的方程；
()当△的面积等于时，求的值．．(分)已知过抛物线＝(>)的焦点，斜率为
的直线交抛物线于(，)，(，)(<)两点，且＝.
()求该抛物线的方程；。

高考数学一轮复习专题训练—抛物线

抛物线考纲要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切．2．顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________．答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________．答案 2解析设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.6．(2021·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．答案 [－1,1]解析由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]．考点一抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－12y 或y 2＝16xB ．x 2＝12y 或y 2＝－16xC ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1C ．32D ．2答案 B解析设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 感悟升华 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p .2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二抛物线的几何性质【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)(2)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时， ∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 (1)B (2)A解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.(2)过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以∠BAF ＝60°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A.感悟升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练1】 (2021·长春质量监测)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF |＝|BF |，O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A.43 B ．34C ．4D ．54答案 A解析由题意，知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l ：y ＝－p 2. 作AE ⊥l 于点E ，BG ⊥l 于点G ，过点A 作AD ⊥BG 于点D ，交y 轴于点H ，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x .由抛物线的定义，知|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x ＋3x ＝4x ，|BD |＝3x －x ＝2x ，|FH |＝p －x .由△AHF ∽△ADB ，得|AF ||AB |＝|FH ||BD |，即x 4x ＝p －x 2x ，解得x ＝23p ，所以|AF ||OF |＝23pp 2＝43，故选A.考点三与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.感悟升华 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题．2．到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值．角度2到点与准线的距离之和的最值问题【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x ＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.感悟升华解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．角度3 动弦中点到坐标轴距离的最短问题【例4】已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B ．32C ．1D ．2答案 D解析由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 感悟升华解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解．角度4 焦点弦中的距离之和的最小问题【例5】已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．答案 2解析由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.感悟升华过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值．角度5 到定直线的距离的最小问题【例6】抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．答案 43解析法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.感悟升华抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值．【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．答案 (1)A (2)17－1解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1,0)．依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 考点四直线与抛物线的综合问题【例7】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12t －19. 从而－12t －19＝52，得t ＝－78(满足Δ>0)．所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133. 感悟升华 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2，从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)．【例1】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6答案 B[通法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[优解]法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B ．938C ．6332D ．94答案 D[通法]由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[优解]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203答案 C[通法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[优解]法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 思维升华解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核心素养.A 级基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．14答案 D解析抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.故选D.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14答案 D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14.故选D.3．(2021·河南中原名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C ．54D ．74答案 C解析如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C.4．(2021·衡水调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .5．(2021·江西五校协作体联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( ) A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°答案 B解析分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.故选B.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C ．115D ．3答案 B解析由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.二、填空题7．(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．9．(2021·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________．答案 3解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 三、解答题10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．11．(2021·安徽六校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (a,3)，点P 为抛物线C 上的动点．(1)若|P A |＋|PF |的最小值为5，求实数a 的值；(2)设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，求△OP A 的面积．解 (1)由题意知F (1,0)，当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即a >94时，设点P 在抛物线准线x ＝－1上的射影为D ，则D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AD |＝a －(－1)＝5，此时a ＝4；当线段AF 与抛物线C 有公共点，即a ≤94时，则A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AF |＝a －12＋32＝5，此时a ＝－3.综上，实数a 的值为－3或4.(2)因为∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，所以MA ∥x 轴且|MO |＝|MA |＝|MP |，设M (t,3)，则P (2t,6)，代入抛物线C 的方程得2t ＝9，于是|MO |＝|MA |＝|MP |＝3132，所以S △OP A ＝12|MA |·|y P |＝9132. B 级能力提升12．(2021·银川联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝9.∵半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，⎝⎛⎭⎫p 2－a 2＋b 2＝9，3＝a ＋p 2⇒⎩⎨⎧ p 2－a ＝a ，a ＝3－p 2⇒p ＝4.故选C. 13．(2020·贵阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在双曲线C ：x 24－y 22＝1的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|OF |＝|PF |，则△PFO 的面积为________．答案 23解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线C ：x 24－y 22＝1的渐近线方程为x ±2y ＝0，不妨设P 在渐近线x －2y ＝0上，可设P (2m ，m )，m >0，由|OF |＝|PF |可得2m －12＋m 2＝1，解得m ＝223，则△PFO 的面积为12|OF |·|y P |＝12×1×223＝23. 14．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程知识精讲试题

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及HY方程制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的HY方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线l的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线l上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值〔离心率e〕不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

2. 抛物线的HY方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的间隔，掌握不同形式方程的几何性质〔如下表〕：其中()00,P x y 为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线()220y px p =≠上的点的坐标可设为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线交于()()1122,A x y B x y 、，，直线OA 与OB 的斜率分别为12k k 、，直线l 的倾斜角为α，那么有212y y p =-，2124p x x =，124k k =-，1cos p OA α=-，1cos p OB α=+，22sin pAB α=，12AB x x p =++。

说明：1. 求抛物线方程时，假设由条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；假设由条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能防止求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

【解题方法指导】例1. 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224x y +=相交的公一共弦长等于解析：设所求抛物线的方程为22y px =或者22y px =- 设交点()()1122,A x y B x y 、，〔y 1>0〕那么12y y +=1y =224x y +=得1x =±∴点(在22y px =上，(-在22y px =-上 ∴32p =或者()321p =--，∴32p =故所求抛物线方程为23y x =或者23y x =-。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《抛物线》含答案

第七节抛物线知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(D)A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x 或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．1．抛物线定义的两点理解 (1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线． 2．抛物线的方程特点(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线．(2)y 2＝2px (p >0)：①p 表示焦点到准线的距离； ②2p 为通径长． 3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一抛物线的定义及标准方程【例1】 (1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )A ．2 B.135 C.145D ．3(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 (1)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.(2)因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.【答案】 (1)A (2)D1.应用抛物线定义的两个关键点,(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6(2)(2019·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：(1)∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋(－6)2＝16＋36＝52＝213，故选A.(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 考向二抛物线的几何性质【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【解析】解法1：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.解法2：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(1k y ＋1)，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.【答案】 2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－54，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，直线AF 的倾斜角为π3，则|MF |＝5.解析：设准线与x 轴交点为B ，由于AF 的倾斜角为π3，所以∠F AM ＝π3，又|MA |＝|MF |，所以|MA |＝|MF |＝|F A |＝2|FB |，又由已知p ＝54×2＝52，即|FB |＝52，所以|MF |＝5.考向三直线与抛物线的位置关系方向1 焦点弦问题【例3】已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】由抛物线y 2＝4x 知F (1,0)，故可设直线l 1的方程为y ＝k (x－1)，直线l 1的方程与y 2＝4x 联立并消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1·x 2＝k 2k 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2，同理l 2的方程为y ＝－1k (x －1)，与y 2＝4x 联立可得|DE |＝4＋4k 2.∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2＝16.当k ＝±1时取等号．故选A.【答案】 A方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 (2019·武汉调研测试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．【解】设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ① (1)由x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p ＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p (x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p (x －x 1)，y －y 2＝x 2p (x －x 2)，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离 d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p 或|AB |＝|y 1|＋|y 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．(方向1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( D )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( D )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.解法2：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1,0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.抛物线的拓展结论对抛物线y 2＝2px (p >0)，设θ为过焦点的弦AB 的倾斜角，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ≥2p ；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p ；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S △OAB ＝p 22sin θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切；(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．典例设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则直线l 的斜率为________．【解析】设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，所以13|BF |＋1|BF |＝1，所以|BF |＝43，|AF |＝4，所以|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ，可得163＝4sin 2θ，所以sin 2θ＝34，所以sin θ＝32，所以斜率k ＝tan θ＝±3.【答案】 ±3。

高考数学一轮复习抛物线专题练习(含答案)

高考数学一轮复习抛物线专题练习（含答案）【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB 的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.2019年高考数学一轮复习抛物线专题练习及答案的所有内容就为考生分享到这里，查字典数学网请考生认真练习。

抛物线的定义及其标准方程(1)- 2020年高考数学(文)一轮复习

抛物线的定义及其标准方程（1）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆顶点在原点，且过点()44-，的抛物线的标准方程是A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =- 【参考答案】C【试题解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，，∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程22x py =（0p >）得：168p =， ∴2p =，∴此时抛物线的标准方程为24x y =；将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程22y px =-（0p >），同理可得2p =， ∴此时抛物线的标准方程为24y x =-.综上可知，顶点在原点，且过点()44-，的抛物线的标准方程是24y x =-或24x y =．故选C ．【解题必备】（1）由一次项（是x 还是y ）及其符号（是正还是负）可确定抛物线的开口方向，进而得焦点和准线的位置；由一次项的系数可确定2p （大于零）的值，进而可得焦点坐标和准线方程．（2）抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解．（3）有关抛物线上一点P 到抛物线焦点F 与到已知点M （M 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，只要点P 到抛物线准线l 的距离与到点M 的距离之和最小即可．由抛物线的图形可知，过点M 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 与到已知点M 的距离之和最小．解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等．（4）求抛物线的标准方程一般采用待定系数法：即先定位（即确定抛物线开口方向），再定量（即确定参数p 的值）．若无法定位，则需分类讨论．1．抛物线24y x =的准线方程为A ．1y =-B ．1y =C ．116y =D ．116y =- 2．点()00,P x y 是抛物线C ：28y x =上一点，若P 到C 的焦点的距离为8，则A ．08x =B ．08y =C ．06x =D ．06y =3．若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为A ．216y x =-B ．28y x =-C ．216y x =D ．24y x =1．【答案】D【解析】将24y x =化为214x y =，则该抛物线的准线方程为116y =-．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力．先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程．2．【答案】C【解析】根据抛物线的定义，P 到C 的焦点F 的距离等于P 到抛物线准线的距离，得028PF x =+=，则06x =.故选C. 【名师点睛】本题考查抛物线的定义以及焦半径公式：02p PF x =+，是基础题. 3．【答案】C 【解析】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，且垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p =，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.求解时，先求出抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，再根据直线和圆相切求出p 的值得解.。

苏教版高中数学选修高考一轮理抛物线一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

抛物线分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________.解析抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案－182．(2012·惠州调研)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝________.解析因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4. 答案 43．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p ＝________.解析抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.答案 24．(2013·广州调研)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10.答案 105．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵AF ＝2，∴x A ＋p2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB⊥x 轴，F 为AB 的中点．∴BF ＝AF ＝2. 答案 26．(2012·福州质检)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析由于抛物线y ＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )．则FA →＝(x A －1，y A )，FB →＝(x B －1，y B )，FC →＝(x C －1，y C )，由FA →＋FB →＋FC →＝0，所以x A ＋x B ＋x C ＝3，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝3＋3＝6. 答案 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p ＝2c ，所以抛物线方程为y 2＝4cx .因为抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以6＝4c ·32，所以c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以代入得94a 2－61－a 2＝1，所以a 2＝14或a 2＝9(舍)，所以b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y23＝1.8．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足x －12＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔ y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．分层训练B 级创新能力提升1．(2012·徐州一中检测)点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使PF ＋PA 最小，则相应P 的坐标为________．解析由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时PF ＋PA 最小．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，142. (2012·郑州一测改编)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．解析作AM ，BN 垂直于准线，准线与x 轴交点为E ，设|BF |＝t ，则|BC |＝2t . 则可得BC BC ＋BF ＋AF ＝BN AM ，即2t 2t ＋t ＋3＝t3，解得t ＝1.又BC BC ＋BF ＝BN FE ，即22＋1＝1P， ∴P ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x .答案 y 2＝3x3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．解析因为PF ＝MF ＝NF ，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误：令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．答案 ①③4．(2012·南京29中模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________．解析如图，过点A 作AB ⊥l 于点B (l 为准线)，则由抛物线的定义，得AB ＝AF .因为AK ＝2AF ，所以AK ＝2AB ，所以∠AKF ＝∠AKB ＝45°，设A (2t 2,4t )，由K (－2,0)，得4t 2t 2＋2＝1，得t ＝1，所以S △AKF ＝12×4×4＝8. 答案 85．(2012·江苏百校联考)如图，已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆T 过点M (2,1)，离心率为32；抛物线C 顶点在原点，对称轴为x 轴且过点M .(1)当直线l 0经过椭圆T 的左焦点且平行于OM 时，求直线l 0的方程；(2)若斜率为－14的直线l 不过点M ，与抛物线C 交于A 、B 两个不同的点，求证：直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．解 (1)由e ＝c a ＝32，可设椭圆T 方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，将M (2,1)代入可得b 2＝2，∴椭圆T 的方程为x 28＋y 22＝1.因此左焦点为(－6，0)，斜率kl 0＝k OM ＝12，∴直线l 0的方程为y ＝12(x ＋6)，即y ＝12x ＋62.(2)抛物线C 的方程为y 2＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2， k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12y 2＋y 1＝－14，∴y 1＋y 2＝－2.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝12y 1＋1＋12y 2＋1＝y 1＋y 2＋22y 1＋1y 2＋1＝0，∴直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．6. (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F (1,0)，过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与BC 交于点N .(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：MN ⊥x 轴；(3)若直线MN 与x 轴的交点恰为F (1,0)，求证：直线AB 过定点．解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由题意，得p2＝1，即p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且y 1>0，y 2>0. 由y 2＝4x (y >0)，得y ＝2x ，∴y ′＝1x.∴切线AC 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，即y －y 1＝2y 1(x －x 1)．整理，得yy 1＝2(x ＋x 1)， ①且C 点坐标为(－x 1,0)．同理得切线BD 的方程为yy 2＝2(x ＋x 2)， ②且D 点坐标为(－x 2,0)．由①②消去y ，得x M ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.又直线AD 的方程为y ＝y 1x 1＋x 2(x ＋x 2)，③ 直线BC 的方程为y ＝y 2x 1＋x 2(x ＋x 1)．④由③④消去y ，得x N ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.∴x M ＝x N ，即MN ⊥x 轴．(3)由题意，设M (1，y 0)，代入(2)中的①②，得y 0y 1＝2(1＋x 1)，y 0y 2＝2(1＋x 2)，∴A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程y 0y ＝2(1＋x )． ∴直线AB 的方程为y 0y ＝2(1＋x )．故直线AB 过定点(－1,0).。

高考一轮复习抛物线知识点+例题+练习

自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名教师姓名班主任日期时间段年级课时教学内容抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想．重点同上难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。

东北师大附中高考数学第一轮复习抛物线(文理)(1)

抛物线(教案)A一、知识梳理： 1. 抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: . 2. 抛物线的标准方程及性质(见下表) 标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p px yxyOFl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x pPF += )(21x x p l ++= ()022>-=p pxyxyOFl()0,0 x 轴 ⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -= )(21x x p l +-=()022>=p py x()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=1=e02y pPF +=)(21y y p l ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =1=e02y pPF -=)(21y y p l +-=3、焦半径公式=2px (p>0) ， M(,)为抛物线上任意一点。

F 为抛物线的焦点，|MF|=+（2）、n= , m=+=4、若抛物线过焦点的弦AB，设A（）B（），则有下列结论：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p>0), |AB|=( =2py (p>0))（3）、|AB|=( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)（4）、= ,=-（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：=|AB||ON|=|OF|||=|OF|||（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？以为例说明特例：当弦xAB⊥轴时，则点P的坐标为在准线上．证明:当弦AB过焦点F，设()11,yxA、()22,yxB则过A点的切线方程是：()11xxpyy+=①过B点的切线方程是：()22xxpyy+=②由①－②可得：()()2121x x p y y y -=-即：()p y y p y y y 2222121-⋅=-∴221y y y +=代入①式可得：px y y 221=⋅∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=，∴x=，即交点P坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ．结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。