濮阳市第一高级中学数学全等三角形单元测试卷(含答案解析)

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全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82，BC=16．（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．【答案】（1）4；（2）8【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF，即可得出BE+CD=8．【详解】解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，又∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∴∠B=∠PFB ，∴BP=PF ， ∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，∴△PFD ≌△QCD ，∴DF=CD=12CF ，又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=8， ∴CD=12CF=4；（2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，∵PE ⊥BF∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．2．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．3．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．（1）填空：ABC ∆的面积等于；（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；（3）点O 在BC 边上，且1CO =，当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．【详解】解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==，∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=，故答案为：21 2（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM与△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴点E在∠ACB的平分线上，即CE是ACB∠的平分线（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴22) CN AC CD=+，当AC=3，CD=CO=1时，CE=2(31)22 2+=当AC=3，CD=CB=7时，CE=2(37)52+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．5．已知：在ABC ∆中，,90AB AC BAC =∠=︒，PQ 为过点A 的一条直线，分别过B C 、两点作,BM PQ CN PQ ⊥⊥，垂足分别为M N 、.（1）如图①所示，当PQ 与BC 边有交点时，求证：MN CN BM =-；（2）如图②所示，当PQ 与BC 边不相交时，请写出线段BM CN 、和MN 之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-），理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件先证AMB CNA ≌∆∆，得到,AM CN BM AN ==，即可证得MN CN BM =-；（2）由（1）知AMB CNA ≌∆∆，得到,AM CN BM AN ==，即可确定MN BM CN =+.【详解】证明：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥，∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒，∴∠CAN+∠ACN=90︒，∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）∴BAM ACN ∠=∠，在AMB ∆和CNA ∆中，∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB CNA AAS ≌∆∆，∴,AM CN BM AN ==，∵MN AM AN =-，∴MN CN BM =-.（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-）.理由：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥，∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒，∴∠CAN+∠ACN=90︒，∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）,∴BAM ACN ∠=∠，在AMB ∆和CNA ∆中，∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB CNA AAS ≌∆∆，∴,AM CN BM AN ==，∴MN AN AM BM CN =+=+.【点睛】此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.6．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角ADE ∆，连接CE .（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，CE 之间的数量关系；（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论．【详解】（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AB＝AC ，AE ＝AD ，在△△ABD 和△ACE 中90AB AC BAC DAE AD AE ⎧⎪∠∠=︒⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE,又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B+∠ACB=90︒,∴∠ACE +∠ACB=90︒,即BC CE ⊥，∵BC=BD+CD, BD=CE ，∴BC CE CD =+；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下：∵ABC ∆、ADE ∆是等腰直角三角形，∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠,在ABD ∆和ACE ∆中AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆∴BD CE =∵BD BC CD =+∴CE BC CD =+，∴ABD ACE ∠=∠，∵090ABD ACE ∠+∠=∴090ACE ACB ∠+∠=∴BC CE ⊥.（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下：∵ABC ADE ∆∆、是等腰直角三角形，∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中 AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆，∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =，∵CD BD BC =+，∴CD CE BC =+，∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠=∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=，∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．7．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE=BD+CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC ，∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.8．在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题．（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题．（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时；列方程即可得到结论．【详解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）如图1中，∵OE ＝OA ，OB ⊥AE ，∴BA ＝BE ，∴∠BAO ＝∠BEO ，∵∠CEF ＝∠AEB ，∴∠CEF ＝∠BAO ，∴∠CEO ＝∠DAO ，在△ADO 与△ECO 中，CE0DA0OA 0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADO ≌△ECO （ASA ）．（2）设运动的时间为t 秒，当PO ＝QO 时，易证△OPM ≌△OQN ．分三种情况讨论：①当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝12﹣3t ，解得t ＝72（秒）， ②当点P 、Q 都在y 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝3t ﹣12，解得t ＝174（秒）， ③当点P 在x 轴上，Q 在y 轴上时，若二者都没有提前停止，则PO ＝QO 得：t ﹣5＝3t ﹣12，解得t ＝72（秒）不合题意；当点Q 运动到点E 提前停止时，有t ﹣5＝5，解得t ＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM 与△OQN 全等．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.10．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，如图1，求t 的值；（2）设点A 关于x 轴的对称点为A ′，连接A ′B ，在点P 运动的过程中，∠OA ′B 的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA ′B 的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t ＝3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45︒，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，∴△AOP 为等腰直角三角形，∴OA ＝OP ＝4．∴t ＝4÷1＝4（秒），故t 的值为4．（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。

【学生卷】濮阳市八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含解析)

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE =5．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = 6．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°7．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =8．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 10．下列四个命题中，真命题是（）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等11．下列说法正确的是（）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．4 12．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比为（）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:16 13．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（）cm/s ．A ．0.5B ．1C ．0.5或1.5D ．1或1.5 14．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．315．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF二、填空题16．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．17．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．18．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．20．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______21．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点P，已知AD＝AE．若△ABE≌△ACD，则可添加的条件为_____．22．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是__________．AC=，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点B向点A运23．如图，9cmAB=，3cm动，同时点Q在射线BD上以x cm/s的速度由点B沿射线BD的方向运动，它们运动的时间为t（s）（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________； 24．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．三、解答题27．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．28．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．29．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．30．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．。

濮阳市第一高级中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（）A ．7B ．10C ．6D ．5 2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能 3．下列命题的逆命题是真命题的是（）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等4．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 5．下列命题的逆命题是假命题的是（）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 6．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°7．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA8．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 9．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:410．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF11．下列说法正确的是（）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 12．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题13．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．14．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．15．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．16．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．17．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，AX ⊥AC 于A ，P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动．当PQ ＝AB ，AP ＝_____时，△ABC 和△APQ 全等．19．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．20．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．三、解答题21．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．22．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．23．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．24．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．25．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．（1）求证：BAC EAD ∠=∠．（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．26．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C 走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB//PM //CD ，相邻两平行线间的距离相等AC ，BD 相交于P ，PD CD ⊥垂足为D ．已知16CD =米．请根据上述信息求标语AB 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD，由AD＝14，求出即可．【详解】解：当EP⊥BC时，EP最短，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，∴EP=EA，同理，EP=ED，此时，EP=12AD=12×14=7，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．2．B解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC，∠AOM=∠MOB=12∠AOB，∠CON=∠BON=12∠BOC，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC，从而可得∠AOP=∠MON．【详解】解：∵OP平分∠AOC，∴∠AOP=12∠AOC，∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB，∠CON=∠BON=12∠BOC，∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC，∴∠AOP=∠MON．故选B．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．3．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．4．B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．5．B解析：B【分析】先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故选：B．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6．B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE≌ABF，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转得ADE≌ABF，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 7．C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．8．C解析：C【分析】先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.【详解】解：过D 点作DF AB ⊥于F ,∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），∴DF CD =，设DF CD R ==，在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115SAB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.10．A解析：A【分析】欲使△AED ≌△BFC ，已知AC=DB ，AE ∥BF ，可证明全等三角形判定定理AAS 、SAS 、ASA 添加条件，逐一证明即可；【详解】∵ AC=BD ，∴ AD=CE ，∵ AE ∥BF ，∴ ∠A=∠E ，A 、如添加ED=CF ，不能证明△AED ≌△BFC ，故该选项符合题意；B 、如添加AE=BF ，根据SAS ，能证明△AED ≌△BFC ，故该选项不符合题意；C、如添加∠E=∠F，利用AAS即可证明△AED≌△BFC，故该选项不符合题意；D、如添加ED∥CF，得出∠EDC=∠FCE，利用ASA即可证明△AED≌△BFC，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理；11．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL定理针对四个选项分别进行判断即可．【详解】A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS即可证明全等，故此选项正确；D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．12．C解析：C【分析】在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．二、填空题13．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD 在一条直线上∵∴△ABD 是等边三角形∴△ABD 的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边解析：12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD ==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 14．21【分析】如图作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC 的延长线于F 作DEAC 于E 首先证明利用面积法求出DE 即可解决问题【详解】解：作DHBA 交BA 的延长线于H 作DFBC 的延长线于F 作DEAC 于E 设则解析：21【分析】如图，作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，首先证明DH DE DF ==，利用面积法求出DE ，即可解决问题．【详解】解：作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作DF ⊥BC 的延长线于F ，作DE ⊥AC 于E ，180,180BAD CAD BAD DAH ∠+∠=︒∠+∠=︒，CAD DAH ∴∠=∠，180,180BCD ACD BCD DCF ∠+∠=︒∠+∠=︒，ACD DCF ∴∠=∠，,,DH BH DE AC DF BF ⊥⊥⊥，DH DE DF ∴==，设DH DE DF x ===，则有：11112222AB DH BC DF AB BC AC DE ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴34125x x x +=+，6x ∴=，∴S 四边形ABCD=11113456212222AB CB AC DE ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：21．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 15．4【分析】当PC 垂直于OB 时PC 最小根据角平分线的性质可求最小值【详解】解：当PC ⊥OB 时PC 最小∵PC ⊥OB ∴PC=PD=4故答案为：4【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质能够根据垂线段最解析：4【分析】当PC 垂直于OB 时，PC 最小，根据角平分线的性质可求最小值．【详解】解：当PC ⊥OB 时，PC 最小，∵AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，PC ⊥OB ，∴PC=PD=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能够根据垂线段最短的性质判断出点C 的位置，并根据角平分线的性质得出PC=PD 是根关键．16．40°【分析】由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C 根据三角形内角和定理求出∠C 继而即可求解【详解】在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴解析：40°【分析】由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ），由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，根据三角形内角和定理求出∠C ，继而即可求解．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC AD AE A A ==∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴∠B ＝∠C∵60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，∴∠C ＝180°－∠A －∠ADC ＝40°，∴∠B=40°故答案为：40°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质证得∠B ＝∠C ．17．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．18．8cm 或15cm 【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ）此时AP ＝AC ＝15cm 【详解】解：①当P 运动解析：8cm 或15cm【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时，Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时，Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），此时AP ＝AC ＝15cm ．【详解】解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，AB QP BC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，AB PQ AC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．19．25°【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC 的度数进而得出∠ADC 的度数再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可【详解】解：∵∠B=35°∠ACB=85°∴∠BAC=60°∵AD 平分∠BAC ∴∠B解析：25°【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC 的度数，进而得出∠ADC 的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．【详解】解：∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠ADC=35°+30°=65°，∵∠EPD=90°，∴∠E 的度数为：90°-65°=25°．故答案为：25°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD 度数是解题关键．20．9【分析】根据已知条件证得△ABP ≌△DBP 根据全等三角形的性质得到AP ＝PD 得出S △ABP ＝S △DBPS △ACP ＝S △DCP 推出S △PBC ＝S △ABC 代入求出即可【详解】解：如图延长AP交BC于点解析：9【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝12S△ABC，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AP交BC于点D，∵BP平分∠ABC∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB∴△ABP≌△DBP（ASA）∴AP＝PD，∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，∴S△PBC＝12S△ABC＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．三、解答题21．（1）PA=PB；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD≌△BPC，从而得出AD=BC，再根据HL得出Rt△OPD≌△RtOPC，得出OC=OD，继而得出结论．【详解】（1）作PD⊥OM于点D，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．22．见解析【分析】由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，∴AB DE =，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．23．见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．24．见详解【分析】先证明ACE △≅DBF ，从而得∠DBF=∠ACE ，进而即可得到结论．【详解】∵AB DC =，∴+AB BC DC BC =+，即：AC=DB ，∵//AE FD ，∴∠A=∠D ，又∵AE FD =，∴ACE △≅DBF （SAS ），∴∠DBF=∠ACE ，∴CE ∥BF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理，熟练掌握SAS 证明三角形全等，是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．【分析】（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．【详解】证明：（1）∵在BAE △和CAD 中AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC EAD ∠=∠．（2）312∠=∠+∠，证明：∵BAE CAD △≌△，∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，∵3BAE ABE ∠=∠+∠，∴312∠=∠+∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．26．16米【分析】已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP ，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB ⊥AB ，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB ，即可根据ASA 定理判定△ABP ≌△CDP ，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠ABP=∠CDP ，∵PD ⊥CD ，∴∠CDP=90︒，∴∠ABP=90︒，即PB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD=PB ，在△ABP 与△CDP 中， ABP CDP PD PBAPB CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ）， ∴CD=AB=16米．【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．。

人教版八年级上册数学《全等三角形》单元测试卷(含答案)

人教版八年级上册数学《全等三角形》单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.ABC △和DEF △，AB DE A D =∠=∠，，若ABC DEF ≌△△还需要（）A ．B E ∠=∠ B ．C F ∠=∠ C ．AC DF =D ．以上三中情况都可以2.两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等．A ．两边和其中一边的对角对应相等B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等3.不能确定两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等4.如图，图中有两个三角形全等，且A D AB ∠=∠，与DF 是对应边，则下列书写最规范的是（）A ．ABC DEF ≌△△B ．ABC DFE ≌△△ C ．BAC DEF ≌△△D ．ACB DEF ≌△△ 5.如图，已知D 为ABC △边BC 的中点，DE DF ⊥，则BE CF +（）A ．大于EFB ．小于EFC ．等于EFD ．与EF 的大小关系无法确定DE C BA6.如图，CAB DBA C D AC BD ∠=∠∠=∠，，，相交于点E ，下面结论不正确的是（）A ．DAE CBE ∠=∠B ．DEA ∠与CEB △不全等C ．CE ED = D ．AEB △是等腰三角形7.如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（） A ．40 cm B ．6 cm C ．8cm D ．10cm8.如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形DEFCBAEDCBADEC BAPMBC DEA9.如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，BF CD =，CE BD =，那么EDF∠等于（）A ．1902A ︒-∠ B ．90A ︒-∠ C ．180A ︒-∠ D ．1452A ︒-∠10.在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．12.如图所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于G ． AE =4，AB =14，则BG =______．A BCFEDMNCBADMNCBAGFE DCB A13.如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，0DEF 20∠=，则BAC ∠等于________．14.如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若BE ，则CD = ．15.已知，如图ABC △中，5AB =，3AC =，则中线AD 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.如图，已知ABC ∆、BDE ∆都是等边三角形，并且A 、E 、D 三点在同一条直线上。

2023-2024学年河南省濮阳市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试-1-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省濮阳市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角1. 若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是（）A .B .C .D .2ππ2. 设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（） A . B . C .D .3.的值是（）A . B . C . D .第三象限角第四象限角第三象限角或第四象限角第二象限角或第四象限角4. 若角满足 , ,则角是（）A . B . C . D .5. 已知为第二象限角，，则（）A .B .C .D .6.A .B .C .D .7. （）A .B .C .D .向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位8. 要得到y=3sin 的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A .B .C .D .第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角9. 已知角α是第二象限角，且|cos |=﹣cos ，则角是（）A .B .C .D .第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限10. 已知为第三象限角，则所在的象限是（）A .B .C .D . ( ) ( )( ) ( )11. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像所对应的函数单调增区间为（）A .B .C .D .12. 已知函数在上的值域为，则（）A .B .C .D .13. 已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=14. 设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm 2 ，则这个扇形的圆心角的弧度数是15. 已知扇形的圆心角为，半径为6．则扇形的面积为16. 下列命题中，①若，则角为第三、四象限角；② ；③函数是周期为的奇函数；④ 是的一个对称中心.其中正确的命题序号有 .阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜π），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3．(1) 求函数f（x）的解析式和图象的对称中心；(2) 若时，关于x的方程2f（x）+1﹣m=0有且仅有一个实数解，求实数m的取值范围．18. 已知(1) 化简；(2) 若是第三象限角，且，求的值．19. 已知函数.(1) 求函数在上的单调递增区间；(2) 若，求的值.20. 已知，．(1) 求的值；(2) 求的值．21.(1) 求的值；(2) 已知，求 .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。

新人教版八年级数学上册《全等三角形》单元测试卷含答案

八年级数学单元质量检测第一卷〔选择题共30分〕一、选择题〔每题3分，共30分〕1.以下说法正确的选项是〔〕A.形状相同的两个三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D. 所有的等边三角形全等如下图，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，那么下面与△ABC 一定全等的三角形是〔〕AB C 第2题图如下图，△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，以下不正确的等式是〔〕A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE/// // / 补充条件后仍 4.在△ABC 和△A BC 中,AB=AB,∠B=∠B ,///那么补充的这个条件是不一定能保证△ABC ≌△A BC, ()// B/A ．BC=BC．∠A=∠A//D/C ．AC=AC ．∠C=∠C 8. 如下图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 9. 都是等边三角形，那么以下结论不一定成立的是〔〕 10. A.△ACE ≌△BCD B. △BGC ≌△AFC 11. C.△DCG ≌△ECF D. △ADB ≌△CEA12. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂线13. BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A,C,E14.在一条直线上〔如下图〕，可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC15. 最恰当的理由是〔〕16. A.边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边 17. 角18. ：如下图，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，那么不正确19. 的结论是〔〕20. A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A=∠2 21.C ．△ABC ≌△CED D ．∠1=∠222. 在△ABC 和△FED 中，∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定这两D第3题图第5题图第6题图第7题图个三角形全等，还需要条件〔〕A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F如下图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的选项是〔〕A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④10、以下命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个第9题图三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有()A、3个B、2个C、1个D、0个二、填空题〔每题3分，共21分〕11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，那么△ＡＢＣ≌；应用的判定方法是．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，假设ＡＤ＝ＢＣ，那么∠ＢＡＤ的对应角为．ＣA DD COＡＢCBA B图8图6Ｄ图713．ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm，那么点Ｄ到ＡＣ的距离为．14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝，根据可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝．15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ〞说明≌得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“〞证明△ＡＯＢ≌得到ＯＢ＝ＯＣ．16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一18.块完全一样形状的玻璃．那么最省事的方法是带19.________去配，这样做的数学依据是20.是．21.三、解答题〔共29分〕22.〔6分〕如右图，△ABC中，AB＝AC，AD平分图10∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．解：∵AD平分∠BAC∴∠________＝∠_________〔角平分线的定义〕A在△ABD和△ACD中B D C∴△ABD≌△ACD〔〕19．〔8分〕如图，△≌△是对应角．1〕写出相等的线段与相等的角；〔2〕假设cm，cm，cm，求MN第19题图和HG的长度.20．〔7分〕如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A 在同一直线上，那么DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．21．〔8分〕AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．B四、解答题〔共20分〕22．〔10分〕：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，F A求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．C E D 23．〔10分〕如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，D求证:∠5=∠6．A153C2E64B12章·全等三角形〔详细答案〕一、选择题CBDCD二、填空题11、△ABD14、∠COBSASCB BDCDCSSS12、∠ABC15 、△ABC△DCBAAS13、△DOC3cm16、相等17、○3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、ADCAD AB=AC∠BAD=∠CAD A D=AD SAS19、B解：(1)EF=MNEG=HN FG=MH∠F=∠M∠E=∠N∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG≌△NMH∴∴∵∴HG=GF－－20、解：∵DE∥AB∴∠A=∠E∴在△ABC与△CDE中∴A=∠E∴BC=CD∴ACB=∠ECD∴∴△ABC≌△CDE(ASA)∴A B=DE21、证明：∵AB∥DE∴∠A=∠EDF∵BC∥EF∴∠ACB=∠FAD=CFAC=DF四、解答题22、证明：①∵ＢＥ⊥ＣＤ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°在Ｒｔ△ＢＥＣ与Ｒｔ△ＤＥＡ中ＢＣ＝ＤＡＢＥ＝ＤＥ∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ〔ＨＬ〕23、证明：在△ABC与△ADC 中1=∠2AC=AC3=∠4∴△ABC≌△ADC(ASA)∴CB=CD 在△ABC与△DEF中A=∠EDFAC=DFACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)②∵Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＥ∵∠ＤＥＡ＝９０°∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝９０°∴∠ＤＦＣ＝９０°∴ＤＦ⊥ＢC在△ECD与△ECB中CB=CD3=∠4CE=CE∴△ECD≌△ECB(SAS)∴∠5=∠6。

《第十二章全等三角形》单元测试卷及答案(共六套)

《第十二章全等三角形》单元测试卷（一）答题时间:120 满分:150分一、选择题（每题3分，共30分。

每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在下面的表格中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．下列判断中错误．．的是（） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等2．如图，和均是等边三角形，分别与交于点，有如下结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去4．△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC =4，若△DEF 的周长为偶数，则EF 的取值为（）A ．3B ．4C ．5D ．3或4或55．如图，已知，△ABC 的三个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是（） A ．甲和乙 B ．乙和丙DAC △EBC △AE BD ，CD CE ，M N ，ACE DCB △≌△CM CN =AC DN =（第3题）BECD ANM （第2题）（第5题）C ．只有乙D ．只有丙6．三角形ABC 的三条内角平分线为AE 、BF 、CG 、下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC 的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF =600，那么∠DAE 等于（） A ．150 B ．300 C ．450 D ．6008．如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45°9.在△ABC 和△A B C '''中,已知A A '∠=∠,AB A B ''=,在下面判断中错误的是( )A.若添加条件AC A C ''=,则△ABC ≌△A B C '''B.若添加条件BC B C ''=,则△ABC ≌△A B C '''C.若添加条件B B '∠=∠,则△ABC ≌△A B C '''D.若添加条件C C '∠=∠,则△ABC ≌△A B C '''10.如图,在△ABC 中,∠C =90,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E , 则下列结论:①AD 平分∠CDE ；②∠BAC =∠BDE ； ③DE 平分∠ADB ；④BE +AC =AB .其中正确的有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共30）11．如图，AB ，CD 相交于点O ，AD ＝CB ，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB ．你补充的条件是______________________________．（第7题）（第8题）第10题12．如图，AC ，BD 相交于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，写出图中两对相等的角______． 13．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______．14．如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则的面积为______．15．在△ABC 中，∠C =90°，BC =4CM ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且BD ：DC =5：3，则D 到AB 的距离为_____________．16．如图，△ABC 是不等边三角形，DE =BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出_____个．17．如图，分别是锐角三角形和锐角三角形中边上的高，且．若使，请你补充条件___________．（填写一个你认为适当的条件即可）18．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________．ACE △AD A D ''，ABC A B C ''',BC B C ''AB A B AD A D ''''==，ABC A B C '''△≌△（第11题）AD OC B （第12题）ADOC B（第13题）ADCBAD CBE（第14题）（第16题）BDEABC D'A 'B'D'C （第17、18题）（第19题）19．如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为．20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B =∠C =90，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED =35，如图16，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．三、解答题（每题9分，共36分）21．如图，O 为码头，A ，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA ，OB 为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB 的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A ，B 的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由．22．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．23．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBAABC ∆90,,A AB AC CD ∠=︒=ACB ∠DE BC ⊥E 15cm BC =DEB △cm 00 ABO24．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．四、解答题（每题10分，共30分）25．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B26．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．27．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．PEDCBA DCBA（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：五、（每题12分，共24分）28．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．29.已知:在△ABC 中,∠BAC =90,AB =AC ,AE 是过点A 的一条直线,且BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E .(1)当直线AE 处于如图①的位置时,有BD =DE +CE ,请说明理由；(2)当直线AE 处于如图②的位置时,则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由； (3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD 、DE 、CE 之间的关系.OEDCBAFE D CBA参考答案一、选择题1．B 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．A 9.B 10. C二、填空题11．∠A=∠C或∠ADO=∠CBO等（答案不唯一） 1 2．∠A=∠D或∠ABC=∠DCB 等（答案不唯一） 13．5 14．8 1 5．1.5cm 16．4 17．BD=B’D’或∠B=∠B’等(答案不唯一) 18．互补或相等 19．15 20．35三、解答题21．此时轮船没有偏离航线．画图及说理略22．证明:延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC23．证明:因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA24．证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC四、25．证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB∠EAD=∠BADAD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B26．分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．（2）成立27．（1）证明：∵DC=1/2 AB，E为AB的中点，∴CD=BE=AE．又∵DC∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．∴CE=AD，CE∥AD．∴∠BEC=∠BAD．∴△BEC≌△EAD（2）△AEC，△CDA，△CDE五、 28．证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠AB E=∠CB E所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE29解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

全等三角形单元检测卷含答案

全等三角形单元检测卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列属于命题的是（）A．任意一个三角形的内角和一定是180°吗 B．请你把书递过来C．负数与正数的和一定是负数 D．连结A，B两点2．下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF3．在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=A′B′，则下面结论正确的是（）A．AB=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠A=∠A′4．如图1所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个图1 图2 图35．如图2所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为（）A．70° B．48° C．45° D．60°6．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，•则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．10cm D．12cm7．如图3所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PQ⊥AB于R点，作PS⊥AC于S•点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（） A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③8．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图4所示），可以证明△EDC•≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．S．A．S． B．A．S．A． C．S．S．S． D．A．A．S．图4 图5 图6二、填空题（每题4分，共20分）9．如图5所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=42°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB=_______．10．如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，S△A`B`C`=180，则△ABC的AB边上的高是______．11．如图6所示，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，若△ABD≌△ACE，那么∠B的对应角是_____，∠BAD的对应角是______，∠ADB的对应角是_____．12．•定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是_____________．13．如图7所示，已知线段a，c和∠α，求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．图7 图8（1）如图8①所示，作∠MBN=______；（2）如图8②所示，在射线BM上截取BC=___，在射线BN上截取BA=_____；（3）连结AC，如图③所示，△ABC就是_______．三、解答题（14，15题每题10分，其余每题12分，共56分）14．如图所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点.求证：CP=DP．15．如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC 于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系？并说明理由．16．已知：如图所示，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF.求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC．17．如图所示，施工队在沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边点E 同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E 成一直线，那么开挖点E离点B的距离如何求得？请你设计出解决方案．18．数学作业本发下来了，徐波想“我应该又是满分吧”，翻开作业本，一个大红的错号映入眼帘，徐波不解了，“我哪里做错了呢”？下面就是徐波的解法，亲爱的同学，你知道他哪儿错了吗？你能帮他进行正确的说明吗？如图所示，∠BAC是钝角，AB=AC，D，E分别在AB，AC上，且CD=•BE.试说明∠ADC=∠AEB．徐波的解法：在△ACD和△ABE中，(),(),(). AB ACBE CDBAE CAD=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知已知公共角所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC=∠AEB．参考答案一、1．C 点拨：解答此题的关键是理解命题的概念．2．D 点拨：判定三角形全等，注意“对应”相等，只有D满足条件，是“A．A．S．”，其他的都不满足对应相等．3．C 点拨：△ABC与△A′B′C′的对应边分别是AB与B′A′，BC与A′C′，CA与C′B′．4．B 点拨：由条件可知，Rt△BDH≌Rt△ADC，所以BD=AD，BH=AC，只有①，③正确．5．B 点拨：因为AE=BE，DE⊥AB，所以∠DAB=∠DBA．设∠CAD=x•°，• 则∠DAB=•∠DBA=7x°，∠CAB+∠B=8x°+7x°=90°，解得x°=6°，所以∠CAB=8x°=48°．6．B 点拨：先证得Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，CD=ED．•又因为AC=•BC，•所以△DEB 的周长为BE+DE+BD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB=6（cm）．7．C 点拨：如图所示，连结AP，由PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，易证Rt△APR≌Rt△APS，所以AS=AR①．由AQ=PQ，得∠2=∠3，由Rt△APR≌Rt△APS，得∠1=∠2，故∠1=∠3，所以QP∥AR②，故①②正确，无法证明③正确，故选C．8．B二、9．108°点拨：先利用角平分线的概念得出∠BAD=12∠BAC=30°，再利用三角形的内角和等于180°，求∠ADB的度数．10．15 点拨：设AB边上的高为h，由△ABC≌△A′B′C′和△A′B′C•′的面积为180，得12·AB·h=180，所以12×24h=180，解得h=15．11．∠C；∠CAE；∠AEC 点拨：先看清两个全等三角形的对应点，再找对应角及对应边．12．到线段上两个端点的距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上点拨：此逆命题也是定理，它是判定点在直线上或直线经过某点的重要依据，也是求作线段中点及线段的垂直平分线的依据．13．（1）∠α（2）a：c （3）所求作的三角形三、14．证明：如图所示，连结CD，在Rt△ACB和Rt△ADB中，(),(). AC ADAB AB=⎧⎨=⎩已知公共边所以Rt△ACB≌Rt△ADB（H．L．）．所以BC=BD．所以AB所在直线是线段CD的垂直平分线．因为P是AB上任意一点，所以CP=DP．点拨：要证CP=DP，只要证P在CD的垂直平分线上即可．由AC=AD，得A在CD的垂直平分线上，若B也在CD的垂直平分线上，则AB即为CD的垂直平分线．15．解：AC=ED，理由如下：因为AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，所以∠B=∠EFC=∠DCE=•90°，所以∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°，所以∠A=∠CFE．在△ABC和△ECD中，,,.A CED AB ECB DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩•所以△ABC≌△ECD（A．S．A．）．所以AC=ED（全等三角形的对应边相等）．点拨：要说明AC=ED，只要说明△ABC≌△ECD即可．16．证明：（1）AD是△ABC的中线（已知），如图所示，所以BD=CD．在Rt•△EBD和Rt△FCD中，,. BD CD BE CF=⎧⎨=⎩所以Rt△EBD≌Rt△FCD（H．L．）．所以DE=DF（全等三角形的对应边相等），即AD是∠BAC的平分线．（2）因为在Rt△AED和Rt△AFD中，,. AD AD DE DF=⎧⎨=⎩所以Rt△AED≌Rt△AFD，所以AE=AF（•全等三角形的对应边相等）．又因为BE=CF（已知），所以AB=AC．17．解：方案设计如答图19-4，延长BD到点F，使BD=DF=500米，过F作FG⊥ED于点G．因为∠ABD=145°，所以∠CBD=35°，在△BED和△FGD中，,,().EBD FBD DFEDB GDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等所以△BED≌△FGD（A．S．A．），所以BE=FG（全等三角形的对应边相等）．所以要求BE的长度可以测量GF•的长度．点拨：本题应用了三角形全等的判定定理“A．S．A．•”来作一个三角形全等于已知三角形，再利用全等三角形的对应边相等来测量距离．18．解：错在不能用“S．S．A．”说明三角形全等．正确的解法如下：如图所示，因为∠BAC是钝角，故过B，C两点分别作CA，BA的垂线，垂足分别为F，G，•在△ABF与△ACG中，90,,.F GFAB GAC AB AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABF≌△ACG（A．A．S．）．所以BF=CG．在Rt△BEF和Rt△CDG中，,. BF CG BE CD=⎧⎨=⎩•所以Rt△BEF≌Rt△CDG（H．L．）．所以∠ADC=∠AEB．点拨：在徐波的解题过程中用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”这一错误的判定方法，这也是初学者易犯的错误，望引起同学们的重视．。

【实用型】第12章《全等三角形》单元测试及答案.doc

人教版数学八年级上学期《全等三角形》单元测试复习试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．面积相等的两个三角形（）A ．必定全等B ．必定不全等C ．不一定全等D ．以上答案都不对2. 下列条件中，可以确定△ABC 和△A ′B ′C ′全等的是（）A ．BC=BA ，B ′C ′=B ′A ′，∠B=∠B ′ B ．∠A=∠B ′，AC=A ′B ′，AB=B ′C ′ C ．∠A=∠A ′，AB=B ′C ′，AC=A ′C ′D ．BC=B ′C ′，AC=A ′B ′，∠B=∠C ′3. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）4321A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块4. 如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=5，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）FEDCBAA ．7B ．6C ．5D ．45. 下列作图语句正确的是（）A ．过点P 作线段AB 的中垂线 B ．在线段AB 的延长线上取一点C ，使AB=BC C ．过直线a ，直线b 外一点P 作直线MN 使MN ∥a ∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6. 下列图形中与已知图形全等的是（）DCB A7. 如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是（）POD CBAA ．PC=PDB ．∠CPD=∠DOPC ．∠CPO=∠DPOD ．OC=OD8. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（）FEDCB AA ．∠A=∠DB ．BC=EFC ．∠ACB=∠FD ．AC=DF9. 在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，A （﹣4，0），B （0，3）．若在该坐标平面内有以点P （不与点A 、B 、O 重合）为一个顶点的直角三角形与Rt △ABO 全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与Rt △ABO 有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A ．9 B ．7 C ．5 D ．310. 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B ，D 重合，已知AB=3，AD=4，则 ①DE=DF ；②DF=EF ；③△DCF ≌△DGE ；④EF=154．上面结论正确的有（）GFEDCBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 如图，线段AD 与BC 相交于点O ，连结AB 、CD ，且∠B=∠D ，要使△AOB ≌△COD ，应添加一个条件是（只填一个即可）O DCBA12. 如图，AD=AB ，∠C=∠E ，∠CDE=55°，则∠ABE= ．ED CBA13. 如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD=7cm ，当PE= cm 时，点P 在∠AOB 的平分线上．BA EPODC14. 如图，AB=DB ，∠ABD=∠CBE ，请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△DBE ．（只需添加一个即可）EDCB A15. 如图所示，用直尺和三角尺作直线AB ，CD ，从图中可知，直线AB 与直线CD 的位置关系为，得到这个结论的理由是．FEDCBA16. 如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF= 度．FED CBA三、解答题17. （本题8分）如图，已知△ABC 中，∠1=∠2，AE=AD ，求证：DF=EF ．21F E D CBA18. （本题8分）已知，如图，△ABC 是等边三角形，AE=CD ，BQ ⊥AD 于Q ，BE 交AD 于点P ，求证：BP=2PQ ．QPE DCBA【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAE=∠C=60°，在△ABE 和△CAD 中，19. （本题8分）如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 平分∠BAC ，求证：AB+BD=AC ．DC BA20. （本题8分）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，则线段BD 和CE 具有什么数量关系，并证明你的结论．EDCBA21. （本题8分）在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为CD 的中点．求证：S △AEB =12S ABCD ．ED CB A22. （本题10分）如图，已知AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB=AD ，AC=AE ，BC 分别交AD 、DE 于点G 、F ，AC 与DE 交于点H ．求证：（1）△ABC ≌△ADE ；（2）BC ⊥DE ．GHEDCBA23. （本题10分）已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=50° （1）求证：①AC=BD ；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD 间的等量关系为，∠APB 的大小为αα图②图①AB CDP OOP DCBA24. （本题12分）（1）如图1，以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米．外图2图1FGEABCD参考答案（满分120分，限时120分钟）一、选择题1．C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 9. A 10. C 二、填空题11. OB=OD 12. 125° 13. 7 14. BC=BE 15．平行；同位角相等，两直线平行． 16. 80三、解答题17. 证明：在△ABE 和△ACD 中， ∠1=∠2，∠A=∠A ，AE=AD ， ∴△ABE ≌△ACD （AAS ）， ∴AB=AC ，∵AE=AD ， ∴AB ﹣AD=AC ﹣AE ，即BD=CE ，在△BDF 和△CEF 中，∠1=∠2，∠BFD=∠CFE ，BD=CE ， ∴△BDF ≌△CEF （AAS ）， ∴DF=EF ．18. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAE=∠C=60°，在△ABE 和△CAD 中， AB=AC ，∠BAE=∠C=60°，AE=CD ， ∴△ABE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°， ∵BQ ⊥AD ， ∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°， ∴BP=2PQ ．3QP 21E D CBA19. 证明：在AC 上截取AE=AB ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，在△ABD 和△AED 中，AE=AB ，∠CAD=∠BAD ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△AED （SAS ）， ∴DE=BD ，∠AED=∠ABC ，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∠ABC=2∠C ，∴∠CDE=∠C ，∴CE=DE ， ∵AE+CE=AC ， ∴AB+BD=AC ．EDC BA20．答：BD=2CE ，F EDC BA延长CE 与BA 延长线交于点F ， ∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ， ∴∠BAC=∠DEC ， ∵∠ADB=∠CDE ， ∴∠ABD=∠DCE，在△BAD 和△CAF 中，∠BAD=∠CAF ，AB=AC ，∠ABD=∠DCE ， ∴△BAD ≌△CAF （ASA ）， ∴BD=CF ，∵BD 平分∠ABC ，CE ⊥DB ， ∴∠FBE=∠CBE ，在△BEF 和△BCE 中，∠FBE=∠CBE ，∠BEF=∠BEC ，BE=BE ， ∴△BEF ≌△BCE （AAS ）， ∴CE=EF ， ∴DB=2CE ． 21.解：如图，FED CBA∵AD ∥BF ，∴∠D=∠ECF ，∠DAE=∠F ， ∵点E 为CD 的中点，∴DE=CE ，在△ADE ≌△CEF 中，∠DAE=∠F ，∠D=∠EC F ， DE=CE ，∴△ADE≌△CEF，∴AE=EF，AD=CF，设四边形ABCD的高为h，∴S△ABF=12（BC+CF）h=12（BC+AD）h=S四边形ABCD，∴S△AEB=12S△ABF=12S四边形ABCD．22. 证明：（1）∵AB⊥AD，AC⊥AE，∴∠DAB=∠CAE=90°，∴∠DAB+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）．（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠E=∠C，∵∠E+∠AHE=90°，∠AHE=∠DHC，∴∠C+∠DHC=90°，∴BC⊥DE．23. 证明：（1）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=50°．（2）解：AC=BD，∠APB=α，理由是∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，故答案为：AC=BD，α．【解析】（1）根据∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据24.解：（1）△ABC与△AEG面积相等．理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，在△ACM和△AGN中，∠MAC=∠NAG，∠AMC=∠ANG，AC=AG，∴△ACM≌△AGN，∴CM=GN，∵S△ABC=12AB•CM，S△AEG=12AE•GN，∴S△ABC=S△AEG，（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．N M图1F GEAB CD美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。

濮阳数学全等三角形单元练习(Word版含答案)

濮阳数学全等三角形单元练习（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．4．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10.故答案为10.5．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥ ∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.7．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ，通过证明△BDF ≌△CDN ，及△DMN ≌△DMF ，从而得出MN =MF ，△AMN 的周长等于AB +AC 的长．【详解】延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ．∵BD =CD ，且∠BDC =140°，∴∠BCD =∠DBC =20°．∵∠A =40°，AB =AC =2，∴∠ABC =∠ACB =70°，∴∠DBA =∠DCA =90°．在Rt △BDF 和Rt △CND 中，∵BF =CN ，∠DBA =∠DCA ，DB =DC ，∴△BDF ≌△CDN ，∴∠BDF =∠CDN ，DF =DN ．∵∠MDN =70°，∴∠BDM +∠CDN =70°，∴∠BDM +∠BDF =70°，∴∠FDM =70°=∠MDN ．∵DF =DN ，∠FDM =∠MDN ，DM =DM ，∴△DMN ≌△DMF ，∴MN =MF ，∴△AMN 的周长是：AM +AN +MN =AM +MB +BF +AN =AB +AC =4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．8．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠=01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题与答案

濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．1.直线2210x y -+=的倾斜角是（）．A.4π B.3πC.23πD.34π2.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c === ，则()a b c ⋅+的值为（）A.1B.0C.-1D.-23.对任意实数k ，直线()3220k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系为（）A.相交B.相切或相离C.相离D.相交或相切4.若直线1:260l ax y ++=与直线()2:110l x a y +--=平行，则实数=a （）A.23B.1- C.2D.1-或25.在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q 点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A.131444PA PB PC -+B.111444PA PB PC ++C.131444PA PB PC ++D.113444PA PB PC -+6.已知两点(2,3)M -，(3,2)N --，直线l ：10ax y a +--=与线段MN 相交，则a 的取值范围是（）A.3(,4][,)4-∞-⋃+∞ B.3(,][4,)4-∞-⋃+∞ C.3[,4]4-D.3[4,4-7.设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值为()A.B.222-C.2D.212+8.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足1122BP BA BC BD =-+，则2BP 的值为A.32B.2C.1024- D.94二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．9.下列说法正确的是（）A.点()1,2,3P -关于xoy 平面对称的点的坐标是()1,2,3P -；B.若{},,a b c 为空间中一组基底，则{},,a b a b c +-可构成空间另一组基底C.在ABC 中，若1122AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点D.已知A ，B ，C 三点不共线，若111234OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点一定共面10.已知直线:40l x y +-=，圆22:2O x y +=，M 是l 上一点，MA ，MB 分别是圆O 的切线，则（）A.直线l 与圆O 相切B.圆O 上的点到直线lC.存在点M ，使90AMB ∠=︒D.存在点M ，使AMB 为等边三角形11.方程22220x y ax ay ++-=表示的圆，则以下叙述不正确的是（）A.关于直线y x =对称B.关于直线0x y +=对称C.其圆心在x 轴上，且过原点D.其圆心在y 轴上，且过原点12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则（）A.1A C DP⊥B.三棱锥1A D PC -的体积为定值C.直线AP 与平面ABCD 所成的角可以为4πD.直线DP 与直线1AD 所成的角最小值为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过点()5,2A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 为______．14.正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱1BB 和11B C 的中点，则直线AM 和CN 所成角的余弦值为_________.15.若半径为r ，圆心为()0,1的圆和定圆()()22121x y -+-=相切，则r 的值等于______.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法：①点P 可以是棱1BB 的中点；②线段MP 的最大值为34；③点P 的轨迹是正方形；④点P 轨迹的长度为2．其中所有正确说法的序号是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知()1,2,a y =- ，(),1,2b x =，且()()2//2a b a b +- ，求x ，y 的值；（2）已知()2,0,0A ，()0,1,1B -，若OA OB λ+ 与OB（O 为坐标原点）的夹角为60︒，求λ的值.18.已知平面内两点()()2,2,4,4M N -．（1）求MN 的垂直平分线方程；（2）直线l 经过点()3,0A ，且点M 和点N 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．19.圆221:2610C x y x y +---=和222:10120C x y x y m +--+=.（1）m 取何值时1C 与2C 内切？（2）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.20.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，AB =2，PD =BC =1.（1）证明:EF ∥平面PBC ；（2）求点E 到平面PBC 的距离.21.已知圆C 方程22240x y x y m +--+=．（1）若圆C 与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求m ；（2）在（1）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．22.已知矩形ABCD 中，24==A D A B ，AD 的中点为M ，将ABM 绕着BM 折起，折起后点A 记作P 点（不在平面BCDM 内），连接PC 、PD 得到几何体P BCDM -，PBC 为直角三角形.（1）证明：平面PBM ⊥平面BCDM ；（2）求平面PBC 与平面PCD 所成角的正弦值.濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题答案1.A【分析】先求斜率，再求倾斜角【详解】2210x y -+=，则斜率1k =，设倾斜角是α，0απ≤<，即tan 1α=，所以4πα=2.B【分析】由正方体的性质可知1,,AB AD AA 两两垂直，从而对()a b c ⋅+化简可得答案【详解】由题意可得1,AB AD AB AA ⊥⊥,所以,a b a c ⊥⊥ ，所以0,0a b a c ⋅=⋅=，所以()0a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅=，3.D【分析】求出直线()3220k x ky +--=所过的定点P 的坐标，判断点P 与圆的位置关系，即可得出直线()3220k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系.【详解】将直线方程变形为()()3220k x y x -+-=，由30220x y x -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线()3220k x ky +--=过定点()1,3P ，将圆的方程化为标准方程，即为()()22114x y -+-=，()()2211314-+-= ，所以，点P 在圆()()22114x y -+-=上，因此，直线()3220k x ky +--=与圆222220x y x y +---=相切或相交.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.D【分析】由直线平行或重合系数关系得到关于a 的方程，求出a 的值，代入方程验证，排除重合，即可求解.【详解】直线平行或重合，则(1)20a a --=，即220a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，直线1:260l x y --=，直线2:210l x y --=，此时12l l //，当2a =，直线1:30l x y ++=，直线2:10l x y +-=，此时12l l //.【点睛】本题考查两直线方程为一般式时，直线的位置与方程的关系，属于基础题.5.B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A PBC -中，因为AQ ⊥平面PBC ，所以Q 是PBC 的中心，连接PQ ，则()2132PQ PB PC =⨯+，所以34PM PA AM PA AQ=+=+ ()333444PA AP PQ PA PA PQ=+⨯+=-+ ()13211114432444PA PB PC PA PB PC =+⨯⨯+=++.6.B【分析】求出直线l 过定点P ，再计算直线PM ，PN 的斜率，然后结合图形即可列式计算作答.【详解】直线l ：10ax y a +--=变形为1(1)y a x -=--，于是得l 过定点(1,1)P ，斜率k a =-，直线PM 斜率为31421PM k --==--，直线PN 斜率为213314PN k --==--，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则斜率k 满足：PM k k ≤或PN k k ≥，如图，即4k ≤-或34k ≥，于是有4a -≤-或34a -≥．解得4a ≥或34a ≤-，所以a 的取值范围是：3(,][4,)4-∞-⋃+∞.7.D【分析】将曲线化成圆的方程的形式，结合图像，过曲线上任意一点作平行于直线20x y --=的直线l ，可得到当直线l 的方程为20x y --=时，直线l 与直线20x y -+=的距离为a ，然后利用圆心到直线20x y --=的距离减去半径可得b ，进而可得到答案.【详解】由0x =≥可知，22(1)1y x +-=，且0x ≥，即曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的半圆，过曲线x =上任一点作平行于直线20x y --=的直线l ，如下图所示：其中实线为直线20x y --=，虚线为直线l ，曲线x =20x y --=的距离可转化为直线l 与直线20x y --=之间的距离，结合图像易知，当直线l 过(0,2)时，直线l 与直线20x y --=之间的距离最大，即曲线x =上的点到直线20x y --=的距离最大，易知此时直线l 的方程为：20x y -+=，由平行线间的距离公式可得，a ==，因为(0,1)到直线20x y --=的距离为322d ==，所以曲线x =20x y --=的距离的最小值为32112b d =-=-，从而12a b -=+.8.D【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理求出AC 的长，最后根据平面向量的模的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】取BD 的中点为O ，连接,OC OA ，由正方形的性质可知：,OC BD OA DB ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，由题意可知：90AOC ︒∠=，因为22OC OA ==，所以1AC ==.111222BP BA BC BD BD =-+=+ ，所以2222221119()0112444BP CA BD CA CA BD BD =+=+⋅+=+++=.【点睛】本题考查了求平面向量模的大小，考查了二面角的定义，考查了平面向量数量积的运算，考查了推理论证能力和数学运算能力.9.BC【分析】对于A，可求点()1,2,3P -关于xoy 平面对称的点的坐标，从而可判断其正误；对于B，可判断,,a b a b c +-不共面，从而可判断B 的正误；对于C，可根据平面向量的线性运算可判断D 的位置，从而可判断其正误，对于D，根据共面向量定理可判断其正误.【详解】对于A，点()1,2,3P -关于xoy 平面对称的点的坐标是()1,2,3P --，故A 错误；对于B，因为{},,a b c 为空间中一组基底，故,,a b c 不共面，若,,a b a b c +-共面，则存在不全为零的实数,,p q r ，使得()()0p a b q a b rc ++-+= ，故()()0p q a p q b rc ++-+=，故=0=00p q p q r +⎧⎪-⎨⎪=⎩，故=0=00p q r ⎧⎪⎨⎪=⎩，矛盾，,,a b a b c +- 不共面，{},,a b a b c +- 可构成空间另一组基底，故B 正确；对于C，由1122AD AB AC =+ 可得AD AB AC AD -=- 即BD DC = ，故点D 是边BC 的中点，故C 正确；对于D，11113++123412=≠，故A ，B ，C ，D 四点一定不共面，故D 错误.10.BD【分析】对于A 选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若d r =，则直线l 与圆O 相切，若d r ≠，则直线l 与圆O 不相切；对于B 选项，圆O 上的点到直线l 的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C 选项，当MO 最短时，有最大的张角AMB ∠；对于D 选项，考虑AMB ∠能否等于60°.【详解】对于A 选项，圆心到直线的距离==22>2=，所以直线和圆相离，故A 错误；对于B 选项，圆O 上的点到直线l的距离的最小值为d r -=，故B 正确；对于C 选项，当OM ⊥l 时，AMB ∠有最大值60°，故C 错误；对于D 选项，当OM ⊥l 时，AMB 为等边三角形，故D 正确.11.ACD【分析】对其进行配方得到圆心(,)a a -，一一代入选项判断即可.【详解】由题意知,方程22220x y ax ay ++-=表示圆,则有0a ≠将方程进行配方可得222()()2x a y a a ++-=,圆心坐标为(,)a a -对A 选项，圆心(,)a a -不满足直线方程y x =,故不关于直线y x =对称，所以A 不正确；对B 选项，圆心(,)a a -满足直线方程0x y +=,故关于直线0x y +=对称，所以B 正确；对C 选项，由0a ≠可知圆心(,)a a -不可能在x 轴上所以C 不正确；对D 选项，由0a ≠可知圆心(,)a a -不可能在y 轴上所以D 不正确.12.ABD【分析】由线面垂直可判断A，由等积法可判断B，建立坐标用向量法求出由线面角可判断C，由异面直线所成的角的可判断D【详解】对于A，因为1A C DB ⊥，11A C BC ⊥，可得1A C ⊥平面1D B C ，DP ⊂平面1D B C ，所以1A C DP ⊥成立，故A 正确；对于B，由正方体知ABC 1D 1为平行四边形，故BC 1∥AD 1，又1BC ⊄平面ACD 1，AD ⊂平面ACD 1，则BC 1∥平面ACD 1，所以直线BC 1上任意一点到平面ACD 1的距离都相等，又由等体积法11A D PC P AD C V V --=，且底面面积不变，故三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变，故B 正确；对于C，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则()()()11,0,0,1,1,0,0,1,1A B C ，设(),,P x y z ，由()101BP BC λλ=<≤得()1,1,P λλ-，(),1,AP λλ=-，又易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，设直线AP 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin AP n AP n θ⋅===⋅ ，因为()f λ=在(]0,1上递减，所以2211112sin 21132221θλ=≤=<=++，所以4πθ<，故C 错误；对于D，由A 中的求解过程可知，BC 1∥AD 1，所以直线DP 与直线1AD 所成的角即BC 1和DP 所成的角，当点P 与点B 或C 1重合时，所成的角最小值为3π，故D 正确；故选：ABD．13.【分析】根据给定条件，利用直线l 过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答.【详解】依题意，当直线l 过原点时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，方程为25y x =，即250x y -=；当直线不l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，于是521a a+=，解得7a =，方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为250x y -=或70x y +-=.故答案为：250x y -=或70x y +-=14.【分析】建系，利用空间向量处理异面直线的夹角问题.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AD =，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,1,1,2,2A C M N ，∴()()0,2,1,1,0,2AM CN == ，则2cos ,5AM CN AM CN AM CN ⋅==，故直线AM 和CN 所成角的余弦值为25故答案为：0.41r =+1r=-，解得1r =-或1r =+.故答案为：1r =-或1r =+.16.【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出MP的坐标，从而得到MP 的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P 不可能是棱1BB 的中点，从而判断选项①，又1EF GH ==，2EH FG ==，可判断选项③和选项④．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为坐标原点，1DC 为x 轴，y 轴，∵该正方体的棱长为1，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，∴()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0C ，∴1,0,12CN⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，∵MP CN ⊥，∴1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=当1x =时，14z =，当0x =时，34z =，取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF HG == ，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，∴四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅= ，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线，∴CN ⊥平面EFGH ，又111,,224EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体表面上运动，∴点P 的轨迹为四边形EFGH ，因此点P 不可能是棱1BB 的中点，故选项①错误；又1EF GH ==，52EH FG ==，∴EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为52222+⨯=+，故选项③错误，选项④正确；∵1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，又MP CN ⊥，则1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=，∴322x z =-，点P 在正方体表面运动，则30212z ≤-≤，解1344z ≤≤，∴MP ==故当14z =或34z =，0y =或1，MP 取得最大值为34，故②正确.故答案为：②④．17.【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；（2）先算出OA OB λ+ ，OB，然后利用数量积的坐标运算得到()OA OB OB λ+⋅uu r uu u r uu u r ，再利用夹角公式即可得到答案【详解】（1）因为()1,2,a y =- ，(),1,2b x =，所以()212,4,4a b x y +=+- ，()22,3,22a b x y -=---，因为()()2//2a b a b +- ，所以12442322x y x y+-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-；（2）因为()2,0,0A ，()0,1,1B -，所以()2,,OA OB λλλ+=-uu r uu u r，()0,1,1OB =- ，所以()2OA OB OB λλ+⋅=uu r uu u r uu u r，因为OA OB λ+ 与OB的夹角为60︒，所以()1cos 602OA OB OBOA OB OBλλ+⋅︒==+⋅uu r uu u r uu u ruu r uu u r uu u r ，因为0,λ>解得63λ=18.【分析】(1)求出MN 中点坐标为()31，，计算出MN 两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可．(2)点M 和点N 到直线l 的距离相等等价于直线l 与直线MN 平行或直线l 过MN 的中点．【详解】（1）易求得MN 中点坐标为()31，．又()42342MN k --==-，所以MN 的中垂线的斜率为13-，MN 的中垂线的方程为()1133y x -=--即360x y +-=．（2）由（1）知，3MNk =，所以直线l 的方程为390x y --=，直线l 经过点()()3,03,1得3x =，综上：l 为3x =和390x y --=【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题．19.【分析】（1）先利用圆的一般式分别求出两个圆的圆心和半径，然后利用内切求出m 的值即可；（2）两圆的方程相减可得到公共弦方程，然后利用垂径定理，求出弦长即可.【小问1详解】因为两圆的标准方程为：221:2610C x y x y +---=，222:10120C x y x y m +--+=所以圆心分别为()11,3C ()25,6C，半径分别为1r =和2r =小于两圆圆心间距离125C C ==，5=，解得25m =-.【小问2详解】由题可得两圆的公共弦所在直线方程为()()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=整理得43230x y +-=，所以公共弦长为=20.【分析】（1）取PC 的中点G ，连接,BG FG ，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形BEFG 为平行四边形，则EF ∥BG ，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：取PC 的中点G ，连接,BG FG ,因为F 为PD 中点，所以FG ∥DC ，12FG DC =，因为E 为AB 中点，所以12BE AB =，因为AB ∥DC ，AB DC =，所以BE ∥FG ，BE FG =，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG ，因为EF ⊄平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC；【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD DC ⊥，所以,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C P ，因为E 为AB 中点，F 为PD 中点，所以1(1,1,0),0,0,2E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1,0,0,0,2,1CB PC ==- ，(0,1,0)EB =，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则·0·20m CB x m PC y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,2)m = ，所以点E 到平面PBC的距离为55EB m d m⋅=== .21.【分析】（1）将圆的方程与直线方程联立，设()11,M x y 、()22,N x y ，利用OM ON ⊥可得12120x x y y +=，利用韦达定理，即可求出m .（2）确定圆心坐标和半径，即可求出以MN 为直径的圆的方程.【小问1详解】解：由22240x y x y m +--+=得()()22125x y m -+-=-，∴50m ->即5m <，由题意联立可得22240240x y x y m x y ⎧+--+=⎨+-=⎩，将42x y =-代入22240x y x y m +--+=，∴251680y y m -++=，设()11,M x y 、()22,N x y 则12165y y +=，128+5m y y =，OM ON ⊥，∴12120x x y y +=，又 1142x y =-，2242x y =-，∴()121258160y y y y -++=，代入得8+165816055m ⋅-⋅+=，解得85m =，满足5m <，∴m 的值为：85.【小问2详解】在（1）的条件下，85m =，以MN 为直径的圆的方程，又 1142x y =-，2242x y =-，∴12165y y +=，1285x x +=，设圆心坐标为(),a b 则45a =，85b =，由弦长公式可得：半径12r y y =-=14525=∴圆的方程为：224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴以MN 为直径的圆的方程为：224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.【分析】（1）证明出PB ⊥面PMC ，可得出PB MC ⊥，利用勾股定理可证得MC MB ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定可证得结论成立；（2）推导出PO ⊥面BCDM ，ON MB ⊥，以点O 为坐标原点，分别以OB 、ON 、OP方向为x 、y 、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面PBC 与平面PCD 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，连接MC ，连接AC 交BM 于点E ，则PE AE =，翻折前AB AM ⊥，翻折后，则有PB PM ⊥，由于PBC 为直角三角形，且2PB AB AC ==<，PC PE CE AE CE AC <+=+=，因此必有PB PC ⊥，又因为PMPC P ⋂=，PM 、PC ⊂平面PMC ，则PB ⊥面PMC ，因为MC ⊂平面PMC ，从而可得PB MC ⊥，又因MC MB ==，4BC =，则222MC MB BC +=，所以，MC MB ⊥.又因BP BM B = ，BP 、BM ⊂平面PBM ，即MC ⊥面PBM ，因为MC ⊂平面BCDM ，因此，面PBM ⊥面BCDM .【小问2详解】解：如图，取BC 中点为N ，BM 中点为O ，连接ON ，由（1）可知，平面PBM ⊥平面BCDM ，因为PB PM =，O 为BM 的中点，则PO BM ⊥，因为平面PBM ⋂平面BCDM BM =，PO ⊂平面PBM ，所以，PO ⊥面BCDM ，因为O 、N 分别为BM 、BC 的中点，则//ON MC ，因为MC MB ⊥，则ON MB ⊥，以点O 为坐标原点，分别以OB 、ON 、OP方向为x 、y 、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则)B、(P、()D -、()C ，得()BC =-，(BP =，()CD =，CP =-，设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由1100n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则11110⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取11x =，则11y =，11z =，得到()11,1,1n =，设平面PCD 的法向量为()2222,,n x y z =，则222222200n CD n CP ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取21x =，则21y =-，23z =-，则()21,1,3n =-- ，则121212cos ,n n n n n n ⋅===-⋅从而12222sin ,11n n == ，也即平面PBC 与平面PCD 所成夹角的正弦值为22211.。

濮阳市第一高级中学八年级数学上册第十一章《三角形》提高卷(专题培优)

一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（）①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒；③若//BC AD ，则230∠=︒；④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 3．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（）A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，2，3 4．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（） A ．5边形 B ．6边形 C ．7边形 D ．8边形 5．下列说法正确的是（）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线B ．连接两点的线段叫两点间的距离C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条 6．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE∠的度数是（）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35°7．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（）A ．2B ．9C ．13D ．15 8．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（） A ．2,2,4B ．3,4,5C ．1,2,3D ．2,3,6 9．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（）三角形 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 10．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 11．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm 12．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90° 13．下列说法正确的有（）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．0 14．正十边形每个外角等于（）A ．36°B ．72°C ．108°D ．150° 15．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°二、填空题16．若等腰三角形两边的长分别为3cm 和6cm ，则此三角形的周长是______________cm ．17．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．18．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．19．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．20．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．22．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．23．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．24．如图，已知∠A ＝47°，∠B ＝38°，∠C ＝25°，则∠BDC 的度数是______．25．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．26．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________三、解答题27．如图，已知△ABC 中，∠B =60°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，且∠DAE=10°，求∠C 的度数．28．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．29．如图①，在ABC 中，,CD CE 分别是ABC 的高和角平分线，(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>（1）若70,40BAC B ︒︒∠=∠=，求DCE ∠的度数（2）若(),BAC B αβαβ∠=∠=∠>，则DCE ∠= (用含,αβ的代数式表示)；（3）若将ABC 换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含,αβ的代数式表示DCE ∠的度数，并说明理由；（4）如图③，若CE 是ABC 外角ACF ∠的平分线，交BA 延长线与点E ，且30αβ︒-=，则DCE ∠= (直接写出结果)30．在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝60°，AD 平分∠BAC ，点E 为AD 延长线上的点，EF ⊥BC 于F ，求∠DEF 的度数．。

(word版)第十一章全等三角形测试题含答案,文档

第十一章全等三角形测试题〔总分值100分，时间120分钟〕一、选择题〔每题3分，共30分〕1、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是〔〕A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C2、如图1，在上求一点，使它到，的距离相等，那么P点是〔〕CD P OAOBA.线段的中点 B.与的中垂线的交点CD OA OBC.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点A D CACD FO BED A B B C图1图2图33、如图2所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的选项是〔〕A.△和△的面积相等 B.△和△的周长相等ABD CDB ABD CDBC.∠+∠＝∠+∠CBDD.∥，且＝A ABDCADBCADBC4、如图3，AB ＝DC ，AD ＝BC ，E ，F 在DB 上两点且BF ＝DE ，假设∠AEB ＝120°，∠ADB ＝30°，那么∠BCF等于〔〕° °° °5、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是〔〕A.相等B.不相等C.互余或相等D.互补或相等6、如图4，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1＝∠2，AD ＝AB ，那么〔〕A.∠1＝∠EFDB.BE ＝ECC.BF ＝DF ＝CDD.FD ∥BCACAEDEDF1 FBDA2BBCC图4图5E图67、如图5所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD ＝CD ，BD ＝ED ，假设∠ABC ＝54°，那么∠E ＝〔〕° ° °°第1页共5页8、如图6，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，那么〔〕A.AF＝2BFB. AF＝BFC. AF＞BFD. AF＜BF9、如图 7所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一局部，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是〔〕A.SSSB. SASC. AASD. ASA图7 图8 图910、将一张长方形纸片按如图8所示的方式折叠，BC，BD为折痕，那么∠CBD的度数为〔〕A．60° B．75° C．90° D．95°二、填空题〔每题3分，共24分〕11、〔2021河南〕如图9，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为.．12、如图10，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，那么由可得△AFC≌△AEB.A FDCF EOA BB CE图10图11图1213、如图11，＝，＝，为中点，过O 点作直线与、延长线交于、，假设∠＝60°，ABCDADBCO BD DABC EF ADB＝10，那么∠＝，＝.EO DBC FO14、Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，那么D到AB边的距离为＿＿＿.15、：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，那么∠C′=_________，A′B′=__________。

濮阳市第一高级中学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(答案解析)

一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒ 2．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 3．下列说法正确的是（）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线B ．连接两点的线段叫两点间的距离C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条 4．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（）A ．20cmB ．7cmC ．5cmD ．2cm 5．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90° 6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．1，2，3 B ．1，3，5 C ．2，3，4 D ．2，6，10 7．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（）A ．αB ．52α C ．2α D ．32α 8．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（）A ．2,2,4B ．3,4,5C ．1,2,3D ．2,3,6 9．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（） A ．不变 B ．减少 C ．增加 D ．不能确定 10．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性 11．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A ．2B ．3C ．4D ．5 12．如图，在ABC 中，70B ∠=，D 为BC 上的一点，若ADC x ∠=，则x 的度数可能为（）A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°二、填空题13．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．14．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．15．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．16．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．17．如图，ABC 中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥交CE 于F ，则CDF ∠=______．18．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．19．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．20．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．三、解答题21．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求CBE ∠的度数；（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．22．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．23．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：；(2)如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ．①以线段AC 为边的“8字型”有个，以点O 为交点的“8字型”有个； ②若∠B ＝100°，∠C ＝120°，求∠P 的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB”，请直接写出∠P 与∠B 、∠C 之间存在的数量关系．24．如图，在ABC 中，点E 在AC 边上，连结BE ，过点E 作//DF BC ，交AB 与点D ．若BE 平分ABC ∠，EC 平分BEF ∠．设AED β∠=．（1）当80β=︒时，求DEB ∠的度数．（2）试用含α的代数式表示β．（3）若=k βα（k 为常数），求α的度数（用含k 的代数式表示）．25．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少． 26．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数【详解】解：在DEC ∆中∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒∴45E ∠=︒又∵60ABC ∠=︒∴120FBE ∠=︒由三角形的外角性质得DFB E FBE ∠=∠+∠45120=︒+︒165=︒故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质2．C解析：C【分析】根据平行线的性质求出140∠=︒，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】解：∵//AB CD ，40B ∠=︒，50C ∠=︒，∴140B ∠=∠=︒，∴ 1801180405090E C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A 、射线AB 和射线BA 是不同的射线，故本选项不符合题意；B 、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C 、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D 、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【详解】A 、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；B 、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；C 、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；D 、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．5．C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．6．C解析：C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．【详解】A 、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B 、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C 、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D 、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 7．C解析：C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．【详解】解：如下图所示，∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，∴21α∠-∠=，∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，∵//DE BA ，∴2ABE BED α∠==∠，故选：C ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．8．B解析：B【分析】根据构成三角形的条件，分别进行判断，即可得到答案．【详解】+=，不能构成三角形，故A错误；解：A、224+>，能构成三角形，故B正确；B、345+=，不能构成三角形，故C错误；C、123+<，不能构成三角形，故D错误；D、236故选：B．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件进行判断．9．A解析：A【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：A．【点睛】此题考查多边形内角与外角的性质，容易受误导，注意多边形外角和等于360°．10．D解析：D【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D正确．故答案选D．【点睛】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．11．B解析：B【分析】根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可【详解】解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条故选：B【点睛】本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键12．D解析：D【分析】根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，得到x＞70°，根据平角的概念得到x＜180°，计算后进行判断得到答案．【详解】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴x＞70°，又x＜180°，∴x的度数可能为80°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．二、填空题13．102°【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°可以算出∠B＝39°然后设∠C＝∠D＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117再解方程即可得到x＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED的度解析：102°【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．【详解】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．故答案为：102°．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．①②③④【分析】分别根据平行线的性质角平分线的定义邻补角的定义直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论【详解】解：∵CD ∥OB ∠EFD ＝α∴∠EOB ＝∠EFD ＝α∵OE 平分∠AOB ∴∠COF ＝∠EO解析：①②③④【分析】分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．【详解】解：∵CD ∥OB ，∠EFD ＝α，∴∠EOB ＝∠EFD ＝α，∵OE 平分∠AOB ，∴∠COF ＝∠EOB ＝α，故①正确；∠AOB ＝2α，∵∠AOB +∠AOH ＝180°，∴∠AOH ＝180°﹣2α，故②正确；∵CD ∥OB ，CH ⊥OB ，∴CH ⊥CD ，故③正确；∴∠HCO +∠HOC ＝90°，∠AOB +∠HOC ＝180°，∴∠OCH ＝2α﹣90°，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．15．5或4【分析】先设长度为412的高分别是ab 边上的边c 上的高为h △ABC 的面积是S 根据三角形面积公式可求结合三角形三边的不等关系可得关于h 的不等式组解即可【详解】解：设长度为412的高分别是ab 边上解析：5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===，又∵a-b ＜c ＜a+b ，∴2222412412S S S S c -<<+，即2233S S S h <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．16．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠，再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=．【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠，又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=，故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 17．74°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A+∠ACE 再结合CD ⊥ABDF ⊥CE 就可求解【详解】解：解析：74°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A +∠ACE ，再结合CD ⊥AB ，DF ⊥CE 就可求解．【详解】解：∵∠A ＝40°，∠B ＝72°，∴∠ACB ＝180°﹣40°﹣72°＝68°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ＝34°，∴∠CED ＝∠A +∠ACE ＝74°，∵CD ⊥AB ，DF ⊥CE ，∴∠CDF +∠ECD ＝∠ECD +∠CED ＝90°，∴∠CDF ＝∠CED ＝74°，故答案为：74°．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义．18．15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数再由补角的定义得出∠BDF的度数根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：∵图中是一副直角三角板∴∠B=45°∠CDE=60°∴∠BDF解析：15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数，再由补角的定义得出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵图中是一副直角三角板，∴∠B=45°，∠CDE=60°，∴∠BDF=180°-60°=120°，∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．19．【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半别以BCAC为底写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据进行计算即可解答题目【详解】S△ABC=BC·AD=AC·解析：9 2【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，别以BC、AC为底，写出△ABC的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目.【详解】S△ABC=12BC·AD=12AC·BE，将AD=3cm，BC=6cm，AC=4cm代入，得：11364 22BE ⨯⨯=⨯92BE=cm故答案为：9 2【点睛】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键.20．25【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC的度数再根据三角形外角的性质即可得到∠CAE 的度数【详解】解：∵∠ABC=30°BD 平分∠ABC ∴∠DBC=∠ABC=×30°=15°又∵AE ⊥BD ∴∠解析：25【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到∠CAE 的度数．【详解】解：∵∠ABC=30°，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=12∠ABC=12×30°=15°，又∵AE ⊥BD ，∴∠BEA=90°-15°=75°，∵∠AEB 是△ACE 的外角，∴∠CAE=∠AEB-∠C=75°-50°=25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三、解答题21．（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.【详解】（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线，111105522CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒；（2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒，//DF BE ，25F CEB ∴∠=∠=︒.【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.22．（1）见解析；（2）图中与∠CAE互余的角有∠CEA，∠GEA，∠CFE，∠DFA．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DAF＝∠CAE，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF＝∠CFE；（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可．【详解】（1）证明：∵∠ACB═90°，CD⊥AB，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEF＝90°，又∵AE是∠CAB的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE，∴∠AFD＝∠CEF，又∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE；（2）∵EG⊥AB于点G，∴∠DAF+∠GEA＝90°，由（1）可知∠DAF＝∠CAE，∠CAE+∠CEF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝∠DFA，∴图中与∠CAE互余的角有∠CEA，∠GEA，∠CFE，∠DFA．【点评】本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义．23．（1）∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=1（∠C+∠B），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；2③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C．【详解】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：故答案为：3，4；②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，∴2∠P=∠B+∠C，∵∠B=100°，∠C=120°，∴∠P=12（∠B+∠C）=12（100°+120°）=110°；③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，∴∠BAP=23∠CAB，∠BDP=23∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=13（∠CDB-∠CAB），∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=23（∠CDB-∠CAB）．∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，∴3∠P=∠B+2∠C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．24．（1）20︒；（2）1=904βα︒-；（3）360=41kα︒+．【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠CEF＝∠AED＝80°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵β＝80°，∴∠CEF＝∠AED＝80°，∵EC平分∠BEF，∴∠BEC＝∠CEF＝80°，∴∠DEB＝180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝α，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB＝∠EBC＝12α，∵EC平分∠BEF，∴β＝∠CEF＝12（180°﹣12α）＝90°﹣14α；（3）∵β＝kα，∴90°﹣14α＝kα，解得：α＝36041k︒+．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．25．这个多边形的边数是9【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n−2）•180＝360×3＋180，解得：n＝9．则这个多边形的边数是9．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．26．（1）a＞b＞c；（2）见解析【分析】（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；b-c= m2-mn=m（m-n）＞0∴a＞b＞c；（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn∴a-b＜c∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．。

河南省濮阳市第一高级中学2023-2024学年高三上学期第三次质量检测试题数学含答案解析

濮阳市一高2021级高三上学期第三次质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}290A x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B ⋂＝（）A.()2,3 B.()3,2- C.()0,3 D.(),3-∞2.已知命题p ：存在x ∈R ，sin x x >，则命题p 的否定为（）A.p ⌝：存在x ∈R ，sin x x <B.p ⌝：任意x ∈R ，sin x x ≤C.p ⌝：存在x ∈R ，sin x x≤ D.p ⌝：任意x ∈R ，sin x x <3.下列函数中，与函数()f x x =是同一函数的是（）A.()2f x = B.()f x =C.()f x =D.()2t f t t=4.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 无零点B.单调递增区间为(),e -∞C.()f x 的极大值为1eD.()f x 的极小值点为ex =5.若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,]b (1)b >，则a b +的值为（）A.92B.72C.52D.92或526.已知α为第二象限角，5sin 13α=，则tan 11tan αα-=+（）A.177B.717C.177-D.717-7.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg20.3,lg30.477≈≈）A.5B.7C.8D.98.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合{}{}0,A x x B x x a =>=≥,若x A ∈是x B ∈的充分条件,则a 可以是（）A.-1B.0C.1D.210.(多选题)已知a>0，且a ≠1，函数y=log a x ，y=a x ，y=x+a 在同一坐标系中的图象不可能是（）A. B.C. D.11.已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项中正确的有（）A.π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.4tan 3α=C .12sin cos 25αα=D.7sin cos 5αα+=12.已知函数()()21e R 2xf x a x a =-∈有两个极值点()1212,x x x x <，则（）A .10e a <<B.()112f x >C.()212f x <D.122x x +>三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合{|(2)0}A x x x =-=，则集合A 的子集的个数为________.14.若函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数(1)(12)f x f x ++-的定义域为________.15.已知0a >且1a ≠，若函数()121,1,11,14x a x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围为______．16.定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则12019f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.实数集为R ，集合{}220A xx x =+-≤∣集合201x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭∣求（1）()R C A B⋃（2）{21},C x m x m C A =-≤≤⊆∣，求实数m 的范围．18.已知()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f x ；（2）已知()2fα=，求sin2α的值．19.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈，若()f x 在1x =处与直线32y x =-相切．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在1[,]e e上的极值．20.已知函数()()22ln f x x a x a x =-++.（1）当2a <且0a ≠时，求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.21.某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0≤x ≤10）万元满足131m x =-+.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2022年该产品的利润y 元表示为年促销费用x 万元的函数；（2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大?22.已知函数()()5ln 4f x kx x k k R =+-∈．（1）求函数()f x 的单调区间和最大值；（2）设函数()()1g x f x kx x=-+有两个零点12,x x ，证明：122x x +>．濮阳市一高2021级高三上学期第三次质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}290A x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B ⋂＝（）A.()2,3 B.()3,2- C.()0,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可.【详解】29033x x -<⇒-<<，202x x ->⇒<，所以()3,3A =-，(),2B =-∞，则()3,2A B =- ，故选：B2.已知命题p ：存在x ∈R ，sin x x >，则命题p 的否定为（）A.p ⌝：存在x ∈R ，sin x x <B.p ⌝：任意x ∈R ，sin x x ≤C.p ⌝：存在x ∈R ，sin x x ≤D.p ⌝：任意x ∈R ，sin x x<【答案】B 【解析】【分析】特称命题的否定为全称命题，否定的方法：改量词，否结论.【详解】因为p ：存在x ∈R ，sin x x >，所以p ⌝：任意x ∈R ，sin x x ≤，故选：B.3.下列函数中，与函数()f x x =是同一函数的是（）A.()2f x = B.()f x =C.()f x =D.()2t f t t=【答案】C 【解析】【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.【详解】解：函数()f x x =，定义域为R .选项A 中()2f x x ==，定义域为[)0,∞+，故A 错误；选项B 中()f x x ==，定义域为R ，故B 错误；选项C 中()f x x ==，定义域为R ，故C 正确；选项D 中()2t f t t t==，定义域为{}0t t ≠∣，故D 错误.故选：C.4.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 无零点B.单调递增区间为(),e -∞C.()f x 的极大值为1eD.()f x 的极小值点为ex =【答案】C 【解析】【分析】由()f x 的定义域为()0,∞+，可判定B 不正确；求得()21ln xf x x-'=，得到函数()f x 的单调性和极值的概念，可判定C 正确，D 不正确；结合单调性和()10f =，可判定A 不正确.【详解】由函数()ln xf x x=，可得定义域为()0,x ∈+∞，所以B 不正确；又由()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得e x =，当(0,e)x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()1e ef =，无极小值，所以C 正确，D 不正确；当(0,1)x ∈时，()0f x <；当1x =时，()10f =；当1x >时，()0f x >，所以函数()f x 在定义域内有一个零点，所以A 不正确.故选：C.5.若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,]b (1)b >，则a b +的值为（）A.92B.72C.52D.92或52【答案】A 【解析】【分析】整理()()211122f x x a =-+-,由二次函数的性质可知当[1,]x b ∈时,min ()(1)f x f =,max ()()f x f b =,由值域为[1,]b 求解即可【详解】∵22111()(1)222f x x x a x a =-+=-+-,∴当[1,]x b ∈(1)b >时,min 1()(1)2f x f a ==-,2max 1()()2f x f b b b a ==-+,又()f x 在[1,]b (1)b >上的值域为[1,]b (1)b >,∴211212a b b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得32a =,3b =或1b =（舍去）,∴39322a b +=+=故选：A【点睛】本题考查二次函数性质的应用,考查已知函数的值域、定义域求参问题6.已知α为第二象限角，5sin 13α=，则tan 11tan αα-=+（）A.177B.717C.177-D.717-【答案】C 【解析】【分析】根据α为第二象限角，5sin 13α=，利用同角三角函数的基本关系求出12cos 13α=-，进而得到5tan 12α=-，代入计算即可求解.【详解】因为α为第二象限角，且5sin 13α=，所以12cos 13α==-，则sin 5tan cos 12ααα==-，所以51tan 1171251tan 7112αα---==-+-，故选：C .7.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg20.3,lg30.477≈≈）A.5B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】设该污染物排放前过滤的次数为n ()*n N ∈，由题意1.20.80.2n⨯≤，两边取以10为底的对数可得lg 2lg 313lg 2n +≥-，根据参考数据即可求解.【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为n ()*n N ∈，由题意1.20.80.2n ⨯≤，即564n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数可得5lg lg 64n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即52lg lg 2lg 38n ⨯⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg20.3,lg30.477≈≈，所以lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.故选：C .8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合{}{}0,A x x B x x a =>=≥,若x A ∈是x B ∈的充分条件,则a 可以是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出a 的范围,选出选项.【详解】解:因为x A ∈是x B ∈的充分条件,所以A B ⊆,所以有0a ≤.故选:AB10.(多选题)已知a>0，且a ≠1，函数y=log a x ，y=a x ，y=x+a 在同一坐标系中的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数y=log a x ，y=a x 图象关于y =x 对称且同一坐标系中底数a 相同，而一次函数图象中a 是y 轴上的截距，即可判断各选项的正误【详解】选项A ，指数函数和对数函数图象可知a>1，而一次函数知a<1，故错误选项B ，函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称，故错误选项C ，正确;选项D ，指数函数和对数函数可知0<a<1，而一次函数知a>1，故错误故选：ABD【点睛】本题考查了对数函数图象及性质，结合同底指数函数、对数函数关于y =x 对称，及一次函数性质，判断图象的正误11.已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项中正确的有（）A.π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.4tan 3α=C.12sin cos 25αα= D.7sin cos 5αα+=【答案】ACD 【解析】【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可.【详解】因为1cos sin 05αα-=>，所以cos sin αα>，而α为锐角，所以π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，选项A 正确；221112cos sin cos sin 2cos sin cos sin 52525αααααααα-=⇒+-=⇒=，所以选项C 正确；因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+===，因此选项D 正确，由73sin cos sin 355tan 144cos sin cos 55ααααααα⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，所以选项B 不正确，故选：ACD12.已知函数()()21e R 2xf x a x a =-∈有两个极值点()1212,x x x x <，则（）A.10e a <<B.()112f x >C.()212f x <D.122x x +>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，转化为e x x a =有两个不同的根，令()e x xg x =，求导得到其单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到10e a <<；B 选项，先得到11e xa x =，且()10,1x ∈，故()()2111111222f x x =--+<；C 选项，得到22e xa x =，且()21,x ∈+∞，()()2221111222f x x =--+<，D 选项，构造()()()2G x g x g x =--，利用导数得到()()112g x g x <-，从而得到()()212g x g x <-，再由()exxg x =在()1,+∞上单调性得到答案.【详解】A 选项，()21e 2=-xa x x f 定义为R ，且()e x f x a x '=-，由题意得()e xf x a x '=-有两个变号零点，令e 0x a x -=，即e xxa =有两个不同的根，令()e x x g x =，则()1ex xg x ='-，当1x <时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，故()e x xg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()e x x g x =在1x =处取得极大值，也是最大值，且()11eg =，又当0x <时，()0e x x g x =<，当0x >时，()0ex xg x =>，画出()ex xg x =的图象，如下，故10ea <<，A 正确；B 选项，由A 选项可知，11e xa x =，且()10,1x ∈，故()()12221111111111e 122222xf x a x x x x =-=-=--+<，B 错误；C 选项，由A 选项可知，22ex a x =，且()21,x ∈+∞，()()22222222211111e 122222x f x a x x x x =-=-=--+<，C 正确；D 选项，设()()()2G x g x g x =--，(]0,1x ∈，则()()()()()222e 21e e 1e e1x x x x x x x G x g x g x ---'-'='-+--=+=，因为()0,1x ∈，所以10x -≤，2x x <-，则2e e 0x x --<，故()()()21ee 0x x G x x -'-=->，故()()()2G x g x g x =--在(]0,1x ∈上单调递增，又()()()12101G g g =--=，而()10,1x ∈，故()()()11120G g x x g x =--<，即()()112g x g x <-，又()()12g x g x =，所以()()212g x g x <-，其中()21,x ∈+∞，()121,2x -∈，而由A 选项可知，()ex xg x =在()1,+∞上单调递减，所以212x x >-，即122x x +>，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用1122ln ln lnx x x x -=进行变形，可构造关于12x t x =的函数，利用导函数再进行求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合{|(2)0}A x x x =-=，则集合A 的子集的个数为________.【答案】4【解析】【分析】根据题意求得集合{0,2}A =，结合集合中子集的定义，即可求解.【详解】由方程(2)0x x -=，解得0x =或2x =，即集合{0,2}A =，所以集合A 的子集为,{0},{2},{0,2}∅，共有4个子集.故答案为：4.14.若函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数(1)(12)f x f x ++-的定义域为________.【答案】1[-1]2，【解析】【分析】由函数()f x 的定义域为[]22-,，分别由1,12x x +-在[]22-,内求解x 的集合，取交集后可得函数(1)(12)f x f x ++-的定义域．【详解】解：∵函数()f x 的定义域为[]22-,，由212x -≤+≤，得31x -≤≤．∴函数(1)f x +的定义域为[3,1]-．由2122x -≤-≤，得1322x -≤≤．∴函数(12)f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．∴函数(1)(12)f x f x ++-的定义域为131[3,1],,1222⎡⎤⎡⎤-⋂-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数定义域的求法，给出函数()f x 的定义域为[,]a b ，求解函数[()]f g x 的定义域，只需由()g x 在[,]a b 内求解x 的取值集合即可，是中档题．15.已知0a >且1a ≠，若函数()121,1,11,14x a x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨-+-≥⎪⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围为______．【答案】12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得211211114a aa a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-≥-+-⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意可知()11x f x a+=-在(),1-∞上单调递减，则1a >．又()2221111424a a f x x ax x -⎛⎫=-+-=--+⎪⎝⎭在[)1,+∞上单调递减，所以12a≤，解得2a ≤，且211114a a -≥-+-，解得1122a -≤≤-．综上，112a <≤-，故a 的取值范围为12⎛⎤-⎥⎝⎦．故答案为：12⎛⎤-⎥⎝⎦.16.定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则12019f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．【答案】132【解析】【分析】由()00f =，()()11f x f x +-=，可得()1111,22f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，根据()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭得()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，反复套用后得到1111250321532f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，得到111321520191250<<，所以111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到答案.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=令1x =，得()11f =，令12x =，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1111522f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44311115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，55411115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而2111152222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5431111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 满足当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，所以根据111321520191250<<，有111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11132201932f ≤≤⎛⎫⎪⎝⎭，所以11201932f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为132.【点睛】本题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.实数集为R ，集合{}220A xx x =+-≤∣集合201x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭∣求（1）()R C A B⋃（2）{21},C x m x m C A =-≤≤⊆∣，求实数m 的范围．【答案】（1）(){2R C A B x x ⋃=<-∣或1}x >-；（2）12m -.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式，化简集合,A B ，再进行集合的运算；（2）对集合C 分成空集和不为空集两种情况，再根据子集关系得到不等式组；【详解】（1） {|21}A x x =-≤≤，{12}B xx =-<≤∣，∴{2R C A x x =<-∣或1}x >，∴(){2R C A B x x ⋃=<-∣或1}x >-；（2） C A ⊆，①当C φ≠时，212121m m m m -⎧⎪--⎨⎪⎩，解得：112m - ；②当C φ=时，211m m m ->⇒>；综上所述：12m -.【点睛】本题考查集合的基本运算和基本关系，求解分式不等式时要注意端点能否取到，同时要借助数轴进行集合的运算.18.已知()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f x ；（2）已知()2fα=，求sin2α的值．【答案】（1）tan x -（2）45-【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.【小问1详解】由题意得()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭(sin )(cos )sin sin tan (cos )sin cos cos x x x xx x x x x--==-=--.【小问2详解】由()2fα=，可得tan 2,tan 2αα-=∴=-，则2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++.19.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b R ∈，若()f x 在1x =处与直线32y x =-相切．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在1[,]e e上的极值．【答案】(1)122a b ==，(2)极大值为ln 21-，无极小值．【解析】【分析】（1）求导得到'()2a f x bx x =-，根据切线方程联立方程组2112a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得答案.（2）21()2ln 2f x x x =-则22'()x f x x-=得到函数的单调区间，计算极值得到答案.【详解】（1）'()2a f x bx x=-，∵函数()f x 在1x =处与直线32y x =-相切，∴'(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即2112a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）由（1）得：21()2ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞，222'()xf x x x x-=-=，令'()0f x >，解得0x <<，令'()0f x <，得x >∴()f x在1(e上单调递增，在)e 上单调递减，∴()f x 在1[,]e e上的极大值为1ln 21f ==-，无极小值．【点睛】本题考查了函数的切线问题，极值，意在考查学生的计算能力和对于函数知识的综合应用.20.已知函数()()22ln f x x a x a x =-++.（1）当2a <且0a ≠时，求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）()4ln 28,5--.【解析】【分析】（1）先求导数，根据导函数的零点情况对参数进行分类讨论，研究导函数的正负区间，进而得到函数的单调区间；（2）将方程的根的问题转化为函数的图象与水平直线的交点个数问题，利用（1）的结论，研究函数的最值和图象，进而得到参数的取值范围.【详解】（1）函数()()22ln f x x a x a x =-++的定义域是()0,∞+，()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==.①当a<0时，()0f x '<在(0,1)上恒成立，()0f x ¢>在()1,+∞上恒成立，()f x 的增区间为[)1,+∞，()f x 的减区间为(]0,1.②当02a <<时，012a<<，()0f x ¢>在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上恒成立，()0f x '<在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.∴02a <<时，()f x 的增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，()f x 的减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上所述，当a<0时()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，单调递减区间为(]0,1；当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，单调递减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若4a =，()264ln f x x x x =-+，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线y m =有三个交点.()()()2221426426x x x x f x x x x x---+'=-+==，()0f x ¢>由()0f x ¢>解得01x <<或2x <,由()0f x '<，解得12x <<.∴在(]0,1上()f x 单调递增，在[]1,2上()f x 单调递减，在[)2,∞+上()f x 单调递增，∴()24ln 28f =-，()15f =-，又∵当x 趋近于+∞时()f x 趋近于+∞，当x 在定义域()0,∞+内趋近于0时，lnx 趋近于-∞，∴()f x 趋近于-∞，∴()y f x =的图象与直线y m =有三个交点时m 的取值范围是()4ln 28,5--.【点睛】本题考查利用导数求含参数的函数的单调区间问题和方程的零点问题，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力，逻辑思维能力，涉及利用导数求函数的最值.属中档题.21.某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0≤x ≤10）万元满足131m x =-+.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2022年该产品的利润y 元表示为年促销费用x 万元的函数；（2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大?【答案】（1）1656([0,10])1y x x x =--∈+；（2）投入3万元时，利润最大.【解析】【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.【小问1详解】由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯，8162(816)816my m m x m x m+∴=⋅⨯-++=+-181631xx ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭16561x x =--+，即1656([0,10])1y x x x =--∈+；【小问2详解】由16165657(1)574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⎢⎥++⎣⎦，当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号.故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.22.已知函数()()5ln 4f x kx x k k R =+-∈．（1）求函数()f x 的单调区间和最大值；（2）设函数()()1g x f x kx x=-+有两个零点12,x x ，证明：122x x +>．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值；（2）利用极值点偏移直接求解.【小问1详解】函数()()5ln 4f x kx x k k =+-∈R 的定义域是()()10,,f x k x∞'+=+.当0k ≥时，()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；当0k <时，令()0f x ¢>，得10x k<<-；令()0f x '<，得1x k>-，所以()f x 的单调递增区间为10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭k ，max 111515()ln ln 144f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【小问2详解】()()115ln 4g x f x kx x k x x =-+=+-，因为12,x x 为()g x 的两个零点，所以()()120g x g x ==，不妨设12x x <．因为()21x g x x-'=，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以1201x x <<<．又证明212x x +>等价于证明212x x >-，又因为()1221,1,x x g x ->>在()1,+∞上单调递增，因此证明原不等式等价于证明()()212g x g x >-，即要证明()()112g x g x >-，即要证明()()111111515ln ln 201424x k x k x x x +->+--<<-，即()()1111111ln ln 20012x x x x x +---><<-恒成立．令()()11ln ln 2(01)2h x x x x x x=+---<<-，则()2222211114(1)0(2)2(2)x h x x x x x x x --=-+'-+=<---，所以()h x 在()0,1上为减函数，所以()()11ln11ln10h x h >=+--=，即()()11ln ln 202h x x x x x=+--->-在()0,1x ∈时恒成立，因此不等式()11111515ln ln 2424x k x k x x +->+---恒成立，即122x x +>．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数证明不等式．。