高考数学中档大题保分练4

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高三数学综合复习：中档大题保分练(一)

中档大题保分练中档大题保分练(一)(推荐时间：50分钟)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，f (x )＝m ·n ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝14. (1)求角B 的值；(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －12cos B＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )，∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝12，又∵B 为△ABC 的内角，∴2π3－B ＝π3即B ＝π3. (2)由BA →·BC →＝6，及B ＝π3，得ac ·cos π3＝6，即ac ＝12，在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π3，a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50， ∴a ＋c ＝5 2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝12a ＋c ＝52，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22c ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32c ＝22.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.(1)解由条件S nn ＝2n －1，即S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝4(4n －3)(4n ＋1)＝14n －3－14n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫19－113＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－14n ＋1.∵n ∈N *，∴－14n ＋1<0， ∴1－14n ＋1<1，即T n <1.3． M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．解 (1)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是820＝25.根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×25＝4人，“乙部门”人选有10×25＝4人．用事件A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 34C 38＝1－456＝1314.因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是1314.(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，因此，X 的分布列如下：所以X 的数学期望E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面P AD ？若存在，求PMPB 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明因为∠ABC ＝90°，所以AB ⊥BC .因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC .(2)解如图，取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz . 不妨设BC ＝2.由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得， P (0,0，3)，D (－1,1,0)，A (1,2,0)．所以DP →＝(1，－1，3)，DA →＝(2,1,0)．设平面ADP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3z ＝0，2x ＋y ＝0.令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1,2，3)．取平面BCP 的一个法向量n ＝(0,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π4.(3)解在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面P AD ，此时PM PB ＝12.取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ，则MN ∥P A ，AN ＝12AB .因为AB ＝2CD ，所以AN ＝CD . 因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以CN ∥AD .因为MN ∩CN ＝N ，P A ∩AD ＝A ，所以平面MNC ∥平面P AD . 因为CM ⊂平面MNC ，所以CM∥平面P AD.。

数学二轮复习46分大题保分练4理含解析

46分大题保分练（四）（建议用时：40分钟）17．（12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，且c cos A＋33a cos C＝0，tan(2 019π＋2A）＝错误!.（1)求tan C的大小；(2）若C为钝角且c＝错误!,求△ABC的周长的取值范围．[解](1)因为c cos A＋3错误!a cos C＝0，所以sin C cos A＋3错误! sin A cos C＝0.又cos A cos C≠0，所以tan C＝－3错误!tan A．因为tan（2 019π＋2A)＝错误!，所以tan 2A＝错误!，所以错误!＝错误!，解得tan A＝13或tan A＝－3。

①若tan A＝错误!，则tan C＝－3错误!tan A＝－3错误!×错误!＝－错误!;②若tan A＝－3，则tan C＝－3错误!tan A＝－3错误!×(－3）＝9错误!.故tan C的值为－错误!或9错误!.(2)因为C为钝角，所以由(1）知tan C＝－错误!，又因为0＜C＜π，所以C＝错误!.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos 23π＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab≥(a＋b)2－错误!错误!＝错误!（a＋b）2，当且仅当a＝b时取等号，所以（a＋b)2≤4，则a＋b≤2。

又a＋b＞c＝错误!，所以a＋b∈(错误!，2］．所以△ABC的周长的取值范围是（23，2＋错误!］．18．（12分）(2020·三明模拟)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个,在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．(参考数据：162＋142＋122＋52＋32＋72＋82＋162＋192＝1360，142＋112＋32＋22＋12＋22＋32＋62＋72＋132＝598）［解](1)甲城市的打分平均数为:错误!＝79，乙城市的打分平均数为:错误!＝79,则甲城市的打分的方差为：错误!［错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2］＝136.乙城市的打分的方差为：错误!［错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!2＋错误!292－792]＝59。

(通用版)2020高考数学二轮复习46分大题保分练(四)文

46分大题保分练(四)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (3sinB －cosC )＝(c －b )cos A .(1)求角A ；(2)若b ＝3，点D 在BC 边上，CD ＝2，∠ADC ＝π3，求△ABC 的面积．[解] 法一：(1)根据正弦定理，及a (3sin B －cos C )＝(c －b )cos A ，得sin A (3sin B －cos C )＝(sin C －sin B )cos A ，所以3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ，即3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋C )．又A ＋C ＝π－B ，所以sin(A ＋C )＝sin B ，所以3sin A sin B ＋sin B cos A ＝sin B . 又0＜B ＜π，所以sin B ＞0，所以3sin A ＋cos A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12.又0＜A ＜π，所以π6＜A ＋π6＜7π6，所以A ＋π6＝5π6，解得A ＝2π3.(2)如图，在△ACD 中，AC ＝b ＝3，CD ＝2，∠ADC ＝π3，由正弦定理，得AC sin∠ADC ＝CDsin∠CAD ，即3sinπ3＝2sin∠CAD ，所以sin∠CAD ＝1，∠CAD ＝π2. 从而∠ACD ＝π－π2－π3＝π6，∠ABC ＝π－π6－2π3＝π6，所以AB ＝AC ＝ 3.故S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×3×3×sin 2π3＝334.法二：(1)因为a (3sin B －cos C )＝(c －b )cos A ，所以3a sin B ＝a cos C ＋(c －b )cos A ，由余弦定理，得3a sin B ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋(c －b )·b 2＋c 2－a 22bc，化简得23ac sin B ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)，所以23ac sin B ＝2bc －2bc cos A ，即3a sin B ＝b －b cos A .由正弦定理，得3b sin A ＝b －b cos A .所以3sin A ＝1－cos A ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12.又0＜A ＜π，所以π6＜A ＋π6＜7π6，所以A ＋π6＝5π6，A ＝2π3.(2)在△ACD 中，AC ＝b ＝3，CD ＝2，∠ADC ＝π3，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ，即3＝AD 2＋4－2×AD ×2×12，解得AD ＝1，从而AD 2＋AC 2＝CD 2，所以∠CAD ＝π2，所以∠ACD ＝π－π2－π3＝π6，∠ABC ＝π－π6－2π3＝π6，所以AB ＝AC ＝ 3.故S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×3×3×sin 2π3＝334.18．(12分)如图，在直三棱柱ABC A1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，且A 1M ⊥B 1N .(1)求证：B 1N ⊥A 1C ； (2)求M 到平面A 1B 1C 的距离． [解] 法一：(1)如图，连接CM .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC . 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . 又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM . 因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C . (2)连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N . 所以tan∠AA 1M ＝tan∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2.所以1x ＝x22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M A 1B 1C ＝V 三棱锥C A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.法二：(1)同法一．(2)在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan∠AA 1M ＝tan∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1NA 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2. 设AA 1＝x ，则A 1N ＝x2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O.在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM . 因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM ⊥MD ，又MD ＝2，所以由勾股定理，得CD ＝CM 2＋MD 2＝7.S △CMD ＝12·CD ·MO ＝12·CM ·MD ，即12×7×MO ＝12×3×2，解得MO ＝2217，故点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217.19．(12分)(2019·合肥模拟)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y (单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y ＝b ln x ＋a 拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；(2)如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3 000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：∑10i ＝1x i ＝55，∑10i ＝1y i ＝155.5，∑10i ＝1(x i －x )2＝82.5，∑10i ＝1(x i －x )(y i －y )＝94.9，∑10i ＝1t i ＝15.1，∑10i ＝1(t i －t )2＝4.84，∑10i ＝1(t i －t )(y i －y )＝24.2，其中t i ＝ln x i ；取ln 11＝2.4，ln 36＝3.6.2．参考公式：回归方程v ＝bu ＋a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1(u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，a ^＝v －b ^u .3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：b ^＝∑10i ＝1(t i －t )(y i －y )∑10i ＝1 (t i －t )2＝24.24.84＝5， y ＝∑10i ＝1y i10＝155.510＝15.55，t ＝∑10i ＝1t i10＝15.110＝1.51，a ^＝y －b ^t ＝15.55－5×1.51＝8，所以y 关于t 的回归方程为y ＝5t ＋8.因为t ＝ln x ，所以y 关于x 的回归方程为y ＝5ln x ＋8.(2)由(1)得该IT 从业者36岁时月平均收入为y ＝5ln 11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)．旧个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋(20 000－3 500－9 000)×25%＝3 120(元)．新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为3 000×3%＋(20 000－5 000－3 000－3 000)×10%＝990(元)．故根据新旧个税政策，该IT 从业者36岁时每个月少缴纳的个人所得税为3 120－990＝2 130(元)．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1,1)． (2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22.所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35ty ＝1＋45t ，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a ＞0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )＞1即|x ＋1|－|2x －3|＞1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3＞1，解得x ＞5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1＜x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3＞1，解得x ＞1，所以1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3＞1，解得x ＜3，所以32＜x ＜3.综上，原不等式的解集为{x |1＜x ＜3}． (2)法一：因为a ＞0，所以3a＞0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －4，x ≤－1(a ＋1)x －2，－1＜x ≤3a .(1－a )x ＋4，x ＞3a因为a ＞0，所以f (－1)＝－a －3＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＝1＋3a＞0.当0＜a ＜1时，f (x )的图象如图①所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1，解得a ＝0，舍去；当a ＝1时，f (x )的图象如图②所示，所以y ＝f (x )的图象与x 轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；当a ＞1时，f (x )的图象如图③所示，要使得y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(1－a )(a ＋1)＝－1，解得a ＝±2，因为a ＞1，所以a ＝ 2.综上，所求a 的值为2.图① 图② 图③法二：因为a ＞0，所以3a＞0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －4，x ≤－1(a ＋1)x －2，－1＜x ≤3a .(1－a )x ＋4，x ＞3a若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1，解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去)．经检验，a ＝2符合题意，所以所求a 的值为 2.。

高考理科数学中档大题保分专练15套(经典珍藏解析版)

（Ⅱ）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，
求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为
得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？
i 1
xi2
112
132
122
434
2
， 3x
432 ，由公式求
得
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中档大题保分专练 15 套
3
b
xi yi
i 1
977 972 5 ，a y bx 3
3
xi 2
2
3x
434 432
2
i 1
．
x 2 cos
4.
（广西名校第一次摸底）已知曲线
M
的参数方程为
12 月 2 日
12 月 3 日
12 月 4 日
12 月 5 日
温差 x （℃） 10
11
13
12
8
发芽数 y（颗） 23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方
程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；
，
∴曲线 N 的普通方程为 3x y 16 0 ．……………………………………5 分
（Ⅱ）圆 M 的圆心 M 0 ，2 ，半径 r 2．
2 16
d
7
点 M 到直线 N 的距离为

高考理科数学中档大题保分专练18套(经典珍藏解析版)

中档大题保分专练 18 套
高考理科数学中档大题保分专练 18 套目录
目录............................................................................................................................... 1 专练一（共 4 道大题）建议用时：40 分钟.................................................................. 2 专练二（共 4 道大题）建议用时：40 分钟.................................................................. 5 专练三（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 10 专练四（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 13 专练五（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 16 专练六（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 21 专练七（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 24 专练八（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 28 专练九（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 32 专练十（共 4 道大题）建议用时：40 分钟................................................................ 36 专练十一（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 40 专练十二（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 44 专练十三（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 49 专练十四（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 53 专练十五（共 4 道大题）建议用时：40 分钟..................... 56 专练十六（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 60 专练十七（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 63 专练十八（共 4 道大题）建议用时：40 分钟............................................................ 65 独家整理编辑

高中数学中档题1,4

高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(．解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ．得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ．欲使夹角为钝角，需071522<++t t ．得 217-<<-t ．设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ．即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-）（214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=．在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=．在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ．即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=．而 a BC FB FC 2622=+=．在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角．在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°．二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3．此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ，而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列．（2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ．对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．（3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。

高三年文科数学中档大题保分练(1-3)

中档大题保分练(1) (推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝32sin 2x－12(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移π6个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝7，f(C)＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cos A，cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B)，求m·n的取值范围．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x(2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．3．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．4．已知n∈N*，数列{d n}满足d n＝3＋(－1)n2，数列{a n}满足a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{b n}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b m n＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．1.解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B ) ＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140，估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3.(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC . (2)解如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交，得BC ⊥平面SEF . 由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ，则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高．由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3，所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4.解方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d2n .＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.中档大题保分练(2)(推荐时间：50分钟)1．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．3．如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．4．已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .1.解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2.解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ，则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件，则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3.(1)证明在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC . (3)解由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半，三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4.解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．即b n ＝2n . (2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋…＋2n －12n12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n＋32n .中档大题保分练(3)(推荐时间：50分钟)1．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .3．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y ≥96，z ≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．4．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E ，F分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27. (1)求证：EF ∥平面PDC ；(2)若∠CDP ＝90°，求证：BE ⊥DP ； (3)若∠CDP ＝120°，求该多面体的体积．1.解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，于是sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理知：3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2x ＋sin x cos x －2 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－32， ∴f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B ＋π8－π4－32 ＝22sin 2B －32. 由π6<B <π2得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32. 2. 解 (1)∵a n ＝3n －1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)·3n ，②①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ， ∴T n ＝n ·3n .3.解 (1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个．所以，所求概率为P (A )＝49.4.(1)证明取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点，所以FO ∥BC ，且FO ＝12BC .又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，所以ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ，所以EF ∥平面PDC .(2)解若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ，又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ，又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP .(3)解连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等，所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等，即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ，由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2，所以三棱锥P －ADC 的体积V P －ADC ＝V A －CDP ＝13×12×2×4×sin 120°×3＝23，所以该五面体的体积为4 3.。

(高中段)高考4道保分大题组合限时训练(四)

高考4道保分大题组合限时训练〔四〕1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )2＝sin 2C －sin A sin B.(1)求C .(2)假设c ＝1，△ABC 的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值；如果没有，请说明理由．解：(1)由(sin A －sin B )2＝sin 2C －sin A sin B ，整理得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B. 又由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，因此cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)当c ＝1时，△ABC 的周长有最大值，且最大值为3. 理由如下：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sinπ3＝23，所以a ＝23sin A ，b ＝23sin B ，所以a ＋b ＝23sin A ＋23sin B ＝23sin A ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，a ＋b 取到最大值2，所以△ABC 的周长有最大值，且最大值为3.①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .解：因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }公差为d ，因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，因为b 2n ＝2b n ＋1，所以n ＝1时，b 2＝2b 1＋1，解得b 1＝23，b 2＝73，所以d ＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1，两式相减，得23S n ＝23＋5⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1＝23＋56－152·3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92·3n ＋1，所以S n ＝94－10n ＋94·3n.选②③时，设数列{b n }公差为d ，因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d ＝3，因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d )2＝b 1(b 1＋3d )，化简得d 2＝b 1d ，因为d ≠0，所以b 1＝d ，从而d ＝b 1＝1，所以b n ＝n ，所以b n a n ＝n3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ，两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32·3n ，所以S n ＝94－2n ＋34·3n －1.选①③时，设数列{b n }公差为d ，因为b 2n ＝2b n ＋1，所以n ＝1时，b 2＝2b 1＋1，所以d ＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d )2＝b 1(b 1＋3d )，化简得d 2＝b 1d ，因为d ≠0，所以b 1＝d ，从而无解，所以等差数列{b n }不存在，故不符合题意．3．如图1，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，E 为BC 的中点，将△ACD 沿对角线AC 折起，使CD ⊥BC ，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥D -ABC .(1)证明：平面ADE ⊥平面BCD ；(2)直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求二面角A -DB -C 的余弦值．解：(1)证明：在三棱锥D -ABC 中，因为CD ⊥BC ，CD ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE ⊥CD .因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，又BC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .2)由(1)可知∠DEC 即为直线DE 与平面ABC 所成的角，所以∠DEC ＝π4，故CD ＝CE ＝1.由(1)知AE ⊥平面BCD ，过E 作EH ⊥BD 于H ，连接AH ，由三垂线定理可知AH ⊥BD ，故∠AHE 为二面角A -DB -C 的平面角．由△BHE ∽△BCD ，得BE BD ＝EHCD ，即15＝EH 1，得EH ＝55，所以AH ＝305，故cos ∠AHE ＝EH AH ＝66，所以二面角A -DB -C 的余弦值为66.4．过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫〞阶段．目前“精准扶贫〞覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4 335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准〞．为落实“精准扶贫〞政策，某扶贫小组为一“对点帮扶〞农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于初开始种植．该经济农作物每年每亩的种植本钱为1 000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物亩产量(kg)900 1 200 概率该经济农作物市场价格(元/kg)15 20 概率(1)设该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X 元，求X 的分布列．(2)假设该农户从开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件根本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16 000元的概率．(3)全国脱贫标准约为人均纯收入4 000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在底可以脱贫？并说明理由．解：(1)由题意知：1 200×20－1 000＝23 000，1 200×15－1 000＝17 000，900×20－1 000＝17 000,900×15－1 000＝12 500，所以X的所有可能取值为：23 000,17 000,12 500.设A表示事件“作物亩产量为900 kg〞，那么P(A)＝0.5；B表示事件“作物市场价格为15元/kg〞，那么P(BP(X＝23 000)＝P(A·B)＝(1－0.5)(1－0.4)＝0.3，P(X＝17 000)＝P(A·B)＋P(A·B)＝(1－0.5)××(1－0.4)＝0.5，P(X＝12 500)＝P(A·B×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16 000元〞，那么P(C)＝P(X>16 000)＝P(X＝23 000)＋P(X＝17 000)＝0.3＋0.5＝0.8，设这三年中有Y年的纯收入不少于16 000元，那么有Y～B(3,0.8)，所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16 000元的概率为P＝P(Y≥2)＝C33×3＋C23×2×0.2＝0.896.(3)由(2)知，该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为E(X)＝23 000×0.3＋17 000×0.5＋12 500×0.2＝17 900(元)，因为17 9004>4 000，所以凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以能预测该农户在底可以脱贫．。

2020届高考数学大二轮复习专题基础保分强化训练四文

基础保分强化训练(四)1集合A ={x |x 2 — a w 0}, B= {x |x <2}，若A ? B ,则实数a 的取值范围是( )A. ( —g, 4] B . (—g, 4)C. [0,4]D. (0,4)答案 B解析当a <0时，集合A = ?，满足题意；当a 》0时，A = [ — a, a ]，若A ? B ,则.a <2,所以 0wa v 4，所以 a € ( —g, 4)，故选 B.2 .已知复数z 满足z + |z | =3 + i ，则z =( ) A. 1 — iB . 1 + i C.3-i答案 D解析设 z = a + b i ，其中 a , b €R ,由 z + | z | = 3+ i ，得 a + b i + . a 2 + b 2= 3+ i ，由3•已知直线l : y = kx +1与圆O x 2+ y 2= 2相交于A , B 两点，则“ k = 1”是“/ AOB =120°” 的（）A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案由题意得圆心(0,0)到直线l : y = kx +1的距离为丄三，若/ AOB= 120°,v 1 + k =2X 2，得 k 2= 1 即 k =± 1,若 k = 1 时，则/ AOB= 120°,但/ AOB= 120° 时,k =— 1 或 k = 1,故选 A.4 •将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是()2 3 1 A.5 B. 5 C. 2 D. 答案 C解析将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3) , (2,3,1) , (3,2,1) , (3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字D3+i复数相等可得a + J a ? +b = 3, b = 1,_4 解得a _3,b = 1,4故z = -+ i ，故选D.3解析则有一1 + k 2之差为3的事件有（1,3,2） , （2,1,3） , （3,2,1），所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P = 6= 2.故选C.单调递增，由复合函数单调性可知 y = In （ .x 2+ 1+ x ）在［0,+^）上单调递增，根据奇函数对称性，可知在（—8,+^ ）上单调递增，则D 正确.故选 D.7 •一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为答案 A解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示,1»1 O下各挖去一个底面半径为 1,高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为2 — 2X - XnX1 X 1= 8A .- 9B .—3 C. 3 D. 9答案 AT T T T T T T T T T T解析如图，••-AP= 2PM •- AP= PB+ PC • PA- (PB+ PC = — PA , •/ AM= 1 且AP=2PMTTT T24丄，丄••• 1 PA = 3,• PA- (PB+ PC = — 9,故选 A.6 .下列函数中, 既是奇函数又在（—8,+s ）上单调递增的是（ )A . y == sin x B . y = |x |C. y = 3二一xD.y = ln ( x 2 + 1 + x ) 答案 D解析sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；| —x | = | x |，则函数 y = | x |为偶函数，可知B 错误; y = —x在（—8,+^ ）上单调递减，可知C 错误；In （:—x 2+ 1 — x ) = ln44 4 4 1等于（）5 .在△ ABC 中, M 是 BC 的中点，AM= 1,点 P 在 AM±且满足 AF = 2PM 则 PA •( PB+ PC ) 2=— ln (x 2 + 1 + x )，贝U y = ln ( x 2+ 1 + x )为奇函数；当 x >0 时， x 2 + 1+ xx +1 + xA .2n3C.nB .4-§ 2nD. 4 —2,则该几何体的体积该几何体是一个棱长为 2的正方体上、-2n.故选A.2x — y + 2> 0,2 28.已知平面区域 Q i : x + y w 0, Q 2： x + y <9,则点 P (x , y )1是 P (x ,y + 2> 0,y ) €Q 2 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 A解析平面区域Q 2： x 2+ y 2w 9,表示圆以及内部部分；2x — y + 2> 0,Q 1： x + y w 0,的可行域如图三角形区域：y + 2>0则点P (x , y ) €Q I 是P (x , y ) € Q 2的充分不必要条件.故选A.n%9.若3 >0,函数y = cos 3x + —的图象向右平移个单位长度后与函数 y = sin 的3 3图象重合，则 3的最小值为()11 5 1 3 A.— B. - C. D.2 2 2 2答案 Bn n解析函数y = cos 3x + --的图象向右平移了个单位长度后，所得函数图象对应的解析3 3 3 n n _ （3x -—厂 + — , 其图象与函数 y = sin 3x =n3 n n5.•.一 — + 2k n = — 3 + ■—, k €z , •••3=-6k +25k € Z ,又3 >o ,. 3的最小值为2，故选B.10 .设 a = log 43, b = log 52, c = log 85,则（）A . a <b <cB . b <c <a、n n式为 y = cos 3 x — — + -3-cos冗cos 3X —"2 + 2k n , k € Z 的图象重合,C. b<a<cD. c<a<b 答案B解析 •/ a = log 43= log 6427= , c = log 85= log 6425=• log43>log 85,即 a >c ,••• 2< 5, 5> 8,13 .如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内, m 速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过420 s 后看山顶的俯角为 45°, m .(取 2= 1.4 , 3= 1.7)答案 2650•- c= log 85>log ^.8 =㊁,b = log 52<log ^J 5= ,••• log 85>log 52,即卩 c >b , •'•log 43>log 85>log 52, 即a >c >b .故选B.2 x 11 .已知双曲线C ：2a2—器=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为 F , F 2,过原点的直线与双曲线C 交于AB 两点，若/ A^B= 60°, △ ABF 的面积为 3a 2,则双曲线的渐近线方程为 ()1A . y =±^xB . y =±2 xC. y =±爭D. y =± 3x答案 D解析根据题意，连接 AF , BF , AF 2, BF 2得四边形AF 2BF 为平行四边形，几何关系如图所示，设 | A 冋=x ，则 |= x , |BR | = x + 2a ,A ABF 的面积为(3a 2,/ ARB = 60°,则由三角形面积公式可得，3a 2= g x •(x + 2a ) • f ，化简得x 2+ 2ax — 4a 2 = 0,解得x = ( 5— 1) a ,x = ( — 5 — 1)a (舍去).所以|BB| = (5 + 1)a .在厶BFF 2中，| F 1F 2I = 2c ,由余弦定理可得| F 1F 2I 2 = | BF | 2 + | BR |2 — 2| BF | BR | • cos120°，即(2c )2 =(卡—1)笞 + (托 + 1)2a 2 — ，化简可得 c 2= 4a 2,由双曲线中 c 2 = a 2 + b 2,可得b 2= 3a 2,2( 5- 1)a •( 5+ 1)a cos120°b即二土 3,所以渐近线方程为ay =± ,3x ,所以选D.12 .已知函数 xe ,f (x )= In x <0, x , x >0,答案e1=ln e 一 1，Af f ;=f ( — 1) = e —1 = £已知飞机的飞行高度为 10000则山顶的海拔高度为解析如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点 D,由题意知/ A = 15°,/ DBC= 45/ ACB= 30°, AB= 50X 420= 21000.AD . CD= BC- sin / DB = 10500X （/6 —羽）X 专=10500X （护—1） = 7350.故山顶的海拔高度 h = 10000 — 7350 = 2650（m ）.14 •将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多 1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1, a 2, a 4,…构成的数列为｛b n ｝, S 为数列｛b n ｝的前n 项和.若$ =2b n — 1，贝V a 56= _______ .答案 1024解析当 n 》2 时，T S n = 2b n — 1 ,. S1— 1= 2b n — 1一 1 ,. b n = 2"— 2b n —1 , . b n = 2b n — 1 (n 》2 且 n € N *),n ——1•/ b 1= 2b 1— 1,. b 1= 1，.数列｛b n ｝是首项为1,公比为2的等比数列，.b n = 2 .设a, a 2, a 4, a 7, an ,…的下标 1,2,4,7,11 ，…构成数列｛c n ｝，贝U C 2 — C 1 = 1, C 3 — c 2= 2, c 4— c 3= 3 ,■ 10a 56= bn = 2 = 1024.又在△ ABC 中,BCsin / A AB sin / ACBBC= 警 X sin15=10500（迢一②•/ CDL,C n— C n -1= n — 1,累加得, c n — C 1= 1 + 2 + 3+ 4 + •••+ (n — 1), n n — 1--c n = 2_由 C n = 一n —12 + 1 = 56 ,得 n = 11,。

2020年高考数学120分(12+4+3+2)保分练(四)

2020年高考数学120分120分(12＋4＋3＋2)保分练(四)(满分：126分限时：90分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－7x ＋5≤0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或52D ．1或2解析：选D 依题意得Q ＝{x |(2x －5)(x －1)≤0，x ∈Z}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1≤x ≤52，x ∈Z ＝{1,2}，因为P ∩Q ≠∅，P ＝{0，m }，所以m ＝1或m ＝2.2．复数2－i 31－2i ＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：选A 2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3i3＝i.3．设{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 25＋a 26＝a 27＋a 28，则该数列的前12项和等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5解析：选C 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (d ≠0)，由a 25＋a 26＝a 27＋a 28，得(a 1＋4d )2＋(a 1＋5d )2＝(a 1＋6d )2＋(a 1＋7d )2，整理得2a 1＋11d ＝0，即a 1＋a 12＝0，所以S 12＝12(a 1＋a 12)2＝0.法二：由a 25＋a 26＝a 27＋a 28，得a 25－a 27＝a 28－a 26，即(a 5＋a 7)(a 5－a 7)＝(a 8＋a 6)(a 8－a 6)．因为{a n }是公差不为零的等差数列，设其公差为d (d ≠0)，则2a 6×(－2d )＝2a 7×2d ，即a 6＋a 7＝0，所以S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＝0.4．由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数f (x )的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( )A.6＋23 B.6－23 C.6－22D.6＋22解析：选C 函数g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x 的图象向左平移π3个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.故f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋2π3 ＝2sin π4＋2π3＝2⎝⎛⎭⎫sin π4cos 2π3＋cos π4sin 2π3 ＝222×⎝⎛⎭⎫－12＋22×32＝6－22. 5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，x )，若a ⊥(a －b )，则x ＝( ) A ．2 B ．2.5 C ．5D ．5.5解析：选D 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1，x )，所以a －b ＝(3,4－x )，因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝2×3＋4(4－x )＝0，解得x ＝5.5.6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是( )A.10π3 B ．4π C ．6πD ．12π解析：选A 这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面半径为2，高为1的圆锥，故其体积为π×12×2＋13π×22×1＝10π3.7.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积分别称朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷3 000颗图钉，则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)( )A ．134B ．268C ．402D ．536解析：选C 设大正方形的边长为2，由图中直角三角形的两直角边长之比为1∶3，可得小正方形的边长为3－1，所以小正方形与大正方形的面积比值为(3－1)24＝1－32，所以落在小正方形内的图钉数为⎝⎛⎭⎫1－32×3 000≈⎝⎛⎭⎫1－12×1.732×3 000＝402. 8．在[－4,4]上随机取一个实数m ，能使函数f (x )＝x 3＋mx 2＋3x 在R 上单调递增的概率为( )A.14B.38C.58D.34解析：选D 由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为3－(－3)4－(－4)＝34. 9．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.10．函数f (x )＝1x＋ln |x |的图象大致为( )解析：选B 因为f (1)＝1，排除A 项；当x >0时，f (x )＝1x ＋ln x ，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，排除D 项，又f (－1)＝－1，排除C 项，故选B.11．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，34B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1解析：选B 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2，0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.又kPA 2＝y 0x 0－2，kPA 1＝y 0x 0＋2，所以kPA 2·kPA 1＝y 20x 20－4＝－34.又kPA 2∈[－2，－1]，所以kPA 1∈⎣⎡⎦⎤38，34.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,3)解析：选A 设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为________．解析：前3个小组的频率和为1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，所以第2小组的频率为13×0.75＝0.25，所以抽取的学生人数为100.25＝40.答案：4014．观察下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，照此规律，第6个不等式为________________．解析：观察不等式的规律知1＋12＋122－1>1＝22，1＋12＋13＋…＋123－1>32，1＋12＋13＋…＋124－1>42，1＋12＋13＋…＋125－1>52，…，由此猜测第6个不等式为1＋12＋13＋…＋1127>72.答案：1＋12＋13＋…＋1127>7215．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：因为tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以tan α>1，所以tan α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝22sin 2α＋22cos 2α＋2(1＋cos 2α)2 ＝22(sin 2α＋2cos 2α＋1) ＝222sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝222tan α1＋tan 2α＋2－2tan 2α1＋tan 2α＋1 ＝0. 答案：016．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若|PF |＝32，则M 点的横坐标为___．解析：由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又设P (x 0，y 0)，则y 0＝12(y 1＋y 2)＝12[k (x 1－1)＋k (x 2－1)]＝2k ，所以x 0＝1k 2，所以P ⎝⎛⎭⎫1k 2，2k . 因为|PF |＝x 0＋1＝1k 2＋1＝32，解得k 2＝2，所以M点的横坐标为x1＋x22＝2k2＋4k22＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n＋1S n S n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)∵S n＝2a n－a1，∴当n≥2时，S n－1＝2a n－1－a1，∴a n＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1.由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.∴数列{a n}是首项为2，公比为2等比数列，∴a n＝2n.(2)∵a n＋1＝2n＋1，S n＝2n＋1－2，S n＋1＝2n＋2－2.∴b n＝a n＋1S n S n＋1＝2n＋1(2n＋1－2)(2n＋2－2)＝1212n－1－12n＋1－1.∴数列{b n}的前n项和T n＝12⎝⎛⎭⎫12－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n－1－12n＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n＋1－1.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S-ABCD的高．解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，DB，则四边形BCDE为矩形，∴DE＝CB＝2，∴AD＝BD＝ 5.∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2，∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，又SA ∩SB ＝S ，∴SD ⊥平面SAB . (2)设四棱锥S -ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S -ABD 的高．由(1)，知SD ⊥平面SAB .由V S -ABD ＝V D -SAB，得13S △ABD ·h ＝13S △SAB ·SD ， ∴h ＝S △SAB ·SDS △ABD.又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22＝3，SD ＝1， ∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD ＝3×12＝32.故四棱锥S -ABCD 的高为32. 19．(本小题满分12分)某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表：(1)秀与翻转合作学习法”有关；(2)为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样的方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽出3名交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)∵K 2＝220×(20×70－40×90)60×160×110×110＝556≈9.167<10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关．(2)设从“翻转班”中抽取x 人，从“对照班”中抽取y 人，由分层抽样的定义可知660＝x 40＝y20，解得x ＝4，y ＝2. 在这6名学生中，设“对照班”的2名学生分别为A 1，A 2，“翻转班”的4名学生分别为B 1，B 2，B 3，B 4.则所有的抽样情况如下，{A 1，A 2，B 1}，{A 1，A 2，B 2}，{A 1，A 2，B 3}，{A 1，A 2，B 4}， {A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}，{A 1，B 1，B 4}，{A 1，B 2，B 3}， {A 1，B 2，B 4}，{A 1，B 3，B 4}，{A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}， {A 2，B 1，B 4}，{A 2，B 2，B 3}，{A 2，B 2，B 4}，{A 2，B 3，B 4}， {B 1，B 2，B 3}，{B 1，B 2，B 4}，{B 1，B 3，B 4}，{B 2，B 3，B 4}，共20种．其中至少有一名“对照班”学生的情况有16种．记事件A 为至少抽到一名“对照班”学生交流学习方法，则P (A )＝1620＝45.四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ(a ≠0)．(1)求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设直线l 截圆C 的弦长是半径长的3倍，求a 的值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a24，直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.(2)∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3a 2－85＝12×|a |2，解得a ＝32或a ＝3211. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R. (1)求m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：|x －3|－2x ≤2n －4.解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值，又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g (x )的最小值为4.所以m ≤4，即m 的取值范围为(－∞，4]．(2)当m 取最大值4时，原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，3－x －2x ≤4，解得x ≥3或－13≤x ＜3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－13.。

高考数学中档大题规范练中档大题4.docx

中档大题4 数列1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·徐州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .4.(2015·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.5.(2015·泰州模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题4 数列1.解由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列，所以a n ＋1a n ＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22，因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1. S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1，即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n，故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12，故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2，故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52，即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减，又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14，故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12，所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。

2022届高考数学保分题及答案

2022年高考数学考前保分题1．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求平面P AM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）以点D 为原点，依次DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设BC ＝t （t ＞0），求出PB →=(t ，1，−1)，AM →=(−t 2，1，0)．通过PB →⊥AM →，转化求解即可．（Ⅱ）求出平面P AM 的一个法向量，平面PDC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面P AM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直．以点D 为原点，依次DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系．（2分）设BC ＝t （t ＞0），则B （t ，1，0），P （0，0，1），A （t ，0，0），M(t 2，1，0)．可得PB →=(t ，1，−1)，AM →=(−t 2，1，0)．由PB ⊥AM ，知PB →⊥AM →，可得：t ×(−t 2)+1×1+(−1)×0=0，解得t =√2．所以，BC =√2．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得到A(√2，0，0)，M(√22，1，0)，因此可得AM →=(−√22，1，0)，AP →=(−√2，0，1)．设平面P AM 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，则由{n 1→⋅AM →=0，n 1→⋅AP →=0，得{−√22x +y =0，−√2x +z =0，令z =2√2，解得n 1→=(2，√2，2√2)．同理，可求平面PDC 的一个法向量n 2→=(1，0，0)．所以，平面P AM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：cosθ=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=2√14×1=√147．即平面P AM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为√147．（12分）【点评】本题考查空间向量的垂直，点、线、面距离的求法，二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．2．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，将△BCE 沿着BE 折起，点C 变成点P ，此时PC =√6．（1）求证：AD ⊥PC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【分析】（1）取BC 中点记为H ，连结PH ，CH ，推导出BE ∥AD ，然后得到△BCE 是边长为2等边三角形，△PEB 是边长为2的等边三角形，从而得到CH ⊥BE ，PH ⊥BE ，进而得到BE ⊥平面PCH ，由此能证明AD ⊥PC ．（2）法一：推导出PH ⊥平面BCE ，以H 为原点HB ，HC ，HP 所在直线为x ，y ，z 轴建如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．法二：取CP 中点M ，连结EM ，BM ，推导出EM ∥DP ，得到直线EM 与平面PBC 所成的线面角，再求出直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取BC 中点记为H ，连结PH ，CH ，∵E 是CD 中点，CD ＝4，∴DE ＝CE ＝AB ＝BC ＝AD ＝2，∵AB ∥DE ，AB ＝DE ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ＝2，∴△BCE 是边长为2等边三角形，由题意，可知PE ＝CE ＝2，PB ＝CB ＝2，∴△PEB 是边长为2的等边三角形，∵CH 是△BCE 中线，PH 是△PCE 中线，∴CH ⊥BE ，可得PH ⊥BE ，∵CH ∩PH ＝H ，∴BE ⊥平面PCH ，∴BE ⊥PC ，∴AD ⊥PC ．（2）法一：建系法证明：∵PC =√6，由（1）可求得PH =CH =√3，∴PH 2+CH 2＝PC 2，∴PH ⊥CH ，∵PH ⊥BE ，CH ∩BE ＝H ，∴PH ⊥平面BCE ，∴以H 为原点HB ，HC ，HP 所在直线为x ，y ，z 轴建如图所示的空间直角坐标系， ∵B(1，0，0)，C(0，√3，0)，P(0，0，√3)，D(−2，−√3，0)，∴DP →=(2，√3，√3)，BC →=(−1，√3，0)，BP →=(−1，0，√3)，设平面BCP 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{BP →⋅n →=−x +√3y =0BC →⋅n →=−x +√3z =0，令x =√3，则y ＝1，z ＝1，∴平面BCP 法向量n →=(√3，1，1)，∴直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为：sinθ=|DP →⋅n →||DP →|⋅|n →|=|2√3+√3+√3|√10×√5=2√65．法二：几何法证明：取CP 中点M ，连接EM ，BM ，∵EM 是△CDP 的中位线，∴EM ∥DP ，∴即求直线EM 与平面PBC 所成线面角，∵PB =PC =2，PC =√6，M 是PC 中点， ∴BM ⊥PC ，且BM =22−(√62)2=√102，同理EM ⊥PC ，EM =√102，∴PC ⊥平面EMB ，∵PC ⊂平面PBC ，∴平面EMB ⊥平面PBC ，∴∠EMB 即所求线面角，∴cos∠EMB =BM 2+EM 2−BE 22BM⋅EM =15， ∴直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为sin∠EMB =2√65．【点评】本题考查了线线垂直的证明，线面角，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．3．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AD ＝2，E ，F 分别为PD ，PC 的中点．（1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求平面AEF 与底面ABCD 所成角的余弦值．【分析】（1）由线面垂直的性质可得CD ⊥P A ，由底面ABCD 为正方形，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AEF 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则CD ⊥P A ，又底面ABCD 为正方形，则CD ⊥AD ，因为AD ∩P A ＝A ，AD ，P A ⊂平面P AD ，故CD ⊥平面P AD ；（2）以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A （0，0，0），E （0，1，1），F （1，1，1），所以AE →=(0，1，1)，AF →=(1，1，1)，设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅AF →=0，即{y +z =0x +y +z =0，令y ＝1，则z ＝﹣1，故n →=(0，1，−1)，又平面ABCD 的一个法向量为m →=(0，0，1)，则|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →||m →|=1√1+1×1=√22，所以平面AEF 与底面ABCD 所成角的余弦值为√22．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。

高三数学综合复习：中档大题保分练(四)

中档大题保分练(四)(推荐时间：50分钟)1．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13. (1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°.(1)解当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)．设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，所以PE ⊥AF .(3)解设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|，即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22，得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)．故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4．设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12，解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)，所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13. (3)解由(2)知T n ＝n 3n ＋1，所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意；当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解；当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解；当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解；当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解；当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0，则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3，所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

高考数学二轮复习第一部分题型专项练中档题保分练(四)理-人教版高三全册数学试题

中档题保分练(四)1．(2018·某某模拟)已知a ＝(2sin ωx ，sin ωx ＋cos ωx )，b ＝(cos ωx ，3(sin ωx－cos ωx ))，0＜ω＜1，函数f (x )＝a ·b ，直线x ＝5π6是函数f (x )图象的一条对称轴． (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，已知f (A )＝0，c ＝3，a ＝13，求b .解析：(1) f (x )＝a ·b ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. ∵x ＝5π6是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝±2，∴2×5π6ω－π3＝k π＋π2，k ∈Z. ∴ω＝3k 5＋12，k ∈Z. ∵ω∈(0,1)，∴k ＝0，ω＝12， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z. (2) ∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝0，∴A －π3＝k π，∴A ＝k π＋π3，k ∈Z. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 在△ABC 中，由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 2－2bc cos A ＝0， ∴b 2＋32－13－2b ×3×12＝0， ∴b 2－3b －4＝0，∴(b －4)(b ＋1)＝0.∵b ＞0，∴b ＝4.2．(2018·哈师大附中模拟)哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分150分)，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：(1)根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)若规定分数在[100,120)的成绩为良好，分数在[120,150)的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．解析：(1)甲班数学分数的中位数：122＋1142＝118，乙班数学分数的中位数：128＋1282＝128.(2)乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. (3)由频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A ，则P (A )＝C 22·C 38C 510×C 33·C 411C 714＝8×7×63×2×110×9×8×7×65×4×3×2×1×11×10×9×84×3×2×114×13×12×11×10×9×87×6×5×4×3×2×1＝29×552＝5234. 所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234. 3．如图，矩形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，∠BCF ＝90°，BE ∥CF ，CE ⊥EF ，AD ＝3，EF ＝2.(1)求异面直线AD 与EF 所成的角；(2)当AB 的长为何值时，二面角A EF C 的大小为45°？解析：如图，以点C 为坐标原点，分别以CB ，CF 和CD 作为x 轴，y轴和z 轴建立空间直角坐标系C xyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c (b <c )，则C (0,0,0)，A (3，0，a )，B (3，0,0)，E (3，b,0)，F (0，c,0)，D (0,0，a )，(1)DA →＝(3，0,0)，CB →＝(3，0,0)，FE →＝(3，b －c,0)，由|FE →|＝2，得3＋(b －c )2＝4，∴b －c ＝－1.所以FE →＝(3，－1,0)．所以cos 〈DA →，FE →〉＝DA →·FE →|DA →||FE →|＝33×2＝32，所以异面直线AD 与EF 所成的角为30°.(2)设n ＝(1，y ，z )为平面AEF 的法向量，则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0，结合|BC →|2＋|BE →|2＝|CF →|2－|EF →|2，解得n ＝(1，3，33a)．又因为BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0,0，a )，所以|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝33a a 4a 2＋27＝22，得到a ＝332. 所以当AB 为332时，二面角A EF C 的大小为45°. 4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1＋t sin αx ＝t cos α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝1＋t sin α (t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2 交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值X 围，解析：(1) ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2x ＝0.曲线C 2的普通方程为：x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程： x 2＋y 2－2x ＝0得： t 2＋(2sin α－2cos α)t ＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－4＞0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1·t 2＝1＞0. ∵t 1·t 2＝1＞0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|.由t 的几何意义可得： 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1|·|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1·t 2| ＝|t 1＋t 2|1 ＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]， ∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． (选修4－5：不等式选讲)已知函数f (x )＝|2x ＋b |＋|2x －b |.(1)若b ＝1，解不等式f (x )＞4，(2)若不等式f (a )＞|b ＋1|对任意的实数a 恒成立，求b 的取值X 围．解析：(1) b ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|＞4， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥124x ＞4⇒x ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12－4x ＞4⇒x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12＜x ＜122＞4⇒x ∈∅.所以解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f (a )＝|2a ＋b |＋|2a －b |＝|2a ＋b |＋|b －2a |≥|(2a ＋b )＋(b －2a )|＝|2b |. 当且仅当(2a ＋b )·(b －2a )≥0时(f (a ))min ＝|2b |，所以|2b |＞|b ＋1|，所以(2b )2＞(b ＋1)2，所以(3b ＋1)(b －1)＞0.所以b 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)．。

通用版2018年高考数学二轮复习稳取120分保分练四理

稳取120分保分练(四)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B ∵集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜5或－5＜x ＜0}，A ∪B ＝R ，故选B.2．已知z1－i ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选A 由已知，z ＝(1－i)(2＋i)＝3－i ，其共轭复数为3＋i.故选A. 3．命题“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 D ．∀x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析：选A 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”．4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.16π3 B.19π3 C.19π12D.4π3解析：选B 由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1.则底面外接圆半径r ＝233，球心到底面的距离d ＝12.设球的半径为R ，则R 2＝r 2＋d 2＝43＋14＝1912，则该球的表面积S ＝4πR 2＝19π3.故选B.5．(x 2＋2x ＋3y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A ．60B ．180C ．520D ．540解析：选D (x 2＋2x ＋3y )5可看作5个(x 2＋2x ＋3y )相乘，从中选2个y ，有C 25种选法；再从剩余的三个(x 2＋2x ＋3y )里边选出2个x 2，最后一个里边选出x ，有C 23·C 11种选法；∴x 5y 2的系数为32C 25·C 23·2·C 11＝540.6．执行如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D 根据已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤1，3x －3，1<x ≤3，1x ，x >3的函数值．当x ≤1时，y ＝x 3＝x ，解得x ＝－1或x ＝0或x ＝1，这三个x 值均满足条件；当1＜x ≤3时，y ＝3x －3＝x ，解得x ＝32，满足条件；当x ＞3时，y ＝1x＝x ，解得x ＝－1或x ＝1，这两个x 值均不满足条件；综上所述，满足条件的x 值的个数是4.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π 解析：选A ∵(a －b )⊥(3a ＋2b )， ∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2＝23b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22，即〈a ，b 〉＝π4.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ图象的一个对称中心为(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cos π3x 的图象( )A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C ∵函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ图象的一个对称中心为(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6，满足f (1)＞f (3)，故可将函数y ＝2cos π3x 的图象向右平移12个单位，得到函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6的图象．9．若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(1,2]解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝x a，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝2至多有一个交点，可得，圆心(0,2)到渐近线的距离d ≥r ，即有|2a |1＋a2≥2，解得a ≥1，则离心率e ＝c a ＝1＋a2a＝1＋1a2∈(1， 2 ]．10．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 9·a 2 010＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 018＝( )A ．－2 018B ．2 018C ．log 22 018D ．1 009解析：选A ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，∴a 1·a 2 018＝a 2·a 2 017＝…＝a 9·a 2 010＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 018＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 018) ＝log 2(a 9·a 2 010)1 009＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018＝－2 018.11．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称函数f (x )为“局部奇函数”．若函数f (x )＝4x－m ·2x＋m 2－3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3)B ．[－1,2]C ．[－22，2 2 ]D ．[－22，1－ 3 ]解析：选B 根据“局部奇函数”的定义可知，函数f (－x )＝－f (x )有解即可，即4－x－m ·2－x＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋m 2－3)有解，∴4x＋4－x－m (2x ＋2－x )＋2m 2－6＝0，即(2x ＋2－x )2－m (2x ＋2－x )＋2m 2－8＝0有解．设t ＝2x＋2－x，则t ＝2x ＋2－x ≥2，∴方程等价为t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，设g (t )＝t 2－mt ＋2m2－8，对称轴x ＝m2.①若m2≥2，则由Δ＝m 2－4(2m 2－8)≥0，得7m 2≤32，此时m 不存在；②若m2＜2，要使t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，4－2m ＋2m 2－8≤0，Δ≥0，解得－1≤m ≤2.综上－1≤m ≤2.12．已知函数f (x )＝(2－x )e x－ax －a ，若不等式f (x )＞0恰有两个正整数解，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 2，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，e 2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，2 解析：选A 令g (x )＝(2－x )e x，h (x )＝ax ＋a ，由题意知，存在2个正整数，使g (x )在直线h (x )的上方， ∵g ′(x )＝(1－x )e x，∴当x ＞1时，g ′(x )＜0，当x ＜1时，g ′(x )＞0， ∴g (x )max ＝g (1)＝e ，且g (0)＝2，g (2)＝0，g (3)＝－e 3，直线h (x )恒过点(－1,0)，且斜率为a ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，h－e 3，解得－e 34≤a ＜0，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，0，故选A.二、填空题13.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 1⊥AB 且AF 1＝AB ，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接BF 1(图略)．设|AF 1|＝t ，则|AB |＝t ，|F 1B |＝2t ，由椭圆定义有：|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a .∴|AF 1|＋|AB |＋|F 1B |＝4a ，即(2＋2)t ＝4a ，t ＝(4－22)a ， ∴|AF 2|＝2a －t ＝(22－2)a . 在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝(2c )2， ∴[(4－22)a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝9－62＝(6－3)2，∴e ＝6－ 3.答案：6－ 314．若目标函数z ＝kx ＋2y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤1，x ＋y ≥2，y －x ≤2下仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝kx ＋2y 得y ＝－k 2x ＋z2，要使目标函数z ＝kx ＋2y 仅在点B (1,1)处取得最小值，则阴影部分区域在直线z ＝kx ＋2y 的右上方，∴目标函数的斜率－k2大于直线x ＋y ＝2的斜率且小于直线2x －y ＝1的斜率．即－1＜－k2＜2，解得－4＜k ＜2，即实数k 的取值范围为(－4,2)．答案：(－4,2)15．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x＝－1－2x －1，作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)．答案：(1,2)16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足4cos 2A 2－cos [2(B ＋C )]＝72，若a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴4cos 2A2－cos[2(B ＋C )]＝2(1＋cos A )－cos 2A ＝－2cos 2A ＋2cos A＋3＝72，∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0.∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.∵a ＝2，由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立． ∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，即△ABC 的面积的最大值是 3.答案： 3 三、解答题17．已知等差数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0)，公差为d ，且不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n －a n ＝1n 2＋n，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )，可得a 1＞0，且1，d 为方程a 1x 2－3x ＋2＝0的两根，即有1＋d ＝3a 1，d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)b n －a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，即为b n ＝a n ＋1n －1n ＋1＝2n －1＋1n －1n ＋1，则{b n }的前n 项和S n ＝(1＋3＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝12n (1＋2n －1)＋1－1n ＋1＝n 2＋n n ＋1. 18．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6，又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6·cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.19.如图，三棱柱ABC A1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C . (1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A A 1B 1C 1的余弦值．解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点，又∵AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ，又B 1O ＝CO ，∴AC ＝AB 1.(2)∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO ＝CO ，又∵AB ＝BC ，∴△BOA ≌△BOC ， ∴OA ⊥OB ，∴OA ，OB ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴的正方向，|OB ―→|为单位长度，OB 1―→的方向为y 轴的正方向，OA ―→的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系．∵∠CBB 1＝60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB ＝BC ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，33，B (1,0,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－33，0. ∴AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，－33，A 1B 1―→＝AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－33，B 1C 1―→＝BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33，0.设向量n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1―→＝33y －33z ＝0，n ·A 1B 1―→＝x －33z ＝0，可取n ＝(1，3，3)，同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量m ＝(1，－3，3)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝17，∴二面角A A 1B 1C 1的余弦值为17.20．从某校高三年级的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：(1)的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；(2)从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)100－(5＋35＋30＋10)＝20， 1－0.05－0.2－0.3－0.1＝0.35. 频率分布表为：频率分布直方图为：平均成绩为105×0.05＋115×0.2＋125×0.35＋135×0.3＋145×0.1＝127分．(2)成绩低于120分的人数为20×(0.05＋0.2)＝5，不低于120分的人数为20－5＝15，∴ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 315C 320＝91228，P (ξ＝1)＝C 15C 215C 320＝3576，P (ξ＝2)＝C 25C 115C 320＝538，P (ξ＝3)＝C 35C 320＝1114.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×91228＋1×76＋2×38＋3×114＝4.。

步步高高考大题保分练4

大题保分练41．(2022·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n ＝3S n ＋2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵4a n ＝3S n ＋2，①∴当n ＝1时，4a 1＝3a 1＋2，即a 1＝2，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2.②由①－②得4a n －4a n －1＝3a n ，即a n ＝4a n －1，∴数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝2×4n －1.(2)由(1)知log 2a n ＝log 2(2×4n －1)＝log 222n －1＝2n －1，∴b n ＝a n ＋log 2a n ＝2×4n －1＋2n －1，∴T n ＝2(1－4n )1－4＋n (1＋2n －1)2＝2(4n －1)3＋n 2. 2．(2022·湖北新高考协作体联考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝135°，BD ＝ 5CD ＝10.(1)求sin ∠CBD 的值；(2)若△ABD 的面积为4，求AD 的长．解 (1)在△BCD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD，所以BD ·sin ∠CBD ＝CD ·sin ∠BCD ，因为∠BCD ＝135°，BD ＝5CD ＝10，所以sin ∠CBD ＝1010. (2)在△BCD 中，∠BCD ＝135°，则∠CBD 为锐角，因为sin∠CBD＝1010，所以cos∠CBD＝31010，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，则∠CBA＝45°，所以sin∠ABD＝sin()45°－∠CBD＝5 5，显然∠ABD为锐角，所以cos∠ABD＝255，因为S△ABD＝12AB·BD·sin∠ABD＝4，所以AB＝42，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝10，所以AD＝10.3.(2022·南通模拟)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝2BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝24，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．(1)证明：BN⊥平面A1B1C1；(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明如图，连接MN，A1B，BC1，∵四边形ABB1A1为平行四边形，又∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝4，∴△A1AB为等边三角形，则△A1B1B为等边三角形，∵N为A1B1的中点，∴BN⊥A1B1，BN＝23，∵底面ABC是等腰直角三角形，AB＝2BC＝4，∴AC＝22，A1C1＝AC＝22，∵M ，N 分别是棱B 1C 1，A 1B 1的中点，∴MN ＝12A 1C 1＝2， ∵CC 1＝4，BC ＝22，cos ∠BCC 1＝24， ∴BC 1＝CB 2＋CC 21－2CB ·CC 1cos ∠C 1CB ＝8＋16－8＝4，∴△BCC 1为等腰三角形，则△B 1BC 1为等腰三角形，又M 是棱B 1C 1的中点，∴BM ＝BC 21－C 1M 2＝14，∴BM 2＝BN 2＋MN 2，∴BN ⊥MN ，又A 1B 1，MN ⊂平面A 1B 1C 1，A 1B 1∩MN ＝N ，∴BN ⊥平面A 1B 1C 1.(2)解取AB 的中点O ，连接A 1O ，则A 1O ∥BN ，由(1)知A 1O ⊥平面ABC ，CO ⊥AB ，如图，以点O 为原点，OC ，OB ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－2,0)，B (0,2,0)，C (2,0,0)，B 1(0,4,23)，C 1(2,2,23)，M (1,3,23)，CB →＝(－2,2,0)，BB 1--→＝(0,2,23)，AM →＝(1,5,23)，设平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BB 1--→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y ＋23z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－33，故n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－33，设直线AM 与平面BB 1C 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n ||AM →||n |＝438×73＝43266＝2798133， ∴直线AM 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为2798133. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (4,0)，短轴长为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点T (0,1)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AT 的中点为P ，线段BT 的中点为Q ，且|OP |＝|OQ |(O 为坐标原点)，求所有满足条件的直线l 的方程．解 (1)由题意知2b ＝4，c ＝4，则b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝20，∴椭圆C 的方程为x 220＋y 24＝1. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 220＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(1＋5k 2)x 2＋10kx －15＝0，则Δ＝400k 2＋60>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－10k 1＋5k 2， ∵|OP |＝|OQ |，∴⎝⎛⎭⎫x 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋122＝⎝⎛⎭⎫x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋122，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2) ＝－k (x 1－x 2)[k (x 1＋x 2)＋4]． ∵x 1≠x 2，∴x 1＋x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ＝0，∴－10k 1＋5k 2－10k 31＋5k 2＋4k ＝0，解得k 1＝0，k 2＝155，k 3＝－155， ∴满足条件的直线l 的方程为y ＝1，y ＝155x ＋1和y ＝－155x ＋1.。

【高考】高考数学冲刺必备4道保分题专练卷四

【关键字】高考“4道”保分题专练卷(四)限时：40分钟满分：56分1．(满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c . (1)求角A 的大小； (2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值．解：(1)由题意得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋b a ＋c＝1，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，在△ABC 中，因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由正弦定理得c b ＝sin C sin B ＝sin A ＋B sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B，所以sin A tan B ＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3，解得tan B ＝12，所以sin B ＝55，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝15×5532＝2.2．(满分14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18. 解：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c . 当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝2a 2－c ，解得a 2＝3c ，又因为a 2＝6，所以3c ＝6，解得c ＝2.则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.(2)证明：因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝14×6＋16×8＋…＋12n ＋22n ＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫16－18＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12n ＋4 ＝18－14n ＋2. 又因为n ∈N *，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18. 3．(满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求三棱锥E －BCD 的体积．解：(1)证明：如图所示，取BC 中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由直棱柱知，AA 1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD .所以四边形EGAD 是平行四边形．所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE .所以V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC .由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 4．(满分14分)一个盒子中装有编号为1、2、3、4、5的5个外形质地相同的小球，现从盒子中随机抽取小球．(1)若从盒中依次抽取小球，每次抽取一个，取出的小球不放回，抽取两次，求两次取到的小球的编号既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回的抽取两次，每次抽取一个小球，记下编号后放回再取，求两次取到的小球的编号都是奇数的概率．解：(1)记“两次取到的小球的编号既不全是奇数，也不全是偶数”为事件A .当不放回取球时，基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中既不全是奇数也不全是偶数的有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共6个基本事件，所以P (A )＝610＝35.故两次取到小球的编号既不全是奇数，也不全为偶数的概率为35. (2)记“两次取到的小球的编号都是奇数”为事件B ，当有放回取球时，基本事件有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．其中两次取到的小球的编号都是奇数的有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个．所以P (B )＝925.故两次取到的小球的编号都是奇数的概率为925.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。