噶米高数二下学期复习课(第八章第九章)

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2019-2020学年新教材人教版必修第二册第8章章末复习课课件(40张)

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动力学方法和能量观点的综合运用
1.动力学方法：利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问题．
2．能量的观点：利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律以及一些功能关系求解力学问题．
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3．应用技巧涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律． (1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律． (2)用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观点．
2R＝12gt2 s＝vCt 联立解得s＝2R. [答案] (1)52mgR (2)2R
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八种常见功能关系的理解
功能关系表达式
物理意义
重力做功是重
重力做功与重
力势能
W＝－ΔEp 力势能变化的
原因
弹力做功是弹弹簧弹力做功
与弹性势能 W＝－ΔEp 性势能变化的原因
正功、负功含义 W＞0 势能减少 W＜0 势能增加 W＝0 势能不变 W＞0 势能减少 W＜0 势能增加 W＝0 势能不变
5．机械能守恒定律
(1)三种表达式 ①Ek1＋Ep1＝ Ek2＋Ep2 . ②ΔEk＝－ΔEp . ③ΔEA＝－ΔEB . (2)守恒条件：只有重力或弹力
做功．
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6．能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空_消__失_，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
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[解析] (1)小球恰好能通过最高点C，设通过C点的速度为vC，则：
mg＝mvR2C，得vC＝ gR 小球从A到C的过程中，设所求弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律可得：

同济版高数第二册9-8

2. 关系可微方向导数存在
偏导数存在 3. 梯度 • 三元函数在点处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 梯度的特点
方向: f 变化率最大的方向
f grad f el l
模: f 的最大变化率之值
§8. 多元函数的极值问题的提出
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤： f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0 第一步解方程组求出实数解，得驻点及不可导点.
第二步对于每一个极值可疑点( x 0 , y0 ) ，
极值可疑点
进一步判定.对驻点,求出二阶偏导数的值 A，B，C. 2 第三步对二阶偏导存在的驻点，定出AC B 的符号，再判定是否取得极值，取得极值时，是极大值还是极小值.
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 z( , ) , z( , ) , 2 2 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 Nhomakorabea2 2极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例２在 (0,0) 处有极大值．
例３函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
2、多元函数取得极值的必要条件
定理 1 （必要条件）设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该

新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：第九章统计章末复习课

要点三样本的百分位数 1.四分位数：第25分位数，第50分位数，第75分位数，这三个分位数把一组由小到大
排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 2.由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据
其意义列出方程求解.
【例3】欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2013年全球主要20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表：
(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100 万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.06＝6(万户).
【训练4】某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
【例2】下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位： cm)：
区间界限 [122，126) [126，130)
人数
5
8
区间界限 [142，146) [146，150)
人数
20
11
[130，134) 10
[150，154) 6
[134，138) [138，142)
22
1n∑ i＝n1 （xi－－x）2.
要点一抽样方法的应用 1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样. 2.两种抽样方法比较
【例1】一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320 人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
33
[154，158]

《高数下第八章》课件

球面坐标系
球面坐标系将点的位置与球坐标和两个角度联系起来。
球面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为球面坐标下的计算。
相关应用
用于计算球面坐标图形的体积、质心坐标等。
总结
本章重点内容概述
回顾并总结本章重点知识和概念。
解答问题技巧与方法
分享解答高数问题的技巧和方法。
重要的公式和定理
介绍与二重积分和三重积分相关的重要公式和定理。
课程思考题解析
解析本章课程思考题，并提供答案和解析。
《高数下第八章》PPT课件
本PPT课件将详细介绍《高数下》第八章的内容，涵盖二重积分、三重积分，以及不同坐标系下的应用。欢迎同学们认真学习和实践。
第一节：二重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。ห้องสมุดไป่ตู้
3
定义
二重积分是对二元函数在某个闭区域上进行积分的过程。
应用举例
用于计算平面图形的面积、质心坐标等。
相关应用
用于计算极坐标图形的面积、质心坐标等。
第四节：三重积分在柱面坐标下的应用
1 柱面坐标系
柱面坐标系将点的位置与柱坐标和极角两个数值联系起来。
2 柱面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为柱面坐标下的计算。
3 相关应用
用于计算柱面坐标图形的体积、质心坐标等。
第五节：三重积分在球面坐标下的应用
第二节：三重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。
3
定义
三重积分是对三元函数在某个闭区域上进行积分的过程。

高二下学期数学第九章复习(3)

高二下学期数学第九章复习（3）高二下学期数学第九章复习〔3〕空间向量的〔坐标〕运算〔1〕一、知识要点：1．向量定义：；相等向量：；共线〔平行〕向量：；共面向量：； 2．向量加法与数乘向量的差不多性质：〔1〕a b b a +=+ 〔2〕()()a b c a b c ++=++ 〔3〕()a b a b λλλ+=+． 3．空间向量数量积：〔1〕要紧性质：①||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>〔能够用来求角〕； ②0a b a b ⊥⇔⋅=〔能够用来证明线线垂直〕； ③2||a a a =⋅〔能够用来求线段长〕．〔2〕运算律：①()()a b a b λλ⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅； ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．4．共线向量定理：；空间直线的向量参数方程：OP OA ta =+或(1)OP OA t AB t OA tOB =+⋅=-+〔其中l 过点A ，P 在直线l 上，O 为空间任意一点，a 是l 的方向向量AB a =〕由此判定,,P A B 三点共线⇔ ．5．共面向量定理：；据此判定,,,P A B C 四点共面⇔ ． 6．空间向量差不多定理：；专门地，假设基底为单位正交基底〔常用,,i j k 表示〕，那么能够建立空间直角坐标系。

7．空间直角坐标系〔右手直角坐标系〕：假设123a a i a j a k =++，那么123(,,)a a a a = 8．空间向量的坐标运算：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么a b += ；a b -= ；a λ= ；a b ⋅= ；//a b ⇔ ；a b ⊥⇔ ；假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么212121(,,)AB x x y y z z =---． 9．夹角和距离公式：〔1〕夹角公式：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么||a = ；HG ODCBA||b = ；a b ⋅= ；cos ,a b <>= ；〔2〕两点间距离公式：111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么AB d = ；〔3〕向量与平面垂直的意义：假设表示a 的有向线段AB 所在直线垂直于平面α，那么称那个向量垂直于平面α，记为：a α⊥，现在a 叫做平面α的法向量．二、例题分析：例1．12,e e 不平行，122AB e e =+，12332BC e e =+，1224BD e e =+，试判定：,,,A B C D 四点共面吗？并证明你的结论．提示：⑴能够求得23AB BC =，⑵,,,A B C D 四点共线，从而共面．例2．空间四边形OABC 中，,G H 分不是ABC ∆，OBC ∆的重心，设OA a =，OB b =，OC c =，⑴试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH ；⑵证明：//GH 平面OAB ．答案：⑴()13OG a b c =++，13GH a =-；例3．如图在正方体1AC 中，,,M N F 分不是棱11,,AA BB BC 的中点，⑴求证：11D N B F ⊥；⑵求直线CM 与1D N 所成角的余弦值； ⑶求直线1B M 与1D N 所成角的正弦值．答案：⑵1cos 9θ=；⑶sin 5θ=．AB C DA1B1C1D1MNFABC三、课后练习：班级学号姓名1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，假设11A B a =，11A D b =，1A A c =，那么1B M =()12c b a +-． 2．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，那么AB 的中点M 到C 点的距离||CM = 〔 C 〕()A ()B 532()C ()D 3．假设(4,1,5),(4,1,5)M AB -=-，那么〔 D 〕()A M 与A 重合 ()B M 与B 重合 ()C M 在AB 上 ()D OM AB =4．假设0a b c ++=且||3,||1,||4a b c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=13-． 5．(1,2,1),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，那么ABC ∆的形状是锐角三角形，ABC S ∆=6．||22p =||3q =，,4p q π<>=，求52a p q =+，3b p q =-为边的平行四边形的对角线的长．答案：15,7．：(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥，求：⑴,,a b c ；⑵()a c +与()b c +所成角的余弦值．答案：⑴()()()2,4,1,2,4,1,3,2,2a b c ==---=-，⑵ 219-8．在Rt ABC ∆中90,30,1ACB BAC BC ∠=∠==，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ∆的位置，1AA =M 是1CC 的中点，⑴求异面直线1AB 与1A M 所成角；⑵假设P 是1A M 中点，Q 是1AB 中点，求线段PQ 的长．答案：⑴90；⑵4。

大学高等数学第二册复习资料

第六章定积分的应用学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间，再小区间[]dx x x +,。

求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。

（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。

2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。

3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。

4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。

（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=ba x dxx f V 2π。

2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dc y dyy x V 2π。

3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=ba dxx A V 。

（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。

2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。

3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。

（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。

高中第二册(下A)数学第九章综合复习

第九章综合复习●教学目标（一）教学知识点1.高中数学中的主要数学思想.2.化归与类比思想在立体几何中的应用.3.分类讨论思想在立体几何中的应用.4.整体思想在立体几何中的应用.5.函数思想和方程思想在立体几何中的应用.（二）能力训练要求1.使学生能够体会各种数学思想在解题中的作用.2.使学生深刻领悟化归与类比思想在立体几何中的应用.3.使学生深刻领悟分类讨论思想在立体几何中的应用.4.使学生深刻领悟整体思想在立体几何中的应用.5.使学生深刻领悟函数思想和方程思想在立体几何中的作用.（三）德育渗透目标1.继续体验事物与事物之间的普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点.2.培养学生用运动变化的辩证唯物主义观点分析、解决问题.●教学重点体验各种数学思想在解题中的应用.●教学难点怎样以数学思想为指导，准确选用数学方法解决具体问题.●教学方法启发引导式通过例题的分析，启发学生体验各种数学思想在解题中的重要作用，引导学生去意识只有正确的数学思想作指导，才能选择出恰当具体的数学方法于解题中.●教具准备投影片四X.第一X：化归与类比思想的应用（记作A)第二X：分类讨论思想的应用（记作B)第三X：整体思想在解题中的应用（记作C)第四X：函数思想与方程思想的应用（记作D)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］数学思想是数学知识在更高层次上的概括，它蕴含在每一个数学问题的发生、发展和应用的过程中，这节课，我们来讨论数学思想在立体几何问题中的体现.Ⅱ.讲授新课［师］在前面的学习中，我们经常提到的数学思想有哪些呢？［生］化归与类比的思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体性思想、函数与方程思想.［师］下面，我们一起体会以上数学思想在解决立体几何问题中的应用.分析：由于△ABC 的重心在中线AO 上，而AO 、DM 在同一平面内，所以可将问题转化成平面AMPD 的问题.证明：如图，连结PM 、AD ，并设AO ∵对角面AMPD 是平行四边形, ∴PM =DA .∵△OMG ∽△ADG , ∴OG ∶AG =OM ∶AD =1∶2.∵AO 是△ABC 的边BC 的中线，且AG ∶GO =2∶1，∴点G 是△ABC 的重心.［师］本题是将有关元素化归到辅助平面AMPD 中，再利用平面几何的方法解决的，这是3△ABC 如果能注意到只有棱AC 的长为6，其他棱长都是5，就可以过AC 的中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题转化为求小三棱锥的体积.解：取AC 的中点D ，则直线AC ⊥平面PBO ，于是有 V P —ABC =V A —PBD +V C —PBD =31AD ·S △PBD +31CD ·S △PBD =31（AD +CD ）·S △PBD =31×6·S △PBD =2S △PBD . ∵PB =5，BD =PD =4，∴S △PBD =4395,∴V P —ABC =2395. ［师］以上这种通过分割几何体使问题由未知转化成已知的方法在求几何体的面积、体积等计算题中常常用到.下面，体会分类讨论思想在立体几何中的应用.（打出投影片B ）解：（1）当AB ⊥l 时，显然α+β=90°.(2)当AB 与l 不垂直时，在平面P 内作AC ⊥l ,C 为垂足，连结BC . ∵平面P ⊥平面Q ， ∴AC ⊥平面Q .∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角，即∠ABC =β.在平面Q 内作BD ⊥l ,垂足为D ，连结AD ，同理得∠BAD =α.在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，BD <BC . ∴AB BD <ABBC ,即sin α<sin BAC . ∵α与∠BAC 均为锐角, ∴α<∠BAC .而∠BAC +β=90°，∴α+β<90°. (3)若AB 与l 重合时，α+β=0°. 综上可得0°≤α+β≤90°.［师］由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.组对棱相等，可联想到长方体对面不平行的对角线也具有这种性质,从而将此三棱锥补成一个长方体.解：可将如图（1）的三棱锥补成图（2）的长方体，设AD =a ,DB =b ,DC =c . ∴a 2+b 2=152,b 2+c 2=132,a 2+c 2=142.(1)PABC(2)解得a =126,b =99,c =70.又∵V P —ABC =V AFPG —DBEC -4V A —BCD =abc -4·31·21abc =31abc =4255.［师］以上题目让我们体会到通过利用整体思想将三棱锥补成一个长方体，从而使问题简便快捷地得到解决.另外，函数思想和方程思想在立体几何中也起着非常重要的作用，一起来体会两个例题.解：∵PA ⊥平面ABC ，∴AD 是PD 在平面ABC 内的射影. 又∵AD ⊥BC ，即BD ⊥AD ， ∴BD ⊥PD .在Rt △PDB 和Rt △PDC 中，θ=∠BPD -∠CPD .∵tan BPD =x 2,tan CPD =x1,∴tan θ=tan(∠BPD -∠CPD )=x x x x 12112⋅+-=22+x x(x >1).∴tanθ=xx 21+≤221=42. 当且仅当x =x2,即x =2时“=”成立. ∴tan θ的最大值为42.解：如图，在四面体S —ABC 中，BC =x ,其余棱长都为1，取BC 中点为D ，连结AD ，则AD ⊥BC ，且AD 平分∠BAC ，∴S △BAC =21BC ·AD =21x ·2)2(1x -=41x ·24x -.设点O 为S 在平面ABC 上的射影，则OA =OB =OC ，过O 作OE ⊥AB 交AB 于点E ，连结SE ，则SE ⊥AB ，∴△AOE ∽△ABD .∴ADAEBD OE =, 即2)2(1212xx OE -=. ∴OE =242xx-.∴SO =22OE SE -=)4(4)23(222x x --=2243x x -- ∴V S —ABC =31S △ABC ·OS =F (x ).∴F (x )=31·244x x -·2243xx -- =12x·23x - (0<x <3) =12x 423x x -=12122)23(49--x . ∴当x 2=23，即x =26时，F (x )m a x =121·23=81; 当0<x ≤26时，F （x )单调递增; 当26≤x <3时，F （x )单调递减. ［师］以上两例中选取变元，构造函数关系去解决问题，这是运用函数思想的较高层次，需要同学们在平时的学习中多加训练并注意不断积累，才能做到得心应手.Ⅲ.课堂练习1.长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长是多少？解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,对角线长为d ,则⎩⎨⎧=++=++.24)(4,11)(2c b a ac bc ab 由②得a +b +c =6,∴对角线d =222c b a ++ =)(2)(2ac bc ab c b a ++-++.① ②∴d =1136 =5.2.球面上四点P 、A 、B 、C ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，PA =PB =PC =a ,求球的半径是多少？解：以PA 、PB 、PC 为棱补成一个正方体，则这个正方体就是球的内接正方体. ∴正方体的对角线是球的直径.设球的半径为R ，则2R =3a . ∴R =23a . Ⅳ.课时小结1.化归与类比思想：在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题变为简单问题，将难解问题变为容易求解的问题，将未解的问题转化为已解决的问题.2.分类讨论思想：一种培养思维品质的条理性和概括性的数学思想方法.引起分类的因素有：概念、公式、性质、定理、参数变化、等价变换过程、几何图形不确定性等.3.整体思想：通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法.4.函数思想和方程思想：函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，再通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.Ⅴ.课后作业三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，且P 到三个平面的距离分别为3、4、5，求OP 的长.答案：52.“空间问题平面化思想”的教学将空间问题平面化，是立体几何中常常用到的一种化归与类比思想，在教学中必须重视这种思想的渗透.1.在知识形成过程中的渗透(1)空间图形的斜二测画法是将空间图形的问题转化为它的直观图这一平面图形的问题. (2)两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是将这些空间角转化为平面角.(3)棱柱、棱锥的侧面积公式的推导过程是将它们展平，从而使空间曲面的面积转化为平面图形的面积.(4)三垂线定理是判定平面的斜线和该平面内直线垂直的一种重要方法.定理的应用过程就是将平面的斜线和该平面内直线垂直的这一空间问题转化为平面内直线与该斜线在平面内的射影垂直的问题.2.在分析问题解决问题中的渗透［例题］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、C1D1的中点，则A1B1与截面A1ECF 所成的角是多少？分析：连结A1C、B1C，则面A1B1C⊥面A1ECF，∴A1B1在平面A1ECF内的射影为A1C，∠B1A1C为所求角.1A解：设正方体棱长为a,则B1C=2a,A1C=3a.∵sin B1A1C=aa32=36,∴所求角的大小为arcsin36.评述：在求线面所成的角时，找出该直线在平面内的射影是问题的关键.。

高等数学下第2版

同理可算得余弦函数的拉氏变换
s L[cos t ] 2 s 2
二两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t )
0 t 0 单位阶梯函数 I (t ) 的图像如下页左图所示， 1 t 0
1 由例1知，它的拉氏变换 L[ I (t )] ，将 I (t ) 的图像向右 s 0 t a 平移 a 个单位，即得 I (t a) 1 t a
F (s) e
0 st
sin tdt

0
1

e st d cos t 1 s s (

0

1 s2
1
s
e
st
cos tdt
0
e st sin tdt )
由此可得

2
F (s)
F ( s) 2 s 2
例4 求狄拉克函数 (t a) 的拉氏变换。
s 解：由 L[ (t )] 1 及 L[ f (t )] e F (s) 可得：
L[ (t a)] eas L[ (t )] eas
同理可得：
e as L[ I (t a)] s
e as L[sin(t a)] 1 s2
设 a b ，则
0 t a或t b I (t a) I (t b) at b 1
其图像如下页右图所示。
y
y
1
1
0
x
0
a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0 1 (t ) 0 t0 0t t
当 0 时，函数序列的极限 (t ) lim (t ) 称为 0 狄拉克函数或单位脉冲函数，记为函数。

高数下册总复习

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多元函数微分学
（一）极限与连续（二）偏导数和全微分（三）方向导数和梯度（四）极值
14
蜗牛
机动目录上页下页返回结束
（五）几何应用
（一）极限定义的说明
1、 lim f ( x , y ) = A 存在是指： ( x , y ) 沿任何路
x → x0 y → y0
15
蜗牛
机动
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5
G G G G G G 混合积： (a , b , c ) = ( a × b ) ⋅ c = b1
c1
a1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
几何意义： G G G G G G (a , b , c ) 表示以 a , b , c 为棱的平行六面体的体积。 G G G G G G G G G G G G G G G (a , b , c ) = (b , c , a ) = (c , a , b ) , (a , b , c ) = − (b , a , c )
5、夹角

蜗牛
机动
G Π 1 : n1 G Π 2 : n2 G L1 : v1 G L2 : v2 G L:v G Π:n
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11
6、二次曲面
[1] 柱面
⎧F ( x, y) = 0 母线平行于 z 轴，准线为： ⎨ 的柱面方 ⎩ z=0 程为： F ( x , y ) = 0
[2] 旋转曲面
的平面束方程为：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0

【大学资料】高等数学2下复习提纲和试题训练

dx ___________. 0 1 e x
条件时，广义积分
6. 当 q 满足 7. 8.

1
x 3 q dx 收敛.

1
1 0
1 x 2 dx ____________. 1 dx ____________. x3
x 0

9. 设

tf t dt =e x 1 ，则
各章节的重要知识点及要求
第六章定积分
一、重要的知识点及要求 1、理解定积分的概念及其几何意义，了解定积分的基本性质和积分中值定理； 2、理解变上限的积分函数的概念及求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式； 3、掌握定积分的换元积分法和分部积分法； 4、了解实际问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积及定积分在经济管理中的应用； 5、了解两类反常积分的定义，会计算一些简单的反常积分. 二、题型练习 (一)、选择题 1. 定积分 A. 0 2. 设 f x A. 1 3. 设
4 0
x2 2x 1
dx .
3. 计算
1
1 2 1 2
dx .
4. 计算

0
x cos x dx
5.
ln 1 x dx.
0 2 2
（四）、应用题 1.(1) 求由曲线 y x x 与 y x 所围成的平面图形的面积. (2) 求由曲线 x 0，y 0, y cos x 0 x 转体的体积. 2.(1) 求由曲线 y 3 x , y 2 x 所围平面图形的面积. (2) 求由曲线 y x , y 0, x 2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积. 3. (1) 求由曲线 y 2 x x , x y 0 所围平面图形的面积. (2) 求由曲线 y x +1,y x 1 所围成平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积.

高数下册总复习知识点归纳

第八、九章向量代数与空间解析几何总结○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nns∞→lim存常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛?○两个收敛级数的和差仍收敛?注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.○去掉、加上或改变级数有限项?不改变其收敛性?○若级数收敛?则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

推论?如果加括号后所成的级数发散?则原来级数也发散?注：收敛级数去括号后未必收敛.莱布尼茨判别法若1+≥nnuu且0lim=∞→nnu，则∑∞=--11)1(nnn u收敛nu∑和nv∑都是正项级数，且nnvu≤.若nv∑收敛，则nu∑也收敛；若nu∑发散，则nv∑也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu∑和nv∑都是正项级数，且lvunnn=∞→lim，则○1若+∞<<l0,nu∑与nv∑同敛或同散;○2若0=l,nv∑收敛,nu∑也收敛；○3如果+∞=l，nv∑发散，nu∑也发比值判别法根值判别法nu∑是正项级数，ρ=+∞→nnn uu1lim,ρ=∞→nnnulim,则1<ρ时收敛；1>ρ(ρ=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发收敛性和函数展成幂级数nnnxa∑∞=0,ρ=+∞→nnn aa1lim,1,0;,0;0,.R R Rρρρρ=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○在收敛域I上连续;○在收敛域),(RR-内可导，且可逐项求导;○和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式⎰-=πππnxdxxfancos)(1⎰-=πππnxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21+-+xfxf周期延拓)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数。

高中数学必修二第八章章末复习

知识系统整合规律方法收藏1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图．2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题．3．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可．4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α.5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视．6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角．7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理．8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．学科思想培优空间几何体的结构特征1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别．2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质．[典例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②棱柱的上下底面全等；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案 B空间几何体的直观图空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式，是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系．[典例2]画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4，OC⊥OB，AD⊥OB)．解以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图1.作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图2.空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．[典例3] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 的体积的最大值为36，则球O 的表面积为多少？解如图所示，当点C 位于垂直于平面OAB 的直径顶端时，三棱锥O －ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12R 2×R ＝R 36＝36.∴R ＝6.∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.空间中的位置关系1．空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧ 相交平行异面2．空间中线与面的位置关系⎩⎨⎧ 线在面内线面平行线面相交3．两个平面的位置关系⎩⎨⎧平行相交[典例4] 已知m ，n 是不同的直线α，β是两个不重合的平面．给出下列结论：①若m ∥α，则m 平行于平面α内任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中正确的结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析若m ∥α，则m 平行于过m 的平面与α相交的交线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ∥n ，也可能m ，n 异面，故②错误．③④正确．答案 ③④平行问题立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：[典例5] 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.垂直问题1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例6]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1⊂平面BCC1B1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .线线角、线面角和二面角问题1．两条异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到．2．直线和平面所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直．3．如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法．4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．[典例7] 如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PD ＝DC ＝2，BC ＝2 2.(1)求PB 与平面ADC 所成角的大小；(2)求异面直线PC ，BD 所成角的正弦值．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 即为PB 与平面ADC 所成的角．因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥DC ，所以BD ＝23，tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝30°，即PB与平面ADC所成角的大小为30°.(2)取P A的中点G，连接OG，DG，如图．显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成的角．因为OG＝12PC＝2，OD＝12BD＝3，DG＝12P A＝3，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝306，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为306.[典例8]如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面P AC；(2)求二面角B－P A－C的余弦值.解(1)证明：如图，连接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.又AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过点O 作OH ⊥PD 于点H .由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，且交线为PD ，OH ⊂平面POD ， ∴OH ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥OH . 在平面P AO 中，过点O 作OG ⊥P A 于点G ，连接HG ，则有P A ⊥平面OGH ，∴P A ⊥HG . 故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．∵C 是的中点，AB 是直径，∴OC ⊥AB .在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PD ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105. 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA P A ＝PO ·OAPO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 又GH ⊂平面P AC ，∴OH ⊥GH .在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155. ∴cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105.故二面角B －P A －C 的余弦值为105.。

高等数学2-第九章-第10周到第11周

石家庄科技职业学院教案首页
章节课题：第九章课时:4 书写时间:2018.5.03 授课时间:教师：李静
本章节在教学过程中的地位作用及前后关系：
本章教授高等数学中的二重积分，这一知识点与前面学习的定积分和不定积分相联系，培养学生的类比思想。

本章会以定积分的学习方法去类比的学习二重积分。

为求曲顶柱体的体积打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

知识、技能传授目标要求：
1.理解二重积分的概念；
2.理解二重积分计算公式导出的方法；
3.理解公式中符号的意义；
4.熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分。

教学重点与难点及解决方法：
重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分。

难点：选择合适的方法计算二重积分。

解决办法：直观教学，启发式讲授。

教学手段实施设计：
讲授法、板演
作业辅导计划：
P234-1,P242-1、2、3
，
，
)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此
λ表示它的直径
i
D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形
dxdy为直角坐标系下的面积元素。

高等数学(下册第2版微课版)第8章

1 2m1
1 2m1
1 2
,
故
s2m1
m 1
1 2
m
,
说明部分和数列无界，因此部分和数列 sn 发散，即调和级数(2)发散.
20
二、收敛级数的基本性质
第八章无穷级数
由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性，所以利用数列极限的运算法则，容易证明级数的下列性质.
性质 1 若级数 un 收敛，其和为 s ，则对任何常数 k ，级数 kun 收敛，且
标变量，第 un 项称为级数的一般项（通项）.
8
一､常数项级数的概念
第八章无穷级数
定义 2
对数列 u1,u2 ,u3, un , ，取它的前 n 项的和
n
Sn u1 u2 u3 un ui ， i 1
Sn 称为级数的部分和（前 n 项之和）.
令 n 1, 2,3, ……，得到了由级数部分和所构成的序列（数列）：
然后以这正 12 边形边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形算出这
12个等腰三角形面积之和 a3 ，则 a1 a2 a3 就是正 24 边形的面积，……，这样依此类推，a1 、a1 a2 、a1 a2 a3 、……、a1 a2 a3 an 就越来越接近圆
的面积. 即 a1 a2 a3 an n 的极限就是所求圆面积 A . 这时，和式
15
一､常数项级数的概念
第八章无穷级数
例 3 证明级数
1+1+ 12 23
+
n
1 n
1
+
是收敛的.ຫໍສະໝຸດ 1 11证由于 un
nn 1
，因此 n n1
sn

人教版数学必修第二册第九章统计章末复习课件

✓ 占样本的比例是
16
50
＝0.32，
✓ 即获得二等奖的概率约为32%，
✓ 所以获得二等奖的学生约有800×32%＝256(名)．
总结提升
利用统计表、统计图分析估计总体的散布规律
• 要熟练掌握绘制统计图表的方法，
• 明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键，
• 从图形与图表中获取有关信息并加以整理，
座谈会．方法：a.简单随机抽样；b.分层随机抽样．则问题与方法配对
b，a
正确的顺序是________．
问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，
故可采用分层随机抽样方法；
问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．
故匹配正确的顺序是b，a.
总结提升
随机抽样方法有简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样两种．
出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
4. (全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随
所以中位数是
＝7.5；
2
甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
2
2
甲、乙的平均数相同，均为7，但甲
< 乙
，
说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．甲比乙稳定些．

高等数学下册第九章课件.ppt

f x, y A
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节多元函数
多元函数的极限
定义设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0