广西2020版高考数学一轮复习滚动测试卷四(第一_九章)文
广西高考数学一轮复习 滚动测试卷四(第一-九章) 文-人教版高三全册数学试题
滚动测试卷四(第一~九章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合M={x |(12)x≥1},N={x|y=lg(x+2)},则M ∩N 等于 ( )A.[0,+∞)B.(-2,0]C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)∪[0,+∞)M={x |(12)x≥1}={x |(12)x≥(12)0},所以M={x|x ≤0},N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},所以M ∩N={x|x ≤0}∩{x|x>-2}={x|-2<x ≤0}. 2.(2018湖北黄冈、黄石等八市联考)设复数√3-i 2 017在复平面内对应的点为A ,则过原点和点A 的直线的倾斜角为( ) A.π6B.-π6C.2π3D.5π6α,α∈[0,π),∵复数√3-i 2017=√3-i 在复平面内对应的点是A (√3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A ,∴直线的斜率k=√3-0=-√33,即tan α=-√33,∴α=5π6.故选D .3.将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,则所得的图象对应的函数解析式是( )A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin (2x +2π3) D.y=sin (2x -π6)f (x )=sin (2x +π6),∴将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,所得的图象对应的函数解析式是y=sin (2x -π6).4.已知函数y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,当x>0时,f (x )=ln x-x+1,则函数y=f (x )的大致图象是 ( )y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,所以函数f (x )是奇函数,排除C 项,D 项.当x=e 时,f (e)=1-e +1=2-e <0,排除B 项,A 项正确.5.已知向量a ,b 满足|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a+b )⊥b ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4a ,b 的夹角为θ,因为|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a +b )⊥b , 所以(a+b )·a =1+|b |cos θ=0, ① (2a+b )·b =2|b |cos θ+|b |2=0. ②由①②可得cos θ=-√22,θ=3π4,故选D .6.已知双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 220−x 25=1 B.x 25−x 220=1C.3x 225−3x 2100=1D.3x 2100−3x 225=1双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,∴{-xx =-12,x =-5,x 2+x 2=x 2,解得{x =2√5,x =√5.∴双曲线方程为x 220−x 25=1.7.如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,AB ⊥BD ,BC=3√3,BD=5,sin ∠ABC=2√35,则CD 的长为( )A.√14B.4C.2√5D.5,sin ∠ABC=2√35=sin (π2+∠xxx )=cos ∠CBD ,再根据余弦定理可得,CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos ∠CBD=27+25-2×3√3×5×2√35=16,可得CD=4.8.(2018全国Ⅰ,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在侧(左)视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.2,易知N为xx⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.CN=14在Rt△MCN中,MN=√xx2+xx2=2√5.9.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.8C.√17-1D.√15-1y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为E(0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,所以当P,Q,E,F四点共线时,点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=√42+1-1=√17-1.10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-11,a5+a9=-2,则当S n取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.6a1,公差为d,由a 2=-11,a 5+a 9=-2, 得{x 1+x =-11,x 1+6x =-1,解得{x 1=-13,x =2.∴a n =-15+2n.由a n =-15+2n ≤0,解得n ≤152.∴当S n 取最小值时,n=7.11.(2018全国Ⅱ,文12)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( ) A.-50 B.0C.2D.50f (-x )=f (2+x )=-f (x ),∴f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4.∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.∵f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0). ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (50)=f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.12.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14A (-a ,0),△PF 1F 2为等腰三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴,∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°.∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a ). ∴√3c=√36(2c+a ).∴e=x x =14.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用[x ]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lg x ]-2=0的实根个数是 .lg x=t ,则得t 2-2=[t ].作y=t 2-2与y=[t ]的图象,知t 2-2=[t ]有3个解, 分别是t=-1,t=2,还有一解在1<t<2内. 当1<t<2时,[t ]=1,所以t=√3.故得x=110,x=100,x=10√3,即共有3个实根.14.若实数x ,y 满足{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4,则xx的取值范围是 .[13,1]{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4对应的平面区域如图,设k=xx ,由图象可知,过原点的直线y=kx ,当直线y=kx 经过点A 时,直线的斜率k 最大, 当经过点B 时,直线的斜率k 最小, 由{x -2x =-2,x +x =4,解得A (2,2),此时k=22=1.由{x =1,x +x =4,解得B (3,1),此时k=13,故直线y=kx 的斜率k 的取值范围是[13,1], 即xx 的取值范围是[13,1].15.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2√6,则这个球的表面积为 .πP-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1所在的直线上,记为O ,设球半径为R ,则PO=AO=R ,PO 1=4,OO 1=R-4或OO 1=4-R.在Rt △AO 1O 中,R 2=8+(R-4)2,得R=3, 所以球的表面积为S=4πR 2=36π.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 .√2πO 为底面圆圆心,∵cos ∠ASB=78,∴sin ∠ASB=√1-(78)2=√158.∴S △ASB =12×|AS|·|BS|·√158=5√15. ∴SA 2=80.∴SA=4√5.∵SA 与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°, ∴SO=OA=√22SA=2√10.∴S 圆锥侧=πrl=4√5×2√10×π=40√2π.三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)(2018山东青岛三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos A+√33a=c. (1)求cos B ;(2)如图,D 为△ABC 外一点,在平面四边形ABCD 中,∠D=2∠B ,且AD=1,CD=3,BC=√6,求AB 的长.在△ABC 中,由正弦定理,得sin B cos A+√33sin A=sin C.又C=π-(A+B ),所以sin B cos A+√3sin A=sin(A+B),3即sin B cos A+√3sin A=sin A cos B+cos A sin B,3所以sin A cos B=√3sin A.3.又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B=√33.(2)∵∠D=2∠B,∴cos D=2cos2B-1=-13在△ACD中,AD=1,CD=3,)=12,则AC=2√3.由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos D=1+9-2×1×3×(-13,在△ABC中,BC=√6,AC=2√3,cos B=√33由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,,即12=AB2+6-2·AB×√6×√33化简得AB2-2√2AB-6=0,解得AB=3√2(负值舍去).故AB的长为3√2.18.AF=1,BE∥(12分)如图,已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,且AB=BE=12AF,AB⊥AF,∠CBA=π,BC=√2,P为DF的中点.4(1)求证:PE∥平面ABCD;(2)求三棱锥A-BCE的体积.AD的中点M,连接MP,MB,∵P 为DF 的中点,∴MP x 12AF.又BE x 12AF ,∴BE x MP.∴四边形BEPM 是平行四边形.∴PE ∥BM.又PE ⊄平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD ,∴PE ∥平面ABCD.ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC =1+(√2)2-2×1×√2×cos π4=1, ∴AC=1.∴AC 2+AB 2=BC 2. ∴AC ⊥AB.∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,∴AC ⊥平面ABEF. ∵S △ABE =12BE ·AB=12×1×1=12, ∴V A-BCE =V C-ABE =13S △ABE ·AC=13×12×1=16.19.(12分)(2018山东烟台高考诊断性测试)已知动圆C 与圆E :x 2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹Γ;(2)若从点P (m ,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A ,B ,求证:直线AB 恒过定点.,圆E 的圆心E (0,1),半径为12.设动圆圆心C (x ,y ),半径为r. 因为圆C 与直线y=-12相切,所以d=r ,即y+12=r.①因为圆C 与圆E 外切,所以|CE|=12+r ,即√x 2+(x -1)2=12+r.②联立①②,消去r ,可得x 2=4y.所以动圆圆心C 的轨迹Γ是以E (0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y=kx+b.联立{x 2=4x ,x =xx +x ,整理,得x 2-4kx-4b=0, 其中Δ=16(k 2+b )>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b.③由抛物线的方程可得,y=14x 2,∴y'=12x. ∴过点A (x 1,y 1)的抛物线的切线方程为y-y 1=12x 1(x-x 1),又y 1=14x 12,代入切线方程整理得,y=12x 1x-14x 12. ∵切线过P (m ,-4),代入整理得,x 12-2mx 1-16=0,同理可得x 22-2mx 2-16=0.∴x 1,x 2为关于x 的方程x 2-2mx-16=0的两个根,∴x 1+x 2=2m ,x 1x 2=-16.④由③④可得,x 1x 2=-4b=-16,x 1+x 2=4k=2m.∴b=4,k=x 2,直线AB 的方程为y=x2x+4.∴直线AB 恒过定点(0,4).20.(12分)已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式b n ={x ,x 为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),若S 3=b 5+1,b 4是a 2和a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .∵数列{b n }的通项公式b n ={x ,x 为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),∴b 5=6,b 4=4.设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q>0,∵S 3=b 5+1=7,∴a 1+a 1q+a 1q 2=7.① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项,∴x 42=a 2·a 4=x 32=16,解得a 3=a 1q 2=4,② 由①②得3q 2-4q-4=0,解得q=2或q=-23(舍去),∴a 1=1,∴a n =2n-1.(2)当n 为偶数时,T n =(1+1)·20+2·2+(3+1)·22+4·23+(5+1)·24+…+[(n-1)+1]·2n-2+n ·2n-1=(20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1)+(20+22+…+2n-2),设H n =20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1,①2H n =2+2·22+3·23+4·24+…+n ·2n,②①-②,得-H n =20+2+22+23+…+2n-1-n ·2n=1-2x1-2-n ·2n =(1-n )·2n -1,∴H n =(n-1)·2n +1,∴T n =(n-1)·2n +1+1-4x21-4=(x -23)·2n +23. 当n 为奇数,且n ≥3时,T n =x x -1+(n+1)·2n-1=(x -53)·2n-1+23+(n+1)·2n-1=(2x -23)·2n-1+23,经检验,T 1=2符合上式,∴T n ={(2x -23)·2x -1+23,x 为奇数,(x -23)·2x +23,x 为偶数.21.(12分)已知椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长QM 交C 于点B.①设直线PM ,QM 的斜率分别为k ,k',证明x 'x 为定值;②求直线AB 的斜率的最小值.c.由题意知2a=4,2c=2√2,所以a=2,b=√x 2-x 2=√2.所以椭圆C 的方程为x 24+x 22=1.(2)P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0).由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ).所以直线PM 的斜率k=2x -x x 0=x x 0, 直线QM 的斜率k'=-2x -x x 0=-3x x 0. 此时x 'x =-3.所以x 'x 为定值-3.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{x =xx +x ,x 24+x 22=1, 整理得(2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-4=0.由x 0x 1=2x 2-42x 2+1,可得x 1=2(x 2-2)(2x 2+1)x 0,所以y 1=kx 1+m=2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0+m ,同理x 2=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0,y 2=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m.所以x 2-x 1=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0−2(x 2-2)(2x 2+1)x 0=-32x 2(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,y 2-y 1=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m-2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0-m=-8x (6x 2+1)(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,所以k AB =x 2-x 1x 2-x 1=6x 2+14x =14(6x +1x ). 由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1x ≥2√6,等号当且仅当k=√66时取得. 此时√=√66,即m=√147,符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为√62.22.(12分)已知函数f (x )=x-1x -a ln x ,(1)若f (x )无极值点,求a 的取值范围; (2)设g (x )=x+1x -(ln x )2,当a 取(1)中的最大值时,求g (x )的最小值;(3)证明:∑x =x √2i (2i +1)>ln 2n +12n +1(n ∈N *).,可得f'(x )=x 2-xx +1x 2. ∵函数f (x )无极值点,∴方程x 2-ax+1=0在(0,+∞)内无根或有唯一根, ∴方程a=x+1x 在(0,+∞)内无根或有唯一根,又x+1x ≥2(当且仅当x=1时取等号), ∴(x +1x )min =2,∴a ≤2.故a 的取值范围是(-∞,2].a=2时,f (x )=x-1x -2ln x ,g (x )=x+1x -(ln x )2,由(1)知,f (x )在(0,+∞)内是增函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=x-1x -2ln x<f (1)=0,即x-1x <2ln x<0; 当x ∈(1,+∞)时,f (x )=x-1x -2ln x>f (1)=0, 即x-1x >2ln x>0; ∴当x>0时,|x -1x |≥|2ln x|=|ln x 2|,令x 2=t>0,∴|√x -√x |≥|ln t|, 两边平方,得t+1x -2≥(ln t )2,∴当t>0时,t+1x -2≥(ln t )2成立,当且仅当t=1时取等号,∴当x=1时,函数g (x )取最小值2.,当x>1时,x+1x -(ln x )2>2, ∴当x>1时,√x √x >ln x 成立, 令x=2x +12x ,得√2x +12x −√2x 2x +1>ln 2x +12x ,即√2x x +1)>ln 2x +12x , ∴不等式:∑x =x √2i (2i +1)>ln 21+121+…+ln 2n +12n >ln 21+221+1+…+ln 2n +22n +1=ln (2n ·20+121+1·…·2n -1+12n +1)=ln 2n +12n +1. 即∑i =n √2x x +1)>ln 2x +12x +1(n ∈N *).。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列四(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测四第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1,0)C ．[－1,0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1， 且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( ) A.12B.23C.56D.7126．已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，则tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8等于( ) A ．1B ．－1 C.33 D. 37．关于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称8．已知{a n }为等差数列，0<d <1，a 5≠k π2，sin 2a 3＋2sin a 5·cos a 5＝sin 2a 7，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥S 10对一切n ∈N *都成立，则首项a 1的取值范围是( )A ．[－98π，－π)B ．[－98π，－π]C ．(－54π，－98π]D ．[－54π，－98π]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f (32)＝____. 10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (0)的值是_____________．11．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积为________．12．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. 13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B 的值是________．14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.16．(13分)设f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．17.(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围．18．(13分)已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n ，其中n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)令b n ＝(2－n )(a n －1)，求数列{b n }的最大项．19.(14分)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．20．(14分)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．答案解析1.C [A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有2个交点，故选C.]2．C [∵(x －a )[x －(a ＋2)]≤0，∴a ≤x ≤a ＋2.∵0<x <1是a ≤x ≤a ＋2的充分不必要条件，因此则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤0.故选C.]3．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]4．A [由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，所以f (2x －1)<f (13)等价于f (|2x －1|)<f (13)．再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23.]5．C [∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD→＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC→ ＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝32.① ∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD→ ＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD→ ＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.]6．D [因为数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，所以a 1＋a 2 015＝a 1 003＋a 1 013＝π，b 7·b 8＝b 6·b 9＝2，所以tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8＝tan π3＝ 3.故选D.] 7．D [g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，与f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象关于原点对称，故选D.] 8．D [由sin 2a 3＋2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7，得1－cos 2a 32＋sin 2a 5＝1－cos 2a 72⇒2sin 2a 5＝cos 2a 3－cos 2a 7＝cos 2(a 5－2d )－cos 2(a 5＋2d )＝2sin 2a 5sin 4d .因为a 5≠k π2，所以sin 4d ＝1，所以4d ＝2k π＋π2⇒d ＝k π2＋π8，k ∈Z ，又因为0<d <1，所以d ＝π8.因为S n ≥S 10对一切n ∈N *都成立，所以⎩⎨⎧ a 10≤0a 11≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝a 1＋9π8≤0a 1＋10d ＝a 1＋10π8≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1≤－9π8a 1≥－5π4，即首项a 1的取值范围是[－54π，－98π]．故选D.]9．1 解析 ∵f (x )是周期为2的函数，∴f (32)＝f (－12＋2)＝f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1. 10.62解析 由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2.根据函数图象可得2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin(2x ＋π3)，∴f (0)＝2sin π3＝62. 11.34解析 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sinA ＝12×1×1×32＝34.12．－513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)，又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)，所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ，又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d 6＋4d＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513. 13．4解析 ∵b a ＋a b ＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝32c 2.∴tan C tan A ＋tan C tan B＝sin C cos C (cos A sin A ＋cos B sin B) ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c2 ＝2c 232c 2－c 2＝4. 14．(0，12)解析 作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.15．(1)解 由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明 由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32(1－13n )<32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 16．解 (1)f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1.因为－1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋ 3 ]．(2)因为y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数． 依题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立， 由ω>0知，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，ω>0，解得0<ω≤16，故ω的最大值为16. 17．解 (1)∵p ＝(2b －c ，cos C )，q ＝(2a,1)，且p ∥q ，∴2b －c ＝2a cos C ，由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)－2cos 2C1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)， ∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1，∴－1<2sin(2C －π4)≤ 2，即三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]． 18．(1)证明 ∵当n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.又∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝n ＋1－a n ＋1，∴a n ＋1＝1－a n ＋1＋a n ，即2a n ＋1＝1＋a n ，∴a n ＋1－1＝12(a n －1)，又a 1－1＝－12，∴数列{a n －1}是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －1＝(－12)×(12)n －1＝－(12)n ，∴b n ＝(2－n )(a n －1)＝n －22n ，∴b n ＋1－b n ＝n ＋1－22n ＋1－n －22n ＝n －1－2(n －2)2n ＋1＝3－n 2n ＋1. 当n <3时，b n ＋1－b n >0，即b 1<b 2<b 3；当n ＝3时，b 4＝b 3；当n >3时，b n ＋1－b n <0，即b 4>b 5>b 6>…，∴数列{b n }的最大项是b 4＝b 3＝18.19．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x ＝x －3x －4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：当g (x )在(3，＋∞)上单调递增g (3)＝－4 ln 3<0，取x ＝e 5>3， 又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．20．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎨⎧ x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)内无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)内的零点个数． (ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)内无零点，故f (x )在(0,1)单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)内有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)没有零点．(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a 3内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 3，1内单调递增，故在(0,1)内，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 3＝2a 3 －a 3＋14.①若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)内无零点； ②若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)内有唯一零点； ③若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)内有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)内有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。
高考数学一轮复习 第一章 单元测试卷
第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)答案 B解析∵x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．故选B.2．(2014·浙江理)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅B．{2}C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B. 3．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁N B)等于( )A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}答案 A解析即在A中把B中有的元素去掉．4．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案 A解析当x>0时，3x2>0成立；但当3x2>0时，得x2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0.5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)答案 D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析 应用命题否定的公式即可．7．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 C解析 c ＝0时，原命题为假，逆命题为真，根据命题间的关系应选C. 8．已知∁Z A ＝{x ∈Z |x ＜6}，∁Z B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝B D ．∁Z A ∁Z B 答案 A9.设全集为R ，集合M ＝{y |y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12}，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )答案 C解析 ∵－12≤x ≤12，y ＝2x ＋1，∴0≤y ≤2，∴M ＝{y |0≤y ≤2}．∵x 2＋3x >0，∴x >0或x <－3，∴N＝{x |x >0或x <－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁R M )∩N ，又∁R M ＝{x |x <0或x >2}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－3或x >2}，故选C.10．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6) D ．(－6，－2)答案 A解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6.11．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5答案 C解析 命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是实数a 的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，a,5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 有且只有一个元素，则实数a 的值为________． 答案 0或－2解析 若a ＝2，则a 2＋1＝5，A ∩B ＝{2,5}，不合题意舍去． 若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}．若a 2＋1＝5，则a ＝±2.而a ＝－2时，A ∩B ＝{5}． 若a 2＋1＝a ，则a 2－a ＋1＝0无解． ∴a ＝0或a ＝－2.14．已知命题p ：α＝β是tan α＝tan β的充要条件． 命题q ：∅⊆A .下列命题中为真命题的有________． ①p 或q ；②p 且q ；③綈p ；④綈q . 答案 ①③15．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.答案 0解析 由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1.又A ∩B ＝(－1，n )，则(x －m )(x －2)<0时必有m <x <2，从而A ∩B ＝(－1,1)，∴m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0.16．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．答案 1解析 ∵“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题， ∴“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m >0”是真命题． ∴Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的值． 答案 a ＝2或a ＝3解析 A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当B ＝∅时，无解；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝a ，1×1＝a －1，得a ＝2；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a ，2×2＝a －1，无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝a －1，得a ＝3.综上：a ＝2或a ＝3. 18．(本小题满分12分)π为圆周率，a ，b ，c ，d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d . (1)写出p 的否定并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？并证明你的结论． 答案 (1)p 的否定是假命题 (2)都是真命题 (3)充要条件，证明略解析 (1)原命题p 的否定是：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．假命题． (2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题． 否命题：若“a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．真命题． 逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”真命题． (3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 证明如下：充分性：若a ＝c ，则a π＝c π. ∵b ＝d ，∴a π＋b ＝c π＋d .必要性：∵a π＋b ＝c π＋d ，∴a π－c π＝d －b . 即(a －c )π＝d －b .∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0且d －b ＝0. 即a ＝c 且b ＝d .∴“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 19．(本小题满分12分)设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ，不等式x 2－2x －3≤0的解集为N . (1)当a ＝1时，求集合M ； (2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x |0<x <2} (2)[－2,2]解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以M ＝{x |0<x <2}．(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}．①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}． 因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立． ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}． 因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是[－2,2]． 20．(本小题满分12分)已知p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．答案 (52，3]∪[72，＋∞)解析 p 真，则指数函数f (x )＝(2a －6)x的底数2a －6满足0<2a －6<1，所以3<a <72.q 真，令g (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，易知其为开口向上的二次函数．因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以①Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)＝a 2－4>0，a <－2或a >2；②对称轴x ＝－－3a 2＝3a2>3；③g (3)>0，即32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，所以(a －2)(2a －5)>0.所以a <2或a >52.由⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >2，3a 2>3，a <2或a >52，得a >52.p 真q 假，由3<a <72及a ≤52，得a ∈∅.p 假q 真，由a ≤3或a ≥72及a >52，得52<a ≤3或a ≥72.综上所述，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．21．(本小题满分12分)我们知道，如果集合A ⊆S ，那么把S 看成全集时，S 的子集A 的补集为∁S A ＝{x |x ∈S ，且x ∉A }．类似的，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A ，且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集，记作A －B .据此回答下列问题：(1)若A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，求A －B ； (2)在下列各图中用阴影表示出集合A －B ；(3)若集合A ＝{x |0<ax －1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}，有A －B ＝∅，求实数a 的取值范围．答案 (1){1,2} (2)略 (3){a |a <－12或a ≥3或a ＝0} 解析 (1)根据题意知A －B ＝{1,2}．(2)(3)∵A －B ＝∅，∴A ⊆B .A ＝{x |0<ax －1≤5}，则1<ax ≤6.当a ＝0时，A ＝∅，此时A －B ＝∅，符合题意；当a >0时，A ＝(1a ，6a ]，若A －B ＝∅，则6a≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝[6a ，1a )，若A －B ＝∅，则6a >－12，即a <－12.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－12或a ≥3或a ＝0}． 22．(本小题满分12分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求实数m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求实数m 的取值范围． 答案 (1)m 不存在 (2)m ≤3 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}，S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴m 不存在．(2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件， ∴S ⊆P .若S ＝∅，即m ＜0时，满足条件．若S ≠∅，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥1－m ，1－m ≥－2，m ＋1≤10，解之得0≤m ≤3.综上得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．1．(2015·广东广州测试)已知集合A ＝{x |x ∈Z 且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 ∵32－x ∈Z ，x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．设集合M 是R 的子集，如果点x 0∈R 满足：∀a >0，∃x ∈M,0<|x －x 0|<a ，称x 0为集合M 的聚点．则下列集合中以1为聚点的有( )①{nn ＋1|n ∈N }；②{2n|n ∈N *}；③Z ；④{y |y ＝2x}． A ．①④ B ．②③ C ．①② D ．①②④答案 A 解析 ①集合中{n n ＋1|n ∈N }中的元素是极限为1的数列，1是集合{nn ＋1|n ∈N }的聚点；②集合{2n |n ∈N *}中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x －1|≤1，对于a ＝13，不存在0<|x －1|<13，所以1不是集合{2n|n ∈N *}的聚点； ③对于某个a <1，比如a ＝0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有x －1＝0或者x －1≥1，也就是说不可能0<|x －1|<0.5，从而1不是整数集Z 的聚点；④该集合为正实数集，从而1是集合{y |y ＝2x}的聚点．3．对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[－2.1]＝－3.定义在R 上的函数f (x )＝[2x ]＋[4x ]＋[8x ]，若A ＝{y |y ＝f (x )，0<x <1}，则A 中元素的最大值与最小值之和为( )A ．11B ．12C ．14D ．15答案 A解析 当0<x <18时，[2x ]＝0，[4x ]＝0，[8x ]＝0；当78≤x <1时，[2x ]＝1，[4x ]＝3，[8x ]＝7； ∴A 中元素的最大值与最小值之和为7＋3＋1＝11，选A.4．(2015·朝阳期中)同时满足以下4个条件的集合记作A k ：①所有元素都是正整数；②最小元素为1；③最大元素为2 014；④各个元素可以从小到大排成一个公差为k (k ∈N *)的等差数列．那么集合A 33∪A 61中元素的个数是( )A ．96B ．94C ．92D ．90答案 B解析 A 33中元素是首项为1，公差为33的等差数列，那么设项数为m ，则有1＋33(m －1)＝2 014，解得m ＝62；A 61中元素是首项为1，公差为61的等差数列，那么设项数为n ，则有1＋61(n －1)＝2 014，解得n ＝34；A 33∩A 61中元素是首项为1，公差为33×61的等差数列，那么设项数为q ，则有1＋33×61(q －1)＝2 014，解得q ＝2.所以设P 表示元素个数，则有：P (A 33∪A 61)＝P (A 33)＋P (A 61)－P (A 33∩A 61)＝34＋62－2＝94.5．(2015·顺义第一次统练)设非空集合M 同时满足下列两个条件： ①M ⊆{1,2,3，…，n －1}；②若a ∈M ，则n －a ∈M (n ≥2，n ∈N *)． 则下列结论正确的是( )A ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n 2个B ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n2－1个C ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n －12个 D ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n ＋12个答案 B解析 当n ＝2时，M ⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝3时，M ⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝4时，M ⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M .故集合M 的个数为3，故可排除A ，C ，D ，选B.6．(2015·湖北天门调研)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||2x 1－3i|<1，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]答案 C解析 M ＝{y |y ＝|cos2x |，x ∈R }＝[0,1]，N ＝{x ||1＋3i2x |<1}＝{x ||x |<1}＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)，故选C.。
2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)
专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。
2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导
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技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函 角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不 的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存 充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
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考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
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C方法帮•素养大提升
方法 分类讨论思想在三角函数 应用
方法 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
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素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想 种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三 理的应用.
C方法帮•素养大提升 方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
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考情精解读
命题规律 聚焦核心素养
命题规律 考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基 本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第四章 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用1.y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径概念方法微思考1.怎样从y ＝sin ωx 的图像变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图像？ 提示 向左平移φω个单位长度.2.函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的对称轴是什么？ 提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z ).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图像.( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图像对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二 教材改编2.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像向 平移 个单位长度. 答案 右 π63.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为 . 答案 2，14π，－π34.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 .答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]. 题组三 易错自纠5.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度. 6.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 . 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 7.y ＝cos(x ＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 . 答案π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 .答案3解析 由题干图像可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图像(要列表).解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 列表如下：描点、连线得图像：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图像向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值.解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标.(2)由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y ＝cos ωx 的图像重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32 C.23 D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数g (x )＝cos ωx 的图像向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为( ) A.1 B.12 C.π6 D.π2答案 A解析 由题意得sin ⎝⎛⎭⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图像向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图像，故选A. 题型二 由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则y ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z 解析 根据题干所给图像，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图像经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值. 思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数f (x )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案 D解析 依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＋32＝332， 故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 将函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图像，又函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z ).令k ＝2，则m ＝7π12.题型三 三角函数图像、性质的综合应用命题点1 图像与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝⎛⎭⎫14T ，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫12T ，－4， 则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3， 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 . 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根. ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1). 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 . 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1). 命题点3 三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为 元. 答案 6 000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N ＋).∴f (7)＝2 000×sin7π6＋7 000＝6 000(元). 故7月份的出厂价格为6 000元.思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为 . 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22， 可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1， ∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ， ∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z ).又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， ∴π6<T 4≤π2－π6， ∴2π3<T ≤4π3， ∴2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )， ∴－112≤k <16，又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图像与性质的综合问题例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，[10分] ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.1.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像，可以将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像.2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3.(2019·合肥模拟)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图像向右平移π3个单位长度后对应函数的递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 的图像，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4 (k ∈Z ). 4.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.[－1＋4k π，1＋4k π](k ∈Z )B.[－3＋8k π，1＋8k π](k ∈Z )C.[－1＋4k ，1＋4k ](k ∈Z )D.[－3＋8k ，1＋8k ](k ∈Z ) 答案 D解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z ).5.将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图像沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图像关于y 轴对称， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，又a >0，所以a ＝k π＋π3，k ∈N .因此正数a 的最小值是π3，故选B.6.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图像，该图像关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32. 7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝ .答案3解析 由题干图像知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， 所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又函数图像过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝ 3. 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝ .答案32解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3 ＝sin 2π3＝32.9.(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图像如图所示.由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 10.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 . 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数图像关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值， 所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 11.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心. (1)求ω的值，并求出函数f (x )的递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图像. 解 (1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ). (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：作出函数部分图像如图所示：12.(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 . 答案5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)， 若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14.(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 .答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1， 得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z ). 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3， 得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图像关于直线x ＝13对称.该函数的部分图像如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 .答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ). 又f (x )的图像关于直线x ＝13对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝34.16.已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为 . 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1， 即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图像关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－32－12＝－2. 令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。
【10份】2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习高考大题专项练滚动测试卷
当 < α<1 时 ,A=
≥ 1,
所以 |f' (x)|≤1+ α< 2A.
当 α≥ 1 时,|f' (x)|≤ 3α-1≤ 6α-4= 2A. 所以 |f' (x)|≤2A. 4.已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x)≥ 0. (1) 求 a; (2) 证明 :f(x) 存在唯一的极大值点 x0,且 e-2<f (x0 )< 2- 2. (1) 解 f( x)的定义域为 (0,+∞). 设 g(x)=ax-a- ln x,则 f(x)=xg (x), f(x)≥ 0 等价于 g( x)≥0.
3.设函数 f(x)= αcos 2x+ (α-1)(cos x+ 1),其中 α> 0,记 |f(x)|的最大值为 A. (1) 求 f'(x); (2) 求 A; (3) 证明 |f' (x)|≤ 2A. (1) 解 f' (x)=- 2αsin 2 x-(α- 1)sin x. (2) 解 (分类讨论 )当 α≥1 时 ,
内有唯一零点 x0,在
且当 x∈ (0,x0)时 ,h(x)> 0;当 x∈ (x0,1) 时 ,h(x)< 0;当 x∈ (1,+ ∞)时 ,h(x)> 0. 因为 f'(x)=h ( x),所以 x=x 0 是 f (x)的唯一极大值点 . 由 f' (x0)= 0 得 ln x0= 2(x0-1), 故 f( x0)=x 0(1-x0).
|f(x)|=| αcos 2x+ (α-1)(cos x+ 1)| ≤ α+ 2(α-1) = 3α-2=f (0) . 因此 A= 3α-2. 当 0<α< 1 时 ,将 f(x)变形为 f(x)= 2αcos2x+ (α-1)cos x- 1. (构造函数 ) 令 g(t) =2αt2+ ( α-1)t- 1,则 A 是 |g(t)|在 [- 1,1] 上的最大值 ,
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第九章第3讲几何概型 Word版含答案
第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。
2021版高考数学一轮复习 滚动评估检测(四)(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题
滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
2020高考数学一轮复习第九章解析几何9-2两直线的位置关系学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何9-2两直线的位置关系学案理考纲展示►1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．考点1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________；②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________；②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．答案：(1)①k1＝k2 ②平行(2)①k1k2＝－1 ②垂直2．两条直线的交点答案：唯一解无解无穷多解(1)[教材习题改编]若直线l过点(－1,2)，且与直线y＝x垂直，则直线l的方程是________．答案：x＋y－1＝0解析：由条件知，直线l的斜率k＝－1，则其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)[教材习题改编]过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________. 答案：2解析：依题意有＝1，即b －a ＝1，则|AB|＝＝.两直线位置关系的重点：平行和垂直．(1)若直线l1：2x ＋my ＋1＝0与直线l2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.答案：－23解析：若l1∥l2，则需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧－2m＝3，1m ≠1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，m≠1，所以m 的值是－.(2)[2016·辽宁锦州模拟]若直线l1：kx ＋(1－k)y －3＝0和l2：(k －1)x ＋(2k＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.答案：－3或1解析：由k(k －1)＋(1－k)(2k ＋3)＝0，得k ＝1或k ＝－3.[典题1] (1)[2017·重庆巴蜀中学模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－C ．－D ．－2[答案] D[解析] 由a·1＋2·1＝0，得a ＝－2，故选D.(2)[2017·浙江金华十校模拟]“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B [解析] 由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．(3)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )B．x－2y＋1＝0A．x－2y－1＝0D．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0[答案] A [解析] 依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.(4)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．[答案] 4x＋3y－6＝0[解析] 解法一：由方程组得即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线l的斜率k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.[点石成金] 1.由一般式确定两直线位置关系的方法建议多用比例式来解答．2．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.考点2 距离公式的应用三种距离两平行直线3x－4y－1＝0与6x－8y＋18＝0间的距离是________．答案：2解析：两平行直线的方程分别是3x－4y－1＝0和3x－4y＋9＝0，由两平行线间的距离公式得，所求距离d＝＝2.两平行直线l1，l2分别过点A(1,0)，B(0,5)，若l1与l2间的距离为5，则l1与l2的方程分别为________．答案：y＝0与y＝5或5x－12y－5＝0与5x－12y＋60＝0解析：依题意，两条直线的斜率必存在．设所求直线方程为l1：y＝k(x－1)，l2：y＝kx＋5.∵两条平行直线间的距离为5，∴＝5，解得k＝0或k＝，∴所求直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.[典题2] 直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解] 当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在，设为k，∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.∴点A(3，－2)到直线l的距离d1＝＝，点B(－1,6)到直线l的距离d2＝＝.∵d1∶d2＝1∶2，∴＝，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.[点石成金] 利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.1.[2017·四川绵阳一诊]若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.295答案：C解析：因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．答案：x＋3y－5＝0或x＝－1解析：解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则它的方程为y －2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知，＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．综上知，所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.考点3 对称问题[考情聚焦] 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．主要有以下几个命题角度：角度一点关于点的中心对称问题[典题3] 过点P(0,1)作直线l ，使它被直线l1：2x ＋y －8＝0和l2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．[答案] x ＋4y －4＝0[解析] 设l1与l 的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l2上，代入l2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.角度二点关于直线的对称问题[典题4] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A′的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 [解析] 设A′(x，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A′. 角度三直线关于直线的对称问题[典题5] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程．[解] 在直线m 上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式，得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度四对称问题的应用[典题6] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．[答案]43[解析] 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC 的重心D ，设AP ＝x ，则P(x,0)，x∈(0,4)，由光的反射定理知，点P 关于直线BC ，AC 的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)，与△ABC 的重心D 共线，所以＝，解得x ＝，AP ＝.[点石成金] 1.点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.2．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．3．若直线l1，l2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l1上，则其关于直线l 的对称点B′在直线l2上． 4．解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.[方法技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.3．直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0(A ＋B≠0)，l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0(A ＋B≠0)，则：(1)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； (2)l1∥l2⇔＝≠(A2B2C2≠0)； (3)l1与l2相交⇔≠(A2B2≠0)； (4)l1与l2重合⇔＝＝(A2B2C2≠0)．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [易错防范] 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． 2．运用两平行直线间的距离公式d ＝的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为对应相等．真题演练集训1．[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P ，且l1，l2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案：A解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)，由于l1⊥l2，所以×＝－1，则x1＝.又切线l1：y －ln x1＝(x －x1)，l2：y ＋ln x2＝－(x －x2)，于是A(0，ln x1－1)，B(0,1＋ln x1)，所以|AB|＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x1＝1x1－，y ＋ln x2＝－1x2－，解得xP ＝.所以S△PAB＝×2×xP＝， 因为x1>1，所以x1＋>2，所以S△PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y ＝ax ＋b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (0,1)B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 答案：B解析：如图①所示，点F 在线段AB 上时，可求得E ，则S△EF B ＝·＝S△ABC＝，整理得a ＝，由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－b a <0，a ＝b21－2b >0， 可解得≤b<；①②如图②所示，当点F 在点A 左侧时，可求得E ，G ，则S 四边形ABEG ＝S△BEF－S△AFG＝·－·＝S△ABC＝，整理可得a2＝－2b2＋4b －1，由⎩⎪⎨⎪⎧－b a<－1，a2＝－2b2＋4b －1>0， 可解得1－<b<或1<b<1＋(舍去)．综上可得，b 的取值范围为，故选B.3．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋(a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案：－3解析：由曲线y ＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a ＋.①又y′＝2ax －，所以在点P 处的切线斜率4a －＝－.②由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．[2014·四川卷]设m∈R，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．答案：5解析：∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0,0)，B(1,3)．当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB为直角三角形，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．课外拓展阅读直线过定点及直线的距离最值问题专题一直线过定点问题直线l的方程中除去x，y还有其他字母(称为参数)，若直线l过一个定点P，求定点P的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P的坐标．[典例1] 已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程．[思路分析] 由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程．[解] 因为点P(2,3)在已知直线上，所以2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，所以2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－，所以所求直线方程为y－b1＝－(x－a1)．所以2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.[典例2] 点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．[思路分析][解析] 解法一：点P(2,1)到直线mx －y －3＝0(m∈R)的距离d ＝＝，则设f(m)＝d2＝＝4×m2－4m ＋4m2＋1＝4，下面求(m∈R)的最大值．设3－4m ＝t ，则m ＝.当m<时，t>0，则＝＝＝16t ＋25t－6 ≤＝4，当且仅当t ＝，即t ＝5时等号成立；当m ＝时，＝0；当m>时，t<0，则0>＝t⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 42＋1 ＝＝≥＝－1，当且仅当t ＝，即t ＝－5时等号成立．综上可得，(m∈R)的最大值为4，所以点P(2,1)到直线mx －y －3＝0(m∈R)的最大距离是＝2.解法二：对于直线l ：mx －y －3＝0(m∈R)，令m ＝0，则有－y －3＝0；令m ＝1，则有x －y －3＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3， 则直线l 经过定点Q(0，－3)，如图所示．由原题答图知，当PQ⊥l 时，点P(2,1)到直线l 的距离取得最大值，此时|PQ|＝＝2，所以点P(2,1)到直线l 的最大距离是2.[答案] 25方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．专题二 有关直线的距离最值问题[典例3] 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB|－|PA||最大．[思路分析][解] (1)设A 关于直线l 的对称点A′(m，n)，则解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8， 故A′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B ，P ，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，则点P 就是直线A′B 与直线l 的交点，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，则点P 就是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．[典例4] 已知点A(3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．[思路分析][解] 由点A(3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点为点B(1,3)，同样可求得点A 关于y ＝0的对称点为点C(3，－1)，如图所示．则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC|＝2.由B(1,3)，C(3，－1)可得，直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53， 故点M 的坐标为.对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝，故点N 的坐标为.故在直线y ＝x 上找一点M ，在y ＝0上找一点N ，可使△AMN 的周长最短，最短周长为2.领悟整合在直线l 上找一点P 到两定点A ，B 的距离之和最小，则点P 必在线段AB′上，故将l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P 到两定点A ，B 的距离之差最大，则点P 必在AB′的延长线或BA′的延长线上，故将l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，B′为点A ，B 关于l 的对称点)．。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1， 所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析 由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析 因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2； 当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意． 所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。
高考数学一轮复习 滚动测试卷1-人教版高三全册数学试题
滚动测试卷一(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017某某某某一模)若P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值X围是()A.(0,4]B.C.D.7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.(2017某某某某一模)已知函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)的图象大致为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.(2017某某某某一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=,则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值X围是()A.(-∞,-1]∪B.(0,1)C.D.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.(2017某某,11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值X围是.15.已知函数f(x)=的值域是[0,2],则实数a的取值X围是.16.已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值X围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值X围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值X围.18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.19.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B 在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?20.(12分)(2017某某某某一模)已知函数f(x)=(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,某某数a的取值X围.21.(12分)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在上有解,某某数m的取值X围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.B解析由P={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|-2<x<2},可得∁R P={x|x≥4},∁R Q={x|x≤-2或x≥2},结合选项可知只有Q⊆P成立,故选B.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则=3α,故α=,即y=.故选B.4.D解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.C解析y=x2-3x-4=.当x=0或x=3时,y=-4,故≤m≤3.7.B解析∵f=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)=e x-e-x,因为y=e x是增函数,y=-是增函数,所以导函数是增函数.故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.A解析∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,作出其图象如图.∵f(x)+2a=0没有负实根,∴-2a≤1或-2a≥2,解得a≥-或a≤-1.故选A.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=+sinπx=1++sinπx.记g(x)=+sinπx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=+sinπ(2-x)=-sinπx=-=-g(x),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=,所以切线斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增.因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值X围是.15.[1,]解析先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0的图象,再研究f(x)=x3-3x+2,0≤x≤a的图象.由f(x)=x3-3x+2(0≤x≤a)可知f'(x)=3x2-3=0,得x=1(x=-1舍去).由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1.故当x=1时,f(x)在x∈[0,a]上有最小值f(1)=0,又f()=2.所以1≤a≤.16.解析∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.17.解(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值X围为(1,2]∪{3,4}.(3)当0<x1<x2时,+a>+a,log2>log2,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,当t=时,y有最小值a-, 由a-≥0,得a≥.故a的取值X围为.18.(1)证明因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)解当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)解f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0.19.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=cm.设圆柱的底面半径为r cm,则=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.由V'==0,得x=10,可知V=在(0,10)内是增函数,在(10,30)内是减函数.所以当x=10时,V有最大值.20.解(1)f'(x)=,当Δ=4+8a≤0,即a≤-时,x2-2x-2a≥0,f'(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a>-时,令x2-2x-2a=0,解得x1=1-,x2=1+.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).(2)∵f(x)>-1⇔>-1⇔2a>x2-e x,∴由条件知,2a>x2-e x对∀x≥1成立.令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,∴h'(x)=2-e x.当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-e x在[1,+∞)上单调递减,∴h(x)=2x-e x≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-e x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)=x2-e x≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,∴a>,即实数a的取值X围是.21.解(1)当a=0时,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0.当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下:x(-∞,-1) (-1,0) 0 (0,+∞)f'(x) --0 +f(x) 单调递减单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g(x)=-1.因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g'(x)=,令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x变化时,g(x)和g'(x)的变化情况如下:x(-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) +0 -0 +g(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.因为函数g(x)在(-∞,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.因为函数g(x)在(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.因为函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).22.(1)解由f'(x)=-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=-2x=.∵x∈,∴当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m≤-1,即m的取值X围为(-∞,-1). (2)证明∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),∴方程2ln x-x2+ax=0的两个根为x1,x2,∴∴a=(x1+x2)-.又f'(x)=-2x+a,∴f'-(x1+x2)+a=.下证<0,即证+ln<0.设t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1.即证μ(t)=+ln t<0在t∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t)=,又0<t<1,∴μ'(t)>0,∴μ(t)在(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0, 从而知+ln<0,故<0,即f'<0成立.。
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第一章 第四节 函数的单调性与最值 Word版含解析
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·江西上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83C ．－2D ．2解析：选A.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减，可知f (x )的最大值为f (－2)＝2－12＝32.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0) C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.作出函数图象如图所示：结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．3．(2018·陕西汉中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x ＜1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4．(2018·厦门调研)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D.由x 2－4＞0，得x ＞2或x ＜－2，故f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，则f (x )＝log 12t (t ＞0)．∵t ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，且f (x )＝log 12t 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是增函数，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．(2018·深圳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象，如图，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.6．(2018·苏州模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C.由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．7．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：解法一：选A.易知y ＝ln(1＋|x |)，y ＝－11＋x 2是偶函数，所以f (x )是偶函数．当x ＞0时，y ＝ln(1＋|x |)单调递增，y ＝－11＋x2单调递增，所以f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2在x ∈(0，＋∞)上单调递增．求使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围等价于解绝对值不等式|x |＞|2x －1|，即x 2＞(2x －1)2，化简为(3x －1)(x －1)＜0，解得13＜x ＜1.因此选A.解法二：(特殊值法)当x ＝0时，f (x )＝－1，f (2x －1)＝f (－1)＝ln 2－12，－1＜ln 2－12，排除选项B 和C. 当x ＝1时，f (x )＝f (2x －1)，排除选项D.因此选A.8．(2018·太原模拟)已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)9．(2018·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：310．(2018·张家口检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0，1)． 答案：[0，1)B 级 能力提升练11．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析：选B.因为函数y ＝log 2x 与函数y ＝11－x ＝－1x －1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.12．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析：解法一：选C.f (x )的定义域为(0，2)．由于f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln(2x －x 2)，从而对f (x )的研究可转化为对二次函数g (x )＝2x －x 2(x ∈(0，2))的研究．因为g (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x ＝1是y ＝g (x )的图象的对称轴．从而排除A ，B ，D ，故选C.解法二：由于f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ，即f (x )＝f (2－x )，故可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故选C.14．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.15．(2018·唐山模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x ＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③C 级 素养加强练16．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，（x ≤0）2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的所有序号是________．解析：根据题意可画出函数图象，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．答案：①③④。
(全国通用)2020届高考数学一轮复习方案 滚动基础训练卷 文(含解析) 新人教A版
45分钟滚动基础训练卷(一)(考查范围：第1讲～第3讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·惠州调研] 集合M ＝{4，5，－3m }，N ＝{－9，3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－12．[2013·哈尔滨三中月考] 已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b ，1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{0，1，3}B ．{1，2，4}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2，3，4}3．[2012·开封二模] 下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1 C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0 D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．[2012·东北四校一模] 集合⎩⎨⎧x ∈N *⎪⎪⎪⎭⎬⎫12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．125．[2012·银川一中一模] 有下列命题：①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件； ②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：“若b ∈M ，则a ∉M ”； ③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”． 则上述命题中为真命题的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．②④ D ．②③④6．[2012·河北名校俱乐部模拟] “k ＝1”是“函数y ＝sin 2kx －cos 2kx ＋1的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2012·鹰潭一模] 关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <08．[2012·豫南九校四联] 在下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的逆否命题是“若x ≠2或x ≠－2，则x 2≠4” B ．若命题p ：所有幂函数的图象不过第四象限，命题q ：所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q 为真C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋3>0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3<0D ．若a >b ，则a n >b n (n ∈N *)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________．10．设全集U ＝R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |x 2＋3≤4x }，则图中阴影部分所表示的集合是________．11．[2012·泉州四校二联] 下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分不必要条件的有________个．①若x ∈E 或x ∈F ，则x ∈E ∪F ；②若关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ，则a >0； ③若2x 是有理数，则x 是无理数．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·荆州中学月考] 已知集合A ＝x ∈R ⎪⎪⎪3x ＋1≥1，集合B ＝{x ∈R |y ＝－x 2＋x －m ＋m 2}．若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．13．命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．14．已知集合A ＝{x ∈R |log 2(6x ＋12)≥log 2(x 2＋3x ＋2)}，B ＝{x |2x 2－3<4x，x ∈R }．求A ∩(∁R B )．45分钟滚动基础训练卷(二)(考查范围：第4讲～第7讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·吉林质检] 下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝1xC ．y ＝sinxD ．y ＝x 2－x2．函数y ＝x ＋1－x －1的最大值为( ) A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．43．[2012·吉林一中二模] 已知定义在R 上的函数f (x )关于直线x ＝1对称，若f (x )＝x (1－x )(x ≥1)，则f (－2)＝( )A ．0B ．－2C ．－6D ．－124．[2012·银川一中月考] 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)5．函数y ＝2x －5x －3的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52<x ≤72B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52≤x ≤72C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤52或x ≥72D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫52≤x <3或3<x ≤726．[2012·昆明二模] 已知函数f (x )＝x 2－|x |，则{x |f (x －1)>0}等于( ) A ．{x |x >1或x <－1} B ．{x |x >0或x <－2} C ．{x |x >2或x <0} D ．{x |x >2或x <－2}7．[2012·武昌调研] 函数y ＝f (x 所示，给出以下说法：①函数y ＝f (x )的定义域是[－1，5]；②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2，4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数；④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④8．[2012·信阳二调] 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·哈尔滨三中月考] 函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．10．已知函数f (x )为R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＝1x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212，c ＝f (32)，则a ，b ，c 的大小关系为________．11．[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式．13．[2013·珠海模拟] 对于函数f (x )＝a －2b x ＋1(a ∈R ，b >0且b ≠1)．(1)判断函数f (x )的单调性并证明；(2)是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？并说明理由．14．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)2．log 318＋log 132＝( )A ．1B ．2C ．4D ．53．[2012·天津卷] 已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．[2012·正定中学月考] 函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )5．某商店按每件80元的成本购进某种商品，根据市场预测，销售价为每件100元时可售出1 000件，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元6．有以下程序，若函数g(x)＝f(x)－m 在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是( )if x<＝－1 f(x)＝x ＋2 elseif x>－1 and x<＝1f(x)＝x ∧2else f(x)＝－x ＋2 end endprint (%io(2)，f(x)) A ．m >1 B ．0<m <1C ．m <0或m ＝1D ．m <07．[2012·哈尔滨师大附中期中] 函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)8．[2012·山东卷] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·江苏卷] 函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．10．[2012·银川一中月考] 函数f (x )在R 上是奇函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝2x (x －1)，则f (x )＝__________________．11．已知函数f (x )＝4cos πx（4x 2＋4x ＋5）（4x 2－4x ＋5），对于下列命题：①函数f (x )不是周期函数；②函数f (x )是偶函数；③对任意x ∈R ，f (x )满足|f (x )|<14.其中真命题是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．13．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．14．[2012·上海闵行区三模] 某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m 的药剂后，经过x h 该药剂在动物体内释放的浓度y (mg/L)满足函数y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋2x ＋5（0<x ≤4），－x －lg x ＋10（x >4）.当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4(mg/L)时，称为该药剂达到有效．(1)若m ＝2，试问该药达到有效时，一共可持续多长时间(取整数小时)?(2)为了使在8 h 之内(从投放药剂算起包括8 h)达到有效，求应该投放的药剂量m 的最小值(取整数)．45分钟滚动基础训练卷(四)(考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝ax 2＋c ，且f′(1)＝2，则a 的值为( ) A. 2 B ．1 C ．－1 D ．02．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋23．[2012·哈尔滨附中月考] 若函数f(x)的定义域为[a ，b]，且b>－a>0，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为( )A ．[a ，b]B ．[－b ，－a]C ．[－b ，b]D ．[a ，－a]4．[2012·银川一中月考] 过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝05．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)6．[2012·乌鲁木齐押题卷] 设f(x)为可导函数，且满足 f （1）－f （1－2x ）2x＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．设f(x)＝x(ax 2＋bx ＋c)(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b)B ．(a ，c)C ．(b ，c)D ．(a ＋b ，c)8．[2012·山西四校联考] 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，则log 2 012x 1＋log 2 012x 2＋…＋log 2 012x 2011的值为( )A ．－log 2 0122 011B ．－1C ．－1＋log 2 0122 011D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·福州质检] 函数f (x )＝x 3＋ax (x ∈R )在x ＝1处有极值，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程是________．10．[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·双鸭山一中期中] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50＜x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105（x －40）2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？13．已知函数f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)设a >0，讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝－1，证明：对∀x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2.14．已知函数f (x )＝e x＋1x －a.(1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)当a >1时，判断方程f (x )＝0实根的个数．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第16讲～第19讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos －20π3的值等于( )A.12B.32 C ．－12 D ．－322．[2012·昆明一中一模] 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 3．[2012·济南三模] 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin2x ＋1.其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π4个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是( )A ．y ＝2sin2x －2B ．y ＝2cos2x －2C ．y ＝2cos2x ＋2D ．y ＝2sin2x ＋25．[2012·吉林模拟] 为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋12cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π12个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移π6个长度单位6．函数f (x )＝|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为( )A.34B ．1C ．2 D.127．[2012·商丘三模] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的最小正周期为4π，则对该函数的图象与性质判断错误的是( )A ．关于点－π3，0对称B ．在0，2π3上递增C ．关于直线x ＝5π3对称D ．在－4π3，0上递增8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图G5－1，则( )A ．f (x )＝－4sin π8x ＋π4B ．f (x )＝4sin π8x －π4C ．f (x )＝－4sin π8x －π4D ．f (x )＝4sin π8x ＋π4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·沈阳二模] 已知tan α＝2，则sin （π＋α）－sin π2＋αcos 3π2＋α＋cos （π－α）的值为________．10．若g (x )＝2sin2x ＋π6＋a 在0，π3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________．11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的部分图象如图G5－2所示，则当t ＝150s 时，电流强度是________A.三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈－π6，π3，求f (x )的值域．13．[2012·沈阳四校联考] 已知函数f (x )＝2cos x ·cos x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)把f (x )的图象向右平移m 个单位后，在0，π2上是增函数，当|m |最小时，求m 的值．14．已知函数f (x )＝2sin 2π4－x －23cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若f (x )<m ＋2在x ∈0，π6上恒成立，求实数m 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第16讲～第23讲，以第20讲～第23讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·河北五校联盟调研] 已知sin(α＋45°)＝45，45°<α<135°，则sinα＝( )A.25B．－25C.7210D．－72102．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.5π63．[2012·银川一中月考] 已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是( )A ．18B ．21C ．24D ．154．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D.3＋3945．[2012·汕头测评] 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°6．[2012·江西师大附中模拟] 下列函数中，周期为π，且在0，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π27．为了得到函数y ＝sin2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos x3的图象( )A ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移π3个单位B ．横坐标缩短为原来的16(纵坐标保持不变)，再向右平移2π3个单位C ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π个单位D ．横坐标伸长为原来的6倍(纵坐标保持不变)，再向左平移2π3个单位8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋sinB sinC ＝0，则tan A 的值是( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知tan α＝2，计算1cos2α＋tan2α的值为________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的值；(2)若cos A 2＝255，求sin C 的值．13．[2013·抚顺期中] 已知x ＝π6是函数f (x )＝(a sin x ＋cos x )cos x －12图象的一条对称轴．(1)求a 的值；(2)作出函数f (x )在[0，π]上的图象简图(不要求书写作图过程)．14．在锐角△ABC 中，A ，B ，C 三内角所对的边分别为a ，b ，c .设m ＝(cos A ，sin A )，n＝(cos A ，－sin A )，a ＝7，且m·n ＝－12.(1)b ＝3，求△ABC 的面积； (2)求b ＋c 的最大值．45分钟滚动基础训练卷(七)(考查范围：第24讲～第27讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－832．已知向量a ＝(n ，4)，b ＝(n ，－1)，则n ＝2是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则|a |等于( ) A ．4 B.11 C ．3 D.74．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则|a ||b |等于( )A.14 B ．4 C.12D ．2 5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－16．已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．－67．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若|b|＝2|a |，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±48．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，下列结论中正确的是________．①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.10．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．11．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)． (1)试计算a·b 及|a ＋b |的值． (2)求向量a 与b 的夹角的正弦值．13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1tb ，m ∈R ，k ，t 为正实数．(1)若a∥b ，求m 的值； (2)若a⊥b ，求m 的值；(3)当m ＝1时，若x⊥y ，求k 的最小值．14．[2012·沈阳二模] 已知向量m ＝sin 2x ＋1＋cos2x 2，sin x ，n ＝12cos2x －32sin2x ，2sin x ，设函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈0，π2，求函数f (x )的值域．45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第28讲～第30讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }共有10项，公差为2，奇数项的和为80，则偶数项的和为( ) A ．90 B ．95 C ．98 D ．1002．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 7＝( ) A ．9 B ．1 C ．2 D ．33．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( )A ．－12B ．－32C.12D.324．[2012·黄冈中学二联] 已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( )A ．8(2n－1) B.83(4n －1)C.163(2n －1)D.23(4n－1) 5．[2012·唐山三模] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7＝21，S 11＝121，则该数列的公差d ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．26．[2012·衡阳八中月考] 已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )A ．10B ．2 2C ．8 D. 27．[2012·合肥一中质检] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n 8．[2012·珠海一中模拟] 设正项等比数列{a n }，若等差数列{lga n }的公差d ＝lg3，且{lga n }的前三项和为6lg3，则{a n }的通项为( )A ．a n ＝nlg3B ．a n ＝3nC ．a n ＝3nD ．a n ＝3n －1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________．10．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 2∶S 5＝1∶4，则a 5∶a 9＝________．11．[2012·包头一模] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n≥2)，则该数列前2 013项和等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·铁岭期中] 已知向量a ，b 满足a ＝(－2sin x ，3cos x ＋3sin x )，b ＝(cos x ，cos x －sin x )，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的形式；(2)已知数列a n ＝n 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2－11π24(n ∈N *)，求{a n }的前2n 项和S 2n .13．[2012·河北名校俱乐部模拟] 已知等差数列{a n }满足a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设公比大于1的等比数列{b n }的各项均为正数，其前n 项和为T n ，若a 3＝b 2＋2，T 3＝7，求T n .14．[2012·长春二调] 在等差数列{a n }中，2a 1＋3a 2＝11，2a 3＝a 2＋a 6－4，其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1S n ＋n，求数列{b n }的前n 项和T n .45分钟滚动基础训练卷(九)(考查范围：第28讲～第32讲，以第31讲～第32讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，则a 2a 8＝( ) A ．4 B ．6 C ．12 D ．162．[2012·朝阳一模] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．323．[2012·豫东、豫北十校联考] 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2012·惠州三调] 公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝9，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 012OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 2 012＝( )A ．1 000B ．2 001C ．2 010D ．1 006 6．[2012·东北三校一模] 等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20C ．40D ．2＋log 257．[2012·陕西师大附中三联] 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.6（66－1）6－1只 B ．66只C ．63只D ．62只8．[2012·南阳联考] 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1)B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．{a n }为等比数列，公比q ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11－29，则a 1＝________． 10．{a n }是首项a 1＝－3，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 013，则n ＝________． 11．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么ac ＝________，b ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2013·唐山模拟] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝27(8n－1)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.13．[2012·济南模拟] 在数列{a n }中，a 1＝1，并且对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＝a n2a n ＋1. (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设数列{a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求使得T n >1 0002 011的最小正整数n .14．[2012·黄冈模拟] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n 且S n ＋1＝32S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n <12S n ＋2的n 值．45分钟滚动基础训练卷(十)(考查范围：第33讲～第36讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0，1)2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y≥x，3x ＋2y≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知命题p ：m<0，命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0成立．若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <04．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定5．[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．[2012·金山一中考前测试] 若“p ：x －32－x≥0”，“p 成立”是“q 成立”的充要条件，则满足条件的q 是( )A ．q ：(x －3)(x －2)≤0B ．q ：x －2x －3≤0C ．q ：lg(x －2)≤0D ．q ：|5－2x |≤17．[2012·合肥质检] 已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．[2012·东北师大附中月考] 已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的任意一点，且使OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞B ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，0)∪[3，＋∞) D ．(－∞，0]∪[3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·湖南卷] 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．10．[2012·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．11．[2012·长春三调] 如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，当3∈M 且5∉M 时，求实数a 的取值范围．13．某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百吨需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米．如果利用这些资金和场地用来生产A ，B 两种产品，那么分别生产A ，B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？14．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0.求证：(1)a >0且－2<b a<－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．45分钟滚动基础训练卷(十一)(考查范围：第37讲～第41讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)11．[2012·呼和浩特二模] 如图G11－1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.π4B.24πC.22π D.π22．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③α内无数条直线平行于β；④α内任何直线都平行于β.其中可以判定α与β平行的条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．[2012·潍坊模拟] 在空间中，l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若α∥β，α∥γ，则β∥γB ．若l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l ，则l ⊥αD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l m ⊥nG11－25．[2012·郑州质检] 一个几何体的三视图及其尺寸如图G11－2所示，其中主视图是直角三角形，左视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位：cm 3)( )A.π2B.π3C.π4D ．π 6．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面(过棱台的高的中点且与底面平行的截面)分棱台成两部分的体积之比是( )A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．5∶167．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2 B.34a 2C.3＋32a 2 D.6＋34a 28．一个空间几何体的三视图如图G11－3所示，该几何体的体积为12π＋853，则主视图中x 的值为( )－3A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．一个几何体的三视图如图G11－4所示，则这个几何体的表面积为________．－410．直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的体积等于________．11．[2012·郑州质检] 在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·沈阳、大连联考] 如图G11－5，在底面为长方形的四棱锥P－ABCD中，PA ⊥底面ABCD，AP＝AD＝2AB，其中E，F分别是PD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAB；(2)在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC？若存在，请指出点O的位置并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．13．[2012·郑州测试] 如图G11－6，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB ＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．14．[2012·江西师大附中联考] 如图G11－7(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图G11－7(2)．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．图G11－745分钟滚动基础训练卷(十二)(考查范围：第42讲～第45讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的倾斜角的余弦值为－35，则与l 垂直的直线l ′的斜率为( )A ．－34B ．－43C.34D.432．[2012·湖北八市联考] 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或23．[2012·枣庄模拟] 已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝04．[2012·北京朝阳区二模] 直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数k 的值是( )A ．0B ．－34C ．－34或0 D ．25．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能6．过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝207．圆心在函数y ＝2x的图象上，半径等于5的圆经过原点，这样的圆的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．[2012·成都诊断] 直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1，1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M ，N ，则线段MN 的长的最小值为2 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·东北三校二联] 直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________．10．[2012·南京、盐城三模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0上的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，则线段DE 的最大值是________．11．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．13．如图G12－1，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点A 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．14．已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求恒与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程．45分钟滚动基础训练卷(十三)(考查范围：第42讲～第49讲，以第46讲～第49讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·北京东城区二模] 已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2012·南平测试] 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为20，离心率为35，则椭圆方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 4．若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，335．过点(0，1)与抛物线y 2＝2px (p >0)只有一个公共点的直线条数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23277．若点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 225－y 29＝1上的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝( )A ．2B ．22C ．2或22D ．4或228．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·黄冈中学模拟] 已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．10．双曲线C 的焦点在x 轴上，离心率为e ＝2，且经过点P (2，3)，则双曲线C 的标准方程是________．11．[2012·成都二诊] 已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，C (0，b )，直线l ：x ＝2a 与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，若∠DBP ＝π3，则此椭圆的离心率为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点与椭圆C 1的上顶点重合．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．13．已知椭圆C 的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，并且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，证明当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．14．[2012·咸阳三模] 已知抛物线x 2＝4y ，过点A (0，1)任意作一条直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点．(1)求OM →·ON →的值；(2)过M ，N 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，试探求l 1与l 2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．45分钟滚动基础训练卷(十四)(考查范围：第50讲～第55讲 分值：100分)。
2020版高考数学一轮复习教程学案第4课__充分条件和必要条件 Word版含解析
第课充分条件和必要条件. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.. 阅读：阅读选修第～页．.解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？. 践习：在教材空白处，完成第～页习题第、题.基础诊断. 若∈，则“＝”是“(－)＝”的充分不必要条件．解析：因为(－)＝，解得＝或＝，所以“＝”是“(－)＝”的充分不必要条件．. 若()是定义在上的函数，则“()＝”是“函数()为奇函数”的必要不充分条件．解析：函数()是奇函数，则()＝一定成立；若()＝，则函数()不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“()＝”是“函数()为奇函数”的必要不充分条件．. 已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是若＋＋≠，则＋＋<．. 在命题“若>，则>”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有个．解析：原命题：因为>，>，所以>，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若>，则>”，当＝时，＝，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例设集合＝{＋－<}，集合＝{＋<}．() 若＝，求∪；() 设命题：∈；命题：∈，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．解析：() 解不等式＋－<，得－<<，即＝(－，)．当＝时，由＋<，解得－<<－，即集合＝(－，－)，所以∪＝(－，)．() 因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集．又集合＝(－，)，＝(－－，－＋)，所以解得≤≤，即实数的取值范围是[，]．设函数＝(－＋－)的定义域为，函数＝，∈(，)的值域为.() 当＝时，求∩；() 若“∈”是“∈”的必要不充分条件，求实数的取值范围．解析：() 由－＋－>，解得<<，所以＝(，)．因为函数＝在区间(，)上单调递减，所以∈，即＝，所以当＝时，＝，所以∩＝(，)．() 由题意得>.因为“∈”是“∈”的必要不充分条件，所以，即(，)，所以≥，解得<≤，故实数的取值范围为(，].。
2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习：高考大题增分专项一 高考中的函数与导数
(1)解:由 f(x-1)+x>k
1-
3 ������
,得
xln x+x-kx+3k>0.
令g(x)=xln x+x-kx+3k,
则g'(x)=ln x+2-k.
∵x>1,∴ln x>0,
当k≤2时,g'(x)>0恒成立,即g(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 由 g(1)≥0,即 1+2k≥0,解得 k≥-12,
策略一 策略二 策略三
(3)证明:由(2)可知,若a=1,当x≥0时,f(x)≤-1, 即1x2+x-ex≤-1,
2
可得x2+2x≤2ex-2,x2+2x+3-e2x(3-2sin x)≤2ex-2+3-e2x(3-2sin x),
令F(x)=e2x(2sin x-3)+2ex+1=ex[ex(2sin x-3)+2]+1,即证F(x)≤0,
令G(x)=ex(2sin x-3)+2,
G'(x)=ex(2sin x+2cos x-3)=ex 2
2sin-3 .
∵sin
������ + π
4
≤1,∴2
2sin
������ + π
4
-3<0.
又 ex>0,∴ex 2
2sin
������ + π
4
-3 <0,
∴G'(x)<0,G(x)在[0,+∞)上单调递减,G(x)≤G(0)=-1,
②当 a=2 时, 2������=1,当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增.
2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合(附答案解析)
第1页共23页2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合学生版考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn
图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法集合
非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N *(或N ＋)Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．
(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )．
(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .
(4)
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算表示
运算
集合语言图形语言记法并集{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B。
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滚动测试卷四(第一~九章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合M={x |(12)x≥1},N={x|y=lg(x+2)},则M ∩N 等于 ( )A.[0,+∞)B.(-2,0]C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)∪[0,+∞)M={x |(12)x≥1}={x |(12)x≥(12)0},所以M={x|x ≤0},N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},所以M ∩N={x|x ≤0}∩{x|x>-2}={x|-2<x ≤0}. 2.(2018湖北黄冈、黄石等八市联考)设复数√3-i 2 017在复平面内对应的点为A ,则过原点和点A 的直线的倾斜角为( ) A.π6B.-π6C.2π3D.5π6α,α∈[0,π),∵复数√3-i 2017=√3-i 在复平面内对应的点是A (√3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A ,∴直线的斜率k=√3-0=-√33,即tan α=-√33,∴α=5π6.故选D .3.将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,则所得的图象对应的函数解析式是( )A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin (2x +2π3) D.y=sin (2x -π6)f (x )=sin (2x +π6),∴将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,所得的图象对应的函数解析式是y=sin (2x -π6).4.已知函数y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,当x>0时,f (x )=ln x-x+1,则函数y=f (x )的大致图象是 ( )y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,所以函数f (x )是奇函数,排除C 项,D 项.当x=e 时,f (e)=1-e +1=2-e <0,排除B 项,A 项正确.5.已知向量a ,b 满足|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a+b )⊥b ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.3π4a ,b 的夹角为θ,因为|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a +b )⊥b , 所以(a+b )·a =1+|b |cos θ=0, ① (2a+b )·b =2|b |cos θ+|b |2=0. ②由①②可得cos θ=-√22,θ=3π4,故选D .6.已知双曲线x 2x2−x 2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 220−x 25=1 B.x 25−x 220=1C.3x 225−3x 2100=1D.3x 2100−3x 225=1双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,∴{-xx =-12,x =-5,x 2+x 2=x 2,解得{x =2√5,x =√5.∴双曲线方程为x 220−x 25=1.7.如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,AB ⊥BD ,BC=3√3,BD=5,sin ∠ABC=2√35,则CD 的长为( )A.√14B.4C.2√5D.5,sin ∠ABC=2√35=sin (π2+∠xxx )=cos ∠CBD ,再根据余弦定理可得,CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos ∠CBD=27+25-2×3√3×5×2√35=16,可得CD=4.8.(2018全国Ⅰ,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在侧(左)视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.2,易知N 为xx ⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.在Rt △MCN 中,MN=√xx 2+xx 2=2√5.9.已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点,Q 为圆x 2+(y-4)2=1上一个动点,则点P 到点Q 的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值是( ) A.5 B.8 C.√17-1 D.√15-1y 2=4x 的焦点为F (1,0),圆x 2+(y-4)2=1的圆心为E (0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离,所以当P ,Q ,E ,F 四点共线时,点P 到点Q 的距离与点P 到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=√42+1-1=√17-1.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-11,a 5+a 9=-2,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A.9 B.8C.7D.6a 1,公差为d ,由a 2=-11,a 5+a 9=-2, 得{x 1+x =-11,x 1+6x =-1,解得{x 1=-13,x =2.∴a n =-15+2n.由a n =-15+2n ≤0,解得n ≤152.∴当S n 取最小值时,n=7.11.(2018全国Ⅱ,文12)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )A.-50B.0C.2D.50f (-x )=f (2+x )=-f (x ),∴f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4.∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.∵f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0). ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (50)=f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.12.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14A (-a ,0),△PF 1F 2为等腰三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴,∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°.∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a ). ∴√3c=√36(2c+a ).∴e=x x =14.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用[x ]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lg x ]-2=0的实根个数是 .lg x=t ,则得t 2-2=[t ].作y=t 2-2与y=[t ]的图象,知t 2-2=[t ]有3个解, 分别是t=-1,t=2,还有一解在1<t<2内. 当1<t<2时,[t ]=1,所以t=√3.故得x=110,x=100,x=10√3,即共有3个实根.14.若实数x ,y 满足{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4,则xx 的取值范围是 .[13,1]{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4对应的平面区域如图,设k=xx ,由图象可知,过原点的直线y=kx ,当直线y=kx 经过点A 时,直线的斜率k 最大, 当经过点B 时,直线的斜率k 最小, 由{x -2x =-2,x +x =4,解得A (2,2),此时k=22=1.由{x =1,x +x =4,解得B (3,1),此时k=13,故直线y=kx 的斜率k 的取值范围是[13,1], 即xx 的取值范围是[13,1].15.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2√6,则这个球的表面积为 .πP-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1所在的直线上,记为O ,设球半径为R ,则PO=AO=R ,PO 1=4,OO 1=R-4或OO 1=4-R.在Rt △AO 1O 中,R 2=8+(R-4)2,得R=3, 所以球的表面积为S=4πR 2=36π.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 .√2πO 为底面圆圆心,∵cos ∠ASB=78,∴sin ∠ASB=√1-(78)2=√158.∴S △ASB =12×|AS|·|BS|·√158=5√15. ∴SA 2=80.∴SA=4√5.∵SA 与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°, ∴SO=OA=√22SA=2√10.∴S 圆锥侧=πrl=4√5×2√10×π=40√2π.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.a=c. (10分)(2018山东青岛三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b cos A+√33(1)求cos B;(2)如图,D为△ABC外一点,在平面四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,BC=√6,求AB的长.sin A=sin C.在△ABC中,由正弦定理,得sin B cos A+√33又C=π-(A+B),sin A=sin(A+B),所以sin B cos A+√33即sin B cos A+√3sin A=sin A cos B+cos A sin B,3sin A.所以sin A cos B=√33.又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B=√33.(2)∵∠D=2∠B,∴cos D=2cos2B-1=-13在△ACD中,AD=1,CD=3,)=12,则AC=2√3.由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos D=1+9-2×1×3×(-13在△ABC中,BC=√6,AC=2√3,cos B=√3,3由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,,即12=AB2+6-2·AB×√6×√33化简得AB2-2√2AB-6=0,解得AB=3√2(负值舍去).故AB的长为3√2.18.(12分)如图,已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,且AB=BE=12AF=1,BE ∥AF ,AB ⊥AF ,∠CBA=π4,BC=√2,P 为DF 的中点.(1)求证:PE ∥平面ABCD ; (2)求三棱锥A-BCE 的体积.AD 的中点M ,连接MP ,MB ,∵P 为DF 的中点,∴MP x 12AF.又BE x 12AF ,∴BE x MP.∴四边形BEPM 是平行四边形.∴PE ∥BM.又PE ⊄平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD ,∴PE ∥平面ABCD.ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC =1+(√2)2-2×1×√2×cos π4=1, ∴AC=1.∴AC 2+AB 2=BC 2. ∴AC ⊥AB.∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,∴AC ⊥平面ABEF. ∵S △ABE =12BE ·AB=12×1×1=12, ∴V A-BCE =V C-ABE =13S △ABE ·AC=13×12×1=16.19.(12分)(2018山东烟台高考诊断性测试)已知动圆C 与圆E :x 2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹Γ;(2)若从点P (m ,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A ,B ,求证:直线AB 恒过定点.,圆E 的圆心E (0,1),半径为12.设动圆圆心C (x ,y ),半径为r. 因为圆C 与直线y=-12相切, 所以d=r ,即y+12=r.①因为圆C 与圆E 外切,所以|CE|=12+r ,即√x 2+(x -1)2=12+r.②联立①②,消去r ,可得x 2=4y.所以动圆圆心C 的轨迹Γ是以E (0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y=kx+b.联立{x 2=4x ,x =xx +x ,整理,得x 2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k 2+b )>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b.③由抛物线的方程可得,y=14x 2,∴y'=12x.∴过点A (x 1,y 1)的抛物线的切线方程为y-y 1=12x 1(x-x 1),又y 1=14x 12,代入切线方程整理得,y=12x 1x-14x 12.∵切线过P (m ,-4),代入整理得,x 12-2mx 1-16=0,同理可得x 22-2mx 2-16=0.∴x 1,x 2为关于x 的方程x 2-2mx-16=0的两个根, ∴x 1+x 2=2m ,x 1x 2=-16.④由③④可得,x 1x 2=-4b=-16,x 1+x 2=4k=2m.∴b=4,k=x 2,直线AB 的方程为y=x2x+4.∴直线AB 恒过定点(0,4).20.(12分)已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式b n ={x ,x 为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),若S 3=b 5+1,b 4是a 2和a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .∵数列{b n }的通项公式b n ={x ,x为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),∴b 5=6,b 4=4.设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q>0,∵S 3=b 5+1=7,∴a 1+a 1q+a 1q 2=7.① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项,∴x 42=a 2·a 4=x 32=16,解得a 3=a 1q 2=4,② 由①②得3q 2-4q-4=0,解得q=2或q=-23(舍去),∴a 1=1,∴a n =2n-1.(2)当n 为偶数时,T n =(1+1)·20+2·2+(3+1)·22+4·23+(5+1)·24+…+[(n-1)+1]·2n-2+n ·2n-1=(20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1)+(20+22+…+2n-2),设H n =20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1,①2H n =2+2·22+3·23+4·24+…+n ·2n ,②①-②,得-H n =20+2+22+23+…+2n-1-n ·2n=1-2x1-2-n ·2n =(1-n )·2n -1,∴H n =(n-1)·2n +1,∴T n =(n-1)·2n +1+1-4x21-4=(x -23)·2n +23.当n 为奇数,且n ≥3时,T n =x x -1+(n+1)·2n-1=(x -53)·2n-1+23+(n+1)·2n-1=(2x -23)·2n-1+23, 经检验,T 1=2符合上式,∴T n ={(2x -23)·2x -1+23,x 为奇数,(x -23)·2x +23,x 为偶数.21.(12分)已知椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长QM 交C 于点B.①设直线PM ,QM 的斜率分别为k ,k',证明x 'x 为定值;②求直线AB 的斜率的最小值.c.由题意知2a=4,2c=2√2,所以a=2,b=√x 2-x 2=√2.所以椭圆C 的方程为x 24+x 22=1.(2)P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0).由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ).所以直线PM 的斜率k=2x -x x 0=x x 0, 直线QM 的斜率k'=-2x -x x 0=-3x x 0. 此时x 'x =-3.所以x 'x 为定值-3.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{x =xx +x ,x 24+x 22=1,整理得(2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-4=0.由x 0x 1=2x 2-42x 2+1,可得x 1=2(x 2-2)(2x 2+1)x 0,所以y 1=kx 1+m=2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0+m ,同理x 2=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0,y 2=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m.所以x 2-x 1=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0−2(x 2-2)(2x 2+1)x 0=-32x 2(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,y 2-y 1=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m-2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0-m=-8x (6x 2+1)(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,所以k AB =x 2-x 1x 2-x 1=6x 2+14x =14(6x +1x ).由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1x ≥2√6,等号当且仅当k=√66时取得.此时√=√66,即m=√147,符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为√62.22.(12分)已知函数f (x )=x-1x -a ln x ,(1)若f (x )无极值点,求a 的取值范围;(2)设g (x )=x+1x -(ln x )2,当a 取(1)中的最大值时,求g (x )的最小值;(3)证明:∑x =x √2i (2i +1)>ln 2n +12n +1(n ∈N *).,可得f'(x )=x 2-xx +1x 2. ∵函数f (x )无极值点,∴方程x 2-ax+1=0在(0,+∞)内无根或有唯一根, ∴方程a=x+1x 在(0,+∞)内无根或有唯一根,又x+1x ≥2(当且仅当x=1时取等号), ∴(x +1x )min =2,∴a ≤2.故a 的取值范围是(-∞,2].a=2时,f (x )=x-1x -2ln x ,g (x )=x+1x -(ln x )2,由(1)知,f (x )在(0,+∞)内是增函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=x-1x -2ln x<f (1)=0,即x-1x <2ln x<0; 当x ∈(1,+∞)时,f (x )=x-1x -2ln x>f (1)=0, 即x-1x >2ln x>0; ∴当x>0时,|x -1x |≥|2ln x|=|ln x 2|,令x 2=t>0,∴|√x -x |≥|ln t|, 两边平方,得t+1x -2≥(ln t )2,∴当t>0时,t+1x -2≥(ln t )2成立,当且仅当t=1时取等号,∴当x=1时,函数g (x )取最小值2.,当x>1时,x+1x -(ln x )2>2, ∴当x>1时,√x √x >ln x 成立, 令x=2x +12x ,得√2x +12x −√2x 2x +1>ln 2x +12x ,即x x >ln 2x +12x , ∴不等式:∑x =x √2i (2i +1)>ln 21+121+…+ln 2n +12n>ln 21+221+1+…+ln 2n +22n +1 =ln (2n ·20+121+1·…·2n -1+12n +1)=ln 2n +12n +1.即∑i =n x x >ln 2x +12x +1(n ∈N *).。