2019-2020年新培优同步人教A版高中数学必修五练习：第一章 1.2 第2课时 高度问题+Wor

第2课时高度问题
课时过关·能力提升
基础巩固
1在△ABC中,a=5,sin A=√5
5,则b
sinB
等于().
A.5√5
B.√5
25
C.√5
D.不确定
解析:b
sinB =a
sinA
=
√5
5
=5√5.
答案:A
2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是().
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.
答案:B
3如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()
A.400
3
m
B.400√3 m
C.200√3
3
m
D.200
3
m
解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=OA
cos30°=
√3
又∠B=120°,在△ABC中,由正弦定理AC
sin120°=BC
sin30°
,得BC=ACsin30°
sin120°
=
400
3
×12
√3
2
=400
3
(m).
答案:A
4如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD=.
答案:32 m
5如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10√6 m,则旗杆的高度为_________________________m.
解析:由题意知∠BAN=105°,∠BNA=30°.
由正弦定理,得AN=10√6,解得AN=20√3(m).
在Rt△AMN中,MN=20√3sin 60°=30(m).
故旗杆的高度为30 m.
答案:30
6在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,则云距湖面的高度为.
解析:如图,设湖面上高h m处为A,在A处测得云C的仰角为α,测得云在湖中影子D的俯角为β,CD 与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.
设云高CM=x m,
则CE=(x-h) m,DE=(x+h) m,
AE=CE
tan∠CAE =x-ℎ
tanα
(m).
又AE=DE=x+ℎ(m),则x-ℎ=x+ℎ.
整理,得x=tanβ+tanα
tanβ-tanα
ℎ=sin(α+β)
sin(β-α)
ℎ.
答案:sin(α+β)
sin(β-α)
ℎ m
7如图,两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上,利用高为1.5 m的侧角仪器,在点C1,D1处测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB.(结果精确到0.01 m)
解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,
由正弦定理,得C1D1
sin∠C1BD1=BC1
sin∠BD1C1
,
BC1=C1D1sin∠BD1C1
sin∠C1BD1=12sin120°
sin15°
=(18√2+6√6)(m),
从而A1B=√2BC1=18+6√3≈28.392(m),
因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m).答:烟囱的高约为29.89 m.
8某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
解依题意画出图,某人在C处,AB为塔高,沿CD前进,CD=40米,此时∠DBF=45°,从C到D测塔的仰角,只有B到CD最短时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB=AB
BE
,AB为定值,BE最短时,仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE,而要求BE,须先求BD(或BC).
在△BDC中,CD=40米,∠BCD=30°,∠DBC=135°.
由正弦定理,得CD
sin∠DBC =BD
sin∠DCB
,
∴BD=40sin30°
sin135°
=20√2(米).
在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°,
∴BE=DB sin 15°=20√2×√6-√2
4
=10(√3−1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°,∴AB=BE tan 30°=10
3
(3−√3)(米).
故所求的塔高为10
3
(3−√3)米.
能力提升
1有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长().
A.5 m
B.10 m
C.10√2 m
D.10√3 m
解析:如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m.
在△BAB'中,由正弦定理,
得BB'=ABsin45°
sin30°=10×
√2
2
1
2
=10√2(m).
故坡底延长10√2 m时,斜坡的倾斜角将变为30°.
答案:C
★2如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为().
A.15√6 m
B.20√6 m
C.25√6 m
D.30√6 m
解析:设建筑物的高度为h m,
由题图知,PA=2h m,PB=√2ℎ m,PC=2√3
3
ℎ m,
在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
得cos∠PBA=
222 2×60×√2ℎ
,
cos∠PBC=602+2ℎ2-4
3
ℎ2
2×60×√2ℎ
②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30√6或h=-30√6(舍去),即建筑物的高度为30√6 m.
答案:D
3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在点B测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是.
答案:50 m
4A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为.
解析:如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,
∴CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由
AB
sin15°=
AD
sin45°,得
AD=AB·sin45°
sin15°=800×
√2
2
6-2
4
=800(√3+1)(m).
∴CD=AD=800(√3+1) m.
答案:800(√3+1) m
5如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿坡角为30°的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为.
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°.
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
又AS=1 000,
∴DC=ST=AS sin 30°=500.
在△ASB中,AS
sin∠ABS =BS
sin∠SAB
,
即
1000
sin30°=
BS
sin15°,
故BS=2 000sin 15°
=500(√6−√2).
=2 000×√6-√2
4
在Rt△SDB中,BD=BS sin∠BSD
=500.
=BS sin 75°=500(√6−√2)×√6+√2
4
故山高BC=BD+DC=500+500=1 000(m).
答案:1 000 m
★6如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔25 000 m,速度为3 000 m/min.飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°,经过8 min后到达点B,此时看到山顶C的俯角为60°,求山顶的海拔高度.
(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449)
解如图,过点C作AB的垂线,垂足为点D.
依题意,AB=3 000×8=24 000(m).
又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°,
故BC=AB=24 000(m).
在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°≈24 000×0.866=20 784(m),
故山顶的海拔高度约为25 000-20 784=4 216(m).。