2013-2014-2线性代数A卷及答案-新生
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)
一、选择题(每小题3分,共15分)
1 .设A 、B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)
2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A
2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量,那
1 0 0
2
10, A *是A 的伴随矩阵,则(A*)
4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交,则t
5 .设A 为正交矩阵,则A
1 1
1 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数,则行列式a
b c
2,2
2
a b c
7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T
, 3 (1,0,1)T 线性相关,则
8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为
么矩阵A 的秩为(
(A) n (B) )
s (C)
n s (D)
以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么an
a 22
a 33 及A 分别等于()
(A) 10, 8
(B)
8, 10
(C)
10,
8
(D)
10,
4 .设实二次型f(x 1,x 2)
2 (X ,X 2)
4
X 1 X 2
的矩阵为A, 那么()
2 3
(A) A
3 1 ⑻
(C)
1 1
(D)
5.若方阵A 的行列式A
0, 则(
(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、
填空题(每小题3分,共30分)
(B)A (D)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 的列向量组线性相关,行向量组线性无关
青岛科技大学线性代数2012-2013-2线代 A卷及其参考答案
2012-2013
2 线性代数 (A 卷)
数理学院 全校相关专业(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设1
22130401
2107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ;
2.设C B A ,,均为n 阶方阵,且E ABC =,则=T T CA B )( ;
3.设A 为四阶方阵,且2-=A ,*
A 是A 的伴随矩阵,则=*A ;
4.n 元线性方程组b Ax =有解的充分必要条件为 ;
5.设三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则=-1
A .
二、选择题(每小题3分,共15分)
1.设B A ,均为n 阶方阵,则下列各式中正确的是 ;
)A ()()22B A B A B A -=-+ )B ()222
B A AB =
)C 由BC AC =必可推出B A = )D ()()E A E A E A -+=-2
2.设A 为n 阶方阵,且E A =2
,则 ;
)A A 的行列式为1 )B A 的特征值都为1 )C A 的秩为n )D A 一定是对称矩阵
3.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ;
)A s ααα,,,21 均不为零向量
)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例
)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出 )D s ααα,,,21 中有一部分线性无关
课程考试试题
学期 学年 拟题学院(系): 适 用 专 业:
4.设B A ,均为n 阶矩阵,且A 与B 相似,则下列结论中不正确的是 ;
线性代数试题套卷及答案
(线性代数) (
A
卷)
专业年级: 学号: 姓名: 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T 为正定矩阵的
(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件。 2.已知32121,,,,αααββ为四维列向量组,且行列式 4,,,1321-==βαααA ,
1,,,2321-==βαααB ,则行列式 =+B A
(A) 40; (B) 16-; (C) 3-; (D) 40-。
3.设向量组s ααα,,,
21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ,,, 21线 性表示,则以下结论中不能成立的是
(A) 向量组s βββ,,,
21线性无关; (B) 对任一个j α,向量组s j ββα,,,
2线性相关; (C) 存在一个j α,向量组s j ββα,,,
2线性无关; (D) 向量组s ααα,,,
21与向量组s βββ,,, 21等价。 4.对于n 元齐次线性方程组0=Ax ,以下命题中,正确的是
(A) 若A 的列向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (B) 若A 的行向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (C) 若A 的列向量组线性相关,则0=Ax 有非零解; (D) 若A 的行向量组线性相关,则0=Ax 有非零解。
5.设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ,*A 为A 的伴随矩阵,则
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷
试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间(120分钟)
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16
分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB
,则必有( ) (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( )
(A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;
(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)
5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4312123212
1321x x x a a 无解,则a = 。
8、二次型222
1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,
20122013年理工线性代数考试A卷答案
20122013年理⼯线性代数考试A卷答案《线性代数》考试A 卷答案及评分标准
⼀、填空题(共10⼩题,每⼩题2分,共20分)
1.已知,A B 均为三阶矩阵,且 (,,),(,,)A B αβγαβδ==,及 2,3A B ==,则
272.A B +=
2.设,A B 均为三阶矩阵,且 4,2A B ==-,*
A 为矩阵A 的伴随矩阵,则⾏列式
18
(3)27
B A -*=-
、 3.设矩阵2112A ??
= ?-??
,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满⾜2BA B E =+,则矩阵
1111B -??=
、
4、设矩阵A 满⾜2
40A A E +-=,则 1
1
()
(2)2
A E A E --=+、
5.齐次线性⽅程组123123230
2030
x kx x x x x kx x ++=??
++=??+=?
只有0解,则k 应满⾜的条件就是 35k ≠、
6.设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k αβ==-(1,1,4)T
y =--线性相关,则 1k =、
7.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若⾏列式0A =, 则矩阵A 的秩为 2 、 8.设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,则⾏列式 1
43A
E --=、
9.⼆次型2
2
1231123(,,)22f x x x x x x x =++的规范形就是 2
2
2
123y y y +-、
10.当t 满⾜ 01t <<时,⼆次型222
12312312(,,)2f x x x x x tx tx x =+++为正定
⼆次型。
⼆、选择题(共10⼩题,每⼩题2分,共20分)
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案
线性代数A试题(A卷)
试卷类别:闭卷考试
时间:120分钟
考试科目:线性代数
学号:______ 姓名:______
题号得分阅卷人
一.单项选择题(每小题3分,共30分)
1.设A经过初等行变换变为B,则(B)。(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。r(B);(D)
2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=,则(C)。
A) A中有一行元素全为零;(B) A中必有一行为其余行的线性组合;(C) A有两行(列)元素对应成比例;(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)
A) A=O或B=O。(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。(C) BA=O。(D) R(A)+R(B)≤n.
4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是(A)
A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。+ksαs≠O;(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得
k1α1+k2α2+。+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s;(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()。
11;(C) -1;(D)。(A) 1;(B)
6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于()。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4;(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4);(C)
《线性代数》试卷A及答案
《线性代数》试卷A
适用专业: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 总分100分 考试日期: 一.选择题(2分×6=12分)
1.排列4 1 3 2 5 的逆序数为( ) A.4 B.1 C.3 D.2
2. 设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则13-A 必有特征值( )
A.
021λ B. 02
3
λ C.30λ D. 20λ 3. 设A 为n 阶可逆阵,则下列成立的是( ) A.11
2)
2(--=A A B. 11)2()2(--=T T A A
C. [][]
1
11
1)()(----=T
T
A A D.[][]T
T
T A
A 111
)
()(---=
4.如果33
32
31
332221
131211
a a a a a a a a a =d,则行列式13
12
11232221
33
3231222333a a a a a a a a a ---=( )
A. –6d
B. 6d
C. 4d
D. –4d
5.设A 为3阶方阵,且2=A ,则A 2=( ) A.4 B.8 C.16 D.
2
1
6.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=11a α,且αA 与α线性相关,则=a ( )。
A.1-
B.1
C. 2
D.3
二.填空题(2分×11=22分)
1.设A 、B 均为3阶方阵,且|A |=3,|B |=-2,则|AB |=
2. 设A 为方程组⎩⎨
⎧=+=+0
2121x x x x λλ有非零解,则λ=
3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-,则方阵2A 的特征值是 、 、
4.向量组⎥⎥⎥⎦
2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准
2013—2014学年第一学期
《线性代数》期末试卷
答案与评分标准
专业班级
姓名
学号
开课系室应用数学系
考试日期 2013年11月24日
1.请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸;
2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;
3.本试卷共五道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;
一.填空题(共5小题,每小题3分,共计15分)
1.矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则()R A = 3 . 2.设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3,则2
A E +的特征值为 2,5,10 . 3.若四阶方阵A 的秩等于2,则*()R A = 0 .
4. 二次型222
1231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
.
5. 从2
R 的基1211,01αα⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
二.选择题(共5小题,每小题3分,共计15分)
1.已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ,则D =( A ).
A . 0;
B .2
a ; C . 2
a -; D . 2
na . 2.已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==,则2AB =( D ).
A .22;
B .32;
C .42;
D . 52.
3.已知A 和B 均为5阶方阵,且()4R A =,()5R B =,则()R AB =( D).
A .1;
B .2;
C .3;
D .4.
13-14第一学期合肥工业大学线性代数A卷-1
a 1 1 四、 (本题满分 12 分)设 A 0 1 0 , b 1 ,已知线性方程组 Ax b 有无穷多解, 1 1 1
(1) 求 , a ; (2)求方程 Ax b 的通解.
1 1 , ) ,设 A T ,其中 T 是 的转置,则 An ________. 2 3
2 2 2
5.设二次型 f x1 , x2 , x3 x1 2 x2 (1 k ) x3 2kx1 x2 2 x1 x3 是正定的,则 k 应满足的 条件是 .
五、 (本题满分 10 分)已知向量组 1 , 2 , , m ( m 2) 线性无关,又向量组 1 1 2 ,
3
(C) ) .
1 , 2 , 3
(D) 1 , 2 , 3 , 4
(A) A O (C) A 的特征值全为零
(B) A 仅有一个特征值为零,其它 n 1 个可能不为零 (D) A 有 n 个线性无关的特征向量
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A” 、 “试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
T
八、 (本题满分 4 分)设方阵 A 满足条件 A A E ,其中 A 是 A 的转置矩阵, E 为单位阵.试证明:
福师大2013-2014-2线性代数期考试卷A
福建师范大学 (公共课) 数计学 院 2013 — 2014 学年第 二 学期考试 期末考A 卷 考
生 信 息 栏 _
__
__
_学院_
__
__
_系______ 专业 ______年级
姓
名
_
__
__
_
学号__
_ 装
订
线
专 业: 全校各专业 年 级: 2013级等 课程名称: 线性代数 任课教师: 陈兰清、林惠玲 试卷类别:开卷( )闭卷(√ ) 考试用时: 120 分钟 考试时间: 2014 年 6 月 27 日 下 午 2 点 30 分 题号 一 1-5 二 6-10 三 总得分 11 12 13 14 15 得分 考生 须知 1. 答案一律写在答题纸上,否则无效。 2. 答题要写清题号,不必抄原题。 3. 考试结束,试卷与答题纸一并提交。 一. 单项选择题:每小题3分,共15分. 请将答案写在答题纸上. 1. 设3阶矩阵A 的特征值分别为2, 0, 0, 则A E -= ( ). (A) 1; (B) -1; (C) 0; (D) 2 . 2. 设矩阵123(,,)A a a a =经过初等行变换可化为112011⎛⎫ ⎪⎝⎭,则必有( ). (A) 3122a a a =+; (B) 312a a a =+; (C) 123,,a a a 线性无关; (D) 123,,a a a 线性相关,但无法给出其关系.
考 生 信
息 栏 _
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_学
院_
_____
系_
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专
业
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名
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学号__
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_ 装 订 线
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院(本科)试卷( A 卷参考答案)
2014 --2015学年第二学期
《 线性代数 》试卷
开课单位: 计算机学院数学教研室 ,考试形式:闭卷,允许带 入场
每题或每空3分,共36分)
、设n 元线性方程组Ax b =,其中()(,)R A R A b n ==,则该方程组( B )
A .有无穷多解
B .有唯一解
C .无解
D .不确定
、设P 为正交矩阵,则P 的列向量( C ) .可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵,B 是s m ⨯型矩阵,则T
T
A B 是( B )型矩阵 A .m s ⨯ B .n s ⨯ C .m n ⨯ D .s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵,则下列命题正确的是( D )
若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)
C. 若0AB =,则0A =或0B =
D.
2B -2(E+B )(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=
T
(1,-1,-1,1),则α=2 ,其单位化向量是
()11,1,1,12
T
-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解,则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解,
12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.
7、12a b A c d λλ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,,是A 的两个特征值,则12λλ+=a d +
8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-,则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪
线性代数试卷及答案 卷A
河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷
专业班级: 卷A
姓 名: 学 号:
注:(1)不得在密封线以下书写班级、姓名。(2)必须在密封线以下答题,不得另外加纸。 ………………………………………密 封 线 ………………………………………………………
一 .单项选择题(每题3分)
1.若 111221226a a a a =,则 1211222120
20021
a a a a -- 的值为( A )
(A )12 (B) –12 (C) 18 (D) 0
2.设A 、B 都是n 阶矩阵,且AB=0,则下列一定成立的是( C )
(A )A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆
(C )A 、B 中至少有一个不可逆 (D )A+B=0
3. 若齐次线性方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解,则( B )
(A) 4k =或1K =- (B) K= 4-或K=1
(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠
4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵,则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )
(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **
5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是(D )
(A )r n = (B ) r n ≥ (C ) r n > (D )r n <
二 .填空题(每题3分)
1.行列式 1
2342
345_______3
13-14-2《线性代数b》试卷(A卷)第二学期期末考试试卷
河南理工大学 2013-2014 学年第 二 学期
《线性代数b 》试卷(A 卷)
一、填空题:(每小题4分,共24分)
1.若向量组t 123(1,2,3),(4,,6),(0,0,1)ααα===线性相关,则常数t = .
2.设B C 1212,,1034⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且有ABC E =,则A 1
-= .
3.设A A *12,34⎛⎫=
⎪⎝⎭
为A 的伴随矩阵,则A *
= . 4.设A 为4阶方阵,则A 1=-,则A 2-= .
5.已知T
1(1,0,2)η=、T
2(3,4,5)η=是3元非齐次线性方程组Ax b =的两个解向量,则对应齐次线性方程Ax =0有一个非零解ξ= .
6.已知A k
k 12
020002⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
为正定矩阵,则实数k 取值范围为 .
1.设A B ,均为n 阶方阵,下列成立的是 ( ).
(A) A B A B +=+
(B) AB BA = (C) A B A B 1
1
1
()
---+=+
(D) AB BA =
2.设A 为m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,若R A r 1()=,矩阵B=AC ,且R B r 2()=,则 ( ).
(A) r r 21> (B) r r 21< (C) r r 21= (D) r 1与r 2的关系依矩阵C 而定
3.设向量组a a a 123,,线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( ).
(A) a a a a a a 122331,,--- (B) a a a a 1213,,+ (C) a a a a 1212,,23-
重庆理工大学线性代数A卷(13-14经管)含答案
(A) (B) (C) (D)
重庆理工大学考试试题卷
2013~ 2014学年第二学期
班级学号姓名考试科目线性代数[经管]A卷闭卷共3页
····································密························封························线································
(7)设 是齐次线性方程组 的基础解系,下列向量组中不能构成 的基础解系的是()
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 为 矩阵,若 ,则齐次线性方程组 的基础解系中包含的解向量的个数是()
(A)2(B)3(C)4(D)5
(9)设 为三阶方阵, 的特征值分别为 ,则在下列矩阵中为可逆矩阵的是()
(A) (B) (C) (D)
学生答题不得超过此线
(7)求向量组
的秩和一个最大无关组。
(8)求解方程组 。
(9)求矩阵 的特征值和特征向量。
(10)用配方法化二次型 为标准形,并写出所用的可逆线性变换。
得分
评卷人
四、证明题(5分)
设方阵 满足 ,证明: 都可逆,并求 。
2013
Awenku.baidu.com
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
(完整版)线性代数试题套卷及答案
(线性代数) ( A 卷)
专业年级: 学号: 姓名:
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T
为正定矩阵的
(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件。 2.已知32121,,,,αααββ为四维列向量组,且行列式 4,,,1321-==
βαααA ,
1,,,2321-==βαααB ,则行列式 =+B A
(A) 40; (B) 16-; (C) 3-; (D) 40-。
3.设向量组s ααα,,,
21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ,,, 21线 性表示,则以下结论中不能成立的是
(A) 向量组s βββ,,,
21线性无关; (B) 对任一个j α,向量组s j ββα,,,
2线性相关; (C) 存在一个j α,向量组s j ββα,,,
2线性无关; (D) 向量组s ααα,,,
21与向量组s βββ,,, 21等价。 4.对于n 元齐次线性方程组0=Ax ,以下命题中,正确的是
(A) 若A 的列向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (B) 若A 的行向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (C) 若A 的列向量组线性相关,则0=Ax 有非零解; (D) 若A 的行向量组线性相关,则0=Ax 有非零解。
5.设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ,*
2013-2014(1)线性代数试题(A)解答
广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答
课 程:《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式:闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、填空题(每小题3分,本大题满分15分)
1.行列式304
503221
--中元素2的代数余子式为 0 .
2.设=A (1 2 1),=B ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-011123321,则=AB (8 5 5) .
3.已知矩阵21
1421633a ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
A 的秩()2R =A ,则a 必须满1a ≠.
4.设向量组T 1(,0,)a c =α,T 2
(,,0)b c =α,T
3(0,,)a b =α线性无关,则a ,b ,c 必须满足关系式0abc ≠.
5.设方阵A 满足方程23a -+=A A E O ,且已知A 的一个特征值为1=λ,则常数
=a 2 .
二、选择题(每小题3分,本大题满分15分)
1.设A 为m n ⨯矩阵,B 为p k ⨯矩阵,若AB 有意义,则必有( A ). (A )n p =; (B )m p =; (C )n k =; (D )m k =. 2.设A 为可逆矩阵, 则1(*)-=A ( A ).
(A )1||A A ; (B )||A A ; (C )1
1||
-A A ; (D )1||-A A .
3.线性方程组12341234
12342736
352249472
x x x x x x x x x x x x
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
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⎜ ⎝
−
4
−4
4
⎟ ⎠
⎛2 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 2 18 ⎟
4.
设矩阵 A
=
⎜ ⎜
a
⎜ ⎜
2
b −1
−4
18 1
⎟ ⎟
为正交矩阵,则
a
=
⎟
⎟
⎜ ⎝
3
2
18
⎟ ⎠
____________.
5. 二次型 f (x1, x2, x3) = (x1+ x2 + x3)(x1+ x2 − x3) 的秩为
.
. .
浙江理工大学 20 13 —20 14 学年第 二 学期
《 线性代数 A 》期末试卷( A )卷
本人郑重承诺:本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则 》,愿意在考 试中自觉遵守这些规定,保证按规定的程序和要求参加考试,如有违反,自愿按 《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。
承诺人签名:
Λ = diag (λ1, λ2 ,⋯, λn ) .
则 A 与 Λ 相似, B 与 Λ 相似,所以 A 与 B 相似.................................(6 分)
2.(6 分)证
设 x1α1 + x2α2 + x3α3 = 0 ,(1 式).....................(1 分)
62
6 20 6 2 0
6 1 20
.........(6 分)
2、(6 分)解 由 X = AX + B ,得 (E − A) X = B .又
⎛1 −1 0 ⎞
⎜
⎟
E − A = ⎜1 0 −1⎟,E − A = 3 ≠ 0 ,
⎜⎝1 0
2
⎟ ⎠
则 E − A 可逆,且 X = (E − A)−1 B .......................................(2 分)
5 11 1
第2页共5页
⎛0 1 0⎞
⎛1⎞
⎜
⎟
⎜⎟
2.(6 分) 设 X = AX + B ,其中矩阵 A = ⎜ −1 1 1 ⎟ , B = ⎜1⎟ .求矩阵 X .
wk.baidu.com
⎜ ⎝
−1
0
−1⎟⎠
⎜⎝1⎟⎠
3.(8 分)试问向量 β 可否由向量组α1,α2 ,α3,α4 线性表示?若能,求出 β 由α1,α2 ,α3,α4 线
β2
,
β3
)
=
⎜ ⎜
2
3
7
⋮
1
2
1
⎟ ⎟
⎜ ⎝
1
3
1
⋮
4
1
−6
⎟ ⎠
⎛ 1 0 0 ⋮ −27 −71 −41⎞
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
1
0
⋮
9
20
9
⎟ ⎟
=
(
E
|
P)
,..........(6
分)
⎜ ⎝
0
0
1
⋮
4
12
8
⎟ ⎠
⎛ −27 −71 −41⎞
得(1)由基
α1,α
2
,α3
到基
β1,
β2
,
β3
的过渡矩阵
(A) 2a
(B) −2a
(C) −3a
(D) 3a
2、设 A 为 n(n ≥ 2) 阶矩阵, A* 是 A 的伴随矩阵, k 为常数,则 (kA)* = ( ).
(A) A* .
(B) kA* .
(C) k n−1 A* .
(D) k n A* .
3、当 a =( (A) 1
⎧2x1 + ax2 − x3 = 1, )时,非齐次线性方程组 ⎪⎨ax1 − x2 + x3 = 2, 无解.
学号:
班级:
一、选择题(每小题 4 分,共 24 分)
1
a11 a12 a13
2a11 3 a13 − 5a12 −3a12 1
1、设 a21 a22 a23 = a ≠ 0 ,则 2a21 3 a23 − 5a22 −3a22 = (
).
a31 a32 a33
1
2a31 3 a33 − 5a32 −3a32
第3页共5页
4.(10 分)在 R3 中取两组基:α1 = (1,2,1)T ,α2 = (2,3,3)T ,α3 = (3,7,1)T ; β1 = (3,1,4)T , β2 = (5,2,1)T , β3 = (1,1,−6)T .
(1)求由基α1,α2 ,α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵. (2)若向量 γ 在基 β1, β2 , β3 下的坐标为 (1,1,1) ,求向量 γ 在基α1,α2 ,α3 下的坐标.
5.(10 分)设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 λ1 = −1, λ2,3 = 1 ,对应 λ1 = −1 的特征向量为 α1 = (0,1,1)T ,求 A .
第4页共5页
四、证明题(共 12 分)
1.(6 分)设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵,证明 A 与 B 相似的充要条件是 A 与 B 有相同的特
1⎟⎟
⎜⎜1⎟⎟
=
⎜⎟ ⎜0⎟
...........................(6
分)
1⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
3.(8 分)解 设 x1α1 + x2α2 + x3α3 + x4α 4 = β .................................(1 分)
⎛1
(α1,α2
,α3
,α4
|
β
)
=
⎜⎜1 ⎜1
⎜⎝1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⎛ ⎜
1
1 2 1 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎯r⎯→
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⋮ ⋮ ⋮
5⎞
4
⎟ ⎟
1⎟
4 −1
⎟ ⎟ ⎟
,.....(4
分)
4⎟
⎜ ⎜0
0
0
1
⋮
1⎟ −⎟
⎝
4⎠
得 R(α1,α2 ,α3,α4 ) = R(α1,α2 ,α3,α4 | β ) = 4 ,所以 β 可由向量组α1,α2 ,α3,α4 线性表
示,
...........................(6 分)
且
x1
=
5 4
,
x2
=
1 4
,
x3
=
−
1 4
,
x4
=
−
1 4
,得表达式
⎡0 1 0⎤
5、 设 A = ⎢⎢a21
a22
a23
⎥ ⎥
,
B
=
⎢ ⎢
a11
a12
a13
⎥ ⎥
,
P1
=
⎢⎢1
0
0⎥⎥ ,
⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦
⎢⎣a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13⎥⎦
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡1 0 0⎤
P2 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ 则必有 (
)
⎢⎣1 0 1⎥⎦
经计算,得
⎛ 0 2 1⎞
(E − A)−1 =
1 E−A
(E
−
A)*
=
1 3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−3 0
2 −1
1⎟⎟ .............................(4 分) 1⎟⎠
第6页共5页
⎛ 0 2 1⎞⎛1⎞ ⎛1⎞
所以
X
=
(E
−
A) −1 B
=
1 3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−3 0
2 −1
分)
1⎟⎠
⎛−1 ⎜ 所以 A = P⎜ 1 ⎜ ⎝
⎞ ⎛1
⎟ ⎟
P
−1
=
⎜ ⎜0
1⎟⎠
⎜ ⎝
0
0 0⎞ ⎟
0 − 1⎟ .....................................(10 分)
−1
0
⎟ ⎠
四、证明题(共 12 分)
1.(6 分)证 必要性: A 与 B 相似,则存在可逆阵 P ,使得 P−1AP = B .有
1 −1 1 −1
1 125
M11+M12 + M13 + M14 = A11 − A12 + A13 − A14 = −3
1
3
..........(4 分)
3
5 111
0 −1 0 0
2 3 4 6 −5 0
2 1 34
6 −5
=
= −2 4 2 = −2 4 2 = −2
= −84
−2 1 4 2
(1 式)式两边左乘以 A ,得 −x1α1 + (x2 + x3 )α2 + x3α3 = 0 .(2 式)......(2 分)
(1 式)-(2 式),得 2x1α1 − x3α2 = 0 .显然α1,α2 线性无关,则 x1 = 0, x3 = 0 .....(4 分)
代入(1式),得 x2α2 = 0 ,有 x2 = 0 ,所以α1,α2 ,α3 线性无关.................(6 分)
(A) AP1P2 = B ; (B) AP2P1 = B ;
(C) P1P2 A = B ; (D) P2P1 A = B .
第1页共5页
6、齐次线性方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 − 2x2 + 2x1 − x2
x3 +x4 − x3 =
= 0
0
的基础解系中含有解向量的个数是(
).
(A) 1
(B) 2
(C) 3
征值.
2.(6 分)设 A 为 3 阶矩阵, α1,α2 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量,向量 α3 满足 Aα3 = α2 + α3 .证明α1,α2 ,α3 线性无关;
第5页共5页
浙江理工大学 2013—2014 学年第 二 学期
《 线性代数 A 》期末试卷( A )卷标准答案和评分标准
⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
性表示的表达式.其中
β
=
⎜ ⎜ ⎜
2 1
⎟ ⎟ ⎟
;α1
=
⎜⎜1⎟⎟ ⎜1⎟
,
α
2
=
⎜ ⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
−1⎟
,
α3
=
⎜ ⎜ ⎜
−1⎟⎟ 1⎟
,
α
4
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
.
⎜ −1⎟
⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝1⎠
⎝1⎠
⎝ −1⎠
⎝ −1⎠
⎝1⎠
β
=
1 4
(5α1
+ α2
− α3
− α4 ) ..........(8
分)
4.(10 分)解 设 (β1, β2 , β3 ) = (α1,α2 ,α3 )P ...................................(2 分)
⎛1 2 3 ⋮ 3 5 1 ⎞
(α1,α2
,α3
|
β1,
5.(10 分)解 设对应 λ2,3 = 1 的特征向量为 (x1, x2 , x3 )T ,有 x2 + x3 = 0 .........(2 分) 所以属于特征值 λ2,3 = 1 的线性无关的特征向量为α2 = (1, 0, 0)T ,α3 = (0,1, −1)T .....(4 分)
⎛0 1
⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
4 (B) −
5
(C) 4
(D) 2
⎛ 22 30⎞
⎛− 5⎞
4、已知矩阵
⎜⎜ ⎝
−
12
a
⎟⎟ 有一个特征向量 ⎜⎜
⎠
⎝
3
⎟⎟ ,则 a 等于( ⎠
).
(A) −18
(B) −16
(C) −14
(D) −12
⎡a11 a12 a13 ⎤
⎡ a21
a22
a23 ⎤
6.已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + x22 + 5x32 + 2ax1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 为正定二次型.则 a 的
取值范围为
.
三、计算题(共 40 分)(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 142
1 125
1.(6 分)设 D = −3 1
3
3 ,试求 A14 +A24 +A34 +A44 和 M11 +M12 + M13 + M14 .
(D) 4
二、填空题(每小题 4 分共 24 分)
1.已知三阶矩阵 A 使得行列式 | 2 A+ 3E |=| 3A+ 4 E |=| 4 A+ 5 E |= 0 ,则 | A |=
549 49 9
2. 行列式 667 67 7 =
.
986 86 6
⎛ 7 4 x⎞
⎜
⎟
3. 已知矩阵 A = ⎜ 4 7 −1⎟ 的特征值为 λ1,2 = 3, λ3 = 12 ,则 x=
P
=
⎜ ⎜
9
20
9
⎟ ⎟
...........(8
分)
⎜ ⎝
4
12
8
⎟ ⎠
⎛ −27 −71 −41⎞⎛1⎞ ⎛ −139⎞
(2) γ
在基α1,α2 ,α3 下的坐标为
X
=
PY
=
⎜ ⎜
9
20
9
⎟ ⎟
⎜⎜1⎟⎟
=
⎜ ⎜
38
⎟ ⎟
.....(10
分)
⎜ ⎝
4
12
8
⎟ ⎠
⎜⎝1⎟⎠
⎜ ⎝
24
⎟ ⎠
第7页共5页
令 P = (α1,α2 ,α3 ) = ⎜⎜1 0
0⎞
⎛ ⎜
0
1
⎟ ⎟
,
P −1
=
⎜ ⎜1
1 2 0
1⎞
2
⎟ ⎟
0 ⎟ ........................(6 分)
⎜⎝1 0 −1⎟⎠
⎜ 1 1⎟ ⎜0 − ⎟
⎝ 2 2⎠
⎛ −1 ⎞
则
P −1 AP
=
Λ
=
⎜ ⎜
⎜
⎝
1
⎟ ⎟
.................................................(8
一选择题(每小题 4 分共 24 分) 1-6 题 A,C,B,B,C,B
二填空题(每小题 4 分共 24 分)
1、 − 5 ;2、 −46000 ;3、 x = −1 ;3、 a = 1 ;5、2;6、 − 4 < a < 0 .
2
3
5
三、计算题(共 40 分)
1.(6 分)解 A14 +A24 +A34 +A44 = 0 ;.......................................(2 分)
| B − λ E |=| P−1AP − λE |=| P−1( A − λE)P |=| P−1 | ⋅ | A − λE | ⋅ | P |=| A − λE | ,
所以 A 与 B 有相同的特征多项式,即有相同的特征值............................(3 分) 充分性:若实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值,设 λ1, λ2 ,⋯λn 为它们的特征值.令