[推荐学习]高考数学考点解读+命题热点突破专题16圆锥曲线中的热点问题文

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高考数学复习圆锥曲线中的热点问题

第3讲　圆锥曲线中的热点问题高考定位　1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟1.(2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是Cx 22的两个焦点，若MF ·MF <0，则y 0的取值范围是( )1→ 2→A. B.(－33，33)(－36，36)C. D.(－223，223)(－233，233)解析　由题意M 在双曲线C ：－y 2＝1上，则－y ＝1，x 22x 220即x ＝2＋2y .2020由1·2<0，得(－－x 0，－y 0)·(－x 0，－y 0)＝x －3＋y ＝3y －1<0，MF → MF →33202020即－<y 0<.3333答案　A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3x 2a 2y 2b2，P 4中恰有三点在椭圆C 上.(－1，32)(1，32)(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解　由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由＋>＋知，椭圆C 不经过点P 1，1a 21b 21a 234b 2所以点P 2在椭圆C 上.因此解得{1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，){a 2＝4，b 2＝1.)故C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)证明　设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴.设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝＋＝＝－1，得m ＝2，y A －1m －y A －1m －2m 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.x 24由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 28km4k 2＋1＝.4m 2－44k 2＋1则k 1＋k 2＝＋＝＋y 1－1x 1y 2－1x 2kx 1＋m －1x 1kx 2＋m －1x 2＝.2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.∴(2k ＋1)·＋(m －1)·＝0.4m 2－44k 2＋1－8km 4k 2＋1解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m >－1时，Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2).当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一　圆锥曲线中的最值、范围【例1】　(2016·浙江卷)如图所示，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.解　(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p ＝2.p2(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由消去x 得y 2－4sy －4＝0.{y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，)故y A y B ＝－4，∴B .(1t 2，－2t)又直线AB 的斜率为，2tt 2－1故直线FN 的斜率为－，t 2－12t从而得直线FN ：y ＝－(x －1)，直线BN ：y ＝－.t 2－12t 2t ∴N .(t 2＋3t 2－1，－2t)设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得＝，2t t 2－m 2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1于是m ＝＝2＋，∴m ＜0或m ＞2.2t 2t 2－12t 2－1经检验知，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).探究提高　求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】已知点A (0，－2)，椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，F 是椭x 2a 2y 2b 232圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点.233(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.解　(1)设F (c ，0)，由条件知，＝，得c ＝.2c 2333又＝，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.ca 32故E 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).将y ＝kx －2代入＋y 2＝1，x 24得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>时，x 1，2＝.348k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝|x 1－x 2|＝.k 2＋14k 2＋1·4k 2－34k 2＋1又点O 到直线PQ 的距离d ＝.2k 2＋1所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝d ·|PQ |＝.1244k 2－34k 2＋1＝t ，则t >0，S △OPQ ＝＝.4k 2－34t t 2＋44t ＋4t因为t ＋≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±时等号成立，且满足Δ>0.4t 72所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x －2.7272热点二　定点、定值问题命题角度1　圆锥曲线中的定值【例2－1】　(2016·北京卷)已知椭圆C ：＋＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.x 2a 2y 2b 2(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.(1)解　由题意知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为＋y 2＝1，x 24又c ＝＝.a 2－b 23所以椭圆离心率e ＝＝.ca 32(2)证明　设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x ＋4y ＝4，2020由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝(x －0)，y 0－1x 0令y ＝0，得x N ＝，x 01－y 0从而|AN |＝2－x N ＝2＋，x 0y 0－1由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝(x －2)，y 0x 0－2令x ＝0，得y M ＝，从而|BM |＝1－y M ＝1＋，2y 02－x 02y 0x 0－2所以S 四边形ABNM ＝|AN |·|BM |12＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2)＝x ＋4y ＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝＝2.2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2即四边形ABNM 的面积为定值2.探究提高　1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】 (2017·唐山一模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，点Qx 2a 2y 2b 222在椭圆上，O 为坐标原点.(b ，ab)(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值.(1)解　∵椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，x 2a 2y 2b 222∴e 2＝＝＝，得a 2＝2b 2，①c 2a 2a2－b 2a 212又点Q 在椭圆C 上，(b ，ab)∴＋＝1，②b 2a 2a 2b4联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4.∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 28y 24(2)证明　当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为x ＝或x ＝－，从而有|PN |＝22，3所以S ＝|PN |·|OM |＝×2×2＝2；1212326当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将PN 的方程代入椭圆C 的方程，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，－4km 1＋2k 22m 2－81＋2k 2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝，2m1＋2k 2由＝＋，得M .OM → OP → ON →(－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2)将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2.又点O 到直线PN 的距离为d ＝，|m |1＋k 2|PN |＝|x 1－x 2|，1＋k 2∴S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝·＝＝2.1＋2k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 248k 2＋242k 2＋16综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2.6命题角度2　圆锥曲线中的定点问题【例2－2】　(2017·哈尔滨模拟)已知两点A (－，0)，B (，0)，动点P 在y 22轴上的投影是Q ，且2·＝||2.PA → PB → PQ → (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.(1)解　设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ).∵2·＝||2，PA → PB → PQ →∴2[(－－x )(－x )＋y 2]＝x 2，22化简得点P 的轨迹方程为＋＝1.x 24y 22(2)证明　当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－(x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，1k 联立{x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），)消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝，且x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－42k 2＋1∴GH 中点E 1坐标为，(2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1)同理，MN 中点E 2坐标为，(2k 2＋2，kk 2＋2)∴k E 1E 2＝，－3k2（k 2－1）∴l E 1E 2的方程为y ＝，∴过点，－3k 2（k 2－1）(x －23)(23，0)当两直线的斜率分别为0和不存在时，l E 1E 2的方程为y ＝0，也过点，综上(23，0)所述，l E 1E 2过定点.(23，0)探究提高　1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】 (2017·菏泽调研)已知焦距为2的椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的右顶2x 2a 2y 2b 2点为A ，直线y ＝与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影43为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点.(1)解　设坐标原点为O ，∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴||＝||，AB → PQ → ∵||＝2||，∴||＝2||，则点B 的横坐标为，PQ → OB → AB → OB → a3∴点Q 的坐标为，代入椭圆C 的方程得b 2＝2，(a 3，43)又c 2＝2，∴a 2＝4，即椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22(2)证明　设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)，DA ⊥AM ，∴D (2，4k ).由消去y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，{x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），)则－2x 0＝，即x 0＝，8k 2－41＋2k 22－4k 21＋2k 2∴y 0＝k (x 0＋2)＝，则N ，4k 1＋2k 2(2－4k 21＋2k 2，4k1＋2k 2)设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，则DG ⊥AN ，∴·＝0恒成立.GD → AN →∵＝(2－t ，4k )，＝，GD → AN →(－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2)∴·＝(2－t )·＋4k ·＝0恒成立，GD → AN → －8k 21＋2k 24k 1＋2k 2即＝0恒成立，8k 2t 1＋2k 2∴t ＝0，∴点G 是定点(0，0).热点三　圆锥曲线中的存在性问题【例3】　(2017·长沙调研)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，且过点Px 2a 2y 2b 212，F 为其右焦点.(1，32)(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解　(1)因为＝，所以a ＝2c ，b ＝c ，c a 123设椭圆方程＋＝1，x 24c 2y 23c2又点P 在椭圆上，所以＋＝1，(1，32)14c 234c2解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.x 24y 23(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，{y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，)由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0，解得－<k <.1212设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，①32k 23＋4k 2x 1x 2＝.②64k 2－123＋4k2因为△AMF 与△MFN 的面积相等，所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③由①③消去x 2得x 1＝.④4＋16k 23＋4k2将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝⑤64k 2－123＋4k 2将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5.∴k ＝±，经检验满足题设56故直线l 的方程为y ＝(x －4)或y ＝－(x －4).5656探究提高　1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】 (2017·新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p 的值；若不存在，QA → QB → QA → QB → 说明理由.解　(1)∵直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)，∴F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2.设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |，当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值2＋3＝5.(2)假设存在，抛物线x 2＝2py 与直线y ＝2x ＋2联立方程组得：x 2－4px －4p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(4p )2＋16p ＝16(p 2＋p )>0，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ，∴Q (2p ，2p ).∵|2＋|＝|2－|，∴QA ⊥QB .QA → QB → QA → QB →则·＝0，QA → QB →得(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )(2x 2＋2－2p )＝5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝或p ＝－1(舍去).14因此存在实数p ＝，且满足Δ>0，使得|2＋|＝|2－|成立.14QA → QB → QA → QB →1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)若a >1，则双曲线－y 2＝1的离心率的取值范围是( )x 2a 2A.(，＋∞) B.(，2)22C.(1，) D.(1，2)2解析　由题意e 2＝＝＝1＋，c 2a 2a 2＋1a 21a2因为a >1，所以1<1＋<2，则1<e <.1a 22答案　C2.F 1，F 2是椭圆＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则·的最大x 24PF 1→ PF 2→ 值是( )A.－2B.1C.2D.4解析　设P (x ，y )，依题意得点F 1(－，0)，F 2(，0)，33·＝(－－x )(－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝x 2－2，注意到－2≤x 2－2≤1，PF 1→ PF2→ 333434因此·的最大值是1.PF 1→ PF 2→答案　B3.(2017·沈阳二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A.2 B. 12C. D.1418解析　根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝y ，其准线方程为y ＝－，∴当点P 在抛物线的1218顶点时，d 有最小值，即|PF |min ＝.1818答案　D4.(2017·全国Ⅰ改编)椭圆C ：＋＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端x 23y 2m 点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A.(3，＋∞) B.[1，3)C.(0，)D.(0，1]3解析　依题意，当0<m <3时，焦点在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°，即≥，解得0<m ≤1.ab 3m 3答案　D5.(2017·全国Ⅱ卷)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M (M 3在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A.B.252C.2D.333解析　由题知MF ：y ＝(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 13＝，x 2＝3，所以M (3，2).133因为MN ⊥l ，所以N (－1，2)，3因为F (1，0)，所以NF ：y ＝－(x －1)，3所以M 到NF 的距离为＝2.|3（3－1）＋23|（－3）2＋123答案　C 二、填空题6.设双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的x 2a 2y 2b 2横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析　双曲线C ：－＝1的一条渐近线为y ＝x ，x 2a 2y 2b 2ba 联立消去y ，得x 2＝x .{y 2＝x ，y ＝b ax )b 2a 2由x 0>1，知<1，b 2<a 2.b 2a 2∴e 2＝＝<2，因此1<e <.c 2a 2a 2＋b 2a22答案　(1，)27.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则·的最小值为________.FP → FQ →解析　如图，在Rt △QPF 中，·＝||||cos ∠PFQ ＝||||FP → FQ → FP → FQ → FP → FQ → |PF → ||FQ →|＝||2＝||2－1.FP → FQ →由抛物线的定义知：||＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准FQ →线的距离最短，∴||min ＝2，FQ →∴·的最小值为3.FP → FQ →答案　38.(2017·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析　不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0).则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝＋y 1.y4又y 1y 2＝－p 2＝－4.∴|AC |＋|BD |＝－(y 2<0).y 44y2设g (x )＝－，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.x 244x ∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3.答案　3三、解答题9.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的离心率是，点P 在椭圆E 上.x 2a 2y 2b 232(1，32)(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0<x Q <1，求直线l 斜率k 的取值范围.解　(1)由题意得解得{ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2){a ＝2，b ＝1，c ＝3，)椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)设直线l 的方程为y －＝k (x －1)，32代入方程＋y 2＝1.x 24消去y 得(1＋4k 2)x 2＋(4k －8k 2)x ＋4k 2－4k －1＝0，33∴x Q ·1＝，4k 2－43k －11＋4k 2∵0<x Q <1，∴0<<1，即4k 2－43k －11＋4k2{4k 2－43k －11＋4k 2>0，4k 2－43k －11＋4k 2<1.)解得－<k <或k >，经检验，满足题意.363－223＋22∴直线l 斜率k 的取值范围是或.(－36，3－22)(3＋22，＋∞)10.(2017·延安调研)如图，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)，经过点A(0，－1)，且离x 2a 2y 2b 2心率为.22(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.(1)解　由题设知＝，b ＝1，ca 22结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝，2所以椭圆的方程为＋y 2＝1.x 22(2)证明　由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入＋y 2＝1，x 22得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，4k （k －1）1＋2k 22k （k －2）1＋2k 2从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝＋＝＋y 1＋1x 1y 2＋1x 2kx 1＋2－k x 1kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2)x 1＋x 2x 1x2＝2k ＋(2－k )＝2k －2(k －1)＝2.4k （k －1）2k （k －2）故k AP ＋k AQ 为定值2.11.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)x 24交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.解　(1)由题设可得M (2，a )，N (－2，a )，a a 或M (－2，a )，N (2，a ).a a 又y ′＝，故y ＝在x ＝2处的导数值为，C 在点(2，a )处的切线方程为y －ax 2x 24a a a (x －2)，a a 即x －y －a ＝0.a y ＝在x ＝－2处的导数值为－，C 在点(－2，a )处的切线方程为y －a ＝－x 24a a a (x ＋2)，a a即x ＋y ＋a ＝0.a 故所求切线方程为x －y －a ＝0和x ＋y ＋a ＝0.a a (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝＋y 1－b x 1y 2－b x2＝＝.2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2k （a ＋b ）a 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.。

高三数学二轮专题复习第3讲圆锥曲线中的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟1.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB→，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大. [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2. [答案] 52.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM→＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值. (1)解因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1).令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m ＝－1，得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2). 所以l 过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响. 2.定点、定值问题(1)定点问题：在[解析]几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在[解析]几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】 (2018·西安质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (4，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1.又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，所以y 1y 2＝12m 2＋4.λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2| ＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316，所以394<λ<12.综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴. (2)解由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 热点二定点、定值问题考法1 圆锥曲线中的定值【例2－1】 (2018·烟台二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，P 为椭圆上一点，且满足OP ⊥MN ，问：1|MN |＋1|OP |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解 (1)由题意可知c ＝3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减并整理得，y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·k OD ＝－b 2a 2.又因为k AB ＝12，k OD ＝－12，代入上式得，a 2＝4b 2. 又a 2＝b 2＋c 2，c 2＝3，所以a 2＝4，b 2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知，F (－3，0)，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，则1|MN |＋1|OP |2＝14＋1＝54，否则，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y 2＝1，y ＝k （x ＋3），消y 得，(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 1| ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－83k 21＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2＝4＋4k 21＋4k 2，设直线OP 方程为y ＝－1k x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，根据对称性不妨令P ⎝⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋4，2k 2＋4，所以|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋42＝4＋4k 2k 2＋4. 故1|MN |＋1|OP |2＝1＋4k 24＋4k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2k 2＋42＝1＋4k 24＋4k 2＋k 2＋44＋4k 2＝54，综上所述，1|MN |＋1|OP |2为定值54.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. (1)解由题意知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32. (2)证明设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.即四边形ABNM 的面积为定值2. 考法2 圆锥曲线中的定点问题【例2－2】 (2018·衡水中学质检)已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点. (1)解设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ).∵2PA →·PB →＝|PQ →|2，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k (x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1，同理，MN 中点E 2坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2，∴kE 1E 2＝－3k2（k 2－1），∴lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∴过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，综上所述，lE 1E 2过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.探究提高 1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若OA →·OB→＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值. 解设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . ∴x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2. (1)证明由OA →·OB→＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. ∴直线l 方程为x ＝my ＋2， ∴直线l 恒过定点(2，0).(2)∵直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切， ∴|1－n |1＋m 2＝2，且n ≥3，整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3).① 又点P 坐标为(1，0)，∴由已知及①，得 PA →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n ＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数，∴当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故PA →·PB→的最大值为－8. 热点三圆锥曲线中的存在性问题【例3】 (2018·江南名校联考)设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33，∴CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝2 2. 椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)，使得DE →·DF →为定值.∴DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2 ＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k 2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF→的值与k 无关，∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF→＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0，解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等，所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4).1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值. 3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B .(1，2)C .(1，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 [解析] 易c ＝1，a ＝λ，且e ∈(1，2)，∴1<1λ<2，得14<λ<1. [答案] D2.若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A .2B.12C.14D.18[解析] 根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18. [答案] D3.(2018·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A .210－5 B .210－4 C .410－11D .410－10[解析] 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.∴m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.∵x ≤2，∴x ＝8－210.故点P 到直线AB距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. [答案] A4.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B .2C. 3D. 2[解析] 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3. [答案] C 二、填空题5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________. [解析] 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝b a x消去y ，得b 2a 2x 2＝x .由x 0>1，知b 2a 2<1，b 2<a 2.∴e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2<2，因此1<e < 2.[答案] (1，2)6.(2018·武汉模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.[解析] 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)， B (x 2，y 2)(y 2<0).则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1. 又y 1y 2＝－p 2＝－4.∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x ，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增. ∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3. [答案] 3 三、解答题7.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切. (1)求动圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点.(1)解由题意得点M 与点(0，1)的距离等于点M 与直线y ＝－1的距离. 由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明由题意知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2得x 2－4kx ＋8＝0， Δ＝16k 2－32>0得k 2>2， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1).即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1（x 1－x 2）4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋2，则直线AC 恒过点(0，2).8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2. 又4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4，则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2），点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2即m ＝±2时上式等号成立，故△PAB 面积的最大值为2.9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3.由PM→＝NQ →得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾. 因此不存在满足条件的直线.10.(2018·惠州调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.(1)证明法一当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x 得ky 2－4y －8k ＝0，所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值. 法二设直线AB 的方程为my ＝x －2.由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x 得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值. (2)解存在.理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝（x 1－2）2＋y 21，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4，点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a ，所以所截弦长为2r 2－d 2＝214（x 21＋4）－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2 ＝x 21＋4－（x 1＋2－2a ）2＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2，当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x ＝1.11.(2018·西安模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，P 为椭圆C 上任一点(不与A ，B 重合).已知△PF 1F 2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点B 且垂直于x 轴，延长AP 交l 于点N ，以BN 为直径的圆交BP 于点M ，求证：O ，M ，N 三点共线.解 (1)由题意知，c a ＝22，∴c ＝22a .又b 2＝a 2－c 2，∴b ＝22a .设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，则S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·r ，＝12(2a ＋2c )·r ＝(a ＋c )r ，故当△PF 1F 2面积最大时，r 最大，即P 点位于椭圆短轴顶点时，r ＝2－2，∴(a ＋c )(2－2)＝bc ，把c ＝22a ，b ＝22a 代入，解得a ＝2，b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意知，直线AP 的斜率存在，设为k ，则AP 所在直线方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，则有x P ·(－2)＝8k 2－42k 2＋1， ∴x P ＝2－4k 22k 2＋1，y P ＝k (x P ＋2)＝4k 2k 2＋1，得BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1，又N (2，4k )，∴ON →＝(2，4k ). 则ON →·BP →＝－16k 22k 2＋1＋16k 22k 2＋1＝0， ∴ON ⊥BP ，而M 在以BN 为直径的圆上， ∴MN ⊥BP ，∴O ，M ，N 三点共线.。

高考数学深化复习+命题热点提分专题16圆锥曲线中的热点问题文

高考数学深化复习+命题热点提分专题16圆锥曲线中的热点问题文1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e 的取值范围为( )A. ⎝⎛⎭⎫0，22B. (0,1)．C ⎝⎛⎭⎫0，12D. 【答案】：A【解析】：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e＝＝＝∈.2．椭圆C ：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤38，34B.C. ⎣⎡⎦⎤34，1D. 【答案】：B【解析】：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而k ＝，k ＝，所以k·k＝＝－.又k∈[－2，－1]，所以k∈.3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A ，B 两点，若点N是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( )A ．2p B.pC ．2p2D.p2 【答案】：C4．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A. 355B.C.3D.【答案】：B 【解析】：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y ，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x －a2(1＋b2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得0<a2≤5且a2≠，此时e ＝≥＝.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是，选B.5．已知点F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋)D ．(1,1＋) 【答案】：B【解析】：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE 中，|AF|＝，|FE|＝a ＋c ，则<a ＋c ⇒b2<a2＋ac ⇒2a2－c2＋ac>0⇒e2－e －2<0⇒－1<e<2，又e>1，则1<e<2，故选B.。

圆锥曲线高考热点

圆锥曲线高考热点：
动中求静，变化之中研究不变关系
一、综述
解析几何的核心思想是坐标法思想，是用代数方法研究几何问题，动中求静，变化之中研究不变关系，成为解析几何的核心研究问题．对江苏省近三年高考及各地模拟考试试题抽样调查统计表明：定点定值问题约占50﹪ ．
x2 y2 例 1．已知椭圆 2 ＋m＝1 的右焦点 F，右准线为 l，且 m ＋m 直线 y＝x 与 l 相交于 A 点．（1）若⊙C 经过点 O（O 为坐标原点）、F、A 三点，求⊙C 的方程；（2）当 m 变化时，求证：⊙C 经过除原点 O 外的另一个定点 B； → •AB → ＜5 时，求椭圆离心率 e 的范围．（3）若AF
4k2－12k－3 3 －12k2－6k 所以点 E（，＋）． 2 4 k 2＋ 3 4k2＋3
点 F 坐标则是用－k 代替 k 就行了， 4k2＋12k－3 3 12k2＋6k 1 所以点 F（，＋）．所以 kEF＝． 2 2 4k2＋3 4k2＋3
说明：在研究定值（定点）问题时，也可以先把问题特殊化，将定值（定点）求出来．（突出研究问题的方法：一般问题特殊化，先找出定值．）例如本题中，可以先令 F 为椭圆右顶点，直线 AF 的斜率就可求出，从而，直线 AE 的方程就确定，进一步求出点 E 坐标．就可以得出直线 EF 的斜率．上一题中先利用特殊化求出定点坐标，再证明三点共线．
x2 y2 3 例 3，已知椭圆 C：＋＝1 上一点 A（1，），E、F 是椭 4 3 2 圆 C 上的两个动点，若直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，直线 EF 的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．
解析基本解题思路：先求出点E、F的坐标，再研究直线3) (1－x)(1＋x) ，即＝． 4 12 4

高考中圆锥曲线解答题的热点问题分析

高考中圆锥曲线解答题的热点问题分析作者：杨慧瑛来源：《进出口经理人》2017年第04期摘要：高考中圆锥曲线解答题所占的分值比较大，一般在15%左右，其中调查得知，广西所用的全国卷，有关题目的分值达到 22%，由此可见圆锥曲线问题对考生的成绩非常重要，为了提高高考数学成绩，必须对相关热点问题进行分析，使用合理的方法进行解答，提高学生的分值。

下面就对这些方面进行分析，希望给有关人士一些借鉴。

关键词：高考；圆锥曲线；热点问题通过调查了解到学生遇到圆锥曲线问题后，都选用平面直角坐标系的框架下用代数的方法来分析求解，这一方法虽然也能得到正确答案，但是计算量大，解答过程比较繁琐，在高考中考试时间有限，从整体分析这种方法的弊端很大，因此可以选用一种新的方法。

一、分析高考中圆锥曲线解答题的热点问题对于当前在高考中所出现的圆锥曲线类问题而言，主要有圆锥曲线位置问题、动点的轨迹方程问题、定点定值问题、和直线相关的问题、求圆锥曲线方程问题、求最值问题等。

一般求解圆锥曲线这类问题时，学生将题目转化为在平面直角坐标系的框架下，然后求解时使用代数的方法。

在具体求解过程中，会使用到相应的函数、定义、方程，以及韦达定理等，对相关问题进行分类讨论，最终通过逻辑解决问题。

二、求解离心力的方法分析下面就以2016年全国卷Ⅲ卷理科中的一道有关圆锥曲线解答题为例进行分析，题目：已知 O是坐标原点，F属于椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的左焦点，其中函数中的A、B是C点的左顶点和右顶点。

P属于C中的一点，并且PF⊥X轴，在A点有一条直线L，且这条直线L和另一条线段PF相交，相交的点是M，在此基础上，该线路还和y轴上的一点相交于E点。

问题：如果直线BM经过OE点的中点，求C的离心率。

对问题进行深入分析：从图1就可以得知△AFM∽△AOE、△BOD∽△BFM，结合相似比就可以求解出a、c之间的关系，最终得到离心率。

具体求解过程：由椭圆的性质就可以得到OF=c，OA=OB=a[1]，AF=a-c，根据题目就可以得到△AFM∽△AOE，进而就有AFAO=FMOE，通过简化得到a-ca=FMOE①，因为△BOD∽△BFM，可以得到a/a+c=1/2OE/FM②，那么最终将公式①和公式②进行联立，最终求解得到e=c/a=13[2]，通过求解这一问题得到的心得：这一题求解中使用了平面几何法，避免求解中求直线方程，也不需要直接求解点坐标，因此缩短了求解时间，简化了了计算过程，这一方法在以后可以应用。

圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)

第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________．答案 2x ＋4y －3＝0解析设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0，猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0，证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝24－x 1·y 2－3y 2－y 124－x 1＝24－x 1·kx 2－1－3kx 2－x 124－x 1＝－8k －2kx 1x 2＋5kx 1＋x 224－x 1＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k ·8k 224－x 1·3＋4k 2＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝x －42＋y 2， ∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2， ① x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x . (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －m x 26＋y 22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0，即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>3k 21＋3k 2； (2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1k y －1.将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝⎛⎭⎫3＋1k 2y 2－2y k ＋1－a 2＝0，①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k 2－4⎝⎛⎭⎫1k 2＋3(1－a 2)>0，整理得⎝⎛⎭⎫1k 2＋3a 2>3，即a 2>3k 21＋3k 2. (2)解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①，得y 1＋y 2＝2k1＋3k 2，因为AC →＝2CB →，得y 1＝－2y 2，代入上式，得y 2＝－2k1＋3k 2.于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝32|y 2| ＝3|k |1＋3k 2≤3|k |23|k |＝32. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33. 由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33， y 2＝33这两组值分别代入①，均可解出a 2＝5.所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(推荐时间：70分钟)一、选择题1．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3答案 B解析若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )－y 216＝1－y 29＝1 －y 216＝1(x >3)－y 29＝1(x >4)答案 C解析如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞) C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <51<25c 2<4，∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c2＝125c 2－1>13. 二、填空题6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．答案－2解析易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.8．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案522－1解析过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)．又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k )． ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83.当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA 与PB的斜率之积为－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解由题知：y x ＋2·y x －2＝－12.化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(2)证明方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋kx 1－1x 2－x 1kx 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)．12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)．圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )， ⎩⎪⎨⎪⎧ |－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2 解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2. ∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0 ∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187.。

高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇

高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇在高考数学中，圆锥曲线一直是一个重要的考点，其涉及的知识点较为深奥，对学生的数学能力和逻辑思维能力都有很高的要求。

本文将从圆锥曲线的基本概念出发，深度解析其在高考数学中的应用，并对其中的核心考点进行逐一剖析。

一、基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的点到两个定点的距离之比等于到一个定点到一个定直线的距离的性质的点的轨迹。

2. 圆锥曲线的分类：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们分别对应着不同的几何特征和数学表达式。

二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 椭圆的性质：椭圆具有对称性、焦点、长轴和短轴等几何特征，并且在数学上有严格的表达式和性质。

三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

2. 双曲线的性质：双曲线同样具有对称性、焦点、渐近线等独特的几何特征，其数学性质和表达式也有着明确定义。

四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点到一个定直线的距离相等的点的轨迹。

2. 抛物线的性质：抛物线是所有圆锥曲线中最简单的一种，其几何性质和数学表达式都具有很强的规律性和特殊性。

五、高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中有着举足轻重的地位，它涉及到的知识点既有几何直观又有严谨的数学表达，考查的内容也涵盖了平面几何、解析几何和代数方程等多个方面。

六、核心考点解析1. 圆锥曲线方程：掌握圆锥曲线的一般方程及标准方程是解题的基础，要熟练掌握各种类型圆锥曲线的方程形式和性质。

2. 圆锥曲线的性质：了解椭圆、双曲线和抛物线各自的特点和性质，对其焦点、渐近线、参数方程等知识要有深入的理解。

3. 圆锥曲线的应用：掌握圆锥曲线在现实生活和工程技术中的实际应用，能够将数学知识与实际问题相结合。

七、个人观点圆锥曲线作为高考数学的重要内容，不仅考查学生对数学知识的掌握和运用能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和数学素养。

高考数学(理)二轮ppt课件：圆锥曲线中的热点问题共63页

42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
高考数学(理)二轮ppt课件：圆锥曲线中的热点问题
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹