材料力学扭转1 ppt课件
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材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
扭转刚度(材料力学)
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h 相关的因数 b
对于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学课件 扭转
x ＝ y
2020/3/22
17
5.3 纯剪切
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直的平面 上，垂至于两平面交线的剪 应力总是同时存在，且大小 相等，都指相（或都背离） 两平面的交线。
纯剪应力状态：
y
τy
d
a
τx
τx
x
dy
b
τy
z
dx
c
单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元
体为纯剪应力状态。
2020/3/22
4、扭矩图——扭转变形的内力图
➢扭矩图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标， “正在上，负在下”； ③标注正负号、值的大小及图形名称。
➢扭矩图的注意事项：
①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；
②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力
19
思考题
指出下面图形的剪应变
剪应变为 α
2020/3/22
剪应变为 0
20
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
前面推导得到：薄壁圆筒横截面 剪应力与扭矩之间的关系：
T 2R 2t
t——壁厚 R ——平均半径
τ
T
τ
剪应力沿壁厚均匀分布
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5.4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆截面杆受扭时横截面上的应力
值的大小，不带正负号；
④202阴0/3/2影2 线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
8
例题：
例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别 为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
材料力学 扭转(1)
注意：对于空心圆截面
π D 4 d 4 Ip 32
π D 3 d 3 Wp 16
四、扭转强度计算 1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴: max
M W p max
M n max 等截面圆轴: max Wp
2、强度条件应用：
4
D 32
AC 外
d 4 6.38 cm 4
（3）计算应力
AC max
T D T I P1 2 WP1
37.5 106 Pa 37.5 MPa
0 0
Mn
t布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均
匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
Mn
dA.r
A 2
0 2
2
0
r0 td r0 t 2
d
Mn 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
m
x
0, M n T 0
Mn T
取右段为研究对象：
T
Mn Mn
x
T
m
x
0, T M n 0
Mn T
内力偶矩——扭矩 M n。
x
3、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢 量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
即该轴满足强度条件。
n 360 r/ min 例 AB轴传递的功率为 N 7.5 kW ，转速 。 如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。 ， 已知D 3 cm d 2 cm 。试计算AC以及CB段的最大切应力。
材料力学课件——扭转的强度与刚度计算
MMnMnⅢⅢMnMⅢMnDMⅢD DMD
351N· m
468N·
(+)m (-)
702N· m
解 （1）计算外力偶矩：
MA
9550 NA n
9550 36.75 300
1170N m
MB
MC
9550 NB n
9550 11 300
351N m
MD
9550 ND n
9550 14.7 300
P B mB
B
mB （a）
P
mB
B
（b）
本章主要内容
▪ 第一节 概述 ▪ 第二节 扭转时的内力 ▪ 第三节 纯剪切、剪应力互等定理、剪切胡
克定律 ▪ 第四节 圆轴扭转时的应力与变形 ▪ 第五节 圆轴扭转时的强度和刚度计算 ▪ 第六节 密圈螺旋弹簧应力及变形的计算 ▪ 第七节 非圆截面等直杆的纯扭转
扭矩
N(kW ) Me 9550 n(r / min ) （Nm)
•当N为马力 扭矩
N(Ps)
Me 7024 n(r / min )（N m)
二、扭矩 扭矩图
扭矩mn符号规定如下：按右手螺旋法则把mn 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一
致时， mn为正；反之为负。
内力—扭矩
mn
j mn
t dy
nm
x 定理。（rocal
theorem of shear stresses ）
dx
z
▪ 剪应力互等定理（Reciprocal theorem of shear stresses ）
▪ 单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方
向相反（共同指向交线或背离交线）
▪ 类似可证明 —— 每两个邻近边剪应力值相 等
材料力学(孙训方)PPT课件
[例3-2-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55P1 n
9.55500 300
A
15.9(kN m)
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 5 2 9. 5 1 35 5 0 4 .0 0 7(8 k m N) m 49 .5P n 5 49. 5 3 25 0 0 6 0 0 .3(7km N)
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
其中：P n
— —
功率，马力（PS） 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78 kNm
9.56 kNm
D
6.37 kNm
x
例 32-2已知 :m12kN m,m2 4kN m,m3
1kN m,m4 1kN m,求:各段扭矩及画扭
解：1——1:
m4 3 m3 2 m2 1 m1
M0 m1T10
T1 m1 2kNm
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
材料力学扭转PPT课件
方向如图所示
Nm
MB
MC
MA
MD
14
材
料 力
外力偶矩、扭矩和扭矩图
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
B
C
A
主动轮 D
13
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549 PA n
11.68 103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68 103
材 料 力 学
Mechanics of Materials
第四章 扭转
1
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
工程实例
2
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
受力特点：两个等值反向的 力偶矩分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点：杆件的各横截面 绕杆的轴线发生相对转动
12
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
例 如图所示的传动轴的转速n=300转 /分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动 轮B、C及D的输出功率分别为 PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴 的扭矩图，并确定最大扭矩Tmax及其所在位
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学-扭转1精选ppt
第五章 扭 转
§5-1 扭转概念和工程实例 §5-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §5-3 纯剪切 §5-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 §5-6 扭转静不定问题 §5-7 矩形截面杆的自由扭转
.
§5-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
.
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
1、扭转杆件的内力（截面法）
m
m
左段：
m x
0,
T m0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T .
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
+
T
T
-
.
.
3、内力图（扭矩图） 扭矩图作法：同轴力图：
阻抗力偶
Me
主动力偶
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
3、机器中的传动轴工作时受扭。
汽车传.动轴
4、汽车离合器连接时受扭。
.
5、扳手卸轮胎
.
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
阻抗力偶
Me
主动力偶
负号说明与假设方向相反。
.
（三）绘扭矩图。
扭矩图
.
§5-3 纯剪切
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
§5-1 扭转概念和工程实例 §5-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §5-3 纯剪切 §5-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 §5-6 扭转静不定问题 §5-7 矩形截面杆的自由扭转
.
§5-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
.
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
1、扭转杆件的内力（截面法）
m
m
左段：
m x
0,
T m0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T .
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
+
T
T
-
.
.
3、内力图（扭矩图） 扭矩图作法：同轴力图：
阻抗力偶
Me
主动力偶
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
3、机器中的传动轴工作时受扭。
汽车传.动轴
4、汽车离合器连接时受扭。
.
5、扳手卸轮胎
.
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
阻抗力偶
Me
主动力偶
负号说明与假设方向相反。
.
（三）绘扭矩图。
扭矩图
.
§5-3 纯剪切
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
材料力学 03章1-3扭转
Tn1
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
TB
1210
Tn 2
x
Tn
-1590
A
B
C
19 TA 9549 1210 Nm 150 同样 TB =2800Nm, TC =1590Nm
Tn
-2800
x
-1590
接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！
关于应力的三个问题：
存在什么应力 应力如何分布 应力如何计算 TK 先研究一个比较简单的问题 TK A
MA A
MD D x
PA 60kW , PB 10kW P C 20kW , P D 30kW
试画轴的扭矩图。
1面 MB
3面
T3
MD D x
解：求外力偶矩
B MB B
P 由M 9549 解得： n M A 1910 N m M B 318 N m M C 637 N m M D 955 N m
Me
Pk t Pk Pk M t
Me
e
Me
n r / min(转 / 分）；
rad /（弧度 9549 Pk 2 n n M e 9549 60 n
2. 扭矩
横截面上的内力偶矩
确定方法：截面法 符号：T 由静平衡确定其大小 正负规定：右手法则
TK
y
dy o dx
a
,
b
c x
TK
（ dy)
与
( dx)
,
z
d
组成一力偶，由力偶平衡得：
( dy)dx ( dx)dy 0
,
,
剪应力互等定理 ：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成 对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。
材料力学第3章 扭转幻灯片PPT
对于承受几个外力偶矩作用的轴，其不同横截面上的扭 矩不尽一样。为了表示扭矩的大小和正负随截面位置的变化， 可用扭矩图来形象描述之。
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
材料力学-第四章 扭转_1
该轴满足强度条件的要求。
§5-5圆轴的扭转变形与刚度条件
d T d x GI p
T d dx GI p
T dx GI p l
d
Tl 若T const，则 GIp
比较拉压变形：
Nl l EA
公式适用条件：
1）当p（剪切比例极限）公式才成立
2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
外表面dx rd d r dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
d
dx d d
dx
(a)
2. 物理关系
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪 应力不超过材料的剪切比例极限时 d G G (b) dx
（5-6） （5-7）
max
Wt
T max T Wt Ip
Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
4.圆与圆环的极惯性矩 I p和抗扭截面模量 Wt
Ip
d /2
0
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23
二、关于剪应力的若干重要性质
1、剪应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
m
mt
φ r
L
Mz 0
d y d z d x d x d z d y 得
2020/11/29
24
剪应力互等定理：
纯剪切
在相互垂直的
两个平面上，剪
应力必然成对存
在，且数值相等；
两者都垂直于两
19
（三）绘扭矩图。
扭矩图
2020/11/29
20
§5-3 纯剪切
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
r0
, r0：平均半径）
1、实验：
2020/11/29
21
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上 0,0
0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
tD , 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
2020/11/29
t
D
22
3、剪应力的计算公式：
TAd.r0 A 0 2 r02 tdr02 t2
d
T
2 r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
2020/11/29
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： W P1000(N m s)1 (s)
外力偶所做的功： WMe1Me26n0
P
P
2020/11/29
12
已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）
m 9549P n
m 7024P n
P——功率，单位为千瓦（KW） n——转速，单位为rod/min
T A d A
G d 2 d A
dx A
Ip
2dA
A
I
p
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
阻抗力偶
Me主动力偶mA来自me2020/11/29
10
变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生 相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。
轴：以扭转变形为主的杆件。
2020/11/29
11
§5-2外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、外力偶矩计算
个平面的交线，
方向则共同指向
各个截面上只有剪应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
2020/11/29
25
2、剪切虎克定律
在剪应力的作用下，单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变，这个改变量 称为
剪应变。
G — 剪切弹性模量(GN/m2)
当剪应力不超过材料
的剪切比例极限时，剪应
变 与剪应力τ成正比，
2020/11/29
17
解： （一）外力偶矩 （二）求解各段内力
2020/11/29
18
由平衡条件可解得各段内力为 ：
Mn1 m1 0.86KNm Mn2 m1 m2 2.01KNm Mn3 m1 m2 m3 1.435KNm Mn4 m5 0.385KNm
负号说明与假设方向相反。
2020/11/29
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
这个关系称为剪切胡克定 律。
G E
2(1 )
2020/11/29
26
§5-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系： 1、实验：
2020/11/29
27
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上剪应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
2020/11/29
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
2020/11/2内9 力偶矩——扭矩 T
14
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
+
T
T
-
2020/11/29
15
2020/11/29
16
3、内力图（扭矩图）
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
2020/11/29
4
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
2020/11/29
5
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
2020/11/29
6
3、机器中的传动轴工作时受扭。
2020/11/29
汽车传动轴
7
4、汽车离合器连接时受扭。
2020/11/29
8
5、扳手卸轮胎
2020/11/29
9
二、扭转的概念
第五章 扭 转
§5-1 扭转概念和工程实例
§5-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §5-3 纯剪切
§5-4 圆轴扭转时横截面上的应力
§5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算
§5-6 扭转静不定问题
§5-7 矩形截面杆的自由扭转
2020/11/29
1
§5-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
2020/11/29
Me
主动力偶
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
P——功率 ，单位为马力（PS） n——转速，单位为rod/min
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
2020/11/29
13
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
1、扭转杆件的内力（截面法）
m
m
左段：
m x
0,
T m0
T m
右段：
28
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
tg BB' Rd
2020/11/29
dx dx
微段扭转
变形 d
tg
bb dx
d
dx 29
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 maxP
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
2020/11/29
30
三）静力关系：
T AdA