最新初中-数学几何经典模型

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初中数学几何模型

全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城几何最值模型 VH *h 轴对称模型对称最值线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它同侧、异删芮线投之羞媪小槐型四边形周怏垠小根地三角形眉长必小檢哩三线穀之和她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。

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初中数学63个几何模型

初中数学63个几何模型
1. 点
2. 直线
3. 射线
4. 线段
5. 角
6. 直角
7. 钝角
8. 锐角
9. 平角
10. 三角形
11. 直角三角形
12. 等腰三角形
13. 等边三角形
14. 直线角平分线
15. 外角
16. 内角
17. 同位角
18. 对顶角
19. 同旁内角
20. 同旁外角
21. 三线合一定理
22. 利用同旁内角、三线合一求外角
23. 利用对顶角求角度
24. 正方形
25. 矩形
26. 平行四边形
27. 菱形
28. 梯形
29. 等腰梯形
30. 同底同高面积公式
31. 全等三角形
32. 相似三角形
33. 欧拉线
34. 垂线
35. 点到直线距离公式
36. 垂线段定理
37. 中线
38. 角平分线
39. 中垂线
40. 外心
41. 垂心
42. 重心
43. 内切圆
44. 外切圆
45. 位似比
46. 「半周角」公式
47. 内角和公式
48. 细分
49. 长度单位转换
50. 平面直角坐标系
51. 平移变换
52. 旋转变换
53. 对称变换
54. 条件语句
55. 循环语句
56. 取模 %
57. 迭代过程
58. Turtle库
59. 折线
60. 多边形
61. 圆
62. 起重机问题
63. 网格问题。

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。

这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。

同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。

如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。

在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。

题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。

证明CD等于GF。

题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。

证明△PBC是正三角形。

题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。

证明A2B2C2D2是正方形。

题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。

证明∠DEN＝∠F。

题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。

1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。

1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。

PB+PC>BC。

PC+PA>CA。

将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。

2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。

由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。

初中数学几何必杀技八大模型(pdf)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH ）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD 均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD ；②ZAEB=60°；③EO 平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD 均为等腰直角三角形.结论:①左QAC 丝△OBD ；②ZAEB=90°；③EO 平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD 均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD.结论:①左OAC^/\OBD ；②ZAEB=ZAOB ；③EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB,AOACco AOBD ；②延长AC 交BD 于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB,AOACco AOBD,②连接AC,BD 交于点E,必有ZBEC=ZBOA ；®|^=^=^=tanZOCD ；@BD±AC ;⑤连接AD,BC,必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；⑥S mABCD =yACX BD （对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB =ZDCE=90°；②OC 平分ZAOB.结论：®CD=CE ；②OD+OE=7^OC ；③=扌8气证明提示：①过点C 作CM 丄OA 于点M,CN 丄OB 于点N,如图②，证明△CDM^△CEN；②过点C 作CF 丄。

C,如图③，证明△ODC^AFEC.当ZECD 的一边交A 。

的延长线于点D 时，如图④，结论：（DCD=CE （不变）；②OE—OD=72OC ；③S ACCE —S A0CD =yOC 2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试.A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB=2ZDCE=120°；②OC平分ZAOB.结论:①CD=CE；②OD+OE=OC；③S*+S ACCE=^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ECF丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD=OC；®S ACCE—Sg=^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB=2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD+OE=2OC-cosa;③S A0CD+S ACCE=OC2•sina•cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C平分ZAOB OD=2OC-cosa；③S ACC£-S ACCD=0C2•sina,cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。

初中数学63个几何模型

初中数学63个几何模型不同的几何模型在我们日常生活和学习中都有着广泛的应用。

通过学习这些几何模型，我们可以更好地理解和应用数学知识。

下面介绍63个几何模型的相关知识和应用。

第一类几何模型是平面图形。

平面图形包括三角形、四边形、五边形、六边形等。

三角形是最简单的平面图形，也是许多几何定理的基础，比如直角三角形的勾股定理。

四边形是指四条线段构成的图形，其中包括正方形、长方形、菱形等。

五边形和六边形则分别称为五边形和六边形。

这些平面图形在建筑、绘画、地图测量等方面都有广泛的应用。

第二类几何模型是立体图形。

立体图形包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体等。

长方体和正方体是最常见的立体图形，它们具有稳定的立体结构，广泛应用于建筑、包装、设备、器具等领域。

圆柱和圆锥也有着广泛的应用，例如烟囱、钢管、饮水机等。

球体则广泛应用于科学、艺术、体育竞技等方面，例如地球仪、篮球、高尔夫球等。

第三类几何模型是曲面图形。

曲面图形包括椭球、双曲面、抛物面等。

椭球广泛应用于天文、地理和工程学等领域，例如地球表面的形状、汽车、飞机等的外形设计。

双曲面和抛物面则具有独特的形状和结构，广泛应用于建筑、航空航天、汽车等领域。

第四类几何模型是向量。

向量是表示大小和方向的量，具有几何意义。

向量广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域，例如机器人运动控制、人工智能、网络传输等。

第五类几何模型是二次曲线。

二次曲线是由二次方程所定义的曲线，包括椭圆、超椭圆、双曲线等。

二次曲线具有丰富的形状和特征，在计算机图形学、通信工程、密码学等领域有着广泛应用。

总之，学习这些几何模型不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以拓展我们的思维方式和解决问题的能力。

对于初中数学学习者而言，掌握这些几何模型是非常重要的，可以为以后的学习和工作打下坚实的基础。

七年级数学几何模型大全

七年级数学几何模型大全七年级的小伙伴们，今天咱们来唠唠七年级数学里那些超有趣的几何模型。

一、角平分线模型1. 双角平分线模型- 想象一下，有一个角，然后从这个角的顶点引出两条角平分线。

比如说∠AOB，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC。

这里面就有很多好玩的关系哦。

- 如果设∠AOB = 2α，那么∠AOC=α，∠AOD = α/2。

这里面的关键就是根据角平分线的定义，把角之间的关系找出来。

就像分蛋糕一样，角平分线就是把角这个“大蛋糕”分成相等的“小蛋糕”。

- 而且还有个重要的结论呢，如果两个角平分线所夹的角是β，那么β = 1/2∠AOB或者β = 1/2 (∠AOB - ∠COD)，这就看具体的图形情况啦。

2. 邻补角角平分线模型- 当有两个邻补角的时候，它们的角平分线可是很特别的。

比如说∠AOC和∠BOC是邻补角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC。

- 因为∠AOC+∠BOC = 180°，又因为OE和OF是角平分线，所以∠EOC+∠FOC=1/2(∠AOC + ∠BOC)=90°。

这就像两个小伙伴，把相邻的两块“角蛋糕”各自分一半，然后这两半加起来正好是个直角呢。

二、平行线模型1. “Z”字形模型（内错角模型）- 当有两条平行线被第三条直线所截的时候，就会出现像“Z”字一样的图形。

比如说直线a∥b，直线c与a、b相交。

- 这里面的内错角是相等的哦。

就好像在两条平行的铁轨（a和b）上，有一根枕木（c）横过来，形成的内错角就像在铁轨两边对称的位置，它们的大小是一样的。

- 如果∠1和∠2是内错角，那么∠1 = ∠2。

这个结论在证明角相等或者计算角的度数的时候可太有用啦。

2. “F”字形模型（同位角模型）- 还是两条平行线被第三条直线所截，不过这个时候是同位角的关系。

就像“F”字的形状。

- 同位角也是相等的呢。

比如说∠3和∠4是同位角，只要a∥b，那么∠3 = ∠4。

可以想象成在平行的道路（a和b）上，同样位置的标记（∠3和∠4），它们的角度肯定是一样的呀。

初中数学必背几何模型

一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ，连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ，连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。

初中几何46种模型大全

初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。

在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。

本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。

正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。

正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。

2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。

长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。

长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。

3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。

平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。

平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。

4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。

菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。

菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。

5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。

等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。

6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。

完整版)初中数学经典几何模型

完整版)初中数学经典几何模型初中数学经典几何模型（模型即套路），是初中数学里的重要部分。

在解决几何证明问题时，我们可以运用这些模型，从而更加高效地解决问题。

人们常说几何很困难，其中一个难点就在于辅助线的运用。

为了更好地运用辅助线，我们需要把握定理和概念，并且刻苦加钻研，找出规律凭经验。

在绘制图形时，我们可以利用角平分线向两边作垂线，或者将图形对折来寻找对称关系。

利用角平分线的平行线，我们可以构造等腰三角形。

同时，我们也可以尝试将角平分线加上垂线，从而将三条线合为一条。

线段垂直平分线时，我们可以将线段向两端延长或缩短来验证线段的倍数与半数关系。

在三角形中，连接两中点可以构造出中位线，同时延长中线也可以等于中线。

对于平行四边形，我们可以找到对称中心等分点。

在梯形中，我们可以利用高线平移一腰来解决问题。

同时，平行移动对角线，补成三角形也是常见的方法。

当证明相似时，我们可以通过比线段，添加平行线来构造相似三角形。

在等积式子比例换时，寻找线段也是很关键的。

直接证明有困难时，我们可以通过等量代换来简化问题。

在计算圆的相关问题时，我们可以利用半径与弦长计算，或者利用勾股定理来计算切线长度。

同时，在判断是否为切线时，我们可以通过半径垂线来进行辨别。

在解决相交圆的问题时，我们需要注意作公共弦。

对于内外相切的两个圆，我们可以通过切点来构造公切线。

同时，我们也可以利用连心线来确定切点。

在绘制图形时，我们需要注意勿改变虚线的位置。

基本作图也是很关键的，我们需要熟练掌握。

在解题时，我们需要多动脑筋，经常总结方法。

同时，我们也需要注意方法的灵活性，不要盲目乱添线。

在选用分析综合方法时，我们需要根据具体情况进行选择。

最重要的是，我们需要虚心勤学，加以苦练，才能在数学上取得更好的成绩。

斜边上作高线，比例中项一大片。

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在斜边上作高线，可以得到比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

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通过计算半径和弦长，可以得到弦心距。

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

中考数学常见的11种几何模型

中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。

二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。

三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。

八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。

九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。

初中几何46种模型大全

初中几何46种模型大全篇一：在初中几何学习中，学生需要掌握各种几何模型的性质和应用。

下面是46种常见的初中几何模型的介绍和拓展。

1. 点：几何学中最基本的对象，没有大小和形状。

2. 线段：由两个点确定的一段连续直线。

3. 直线：无限延伸的、由无数个点组成的连续直线。

4. 射线：起点固定，无限延伸的直线段。

5. 平行线：在同一平面上，永不相交的两条直线。

6. 垂直线：两条直线相交时，相互间的角度为90度。

7. 角：由两条线段或射线共享一个端点所夹成的图形。

8. 直角：角度为90度的角。

9. 锐角：角度小于90度的角。

10. 钝角：角度大于90度但小于180度的角。

11. 三角形：由三条线段连接的图形。

12. 等腰三角形：两边相等的三角形。

13. 等边三角形：三边相等的三角形。

14. 直角三角形：一条边与另外两条边成90度角的三角形。

15. 斜边：直角三角形的最长边。

16. 等腰梯形：有两对平行边，且一对边相等的梯形。

17. 长方形：有四个直角的四边形。

18. 正方形：四边相等且有四个直角的四边形。

19. 平行四边形：有两对平行边的四边形。

20. 五边形：有五条边的多边形。

21. 六边形：有六条边的多边形。

22. 正多边形：所有边相等且所有角相等的多边形。

23. 圆：平面上所有到圆心距离相等的点的集合。

24. 弧：圆上的一段连续曲线。

25. 弦：圆上连接两个非相邻点的线段。

26. 切线：与圆只有一个交点的直线。

27. 弓形：圆上的一段弧和与之相连的两条半径所围成的图形。

28. 圆心角：以圆心为顶点的角。

29. 多边形：有多个边和角的图形。

30. 正多边形：所有边相等且所有角相等的多边形。

31. 直角梯形：有一对直角且有两对平行边的梯形。

32. 正弦：在直角三角形中，对于一个角，其对边与斜边的比值。

33. 余弦：在直角三角形中，对于一个角，其邻边与斜边的比值。

34. 正切：在直角三角形中，对于一个角，其对边与邻边的比值。

初中数学常用几何模型

目录1. 8字模型与飞镖模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分线平行线模型5. 角平分线＋两垂线段模型6.等腰三角形的存在性问题7.A型、8型相似模型8.一线三等角相似模型8字模型与飞镖模型资料编号:202109012143关键词 8字模型飞镖模型8字模型如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连结AD 、BC ,则有C BD A ∠+∠=∠+∠.OACBD因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型. 8字模型的证明:证法一:∵D A AOB ∠+∠=∠ C B AOB ∠+∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）证法二:∵︒=∠+∠+∠180AOD D A ︒=∠+∠+∠180BOC C B ∴AOD D A ∠-︒=∠+∠180 BOC C B ∠-︒=∠+∠180 ∵BOC AOD ∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.点评 8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中.有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）.如图所示,有结论:DBABCD∠+∠+∠=∠.因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型. 飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系.AB CD飞镖模型的证明:证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示.∵BADBCD∠+∠=∠∠+∠=∠1,1∴DBABCD∠+∠+∠=∠.证法二:作射线AC,如下图所示.∵DB∠+∠=∠∠+∠=∠42,31∴DB∠+∠+∠+∠=∠+∠4321∴DBBADBCD∠+∠+∠=∠.FBECADAEAE例1. 如图所示,求证:︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A .B EC AD证法一:（飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示. ∵︒=∠+∠+∠180BFE E B CFD BFE ∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C A CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A . 证法二:（8字模型）连结CD ,如图所示,则有21∠+∠=∠+∠E B∵︒=∠+∠+∠180ADC ACD A∴︒=∠+∠+∠+∠+∠18021ADB ACE A ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E ADB ACE B A . 证法三:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵︒=∠+∠+∠18021ADB EC ∠+∠=∠∠+∠=∠21 ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180ED C B A .BECDA例2. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A _________.F CBEAD解法一:（利用8字模型） ∵32∠+∠=∠+∠B A3121∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠F E D C∴=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A()3212∠+∠+∠∵︒=∠+∠+∠180321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A . 解法二:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵B A ∠+∠=∠1DC FE ∠+∠=∠∠+∠=∠32∴=∠+∠+∠321F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ ∵︒=∠+∠+∠360321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A .例3. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠E D C B CAD _________.解:（利用飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示.FBECD A∵︒=∠+∠+∠180BFE E B ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C CAD CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B CAD .例4. 如图,△ABC 和△DCE 均是等腰三角形,CE CD CB CA ==,,=∠BCADCE ∠.（1）求证:AE BD =;（2）若︒=∠70BAC ,求BPE ∠的度数.NMPDABCE（1）证明:∵=∠BCA DCE ∠ ∴ACD DCE ACD BCA ∠+∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ 在△BCD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD CA CB ∴△BCD ≌△ACE （SAS ） ∴AE BD =; （2）解:方法一:∵△BCD ≌△ACE∴21∠=∠ ∵CB CA =∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵PBA PAB BPE ∠+∠=∠ ∴PBA BAC BPE ∠+∠+∠=∠2︒=︒+︒=∠+︒=∠+∠+︒=140707070170ABC PBA方法二:∵︒=∠=70,BAC CB CA ∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵︒=∠+∠+∠180ABC BAC ACB ∴︒=︒-︒-︒=∠407070180ACB ∵△BCD ≌△ACE ∴21∠=∠∵APB ACB ∠+∠=∠+∠21 ∴︒=∠=∠40APB ACB ∵︒=∠+∠180APB BPE ∴︒=︒-︒=∠14040180BPE .点评方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示.例5. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥.证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12（8字模型） ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例6.（1）问题发现如图1,△ABC 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE .填空: ①AEB ∠的度数为_________;②线段AD 、BE 之间的数量关系为_________;（2）拓展探究如图2,△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DCE ACB ,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 的高,连结BE ,请写出AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.图 1ECAB D图 2MEBCAD解:（1）①︒60; ②BE AD =;提示: ∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形 ∴CE CD CB CA ==,︒=∠=∠60DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠ ∴BCE ACD ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）（属于“手拉手”全等模型） ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB （属于“8”字模型） ∴︒=∠=∠60ACB AEB . （2）解:︒=∠90AEB ,CM BE AE 2=-; 理由如下:∵︒=∠=∠90DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠∴BCE ACD ∠=∠∵△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形 ∴CE CD CB CA ==, 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）……………………………………7分 ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB ∴︒=∠=∠90ACB AEB……………………………………8分 ∵DE CM CE CD ⊥=, ∴CM 平分DCE ∠∴︒=∠=∠=∠=∠45ECM DCM CED CDE ∴EM DM CM == ∴CM DE 2= ∵AD AE DE -= ∴CM BE AE 2=-.手拉手全等模型资料编号:202108292312关键词手拉手全等模型三角形全等手拉手全等模型介绍手拉手全等模型常见的有三种图形形式:两个等腰直角三角形组成的手拉手全等模型、两个等边三角形组成的手拉手全等模型以及两个普通等腰三角形组成的手拉手全等模型.必须说明的是,组成手拉手全等模型的两个等腰三角形,共用顶角的顶点（即两个顶角的顶点重合）,且两个等腰三角形的顶角相等.如图1、图2、图3所示,如果把大等腰三角形的腰长看作大手,小等腰三角形的腰长看作小手,两个等腰三角形共用顶角的顶点,类似大手拉着小手,所以把这种模型称为手拉手模型（手拉手模型还有手拉手相似模型）.图中两个等腰三角形的相对位置发生变化时,始终存在一对全等三角形. 手拉手模型常和旋转结合,作为几何综合题出现.图 1图 2图 3在图1、图2、图3中,△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,AE AD AC AB ==,,且DAE BAC ∠=∠,连结BD 、CE ,则△ABD ≌△ACE . 结论证明:（以图1为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. 结论证明:（以图2为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）.点评手拉手全等模型的依据都是SAS. 重要推论推论1 如图所示,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DAE BAC ,连结BD 、CE ,则有: （1）△ABD ≌△ACE ; （2）CE BD CE BD ⊥=,.推论1证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）∵△ABD ≌△ACE ∴21,∠=∠=CE BD延长BD 交CE 于点F ,如图所示. ∵BCF DBC BFE ∠+∠=∠ ∴ACB DBC BFE ∠+∠+∠=∠2︒=∠+∠=∠+∠+∠=901ACB ABC ACBDBC∴CE BD ⊥.推论2 如图所示,△ABD 和△BCE 均为等边三角形,点A 、B 、C 在同一直线上,连结AE 、CD ,则有:FGHEDACB（1）△ABE ≌△DBC ; （2）DC AE =; （3）︒=∠60DHA ; （4）△ABG ≌△DBF ; （5）△BEG ≌△BCF ; （6）连结GF ,则AC GF //; （7）连结HB ,则HB 平分AHC ∠.推论2证明:（1）∵△ABD 和△BCE 均为等边三角形 ∴BC BE DB AB ==,,︒=∠=∠60CBE ABDFGHEDCAB∵点A 、B 、C 在同一直线上 ∴︒=∠=∠120DBC ABE 在△ABE 和△DBC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE DBC ABE DB AB ∴△ABE ≌△DBC ;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DBC ∴DC AE =;（3）∵△ABE ≌△DBC ∴21∠=∠∵12∠+∠=∠+∠ABD DHA ∴︒=∠=∠60ABD DHA ; （“8”字模型）（4）∵︒=∠=∠60CBE ABD ∴︒=︒-︒-︒=∠606060180DBF ∴DBF ABG ∠=∠ 在△ABG 和△DBF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DBF ABG DB AB 21 ∴△ABG ≌△DBF （ASA ）; （5）∵△ABG ≌△DBF ∴BF BG =由前面可知:︒=∠=∠60CBF EBG 在△BEG 和△BCF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE CBF EBG BF BG ∴△BEG ≌△BCF （SAS ）;（6）连结GF ,如图所示.∵BF BG =,︒=∠60FBG ∴△BFG 为等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABD BGF ∴AC GF //;（7）连结HB ,如图所示,作DC BN AE BM ⊥⊥,.∵△ABE ≌△DBC ∴DBC ABE S S ∆∆=,DC AE = ∴BN DC BM AE ⋅=⋅2121 ∴BN BM =∵DC BN AE BM ⊥⊥,,BN BM = ∴点B 在AHC ∠的平分线上 ∴HB 平分AHC ∠.点评要求学生能从复杂的几何图形中辨识出手拉手全等模型,并能用SAS 证明两个三角形全等.模型举例例1. 如图,在△ABC 和△ADE 中,AE AD AC AB DAE BAC ==︒=∠=∠,,90,点C 、D 、E 在同一条直线上,连结BD . 求证:（1）△ABD ≌△ACE ;（2）试猜想BD 、CE 有何关系,并证明.ECAB D分析:由条件可知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,所以该图形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依据都是SAS . 证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）CE BD CE BD ⊥=,. 理由如下:∵△ABD ≌△ACE ∴E CE BD ∠=∠=1, ∵︒=∠=90,DAE AE AD ∴︒=∠=∠45E ADE ∴︒=∠451C ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠9045451ADE BDE ∴CE BD ⊥.例2. 如图,△OAB 和△OCD 都是等边三角形,连结AC 、BD 相交于点E . （1）求证:①△OAC ≌△OBD ;②︒=∠60AEB ; （2）连结OE ,OE 是否平分AED ∠?请说明理由.EDOABC（1）证明:①∵△OAB 和△OCD 都是等边三角形 ∴OD OC OB OA ==,︒=∠=∠60COD AOB∴BOC COD BOC AOB ∠+∠=∠+∠ ∴BOD AOC ∠=∠ 在△OAC 和△OBD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OD OC BOD AOC OB OA ∴△OAC ≌△OBD （SAS ）; ②∵△OAC ≌△OBD ∴21∠=∠∵︒=∠+∠+∠180ABE EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1802ABO EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB ∴()︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB∴︒=∠+∠+∠180ABO OAB AEB ∴OAB ABO AEB ∠-∠-︒=∠180︒=︒-︒-︒=606060180C（2）OE 平分AED ∠. 理由如下:作BD ON AC OM ⊥⊥, ∵△OAC ≌△OBD ∴OBD OAC S S ∆∆=,BD AC = ∴ON BD OM AC ⋅=⋅2121 ∴ON OM =∵BD ON AC OM ⊥⊥,,ON OM = ∴OE 平分AED ∠.（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例3. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥. 证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12 ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例4. 如图,在线段AE 的同侧作等边△ABC 和等边△CDE （︒<∠120ACE ）,点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点. 求证:△CPM 是等边三角形.PMDBA EC分析:本题图形中包含手拉手全等模型,我们可以证明△ACD 和△BCE 全等.另外,关于等边三角形的判定,可先证明三角形是等腰三角形,再证明三角形有一个角等于︒60.证明:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴CE CD BC AC ==,,︒=∠=∠60DCE ACB ∴ACE DCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠∴ACD BCE ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴BE AD =∠=∠,21∵点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点 ∴AM BP =在△ACM 和△BCP 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AM BC AC 21 ∴△ACM ≌△BCP （SAS ） ∴CP CM =,43∠=∠∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠6043ACB ACP ACP PCM ∵CP CM =,︒=∠60PCM ∴△CPM 是等边三角形.三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词三垂直全等模型一线三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.图 1图 2图 3如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,. 结论:△BCD ≌△CAE .结论的证明:∵DE AE DE BD ⊥⊥, ∴︒=∠=∠90E D ,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠901BCD ∴1∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC E D B 1 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ）.重要推论推论1 如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE +=;图 1证明:由前面可知:△BCD ≌△CAE ∴BD CE AE CD ==, ∵CE CD DE += ∴BD AE DE +=.推论2 如图2所示,BC AC BC AC CD BD CD AE =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE -=.图 2证明:∵CD BD CD AE ⊥⊥, ∴︒=∠=∠9021,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠903BCD ∴3∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC B 213 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ） ∴AE CD CE BD ==, ∵CE CD DE -= ∴BD AE DE -=.说明三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等. 模型举例例1. 如图,直线l 上有三个正方形c b a ,,,若c a ,的面积分别是5和11,则b 的面积是_________.l cba IH JFEBADCGlcba IHJFEBADCG分析三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG ≌△GJF . ∴JF CG =由题意可得:11,522====JF S BC S c a ∴112=CG在Rt △BCG 中,由勾股定理得:16115222=+=+==CG BC BG S b .∴b 的面积是16.例2. 如图1所示,已知在△ABC 中,︒=∠90BAC ,AC AB =,点P 为BC 上一动点（CP BP <）,分别过点B 、C 作AP BE ⊥于点E ,AP CF ⊥于点F . （1）求证:BE CF EF -=;（2）如图2,若点P 为BC 延长线上一点,其他条件不变,则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.图 1图 2PCBA（1）证明:∵AP BE ⊥,AP CF ⊥ ∴︒=∠=∠901E ,︒=∠+∠903CAE ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠902CAE ∴32∠=∠在△ABE 和△CAF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB E 321 ∴△ABE ≌△CAF （AAS ） ∴CF AE AF BE ==, ∵AF AE EF -= ∴BE CF EF -=;（2）如图3所示.图 3BECFEF+=.提示:关键在于证明△ABE≌△CAF.例3.如图,在△ABC中,BCACACB=︒=∠,90,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②BEADDE+=;（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:BEADDE-=;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE、AD、BE之间的数量关系.图 1图 2图 3图 1（1）证明:①∵MNAD⊥,MNBE⊥∴︒=∠=∠9021∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠904ACD ∵︒=∠+∠903ACD ∴43∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC 4321 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）; ②∵△ADC ≌△CEB ∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE += ∴BE AD DE +=;图 2（2）∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠90CEB ADC ∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠902ACD ∵︒=∠+∠901ACD ∴21∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC CEB ADC 21 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE -= ∴BE AD DE -=; （3）AD BE DE -=.提示:仍然是证明△ADC ≌△CEB .图 3例4.（1）如图1所示,已知在△ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90,直线m 经过点A ,m BD ⊥于点D ,m CE ⊥于点E ,求证:CE BD DE +=;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC 中,AC AB =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,且有α=∠=∠=∠BAC AEC BDA ,其中α为任意锐角或钝角,请问结论CE BD DE +=是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.m 图 1EDCBA m图 2ECD A B（1）证明:∵m BD ⊥,m CE ⊥ ∴︒=∠=∠9021 ∴︒=∠+∠903BAD ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠904BAD ∴43∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB 4321 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴CE AD AE BD ==, ∵AE AD DE += ∴BD CE DE +=;（2）成立. 理由如下:∵︒=∠+∠+∠1801BAD BDA ∴α-︒=∠+∠1801BAD ∵︒=∠+∠+∠1802BAD BAC ∴α-︒=∠+∠1802BAD ∴21∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB AEC BDA 21∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=,AD=CEBD∵AE=ADDE+∴BD=.DE+CE点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.BEFDBCA角平分线平行线模型资料编号:202108310011关键词角平分线平行线等腰三角形角平分线平行线模型介绍如图所示,OM 平分AOB ∠,点P 是OM 上一点,过点P 作OB PC //,交OA 于点C ,则△POC 是等腰三角形. 下图就是角平分线平行线模型.MOBACP模型证明:∵OM 平分AOB ∠ ∴21∠=∠ ∵OB PC // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴CP CO =∴△POC 是等腰三角形.点评在角平分线的条件下,常过角平分线上一点作一边的平行线,构造等腰三角形. 重要推论推论1 如图所示,在△ABC 中,ABC ∠、ACB ∠ 的平分线交于点D ,过点D 作BC EF //,交AB 于点E ,交AC 于点F ,则有: （1）FC FD ED EB ==,; （2）CF BE EF +=; （3）AC AB C AEF +=∆.推论1证明: （1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; （2）∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=;（3）∵AF EF AE C AEF ++=∆ ∴AF DF DE AE C AEF +++=∆ AF CF BE AE +++= AC AB +=.推论2 如图所示,四边形ABCD 为平行四边形,把△BCD 沿对角线BD 折叠,得到△D BC ','BC 交AD 于点E ,则△BDE 为等腰三角形.EC'DBCA说明:由折叠可知:BD C CBD '∠=∠,即BD 平分BC C ',所以上图中包含角平分线平行线模型.推论2证明:由折叠可知:21∠=∠∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BC AD // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠∴EDEB=∴△BDE为等腰三角形.模型举例例1.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使点C落在点E处,BE与AD 相交于点O.（1）由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出一组全等三角形:________________;（2）图中有等腰三角形吗?请你找出来:__________;（3）若8AB,求OB的长度.,6==BC解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如图上所示,由折叠可知:=∠1∠2∵BCAD//（为什么?）∴3=∠1∠∴3∠2∠=∴OD OB =,即△BOD 为等腰三角形. （3）由（2）可知:OD OB =. 设x OD OB ==,则x OA -=8 ∵四边形ABCD 为长方形 ∴︒=∠90A在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222OB AB OA =+∴()22268x x =+-解之得:425=x ∴425=OB . 例2. 如图,点O 是△ABC 的边AC 上一个动点,过点O 作直线BC MN //.直线MN 交ACB ∠的平分线于点E ,交ACB ∠的外角平分线于点F . （1）求证:OF OE =;（2）若6,8==CF CE ,求OC 的长.DNMEF BCAO（1）证明:∵CE 平分ACB ∠ ∴21∠=∠ ∵BC MN // ∴32∠=∠ ∴31∠=∠ ∴OC OE = 同理可证:OC OF = ∴OF OE =;（2）解:∵CF 平分ACD ∠ ∴ACD ∠=∠215 ∵51∠+∠=∠ECF ∴ACD ACB ECF ∠+∠=∠2121 ()︒=︒⨯=∠+∠=901802121ACD ACB在Rt △ECF 中,由勾股定理得:10682222=+=+=CF CE EF由（1）可知:521==EF OC . 例3. 如图,在△ABC 中,AD 平分BAC ∠,点E 、F 分别在BD 、AD 上,AB EF //,且CD DE =. 求证:AC EF =.EDBCAF证明:作AB CG //交AD 的延长线于点G . ∴G ∠=∠1 ∵AD 平分BAC ∠ ∴21∠=∠ ∴G ∠=∠2 ∴GC AC = ∵AB EF // ∴31∠=∠ ∴G ∠=∠3在△EDF 和△CDG 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC DE G 543 ∴△EDF ≌△CDG （AAS ） ∴CG EF = ∴AC EF =. 例4. 解答下列问题:（1）如图1所示,在△ABC 中,BC EF //,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分ACB ABC ∠∠、,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系;（2）如图2所示,BD 平分ABC ∠,CD 平分外角ACG ∠,BC DE //交AB 于点E ,交AC 于点F ,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系,并说明理由;（3）如图3所示,BD 、CD 为外角BCN CBM ∠∠、的平分线,BC DE //交AB 的延长线于点E .交AC 的延长线于点N ,直接写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系.图 1EFDBCAG图 2FEDBC AMN图 3F EDBCA（1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=; （2）CF BE EF -=. 理由如下:∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC DE //∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF -= ∴CF BE EF -=; （3）CF BE EF +=.例5. 如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,点E 在CD 上,且AE 平分BAD ∠,BE 平分ABC ∠.求证:BC AB AD -=.EB CAD证明:延长AE 交BC 的延长线于点F . ∵AE 平分BAD ∠ ∴21∠=∠ ∵BC AD // ∴F ∠=∠2 ∴F ∠=∠1 ∴BF BA =∵BF BA =,BE 平分ABC ∠ ∴FE AE =在△ADE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEC AED FE AE F 2F∴△ADE ≌△FCE （ASA ） ∴FC AD = ∵BC BF FC -= ∴BC AB AD -=.点评利用右图所示的辅助线也能证明问题.角平分线＋两垂线段模型资料编号:202112022157关键词角平分线性质定理等腰三角形三角形全等辅助线垂线段模型介绍角平分线＋两垂线段模型如图1,点P 是AOB ∠的平分线上一点,过点P 作OB PE OA PD ⊥⊥,,由角平分线的性质定理则有PE PD =.这就是角平分线＋两垂线模型.这种模型蕴含了边相等、角相等和三角形全等,还可以构造出等腰三角形.在图1中,若连结DE ,则得到等腰三角形PDE 和等腰三角形DOE .图 1模型推论（1）PED PDE ∠=∠; （2）Rt △POD ≌Rt △POE ; （3）OE OD =.证明:（1）∵OP 平分AOB ∠,OB PE OA PD ⊥⊥, ∴PE PD = ∴PED PDE ∠=∠; （2）∵OB PE OA PD ⊥⊥, ∴△POD 和△POE 都是直角三角形在Rt △POD 和Rt △POE 中∵⎩⎨⎧==PE PD OP OP∴Rt △POD ≌Rt △POE （HL ）;（3）由（2）可知: Rt △POD ≌Rt △POE ∴OE OD =.模型应用例1. 如图2所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 平分CAB ∠,若4,6==BD BC ,那么点D 到直线AB 的距离是__________.图 2图 3分析本题条件中有角平分线,有角平分线上一点到一边的垂线段（距离）,唯独缺少该点到另一边的垂线段（距离）,若作出该垂线段,则可构造出角平分线＋两垂线段模型. 解:作AB DE ⊥,则线段DE 的长度即为点D 到直线AB 的距离. ∵AD 平分CAB ∠,AB DE AC DC ⊥⊥, ∴DC DE = ∵4,6==BD BC∴246=-=-=BD BC DC ∴2=DE∴点D 到直线AB 的距离是2.例2. 如图4所示,在△ABC 中,︒=∠︒=∠70,50C B ,AD 是△ABC 的角平分线,AB DE ⊥于点E .（1）求EDA ∠的度数;（2）若3,8,10===DE AC AB ,求ABC S ∆.图 4图 5分析对于（1）,可根据直角三角形的两个锐角互余解决问题;对于（2）,可构造角平分线＋两垂线段模型求出AC 边上的高DF ,从而求出△ACD 的面积,继而求出△ABC 的面积. 解:（1）∵︒=∠︒=∠70,50C B∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠607050180180C B CAB ∵AD 平分CAB ∠ ∴︒=∠=∠30211CAB ∵AB DE ⊥ ∴︒=∠+∠901EDA∴︒=︒-︒=∠-︒=∠603090190EDA ; （2）作AC DF ⊥.∵AD 平分CAB ∠,AB DE ⊥,AC DF ⊥ ∴3==DF DE∴DF AC DE AB S S S ACD ABD ABC ⋅+⋅=+=∆∆∆2121 382131021⨯⨯+⨯⨯=27=.例3. 如图6所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 是BAC ∠的平分线,AB DE ⊥,DF BD =,求证: （1）EB CF =; （2）EB AF AB 2+=.图 6图 7分析根据条件知图6中存在角平分线＋两垂线段模型,故有DE DC =,这就为Rt △DCF 和Rt △DEB 全等提供了条件.证明:（1）∵AD 平分BAC ∠,AB DE ⊥,AC DC ⊥（︒=∠90C ） ∴DE DC =在Rt △DCF 和Rt △DEB 中∵⎩⎨⎧==DE DC DB DF∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ） ∴EB CF =;（2）在Rt △ACD 和Rt △AED 中∵⎩⎨⎧==DE DC AD AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ） ∴AE AC = ∵EB AE AB +=∴EB AF EB EB AF EB CF AF EB AC AB 2+=++=++=+=.例4. 如图8所示,在四边形ABCD 中,BD DC AD AB BC ,,=>平分ABC ∠. 求证:︒=∠+∠180BCD BAD .图 8ABC D图 9E分析本题难度较高,要证明︒=∠+∠180BCD BAD ,可证明BCD ∠等于BAD ∠的邻补角,而证明两个角相等,可通过证明两个角所在的三角形全等完成,必要时需要添加辅助线来构造全等三角形.题中已有角平分线的条件,过角平分线上的点向角的两边作垂线段,即作出角平分线＋两垂线段模型,即可构造出全等三角形. 证明:过点D 作BC DE ⊥,BA DF ⊥,交BA 的延长线于点F . ∵BD 平分ABC ∠,BC DE ⊥,BA DF ⊥ ∴DF DE =在Rt △DCE 和Rt △DAF 中∵⎩⎨⎧==DF DE DA DC∴Rt △DCE ≌Rt △DAF （HL ） ∴1∠=∠C ,即1∠=∠BCD ∵︒=∠+∠1801BAD ∴︒=∠+∠180BCD BAD .例5. 如图10所示,AD 平分BAC ∠,DE 所在直线是BC 的垂直平分线,E 为垂足,过点D 作AC DN AB DM ⊥⊥,.求证:（1）CN BM =; （2）()AC AB AM +=21. 图 10图 11分析对于（1）,我们能想到的最直接的方法是全等法,那就是证明BM 和CN 所在的三角形全等即可,图中只需连结DB 、DC ,就可以构造出全等三角形;对于（2）,直接下手证明会比较困难,于是我们把等式转化为AM AC AB 2=+,证明这个等式成立即可,当然,第（1）问的结论会为我们提供重要的条件. 证明:（1）连结DB 、DC ,如图11所示. ∵DE 垂直平分BC ∴DC DB =∵AD 平分BAC ∠,AC DN AB DM ⊥⊥, ∴DN DM =在Rt △DBM 和Rt △DCN 中∵⎩⎨⎧==DNDM DC DB ∴Rt △DBM ≌Rt △DCN （HL ）∴CN BM =;（2）在Rt △ADM 和Rt △ADN 中∵⎩⎨⎧==DN DM AD AD∴Rt △ADM ≌Rt △AND （HL ） ∴AN AM =∵CN AN BM AM AC AB -++=+ ∴AM AN AM AC AB 2=+=+ ∴()AC AB AM +=21.等腰三角形的存在性问题资料编号:202111182021关键词等腰三角形分类讨论尺规作图垂直平分线在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后,我们会遇到等腰三角形的存在性问题,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态,然后根据每种形态解决相关问题.然而我看到的是,学生不能考虑到每一种可能的形态,从而造成漏解.究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的.下面,我将教会大家如何借助于圆的知识和线段垂直平分线的性质,将等腰三角形的各种存在性（形态）“一网打尽”.如图1所示,已知线段AB ,现确定一点C ,使△ABC 为等腰三角形.图 1AB由于没有指明线段AB 是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB 为等腰三角形的腰长时:①以点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图2所示;图 2B图 3②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图3所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线l,垂足为点D,则垂直平分线l上任一异于点D的点都可以作为点C,如图4所示.B图 4使△ABC为等腰三角形.下面讨论已知线段AB和直线m,在直线m上确定一点C,B Array m图 5由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论: （1）当AB为等腰三角形的腰长时:①以点A为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图6所示;m图 6②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m 的交点即为点C ,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图7所示;m图 7（2）当AB 为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB 的垂直平分线l ,直线l 与直线m 的交点即为点C ,如图8所示.m图 8我们知道,角平分线和平行线组合在一起,即构成角平分线+平行线模型,这种模型中就存在等腰三角形,如图9所示.B图 9若要在OB边上确定一点D,使得△COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点C作OA边的平行线,该平行线与OB边的交点,即为其中一个点D的位置,如图10所示,该点D也是线段OC的垂直平分线与OB边的交点,只不过作平行线更容易找出该点.B图 10其余各点D的确定如图（11）、（12）所示,你是否知道这些点是怎样确定出来的吗?B图 11图 12以上共有3个点D,使得△COD为等腰三角形.解决等腰三角形的存在性问题,一般分为三步:分类、画图、计算.当然,随着学习的深入,以后我们还会遇到因动点而产生的等腰三角形问题,让我们拭目以待.应用例1.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有__________个.第 6 题图图 1图 2答案 8解析本题考查等腰三角形的存在性问题.分别以点A 、B 为圆心,以AB 的长为半径作圆,如图1所示,则可以找到这样的点C 有4个.这两种情况下,△ABC 是以AB 为腰长的等腰三角形.若AB 为底边长,则作出AB 的垂直平分线,如图2所示,可以找到这样的点C 有4个.综上所述,符合条件的点C 有8个.例2. 如图所示,︒=∠60AOB ,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足△OCE是等腰三角形,那么OEC ∠的度数为__________.解:∵OC 平分AOB ∠,∴︒=∠=∠3021AOB AOC 分为三种情况:①当CE CO =时,如图1所示,∴︒=∠=∠30EOC OEC ;图 1图 2②当OE OC =时,如图2所示. ∵OE OC = ∴OCE OEC ∠=∠ ∴︒=︒-︒=∠75230180OEC ; ③当EC EO =时,如图3所示.图 3（说明:此时,点E 在线段OC 的垂直平分线上或OB CE //） ∵EC EO =∴︒=∠=∠30ECO EOC∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180OEC .综上所述,OEC ∠的度数为︒30或︒120或︒75.点评在讨论一个三角形为等腰三角形时,常常需要分为三种情况进行讨论.。

初中数学几何模型大全及解析

初中数学几何模型大全及解析一中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.二角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .三手拉手模型【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .四邻边相等的对角互补模型五半角模型六一线三角模型七弦图模型八最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】综合练习已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG且EG⊥CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？。