正弦稳态电路分析
第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第五章正弦稳态电路的分析
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数。
②正弦信号容易产生、传送和使用。
返 回 上 页 下 页
j
F | F | e | F |
j
极坐标式
返 回 上 页 下 页
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F
O
| F | a b b 或 θ arctan( ) a
2 2
a
Re
a | F | cos b | F | sin
O
F Re
返 回
上 页
下 页
特殊旋转因子
jF
Im
F
Re
jF
π jπ π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
O
F
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
π , e
w 2π f 2π T (3) 初相位
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
返 回 上 页 下 页
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| |< 。
O
=/2
wt
=－/2
返 回
上 页
第四章正弦稳态电路分析
30
0
+1
Chapter 4
4-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
i4
KCL: 时域内有: i 0
i1 i2
i3
例如: i4 i1 i2 i3 设各电路为同频率正弦量。则
Re 2I4e jt Re 2I1e jt Re 2I2e jt Re 2I3e jt Re 2 I1 I2 I3 e jt
u
Chapter 4
三. 相位差 在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正
弦量。
讨论同频率正弦量的相位差
设: u Um cost u i Im cost i
由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得
t u t i u i
即:同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。
Chapter 4
二. 相量图
已知正弦量可写出其相量,并能画出相量图。
例如: i 10 cos 314t 300 ， u 5cos 314t 600 V
I 10
26
U
5 600 V 2
或
Im
10
6
U m
560 0V
作相量图：相量的模为相量的长度,
+j U
幅角为初相。
60 I
注:在相量图上可做同频率正弦量 的加减（乘除）运算。
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 U m 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
Chapter 4 4-2 正弦量的相量表示
一、复习复数知识 1. 复数的表示的形式: ①代数形式 A=a+jb
正弦稳态电路的分析
+
U
-
+ UR R L +U - L C
+ UC -
U L
U
UC
U R
I
8.2 简单正弦稳态电路的分析、相量图
4、R-L-C并联交流电路
（1）电流、电压的关系 I IR I IL C
U
R
L
C
I I R I L IC 1 1 U( j C ) R j L
k 1
n
Gk j Bk
k 1 k 1
Yk Ik I Y
8.2 简单正弦稳态电路的分析、相量图
例1：写出下列电路阻抗和导纳的表达式。
R L1 C L2 R1 C1 R2 C2
(a)
Z R j L1 1 Y Z 1 1 j C j L2 Y
(b)
1 j C1 R1 1 Y 1 R2 1 j C 2
五、 功率因数（Power Factor）的提高
六、复功率(Complex Power)----VA
8.3
正弦稳态电路中的功率
8.3
正弦稳态电路中的功率
Power in Sinusoidal Steady State
一、瞬时功率(Instantaneous Power)----W
i
设 ：u i 2U costV 2 I cos( t ) A
（2）RLC串联电路的复数阻抗
I
+
U
-
+ UR R L +U - L
C + UC -
Z R j X L X C
8.2 简单正弦稳态电路的分析、相量图
第九章 正弦稳态电路的分析
第九章正弦稳态电路的分析 §9－1阻抗和导纳§9－2阻抗(导纳)的串联和并联§9－3正弦稳态电路的分析§9－4正弦稳态电路的功率§9－5复功率§9－6最大传输功率§9－7串联电路的谐振§9－8并联电路的谐振串、并联谐振的特性比较§9－1阻抗和导纳一、阻抗1、阻抗的定义无源线性一端口网络等效电路§9－1阻抗和导纳2、单个元件的阻抗电阻电容电感§9－1阻抗和导纳3、RLC 串联电路的阻抗或§9－1阻抗和导纳对于RLC 串联电路：（1）当ωL ＞1/ωC 时§9－1阻抗和导纳（2）当ωL ＜1/ωC时§9－1阻抗和导纳（3）当ωL ＝1/ωC时§9－1阻抗和导纳二、导纳1、导纳的定义无源线性一端口网络等效电路§9－1阻抗和导纳2、单个元件的导纳电阻电容电感§9－1阻抗和导纳3、RLC 并联电路的导纳或§9－1阻抗和导纳对于RLC 并联电路：（1）当ωL ＞1/ωC时§9－1阻抗和导纳（2）当ωL ＜1/ωC 时§9－1阻抗和导纳（3）当ωL = 1/ωC时§9－1阻抗和导纳三、复阻抗和复导纳的等效互换同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为：即：§9－1阻抗和导纳串联电路和其等效的并联电路它的阻抗为：其等效并联电路的导纳为：即等效电导和电纳为：§9－1阻抗和导纳同理，对并联电路，它的导纳为其等效串联电路的阻抗为：即等效电阻和电抗为：§9－1阻抗和导纳)60sin(25 +=t u ωHz f 4103⨯=例9-1电路如图(a)所示，已知：R =15Ω,L =0.3mH,C =0.2μF, ，。
求i ,u R ,u L ,u C 。
VU 605∠=•解：电路的相量模型如图（b ）所示，其中：§9－1阻抗和导纳C j L j R Z ωω1-+=A Z U I 4.3149.04.6354.33605-∠=∠∠==••V I L j U L 4.8642.84.3149.0905.56∠=-∠⨯∠==••ωV I R U R 4.3235.24.3149.015-∠=-∠⨯==••V I Cj U C 4.9395.34.3149.0905.261-∠=-∠⨯-∠==••ω因此总阻抗为总电流为电感电压为电阻电压为电容电压为相量图如图（c ）所示，各量的瞬时式为：§9－1阻抗和导纳例9-2 RL 串联电路如图（a ）所示，求在ω＝106rad/s 时的等效并联电路图（b ）。
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
第九章-正弦稳态电路的分析
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
电路原理与电机控制第6章正弦稳态电路分析
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感谢您的观看
正弦稳态电路的功率分析是电路分析中的重要内容之一，主要涉及到有功功率、无功功率和视在功率 等概念。
有功功率是指电路中消耗的电能，用于驱动负载或产生热量。无功功率是指电路中交换的能量，用于 维持电源与负载之间的电压和电流相位关系。视在功率是指电路中电压和电流的有效值之积，用于表 示电源的总功率容量。
03
正弦稳态电路实验的目的和要求
目的
通过实验，使学生掌握正弦稳态电路 的基本原理和分析方法，培养学生对 电路理论的实际应用能力。
要求
学生需要掌握正弦稳态电路的基本概 念、元件特性、电路分析方法等理论 知识，能够独立完成实验操作，并分 析实验数据。
正弦稳态电路实验的步骤和方法
01
步骤
02
1. 准备实验器材，包括电源、电阻、电容、电感等 元件和测量仪表。
工程设计依据
正弦稳态电路的分析结果可以为工程设计提供依 据，帮助工程师更好地设计、分析和优化电路。
正弦稳态电路的应用场景
电力系统
正弦稳态电路广泛应用于电力系统的分析、设计和优化，如变压 器的设计、输电线路的参数计算等。
电子设备
在电子设备中，正弦稳态电路常用于信号处理、放大和传输等环节， 如音频设备和通信系统。
变压器和电动机在正弦 稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中主 要起到电压变换和隔离的作 用，通过改变一次侧和二次 侧线圈的匝数比，实现电压
的升高或降低。
在正弦稳态电路中，变压器 的一次侧和二次侧电流、电 压的有效值与匝数成正比，
而相位则与匝数成反比。
变压器在正弦稳态电路中的 磁通量与电源频率、线圈匝 数和磁导率有关，而铁芯的 磁导率是常数。
正弦稳态电路的分析
第九章正弦稳态电路的分析本章内容1．阻抗和导纳的概念2．阻抗的串并联及电路的相量图3．正弦稳态电路的分析4．瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、复功率及最大输出功率5．串联和并联谐振本章重点：正弦量的向量正表示; 正弦电路中的阻抗和导纳;正弦电路的分析串联谐振的谐振条件及特征; 并联谐振的谐振条件及特征本章重点：正弦电路参数的分析及最大功率输出的分析§9-1 阻抗和导纳阻抗和导纳是正弦电流电路分析的重要内容一、阻抗在无源的线性网络中，端口的电压相量与电流相量的比值定义为该一端口的阻抗（复阻抗），用Z表示。
式中：•U=U∠ϕu•I=I∠ϕI阻抗的模：Z= U/I，阻抗角：ϕZ= ϕu-ϕi 阻抗的代数式： Z=R+jX式中：R—电阻 X—电抗1．若网络N 0内只含单一元件，则单一元件的复阻抗（1）电阻的复阻抗：Z R =R（2）电感的复阻抗：Z L =ωj L=jX L X L =ωL —感抗 （3）电容的复阻抗：Z C =cj ω1=c jω1-=jX C X C =cω1-—容抗 2．若网络N 0内为RLC 串联，则阻抗为（1）阻抗：Z=•U /•I = R+ωj L+cj ω1=R+j(ωL-Cω1)=R+jx=Z ϕ∠Z可见：阻抗Z 的实部为电阻R （R=Z cos ϕZ ），阻抗Z 的虚部为电抗X （X= R=Z sin ϕZ ），三者构成阻抗三角形 （2） 阻抗的模：Z =22)(C L X X R -+=22X R +=U/I （3）阻抗角：ϕZ =arctanR X X C L -=RX=ϕu -ϕi X 〉0 ωL>C ω1电路呈电感性 X<0 ωL<Cω1电路呈电容性X=0 电路呈电阻性一、 导纳：复阻抗的倒数定义为复导纳（电流相量与对应端口的电流相量的比值），用Y 表示 Y=Z 1=••UI =)(u i U Iϕϕ-∠=Y Y ϕ∠导纳的模： Y =U I导纳角： Y ϕ=u i ϕϕ- 导纳的代数式： Y=G+JB式中：G —电导 B —电纳1．若网络N 0内只含单一元件，则单一元件的复阻抗 （1） 电阻的复导纳：Y R =G=1/R （2） 电感的复导纳：Y L =Lj ω1=L jω1- =jB L B L =Lω1-—感纳 （3）电容的复导纳：Z C ==ωj C =jB C B C =ωC —容纳2．若网络N 0内为RLC 并联，则导纳为(1)导纳Y=••UI基尔霍夫电流定律的相量形式：∑•I =0•I =•I R +•I L +•I C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)1(1L C j R ωω•U =G+j(B C +B L )•UY=R 1+L j ω1+ωj C=R1+)1(L C j ωω-=G+jB可见：导纳Y 的实部为电导G （G=Y cos ϕY ），导纳Y 的虚部为电纳B （B= Y sin ϕY ），三者构成导纳三角形 （2）导纳的模：Y =22)(L C B B G -+=22B G +=I/U （3）阻抗角：ϕY =arctanG B B L C -=GB=ϕi -ϕu B 〉0 ωC>L ω1电路呈电容性 B<0 ωC<Lω1电路呈电感性B=0 电路呈电阻性二、阻抗和导纳相互转换（自学）§9-2 阻抗（导纳）串联和并联阻抗的串并联与电阻的串并联的计算规则相同，只是要把电阻换成阻抗。
正弦稳态电路的分析
一、阻抗 1. 一端口的阻抗 不含独立电源N0 ，当它在正弦电源激励下处于稳 不含独立电源N 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量， 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量，即 u = 2U cos(ωt +ϕ ) U = U∠ϕ →ɺ
u u
9-1 阻抗与导纳
0
i = 2I cos(ωt +ϕi ) I = I∠ϕi →ɺ 则它的端电压相量与端电流相量的比 阻抗Z 值定义为该一端口N 值定义为该一端口N0的(复)阻抗Z，即
ɺ 解: 选择 U'作为参考相量
ɺ IR
ɺ U'
α =45°
ɺ IC
∵ωL = 200×0.25 = 50Ω= R ∴IR = IL 由几何关系得: 由几何关系得:
ɺ IL
ɺ US ɺ UC
ɺ ɺ ɺ IC = I R + I L ɺ ɺ ɺ US = U′ +UC
UC =US =100V, U′ =100 2V U′ ∴IR = IL = = 2 2A , IC = 2IR = 4A , R IC 1 UC ∴ = ,C= = 2×10−4 F = 200µF ωC IC ωUC
def
R jX
|Z|——阻抗 的模； ϕ Z ——阻抗角； 阻抗Z的模 阻抗角； 阻抗 的模； 阻抗角 R——等效电阻；X——等效电抗。 等效电阻； 等效电抗。 等效电阻 等效电抗 为实数， 称为感性阻抗， (R为实数，X>0称为感性阻抗，X<0称 为实数 X>0称为感性阻抗 X<0称
ɺ U U Z === = ∠(ϕu −ϕi ) =| Z | ∠ϕZ = R + jX ɺ I I
第九章 正弦稳态电路的分析
第7章 正弦稳态电路分析
第7章 正弦稳态电路分析
二、正弦量的相量表示 著名科学家 • 斯坦梅茨(Charlea Proteus Steinmetz 1865~1923) • 斯坦梅茨是德国一澳大利亚数学家和工程师。他最 伟大的贡献就是在交流电路分析中引入了向量分析法， 并以其在滞后理论方面的著作而闻名。 • 出生于德国的布勒斯劳，一岁时就失去了母亲，在 即将在大学完成他的数学博士论文时，由于政治活动， 被迫离开德国，到瑞士后又去了美国，1893年受雇于美 国通用电气公司，这一年他发表论文，首次将复数应用 于交流电路的分析中，其后出版了专著《交流现象的理 论和计算》，1901年成为美国电气工程师协会(IEEE)主 席。
T
0
i 2 ( t )dt
周期电流有效值定义为：
1 T 2 I i (t )dt T 0
第7章 正弦稳态电路分析
一、正弦量的概念 周期电流有效值定义为：
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
当信号为正弦信号时，设： i(t)=Imsin( t+ ) 有效值为：
1 I T
第7章 正弦稳态电路分析
一、正弦量的概念 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额 定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。 因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 *注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i(t)=Imsin( t+ i)
u i j
正弦稳态电路的分析
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
正弦稳态电路分析解读
求：（1）正弦量的最大值、有效值； （2）角频率、周期、频率； （3）初相角、相位差。
解 ： （1）最大值 Um=220 2 V, Im=10
有效值 U=220V， I=10A
2A
（2）角频率ω=314 rad/s, 频率f=50Hz, 周期T=0.02s
根据有效值的定义有：
I 2 RT 0Ti2 Rdt
正弦电流的有效值为：
I
1 T
0Ti 2 dt
1 T
0T
I
2 m
cos2
(t
i)dt
I m 0.707 I m 2
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
正弦电动势的有效值为：
E
Em 2
0.707 Em
在正弦量的三要素中，一般用有效值来代替最大值表示正 弦量的大小，在工程上，通常所说的正弦电压、电流的大 小都是指其有效值。
e Em cos(t e )
u U m cos(t u )
i I m cos(t i )
4.1.1 正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面， 它们分别由角频率、幅值和初相来确定，统称为正弦量的 三要素。
以正弦电流为例
i Im cos(t i )
幅值
角频率
初相
的初始值
规定初相角的绝对值不超过
即 ≤≤
如果遇到初相角大于 时，应加 初相角小 于 时，应加 2
规定
2 ，如果遇到
来使初相角符合
4.1.2 正弦量的有效值
有效值用来表示正弦量大小
正弦电流的有效值：
让周期电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电流I的值为周期电流i的 有效值。
正弦稳态分析-电路分析
第二节 电阻、电感和电容的相量形式的VCR
一、R元件：
设 : iR 2IR cos(ωt i) 则 : uR R iR 2RI R cos(ωt i )
U
R
RI R
u i
即: UR RIR
IR R UR
UR Ψi IR
二、L元件： 设 : iL 2IL cos(ωt i) ,
知：A a jb
则: A a 2 b2 , φ arctg b , A a 2 b2tg 1 b Aφ
a
a
若知：A Aφ
则: a A cos φ, b A sin φ, A A cos φ j A sin φ
（3）复数的四则运算 相等：两复数的实部和虚部分别相等。
则 45 30 15
解：i2 20cos(314t 30 90) 20cos(314t 60)
则 45 (60) 105
或i1
10sin( 314t 45 90) 则 135 30 105
10sin(
例2：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39
2ndF CPLX 5 a 4 b × 6 a 3 b =显示“18” b 显示
“39”
例3： 3 j4 5(126.87)
3 +/- a 4 +/- b 2ndF →rθ 显示“5” b 显示“-126.8698…”
例4： 10 ∠-60° =5-j8.66…
同理
t
idt
的相量为:
I
jω
ωI
90
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UI
/ u
i
UI
(c)
U的无功分量
UI cos jUI sin P jQ
S IU a jIU r P jQ
U的有功分量
22
I的有功分量
或由图(c) (c)
S UI UI UI a jUI r P jQ
I的无功分量
3、谐振时 U L UC，所以又称为电压谐振。U U R 4、品质因数 Q U L UC 0LI 0L 1 1 LC
U U RI R 0CR R
5、谐振时，电路的无功功率为零。功率因数=cos=1。
阻抗与角频率 的关系曲线
30
I()随频率变化的曲线
2.59A。求：交流电流表A1的读数。
15
9-5 正弦稳态电路的功率
无源网络
吸收的瞬时功率： p ui
设：i 2I cos(t i )
u 2U cos(t u )
则：p 2I cos(t i ) 2U cos(t u )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
无功功率：QL
UI
sin
UI
LI 2
U2
L
XLI
2
U2 XL
纯电感不消耗能量，能量交换的幅度为
QL
LI
2
U2
L
18
(3)、对于纯电容，=-/2，
p UI sin[2(t u )] 为正负交替变化，即能量来回交换。
其平均功率： P=0，
无功功率： QC
20
9-6 复功率 正弦电路的瞬时功率一般为非正弦量。不能用相量法讨论
复功率——将正弦电路的有功功率、无功功率、视在功率之 间的关系用复数形式描述。
设一端口的电压、电流相量为U、I
复功率： S
def
UI*
UI
/ u
i
功率三角形
SQ
UI cos jUI sin P jQ
| Y
| /Y
代数式：Y=G+jB
其中：| Y | I G2 B2
Y
i
Y
u
arctan[B ] G
电导：G=Re[Y]=|Y|cosY ， 电纳：B= Im[Y]=|Y|sinY Y ： 称为导纳角；也是电流与电压的相位差
导纳三角形
3
对于R、L、C并联电路， I U U jCU
/ u
i
| Z
| /Z
1
代数式：Z=R+jX
其中：| Z | U R2 X 2
I
电阻：R=Re[Z]=|Z|cosZ ，
电抗：X= Im[Z]=|Z|sinZ
Z
u
i
arctan[X ] R
称为阻抗角；也是电压与电流的相位差
阻抗三角形
对于R、L、C串联电路，
Z R jL j 1 R j(L 1 )
C
C
电抗：X (L 1 )
其中感抗：X L
C L，容抗：XC
1
C
当X 0，即L 1 ，Z呈感性；X 0，即L 1 ，Z呈容性
C
C
2
导纳： Y
1 Z
I U
I U
/ i
u
T pdt 1
0
T
T
0 UI[cos cos(2t u i )]dt UI cos
其中 cos 为 功率因数 def
*无功功率Q： ( 单位：乏var) Q UI sin
def
*视在功率S：( 单位：伏安V•A) S UI
S Q
P
功率三角形
有功功率）P、无功功率Q、视在功率S 三者的关系：
UI
UI
1 2UmIm
无功功率
QL
(0
)
0 LI
2，QC
(0
)
1
0C
I
2
2、电感和电容之间进行磁场能和电场能的交换。能量总和为：
例9-1电路的相量图 I 4 53.13 A，U R 60 53.13V U L 240 36.87 V，UC 160 143 .13V
(a)
U U R U L UC
(b)
9
例9-2电路的相量图 I 0.6052.30 A，U10 182 .07 20.03V I1 0.5769.97 A，I2 0.18 20.03 A
谐振时电路的相量图
L、C影响正弦电路的谐振频率，R影响谐振时电流和电压的 幅度。
谐振时电路总的无功功率为零，但独立的QL(0), QC (0) 不 为零。
电路内部电感和电容之间周期性地进行磁场能和电场能的交换 31
正弦电路的串联谐振时，(0 )
I I1 I2 U S U10 U R1 U L
10
9-4 正弦稳态电路的分析 基本分析方法：支路电流法、回路电流法、结点电压法、叠 加原理、戴维南定理等。 注意：使用以上方法分析计算线性正弦交流电路时，电 压、电流要用相量表示，电路参数用复数表示（如复阻 抗、复导纳等）
(R
U
2 OC
R
Req )2 ( X
X eq )2
X Xeq 0
负载获得最大功率的条件
d [(R Req )2 ] 0
解得： X X eq R Req
dR R 即：Z Req jXeq Zeq
最大功率为： Pmax
U
2 OC
4Req
对于诺顿等效电路，有：Y Yeq
Z( j ) R j(L
1
)
C
当：Im[
Z
(
j
)]
0,即：
0
L
1
0C
时，电路发生谐振
这时， = 0，所以有 XL = XC
谐振时的角频率0 为：0
1 LC
频率f0 为：
f0 2
1 LC
29
串联谐振的特点 1、电流和电压同相位，电路为纯电阻性，Z=R。 2、电路阻抗最小，电流最大。
P
其中 I* 是 I 的共轭复数
复功率单位：V•A（伏安） 当电压、电流为相关联参考方向，为吸收功率，否则为发出功率
注意：复功率不代表正弦量，只是一种表示方法, UI 无意义
21
对于一个无源一端口网络(a)，阻抗可以等效为图(b)或图(c) 的 情况
(a)
(b)
由图(b)
S
def
UI*
4
阻抗和导纳等效关系
由：Z(j)Y(j)=1
即: G( )
jB( )
1
R( ) jX ( )
R( ) Z( j ) 2
j
X ( ) Z( j ) 2
可以推得阻抗和导纳等效关系：
G(
)
|
R( ) Z( j )
|2
，B(
)
|
X Z(
( j
) )
|2
(1)、纯电阻电路，=u-i =0，
p UI {1 cos[2(t u )]} 0 其平均功率： P=UI=RI2 = GU2 即：电阻吸收能量
(2)、对于纯电感，=/2，
p UI sin[2(t u )] 为正负交替变化，即能量来回交换。
其平均功率： P=0，
S P2 Q2， arctan(Q )
P 17
p UI cos UI cos(2t u i ) UI cos UI cos(2t 2u ) UI cos UI cos cos(2t 2u ) UI sin sin(2t 2u ) UI cos{1 cos[2(t u )]}UI sin sin[2(t u )]
或：R( ) G( ) ，X ( ) B( )
| Y ( j ) |2
| Y ( j ) |2
例如RLC串联电路，阻抗：Z R j(L 1 ) R jX C
其导纳：Y
G
jB
R2
R X
2
j
R2
X X
2
5
9-2 阻抗（导纳）的串联和并联
形式上类似于电阻的串、并联
第九章 正弦稳态电路的分析
本章主要内容：用相量法分析线性正弦稳态电路。掌握用电 路相量图分析正弦电路的方法。 涉及：阻抗、导纳、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在 功率、复功率概念，以及最大功率传输，RLC电路的谐振等 问题；
9-1 阻抗和导纳
阻抗三角形
无源 网络
阻抗：
Z
def
U I
U I
1、阻抗串联
Zeq Z1 Z2 Zn
分压关系：U k
Zk Zeq
U，k
1，2，n
2、阻抗并联
Yeq Y1 Y2 Yn
分流关系：
Ik
Yk Yeq
I，k
1，2，n
6
例：9-1
电路如图，其中R=15，L=12mH，C=5F，
u 100 2 cos(5000 t)V 。求：电流 i 和各个元件
UI
1
C
I2
CU 2
XCI2
1 XC
U2
纯电容不消耗能量，能量交换的幅度为QC