高中数学44参数方程442参数方程与普通方程的互化知识导航学案苏教版4-4.

4.4.2 参数方程与普通方程的互化
自主整理
1.如图所示，直线过点P 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α，则直线的参数方程为______________．参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量．
答案:⎩
⎨
⎧+=+=ααsin ,
cos 00l y y l x x （l 为参数）
2．圆心在原点的圆的参数方程为⎩
⎨⎧==,sin ,cos θθr y r x ,圆心在C(a,b)的圆的参数方程为
______________（其中r>0，θ是参数,θ∈［0,2π)）．参数θ的几何意义是以圆心C(a,b)
为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角． 答案:⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin cos r b y r a x
高手笔记
1.关于直线参数方程一般式：⎩⎨
⎧+=+=bt
y y at x x 00,
（t 为参数），有下面的一些结论：
（1）a
b
at bt x x y y k ==--=
00；
（2）设直线上两点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则
|AB|=222
12212)()(b a bt bt at at +=
-+-|t 1-t 2|．
2．圆的参数方程可由圆的标准方程转化而来，在圆的参数方程中参数φ具有明确的几何意义．
由(x-a)2+(y-b)2=r 2
,得1)()(22=-+-r b y r a x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,
sin ,cos ϕϕr
b y r a
x φ∈［0,2π),则可得到圆心在C(a,b)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎨⎧+=+=ϕϕsin ,
cos r b y r a x （其中r>0，φ是参数,φ∈
［0,2π)）．
3．椭圆的普通方程与参数方程的互化．
（１）122
22=+b
y a x 可化为1)()(22=+b y a x ，
设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos ϕϕb
y a x
φ∈［0,2π),则可得到椭圆的参数方程为 ⎩
⎨
⎧==ϕϕsin ,
cos b y a x （φ为参数,φ∈［0,2π)）． （２）⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos b y a x ,φ∈［0,2π)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,
sin ,cos ϕϕb
y a x
φ∈［0,2π),由cos 2φ+sin 2
φ＝1
得122
22=+b
y a x ． 4．抛物线参数方程的推导.
设抛物线的普通方程为y 2
=2px ．要选一个参数把它化为参数方程十分简单.例如，可选y 自
身为参数t ，则x=p t 22
，得抛物线的参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧==.
,212t y t p x
通常令t=p 21y ，则x=p y 22=2pt 2
，此时抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==.
2,22pt y pt x
名师解惑
1．曲线参数方程与普通方程的互化具有什么意义？ 剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程．这都是基于对曲线的更好的研究，有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．
2．在进行曲线的参数方程与普通方程互化时要注意什么问题？
剖析：曲线的参数方程与曲线的普通方程可以相互转化．在将二者互化的过程中，要注意互化前后二者的等价性，在消参数时要特别注意变量范围的“一致性”，即要注意曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减少，否则它们所表示的曲线就不是同一曲线，从而走上歧途，不能真正解决问题（注意：并不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便对其性质进行研究，如后面要学习到的摆线和圆的渐开线，一般都是研究其参数方程）． 讲练互动 【例题1】曲线⎩⎨
⎧==θ
θsin ,
cos y x (θ为参数,θ∈［0,2π))上的点到两坐标轴的距离之和的最大
值是（ ） A.
21 B.2
2 C.1 D.2 解析：方法一：消去θ得x 2
+y 2
=1．所以曲线是一个单位圆，其圆心在原点，半径为１.所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于１，且不会等于１（这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边），最大值必大于１，排除A 、B 、C ，故选Ｄ．
方法二：取θ=
4π，这时曲线上的点到x 轴和y 轴的距离之和,即点（22,2
2
)到两坐标轴的距离之和为2＞１，淘汰A 、B 、C ，故选Ｄ． 方法三：设M 为曲线⎩⎨
⎧==θ
θsin ,
cos y x (θ为参数,θ∈［0,2π))上任意一点,则M(cos θ,sin θ),M
到x 轴、y 轴的距离之和d=|cos θ|+|sin θ|≤2)|sin ||cos (|22
2
=+θθ(当且仅当
|cos θ|=|sin θ|,即θ=
4π,4
3π,45π,47π时取“＝”).故选D ．
答案：D
绿色通道
本题利用参数方程本身，消参后化为普通方程，以及所表示的图形，从直接求解或间接淘汰都能正确地选出选项． 变式训练
1．求圆的方程为x 2+y 2
＝2的参数方程．
解：圆的方程可化为(1)2()2(2=+y x ．设⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧==,
sin 2
,
cos 2θθy x θ∈［0,2π),从而得圆的参数
方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 2,cos 2y x (θ为参数,θ∈［0,2π)）．
2．直线⎩⎨⎧+=+=t
y t x 2,21(t 为参数)被圆x 2+y 2
=9截得的弦长为（ ）
A.
512 B.
55
12 C.559 D.1059
解析：把⎩⎨⎧+=+=t
y t x 2,21代入到圆方程x 2+y 2=9中，整理,得5t 2+8t-4=0．
|t 1-t 2|=5
12
516)58(4)(2212
21=+-=
-+t t t t ，所以弦长l=2212+|t 1-t 2|=5512．
答案：B
【例题2】化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
（１）⎪⎩
⎪⎨⎧++==11,2t t y x （t 为参数，t≠－１）
； （２）⎩
⎨⎧-==αα2cos 2,
cos 2y x （α为参数）；
（３）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=2212,12t t y t
x （t 为参数）．
思路分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量消去，但要注意消
去参数时变量范围的一致性． 解：（１）∵|(t+1)+
1
1
+t |≥２，∴|y+1|≥２. ∴y≥１或y≤－３．
∴普通方程为⎩
⎨⎧-≤≥=,3,1,
2y y x ，方程的曲线如下图．
（２）y ＝２－（2cos 2
α－１）＝3－2cos 2
α，将cos α＝2x 代入，得y ＝３－２×4
2
x ＝－
22x ＋３．∴普通方程为y ＝－2
2
x ＋３（|x|≤２），方程的曲线如下图．
（3）两式相除得t=
x y ，代入x=2
11
t +,得2
)
(12
x
y +．
整理得x 2+y 2
-2x ＝０．∵x=
2
12
t +＞０， ∴普通方程为x 2
+y 2
-2x ＝０（x ＞０），方程的曲线如下图．
绿色通道
（１）消去参数的常用方法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法；（２）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的x 、y 的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 变式训练
3．指出下列参数方程表示什么曲线： (1)⎩⎨
⎧==θθsin 3,cos 3y x (0≤θ≤2π
);(2)⎩⎨⎧==t
y t x sin 2,cos 2(π≤t≤2π).
解：（１）由⎩⎨
⎧==θ
θsin 3,cos 3y x 得x 2+y 2
＝９.又由０≤θ≤2π,得０≤x≤３，０≤y≤３.所以所
求方程为x 2
＋y 2
＝0（0≤x≤3且0≤y≤3）,这是一段圆弧（圆x 2
＋y 2
＝9位于第一象限包含
端点的部分）． （２）由⎩⎨
⎧==,
sin 2,cos 2t y t x 得x 2＋y 2
＝４．由π≤t≤2π,得－２≤x≤２，－２≤y≤0．
所求方程为x 2
+y 2
＝４（－２≤x≤２，－２≤y≤０）．这是一段半圆弧（圆x 2
+y 2
＝４位于y 轴下方包括端点的部分）．
4．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--m
m m
m y x 2
2,
22（m 为参数）所表示的曲线是（ ） Ａ．直线 Ｂ．双曲线的一支 Ｃ．椭圆的一部分 Ｄ．抛物线
解析：∵x+y=2m+1,x-y=2-m+1，∴(x+y)·(x -y)=2m+1·2-m+1，即x 2-y 2
=4.但注意到x=2m
+2-m
≥2m m -2·2＝2，∴方程表示的曲线为双曲线的右支．
答案：Ｂ。