【优化方案】数列的概念及简单表示课件 新人教A版必修5

为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到
大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其
图象为一组离散的点．
2．数列的通项公式和递推公式
通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要
公式，但并不是所有的数列都有通项公式或递推
公式．如果一个数列仅仅给出前面有限的几项， 那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的， 只要符合这几项的公式都可以．
2．1 数列的概念与简单表示法
学习目标 1.通过实例，了解数列的概念． 2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然 规律的数学模型，了解数列的几种分类．
3．理解数列的通项公式、数列的递推公式和数
列与函数的关系．
2.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
知新盖能 1．数列及其有关概念
(1)数列：按照一定_____ 顺序 排列着的一列数称为数
列．
(2)项：数列中的__________ 每一个数 叫做这个数列的项，
首项 ，若是有穷数列，最后 第1项通常也叫做______
一项也叫做________ 末项．
思考感悟 1．两个数列相同应满足什么条件？
提示：两个数列相同必须同时满足两个条件：① 两个数列中各数相同；②各数的排列次序相同．
数列的函数性质 数列是一种特殊的函数，函数问题的解决方法同 样适用于数列问题，不过要注意n∈N*，否则易 出现错误．
n2 例3 已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 . n ＋1 求证：此数列为递增数列．
【思路点拨】 结论． 可通过证an＋1－an＞0来证明
n＋12 n2 【证明】 an＋1－an＝ － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1] ＝ 2 2 [n＋1 ＋1]n ＋1 2n＋1 ＝ ， 2 2 [n＋1 ＋1]n ＋1 由 n∈N*，得 an＋1－an＞0，即 an＋1＞an. ∴数列{an}是递增数列．
5．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二 a n－ 1 项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项____ (或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
递推 ____公式．
课堂互动讲练
考点突破
用观察法求数列的通项公式
根据数列的前几项写出它的一个通项公式，关键 在于观察、分析数列的前几项的特征，找到数列 的构成规律．为了发现数列的构成规律，可把序 号1,2,3，…标在相应的项上，这样便于突出第n 项an与项数n的关系，即突出an如何用n表示．
2
互动探究
若本例中的条件不变，(1)试写出该数
列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？
若是，应是哪一项？
解：(1)∵an＝3n2－28n， ∴a3＝3×32－28×3＝－57， 2 a8＝3×8 －28×8＝－32. 2 (2)设 3n －28n＝20， 2 解得 n＝10 或 n＝－ (舍去)． 3 ∵n∈N*，∴20 是该数列的第 10 项．
【解】 (1)数列的项， 有的是分数， 有的是整数， 1 4 9 16 25 可将各项都统一成分数再观察：，，， ， ， …， 2 2 2 2 2 n2 所以，它的一个通项公式为 an＝ . 2 (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的 正奇数； 考虑(－1)n 1 具有转换符号的作用， 所以
例2
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪
一项？68是否是该数列的一项呢？
【思路点拨】
令n＝4，n＝6求a4，a6 →
分别令an＝－49和68列方程 → 解方程求n → 作出判断
【解】 (1)a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60. 7 (2)设 3n －28n＝－49， 解得 n＝7 或 n＝ (舍去)． 3 ∴n＝7，即－49 是该数列的第 7 项． 34 2 设 3n －28n＝68，解得 n＝ 或 n＝－2. 3 34 * * ∵ ∉N ，－2∉N ， 3 ∴68 不是该数列的项．
＋
数列的一个通项公式为 an＝(－1)n 1(2n－1)．
＋
(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆 a＋b a－ b 动振幅．平衡位置： ，振幅： ，用(－1)n 2 2 或(－1)
n＋1
a＋b n＋1a－b 去调节，则 an＝ ＋(－1) . 2 2
(4)各项加 1 后，变为 10,100,1000,10000，…，此 数列的通项公式为 10n，可得原数列的通项公式 为 an＝10n－1.
变式训练1 ＋4.
若数列{an}的通项公式为an＝n2－5n
试问n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
52 9 解：∵an＝n －5n＋4＝(n－ ) － ， 2 4 5 可知对称轴方程为 n＝ ＝2.5. 2 又因 n∈N*，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值，其最
2
小值为 22－5×2＋4＝－2.
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，
{an} ，这里n是_____ 项数． 简记为_____
3．数列的分类
(1)按项的个数分类
类别 ____数列 有穷 含义 项数有限的数列 项数无限的数列
无穷 ____数列
(2)按项的变化趋势分类
类别 递增 数列 递减 数列 常数 列 摆动 数列 含义 从第2项起，每一项都大于 ____它的前一项 的数列 从第2项起，每一项都____ 小于它的前一项 的数列
【名师点评】
根据递推公式写出数列的前几项，
要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即 可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的 是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示 后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给 公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
1＋an 变式训练 2 设数列{an}，a1＝0，an＋1＝ ， 3－an 写出数列的前 4 项，并归纳出该数列的一个通项 公式． 1＋ a1 1 解：a1＝0，a2＝ ＝ ， 3－ a1 3 1 1＋a2 1＋3 1 a3＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 － a2 3－ 3 1 1＋a3 1＋2 3 a4＝ ＝ ＝ . 1 5 3 － a3 靠观察(观察规律)、
比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊
数列)、联想(联想常见的数列)等方法来解决．
数列通项公式的应用
(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序
号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，
就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是 数列中的项去列方程．若方程解为正整数则是数 列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是 该数列的一项．
1 2 直接观察可以发现 a3＝ 可写成 a3＝ ， 2 4 n－1 这样可知 an＝ (n≥2)． n＋1 1－ 1 当 n＝1 时， ＝0＝a1， 1＋ 1 n－1 所以 an＝ . n＋1
方法感悟 1．数列与函数的联系
数列是特殊的函数，从函数观点看，数列可以看
成是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})
温故夯基
1 1 1 1 ， ， ， ， . 1．前5个正整数的倒数排成一列：1 _____________ 2 3 4 5
2．函数的基本表示方法有________ 解析法 、_______ 列表法 和
图象法 _________.
3．集合的列举法的一般形式为{a，b，c，d，…}； 确定性 、_______ 互异性 、_______ 无序性 ． 集合的元素具有_________
递推公式的应用 递推公式与通项公式一样，是关于项数n的恒等式， 用符合要求的正整数去替换递推公式中的n，便可 求出数列中的各项．但并不是所有数列都有递推 公式，有的数列的递推公式也未必唯一．
例4 已知数列{an}满足条件：a1＝0，an＋1＝an＋
(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个 通项公式． 【思路点拨】 题中的两个数列都是用递推公式 给出的，已知a1可递推出a2，…，依此类推，可求 出它的任意一项． 【解】 ∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
各项_____ 相等 的数列
大于 它的前一项， 从第2项起，有些项_____ 有些项小于它的前一项的数列
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与______ 序号n 之间的关系可以用 一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 _________ 通项公式．
思考感悟 2．是否所有的数列都有通项公式？ 提示：不是．数列的通项公式实际就是相应函数 的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就 像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．
例1 写出以下各数列的一个通项公式，使其前几
项分别是下列各数： 1 9 25 (1) ，2， ，8， ，…； 2 2 2 (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)a，b，a，b，a，b，…； (4)9,99,999,9999，….
【思路点拨】
分析各项与对应序号间的关系
→ 归纳、猜想 → 得关系式 → 验证是否合适
通项公式与递推公式对比表如下： 不同点 通项公 给出n的值，可求出 数列中的第n项an 式 可确定一个数列， 由首项(或前几项) 求出数列中的任意 一项 递推公 的值，通过一次(或 多次)运算，逐步地 式 求出第n项an 相同点