椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案

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椭圆双曲线抛物线综合训练案

5.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且
，则有（）
（A）（B）
（C）（D）
6.过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）
A28B C D
7.已知抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x-2y+1=0上，则抛物线的方程
8.已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为。
3.激情投入，养成扎实严谨的数学思维品质。
基础训练：
1.椭圆的焦距是2，则m的值是（）
A．5B.5或8C．20D．3或5
2.抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
3.设为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于、两点，当四边形面积最大时， · 的值等于（）
4.双曲线 - =1的焦点为， ,点M在双曲线上,且． =0,则点M到x轴距离为( ) A. B. C. D
9.以为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线标准方程是____________________
10.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
11.已知方程，讨论当k在什么范围取值时，这个方程表示的曲线是：
（1）圆（2）椭圆（3）双曲线？并分别指出他们的焦点坐标。
12.已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点与抛物线 =4x的焦点重合，且椭圆过点P（1，）。
椭圆双曲线抛物线综合训练
【使用说明】1.复习课本P39-P66,构建知识网络，总结基知识、基本题型，注意对比复习，遇疑问再回去阅读课本；
2.本训练案限时45分钟完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
【学习目标】1.掌握椭圆和抛物线的定义、标准方程，能应用几何性质解决问题。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

《椭圆、双曲线、抛物线及其性质》复习教案全面版

《椭圆、双曲线、抛物线及其性质》复习教案一．基础知识1.定义：①椭圆：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

（2a=2c 时？？）②双曲线：M={P| ||PF 1|-|PF 2||=2a ，2a ＜|F 1F 2|}平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a 的点的轨迹。

（2a=2c时？？）③椭圆、双曲线、抛物线统一定义：点集M={P|e dPF，e 为常数，0＜e ＜1是椭圆，e ＞1时是双曲线，e=1是抛物线｝注：两个定义是解决圆锥曲线的性质问题和求圆锥曲线方程的两个有力工具，所以要对两个定义有深刻的认识。

2.标准方程与性质：①椭圆标准方程与性质：标准方程：焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0），F 2（c ，0）。

其中22bac 焦点在y 轴上，中心在原点：12222bx ay （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22bac注：1）在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b ac并且椭圆的焦点总在长轴上；2）两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠Ｂ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）有以下性质：1）范围：|x|≤ａ，|y|≤ｂ；2）对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；3）离心率：e=ac （焦距与长轴长之比）；4）准线方程：cax2；5）焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

高三数学——椭圆、双曲线、抛物线(讲学案)

专题14椭圆、双曲线、抛物线（教学案）1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎫p2，0轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 e ＝c a＝1－b2a2(0<e<1)e ＝c a＝1＋b2a2(e>1)e ＝1 准线x ＝－p 2通径 |AB |＝2b 2a|AB |＝2p渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．考点一椭圆的定义及其方程例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n ++>+ ，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】D考点二椭圆的几何性质例2．【2017浙江，2】椭圆22194x y+=的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】94533e-==，选B．【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0) x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. |x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．考点三双曲线的定义及标准方程例3．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为()1332122⨯⨯-=，选D ．【变式探究】【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B【解析】由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.考点四双曲线的几何性质例4．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<，故选C.【变式探究】【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 【答案】D考点五抛物线的定义及方程例5．【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得2222222102A B y py pb y y p a b b a a -+-=∴+==⇒= 因此该双曲线的渐近线方程为2y x = 【变式探究】【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）33 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()222max 22,,2121223633,1222121,,22332OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A.22B. 2C.322D．2 2【答案】C考点六抛物线的几何性质例6．【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E 两点.已知|AB|=42DE|=25则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 【答案】D【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<，故选C.3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B 【解析】94533e -==，选B ． 4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A.5B.22C. 23D. 33 【答案】C 【解析】由题意得与抛物线方程联立解得，因此,所以M 到直线NF 的距离为 ,选C.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞【答案】A6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率263c e a ===，故选A.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】8.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=3，则实数m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以131c m a +==，解得2m = . 9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得2222222102A B y py pb y y p a b b a a-+-=∴+==⇒= 因此该双曲线的渐近线方程为2y x = 10.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =.11.【2017江苏，8】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】2312.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠， 2114x y =， 2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-.（2）由24x y =，得'2xy =.设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）. 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2,2+m ），|MN |=|m +1|.将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=.当()1610m ∆=+>，即1m >-时， 1,2221x m =±+从而()12||=2421AB x m -=+. 由题设知2AB MN =，即()()42121m m +=+，解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.13.【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0. 所以，即.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l过C 的左焦点F.14.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y+=.(II)3π.【解析】因为NF m =，所以()()()2422222224318312121k k ND k NFkk+++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=，所以()222161611112ND tNFt t t=+=++++ . 令1y t t =+，所以211y t'=-.当3t ≥时， 0y '>,从而1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<< 且0m ≠.故12NF ND≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF NDθ=≥，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线L 的斜率是0. 综上所述：当0k =， ()()2,00,2m ∈-⋃时， EDF ∠取到最小值π3. 15.【2017北京，文19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（Ⅰ）2214x y += ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为.由题意得解得.所以.所以椭圆C 的方程为.（Ⅱ）设，则.16.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）()77 【解析】(第17题)因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=.又P在椭圆E上，故22001 43x y+=.由220022001{143x yx y-=+=，解得004737x y==；220022001{143x yx y+=+=，无解.因此点P 的坐标为4737,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 2.【2016年高考四川文数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）33 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C3.【2016高考新课标2文数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（）（A 2 （B ）32（C 3 （D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线离心率12b e a =+=.选A. 4.【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A5.【2016高考浙江文数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=2,|DE|=5则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224(5)()(22)()2pp+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.7.【2016高考新课标3文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8.【2016高考天津文数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴222244224x x y b bb y x y b ⎧=⎧+=⎪+⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩，∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .【答案】63【解析】由题意得33(,),C(,),2222b b B a a -，因此2222236()()032.223b c a c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津文数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为_________.【答案】611.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2. 12.【2016年高考北京文数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】213.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.【答案】10 【解析】222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．焦距为2c故答案应填：21014.【2016高考山东文数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=.令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p =>（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).316.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 17.【2016高考新课标3文数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ⋅++；（II ）202e <≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =，222221a kx a k=-+．因此22212222111a kAP k x x k a k=+-=⋅++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，2211121a k k AP +=2222221a k k AQ +=，22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，19.【2016高考新课标2文数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)32,2.【解析】（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+.20.【2016年高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：22221+=x ya b（0a b>>）的离心率为32，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.21.【2016年高考四川文数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=-- ，同理25223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 22. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线章节综合学案练习(二)带答案人教版高中数学新高考指导

（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
【汇编高考江苏19】
18．（本小题满分16分）
如图，已知中心在原点且焦点在轴上的椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，过原点与垂直的直线交椭圆于、两点，求证四点在同一个圆上．
A． B． C． D．
5．（汇编）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（）
A． B． C． D．
6．（汇编）过双曲线的左顶点作斜率为1的直线 ,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点 ,且 ,则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
7．（汇编天津卷理）设抛物线 =2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C， =2，则 BCF与 ACF的面积之比 =( )
高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．(汇编山东理)设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为
14．
15．35点拨:如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴=35
解析：35点拨:如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴ =35

个性化教案椭圆+双曲线+抛物线+圆锥曲线常用方法=圆锥曲线全方位学习

个性化教案授课时间: 备课时间：年级：课题:直线和圆锥曲线常考题型学生姓名: 教师姓名:教学目标1、了解解圆锥曲线问题常用几中方法2、学会解圆锥曲线问题常用几中方法教学过程椭圆一、考点梳理1、定义椭圆第一定义:平面内与两个定点12F F,的距离的和等于常数(大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆焦距.椭圆第二定义:平面内到一个定点的距离和它到一条定直线l的距离之比是常数(01)e e<<的点的轨迹叫做椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率.２、基本性质椭圆的标准方程与几何性质:标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上22221x ya b+=(0)a b>>22221x yb a+=(0)a b>>变式训练:已知F1、F2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点,且 9021=∠PF F若21PF F ∆的面积为9,则ｂ=_＿_____考点三、离心率例４、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,若直线2y x =与椭圆一个交点P 的横坐标恰好为c ,则椭圆的离心率为（ )Ａ222-. B.2212- C.21- D.31-例5、已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值.变式训练: 1、椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列,则椭圆的离心率为＿_____＿_＿_. ２、已知椭圆,F 1,Ｆ2是两个焦点，若椭圆上存在一点Ｐ，使,求其离心率的取值范围＿___＿____。

3、已知椭圆,以,，为系数的关于的方程无实根,求其离心率的取值范围＿__＿__＿＿_。

ﻫ 考点四、椭圆的标准方程例5、椭圆a ｘ2+by ２＝１与直线ｘ+y =１相交于P 、Q 两点,若｜PQ |=22,且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22,求椭圆方程。

高中数学高考二轮复习椭圆、双曲线、抛物线理教案含答案(全国通用)

专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。

高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线(学) 学案

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（学）学一学------基础知识结论1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2学一学------方法规律技巧1．一点提醒椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|．2．两个防X 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x 轴上还是y 轴上，当a ＞b ＞0时，方程x2a2＋y2b2＝1的焦点在x 轴上；当b ＞a ＞0时，方程x2a2＋y2b2＝1的焦点在y 轴上.3．双曲线的定义平面内动点P 与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a ＜2c)，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距． 4．双曲线的标准方程和几何性质学一学------方法规律技巧1．一点提醒双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支．2．二个防X 一是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，而双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ⎝⎛⎭⎫即x ＝±b a y ，应注意其区别与联系；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．5．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．6．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下学一学------方法规律技巧1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．2．两个防X 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.例1 (1)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5(2)求过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．例2. (1)(2013·某某卷)设F1，F2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C 的离心率为________．(2)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )． A ．3x±4y ＝0 B ．3x±5y ＝0 C ．4x±3y ＝0 D ．5x ＋4y ＝0例3. (2014·某某一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3。

椭圆双曲线抛物线复习学案(知识点+题组练习+测试)

椭圆、双曲线、抛物线复习学案（知识点+题组练习+测试）椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案一、知识点总结： 1、三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。

动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。

椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离_____等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以_______为焦点的椭圆。

注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为________。

若0?2a?F1F2时，点P的轨迹________。

双曲线：在平面内到两个定点F1，F2距离___________等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以________为焦点的双曲线．注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为_______________。

若2a?F1F2时，点P的轨迹________。

若2a?0时，点P的轨迹是_________________．另外，定义中的_________必不可少.抛物线：平面内到定点F与到定直线l距离_______的点的轨迹。

（其中F?l）注意：若F?l，则P点的轨迹为______________________________。

2、三种圆锥曲线的标准方程：x2y2椭圆：2?2?1(a?b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?b?0)，焦点在y轴上． a2b2（谁的_______________，焦点就在谁的轴上。

）x2y2双曲线：2?2?1(a?0，b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?0，b?0),焦点在y轴上． a2b2(谁的______________，焦点就在谁的轴上。

)抛物线：y?2px,y??2px,（其中p?0），焦点在x轴上；22x2?2py,x2??2py, （其中p?0），焦点在y轴上。

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案考点一：圆锥曲线标准方程1.以22412x y -＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________________2.与双曲线22221x y -=有公共焦点,离心率互为倒数的椭圆方程为__________________3.方程22135x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________________ 方程22123x y m m+=+-表示双曲线，则m 的取值范围是________________ 4.经过点M (3,－2),N (－23,1)的椭圆的标准方程是 .5.与双曲线22153x y -=有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为__________________ 6.过点(2,4)P -的抛物线的标准方程为7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则抛物线方程为_________考点二：圆锥曲线定义在解题中的运用1.椭圆221625400x y +=的焦点为12F F ，，直线AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为 2.动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点3.椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于4.设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（）A.41； B.31； C.91 ； D.53 5.P 为双曲线22221x y a b -=上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系为 ( ) A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交考点三：椭圆双曲线三量之关系1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 2.若抛物线2y mx =的焦点与椭圆22126x y +=的上焦点重合，则m = 3.椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点,则m 等于____________4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，2c 为焦距，10,a b c +==，则椭圆方程为 5.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（）A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关考点四：椭圆双曲线的离心率1.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为________2.若椭圆22189x y k +=+的离心率e =21，则k 的值等于 . 3.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1.F 2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为4.双曲线2214x y k+=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围为5.2的两段，则离心率为_________6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点为1.F 2F ，PQ 是经过1.F 且垂直于x 轴的弦．若290PF Q ∠=，则双曲线的离心率为_________7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 .8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2) B.(1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)9.设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（）A. 316 B. 23 C. 22 D. 32考点五：焦点三角形1.设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F , 则21F PF ∆的面积为点P 的坐标是2.椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是考点六：动点轨迹问题1.已知圆22:(1)25C x y ++=，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的交点为M ，求点M 的轨迹方程2.已知圆22:(4)100A x y ++=，圆内一定点(4,0)B ，动圆圆P 过点B 且与圆A 相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程3.已知动圆C 和定圆()221:41C x y +-=外切而和定圆()222:49C x y ++=外切，求动圆圆心C 的轨迹方程4.点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为5.ABC ∆中，12,BC AB AC =和边上中线和为30，求ABC ∆重心G 的轨迹方程6.P 在以21,F F 为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则21F PF ∆重心G 的轨迹方程是7. 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；考点七：圆锥曲线中的最值问题1.椭圆221169x y +=上点到直线70x y --=的最大，最小距离分别为（）A ．B ． D 2.已知P 为抛物线22y x =上的点,当P 到直线4y x =+距离最短时点P 的坐标是（） A.(0,0) B.1(1,)2 C.1(,1)2 D.11(,)223.抛物线22x y =上与(0,2)M 距离最近的点的坐标为4.已知P 为椭圆192522=+y x 上任一点，F 为椭圆的左焦点，(2,1)A 为椭圆内一点，则||||PA PF +的最大值为 5.已知点P 是抛物线24y x =上的动点，焦点为F ，点A 的坐标是(6,3)A ，则||||PA PF +的最小值是考点八：直线与圆锥曲线位置关系1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有条2.过点(0,2)A 可作条直线与双曲线2214y x -=有且只有一个公共点，过点(1,0)B 可作条 3.直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是4.过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于,A B 两点,若4=AB 则这样的直线有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条 5．若直线1+=kx y （R k ∈）与焦点在x 轴上的椭圆2217x y a+=总有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．10≤<a B ．70<<a C ．71<≤a D ．71≤<a6.设直线:220l x y ++=与椭圆2214y x +=的交点为,A B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（）A.1 B.2 C.3D.4考点九：直线与圆锥曲线相交弦长 1.已知斜率为1的直线过椭圆的2214x y +=右焦点交椭圆于,A B ，则AB = 2.已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，5AB =，3A B x x +=，则p =3.若倾角为4π的直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则MN 长为考点十：联立方程消元利用韦达定理 1.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为,p q 则qp 11+等于 ( ) A. a 2 B.a 21 C. a 4 D. a 42.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =，若椭圆与直线10x y ++=交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.考点十一：点差法1.点(8,1)P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______2.在抛物线216y x =内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________ 3.过椭圆22194x y +=内一点(2,0)M 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 4.过点(2,0)M -的直线l 与椭圆1222=+y x 交于12,P P ，线段12P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k （01≠k ），直线OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅的值为5.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，弦AB 的中点C 与椭圆中心的连线OC 的斜率为2（1）求n m的值；（2）若AB =，求椭圆方程。

高三数学一轮复习 5.2 椭圆、双曲线、抛物线学案

专题五：解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题）【最新考纲透析】 1．圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

（4）了解圆锥曲线的简单应用。

（5）理解数形结合的思想。

2．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

【核心要点突破】要点考向1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程考情聚焦：1．圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线。

2．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。

3．既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。

考向链接：1．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。

2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。

3．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把b 用a 、c 代换，求的值。

4．在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。

例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =。

(1)求椭圆E 的方程； (2)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力．【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线l 的斜率或直线l 上的一个点的坐标，进而求得直线l 的方程；（3）先假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。

全国通用版2019版高考数学一轮复习第十三单元椭圆双曲线抛物线学案(文科)

第十三单元椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质[1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53. 2．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 上的点A ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin CA ＋C ＝( )A.43B.53C.45D.54解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1，得椭圆的半焦距为4，则A (－4,0)和C (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点． ∵点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，作出示意图如图所示，∴sin A ＋sin C A ＋C ＝sin A ＋sin C sin B ＝2a 2c ＝54.3．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的焦距为8，则m 的值为( )A ．3或41B ．3C.41D ．±3或±41解析：选A 当m ＜5时，焦点在x 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4，由25－m 2＝16，得m ＝3；当m ＞5时，焦点在y 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4，由m 2－25＝16，得m ＝41，故m 的值为3或41.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0＜m ＜2，所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m . 因为椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：32[清易错]1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或－21 解析：选D 当9＞4－k ＞0，即－5<k <4时，a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925；当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， ∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21， ∴k 的值为1925或－21.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)，所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．3．双曲线的性质[1．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析：选D 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba＝tan 60°＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 解析：选C 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，可设其方程为y 23－x 2＝λ(λ≠0)．又双曲线过点(2,3), 则323－22＝λ，解得λ＝－1，所以双曲线的方程为y 23－x 2＝－1，即x 2－y 23＝1.3．(2018·张掖一诊)如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：选 A 依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，因为△ABF 2为等边三角形，所以∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝4c 2，整理得c a ＝7，故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：44[清易错]1．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.1．双曲线x 236－m 2－y 2m2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：选B ∵c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6， ∴双曲线的焦距为12.2．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选C ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦点在x 轴上，直线l ：4x ＋3y －20＝0与x 轴的交点为(5,0)．∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①∵直线l ：4x ＋3y －20＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线平行，∴b a ＝43.②由①②解得a ＝3，∴双曲线C 的实轴长为2a ＝6.抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离[1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝10xD ．y 2＝20x解析：选D 双曲线x 213－y 212＝1的右焦点为(5,0) ，由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0) ， ∵抛物线的焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，∴p2＝5，p ＝10， ∴抛物线方程为y 2＝20x .2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0解析：选B 点M 到准线的距离等于点M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，故y ＝1516.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A ．2 B.12 C.14D.18解析：选D 设点P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |的最小值为18.4．已知抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．解析：可知抛物线y 2＝6x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设P (x ，y )，x ＞0.由抛物线的定义，得点P 到焦点的距离d 1＝x ＋p 2＝x ＋32，点P 到y 轴的距离d 2＝x .由x ＋32＝2x ，解得x ＝32，∴该点的横坐标为32.答案：32[清易错]1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中的参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－1321．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小题速通]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点M 的纵坐标为4，则|AB |＝________. 解析：由题意，可得焦点F (0,2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝8＋4＝12.答案：123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即2ba 2＋b 2＜1，∴3b 2＜a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2，∴e ＝c a ＜233.又e ＞1，∴1＜e ＜233.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，233[清易错]1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a －y 2b＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点． 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0).一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，若其上一点P (m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( ) A ．y ＝8x 2B ．y ＝16x 2C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 根据题意知，点P (m,1)在x 轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x 2＝2py ，其准线方程为y ＝－p2，由点P 到焦点的距离为5，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5,解得p ＝8，则抛物线的标准方程为x 2＝16y .2．椭圆x 216＋y 2m＝1的焦距为27，则m 的值为( )A ．9B ．23C ．9或23D ．16－7或16＋7解析：选C 由椭圆x216＋y2m ＝1的焦距为27，可得，216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.4．若双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2―→＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )A.855 B ．2 5 C.865D ．2 6解析：选C 设P (x ，y )，由已知得F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则(－5－x ，－y )·(5－x ，－y )＝x 2－5＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝5，与双曲线方程x 24－y 2＝1联立，可得交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，55，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2305，55， ⎝⎛⎭⎪⎫－2305，－55，⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，－55，它们构成一个长为4305，宽为255的长方形，所以四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4305×255＝865. 5．若双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±13x解析：选D 因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，所以e ＝ca ＝10，即e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝10，所以ba＝3.因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±a b x ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±13x .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.7．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.()－3，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1， |PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2. 设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得：(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，即2－2e 21＋2＋2e 22＝4. 又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1·e 2＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 二、填空题9．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m1＝3，解得m ＝2. 答案：210．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：511．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为__________．解析：由椭圆x 29＋y 24＝1，得a 2＝9，b 2＝4， ∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为()±5，0.设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a ＞b ＞0，则c ＝5，又c a ＝55，得a ＝5，∴b 2＝25－5＝20. ∴所求椭圆方程为x 225＋y 220＝1.答案：x225＋y220＝112．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1 三、解答题13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－6516的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程．解：(1)由题意可得，2b ＝2，所以b ＝1.联立x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)与y ＝x 2－6516，消去y ，整理得x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－658x 2＋81×49162＝0，根据椭圆C 与抛物线y ＝x 2－6516的对称性，可得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－6582－4×81×49162＝0，a ＞1，解得a ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，S △PMN ＝12×2b ×a ＝2；当直线l 的斜率为0时，S △PMN ＝12×2a ×b ＝2；②当直线l 的斜率存在且不为0时．设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，解得x 2＝41＋4k 2，y 2＝4k 21＋4k 2.∴|MN |＝2x 2＋y 2＝41＋k21＋4k2. 由题意可得，线段MN 的中垂线方程为y ＝－1kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1kx ，x24＋y 2＝1，可得x 2＝4k 2k 2＋4，y 2＝4k 2＋4.∴|OP |＝x 2＋y 2＝21＋k 2k 2＋4. ∴S △PMN ＝12·|MN |·|OP |＝＋k2＋4k2k 2＋≥＋k2＋4k＋k ＋2＝85，当且仅当k ＝±1时取等号，此时△PMN 的面积的最小值为85.∵2>85，∴△PMN 的面积的最小值为85，直线l 的方程为y ＝±x .14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得 |AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研究课(一)椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系 [全国卷5年命题分析][典例] (1)若椭圆C ：x 29＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 [解析] (1)由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－722×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.(2)设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示．由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|，知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝()452－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.[答案] (1)C (2)B [方法技巧](1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．[即时演练]1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵椭圆方程为y 24＋x 23＝1，∴焦点坐标为B (0，－1)和B ′(0,1)，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义，得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，可得|PB |＝4－|PB ′|，因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|PA |－|PB ′|)．∵|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，∴|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5. 当且仅当点P 在AB ′延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA |＋|PB |的最大值为5.2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a[典例] (1)(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； ②若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．[答案]63(2)①由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.②如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a λ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－2＋λ＋1＋λ22＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋t －2t2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.所以椭圆离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤22，53. [方法技巧]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[即时演练]1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△F 1PF 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为__________．解析：作出示意图如图，由题可知，|PF 2||PF 1|＝2，即|PF 2|＝2|PF 1|，又|PF 2|＋|PF 1|＝2a ， ∴|PF 1|＝ 23a ，|PF 2|＝43a ，∴(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2，即c 2＝59a 2，∴e ＝53.答案：532．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F 1PF 2≤90°，∴tan ∠OPF 2≤1，∴c b ≤1，c ≤b ，c 2≤a 2－c 2，∴0＜e ≤22.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22[典例] (2017·天津高考)已知椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c ), △EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．[思路点拨] (1)由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22，再结合b 2＝a 2－c 2，求得离心率；(2)①首先设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，再写出直线AE 的方程，联立方程得到点Q 的坐标，根据|FQ |＝32c 得到m 的值，求得直线FP 的斜率； ②联立直线FP 的方程和椭圆方程，求得点P 的坐标，再求|FP |，|PQ |，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，求c ，得出椭圆的方程．[解] (1)设椭圆的离心率为e . 由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0. 又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x ＝m －c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝32c ，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤m －c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c2＝1消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝c ＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c232，同理△FPM 的面积等于75c232，由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c . 又由c ＞0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.[方法技巧](1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[即时演练]1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B 为CF 2的中点，若|k |≤255，则椭圆离心率e 的取值范围为__________．解析：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点在x 轴上，设椭圆的右焦点为F 2 (c,0)，则直线的方程可设为y ＝k (x －c )，令x ＝0，得y ＝－kc ，即C (0，－kc )．由于B 为CF 2的中点，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－kc2，又B 为椭圆上的点，∴c 24a 2＋k 2c 24b2＝1，由b 2＝a 2－c 2，e ＝c a，可得e 24＋k 2e 2－e2＝1， ∴k 2＝e 4－5e 2＋4e 2.∵|k |≤255，∴k 2≤45，即0≤e 4－5e 2＋4e 2≤45.又0＜e ＜1, 解得255≤e ＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，1E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的2．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．解：(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点，故x 0>0，y 0>0.当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得x 0＝477，y 0＝377；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.4．(2016·全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k2，得x 1＝－4k23＋4k2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，消去y ，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m－k3，因此x M ＝k k －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x22＋y22k＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k＞2，解得0＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是(0,1)．2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,9]B ．[1，＋∞)C ．[1,9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)解析：选C ∵直线2kx －y ＋1＝0恒过定点P (0,1),直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，即点P (0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴09＋1m≤1，即m ≥1, 又m ≠9，∴1≤m ＜9或m ＞9.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.55解析：选D 如图所示，把x ＝－c 代入椭圆方程x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)，可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又A (0，b )，B (a,0)，F 2(c,0)，∴k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac，∵PF 2∥AB ，∴－b a ＝－b 22ac，化简得b ＝2c .∴4c 2＝b 2＝a 2－c 2，即a 2＝5c 2，∴e ＝c 2a 2＝55. 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2B. 3C.12D.32解析：选A 设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知， |AF 1|＋|AF 2|＝2a 1, |AF 1|－|AF 2|＝2a 2,在Rt △AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝30°，则|AF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 1|＝32|F 1F 2|＝3c,所以2a 1＝(3＋1)c,2a 2＝(3－1)c ，即e 1＝c a 1＝23＋1，e 2＝c a 2＝23－1，所以e 1·e 2＝23＋1×23－1＝2,即椭圆与双曲线的离心率之积为2.5．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→ <0，则x 0的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 解析：选A ∵F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1―→·PF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3.又∵x 204＋y 20＝1，∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋3y22＝18．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为____________________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 由中点坐标公式可知：x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2,则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，则y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝34，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝34，所以直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0.法二：由点M 是AB 的中点，可设A (1＋m ，－1＋n )，B (1－m ，－1－n ),则＋m 24＋－1＋n 23＝1，① －m 24＋－1－n 23＝1，②两式相减得：m －43n ＝0，即n m ＝34，所以直线AB 的斜率k ＝n m ＝34，则直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0. 答案：3x －4y －7＝09．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ内切圆面积的最大值是________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求△F 1PQ 面积的最大值．设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0,设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，于是S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋1m 2＋2.设m 2＋1＝t ，则t ≥1，。

高考数学二轮复习专题四第2讲椭圆、抛物线、双曲线学案-人教版高三全册数学学案

第2讲椭圆、抛物线、双曲线1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题； 3．数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一．1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0)． 3．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2． ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2． (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±abx ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2．②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p2． 4．弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2．(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．热点一圆锥曲线的几何性质【例1】(2018·哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为F 1(−3,0)、F 2(3,0)，一条渐近线方程为F =√2F ，那么经过双曲线焦点且垂直于F 轴的弦的长度为（） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．1解析因为双曲线的两个焦点分别F 1(−3,0)，F 2(3,0)，—条渐近线方程为F =√2F ，∴{F 2+F 2=9F F=√2 ，解得F =√3,F =√6，双曲线的方程为F 23−F 26=1，由{F 23−F 26=1F =3⇒F =2√3，所以经过双曲线焦点且垂直于F 轴的弦的长度为2×2√3=4√3．答案 A探究提高 1．分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．2．确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．3．求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为（） A ．63B ．33C ．23D ．13(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即ba＝13．∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63．(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b ．又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2．答案 (1)A (2)2热点二直线与圆锥曲线【例2】 ((2018·江南十校)已知椭圆F :F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)，F 为其短轴的一个端点，F 1,F 2分别为其左右两个焦点，已知三角形FF 1F 2的面积为√2，且cos∠F 1FF 2=13．（1）求椭圆F 的方程；（2）若动直线F :F =FF +F (F ≠0,F 2≠23)与椭圆F 交于F (F 1,F 1),F (F 2,F 2)，F 为线段FF 的中点，且F 12+F 22=3，求|FF |·|FF |的最大值．解（1）由cos∠F 1FF 2=2F 2−4F 22F 2=13⇒F 2F 2=13⇒F 2=3F 2，F 2=2F 2，cos∠F 1FF 2=13⇒sin∠F 1FF 2=2√23，结合F FF 1FF 2=12F 2·2√23=√2⇒F 2=3，⇒F 2=2，故椭圆F 的方程为F 23+F 22=1；另解：依题意：F FF 1FF 2=12×2FF =FF =√2， cos∠F 1FF 2=2cos 2∠F 1FF 22−1=13⇒F 2F 2=23，解得：F 2=3，F 2=2，故椭圆F 的方程为F 23+F 22=1；（2）联立{F =FF +F 2F 2+3F 2=6⇒(3F 2+2)F 2+6FFF +3F 2−6=0． ⇒F =24(3F 2+2−F 2)>0⇒3F 2+2>F 2．且F 1+F 2=−6FF 3F 2+2，F 1F 2=3F 2−63F 2+2；依题意，F 12+F 22=3⇒(F 1+F 2)2−2F 1F 2=3⇒(−6FF )2(3F 2+2)2−6(F 2−2)3F 2+2=3 化简得：3F 2+2=2F 2（∵3F 2≠2）；设F (F 0,F 0)，由{2F 12+3F 12=62F 22+3F 22=6 ⇒2(F 12−F 22)=−3(F 12−F 22)⇒F =F 1−F 2F 1−F 2=2F 0−3F 0 又F 0=FF 0+F ，解得：F (−3F 2F ,1F )⇒|FF |2=9F 2+44F 2=3F 2−12F 2，|FF |2=(1+F 2)|F 1−F 2|2=(1+F 2)24(3F 2+2−F 2)(3F 2+2)2=2(2F 2+1)F 2⇒|FF |2|FF |2=(3−1F2)(2+1F2)≤254|FF |·|FF |≤52．当且仅当3−1F 2=2+1F 2，即F =±√2时，|FF |·|FF |的最大值为52．探究提高 1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2．弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．3．对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．【训练2】(2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14． (2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零．由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0．考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12．则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2．因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2．因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0．所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1．故A 为线段BM 的中点．1．(2018·全国I 卷)已知椭圆F ：F 2F 2+F 24=1的一个焦点为(2 ， 0)，则F 的离心率为（） A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．(2018·全国III 卷)已知双曲线F ： F 2F2−F 2F2=1(F >0 ， F >0)的离心率为√2，则点(4,0)到F 的渐近线的距离为（） A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√23．(2018·全国II 卷)已知F 1，F 2是椭圆F 的两个焦点，F 是F 上的一点，若FF 1⊥FF 2，且∠FF 2F 1=60°，则F 的离心率为（） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−14．(2018·全国I 卷)设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，()2,0B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．1．(2019·吉安联考设抛物线F 2=8F 的焦点为F ，过点F (4,0)的直线与抛物线相交于F ，F 两点，与抛物线的准线相交于F ，|FF |=4，则FFFF 与FFFF 的面积之比F△FFF F △FFF=（）A ．34B ．45C ．56D ．252．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．323．(2018·哈六中)若F 是双曲线F 1:F 2F 2−F 2F 2=1(F >0,F >0)和圆F 2:F 2+F 2=F 2+F 2的一个交点，且,∠FF 2F 1=2∠FF 1F 2，其中F 1,F 2是双曲线F 1的两个焦点，则双曲线F 1的离心率为（） A ．√3−1B ．3C ．2D ．√3+14．(2017·佛山调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．1．(2019·河南联考)已知椭圆F :F 22+F 2=1，设过点F (2,0)的直线F 与椭圆F 交于不同的F ，F 两点，且∠FFF 为钝角（其中F 为坐标原点），则直线F 斜率的取值范围是（） A ．(−√22,√22) B ．(−√55,0)∪(0,√55)C ．(−∞,−√55)∪(√55,+∞)D ．(−√22,0)∪(0,√22)2．(2017·石家庄三模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则双曲线C 2的渐近线方程为（） A ．x ±y ＝0B ．x ±33y ＝0 C ．x ±22y ＝0 D ．x ±2y ＝03．(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行．则实数a 的值为________． 4．(2018·全国III 卷)已知斜率为F 的直线F 与椭圆F ： F 24+F 23=1交于F ，F 两点．线段FF 的中点为F (1,F )(F >0)．（1）证明：F <−12；（2）设F 为F 的右焦点，F 为F 上一点，且FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：2|FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |．参考答案1．【解题思路】首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为(2 ， 0)，从而求得F =2，再根据题中所给的方程中系数，可以得到F 2=4，利用椭圆中对应F ,F ,F 的关系，求得F =2√2，最后利用椭圆离心率的公式求得结果．【答案】根据题意，可知F =2，因为F 2=4，所以F 2=F 2+F 2=8，即F =2√2，所以椭圆F 的离心率为F =2√2=√22，故选C ．2．【解题思路】由离心率计算出FF ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．【答案】∵e =FF =√1+(FF )2=√2，∴FF =1，所以双曲线的渐近线方程为x ±y =0，所以点（4，0）到渐近线的距离d =√1+1=2√2，故选D ．3．【解题思路】设|FF 2|=F ，则根据平面几何知识可求|F 1F 2|,|FF 1|，再结合椭圆定义可求离心率．【答案】在FF 1FF 2中，∠F 1FF 2=90∘,∠FF 2F 1=60° 设|FF 2|=F ，则2F =|F 1F 2|=2F ,|FF 1|=√3F ，又由椭圆定义可知2F =|FF 1|+|FF 2|=(√3+1)F 则离心率F =F F=2F 2F=(√3+1)F=√3−1，故选D ．4．【解题思路】(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为x=1，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；(2)分直线l 与x 轴垂直、l 与x 轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．【答案】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为112y x =+或．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN ∠=∠．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()()20y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由()222y k x y x=-=⎧⎪⎨⎪⎩得2–240ky y k -=，可知122y y k +=，12–4y y =．直线BM ，BN 的斜率之和为 ()()()21121212121222222BM BN x y x y y y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得()()1212211212248820y y k y y x y x y y y kk++-++++===．所以0BM BN k k +=，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠．综上，ABM ABN ∠=∠．1．【解题思路】分别过A ，B 作准线l 的垂线AP ，BN ，由|BF |＝4，可得点B 的坐标，进而可得直线AB 的方程，与抛物线联立可得点A 坐标，利用F △FFF F △FFF=|FF ||FF |=|FF ||FF |即可得解．【答案】抛物线的准线方程为l ：x ＝﹣2，分别过A ，B 作准线l 的垂线AP ，BN ，则|BN |＝|BF |＝4，∴B 点横坐标为2，不妨设B （2，﹣4），则直线AB 的方程为：y ＝2x ﹣8，联立方程组{F =2F −8F 2=8F，得x 2﹣10x +16＝0，设A 横坐标为x 0，则x 0+2=10，故而x 0=8． ∴|AP |＝x 0+2=10，∴F △FFF F △FFF=|FF ||FF |=|FF ||FF |=410=25．故选D ．2．【解题思路】12APF S PF d =⋅△(d 为A 到PF 的距离)．【答案】由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3．又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32．故选D ．3．【解题思路】由F 2+F 2=F 2，可知圆F 2一定经过双曲线的两个焦点，可以求出∠FF 2F 1=F2，∠FF 2F 1=2∠FF 1F 2=F3，及|FF 2|=F ，|FF 1|=√3F ，进而可以求出双曲线的离心率．【答案】因为F 2+F 2=F 2，所以圆F 2一定经过双曲线的两个焦点，可知∠F 2FF 1=F2，∠FF 2F 1=2∠FF 1F 2=F3，则|F 1F 2|=2F ，|FF 2|=F ，|FF 1|=√3F ，故双曲线的离心率为：F =FF=|F 1F 2||FF 1|−|FF 2|=√3F −F=√3+1．故答案为D ．4．【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出a ，b ， (2) OM ⊥ON ⇔OM →·ON →＝0，结合韦达定理处理．【答案】解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1．∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k2． ∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k2．∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON →＝0．∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，∴k ＝±2．故直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．1．【解题思路】设直线F :F =F (F −2)(F ≠0)，代入F 22+F 2=1，得(1+2F 2)F 2−8F 2F +8F 2−2=0，利用韦达定理表示F 1F 2+F 1F 2<0，结合F >0即可得到直线F 斜率的取值范围．【答案】设直线F :F =F (F −2)(F ≠0)，代入F 22+F 2=1，得(1+2F 2)F 2−8F 2F +8F 2−2=0，因为直线F 与椭圆交于不同的F ，F 两点，所以F =64F 2−4(1+2F 2)(8F 2−2)>0，解得−√22<F <√22且F ≠0．设F (F 1,F 1)，F (F 2,F 2)，则F 1+F 2=8F 21+2F 2，F 1F 2=8F 2−21+2F 2，F 1F 2=F 2(F 1−2)(F 2−2)=F 2(8F 2−21+2F 2−16F 21+2F 2+4)=2F 21+2F 2，因为∠FFF 为钝角，所以F 1F 2+F 1F 2=8F 2−21+2F 2+2F 21+2F 2<0，解得−√55<F <√55，F ≠0．综上所述：F ∈(−√55,0)∪(0,√55)，故选B ．2．【解题思路】共焦点相同，再e 1e 2＝13再可得椭圆与双曲线的a ，b ，c 的关系，结合定义可得|PF 1|，|PF 2|．【答案】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2m 2－y 2n 2＝1，依题意c 1＝c 2＝c ，且e 1e 2＝13，∴m a ＝13，则a ＝3m ，① 由圆锥曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝4m ，|PF 2|＝2m ．在△F 1PF 2中，由余弦定理，得：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝12m 2，∴c 2＝3m 2，则n 2＝c 2－m 2＝2m 2，因此双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±2x ，即x ±22y ＝0．故选C ． 3．【解题思路】利用抛物线定义求出点M 的坐标，再两直线平行，斜率相等．【答案】由题设1＋p2＝5，∴p ＝8．不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且直线AM 平行一条渐近线，∴41＋a ＝3a，则a ＝3．故填3．4．【解题思路】（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。

高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五 2 第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案

第2讲椭圆、双曲线、抛物线年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018 卷Ⅰ直线与抛物线的位置关系·T8双曲线的几何性质·T11 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11 题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大. 卷Ⅱ双曲线的几何性质·T5椭圆的几何性质·T12卷Ⅲ双曲线的几何性质·T11直线与抛物线的位置关系·T162017 卷Ⅰ直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10双曲线的几何性质·T15卷Ⅱ双曲线的几何性质·T9卷Ⅲ双曲线的渐近线及标准方程·T52016 卷Ⅰ双曲线的几何性质与标准方程·T5抛物线与圆的综合问题·T10卷Ⅱ双曲线的定义、离心率问题·T11卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)[典型例题](1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B.655 C.855D.455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.(2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a . 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A. 【答案】 (1)C (2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质①已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2中∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tan θ2.②已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2，若∠F 1PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点．③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为2b2a.(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：①设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tanθ2.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有S △F 1PF 2＝b 2.②双曲线的焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点．当点P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]1．(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.2．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或9解析：选D.分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1，B 1，依题意，易证BD ∥x 轴，所以D 与B 1重合．由已知条件|BE |＝2|BF |得，|BE |＝2|BB 1|，所以∠BEB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，如图1，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD |3|BD |＋3，解得|BD |＝1，如图2，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD ||BD |－3，解得|BD |＝9.综上，|BD |为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a ，b ，c 及e 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.23 C.22D.33(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】 (1)由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x －c，所以(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2－2y 22＝－b4a 2＋b2，所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B.(2)因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B. 【答案】 (1)B (2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2018·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a2a 2＋b 2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD 中，已知|AB |＝2|CD |，AE →＝25AC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．2 2 C ．3D.10解析：选A.取AB 的中点O 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，|AB |＝2|CD |＝2c ，E (x E ，y E )，则A (－c ，0)，B (c ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y C ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，y C ，由c 24a 2－y 2C b 2＝1，得y C ＝b 2a b 2－3a 2，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b2a b 2－3a 2.因为AE →＝(x E ＋c ，y E )，25AC →＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，b 2a b 2－3a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 5，b5a b 2－3a 2，AE →＝25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x E＝－25c ，y E＝b 5a b 2－3a 2.又E 在双曲线上，故4c 225a 2－b 225a 2（b 2－3a 2）b2＝1，化简整理得4c 2－b 2＋3a 2＝25a 2，即c 2＝7a 2，故ca＝7.选A.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D.直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一位置关系的判断及应用已知抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点为椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且两曲线有公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1与椭圆C 2的方程；(2)若椭圆C 2的一条切线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．【解】 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23×2p ，解得2p ＝4，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，则焦点为F (1，0)，即c ＝1，所以a 2＝b 2＋1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，得49（b 2＋1）＋83b 2＝1，解得b 2＝3(增根舍去)，则a 2＝4，所以椭圆C 2的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线l 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x 整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2，所以y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4b k，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k2＋4b k＝0，整理得b ＋4k ＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即b 2＝3＋4k 2.②由①②解得k ＝±12，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二弦长问题(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．【解】 (1)设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )．所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2（n －y ），得⎩⎨⎧m ＝（2＋1）x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋（2＋1）22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋（y 1＋y 2）22＝1，即4k 2（k 2＋2）2＋8（k 2＋2）2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33，所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．命题角度三定比、分点问题(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. ①求椭圆C 的方程；②过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)选C.设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4，1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32，故选C. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.②由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ（1－λ）2(y 1＋y 2)2，则（1－λ）2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线交于第一象限内的点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A. 3B.32C.33D.233解析：选D.显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k＝233(负值舍去)．2．(2018·惠州第二次调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1，0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1，故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（2t 2－2）1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝（1＋k 2）2k 21＋2k 2－4k 2（k 2＋1）1＋2k 2＋k 2＋1 ＝1＋k 21＋2k2，所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22，所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－33∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.一、选择题1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3 C ．2D.2＋1解析：选B.由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，所以2a ＝4c －23c ，所以e ＝c a＝2＋3，故选B.4．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝3x B ．y 2＝4x C ．y 2＝6xD ．y 2＝8x解析：选C.因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过点F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －p 2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px⇒3x 2－5px ＋34p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B)，则⎩⎪⎨⎪⎧x A＋x B＝53p ，x A ·x B＝14p 2，所以|AB |＝（x A －x B ）2＋（y A －y B ）2＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53p 2－4×14p 2＝83p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.6．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM →＝λMF →，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b －b ，所以λ＝|PM →||MF →|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b2. 因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.故选B.二、填空题7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x ＞0，y ＞0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4，4)．答案：(4，4)8．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．解析：根据题意可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以tan ∠PAF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a ＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF cos 2∠PAF ＋sin 2∠PAF＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－（1－e ）21＋（1－e ）2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)，所以1－e ＝12，e ＝12.答案：129．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2. 又F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )， PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1 ＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1 ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34三、解答题10．(2018·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c .因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝cb 2a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)＞0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k （2k ＋1）1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －（2k ＋2）×4k （2k ＋1）1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝94的圆心C 在抛物线x2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线y ＝－p2.因为圆C 与抛物线的准线相切，所以b ＝32－p2，且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即b ＝p4，所以b ＝32－p 2＝p 4，即p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝x 24求导得y ′＝x 2，即k AP ＝x 12，直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21，同理直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22.设P (x 0，y 0)．联立直线AP 与BP 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22＝2k y 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1)，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k2＝21＋k 2，所以三角形PAB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时取等号．综上，三角形PAB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为y ＝1.。

椭圆、双曲线、抛物线学案

《椭圆、双曲线、抛物线》学案【高考定位】圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与圆锥曲线的位置关系．【应对策略】复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.【教学重点】圆锥曲线的定义、标准方程、圆锥曲线的简单几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 【教学难点】直线与圆锥曲线位置关系的综合应用. 【教学过程】一．主干知识整合圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质(以焦点在x 轴为例) 椭圆双曲线抛物线定义 12122PF PF a F F +=> 12122PF PF a F F -=< PF d =图象标准方程 22221(0)x y a b a b +=>> 22221(00)x y a b a b-=>>， 22,y px =二．热点突破探究典例精析题型一：圆锥曲线的定义与标准方程例1.（1）已知P 为椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 22＝1的一个交点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，那么∠F 1PF 2的余弦值为__________．（2）如图过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线与点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．【题后点评】变式1.(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1范围顶点对称性关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点轴长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率e ＝ca ＝ (0＜e ＜1)e ＝ca ＝ (e ＞1)e ＝准线 x ＝通径 |AB |＝2b 2a|AB |＝2p几何性质渐近线y ＝±b ax题型二：圆锥曲线的几何性质例2. (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________．(2)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为__________．【题后点评】变式2.(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A. B ．1 C ．2 D ．4(2)(2013济南二模）过双曲线左焦点F 作圆的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于P,若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为_____.题型三：直线与圆锥曲线的位置关系例3. 已知椭圆C: 的右焦点为F,离心率为，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M(0，2)作直线交椭圆C 与A 、B 两点，求面积的最大值.【题后点评】12()222210,0x y a b a b -=>>2224a x y +=()222210x y ab a b +=>>222AOB ∆变式3.已知定点E（-1,0），在例3（2）的条件下，试判断是否存在k,使以AB为直径的圆过定点E?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.四．小结：1.知识小结：2.数学思想方法：五．考情分析：从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．2．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强．3．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．六．作业:。

椭圆双曲线综合复习教案

椭圆、双曲线复习【目标要求】体验从具体情境中抽象出椭圆、双曲线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质以及内在联系；进一步提高学生解析能力。

【教学重点】掌握这两种曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、技巧和基本方法。

【教学难点】这两曲线的概念和性质在实际问题里面的灵活应用。

【教学方法】：讲练结合、数形结合。

【教学用具】：多媒体演示【课型】：复习课【课时】：1课时【教学过程】一、给出椭圆定义、引出方程和性质展示给学生椭圆、双曲线定义及图形的形成过程，帮助同学进一步理解椭圆、双曲线的定义，性质。

1、定义椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．F 1， F 2叫做椭圆的焦点；21F F 叫做椭圆的焦距．双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线．F 1， F 2叫做双曲线的焦点；21F F 叫做双曲线的焦距． 2、性质一览表椭圆与双曲线焦点在x 轴上椭圆与双曲线焦点在y 轴上二、本节我们要解决的问题：1.根据已知条件求标准方程：1）利用定义求标准方程：2）通过a,b,c的值，求标准方程：2.已知标准方程，求顶点，焦点，离心率等3.椭圆与双曲线综合4.利用基础知识，解决实际问题。

例1:（根据定义求曲线的标准方程）1. 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．2.已知双曲线的焦点在y 轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程． 1解：.由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 222c a b -==9由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为1352222=+y x 即192522=+y x2解. 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以222a c b -==33由于双曲线的焦点在y 轴上，因此双曲线的标准方程为1331622=-x y 例2（根据已知条件a ，b ，c 求标准方程）1. 已知：双曲线的一个焦点为（5，0），渐近线方程为x y 34±=，求：双曲线的标准方程解由已知条件知双曲线的焦点在x 轴．所以有2522=+b a34=a b 解得，a=3，b=4故所求的双曲线方程为116922=-y x例3（椭圆与双曲线综合）求以椭圆 64422=+y x 的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的双曲线的标准方程方程．解：椭圆化为标准方程 1641622=+y x求得椭圆焦点为（0，± 43）即双曲线的半实轴长：a= 43, 且焦点在y 轴上渐近线方程为y= x 31- 即=b a 31 故双曲线的半虚轴轴长：a=43,b=12所以，所求双曲线方程为：11444822=-x y 三、小结：1. 椭圆和双曲线的基础知识2.椭圆与双曲线的基本题型：（1）.根据已知条件求标准方程：（2）.已知标准方程，求性质；（3）. 椭圆与双曲线综合；（4）.利用基础知识，解决实际问题。

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第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率）．2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等）．热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1）椭圆：|PF1|＋｜PF2｜＝2a（2a>｜F1F2｜）．（2)双曲线：||PF1|－｜PF2｜｜＝2a(2a〈｜F1F2|)．（3）抛物线：｜PF|＝｜PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M。

2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2,p的值．例1 (1）（2016·天津）已知双曲线x24－错误!＝1 （b〉0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，圆的方程为x2＋y2＝4,联立错误!解得错误!或错误!即第一象限的交点为错误!.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为错误!，错误!，故错误!＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为错误!－错误!＝1.故选D.（2)如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C,若|BC｜＝2|BF|,且｜AF|＝3，则此抛物线方程为( )A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝错误!x答案C解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设错误!＝a，则由已知得错误!＝2a，由抛物线定义，得错误!＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵错误!＝｜AF|＝3,错误!＝3＋3a，∴2错误!＝错误!，即3＋3a＝6,从而得a＝1,错误!＝3a＝3.∴p＝错误!＝错误!错误!＝错误!，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.思维升华（1）准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．（2）求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点错误!，其中一条渐近线方程为y＝错误! x，则双曲线的标准方程是（)A。

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