24.6 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
正多边形与圆的关系
03
内切圆半径与正多边形边数关系
正多边形的内切圆半径与其边数成反比，即边数越多，内切圆半径越小。
正多边形与圆的切线关系
正多边形外接于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的垂直距离相等。
外接圆半径与正多边形边长关系
外接圆的半径等于正多边形边长，即R=s。
外接圆半径与正多边形边数关系
建筑结构中的应用
建筑设计
正多边形在建筑设计中有广泛的应用，如正方形的窗户、正三角形的屋顶等。
结构稳定性
正多边形可以用于建筑结构的稳定性设计，如正三角形结构可以提供更好的稳 定性。
05
正多边形与圆的未来发展
数学理论的发展
深入研究正多边形与圆的几何性质
随着数学理论的不断深入，未来将有更多关于正多边形与圆几何性质的发现和证明，为 数学领域的发展做出贡献。
等腰直角三角形
03
有一个直角且两腰相等的三角形。与圆的内切关系
01
正多边形内切于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的距
离相等。
02
内切圆半径与正多边形边长关系
内切圆的半径等于正多边形边长的一半，即r=s/2，其中r为内切圆半径，
s为正多边形边长。
优化设计
正多边形与圆在建筑设计、机械设计等领域有着广泛的应用， 未来将有更多研究致力于优化设计，以提高产品的性能和美观
度。
计算机图形学应用
随着计算机技术的不断发展，正多边形与圆在计算机图形 学领域的应用将更加广泛，如游戏设计、虚拟现实等。
物理学中的模拟实验
正多边形与圆在物理学中有重要的应用，如粒子加速器、磁场 等，未来将有更多研究利用正多边形与圆进行模拟实验，以更
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形都是常见的正多边形。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆具有许多独特的性质，如圆的直径是圆中最长的弦，圆的周长等于2πr（r 为半径），面积等于πr² 等。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆将一个正多边形的各个顶点放在同一个圆上，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
外接圆的圆心是正多边形的中心，外接圆的半径就是正多边形的半径。
以正六边形为例，我们可以通过作正六边形的对角线，找到其外接圆的圆心。
因为正六边形的内角和为 720 度，每个内角为 120 度，所以连接相隔的两个顶点，所构成的三角形是等边三角形，从而可以确定外接圆的圆心。
2、正多边形的内切圆与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆。
内切圆的圆心是正多边形的内心，内切圆的半径就是正多边形的边心距。
比如正三角形，我们可以通过角平分线的交点找到内切圆的圆心。
角平分线将正三角形的内角平分，其交点到各边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径，即边心距。
四、正多边形的相关计算1、边长计算对于正n 边形，若外接圆半径为R，则其边长a ＝2Rsin(180°／n)。
例如，对于正六边形，n ＝ 6，外接圆半径为 5，则边长 a ＝2×5×sin(180°／6) ＝5×√3。
2、面积计算正 n 边形的面积 S ＝ 1/2 × n × a × r （其中 a 为边长，r 为边心距）以正四边形（正方形）为例，若边长为 a，边心距为 r，则面积 S ＝1/2 × 4 × a × r ＝ 2ar 。
因为在正方形中，r ＝ a/2，所以面积 S ＝ a²。
五、正多边形的作图1、用圆规和直尺作正多边形以正六边形为例，首先作一个圆，然后以圆的半径为长度，在圆周上依次截取六段弧，连接这些点，就得到了正六边形。
正多边形的定义
正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形和圆的关系：
把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。
与正多边形有关的概念：
（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。
圆的计算公式：
1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd
2.圆的面积S=πr2
3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）·r = n°πr/180°（n为圆心角）
4.扇形面积S=nπr2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
5.圆的直径d=2r
6.圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）
7.圆锥底面半径r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;
9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;
10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；
11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
正多边形的概念及正多边形与圆的关系-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
（4）顺次连接所得的圆上六点.
六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
C OD
E
方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角 器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正n边形).
24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
例4 如图，⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一
点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连接FC，若正方
·O E
C
D
③ BCE _＝__ CDA__＝_ DEB _＝__ EAC __＝_ ABD
④ ∠A_＝__∠B_＝__∠C_＝__∠D_＝__∠E.
∵ 顶点A，B，C，D，E都在☉O上， ∴ 五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
归纳总结
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所 得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.
R
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
又∵AB=BC，
∴ △PAB≌△QBC，
∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA.
同理，得
∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA.
P AT
B
Q C
·O E S
D R
24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
例2 如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边
BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH的度数．
（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
沪科版九年级数学下2正多边形与圆(第1课时圆与正多边形)课件
∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
P
A
T
∵ A B= B C
B Q
C
E
·O
R
D S
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC ∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T, PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是
这个圆的外切正n边形
例、求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
A
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
F
仔细考虑如何利用 画正六边形的方法 得到正十二边形
B
·O
E
C
D
把圆六等分，取其中一段弧平 分，以此平分点再把圆六等分 ，顺次连接各点
作出正六边形后，则可作正三角形， 正十二边形，正二十四边形……
用尺规作图法画正四边形
用圆规和直尺作两条互相垂 直的直径，就可以把圆4等分， 从而作出正方形．
A
D
O·
我国民间相传有正五边形的近似画法
A
画法口诀： 九五顶五九,八五两边分
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
5.9
B
E
8F
8
24.6正多边形与圆
足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C
和S.
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴ C=6BC=6a.
在△BOC中，有OG=
3 BC ∴
2
=
3 a
2
S=6·12 BC OG =6· 1 a 3 a
22
= 3 3 a2
2
例2：有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求 地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
知识回顾：
一 .正多边形定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。
二、正多边形的性质及对称性 3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
1）、正多边形的各边相等 2）、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形它的 中心就是对称中心。
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
例2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的
点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
A
E D
M .O
M
.O
A
.O
D
证明：如图：∵OB=OC ∴∠1=∠2
又∵∠ABLeabharlann =∠BCD ∴∠3=∠4E
∵AB=DC ∴△OAB≌△ODC
O
●
4C
2
1
初中数学知识点精讲精析 正多边形与圆
5.7 正多边形与圆学习目标1.了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形。
2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形。
3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。
知识详解1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
我们可以借助一个量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（1）当n＝3时，上述两个条件只满足一个条件就可以。
（2）当n>3时，多边形必须同时满足上述条件的每一个条件，才能判定是正多边形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360n︒的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 正n边形的每个内角都等于()2180nn︒-，每个外角为360n︒，等于中心角。
【典型例题】例1. 若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm．（铁丝粗细忽略不计）【答案】【解析】在直角△ABD 中，AB=40cm ，∠BAD=30°，则AD=AB •cos30°=40例2. 如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则图中阴影部分的面积为【答案】100π【解析】过点O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA 、OB ，∵OA=OB=AB=10，AOB S 6S =△正六边形=6×12O S S S =-⊙阴影正六边形 =100π例3. 如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC 、AD ，则∠CAD 的度数是 度．【答案】36°【解析】根据正五边形的性质，△ABC ≌△AED ，∴∠CAB=∠DAE=12（180°-108°）=36°，∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．【误区警示】易错点1：正方形的边长1. 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 ．（结果保留根号）【答案】【解析】∵△BDE 是等腰直角三角形，BE=1．∴BD=BE •2=2．∴正方形的边长等于易错点2：内接正方形的面积2. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O 的内接正方形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】A【解析】连接BO 并延长交圆于点E ，连接AE ，根据三角函数可求得BE 的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．【综合提升】针对训练1. 如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF 绕点F 顺时针旋转后到达A B C D E F ''''''的位置，所转过的度数是（ ）A ．60°B ．72°C ．108°D ．120°2. 判断图中正六边形ABCDEF 与正三角形FCG 的面积比为何（ ）A ．2：1B ．4：3C ．3：1D ．3：23. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（ ）A ．40B ．50C ．60D ．801.【答案】A【解析】由六边形ABCDEF 是正六边形，即可求得∠AFE 的度数，又由邻补角的定义，求得∠E FE '的度数，由将正六边形ABCDEF 绕点F 顺时针旋转后到达A B C D E F ''''''的位置，可得∠EFE '是旋转角，继而求得答案．2.【答案】D【解析】如图：作EH ∥CG 交CF 于H ，连接DH ，∴GED DEG FCG ABCDEF S 4S S 6S ==△△正三角形正六边形∴正六边形ABCDEF 与正三角形FCG 的面积的比为：3：23.【答案】A【解析】过C 作CL ⊥AD 于L ，连接HE ，设正八边形的边长为a ，AD=h ；先根据△ADE 的面积求出矩形ADEH 的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL 的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD 的面积，根据ABCDEFGH ABCD ABCD ADEH S S S S =++正八边形梯形梯形矩形即可解答．课外拓展解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系
∠ADE的度数是
（）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
典例精析
例2：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求 地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
BC MB＝2
4 2
2，
内角
60 ° 90 ° 120 °
n
(n 2) 180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
B中心角 O半径R E 边心问距r题1
C
D
四 正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
利用勾股定理,可得边心距
A
F
O
4m
E D
r
r 42 22 2 3.
B MC
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径，得中心角；
问题3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点， 得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
① 直径所对圆周角等于90° ② 等弧所对圆周角相等
正多边形与圆(第1课时)
05
CHAPTER
正多边形与圆的联系
正多边形与圆的对称性
正多边形具有轴对称性
正多边形关于其对称轴对称，无论从 哪个方向看，其形状都是相同的。
圆具有中心对称性
圆心是圆的对称中心，从圆心出发的 任何直线都可以将圆分为两个完全相 等的部分。
正多边形与圆的旋转对称性
正多边形具有旋转对称性
正多边形可以围绕其中心旋转某个角度后与其原始位置重合。
正多边形与圆(第1课时)
目录
CONTENTS
• 正多边形的定义与性质 • 正多边形的内角和与外角和 • 正多边形与圆的关系 • 正多边形的面积与周长 • 正多边形与圆的联系
01
CHAPTER
正多边形的定义与性质
正多边形的定义
01
正多边形是指各边相等，各内角 也相等的多边形。
02
正多边形的所有顶点位于同一个 圆上，且所有边都与该圆相切。
多边形的内角和公式。
应用
利用内角和公式，可以计算出任 意正多边形的内角和，例如正三 角形、正方形、正五边形的内角 和分别为180°、360°、540°。
正多边形的外角和
公式
正多边形的外角和恒等于360°，与多边形的边数无关。
证明
由于正多边形的各边相等，各角也相等，每个外角的度数 等于360°除以边数，但所有外角的和等于360°。
正多边形的面积
正多边形的面积计算公式
面积与边数的关系
面积 = (边长 × 边心距) / 2。边心距 是指正多边形中心到任意一边中点的 距离。
正多边形的面积随着边数的增加而增 加，但增长速度逐渐减缓。
面积计算的应用
通过计算正多边形的面积，可以确定 该形状所占的空间大小，这在几何学、 建筑设计等领域具有实际应用价值。
正多边形与圆ppt课件
∠BAE-∠COD=
A.60°
B.54°
( D)
C.48°
D.36°
【举一反三】
1.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是
的中点,
则∠CPQ的度数为
A.30°
B.45°
(B)
C.36°
D.60°
2.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40 3 mm,则边长
当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形.
对点小练
1.(1)已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是_______cm.
6
(2)如果一个正多边形的中心角等于60°,那么这个正多边形的边数是_______.
新知要点
°
(−)×°
;
;
(1)正n边形的中心角为________正n边形的每一个内角的度数为____________
A. 2
B.2 2
C.4 2
D.2
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为2,则
边心距OM的长为_______.
3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且
CM=DN,AM与BN交于点Q.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
°
.
正n边形的每一个外角的度数为_____
等腰
(2)每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的______三角形;被它的半径和边心
直角
距分成2n个全等的______三角形.
2
2
r +( ) =R2
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
正多边形与圆的关系
正多边形与圆的关系正多边形和圆是几何学中常见的两种图形，它们之间存在着一些特殊的关系。
在本文中，我们将探讨正多边形与圆的关系，并介绍其中的几个重要概念和性质。
一、正多边形的定义和性质正多边形是指所有边相等、所有角度相等的多边形。
以正n边形为例，它共有n条边和n个顶点，每个内角都是360°/n。
由于每个内角相等，所以每个外角也相等，每个外角都是360°/n。
正多边形具有一些重要的性质。
首先，正多边形的内角和外角之和分别为180°和360°。
其次，正多边形可以通过将圆分成若干等分扇形得到。
每个扇形对应正多边形上的一个顶点，而圆心则对应于正多边形的中心。
二、正多边形与圆的内切关系正多边形可以与一个圆内切，即正多边形的每个顶点都在圆上。
以正六边形为例，将其内接于一个圆，使得每个顶点都与圆的周边相切。
这样，正六边形的外接圆和内接圆就是同一个圆。
在正多边形内切圆的情况下，我们可以推导出一些有趣的数学关系。
首先，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的内接圆的半径之和。
三、正多边形与圆的外接关系正多边形还可以与一个圆外接，即正多边形的每条边都与圆相切。
这种情况下，正多边形的外接圆和内接圆不再是同一个圆。
在正多边形外接圆的情况下，我们可以得到与内接圆类似的数学关系。
首先，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的外接圆的半径之和。
四、正多边形与圆的面积关系正多边形的面积可以通过将其划分成若干等边三角形求和得到。
以正n边形为例，其面积可以表示为S=0.5*n*r*l，其中r为内接圆的半径，l为正多边形的边长。
而圆的面积可以表示为S=π*r^2，其中r为圆的半径。
通过比较正多边形的面积公式和圆的面积公式，我们可以发现一个有趣的关系：当n无限增大时，正多边形的面积逐渐接近于圆的面积。
正多边形与圆
正多边形与圆正多边形和圆是几何学中的基本概念，它们具有独特的性质和特点。
正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
本文将详细讨论正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形。
按照边的数量，我们可以称之为正三边形、正四边形、正五边形等。
下面以正三边形为例，介绍正多边形的一些性质。
1. 正多边形的特点正三边形是最简单的正多边形，它的三条边相等，三个内角也相等。
除了边长和角度相等外，正多边形的对角线长度也相等，对称轴的存在使得正多边形具有额外的对称性。
2. 正多边形的内角和外角正多边形的内角和外角和的关系是一个重要的性质。
以正三边形为例，它的内角和为180度，外角和为360度。
无论正多边形的边数增加到多少，内角和始终是180度，而外角和始终是360度。
二、圆的定义与性质圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
以下是圆的一些定义与性质。
1. 圆的定义圆是由平面上到一个给定点（圆心）的距离相等的所有点所组成的集合。
圆的长度单位是周长，面积单位是平方单位。
2. 圆的性质圆具有许多独特的性质，如以下几点：- 圆的直径是圆上任何两点间的最长线段，它等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点绕圆心一周所经过的长度，用2πr表示，其中r代表圆的半径。
- 圆的面积是圆内所有点所构成的区域的大小，用πr²表示，其中r代表圆的半径。
三、正多边形与圆的关系正多边形与圆之间存在着密切的关系，下面将介绍两者之间的一些关联性。
1. 内接圆和外接圆正多边形与圆的关系可以通过内接圆和外接圆来描述。
内接圆是指一个圆完全位于正多边形内部且与多边形的每一边都相切，而外接圆是指一个圆完全包围住正多边形且与多边形的每一条边都相切。
对于正多边形来说，内接圆和外接圆的圆心都位于正多边形的中心。
2. 正多边形与圆的面积关系正多边形与圆的面积关系可以通过比较它们的面积得出。
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
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∵ 顶点A，B，C，D，E都在☉O上， ∴ 五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
归纳总结
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所 得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.
探究2 五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.
五边形ABCDE是☉O的内接正五 P A T E
边形.连接OA，OB，OC.则
典例精析
例1 如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的
边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH； 证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°.
∵BG=CH，
∴△ABG≌△BCH.
（2）求∠APH的度数．
解：由（1）知，△ABG≌△BCH， ∴∠BAG=∠HBC， ∴∠BPG=∠ABG=120°， ∴∠APH=∠BPG=120°．
第24章 圆
24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆 的关系
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 了解正多边形的有关概念.
2. 理解并掌握正多边形与圆的关系.（重点）
导入新课
图片引入
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看
到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
5.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长 线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数． 解：∵ABCDE是正五边形， ∴∠C=∠CDE=108°， CD=CB， ∴∠1=36°， ∴∠2=108°-36°=72°. ∵AF∥CD， ∴∠F=∠1=36°， ∴∠G=180°-∠2-∠F=72°.
二 正多边形与圆的关系
问题 如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到
五边形ABCDE .分别过点A，B，C，D，E作☉O的切
线，切线交于点P，Q，R，S，T，依次连接各交点，
得到五边形PQRST.五边形ABCDE及五边形PQRST是 正多边形吗？ P B Q C
A
T
O
·
R
D
E S
探究1 五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由. A
T E
S
∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA.
D
∵五边形PQRST的各边与☉O相切，
∴五边形PQRST是☉O的外切正五边形.
归纳总结 把圆分成n（n＞2）等份，形就是这个圆
的一个外切正n边形.
例2 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接 正六边形. 解：内接正方形的做法： （1）用直尺作圆的一条直径AC； （2）作与AC垂直的直径BD； （3）顺次连接所得的圆上四点.
» ___ » ___ » ___ ＝ BC ① » ＝ CD ＝ DE ＝ » AB ___ AE
＝ ＝ ＝ ② AB____BC____CD____DE____AE. ＝
B C
·
D
O
E
¼ ___ ¼ ___ ¼ ___ ¼ ___ ③ BCE ABD ＝ CDA ＝ DEB ＝ EAC ＝ ¼
＝ ∠B___ ＝ ∠C___ ＝ ∠D___ ＝ ∠E. ④ ∠A___
（4）顺次连接所得的圆上六点.
六边形ABCDEF即为所求作的正六边形. 如果再逐次等分各边所对的弧， 方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角 就可以作出正十二边形、正二十 器等分圆周；②用尺规等分圆周 (特殊正n边形). 四边型等.
例3 如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一 点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方 形边长为1，求弦FC的长．
4.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作 正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小． 解：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC=120°，AB=BC． ∵四边形ABMN为正方形， ∴∠ABM=90°，AB=BM． ∴∠MBC=120°-90°=30°， BM=BC． ∴∠BCM=∠BMC． ∴∠BCM=75°．
o
n2 o g 180 正n边形的每个内角的度数为 n
问题3 n边形的外角和为多少？已知正n边形的内角
为a度，如何求n的值？
n边形的外角和为360°
正n边形的内角为a度，则它的外角为(180-a)度.
360 . 故n 180 a
练一练
1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这 个正n边形的是正____ 十 边形. 2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形 的每一个外角等于（ A ） A．108° B．90° C．72° D．60°
当堂练习
1.如果一个正多边形的一个外角为30°， 那么这个正多边形的边数是（ C ） A．6 B．11 C．12 D．18
2.如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一 个正五边形，则图中∠1的大小为_____. 108°
3.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆， 则B、E两点间的距离为________. 8
讲授新课
一 正多边形的概念及相关计算
观察与思考 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各内角也相等.
知识要点
各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形. 各边相等 正多边形 各角相等 缺一不可
问题2 n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角
的度数如何计算？
180 n边形的内角和为 (n 2)g
解：连接BD． 5 1 1 2 2 ， ∵CE= DC= ，∴BE= CE +BC = 2 2 2 在Rt△ABD中， BD= CD2 CB2 = 2. ∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE， ∴△DEB∽△FEC.
FC CE CEBD 10 ∴ = ， ∴FC= = . BD BE BE 5
课堂小结
各边相等 正多边形 各角相等 正多边 形与圆 正多边形与 圆的关系 内接正多边形 外切正多边形 缺一不可
A B
O
D
C
四边形ABCD即为所求作的正方形. 再逐次平分各边所对的弧，就可以 作出正八边形、正十六边型等.
解：内接正六方形的做法： （1）用直尺作圆的一条直径AD； （2）以点A为圆心，OA为半径作圆， A 与⊙O交于点B、F；
B
C D
E
O
（3）以点D为圆心，OD为半径作圆， F 与⊙O交与点C、E.
解析：连接BE、AE，如图所示. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF=∠AFE=120°，FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE = 90°，∴BE是正六边形ABCDEF 的外接圆的直径，∵正六边形 ABCDEF内接于半径为4的圆， ∴BE=8，即则B、E两点间的距离 为8.
B
Q
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∵ TP，PQ，QR分别是以点A， B，C为切点的☉O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，
·
C
D R
O
S
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC， ∴ △PAB≌△QBC， ∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA. 同理，得 P B Q C R A ·O