第三讲 资产价格的动态过程(金融衍生品-上海交通大学,沈思玮)

六大思想
– 职业生涯 • 比如象很多穷人，尤其是经济快速变化的时候，可能穷人变 得更穷，所以，这也是整个社会所担心的问题。不光光是收 入低的阶层，他们面对这种风险，高技术人员同样也面对这 种职业生涯变化的风险，比如生物技术，从事生物技术这方 面的人，由于这个领域发展很快，可能人到中年的时候从事 的事业已经过时了，可能会调整新的技术。 – 房屋价值 • 房屋的价格跟股票价格一样，也是有降有涨，也很容易产生 泡沫，而且现在人们没有办法对房屋价格来进行相应的保值， 我们所要做的就是设计出一种对房屋价值的保险，避免不必 要的损失。
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六大思想
• 第五个思想
– 要考虑的是跨代社会保障。今天在世界上老 龄化的问题变得越来越严重，跨代社会保障 方面，我们需要做考虑。跨代社会保障不仅 仅要考虑保障老年人的问题，而且要考虑到 年轻人的问题。
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六大思想
• 第六个思想
– 有关风险管理国际协议，我们这里主要谈国 家与国家之间的风险互换，风险的共担问题， 主要是指国家与国家之间的，是国际上的。 我们可以把很多国家的风险集中在一起，设 计一些风险共同分担一点，因为集中在一个 国家会过度的受损失。
六大思想
• 第一个思想，个人生计、职业生涯、资产价 值
– 个人生计
• 也叫个人保险，主要是保护人的职业收入、房屋 的价值这些。在今天的话，很多保险已经变得不 重要了，比如象寿险，由于医疗保障或者医疗体 制的不断完善，所以很少有人在年轻的时候就死 掉，所以寿险的话，当然在过去很重要，但是现 在变得并不是很重要。人们今天更关心的是职业 生涯保险，尤其人们担心新技术的变化和技术的 核心带来的失业、带来职业的变迁，这是人们面 20 临最大的风险。
' ' ' 0 0
t
t
0
f ( X s )dX f ( X s ) H ds
'' 2 s '' 0 2 s
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t
平方可积过程
• 一阶不可微，不可积 • 积分包含了两个部分
– 一阶可积项 – 二阶可积项
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标的资产的显式表示 1 2 d ln S ( )dt dW 2 1 2 ln St ln S 0 ( )t Wt 2 1 2 St S 0 exp(( )t Wt ) 2
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一般ITO过程
• dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW • 其中a、b与X、t有关 • 漂移率、方差率的解释
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一个简单的ITO过程
• 股票价格行为的动态表示
dS Sdt SdW
• 表示为 • 近似为
dS / S dt dt
S / S t t
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六大思想
• 第二个思想，就是宏观市场 – 所谓宏观市场，就象股票市场一样，但是股票市场针对的是公 司的收益和回报，可以把这个概念扩大一些，不光是公司的回 报，是整个国家经济的回报，比如象GDP，可以开发一个宏观 市场，一个国家跟一个公司一样，它的回报就是GDP。人们总 是简单的认为，股票市场在很大程度上代表一个国家的经济， 但实际上，股票市场是整个经济当中很小很小的一部分。我们 应该开发一种或者创造一种GDP的宏观市场，这才是真正代表 一个国家经济的。我们把这个概念，可以扩大到国家的收入， 而且我们可以把它扩展到针对不同的职业，然后针对他们的收 入建立相应的市场。我们不仅仅是针对国内建立一个宏观市场， 还应该建立一个国际的宏观市场，比如对地产产权进行相应的 22 交易，增强地产不动产的流动性。
六大思想
• 第三个思想，收入相联系的贷款
– 在今天贷款主要是固定的利率，所谓收入相 联系就是你的利润和收入利润相联系在一起， 收入好的时候多付利息，收入不好的时候少 付利息。比如象亚洲金融危机，如果我们有 收入连接贷款的话，亚洲金融危机发生很多 国家的GDP在减少，这样的话，他们所付的 利息也应该可以减少。
金融衍生产品
主讲人：沈思玮
上海交通大学管理学院
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第三讲
Байду номын сангаас
资产价格的动态过程
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一般维纳过程
• 连续性 • 独立增量性 • 正态性
X (T )服从N (aT , b T )
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另一种表示
• ITO微分的表示
– dX=adt+bdW – 其中W(t)为标准维纳过程 – a为飘移率，b的平方为方差率
• 漂移率：收益率的时间度量 • 方差率：波动率与标准维纳过程波动率 的比例关系 2 • ,其中N(0,1) dW dt , dW dt
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对数正态分布
• 收益率服从正态分布
– 股价非负 S / S服从N ( t ,
t )
• 股价服从对数正态分布
ln S (t t )
服从 1 2 N (( )t ln S (t ), t )) 2
7
ITO定理
若标的资产价格X满足： dX adt bdW 则衍生资产价格f满足： f f 1 2 f f df (a b )dt b dW 2 X t 2 X X
• 从原理上来讲，任何衍生工具可以通过 标的资产与无风险资产复制 • 从ITO定理来看，一个衍生证券可以组合 2 为： f f 1 f
X f 与b 个单位标的资产的组合 X
(a

b )单位无风险资产 2 t 2 X
2
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向量形式的ITO过程
• 当金融市场之间相互影响时，衍生证券 的定价更加复杂 • 但在ITO定理的框架下仍可以解决 • 可见ITO定理具有一般特性
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六大思想
• 第四个思想，收入不平等保险
– 因为在经济快速发展的今天，人们更加关心 收入分配的问题，所以收入分配的不平等带 来很多的问题，尤其在国内，对收入不平等 要相应的调整，这是应该考虑的。这种收入 不平等保险有助于纠正收入税收系统造成的 这些问题，而且是自动的，所以减少相应的 收入不平等带来其他的问题。
• 相差一个误差项
2
f f 1 f 2 2 df ITO dS dt S dt 2 S t 2 S 2 1 f 2 2 2 det S (dW dt) 2 2 S
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误差项的处理
• 平均意义上可相互抵消 • 比dt高阶 • 尚无定论
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金融工具的复制
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B－S过程
• 当W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一 的ITO过程满足：
2 St S 0 exp(( 2 )t Wt ) 1 S S
0
• 该过程是 t
S ( dS dW )
0 s s t
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ITO微分与Taylor级数微分
df df ITO det
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对于ITO过程，X t X 0 K s ds H s dWs , 则
0 0 t t
1 t ' 1 t '' f ( X t ) f ( X 0 ) f ( X s )ds f ( X s )dX s2 2 0 2 0 其中，

t
0 t
f ( X s )ds f ( X s ) K s ds f ( X s ) H s dWs
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新金融－－《非理性繁荣》
– 有一张图是从1860年到2002年这一段的股价 收益图。这张图引起罗伯特· 希勒注意的是， 红线表示的是回报收益，黑线是股价的价值， 可以看到黑线的波动不大，而股票的收益的 波动大很多。从这张图大家可以看出来，在 20世纪的时候，有两个大的泡沫，一个是29 年大危机这一块，整个股价跌了80％，另外 是于90年代，到目前为止已经跌了50％。这 个箭头指着一点，就是我跟阿伦古伦斯贝谈 到《非理性繁荣》的时候，股价越来越往上 19 冲，一直到泡沫都灭的这个阶段时间。
• 根据Taylor展开式
• 因为
dW dt , dW dt
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对数正态分布的形式证明
• 根据ITO定理
f ln S f 1 f 1 f , 2 2, 0 S S S S t 1 2 df ( )dt dW 2
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ITO定理的数学表示
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ITO定理的证明
f f ( X X , t t ) f ( X , t )
2 2 f f 1 2 f f f 2 2 X t ( 2 X 2 t ) Xt X t 2 X t Xt f f 1 2 2 f f (a b )t b t o(t ) 2 X t 2 X X