统计学8 卡方检验课件

nR nC
ν＝（3-1）（2-1）＝2
（3）查表得，P<0.005，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差异具有统计学意义，可认为3种疗法的疗效不全相 同。
卡方分割
二、多个样本构成比的比较
例5 随机选择239例胃、十二指肠疾病患者和187例健康 输血员，其血型分布见表6。问胃、十二指肠疾病患者和 健康输血员血型分布有无差异？
z 推算理论频数 T = nRRnCC
n
表1 两种药物治疗牙科术后疼痛控制有效率的比较
处理
有效
无效
合计 有效率（％）
A药 68（63.71） 22（26.29） 90
75.56
B药 合计
58（62.29） 30（25.71） 88
126
52
178
65.91 70.79
卡方检验的基本公式：
χ 2 = ∑ (A − T )2
T
A：实际频数 T：理论频数
T = nRRnCC n
上 式 由 Pearson 提 出 ， 因 此 常 称 这 种 检 验 为 Pearson卡方检验。
χ 2 = ∑ (A − T )2
T
χ2值反映了实际频数和理论频数吻合程度。A与T相差越大，则∑(AT)2越大，反之越小。
若H0成立，则4个格子的实际频数与理论频数相差不应很大，即χ2值不 应很大。χ2值越大，相应的P值就越小，若P<α，则A与T相差太大， 即推断H0成立是小概率事件，故拒绝H0，接受H1，认为π1≠π2。 同时，单元格越多，χ2值也会越大，因此，考虑χ2值的意义时，应同 时考虑到格子数（自由度）的影响。这样χ2值才能反映A与T的吻合程 度。
表6 239例胃、十二指肠疾病患者和187例健康输血员血型分布
分组
A
B AB O 合 计
胃、十二指肠疾病患者 47 66 20 106 239
健康输血员
52 54 19 62 187
合计
99 120 39 168 426
（1） H0 ：胃、十二指肠疾病患者与健康输血员血型分布的构成相同 H1 ：胃、十二指肠疾病患者与健康输血员血型分布的构成不同 α=0.05
校正公式： χ 2 = ∑ ( A − T − 0.5)2
T
χ 2 = ( ad − bc − n / 2)2 n
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
例2 为观察甲、乙两药对治疗胃溃疡的疗效，将 70名患者随机分为两组，一组30人服用甲药，另 一组40人服用乙药，结果如表2。问两药的胃溃 疡治愈率有无差别？
63.71
26.29
62.29
25.71
= 2.00
ν =(2−1)(2−1) =1
（3）确定P值，做出推论
χ20.05,1 =3.84， χ20.01,1 =6.63
χ2=2.00 < χ20.05,1 =3.84，故P>0.05，不拒绝H0 ，差 异无统计学意义，尚不能认为两药疗效不同。
四格表专用公式：
§1 四格表资料的卡方检验
一． 卡方检验概述 （卡方分布、基本思想）
二． 四格表卡方检验的专用公式 三． 四格表卡方检验的校正公式
1、卡方分布
♦ 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。 ♦ 卡方分布的形状依赖于自由度υ的大小。当υ>2
时，随着υ的增加，曲线逐渐趋于对称，当υ趋于 ∞时，卡方分布逼近于正态分布。 ♦ 各种自由度的卡方分布右侧尾部面积为α时的临界 值记为χ2α，υ 。
一、多个样本率的比较
行列表卡方检验的通式：
χ 2 = n(∑ A2 −1)
nR nC
ν =（R-1）（C-1）
例4 将133例尿路感染患者随机分为3组，甲组44例，乙 组45例，丙组44例，分别接受治疗。一个疗程后观察疗 效，结果如表5，问3种疗法的尿培养阴转率有无差别？
表5 三种疗法对尿路感染患者的治疗效果比较
由 R.A.Fisher 提 出 ， 其理论依据是超几何 分 布 。 简 称 为 Fisher 确切概率法。
适用情况
z 适用条件：四格表中有理论频数小于1或n 小于40的情况；特别是用其它检验方法所
得的P值接近检验水准α时。
z 注意：不属于卡方检验，但是四格表卡方 检验的补充。
例 将23名精神抑郁症患者随机分到两组，分别接 受两种药物治疗，结果如下表，问两种药物的治疗 效果是否不同。
（1）写出统计分析的方法 （2）统计量值 （3）P值及结论
案例2
（1）该资料类型是什么？设计类型呢？ （2）本研究是否需要进行连续性校正？为什么？ （3）两组降低颅内压的总体有效率有无差别？（写出详细 假设检验步骤）
H1 ：两种药物的治疗效果不等 α=0.05
（2）计算概率：在四格表边缘合计不变的情况下， 用依次增减样本四格表第一个格子的数据可得 到各种组合的四格表。
（3）确定P值，做出推断结论。 本例P＝0.214>0.05，不拒绝H0，尚不能认为两 药的疗效不同。
§4 行列表资料的卡方检验
一． 多个样本率的比较 二． 多个样本构成比的比较 三． 双向无序分类资料的关联性检验 四． 行列表卡方检验的注意事项
注意：
本法一般用于样本含量不太大的资料。因为它仅考 虑了两法结果不一致的两种情况(b, c)，而未考虑样 本含量n和两法结果一致的两种情况(a, d)。所以， 当n很大且a与d的数值很大（即两法的一致率较 高），b与c的数值相对较小时，即便是检验结果有 统计学意义，其实际意义往往也不大。
§3 Fisher确切概率法
（2）
χ 2 = n(∑ A2 −1) = 6.76
nR nC
ν＝（4-1）（2-1）＝3
（3） P>0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，差别无统计学意 义，尚不能认为胃、十二指肠疾病患者与健康输血 员血型分布的构成不同。
四、行列表卡方检验的注意事项
z 理论数不宜太小。（不能有1/5以上格子的理论频数小于5或者 有一个格子的理论频数小于1）
表 2 两种药物治疗胃溃疡的比较
药物 治愈
未愈 合计 有效率（％）
甲 2（2 25.29） 8（4.71） 30
73.33
乙 3（7 33.71） 3（6.29） 40
92.50
合计
59
11
70
84.29
1. 建立检验假设，确定检验水准 2. 计算检验统计量和自由度
（先计算理论频数T，根据T值选择计算公式）
《M《eMdiecdailcsatlastitsattiicssti》cs
χ2 检验
精选案例：injury.sav
χ2检验（Chi-square test）
是现代统计学的创始人之 一，英国统计学家 K.Pearson于1900年提出。 常用于分类变量资料的统 计推断。
理论依据：卡方分布和拟合优度检验
（1） H0 ：两种方法检出率相同，即B = C H1 ：两种方法检出率不同，即B ≠ C α=0.05
（2）
b+c =118>40
χ 2 = (110 − 8)2 = 88.17
(110 + 8)
（3）查表得，P<0.005，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 差别有统计学意义，可以认为两种方法的检出率不 同，甲法较高。
两种药物治疗精神抑郁症疗效比较
药物
甲药 乙药 合计
疗效
有效
无效
7
5
3
8
10
13
合计
12 11 23
在四格表的边缘合计不变的条件下，直 接计算各种事件发生的概率。
P(a) = (a + b)! (c + d )! (a + c)! (b + d )! a! b! c! d! n!
（1） H0 ：两种药物的治疗效果相等
卡方检验的用途
♦ 两个总体率或构成比之间的比较 ♦ 多个总体率或构成比之间的比较 ♦ 两个分类变量之间的关联性检验 ♦ 趋势检验 ♦ 拟合优度检验等
内容提要
§ 1 四格表资料的卡方检验 § 2 配对四格表资料的卡方检验 § 3 Fisher确切概率法 § 4 行列表资料的卡方检验 § 5 多个样本率间的多重比较
χ2 =
(ad − bc)2 n
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
本例， χ 2 = (68× 30 − 22× 58)2 ×178 = 2.00
90×88×126× 52
适用条件
♦ 当 n≥40 且 T≥5时，用基本公式或专用公式；若 P≈α，则改用四格表确切概率法；
z 对于单项有序行列表，在比较各处理组的效应有无差别时，应 该用秩和检验或Ridit检验；
z 多个样本率（构成比）比较的卡方检验，结论为拒绝H0时， 只能认为各总体率（总体构成比）有差别，但不能说明哪两者 之间有差别；若要进一步了解哪两者之间有差别，可用卡方分 割法，或者借鉴均数多重比较的原理。
理论频数太小的3种处理方法
(b + c) b + c < 40, χ 2 = ( b − c − 1)2
(b + c)
例3 某研究室用甲、乙两种血清学方法检查410 例确诊的鼻咽癌患者，结果如表4，问两种方法 检出率有无差别？
表4 两种血清学方法检验结果
甲
+ 合计
乙
+
-
261
110
8
31
269
141
合计
371 39 410
处理 有效 无效 合计 有效率（％）
A药 68 22 90 B药 58 30 88
75.56 65.91
合计 126 52 178
70.79
z 实际情况：
A药－75.56％；B药－65.91％
z 两样本率不同的可能原因：
差别仅由抽样误差所致 两种药物有效率确有不同
z 假 设 H0 成 立 ， 即 两 药 物 有 效 率 相 同 ， π 1＝ π2，即假设差别是由抽样所致。
3. 确定P 值，做出推论
不校正公式计算结果：
χ2 = 4.75
结 论
相
反
连续性校正卡方检验结果：
χ2 = 3.42
所以，一定要注意卡方检验的应用条件，这样才 不至于得出错误的结论。
结果表达：
A、B两组之间痊愈率比较，采用四格表卡方检验， 结 果 显 示 ， χ 2 ＝ 0.95 ， P ＝ 0.33 ， 差 异 无 统 计 学 意 义，尚不能认为两组总体痊愈率有差异。
χ20.05,1 =3.84， χ20.01,1 =6.63
卡方分布
2、卡方检验的基本思想
例1 在某项治疗牙科术后疼痛控制的双盲临床研究中，将 178例患者随机分为两组，A药组90人，有效人数68人。 B组88人，有效人数58人。问两药有效率是否有差别？
表1 两种药物治疗牙科术后疼痛控制有效率的比较
疗法 阴转人数 阳性人数 合计 阴转率（％）
甲
30
14
44
68.2
乙
9
36
45
20.0
丙
32
12
44
wenku.baidu.com
72.7
合计 71
62 133
53.4
（1） H0 ：3种疗法阴转率相同，即π1＝π2 ＝π3 H1 ：3种疗法阴转率不全相同，即π1，π2 ，π3不全相同 α=0.05
（2） χ 2 = n(∑ A2 −1) = 30.64
1) 增大样本含量，以达到增大理论频数的目 的；
2) 删去理论频数太小的格子对应的行或列； 3) 合理合并：结合专业，将理论频数太小的行
或列与性质相近的行或列合并。
§5 多个样本率间的多重比较
♦ 基本思想：重新规定检验水准，使得第一类错 误的概率保持不变。
α’=
α
比较的次数
案例讨论
案例1
♦ 为观察某新药的疗效，某厂家进行了随机双盲对 照临床实验，40例肝炎患者接受新药治疗，而30 例患者接受传统药物的治疗，对两组患者进行疗 效观察，结果见下表。
四格表资料
处理
+
A
a
B
c
合计
a+c
-
合计
b
a+b
d
c+d
b+d
n（a+b+c+d）
（1） 建立检验假设，确定检验水准
H0 ：两药有效率相同，即π1＝π2 H1 ：两药有效率不同，即π1 ≠ π2 α=0.05
（2）计算检验统计量和自由度
n>40，Tmin>5
χ2 = (68−63.71)2 + (22−26.29)2 + (58−62.29)2 + (30−25.71)2
案例：湛江海大教职工脂肪肝患病情况调查
§2 配对四格表资料的卡方检验
原始数据
Id A B 1+ + 2+ …… j -+ …… n- -
表 3 配对四格表形式
甲
乙
合计
+
-
+
a
b
a+b
-
c
d
c+d
合计 a+c b+d
n
配对卡方检验又称McNemar检验：
b + c ≥ 40, χ 2 = (b − c)2
♦ 当n≥40且1≤T<5时，用校正公式； ♦ 当n<40或T<1时，不能用卡方检验，应当用四格
表确切概率法。
校正的目的: 英国统计学家(Yates)认为χ2分布是一种连续性分布，而四 格表中的资料属离散性分布，得到的χ2统计量的抽样分布 也是离散的。因此，为改善χ2统计量分布的连续性，建议 进行校正，又称Yates校正。