2017届高三复习-导数及其应用：第1讲-导数的概念及其运算(解析版)

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高三导数第一节知识点梳理

高三导数第一节知识点梳理在高三数学课程中，导数是一个非常重要的概念，也是数学的一个核心概念。

导数的概念来源于微积分，它能够描述函数在某一点的变化速率。

导数不仅仅是一个理论概念，更是在实际问题中具有广泛应用的数学方法。

本文将对高三导数的第一节知识点进行梳理。

1. 导数的定义及基本性质导数的定义是一个极限的概念，它描述了函数在某一点上的瞬时变化率。

对于函数y = f(x)，在点x处的导数可以用极限表达式表示为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h导数有一些基本性质，例如，常数的导数为0，幂函数的导数可以通过幂函数的指数和常数系数来求导数等。

2. 导数的几何意义导数具有几何意义，它可以表示函数图像在某一点处的切线斜率。

对于函数y = f(x)，函数图像在点(x0, f(x0))处的切线斜率即为函数在该点的导数值f'(x0)。

3. 求导法则求导法则是应用导数求导的基本工具，也是高三学习导数知识时需要掌握的重要内容。

求导法则包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则等。

对于复合函数和反函数的求导，也需要运用链式法则来求解。

4. 导数的应用导数在实际问题中具有广泛的应用。

其中，最为常见的应用包括切线方程的求解、函数的极值问题、函数图像的研究等。

通过求导数，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并解决实际问题。

5. 高阶导数高阶导数是导数的延申，它描述了导数的导数。

对于函数y =f(x)，它的一阶导数f'(x)的导数称为二阶导数，记作f''(x)。

同样地，高阶导数也具有一些基本性质，例如，二阶导数存在则函数的一阶导数也存在等。

通过对导数相关知识点的学习和掌握，我们可以更加深入地理解函数的性质和变化规律，也能够应用导数解决实际问题。

在高三的数学学习中，导数是一个重要的知识点，也是数学教材中的一部分，帮助学生更好地理解数学的本质，并为日后的学习和应用打下坚实的基础。

高考数学专题复习《导数的概念、意义及运算》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

考点二导数的几何意义
命题角度1 导数的几何意义
例2 若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线斜率的范围是( )
A. B. C. D.
√
变式2 已知函数， .若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为___.
命题角度2 求切线方程
切线的斜率
自主评价：4. 函数 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线方程为（）A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m>
C
（4）导函数的概念: 当时，是一个唯一确定的数，这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的________（简称______）. 的导函数有时也记作，即 <m></m> .
复合函数
【常用结论】
3.导数的两条性质
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
（2）可导函数的导数为，若为增函数,则的图象是下凹的；反之，若为减函数,则的图象是上凸的.
考点一求导运算
例1 求下列函数的导数：
（1）；
解：因为，所以 .
（2）；
（2）导数的概念: 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处______，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为____________），记作_______或，即 .
可导
瞬时变化率
练1：设函数，则A． B． C． D．
√
（3）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是______.

高三导数的概念知识点

高三导数的概念知识点导数作为微积分的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。

它不仅是理解微分学的基础，还在实际问题的求解中起到了关键的作用。

本文将重点阐述高三导数的概念和相关的知识点，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、导数的定义及求导法则导数是函数变化率的极限，给出了函数在某一点的瞬时变化速率。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，Δx表示自变量的增量，Δx→0表示自变量的变化趋于无穷小。

根据导数的定义，可以得到一些常用的求导法则，如导数的和、差、常数倍、乘积和商的求导法则，这些法则是求导过程中的基础操作。

二、导数的几何意义导数与函数的图像有着密切的关系，它可以帮助我们判断函数图像的变化趋势和特征。

具体来说，导数的几何意义包括以下几个方面：1. 函数图像的切线斜率：函数图像在某一点的切线斜率等于该点处的导数值。

导数的绝对值越大，表示函数图像在该点附近变化越剧烈。

2. 函数图像的增减性：函数在某一区间内增减的情况可以通过导数的正负来判断。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

3. 函数极值点的判断：函数的极大值和极小值点，对应着导数为0的点。

通过求解导数为0的方程可以得到函数的极值点。

三、高阶导数与导数的应用对于函数的导数，我们还可以进一步求导，得到高阶导数。

高阶导数描述了函数变化率变化的规律，它在物理学、经济学等领域的应用非常广泛。

1. 二阶导数和凹凸性：函数的二阶导数可以帮助我们判断函数图像的凹凸性。

当二阶导数大于零时，函数图像在该点附近凹向上方；当二阶导数小于零时，函数图像在该点附近凸向上方。

2. 导数在最优化问题中的应用：导数在最优化问题中起到了重要的作用，如求解极大值、极小值等问题。

通过求解导数为零的方程，可以找到函数的关键点，从而解决实际问题。

【高优指导】2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件文北师大版

思考 :已知切线方程 (或斜率 )), 求切点的一般思路是什么 ? (2)设点 P 的坐标是 (x0,e-�� 0 则由题意知, y'|�� =�� =-e-�� 0 =-2,
0
3
2
得 x0=-ln 2, 又e-�� 0 =eln 2=2, (1)A (2)( -ln 2,2) (-ln 2,2). 故点 P 的坐标是
-4-
1.导数与导函数的概念 (1)平均变化率:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
��(��1 )-��(��0 ) ��1 -��0 Δ�� Δ��
-15考点1 考点2 知识方法易错易混
考点Байду номын сангаас导数的运算例1分别求下列函数的导数:
(1)y=ex· cos x; 解:(1)y'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=excos x-exsin x. 1 1 2 (2)y=x �� 3 + + 1 2 3 ; �� (2)∵y=x +1+ 2,∴y'=3x2- 3. ��
1
1
2 2 1 1 ∴y'=- sin x- xcos x. 2 2
2 2
2
2
答案
-16考点1 考点2 知识方法易错易混
思考:函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得:函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.

高考数学导数及应用知识点

高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。

掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。

本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。

一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。

二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。

因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。

幂函数的导数是指数函数。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。

指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数是关于自变量的倒数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。

三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。

切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。

导数的概念及其意义、导数的运算(高三一轮复习)

；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 9—
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a

2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理

3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α是实数) f(x)＝sin x
导函数
f′(x)＝______ 0
αx f′(x)＝_______ cos x f′(x)＝_______
α －1
f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f(x)＝ln x
规律方法
(1) 熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是
导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.
(2)①如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.
②复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( √ ) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( × )
1 2 2.某汽车的路程函数是 s(t)＝2t －2gt (g＝10 m/s2)，则当 t＝x来自(－∞，0)＋
0
(0，1)
－
1
(1，＋∞)
＋
g′(x)
g(x)
0 t＋3
0 t＋1
所以 g(0)＝t＋3 是 g(x)的极大值；g(1)＝t＋1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)＝t＋3≤0，即 t≤－3 时，此时 g(x)在区间(－∞，1]和 (1，＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)＝t＋1≥0，即 t≥－1 时，此时 g(x)在区间(－∞，0)和 [0，＋∞)上分别至多有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点.

高三导数知识点总结

高三导数知识点总结一、导数的概念和计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

在高三阶段，导数是数学学习的重点之一。

在学习导数之前，我们首先需要了解导数的概念和计算方法。

导数的定义可以通过极限的概念得到：对于函数y=f(x)，在点x 处的导数可以表示为f'(x)=lim△x→0[f(x+△x)-f(x)]/△x。

这个定义表示了当△x趋向于0时，函数f(x)在x处的变化率。

导数也可以理解为函数的瞬时变化率。

计算导数的常用方法有：基本函数求导法、常数因子法、和差法、乘积法、商法、函数的复合法等。

在运用这些求导法则时，我们需要熟练掌握各种函数的导函数。

二、基本函数的导函数在高三阶段，我们主要接触到的基本函数有常数函数、幂函数、指数函数和对数函数。

下面我们将介绍这些函数的导函数。

1. 常数函数的导函数：常数函数f(x)=c（其中c为常数）的导函数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导函数：幂函数f(x)=x^n（其中n为常数）的导函数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导函数：指数函数f(x)=a^x（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=a^xlna。

4. 对数函数的导函数：对数函数f(x)=log_a(x)（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=1/(xlna)。

通过掌握基本函数的导函数，我们可以在求解导数时使用这些导函数的性质，简化计算过程。

三、导数的应用导数是高三阶段数学学习中重要的工具，它广泛应用于各个领域。

在这一部分，我们将介绍导数在函数的极值、函数的图像、函数的变化趋势等方面的应用。

1. 导数与函数的极值通过导数，我们可以研究函数在不同点上的极值问题。

函数的极大值和极小值处的导数都等于0或不存在。

因此，我们可以通过求导数，找到函数的极值点，并通过求导数的二阶导数判断函数在极值点处的性质。

2. 导数与函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的许多特征。

高中数学同步导学(2017新课标)(导数与积分)一导数的概念及运算含解析

1.导数的概念(1)定义如果函数y ＝f （x ）的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx ）－f (x 0)，比值错误!就叫函数y ＝f (x ）从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即错误!＝错误!.如果当Δx →0时，错误!有极限，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作或y ′0|x x =,即f ′(x 0)＝0lim →∆x 错误!＝0lim →∆x 错误!. （2）导函数当x 变化时，f ′（x )便是x 的一个函数,我们称它为f （x ）的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x ）＝y ′＝0lim →∆x f (x ＋Δx ）－f （x )Δx。

（3)求函数y ＝f (x ）在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率错误!＝；③取极限,得导数f ′(x 0）＝0lim →∆x 错误!. 2。

导数的意义(1)几何意义函数y＝f（x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率。

也就是说,曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率是。

相应的切线方程为.（2)物理意义函数S＝s(t)在点t0处的导数s′（t0)，就是当物体的运动方程为S ＝s（t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即。

设v ＝v(t）是速度函数，则v′（t0)表示物体在t＝t0时刻的。

3。

基本初等函数的导数公式(1)c′＝（c为常数），（xα）′＝（α∈Q＊）；（2)（sin x）′＝______________，(cos x）′＝;(3)(ln x）′＝，(log a x）′＝;（4）（e x）′＝，（a x) ′＝。

4.导数运算法则(1) ′＝。

（2）′＝；当g(x)＝c(c为常数)时，即′＝。

2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第一节导数的概念及其运算课件文

⑤分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为
简单的分式函数，再求导.
【例1】求下列函数的导数：
(1)y＝x2cos x； 1 2 1 (2)y＝x－x x －x2； ln x (3)y＝ x .
(1)y′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x. 1 3 －1 －3 3 2 (2)∵y＝x －x－x ＋x ，∴y′＝3x －1＋ 2－ 4. x x 1 （ln x）′x－x′ln x x ·x－ln x 1－ln x (3)y′＝＝＝ x2 . x2 x2 解
解易知点 O(0，0)在曲线 y＝x3－3x2＋2x 上. (1)当 O(0，0)是切点时，由 y′＝3x2－6x＋2，得 y′|x＝0＝2，即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y＝2x.
y＝2x， 2 由得 x －2x＋a＝0， 2 y＝x ＋a，
依题意 Δ＝4－4a＝0，得 a＝1.
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
2.导数的计算 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝x (α∈Q ) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax
α
导函数 f′(x)＝0
1 ax f′(x)＝
[点评]
(2)中函数若直接求导，计算繁琐，且容易出错，应
先化简再求导.
利用导数求切线方的解题方略
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)点P(x0，y0)是切点时：第一步：求导数f′(x)；

《导数的概念及应用》课件

以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需满足一定的条件。在极值点处，导数的符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在这一点的一阶导数存在，那么这个点可能是函数的极值点。为了确定这一点是否为极值点，需要检查该点两侧的导数符号是否发生变化。如果导数的符号在这一点从正变为负或从负变为正，则该点为极值点。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示函数在该区间内单调递减。因此，通过分析二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中，导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。

新高考数学一轮复习知识点解析17---导数的概念及其运算

新高考数学一轮复习知识点解析1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想，理解导数的几何意义．2．能根据导数定义求函数y c =(c 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，cy x=，y =数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数．1．导数的概念函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率()()0000limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x处的导数的概念及其运算切线斜率，即()0k f x '=，相应地切线方程()()()000y f x f x x x '-=-． 3．函数()f x 的导函数函数()y f x =在区间(),a b 内每一点处都可导，则其导数值在(),a b 内构成一个新的函数，叫做()y f x =在开区间(),a b 内的导函数，记作()f x '或y '． 4．基本初等函数的导数公式5．导数的运算法则若函数()f x ，()g x 均可导，则：（1）()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；（3）()()()()()()()2f x f xg x f x g x g x g x ''-=⎡⎤⎣⎦． 6．复合函数求导复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即()y f u =，()u g x =，()()y f u g x '''=．【例1】（1）已知函数1()ln x f x e x x -=+，则()1f '=（） A ．0 B ．1 C ．e D ．2【答案】D【解析】因为1()ln x f x e x x -=+，所以111()ln 1ln x x f x e x x e x x--'=++⨯=++，所以11(1)1ln12f e -'=++=，故选D ．（2）函数1ln 1ln xy x-=+的导数是（） A ．()221ln x -+ B ．()211ln x x +C ．()221ln x x -+D ．()211ln x x -+【答案】C【解析】2211(1ln )(1ln )1ln 21ln (1ln )(1ln )x x x x x y x x x x -+--'-⎛⎫'===- ⎪+++⎝⎭，故选C ．（3）求sin cos 22x xy x =-⋅的导数．【答案】11cos 2y x '=-．【解析】∵1sin cos sin 222x x y x x x =-⋅=-，∴11cos 2y x '=-．【变式1．1】（1）函数sin(21)y x x =+的导数是___________________．【答案】sin(21)2cos(21)y x x x '=+++【解析】[]sin(21)sin(21)sin(21)2cos(21)y x x x x x x x '''=+++=++⨯+sin(21)2cos(21)x x x =+++，故答案为sin(21)2cos(21)y x x x '=+++．（2）已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________．【答案】2 【解析】()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=，故答案为2．（3）求函数2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的导数．【答案】1cos 2y x '=-．【解析】因为1sin cos sin 222x x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()11sin cos 22y x x ''=-=-．【例2】已知函数()()3212f x x f x '=-+，则()2f =（）A ．2-B ．103C ．6D ．14【答案】C【解析】2()32(1)f x x f x ''=-，则(1)32(1)(1)1f f f '''=-⇒=，则32(2)f x x x =-+，32(2)2226f =-+=，故选C ．【变式2．1】已知()f x 的导函数为()f x '，3()2(1)x x f x f x e'-=+⋅，则(1)f '=________．【答案】3e-【解析】因为3()2(1)x x f x f x e '-=+⋅，所以4()2(1)xxf x f e'+'-=，所以3(1)2(1)f f e '+'=，3(1)f e'=-，故答案为3e-．【例3】若()()()()126f x x x x x =--⋅⋅⋅-，则()1f '=（） A ．120 B ．24C ．24-D ．120-【答案】D【解析】令()()()()236g x x x x x =--⋅⋅-⋅，则()()()1f x x g x =-，所以()()()()1f x g x x g x ''=+-，所以()()()()111250120f '=⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-+=-，故选D ．【变式3．1】已知函数()()()()()1232021f x x x x x =----，则()2021f '=（）A ．1232020-⨯⨯⨯⨯B ．1232020⨯⨯⨯⨯C ．1232021-⨯⨯⨯⨯D ．1232021⨯⨯⨯⨯【答案】A 【解析】()()()()()1232021x x x x f x =----，故()()()()()()()232021132021f x x x x x x x '=--------()()()()()()()1220192021122020x x x x x x x ---------，因此，()()()()2021202020191122020f '=--⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯，故选A ．1．求切线方程【例4】曲线()x f x xe -=在点()()1,1f --处的切线方程为（） A ．2y ex e =- B ．y ex e =+C ．2y ex e =+D ．2y ex e =-+【答案】C 【解析】1()x xf x e-'=，(1)2f e '∴-=，又(1)f e -=-，∴所求切线方程为()21y e e x +=+，即2y ex e =+，故选C ．【变式4．1】曲线3221y x x =-+在1x =处的切线方程为___________．【答案】870x y --=【解析】()3221y f x x x ==-+，则()212111f =-+=，()2226f x x x +'=，所以()221681f +'==，即切线的斜率8k ，所以切线方程为()181y x -=-，即870x y --=，故答案为870x y --=．【例5】曲线ln y x x =的一条切线过点(0,3)-，则该切线的斜率为_________．【答案】1ln3+【解析】由1ln y x '=+，设切线斜率为k ，切点横坐标为t ，则1ln ln 3t k t t kt +=⎧⎨=-⎩，得ln (1ln )3t t t t =+-，所以3t =，1ln3k =+，故答案为1ln3+．【变式5．1】已知函数()2x f x e x =+，过点()1,2作曲线()y f x =的切线，则函数的切线方程为________________．【答案】22()20e x y e +--=【解析】()2x f x e '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则()002x f x e '=+，()0002x f x e x =+，所以切线方程为0000(2)(2)()x x y e x e x x -+=+-，且该直线过点()1,2，所以00002(2)(2)(1)x x e x e x -+=+-，得00(2)0x e x -=，得02x =，所以切线方程为22()20e x y e +--=，故答案为22()20e x y e +--=．1．求经过某点的曲线()f x 的切线方程时，需注意该点不一定是切点； 2．利用导数求切线方程的一般过程：（1）曲线()f x 在点()00,P x y 处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-；（2）曲线()f x 过点()00,P x y 处的切线方程： ①设切点坐标()111,P x y ；②写出()111,P x y 的切线方程()()111y y f x x x '-=-； ③将点()00,P x y 的坐标代入切线方程求出1x ；④将1x 的值代入方程()()111y y f x x x '-=-，得到所求切线方程．2．求参数值【例6】直线1y kx =-是曲线1ln y x =+的一条切线，则实数k 的值为（） A ．e B ．2eC ．1D ．1e -【答案】A【解析】设切点为()00,1ln x x +，由1ln y x =+，得1y x'=，则001x x y x ='=，则曲线在切点处的切线方程为()00011ln y x x x x --=-，由已知可得，切线过定点()0,1-，代入切线方程可得02ln 1x --=-，解得01x e =，则01k e x ==，故选A ．【变式6．1】已知函数2()2ln f x x x x =-在点(1,2)处的切线方程为0x my t ++=，则t =___________．【答案】13-【解析】2()2ln f x x x x =-，()4ln 1f x x x '∴=--，()13f '∴=，13m ∴-=，即13m =-，又(1,2)为切点，11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭，解得13t =-，故答案为13-．【变式6．2】已知函数2()ln f x a x bx =+的图象在点(1,1)P 处的切线与直线10x y -+=垂直，则a 的值为___________．【答案】3-【解析】由已知可得(1,1)P 在函数()f x 的图象上，所以(1)1f =，即2ln111a b +⨯=，解得1b =，所以2()ln f x a x x =+，故()2af x x x'=+．则函数()f x 的图象在点(1,1)P 处的切线的斜率(1)2k f a '==+，因为切线与直线10x y -+=垂直，所以21a +=-，即3a =-，故答案为3-．3．公切线问题【例7】已知曲线()x f x e =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()ln g x ax =的一条切线，则a 的值为（）A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C 【解析】()x f x e =，()x f x e '∴=，()01f =，()01f ∴'=，()f x ∴在点()()0,0P f 处的切线方程为1y x =+，设1y x =+与()g x 相切于点()()00,ln x ax ，则()0011g x x '==，解得01x =，又()00ln 110ax x -=-，ln 11a ∴-=，解得2a e =，故选C ．【变式7．1】若曲线x y e =在0x =处的切线也是曲线ln 2y x b =+的切线，则实数b =（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．e【答案】B【解析】曲线x y e =的导数为x y e '=，可得在0x =处的切线斜率为1k =，切点为(0,1)，则切线的方程为1y x =+，设直线1y x =+与ln 2y x b =+相切的切点为(,2ln )m b m +，由ln 2y x b =+的导数为1y x '=，可得切线的斜率为1m，则11m=，2ln 1b m m +=+，解得1m =，1b =，故选B ．【变式7．2】已知函数()2x f x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】因为()2x f x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-，故选D ．【例8】设曲线() x f x ae b =+和曲线()πcos 2xg x c =+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（） A ．0 B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】()x f x ae '=，()ππsin 22xg x '=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得1c =，2103b c a ∴+-=+-=，故选D ．【变式8．1】曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线与曲线x y e =-相切，则a =_____．【答案】2ln 24-【解析】对2ln y a x =-求导，得2y x'=-，∴12x y ='=-∣，则曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线方程为2(1)y a x -=--，即22y x a =-++．设22y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -，对x y e =-求导，得x y e '=-，由02x e -=-，得0ln 2x =，即切点为(ln 2,2)-．又切点在切线22y x a =-++上，∴2ln 222a -++=-，即2ln 24a =-，故答案为2ln 24-．【例9】若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线，则实数a 的最小值为（） A ．12eB ．21e C ．2eD ．1【答案】A【解析】法一：设公切线与()f x ，()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，，则()f x 图象在A 处的切线方程为()()211112y ax ax x x --=--，即21121y ax x ax =-++，同理：()g x 图象在B 处的切线方程为()()22211ln y x x x x --=--，即2212ln y x x x =-+-，由上述两直线重合，122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得()22211ln 4x x a =-，令()()()21ln 0h x x x x =->，则()()12ln h x x x '=-，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x在(单调递增，在)+∞单调递减，则()max 142e h x h a≤==，解得12a e≥．方法二：在同一坐标系中作出()f x ，()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ，()g x 分别为上凸和下凸函数，要使()f x ，()g x 存在公切线，只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可，即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立，令()2ln x h x x =，求导得()312ln xh x x -'=，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以当x =()h x 取得最大值为12e，所以12a e≥，故选A ．【变式9．1】已知曲线x y e =在点()11,x x e 处与曲线ln y x =在点()22,ln x x处的切线相同，则()()1211x x +-=_________．【答案】2-【解析】x y e =，则x y e '=，切线斜率为1x k e =，所以曲线x y e =在点()11,x x e 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即1111x x x y e x e x e =-+，由ln y x =得1y x'=，切线斜率为21k x =，所以曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+，于是11121211ln x x x e x e e x x⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得121x x e =，11112111ln 1ln 1x x x e e x x x e -=-+=-+=--，则11111x x e x +=-，所以12111x x x -=+，所以1211121111x x x x ---=-=++，得()()12112x x +-=-，故答案为2-．4．切线条数问题【例10】若过点(),a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（） A ．b e a < B ．a e b < C ．0b a e << D ．0a b e <<【答案】D【解析】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得x y e '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-．当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增；当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >；当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，故选D ．解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0a b e <<．故选D ．【变式10．1】已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】若直线与曲线切于点()()000,0x y x ≠，则3200000011111y x k x x x x --===++--，又∵23y x '=，∴2003y x x x '==，∴200210x x --=，解得01x =，012x =-，∴过点()1,1P 与曲线3:C y x =相切的直线方程为320x y --=或3410x y -+=，故选C ．【变式10．2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则实数m 的取值范围是（） A ．(),e -∞ B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,【答案】B【解析】设切点为()00,x y ，()ln 1f x x '=+，所以切线方程为：0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，代入(),A m m ，得0000ln (ln 1)()m x x x m x -=+-，即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln m x x =，即ln 1x m x =，令ln ()x g x x =(0x >)，21ln ()xg x x -'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，1()g e e =，(),()0,10x g x g →+∞→=，所以110m e<<，所以m e >，选B ．一、选择题．1．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（） AB． C．D．【答案】B【解析】由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x =B ．2．已知函数()4f x x ax =+，若()()02lim12x f x f x x→--=△△△△，则a =（）A ．36B ．12C ．4D ．2【答案】C【解析】根据题意，()4f x x ax =+，则()34f x x a '=+，则()0f a '=，若()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，则()()()()()0022lim=3lim 30123x x f x f x f x f x f x x→→----'==△△△△△△△△，则有312a =，即4a =，故选C ．3．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则()()11f f '-=（）A ．0B ．2C ．2-D ．1-【答案】C【解析】设曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y kx b =+，则220b k b =⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =+，所以()11f '=，()1123f =+=，因此，()()11132f f '-=-=-，故选C ．4．已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（） A ．221x x -+ B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-【答案】B【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此()221f x x x =++，故选B ．5．已知曲线()x f x e =在点(1,(1))P f 处的切线也是曲线()ln g x a x =的一条切线，则a =（）A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C【解析】()x f x e =，()1f e =，所以切点()1,e ．()x f x e '=，()1k f e '==，切线()1y e e x -=-，即y ex =．设()ln g x a x =的切点为()00,x y ，()a g x x '=，()00ak g x e x '===，所以0a x e=．将0a x e =代入切线y ex =，得0y a =，()g x 的切点为,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭，将,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭代入()ln g x a x =，得ln a a a e =，解得2a e =，故选C ．二、填空题．6．设函数()()sin πxx f x e =，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】ππ0x ey +-= 【解析】由题意得()sin π10f e==，切点为()1,0，()()()()()2πcos πsin ππcos πsin πx x x xx e e x x x f x e e--'==，所以()πcos πsin ππ1f e e-'==-，所以过点()1,0的切线方程为()π1y x e=--，即ππ0x ey +-=，故答案为ππ0x ey +-=． 7．曲线()1f x x b x=++在点()(),a f a 处的切线经过坐标原点，则ab =______．【答案】2- 【解析】由()1f x x b x =++，则()211f x x'=-，所以()211f a a '=-，所以()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-，化简整理可得2ab =-，故答案为2-．8．曲线()31()x f x x mx e -=-在点(1,(1))f 处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________．【答案】410x y +-=【解析】由题意得()321()3x f x x x mx m e --'=+-，则(1)42f m '=-，所以切线的斜率142k m =-，直线410x y --=的斜率214k =．因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =，则1(1)4k f '==-，所以()31()4x f x x x e -=-，则(1)3f =-，故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=，故答案为410x y +-=．9．已知曲线x y e -=，则曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是________．【解析】∵x y e -=，∴x y e -'=-，设与曲线x y e -=相切，且与直线10x y ++=平行的直线为0x y m ++=，切点00(,)x P x e -．则01x e --=-，解得00x =，故切点为(0,1)P ．∴曲线x y e -=上的点到直线10x y ++=的最短距离d ==，．10．直线y kx b =+与曲线1x y e -=相切，也与曲线x y e e =-相切(其中e 为自然对数的底数)，则k =___________．【答案】e【解析】由题设知：1()x f x e -=，则1()x f x e -='；()x g x e e =-，则()x g x e '=． ∴要使y kx b =+与()f x 、()g x 都相切，若切点分别为1122(,),(,)x y x y ，则有12()()f x g x k ''==， ∴121x x e e -=，则121x x -=，∴211212121x x y y e e e k e x x x x ----===--，故答案为e ．三、解答题．11．设曲线(),0x f x e x =≤在点00(,)x P x e 处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S ．（1）求切线l 的方程；（2）求S 的最大值．【答案】（1）000(1)0x x e x y x e -+-=；（2）2e．【解析】（1）因为()x f x e '=，所以0l x k e =，所以切线l 的方程为000()x x y e e x x -=-，整理得000(1)0x x e x y x e -+-=．（2）在切线l 的方程中，令0x =，可得00(1)x y x e =-，令0y =，可得01x x =-．因为00x ≤，所以02001()(1)2x S S x x e ==-，所以00001()(1)(1)2x S x x x e =-+'，所以当01x <-时，0()0S x '>，所以0()S x 在(,1)-∞-上单调递增；当010x -<≤时，0()0S x '<，所以0()S x 在(1,0)-上单调递减，所以当01x =-时，S 取得极大值也是它的最大值2e ． 12．已知函数()33f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【答案】（1）9160x y --=；（2）()3,2--．【解析】（1）233f x x ，∴切线斜率()29k f '==，()22f =，∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()292y x -=-，∴即9160x y --=．（2）过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()2033k f x x '==-，∴切线方程()()()320000333y x x x x x --=--，即32002330x x m -++=， ∴32002330x x m -++=有三个不同实数根，记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0,0g x x '==或1，则()(),,x g x g x '的变化情况如下表：当()0,x g x =有极大值3m +；()1,x g x =有极小值2m +．因为过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3020m m +>⎧⎨+<⎩，解得32m -<<-，所以m 的范围是()3,2--．。

2017年高考数学考纲揭秘专题3导数及其应用理

（三）导数及其应用考纲原文1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），231,,,,y x y x y x y y x=====. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +b )的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.高考预测与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.新题速递1．若32()=242()()3f x m n x mx m x n ∈++-+R ，在R 上有两个极值点，则m 的取值范围为 A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U 2．已知函数22()ln (,,0)f x a x b x a b b =-∈≥R ，函数1()ln 2g x a x x =-在点(1,(1))g 处的切线与直线210x y --=平行．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，不等式22()(21)()f x b x b b x <+-+恒成立，求实数b 的值或取值范围．答案1．C 【解析】依题意，得22()1243f x x mx m '=++-，∴22()124=03f x x mx m '=++-有两个不相等的实数根，221648()03m m ∆=-->∴，即2320m m -+>，∴2m >，或1m <，故选C ． 2．【解析】（1）因为1()2ag x x '=-，则由题意知1(1)2g '=，所以1122a -=，即1a =．所以22()ln (0)f x xb x b =-≥，定义域为(0,)+∞．21()2f x b x x '=-= 当0b >时，由()0f x '≥，得函数()f x 的单调递增区间为(0,]2b，由()0f x '<，得函数()f x 的单调递减区间为(,)2b +∞；当0b =时，由()0f x '>，得函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，②当12b ≥时，()1 x ∈+∞，时，()0h'x >恒成立，所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符合题意. ③当0b =时，()1 x ∈+∞，时，恒有()0h'x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数，于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210b b -+≤，解得1b ≥-，故取0b =，综上，0b =．。

高三导数第一节知识点汇总

高三导数第一节知识点汇总导数，作为数学中的一个重要概念，是描述函数变化率的工具。

在高三阶段学习导数时，学生们会接触到许多基本概念和重要定理。

这篇文章将汇总高三导数第一节的知识点，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和应用。

一、导数的定义和基本概念在学习导数之前，我们需要明确导数的定义。

对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以定义为函数在该点处的切线斜率，用符号f'(x)表示。

导数的计算需要通过极限的方式进行，即求取函数在无限接近该点的变化率。

导数有两个重要的几何意义。

首先，导数可以描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。

其次，导数还可以表示函数曲线的凹凸性质。

如果导数在某一点为正，则函数曲线在该点上凸；如果导数在某一点为负，则函数曲线在该点上凹；如果导数在某一点为零，则函数曲线在该点处可能是拐点。

二、常见函数的导数公式高三阶段，学生们会接触到一些常见函数的导数公式。

以下是一些常见函数的导数公式：- 常数函数的导数为零。

- 幂函数的导数为幂次乘以系数。

- 三角函数的导数可以通过公式推导得到。

- 指数函数的导数是原函数的值乘以指数的导数。

通过熟练掌握这些常见函数的导数公式，可以简化导数的计算过程，并提高解题效率。

三、导数运算法则导数具有一些运算法则，对于简化复杂的导数计算非常有用。

以下是常见的导数运算法则：- 常数倍法则：导数乘以常数等于函数的导数乘以该常数。

- 和差法则：求和（或求差）函数的导数等于各个函数的导数的和（或差）。

- 乘法法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以该函数。

- 商法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。

掌握这些导数运算法则，可以更加灵活地求解各种复杂函数的导数。

四、高阶导数和导数的应用除了一阶导数，高三阶段还要学习高阶导数。

高阶导数表示导数的导数，常用的记法是f''(x)表示二阶导数，f'''(x)表示三阶导数。

高考数学导数专题1：导数的概念及运算

导数的概念及运算1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．易错点1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．二导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝yu ′·ux ′，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积．易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x)′＝－sin x.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a ，而不是(ax)′＝xax －1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．题型一导数的概念1.已知函数f(x)＝2ln 3x ＋8x ，求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.解析f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时，平均变化率ΔyΔx2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min【解析】选A.3．(2015·陕西一检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e xsin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6解析：因为f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1，题型二导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (2)y ＝(x2－2x ＋3)e2x ；(3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x 1＋x2)＝11＋x2. (2)y ′＝(2x －2)e2x ＋2(x2－2x ＋3)e2x ＝2(x2－x ＋2)e2x.Δlim →x 0Δlim →x 0Δlim →x(3)y ′＝13(x 1－x 1－x ＋x(1－x)2＝13(x 1－x1(1－x)2＝13x (1－x) 2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝（）；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝（） (用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f(x)＝4－2x ，f ′(x)＝－2，f ′(1)＝－2.3．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：85．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.32)-32)-32-34-0Δlim →x 0Δlim →x6．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3题型三导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．求切线方程问题1．(2015·云南一检)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )已知切线求参数范围3．(2015·河北五校联考)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 解析：结合函数y ＝ax 2(a >0)和y ＝e x的图象可知，要使曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，只要ax 2＝e x在(0，＋∞)上有解，从而a ＝ex x 2.令h (x )＝e x x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ·x 2－e x·2xx4＝x －2e x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝2，易知h (x )min ＝h (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C 切线的综合应用4．(2015·重庆一诊)若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( )A.22B. 2C.12D ．3解析：由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，所以曲线y ＝f (x )＝x 2－ln x 上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.[答案] A2.(2015·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．随堂测试1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x -1), 即x+y -1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6．(2015·长春二模)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24.答案：1－ln 247．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．解析：根据已知可得f ′(x )≥ 3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3，结合正切函数的图象，可知α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π28．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 94．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算讲义(含解析)-高三全册数学教案

第一节导数的概念及运算突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos_x f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝ln xf ′(x )＝1x 基本初等函数导函数 f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝1x ln a 3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x[g x ]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( )(3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√二、填空题1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．答案：－x sin x2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ，∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3.答案：33．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：1[典例感悟]1．已知函数f (x )＝xex ，则其导函数f ′(x )＝( ) A.1＋x ex B.1－x e x C ．1＋x D ．1－x 解析：选B 函数f (x )＝x e x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e2x ＝1－xex ，故选B. 2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．1C ．－1D ．e解析：选 C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.3．函数f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，则其导函数f ′(x )＝________.解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴f ′(x )＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 答案：－12sin 4x －2x cos 4x [方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法1．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( ) A．26B．29C．212D．215解析：选 C f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x －a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二导数的几何意义[基本知识]函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点．( )答案：(1)√(2)×二、填空题1．已知函数f(x)＝ax ln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.解析：由题意，得f′(x)＝a ln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.答案：42．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：∵y ′＝1x ln 2，∴切线的斜率k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e 3．设函数f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ， ∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4， ∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝0[全析考法]考法一求切线方程“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．考法二求切点坐标[例2] (2019·柳州一模)已知函数f (x )＝e 2x －1，直线l 过点(0，－e)且与曲线y ＝f (x )相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1 [解析] 设切点为(x 0，e2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋e x 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x>0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A. [答案] A[方法技巧]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法三求参数值或范围[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1，所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝a x ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2，因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直，所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.(2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x＋a ＝3有两个不同的正解，令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选A. [答案] (1)D (2)A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[集训冲关]1.[考法一](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.2.[考法二]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y ＝2x－1，则P点的坐标为( )A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3.[考法三]设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析：选D f ′(x )＝－e x －1，∵e x＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ， ∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D. 4.[考法三](2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－3。