中国大学生数学竞赛试题

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大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ，有，即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η

第13届全国大学生数学竞赛非数学类初赛试卷参考答案(2021年)

第十三届全国大学生数学竞赛初赛《非数学类》试题及参考解答一、填空题（每小题6分，共30分） 1、极限lim x.【答案】：0【参考解答】：原式lim10xx xe2、设(,)z z x y 是由方程2sin(23)23x y z x y z 所确定的二元隐函数，则z zx y.【参考解答】：将方程两边分别关于x 和y 求偏导，得2cos(23)13132cos(23)2323z z x y z x x z z x y z y y按1cos(23)2x y z和12两种情形，都可解得: 12,.33z z x y 因此1.z zx y3、设函数()f x 连续，且(0)0f ，则02()()d lim()d xxx x t f t tx f x t t.【参考解答】：令x t u ，则0()d ()d xxf x t t f u u. 于是由洛必达法则和积分中值定理，得00002()d 2()d 2()d 2()2()limlim()d ()d ()2()d 2()limlim1()()()d ()xxxxxx x x xx x x f t t tf t tf t t xf x xf x x f u u f u u xf x f t txf xf xf x f u u xf x 原式其中介于0,x 之间.4、过三条直线120,0,:,:2,20,x x L L y z x y z与3:0x L y z的圆柱面方程为 .【答案】： 222224x y z yz 【参考解答】：三条直线的对称式方程分别为1221102:,:01101111:11x y z x y z L L y z L 所以三条直线平行. 在1L 上取点1(0,1,1)P ，过该点作与三直线都垂直的平面0y z ，分别交23,L L于点23(0,1,1),0,0)P P . 易知经过这三点的圆的圆心为(0,0,0)O . 这样，所求圆柱面的中心轴线方程为011x y z. 设圆柱面上任意点的坐标为(,,)Q x y z ，因为点Q，所以有化简即得所求圆柱面的方程为222224x y z yz . 5、记 22(,)D x y x y∣，则22sin cos d d D x y x y.【答案】：【参考解答】：根据重积分的对称性, 得222222222222200sin cos d d sin cos d d 11sin cos sin cos d d sin d d 221sin d cos 22D D D D x y x y y x x yx y y x x y x y x yd r r r原式二、(14分) 设12021x ， 212120210(1)nn n x x x n . 证明数列 n x 收敛, 并求极限limn n x. 【参考解答】：记1011,1n n a y x ，函数()(0)2x af x x x，则12y a 且 1(1).n n y f y n 易知，当x()x f x所以 n y 是单调减少且有下界的数列，因而收敛. 由此可知 n x 收敛.令lim n n y A，则0A 且()A f A，解得A因此lim 1n n x.三、(14分) 设()f x 在[0,) 上是有界连续函数，证明：方程1413()y y y f x 的每一个解在[0,) 上都是有界函数.【参考解答】：易得对应的齐次方程14130y y y 的通解为1312x xy C e C e 又由1413()y y y f x 得13()y y y y f x .令1y y y ，则1113()y y f x，解得1313130()d x x t y e f t e t C. 同理，由1413()y y y f x ，得1313()y y y y f x .令213y y y ，则22()y y f x ，解得240()d x xt y ef t e t C. 取340C C ，得131300()d ,13()d .x x t x x t y y e f t e t y y e f t e t 由此解得原方程的一个特解为 *13130011()d ()d 1212x x x t x t y e f t e t e f t e t因此，原方程的通解为131313120011()d ()d .1212x x xxx tx t y C e C e e f t e t e f t e t 因为()f x 在[0,) 上有界，所以，存在0M ，使得|()|,0f x M x注意到当[0,)x 时，1301,01x x e e ，所以131313120131312001312121211||()d ()d 1212|||d d 1212111212137||||||12121378xxx x x t x t x x x t x tx x y C e C e e f t e t e f t e tM M C C e e t e e t M MC C e e M MM C C C C∣∣对于方程的每一个确定的解，常数12,C C 是固定的，所以，原方程的每一个解都是有界的.四、(14分) 对于4次齐次函数444222222123456(,,)333f x y z a x a y a z a x y a y z a x z 计算曲面积分(,,)d f x y z S，其中222:1x y z .【参考解答】：因为(,,)f x y z 为4次齐次函数，所以对t R ，恒有4(,,)(,,)f tx ty tz t f x y z对上式两边关于t 求导，得3123(,,)(,,)(,,)4(,,)xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t f x y z 取1t ，得(,,)(,,)(,,)4(,,).x y z xf x y z yf x y z zf x y z f x y z 设曲面上点(,,)x y z 处的外法线方向的方向余弦为(cos ,cos ,cos ) ，则cos ,cos ,cos x y z因此由高斯公式和轮换对称性，记222:1x y z ，得2214621(,,)d (,,)(,,)(,,)d 411cos cos cos dS d d d d d d 441(,,)(,,)(,,)d 43222x y z x y z x y z xx yy zz f x y z S xf x y z yf x y z zf x y z S f f f f y z f z x f x y f x y z f x y z f x y z Vx a a a y a a24535666212222201161=2d d d d sin d 45i i i i ii a z a a a Va x y z V a a五、(14分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续的二阶导数，证明:21221lim ()d ()2()()().24n b a n k b a k n f x x f a b a n n b a f b f a 【参考解答】：记()(21)(),,1,2,,2k k k b a k b a x a a k n n n. 将()f x 在1,k k x x 上展开成泰勒公式，得2()2k k k k k f f x f f x x其中1,,k k k x x x 介于0和x 之间. 于是11111212121()d ()2()d d 21d 2kk kk k k nbn ak nx k x k nx k k k k x k nx k k x k b a k B f x x f a b a n n f x f xf f x x x f x x设()f x 在1,k k x x 上的最大值和最小值分别为,k k M m ，因为1323()d 12k k x k x b a x x n 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据定积分10()d f x x 的定义及牛顿-莱布尼兹公式，得11lim lim ()d ()()n nk k n n k k bab a b am M n n f x x f b f a再根据夹逼准则, 得22()lim ()().24n n b a n B f b f a六、(14分) 设 n a 与 n b 均为正实数列，满足：111a b 且12,2,3,n n n b a b n .又设 n b 为有界数列，证明级数1211nn a a a收敛，并求该级数的和. 【参考解答】：首先，注意到111a b ，且121nn n n b a b b所以当2n 时，有1223222111.n n n a a a b b b b由于 n b 有界，故存在0M ，使得当1n 时，恒有0n b M . 因此111122312220111210,n n n n b a a a b b b n M根据夹逼准则，12lim0nn nb a a a .考虑级数1211nn a a a的部分和n S ，当2n 时，有 112112121121121221112131222nnk k k n kk k k n k k n k k nk a b b S a a a a a a a b b b a a a a a a a a a所以3lim 2n n S ，这就证明了级数1211nn a a a收敛，且其和为32.。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。

2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。

3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。

4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。

二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。

三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。

四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。

大学生数学竞赛(数学类)考题及答案

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ .（1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；（2）求n n C ⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？五、（10分）设320sin sin n nta t dt t π=⎰，证明11n na ∞=∑发散. 六、（15分） (,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f fx y x y∂∂+=∂∂，计算积分221x y I dxdy +≤⎛⎫=⎰⎰. 七、（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使()0f ξ''=。

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕2021年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么=22d d xy.二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、〔15分〕)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之与.八、〔10分〕求-→1x 时，及∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2021年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、〔25分，每题5分〕〔1〕设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞〔2〕求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 〔3〕设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.〔4〕设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. 〔5〕求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩及直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、〔15分〕设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、〔15分〕设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=及22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、〔15分〕设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：〔1〕当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；〔2〕当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、〔15分〕设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，〔其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤〔其中0c b a <<<，密度为1〕绕l 旋转. 〔1〕求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值与最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx yϕ+=+⎰的值为常数. 〔1〕设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；〔2〕求函数()x ϕ；〔3〕设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx yϕ++⎰. 2021年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分〕〔1〕求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；〔3〕()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、〔此题10分〕求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、〔此题15分〕设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得四、〔此题17分〕设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑及2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值与最小值. 五、〔此题16分〕S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半局部〔0z ≥〕〔取上侧〕，∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算：〔1〕()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；〔2〕()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、〔此题12分〕设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、〔此题15分〕是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2021年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕. 〔1〕求极限21lim(!)n n n →∞.〔2〕求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π与2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. 〔3〕函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 与b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 〔4〕设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面及路径无关，求(,)u x y .〔5〕求极限1limx x x t +. 二、〔此题10分〕计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、〔此题10分〕求方程21sin 2501x x x=-的近似解，准确到0.001.四、〔此题12分〕设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、〔此题12分〕求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有1f dx C ≤⎰.六、〔此题12分〕设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+与球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的局部. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、〔此题14分〕设1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑为正项级数，证明：〔1〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，那么级数1n n a ∞=∑收敛；〔2〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，那么级数1n n a ∞=∑发散. 2021年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. ()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线及曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、〔总分值12分〕计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、〔总分值12分〕设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、〔总分值14分〕设∑()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、〔总分值14分〕设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=lim ()a r I r →+∞.七、〔总分值14分〕判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其与.2021年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕1xy e =与1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是 .22:2S z x y =+与平面022:=++z y x L . 那么及L 平行的S 的切平面方程是 .()y y x =由方程21sin d 4y x t x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0d d x y x== .1(1)!nn k kx k ==+∑，那么=∞→n n x lim . 130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么=→20)(lim x x f x . 二、〔此题12分〕设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、〔此题14分〕设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；〔2〕设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分五、〔此题15分〕设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、〔此题15分〕设2222212n n nn A n n n n =++++++，求⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2021 年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕〔1〕极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 〔2〕设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠那么z z x y xy∂∂+=∂∂ .〔3〕曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面及曲面所围区域的体积是 . 〔4〕函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .〔5〕设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，那么()u x 的初等函数表达式是 .二、〔12分〕设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、〔12分〕设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，那么()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、〔14分〕求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其与函数.五、〔16分〕设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：〔1〕[]00,1x ∃∈使()04f x >；〔2〕[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、〔16分〕设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 假设()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2021年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔每题5分，总分值30分〕 1、假设()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，那么()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、假设()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，假设z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、〔14分〕设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aa f x xf x x >⎰⎰.三、〔14分〕某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、〔14分〕设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()()23f x f x f x =+=+.用级数理论证明()f x 为常数.2021年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、1. 可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，那么()f x .2．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数. 那么21xx yy w w c -. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，那么240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+与224z x y --围成空间区域为V ，那么三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、〔此题总分值14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数假设对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(此题总分值14分) 设曲线Γ为在上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(此题总分值15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，假设对任意第 11 页实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，那么,()a b a b ∀<，2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(此题总分值15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.题号一二三四五六七八总分满分 20 5 15 15 10 10 15 10 100 得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算 dxdy yx x y y x D∫∫−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++11ln )(=_____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围三角形区域.（2）设 ()f x 是连续函数，满足 220()3()2f x x f x dx =−−∫，则()f x =___________________. （3）曲面2222x z y =+− 平行平面 220x y z +−= 的切平面方程是________________________.（4）设函数 ()y y x =由方程 ()ln 29f y y xee =确定，其中f 具有二阶导数，且 1f ′≠，则22d ydx =____________________.答案：1615 ，21033x −， 2250x y z +−−=，223[1()]()[1()]f y f y x f y ′′′−−−′−.得分评阅人二、（5分）求极限 20lim()ex x nx x x e e e n→+++ ，其中 n 是给定的正整数.解：原式20lim exp{ln()}x x nxx e e e e x n→+++=20(ln()ln )exp{lim}x x nx x e e e e n x →+++−= ………………….….…（2分）其中大括号内的极限是型未定式，由 L Hospital ′法则，有 20(ln()ln )lim x x nx x e e e e n x →+++− 20(2)limx x nx x x nxx e e e ne e e e →+++=+++ (12)1(2e n n e n ++++==于是原式=1()2n e e+ . ……………………………………..…………..…(5分)三、（15分）设函数 ()f x 连续,1()()g x f xt dt =∫，且()limx f x A x→= ,A 为常数，求 ()g x ′并讨论()g x ′ 在0x =处的连续性.解：由题设，知 (0)0f =，(0)0g =. …………….…………...…(2分)令u xt =，得0()()xf u dug x x=∫ (0)x ≠，……………………………………..……（5分）从而 02()()()x xf x f u dug x x−′=∫ (0)x ≠…………………………………….……(8分)由导数定义有20()()(0)limlim22xx x f u du f x Ag x x →→′===∫ ……………………………………….……(11分) 由于 022000()()()()lim ()limlim lim (0)22xxx x x x xf x f u duf u du f x A Ag x A g xx x →→→→−′′==−=−==∫∫，从而知 ()g x ′ 在 0x =处连续. …………………………………………….……….(15分)得分评阅人得分评阅人专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：四、（15分）已知平面区域 {(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤ ，L 为D 的正向边界，试证：（1）sin sin sin sin yx y xLLxedy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫；（2）sin sin 252yx Lxedy ye dx π−−≥∫ . 证法一：由于区域D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.(1) 左边0sin sin sin sin 00()yxx x edy edx e e dx ππππππ−−=−=+∫∫∫ ， ...…(4分)右边0sin sin sin sin 0()yxx x edy edx e e dx ππππππ−−=−=+∫∫∫ ，……..…（8分）所以 sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫. ……………………………(10分) (2) 由于 sin sin 22sin xx ee x −+≥+ ， …….…………………….…...(12分)sin sin sin sin 205()2yxx x Lxedy yedx e e dx πππ−−−=+≥∫∫ . ……..…….…(15分)证法二：（1）根据 Green 公式，将曲线积分化为区域D 上的二重积分sin sin sin sin ()y x y x LDxe dy ye dx e e d δ−−−=+∫∫∫ ……………………………...… (4分) sin sin sin sin ()yx y x LDxedy ye dx e e d δ−−−=+∫∫∫ ………………………………(8分)因为关于 y x = 对称，所以sin sin sin sin ()()yx y x DDee d e e d δδ−−+=+∫∫∫∫ ，故sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫ . ………………….…… (10分) (2) 由 22022(2)!nttn t e e t n ∞−=+=≥+∑ sin sin sin sin sin sin 25()()2y x y x x xL D Dxe dy ye dx e e d e e d δδπ−−−−=+=+≥∫∫∫∫∫ . …….……….……(15分)得分评阅人五、（10分）已知 21x xy xe e =+ ，2x x y xe e −=+ ，23x x x y xe e e −=+−是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：2x e 与 xe −是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xxe 是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法 ………………………………………………………….…...……(6分)解法一：故此方程式 2()y y y f x ′′′−−= ………………….……..……..……(8分)将xy xe = 代入上式，得()()()2222x x x x x x x x x x f x xe xe xe e xe e xe xe e xe ′′′=−−=+−−−=− ，因此所求方程为22x xy y y e xe ′′′−−=− . ……………………………………… …(10分)解法二：故 212x x xy xe c e c e −=++ ，是所求方程的通解，……………………(8分) 由2122x x x x y e xe c e c e −′=++− ，21224x x x xy e xe c e c e −′′=+++ ，消去 12,c c 得所求方程为 22x xy y y e xe ′′′−−=−. ……………………………………………………....…(10分)六、（10分）设抛物线 22ln y ax bx c =++过原点，当 01x ≤≤时，0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线 1x =所围图形的面积为 13. 试确定,,,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.解：因抛物线过原点，故 1c =由题设有 1201()323a b ax bx dx +=+=∫.即 2(1)3b a =− ，………..………….…(2分) 而 122220111()[]523V ax bx dx a ab b ππ=+=++∫ 221114[(1)(1)]5339a a a a π=+−+⋅−. …………………….…………….…(5分)令 2128[(1)]053327dv a a a da π=+−−−=，得 54a =− ，代入 b 的表达式得 32b =. 所以0y ≥， ……………..…………(8分)得分评阅人得分评阅人专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：又因 25242284|[]05327135a d v da ππ=−=−+=> 及实际情况，当53,,142a b c =−== 时，体积最小. ………….……….…(10分)七、（15分）已知 ()n u x 满足1()()n x n nu x u x x e −′=+（n 为正整数），且(1)n e u n=，求函数项级数1()n n u x ∞=∑之和.解：先解一阶常系数微分方程，求出()n u x 的表达式，然后再求1()n n u x ∞=∑ 的和.由已知条件可知 1()()n xn n u x u x x e −′−= 是关于 ()n u x 的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为1()()()ndx dx n x x n xu x e x e e dx c e c n−−∫∫=+=+∫ ， ……………..…..(6分)由条件 (1)n e u n =，得0c =，故()n xn x e u x n=，从而 111()n x n xn n n n x e x u x e n n∞∞∞=====∑∑∑. …………….……..……...…(8分) 1()nn x s x n ∞==∑，其收敛域为 [1,1)−，当 (1,1)x ∈−时，有111()1n n s x x x∞−=′==−∑ ，………………………..…………………….….(10分) 故 01()ln(1)1xs x dt x t==−−−∫ . ………………..…………………(12分) 当1x =−时，11()ln 2n n u x e∞−==−∑. …………………………...…(13分)于是，当 11x −≤<时，有1()ln(1)xn n u x ex ∞==−−∑. ……….…..…(15分)得分评阅人八、（10分）求1x →− 时，与20n n x ∞=∑等价的无穷大量.解：2221t n t n x dt x x dt ∞+∞+∞=≤≤+∑∫∫， ………………….…………….….….…(3分)221lnt t xx dt edt −+∞+∞=∫∫………………….…….………….....….(7分)=∼……………………….…...(10分)得分评阅人第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2010）一（本题共5小题，每小题5分，共25分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 设2(1)(1)(1)nn 2x a a a =+⋅++ ，其中1<|a |，求.n n x ∞→lim 解将n x 恒等变形221(1)(1)(1)(1)1nn x a a a a a =−+⋅++− 2221(1)(1)(1)1n a a a a=−⋅++− 4421(1)(1)(1)1na a a a =−⋅++− 1211n a a+−=−，由于，可知1<|a |2lim 0nn a →∞=，从而ax n n −=∞→11lim . (2) 求lim x x x e x −→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211.解 lim x x x e x −→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211=11lim 1xx x e x −→∞⎡⎤⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦=1exp lim ln 11x x x x →∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞+−⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎝⎠=1exp lim ln 11x x x x →∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠=22111exp lim ()12x x x x xx ο→∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠=21−e .(3) 设，求0s >0sx n n I e x dx +∞−=∫(1,2,n )= .解因为时，0s >lim 0sx n x e x −→+∞=，所以，100011n sx n sx sx n n n n I x de x e e dx I s s +∞+∞+∞−−−s −⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫∫ 由此得到，12011!n n n n n n n n n n I I I I s s s s s−−!+−==⋅===(4) 设函数f ( t )有二阶连续的导数，r =1(,)(g x y f r=，求2222.g g x y ∂∂+∂∂ 解因为,r x r yx r y r∂∂==∂∂，所以 31()g x f x r r ∂′=−∂，2222265121(().g x x y f f x r r r r ∂−′′′=+∂ 利用对称性，2222431111()()g g f f x y r r r r∂∂′′′+=+∂∂(5) 求直线10:0x y l z −=⎧⎨=⎩与直线221:42x y z l 31−−−==−−的距离.解直线的对称式方程为1l 1:110x y zl ==. 记两直线的方向向量分别为，，两直线上的定点分别为和，.1(10)l = a P ==,1,12P 2(4,2,1)l =−−(2,1,3)1(0,0,0)P 2(2,1,3)P 12(1,1,6)l l ×=−−.由向量的性质可知，两直线的距离1212()a l l d l l ⋅×====×二（本题共15分）、设函数在)(x f )(+∞−∞,上具有二阶导数，并且()0,f x ′′>lim ()0x f x α→+∞′=>，lim x ()f x 0β→−∞′=<，且存在一点，使得.0x 0)(0<x f 证明：方程0)(=x f 在恰有两个实根.)(+∞−∞,证1. 由lim ()0x f x α→−∞′=>必有一个充分大的，使得0x a >()0f a ′>.()0f x ′′>知是凹函数，从而()y f x =()()()()()f x f a f a x a x a ′>+−>当x →+∞时，()()()f f a x a ′+∞+−→+∞. 故存在，使得a b > ……………… （6分）()()()()0f b f a f a b a ′>+−>同样，由lim ()0x f x β→−∞′=<，必有0c x <，使得()0f c ′<.()0f x ′′>知是凹函数，从而()y f x =()()()()()f x f c f c x c x c ′>+−<当x →−∞时，()()()f f c x c ′−∞+−→+∞. 故存在d ，使得c < …………………… （10分）()()()()0f d f c f c d c ′>+−>在0[,]x b 和利用零点定理，0[,]d x 10(,)x x b ∃∈，2(,)0x d x ∈使得 ……………………… （12分） 1()2)0==(f x f x 下面证明方程在0)(=x f )(+∞−∞,只有两个实根.用反证法. 假设方程0)(=x f 在)(+∞−∞,]232x ,x 内有三个实根，不妨设为，且. 对在区间[和[]上分别应用洛尔定理，则各至少存在一点（321x ,x ,x 321x x x <<1ξ)(x f 1x ξ<1,x 2x 1x <）和（2ξ322x ξx <<），使得=)(1ξf'(ξη00=)2ξ<)(2ξf'1η<. 再将在区间[上使用洛尔定理，则至少存在一点，使. 此与条件矛盾. 从而方程)(x 0)(=ηf'f"]2ξ′′1,ξ()0f x >)(=x f 在)+∞,(−∞不能多于两个根. ……………………（15分）证2. 先证方程至少有两个实根.0)(=x f 由lim ()0x f x α→+∞′=>，必有一个充分大的，使得0x a >()0f a ′>.因在)(x f )(+∞−∞,上具有二阶导数，故()f x ′及()f x ′′在)(+∞−∞,均连续. 由拉格朗日中值定理，对于a x > 有()[()()()]f x f a f a x a ′−+−=()()()()]f x f a f a x a ′−−−=()()()()f x a f a x a ξ′′−−−=[()()]()f f a x a ξ′′−− =()()()f a x a ηξ′′−−.其中x ηa ,x ξa <<<<. 注意到()0f η′′>（因为()0f x ′′>），则()()()()()f x f a f a x a x a ′>+−>又因故存在，使得()0,f a ′>a b > ()()()()0f b f a f a b a ′>+−> …………………（6分）又已知，由连续函数的中间值定理，至少存在一点使得0)(0<x f )(101b x x x <<0)(1=x f . 即方程在0)(=x f )(0+∞,x 上至少有一个根 ………………（7分）1x 同理可证方程在0)x (=f )(0x ,−∞上至少有一个根2x . ………………（12分）下面证明方程在0)(=x f )(+∞−∞,只有两个实根.（以下同证1）.……（15分）三（本题共15分）、设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(t >−1)所确定. 且2234(1)d y dx t =+，其中()t ψ具有二阶导数，曲线)(t y ψ=与21t ∫2u y e d −=+32u e在处相切. 求函数1=t (t )ψ.解因为()22dy t dx t ψ′=+，()22231(22)()2()(1)()()224(1)22d y t t t t t t dx t t t ψψψψ′′′′′′+−+−=⋅=+++， ………………（3分）由题设2234(1)d y dx t =+，故3(1)()()34(1)4(1)t t t t t ψψ′′′+−=++，从而，即 2(1)()()3(1)t t t t ψψ′′′+−=+1()()3(1).1t t tt ψψ′′′−=++ 设()u t ψ′=，则有13(1)1u u t′−=++t ， 11111113(1)(1)3(1)(1)(1)(3).dt dt t t u e t e dt C t t t dt C t t C −−++⎡⎤∫∫⎡⎤=++=++++=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫1+ …………（9分）由曲线)(t y ψ=与22132t u y edu e−=+∫在1=t 处相切知3(1)2e ψ=，2(1)eψ′=. ………………（11分）所以12(1)t ue ψ=′==，知311−=eC . ∫∫++++=+++=++=21213112123))3(3()3)(1()(C t C t C t dt C t C t dt C t t t ψ，由e23)1(=ψ，知，于是22=C 3211()(3)2(1)2t t t t t e e ψ=++−+>−.…（15分）四（本题共15分）、设10,nn n k a S =>=k a ∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤，且（n ）时，级数n S →∞→∞1nn na S α+∞=∑发散. 证明令11(),[,]n n f x x x S S α−−=∈. 将()f x 在区间上用拉格朗日中值定理，1[,n n S S −])存在1(,n n S S ξ−∈11()()()()n n n n f S f S f S S ξ−−′−=−即 ………………（5分） 111(1)n n S S ααααξ−−−−−=−n a （1）当1α>时，11111(1)(1)nnn na a S S S n αααααξ−−−−=−≥−α. 显然11111n n S S αα−−−⎧⎫−⎨⎬⎩⎭的前n 项和有界，从而收敛，所以级数1nn na S α+∞=∑收敛. ……………（8分）（2）当1α=时，因为，单调递增，所以0n a >n S 1111n pn pn p nk nk k n k n kn p n pn S S a S a S S S S +++=+=+p+++−≥==−∑∑因为对任意n ，当n S →+∞p ∈12n n p S S +<，从而112n pk k n ka S +=+≥∑. 所以级数1nnn a S α+∞=∑发散. ………………（12分）当1α<时，n n n a a S S α≥n. 由1n n n a S +∞=∑发散及比较判别法，1n n na S α+∞=∑发散.………（15分）五（本题共15分）、设l 是过原点，方向为(,（其中）的直线，均匀椭球,)αβγ2221αβγ++=2222221x y z a b c ++≤（其中0 < c < b < a ，密度为1）绕l 旋转.(1) 求其转动惯量；(2) 求其转动惯量关于方向(,的最大值和最小值. ,)αβγ解 (1) 设旋转轴l 的方向向量为，椭球内任意一点P(x,y,z )的径向量为，则点P 到旋转轴l 的距离的平方为(,,)αβγ=l r ()222222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz xz αβγαββγα=−⋅=−+−+−−−−r r l γ 由积分区域的对称性可知(222)0xy yz xz dxdydz αββγαγΩ++=∫∫∫，其中222222(,,)1x y z x y z a b c ⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=++≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭………………（2分）而22222223222214115aay z x b c a a ax a bc x dxdydz x dx dydz x bc dx a ππ+≤−Ω−−⎛⎞⎟⎜⎟==⋅−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫∫ （或2132222220004sin cos sin 15a bc x dxdydz d d a r abcr dr πππθϕϕθϕΩ=⋅=∫∫∫∫∫∫） 32415ab c y dxdydz πΩ=∫∫∫，32415abc z dxdydz πΩ=∫∫∫……………（5分）由转到惯量的定义()222224(1)(1)(1)15l abc J d dxdydz a b c παβγΩ==−+−+−∫∫∫22c ……………（6分）(2) 考虑目标函数在约束下的条件极值. 222222(,,)(1)(1)(1)V a b αβγαβγ=−+−+−2221αβγ++=设拉格朗日函数为222222222(,,,)(1)(1)(1)(1)L a b c αβγλαβγλαβγ=−+−+−+++−…………………（8分）令，，，22()0L a ααλ=−=22()0L b ββλ=−=22()0L c γγλ=−=22210L λαβγ=++−=解得极值点为，， .……（12分） 21(1,0,0,)Q a ±22(0,1,0,)Q b ±23(0,0,1,)Q ±c 比较可知，绕z 轴（短轴）的转动惯量最大，为()22max 415abc J a π=+b ；绕x 轴（长轴）的转动惯量最小，为(22min 415abc J b π=)c +. ………（15分）六（本题共15分）、设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422(C)xydx x dyx yϕ++∫v1的值为常数. (1) 设为正向闭曲线. 证明: L 22(2)x y −+=422()0Lxydx x dyx y ϕ+=+∫v ；(2) 求函数()x ϕ；(3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422(C)xydx x dyx y ϕ++∫v.解 (1) 设422()Lxydx x dyI x yϕ+=+∫v，闭曲线L 由,1,i L i 2=组成. 设0L 为不经过原点的光滑曲线，使得01L L −∪（其中1L −为1L 的反向曲线）和02L L ∪分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线,C i 1,2i =. 由曲线积分的性质和题设条件12214242422()2()2(LL L L L L L)xydx x dy xydx x dy xydx x dyx y x y x y ϕϕ−++=+=+−−++∫∫∫∫∫∫∫v ϕ++12422()0C C xydx x dyI I x y ϕ+=+=−=+∫∫v v……………（5分） (2) 设4242((,),(,)2)xy x P x y Q x y x y x ϕ==++y .令Q P x y ∂∂=∂∂，即 4235422422()()4()22()(2)x x y x x x xy x y x y ϕϕ′+−−=++，解得2()x x ϕ=− ……………………（10分）(3) 设D 为正向闭曲线所围区域，由(1)42:a C x y +=1242422()2aCCxydx x dy xydx x dyx y x y ϕ+−=++∫∫v v…………………（12分）利用Green 公式和对称性，2422()24aaC C Dxydx x dyxydx x dy x dxdy x y （ϕ+=−=−=+∫∫∫∫v v )0…………………（15分）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共4小题，每题6分，共24分）计算题1. 220(1)(1ln(1))lim .xx x e x x →+--+解：因为 22(1)(1ln(1))xx e x x+--+=2ln(1)2(1ln(1)),x xe e x x+--+220ln(1)lim ,x e x e x →+= ………………………………………………3分 22ln(1)ln(1)222001lim lim x x xxx x e e e e x x ++-→→--==202ln(1)2lim x x x e x→+- =22220011ln(1)12lim 2lim ,2x x x x x e e e x x→→-+-+==- ………………5分所以220(1)(1ln(1))lim xx x e x x→+--+=0. ………………………………6分 2. 设2cos cos cos ,222n n a θθθ=⋅⋅⋅ 求lim .n n a →∞解：若0,θ=则lim 1.n n a →∞= ……………………1分若0θ≠，则当n 充分大，使得2||nk >时，2cos cos cos 222n n a θθθ=⋅⋅⋅ =21cos cos cos sin 2222sin 2n n nθθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅=21111cos cos cos sin 22222sin 2n n n θθθθθ--⋅⋅⋅⋅⋅ . ………………………4分=222211cos cos cos sin 22222sin 2n n nθθθθθ--⋅⋅⋅⋅⋅ =sin 2sin 2n n θθ这时, lim n n a →∞=lim n →∞sin sin 2sin 2nnθθθθ=. ………………………6分3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{(,)|02,02}D x y x y =≤≤≤≤解：设 11{(,)|0,02}2D x y x y =≤≤≤≤ 211{(,)|2,0}2D x y x y x =≤≤≤≤311{(,)|2,2}2D x y x y x =≤≤≤≤. ……………………………2分12212112ln 2D D dxdxdy x ⋃=+=+⎰⎰⎰，332ln 2D dxdy =-⎰⎰. ………………………4分 323sgn(1)24ln 2DD D D xy dxdy dxdy dxdy ⋃-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. ………………………6分4. 求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的和函数，并求级数211212n n n ∞-=-∑的和. 解：令22121()2n nn n S x x ∞-=-=∑，则其的定义区间为(.(x ∀∈， 12122221110021()22222n xxn n n n n n n n x x x xS t dt t dt x --∞∞∞-===⎛⎫-====⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰. …………………2分于是，22222()2(2)x x S x x x '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，(x ∈. (4)分 222111212110229n n n n n n n S -∞∞-==--===∑∑. ………………………………6分二、（本题2两问，每问8分，共16分）设0{}n n a ∞=为数列，,a λ为有限数，求证： 1. 如果lim n n a a →∞=，则12limnn a a a a n→∞+++= ;2. 如果存在正整数p ，使得lim()n p n n a a λ+→∞-=，则 limn n a n pλ→∞=.证明：1. 由lim n n a a →∞=，0M ∃>使得||n a M ≤，且10,N ε∀>∃∈ ，当n > N 1 时，||2n a a ε-<. ……………………………………4分因为21N N ∃>，当n > N 2 时，1(||)2N M a n ε+<.于是，111(||)()22n a a N M a n N a n n n εεε+++--≤+< ,所以， 12limnn a a a a n→∞+++= . …………………………………………8分2.对于0,1,,1i p =- ，令()(1)i n n p i np i A a a +++=-，易知(){}i n A 为{}n p n a a +-的子列.由lim()n p n n a a λ+→∞-=，知()lim i nn A λ→∞=，从而()()()12lim i i i nn A A A nλ→∞+++= .而()()()12(1)i i i n n p i p i A A A a a ++++++=- .所以，(1)limn p i p in a a nλ+++→∞-=.由lim0p i n a n+→∞=.知(1)limn p in a nλ++→∞=. ………………………………………12分从而(1)(1)limlim (1)(1)n p in p i n n a a nn p i n p i n pλ++++→∞→∞=⋅=++++ ,,,m n p i ∀∈∃∈ ，(01)i p ≤≤-，使得m np i =+，且当m →∞时，n →∞.所以，lim m m a m pλ→∞=. …………………………………………………………16分三、（15分）设函数()f x 在闭区间-[1,1]上具有连续的三阶导数，且10f -=()，11f =()，00f '=().求证：在开区间()-1,1内至少存在一点0x ，使得03f x '''=() 证. 由马克劳林公式，得 311(0)23f x f f x f x η'''''=++2()(0)()!!，η介于0与x 之间，[]1,1x ∈-…3分在上式中分别取1x =和1x =-, 得111111(0),0123f f f f ηη'''''==++<<()(0)()!!. ………………………5分 221101(0)(0),1023f f f f ηη'''''=-=+--<<()()!!. ………………………7分两式相减，得 12()6f f ηη''''''+=(). ………………………10分由于()f x ''在闭区间[1,1]-上连续，因此()f x '''在闭区间[21,ηη]上有最大值M 最小值m ，从而121()())2m f f M ηη''''''≤+≤( …………………………………13分再由连续函数的介值定理，至少存在一点0x ,ηη∈⊂-21[](1,1)，使得0121()32f x f f ηη'''''''''=+=()(()). ………………………15分四、（15分）在平面上, 有一条从点)0,(a 向右的射线,线密度为ρ. 在点),0(h 处（其中h > 0）有一质量为m 的质点. 求射线对该质点的引力.解：在x 轴的x 处取一小段dx , 其质量是dx ρ，到质点的距离为22x h +, 这一小段与质点的引力是22Gm dxdF h xρ=+（其中G 为引力常数）. …………………5分这个引力在水平方向的分量为2232()x Gm xdxdF h x ρ=+. 从而 222/1222/32222/322)()()(2)(a h Gm x h Gm x h x d Gm x h xdx Gm F aa ax +=+-=+=+=⎰⎰+∞∞+-+∞ρρρρ……10分而dF 在竖直方向的分量为2232()y Gm hdxdF h x ρ=+, 故 ⎪⎭⎫⎝⎛-===+=⎰⎰⎰+∞h a h Gm tdt h Gm t h dt h Gm x h hdxGm F hahaay arctan sin 1cos sec sec )(2/arctan2/arctan33222/322ρρρρππ 所求引力向量为(,)x y F F =F . …………………………15分五、（15分）设z = z (x,y ) 是由方程11(,)0F z z x y+-=确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数.求证：220z z xy x y ∂∂+=∂∂ 和 2223322()0z z z x xy x y y x x y y ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 解：对方程两边求导，1221()0z z F F x x x ∂∂-+=∂∂，1221()0z z F F y y y∂∂++=∂∂. ……5分由此解得，22121211,()()z z x y x F F y F F ∂∂-==∂∂++ 所以，220z z xy x y∂∂+=∂∂ …………………………10分将上式再求导，222222z z z xy x y x x x ∂∂∂+=-∂∂∂∂，222222z z z x y y x y y y ∂∂∂+=-∂∂∂∂ 相加得到，2223322()0z z z x xy x y y x x y y∂∂∂+++=∂∂∂∂ …………………………15分六、（15分）设函数)(x f 连续，c b a ,,为常数，∑是单位球面 1222=++z y x . 记第一型曲面积分⎰⎰∑++=dS cz by ax f I )(. 求证：⎰-++=11222)(2du u c b a f I π解：由∑的面积为π4可见：当 c b a ,,都为零时，等式成立. …………………2分当它们不全为零时, 可知：原点到平面 0=+++d cz by ax 的距离是222||cb a d ++. …………………………5分设平面222:cb a cz by ax u P u ++++=，其中u 固定. 则 ||u 是原点到平面u P 的距离，从而11≤≤-u . …………………………8分两平面 u P 和du u P +截单位球 ∑ 的截下的部分上, 被积函数取值为()u c b af222++. …………………………10分这部分摊开可以看成一个细长条. 这个细长条的长是212u -π，宽是21udu -，它的面积是du π2，故我们得证. …………………………15分第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类）参考答案及评分标准一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.(1) 求极限21lim(!)n n n →∞；(2) 求通过直线232:55430x y z L x y z 0+−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点；(4,3,1)−(3) 已知函数，且(,)ax byz u x y e+=20,ux y∂=∂∂ 确定常数a 和，使函数满足方程 b (,)z z x y =20z z zz x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂； (4) 设函数连续可微, , 且()u u x =(2)1u =3(2)()Lx y udx x u udy +++∫在右半平面上与路径无关，求； ()u x(5) 求极限 1limx xx +.解（1）因为 2211ln(!)(!)n nn n e= ……………………………………（1分）而211ln1ln 2ln ln(!)12n n n n ⎛⎞≤+++⎜n ⎝⎠"⎟，且 ln lim 0n nn →∞= ………………………（3分）所以 1ln1ln 2ln lim012n n n n →∞⎛⎞+++=⎜⎟⎝⎠"，即 21lim ln(!)0n n n →∞=，故 21lim(!)n n n →∞=1 ……………………………………（2分）（2）过直线L 的平面束为(232)(5543)x y z x y z 0λμ+−+++−+=即 (25)(5)(34)(23)x y z 0λμλμλμλμ+++−+++= ，…………………………（2分）若平面1π过点(4，代入得,3,1)−0λμ+=，即μλ=−，从而1π的方程为， ……………………………………（2分） 3410x y z +−+=若平面束中的平面2π与1π垂直，则3(25)4(5)1(34)0λμλμλμ⋅++⋅++⋅+=解得3λμ=−，从而平面2π的方程为253x y z 0−−+= ，………………………………（2分）（3）(),y ax by z u e au x x x +∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂⎣⎦(),ax by zu e bu x y y y +⎡⎤∂∂=++ ………………（2分） ⎢⎥∂∂⎣⎦2(,).ax by z u ue b a abu x y x y x y +⎡⎤∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ ……………………………………（2分） 2z z z z x y x y ∂∂∂−−+=∂∂∂∂(1)(1)(1)(,)ax by u ue b a ab a b u x y x y +,⎡⎤∂∂−+−+−−+⎢⎥∂∂⎣⎦若使20,z z zz x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂ 只有 (1)(1)(1)(,u ub a ab a b u x y x y∂∂−+−+−−+∂∂)=0，即 1a b ==. ………………（2分）（4）由()()u y x y u x u x )2(][3+∂∂=+∂∂得()u u u x =+'43, 即241u x u du dx =−…… .（2分）方程通解为 ()()()Cu u C udu u C du eu ex uu+=+=+=∫∫−2ln 2ln 244 . …………………（3分）由得1)2(=u 0=C , 故 3/12⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x u . ……………………………………（1分）（5）因为当x >1时，1x x+≤ ………………………………（3分）≤=0()x →→∞， …………………（2分）所以 1x xx +=0。

第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。

）（1）解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：11cos 0002sin sin ln 1sin lim exp lim exp lim 11cos 2xx x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥==⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20003221sin cos 12limlimlim 11333222x x x x x x x x x x eee e→→→----====（2）.解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 12n n +++-由欧拉公式得（），11111ln 2=C+o 1212n n n n++++++-+则（），其中，()1o表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴= 方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()()222222412121224ttt tt tte e d y d dy e e dx dx dt dx e e edt+--+⎛⎫∴=∙==⎪⎝⎭二．（本题10分）解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0P d x Q d y +=1,P Qy x∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+方法一：由24zP x y x∂==+-∂得 ()()2244z x y dx x xy x C y =+-=+-+⎰由()'1zx C y Q x y y∂=+==+-∂得()()'211,2C y y C y y y c =-∴=-+22142z x xy x y y c ∴=+-+-+方法二：()()()(),0,024x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy==+=+-++-⎰⎰⎰,P Qy x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 ()()2200124142xyz x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰三．（本题15分）证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①由洛比达法则得()()()()()()()1232'''1230230lim2233lim 02h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得()()()()()()()()()'''1230"""1230""1232233lim24293lim02490000h h k f h k f h k f h hk f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则Ax b =，增广矩阵*11111031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()(),3R A b R A ==所以，方程Axb =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，且1233,3,1k k k ==-=。

第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)

于L1和L2。
......(4分)

设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.

|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3

2021年历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，适当看某些辅导书及有关题目，核心是某些各大高校试题。

）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 和两坐标轴所围成三角形区域.解：令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是持续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ____________.解：令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是__________. 解：因平面022=-+z y x 法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 和)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是0122=--+z y x 。

2023年全国数学竞赛题(附答案及解析)

2023年全国数学竞赛题(附答案及解析)
一、选择题
1. 题目内容
- 选项A: 正确答案A
- 选项B: 正确答案B
- 选项C: 正确答案C
- 选项D: 正确答案D
2. 题目内容
- 选项A: 正确答案A
- 选项B: 正确答案B
- 选项C: 正确答案C
- 选项D: 正确答案D
...
二、填空题
1. 题目内容：________ - 答案：正确答案1
2. 题目内容：________ - 答案：正确答案2
...
三、解答题
1. 题目内容：________ - 解析：题目解析1
2. 题目内容：________ - 解析：题目解析2
...
四、附加题
1. 题目内容：________
- 答案：正确答案1
- 解析：题目解析1
2. 题目内容：________
- 答案：正确答案2
- 解析：题目解析2
...
以上为2023年全国数学竞赛题目及其答案和解析的文档。

请注意根据实际的题目内容填充文档中的题目，答案和解析的具体信息。

在填空题中，将正确答案的位置用"________"表示，然后在答案部分填入实际答案。

在解答题和附加题中，将题目内容和解析部分的"________"替换为实际的题目内容和解析。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。