常微分方程相关译文

说明：译文标题用宋体四号，内容宋体小四。

一种求解大型非线性方程的新型常微分方程数值积分方法 摘要
本文提出了一种新的常微分程数值解分方法，此方法成功地应用于求解非线性方程。

该方法具有相同的简单的固定点迭代，但效率有了明显提高，因此它特别适用于大系统。

例如Brown 的方程，一个现有的文章报道，当该方程n=40的时候，他们使用的子程序也无法给出一个解决方案，相比与我们的方法，我们可以很容易地解决这个方程，甚至当n=100时。

另外两个大型方程，她们的n 值高达一千，所有现有的方法处理它们都是很困难的，但是我们本文提出的方法可以毫无困难的处理这些方程。

本文还提出了奇点和初始值的选择问题
关键词：非线性方程，常微分方程，数值积分，固定点迭代法
1. 引言
求解非线性方程()0F x =的经典方法主要有以下两种类型：
①固定点迭代：
1()n n X G X += （1）
这里()()G x F x X =+
②牛顿迭代法：
11()()n n n n X X J X F X -+=- （2）
这里()J x 是()F x 的雅克比矩阵。

正如本书第17也所描述的，非线性系统()0F x =的解决方案可以被解释为稳定状态或者动态系统()X F X =的平衡点。

事实上，这些迭代都相当于常微分方程数值解分领域中的显示欧拉法。

例如微分方程：
()X F X = （3）
欧拉方法为：
1()n n n X X hF X +=+ （4）
是固定点迭代的一个普遍表达。

如果我们取n=1,我们便可得到（1）式。

对于牛顿迭代，例如微分方程：
1()()X J X F X -=- （5）
使用显示欧拉法：
11()()n n X X hJ X F X -+=- （6）
如果我们取h=1,便可得到（2）式。

这些关系都可以在768页第二节或者第三节的7.5小节找到。

在第4节中我们制定了一套数值积分方法。

它们有1至5阶精度。

其中最简单的是一个第一节PEC 方案。

该方案具有很大的稳定区域，所以我们可以把它当成得到微分方程以及得到快速收敛速度以便解决()0F X =的工具。

为完整起见，我们将在下一节再次得出算法。

2. 算法
考虑这个问题：
0()(0)X F X X X =⎧⎨=⎩
（7） 使用隐式欧拉法：
11()n n n X X hF X ++=+ （8）
引入变量
11()n n Z hF X ++= （9）
我们有
11n n n Z X X ++=- （10）
（9）式两边都乘以ε（ε>0）,我们可得到
)(11++=n n X hF Z εε （11）
方程（11）可改写如下：
)(/11++=n n X F Z h εε）（ （12）
方程（12）加上方程（10），我们可得到
n n n n X X X F h -+=++++111)(Z /1εε）（ （13）
令
)/(εω+=h h （14）
方程（13）可以改写为：
))((111n n n n X X X F Z -+=+++εω （15）
从（8）和（9），我们有：
11n n n X X Z ++=+ （16）
结合（15）和（16），我们得到一个新的隐式积分方法，这完全等同于（8）。

我们利用简单的迭代方法求解隐式系统（15）和（16），并选择迭代初始值为01n n n X X Z +=+。

只有一个迭代适用于隐式系统（15）和（16）
，然后我们得到一个显式积分格式如下所示：
偶看
（17）式在本文中被命名为EPS 方法。

为了调查EPS 方法（17）的稳定性，我们定义如下模型方程： 偶
在此公式中偶看为复数。

然后我们有：
偶看
或矩阵形式
偶看
特征方程（20）是由以下方程给出
偶看
令
偶看
从（21），我们可得到
偶看
给偶看一个特殊值，让偶看不同且保持偶看，然后我们可得到一个封闭的曲线，这就是偶看平面绝对稳定区域的边界。

设偶看，然后将（23）改写如下：
偶看
偶看
绝对稳定区域的边界曲线当从0到2 变化时可获得。

如果是一个小数目，稳定区域将接近真实轴且蔓延到左半平面。

例如，当 =0.01时，如图1所示，左端点的稳定性区域可达-134，因此一体化步伐可以大大增加。

图1 当=0.01时，EPS方法的绝对稳定性区域
图2 当 =0.1时，EPS 方法的绝对稳定性区域
图3 当 =10时，EPS 方法的绝对稳定性区域
在模型（18）中，如果 非常接近与虚轴，也就是说，， 应该取一个更大的值。

当 =100时，稳定区域如图四所示。

我们可以发现，该区域包括一段虚轴。

此属性对显示方法来说是不平常的。

当 =1，也就是说，，然后EPS 方法的稳定性区域与显示欧拉方法是一样的。

它是由一个圆心为（-1，0），半径为1的圆所封闭的。

事实上，在（24）和（25）中，取 =1，然后 =0.5，我们可得到：
看
看
3. 算法的实现
在本文中，我们只讨论如何使用EPS 方法来求解微分方程()X F X =。

通常情况下常微分方程积分方法需要满足条件 。

也就是说雅克比的特征值分布在复平面的左半部分。

对我们而言，求解()0F X =和求解()0F X -=是等价的。

在其他领域中，“半平面条件”总是被说成是“正定”，也就是说，特征值是在右平面。

这个事实提醒我们要处理的微分方程是()X F X =-。

EPS 方法还可以应用于微分方程：
1()()X J X F X -=- （28）
在这种情况下，在（28）式中如果用()F X -代替()F X ，不会改变（28）式
的形式。

所以()F X 前面的标志根本没有意义。

顺便说一下，如果选择 ，根据我们所做的数值试验，EPS 的数值结果与牛顿法的数值结果几乎是相同的（本文将不给出细节了）。

尽管EPS 是一种Jacobian-Free 方法，如果不难求出雅克比行列式()J X 的对角矩阵()D X ，我们可以整合微分方程如下：
1()()()X D X F X G X -=-=-
我们可以得到更好的结果，尤其是当()J X 是一个对角占优矩阵。

然而，需要考虑一个策略来避免溢出当矩阵()D X 的一些元素非常小时。

目前，我们还没有开发出一种自适应程序，该程序可以自动选择参数ε和步长h 的大小，但是我们给出了一个战略大致如下。

对非刚性的系统，我们在[0.5，1.0]中选择参数ε，h 由||()||F X 的大小来决定。

对于刚性系统，我们需要估计雅克比矩阵()J X 的谱半径，例如偶看是满足条件的。

事实上，如果偶是一个正实数，例如，偶，当，我们可以证明方案（19）对所有的h （0h <<∞）是稳定的。

小值ε可以加强稳定但会降低效率。

对一些简单的问题，我们在整个计算过程中可以采取固定步长的方法。

通常我们把计算过程分为三个阶段，在每个阶段，将采取不同的步骤大小。

为此，我们设置了三个参数1TOL ，2TOL ，3TOL 。

首先我们选择步长1h 开始计算直到满足条件1||||F TOL <，第一阶段完成。

以当前值X 为初始值，以步长2h 开始第二阶段的计算直到2||||F TOL <。

按同样的方法做知道3||||F TOL <，然后我们结束计算。

在本文中，||.||指的是欧氏范数。

算法的轮廓
第一步，给出一个初始值0X ，设 ，计算
第二步，如果需要计算出()F X 和()D X
第三步，计算1()()()G X D X F X -=或者()()G X F X =。

如果矩阵()D X 的一
个元素()i d X 少于1，这个区域就忽略。

而且我们有()()i i g X f X = 第四步，计算00()Z hG X =
第五步，:X X Z =+
第六步，用第二步和第三步的方法计算()F X ，()D X 和()G X 。

第七步，如果()F X TOL <，就停止计算，否则如下操作
:X X Z =-
啊啊
:X X Z =+
再回到第五步。