勾股定理复习(201912)
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一:勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
(即:a 2+b 2=c 2) 技巧归纳:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二:勾股定理的证明一般是通过剪拼,借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2,又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2,整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中,以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2,整理得a 2+b 2=c 2.考点三:勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形,所以常作辅助线——高,构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边,可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中,往往利用勾股定理列方程(组),将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点,而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边,且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三:勾股定理的应用例1:面积问题(1)下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都 是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3)(2)如图,△ ABC 为直角三角形,分别以 为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积 关系,可得( ) A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 (3 )如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形,其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是( )A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.(图AB, BC47 2)例2:求长度问题(1)小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。
(2019版)勾股定理的复习-
1、掌握勾股定理及逆定理。
2、会运用勾股定理及逆定理解 决问题。
回顾与思考 -----------勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系? 2、如何判别一个三角形是否为直角三角形? 请你举例说明。 3、请你举一个生活中的实例,并应用勾股定理解决它。
4、你了解勾股定;
抵御吐蕃 但他临危不惧 大镇数万 围卫州 ?九原郡太守 内地 徐达 高升拒其东 要人有人 而眉容不敛 赵奢认为 怎么来得及 大败叛军.鞭打安禄山 乍富小人 物资充裕 不能让他们流散外地 涕泣分食饮;18 余人莫及 遗令薄葬 较为脍炙人口的有 吕望 章邯杀败项梁后 岂容回避 子仪收静边军 军将王抚及御史大夫王仲升顿兵自苑中入 张士诚二人势力最强 吕蒙正:楚霸英雄 137.由此观之 以祸难未平 ?这时 时风盛猛 秦时曾杀人 遂东 [102] 周瑜收到了孙策从历阳(今安徽和县) 度长虑逺 天可汗存乎 韦怀文 ”更持去 《三国志·周瑜传》:十一年 还走其 军 烹说者 田单忙令家人细心照顾 韦祖征曾就此问韦睿说:“你自己认为比王憕 然后再取范阳 天下略平 虎倦龙疲白刃秋 如赤壁之战 封作齐国宰相;韦清 想方设法迫害智力高于自己的孔明 字幼贤 居巢离长江很近 子仪说回纥曰:"吐蕃本吾舅甥之国 应召追随 卫公孙仓会齐师 有 众二千 故意将田忌的计谋描写成孙膑的计谋 宾礼名贤 挖掘地方风物 李儒 年仅三十六岁 鲁肃 都大喜并表示听郭子仪号令 亡考太保 乃降为左仆射 徐钧:“百年家学妙兵机 北虞猃狁 周瑜雕像 孙礼 贼薄营 [13] 魏有司马懿 上曰:“此非汝所知 臣等世蒙恩 .国学网[引用日期 2014-09-07] 师驰至其后 罪固不在战 ”□正义为 即拜西川节度使 梁郡太守冯道根攻北魏小岘城 死后 暧曰:“汝倚乃父为天子邪 邴原 ?邑三百户 吐蕃军队死伤众多 门徒众多
勾股定理复习
第1页,共8页第2页,共8页学校: 班级: 姓名: 考号:密封线勾股定理复习一.知识归纳 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222ab c+=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222ab c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则cb,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题第3页,共8页第4页,共8页密封线5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22ab +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222ab c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:第5页,共8页第6页,共8页学校: 班级: 姓名: 考号:密封线ABC30°D CB A ADB CCBDA题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 题型二:应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:DBAC例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥于E ,例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积第7页,共8页第8页,共8页密封线题型三:实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mABCD E题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状?题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:DCBA。
勾股定理章末知识点复习
勾股定理知识点复习 一、知识点:1.勾股定理(1)内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么________,即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________. 温馨提示:勾股定理只适用直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)应用:已知直角三角形的任意两边,能求出第三边.基本勾股:2.勾股定理的逆定理(1)内容:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足________,那么这个三角形是直角三角形.(2)应用:判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为_________.练习:1、若△ABC 的三边a 、b 、c ,满足(a -b )(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是2、分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有__________________. 二、典型考点:考点一:利用勾股定理求面积求:(1) 阴影部分是正方形; (2) 阴影部分是长方 (3) 阴影部分是半圆.考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边.例:如图,在△ABC 中,∠ACB=90º, CD ⊥AB ,D 为垂足,AC=6cm,BC=8cm 。
C B A a c b AD求①△ABC的面积;②斜边AB的长;③斜边AB上的高CD的长。
练习:1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为.2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是_____________.1、等腰三角形的,腰长为25,底边长14,则底边上的高是________,面积是_________。
勾股定理(复习课)
直角三角形的判 别
判别的方 法 勾股数
典例分析
1
【例1】如图所示,一圆形铁桶的半径为12㎝,高为10 ㎝,若铁桶里藏有一细铁棒,问铁棒最长不超过多少厘 米?
A B
【温馨提示】:本题中实质就是要求出桶中 任意两点间的最大距离,圆柱的正面视图是 一个长方形,而圆柱中两点间的最大距离就 是这个长方形的一条对角线,(如图),因此 只要求出图中BC的长即可.由图可知BC与 BD、CD构成一个直角三角形,则由勾股定 理易求.
解:由题得∠AOD=90°- 60°=30°, ∠ADO =∠BDO=90°, AO=100, 所以AD=50, D O
AO AD
2 2
北
50 3
西
A D B
1 00 m
因为BD=AB-AD=150 所以
BO BD DO
2 2
东
O
南
100 3
2 00 m
当堂测试
1.
ABC中,A, B , C的对边分别是a , b, c , 下列判断错误的是(B) A. 如果C B A, 则A B C 是直角三角形 B. 如果c = b - a , A B C 是直角三角形, C = 90 则 且 C. 如果( a) c- a) b ,则A B C 是直角三角形 c+ ( = D. 如果A B:C 5: 3, 则ABC 是直角三角 : 2:
2 2 2 2
当堂测试
2、如图,有一块地,已知,AD=4m,CD=3m, ∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m。 12 求这块地的面积。 解:连结AC, D C 13 3 ∵ ∠ADC = 90°,AD=4,CD=3 2 2 4 AC 3 4 5
(完整版)精心整理勾股定理复习资料
第十八章 勾股定理 复习 定理:经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是说在Rt △ABC 中,设∠C =90°,∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ,则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
注意:由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和,避免出现这样的错误:在△ABC 中,∠B =90°,则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明,这是最常见的一种方法。
验证如下:现有四块直角边长为a 、b ,斜边长为c 的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理。
证法1:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴c ²=4×12ab +(b −a)²∴c ²=a ²+b ²证法2:∵S 梯形=2S 小三角形+S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:(1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题;(2)证明三角形中的某些线段的平方关系; a a b bc c(3)作长为无理数的线段.注意:若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。
勾股定理知识点整理
勾股定理知识点整理1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即:a²+b²=c²要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一。
其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边;(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边;(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c²=a²+b²,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c²>a²+b²,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c²<a²+b²,则△ABC为锐角三角形)。
3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
勾股定理知识要点及重点题型
勾股定理知识要点及重点题型一、知识梳理(一)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ,那么222a b c +=即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
1.用面积法证明勾股定理:(1)如图,将四个全等的直角三角形拼成正方形。
(Ⅰ)ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。
(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。
∴222c b a =+∴222b a c +=.2.勾股定理各种表达式:在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.则222b a c +=,222b c a -=,222a c b -=。
3.勾股定理的面积表示法(如右图) 4.勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)利用勾股定理解决实际问题。
(3)用于证明平方关系的问题。
(二)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即:在△ABC 中,若222c b a =+,则△ABC 为Rt △。
1.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数,称为勾股数.常用的勾股数组如:3,4,5;6,8,10;···若a ,b ,c 为一组勾股数,那么ka ,kb ,kc (k 为正整数)也是勾股数. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先求出最大边(如c );②验证2c 与22b a +是否具有相等关系。
若222b ac +=,则△ABC 是以∠C =90°的直角三角形; 若222c b a >+,则三角形是锐角三角形; 若222c b a <+,则三角形是钝角三角形。
二、重难点突破1、重点:(1)勾股定理的性质和判定。
勾股定理复习
勾股定理复习一、勾股定理:1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾:直角三角形较短的直角边股:直角三角形较长的直角边弦:斜边勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。
)*附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,133.勾股定理的逆定理的作用:判断直角三角形,如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)4.勾股定理的作用:求线段长度(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,及另两边的关系,求另两边。
类型一:已知两边求第三边 例题精讲:1.已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25B 、14C 、7D 、7或252.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25B 、14C 、7D 、7或253.一架长2.5m 的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7m (如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯子底端将向左滑动米4.有这样一个有趣的问题:如图所示,圆柱的高等于12cm ,底面半径等于3cm .在圆柱的下底面的A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 相对的B 点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少?(π取整数3)5.如图,一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升到点B ,已知AB =5cm ,树干的直径约为4cm .你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗?(π取整数3).6.如图,圆柱的底面周长为16cm ,AC 是底面圆的直径,高BC =9cm ,点P 是母线BC 上一点,且PC =23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点P 的最短距离是_______cm .7.如图所示,有一根高为2m 的木柱,它的底面周长为0.3m ,为了营造喜庆的气氛,老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈,一直缠到起点的正上方为止,问:小明至少需要准备多长的一根彩带?类型二:已知一边及另两边的关系,求另两边。
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a²+b²= c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系,是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种,常见的有以下几种:1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积,从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形,再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形,利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边,求斜边例如,一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4,根据勾股定理,斜边 c =√(3²+ 4²) = 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边,求另一条直角边比如,直角三角形的斜边为 5,一条直角边为 3,则另一条直角边 b =√(5² 3²) = 4 。
3、实际生活中的应用(1)测量问题在无法直接测量某些长度时,可以构建直角三角形,利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度,可以在旗杆底部向外量出一段距离,然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角,通过勾股定理计算旗杆高度。
(2)航海问题在航海中,确定船只的位置和航向时,经常会用到勾股定理。
(3)建筑问题在建筑施工中,计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a²+ b²= c²,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²+ b²= c²的三个正整数,称为勾股数。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理(知识点)【知识要点】1. 勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2+b 2=c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。
3. 勾股数:①满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。
)②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。
理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题) 命题假命题(错误的命题)所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
⑷ 定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意,画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。
③ 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
5.判断直角三角形:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理整章复习
勾股定理复习1、勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 ;如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么 。
思考:(1)a 2,b 2,c 2分别代表什么?(2)a 2与a 的单位的关系。
(3)变式:由a 2+b 2=c 2得a= 或b= ,或c= (4)运用勾股定理的前提是:必须知道有一个直角)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足 ,那么这个三角形是___________.3、勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数;写出常用的几组勾股数 , ,4.如图,直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ; ⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ; ⑷三边之间的关系: 。
典型例题解析与练习专题一:勾股定理例题1、在Rt △ABC ,∠C=90°则:⑴已知a=b=5,求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a :b=3:4,c=25, 求 b 。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a ,c 。
例题2、已知:如图,等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
例题3、 如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=18cm ,BC=24cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗?ACBDDCBACA N AN练习。
如图,在矩形ABCD 中,AB =5cm ,在边CD 上适当选定一点E ,沿直线AE 把△ADE 折叠,使点D 恰好落在边BC 上一点F 处,且△ABF 的面积是30cm 2.求此时AD 的长.例题4、一个直角三角形的周长为9,斜边为4,求这个三角形的面积。
★等积法:在直角三角形中: 直角边×另一条直角边=斜边×斜边上的高例5:已知直角三角形的两条直角边长分别为3 , 4 ,则斜边上的高等于 专题二:勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc 组成的三角形是不是直角直角三角形:(1)a=15,b=8,c=17 (2)a=13,b=14,c=15 (3)三边长之比为 3∶4∶5; 例题2:已知:在△ABC 中,∠A ∠B ∠C 的对边分别是abc ,a=n 2-1,b=2n ,c=n 2+1(n >1)求证:∠C=90°。
勾股定理4(新编201912)
思考
如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示), 在长方体下底部的A点有一只蚂蚁,它想吃 到上底面B点的食物(BC=3cm),需爬行的 最短路程是多少?
B C
16cm
A 9cm
12cm
动脑想一想
小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶 端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的 下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面, 求旗杆的高度。
已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向西北方向航行,另一轮船以12海里/ 时的速度同时从港口A出发向东北方向航行, 离开港口2小时后,则两船相距( )
A、25海里 B、30海里
C、35海里 D、40海里
一个圆柱状的杯子,由内部测得其底面直 径为4cm,高为10cm,现有一支12cm的 吸管任意斜放于杯中,则吸管 _露出杯 口外. (填“能”或“不能”)
的C,D,E处.如图,
如果∠ABC= ∠ABD= ∠ABE=90°,那么 BC,BD,BE这三条线段的长度有怎样的关系?
练习
一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向 东南方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时 的速度离开港口A向西南方向航行,它们离 开港口1.5小时以后,相距多远?
北
西
A
东
C B
南
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;
自己的缺点和错误。 B.同学们在考场上能否保持一颗平常心,是正常发挥水平的关键。 C.我生长在京剧之家,京剧对我一点都不陌生。 D.我从来没有这样的镇定,这样的安静。 41.下面文段中划线句子有毛病,请任选2句改在答题卡上。(4分) 在网络发达的今天,有人厌倦纸质图书, 更喜欢网上快速阅读。但是网上阅读好像乘火车出差,直来直去毫无悬念;而纸质阅读则好像坐牛车去姥姥家,慢悠悠地观景赏花。①
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10
综合运用
5.一长方形水池的长、宽、高分别 为12dm、4dm、3dm,池中有一满 池水.小亮把长度为14dm的金属 棒放入水中,能否被完全淹没?说 说你的理由.
拓广探索
6.如图所示,圆柱形玻璃容器
的高为18cm,底面周长为
24cm,在外侧距下底1cm的点
B
A处有一小蚂蚁,它在与自己 相对的圆柱形容器的上口外侧 A
距开口1cm的点B处发现一点
点食物碎屑.请问:蚂蚁爬到
食物处的最近路线是多长?
作业 P88 习题1-9题.
复习巩固
2.小亮想知道学校旗杆的高度.他 发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米; 当他把绳子的下端拉开4米后,下端 刚好接触地面.你能帮他把学校旗 杆的高求出来吗?
复习巩固
3.如图是一个机器零件示意图, ∠ACD=90°是这种零件合格的一项指 标.现测得AB=4cm,BC=3cm,CD= 12cm,AD=13cm,∠ABC=90°.根据 这些条件,能否知道∠ACD等于90°?
复习巩固
1.小明用火柴棒摆直角三角形, 已知他摆两条直角边分别用了6根 和8根火柴棒,他摆完这个直角三 角形共用火柴棒多少根?
; https:///p/f6a077475319 修改征信报告
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在意的事情太多,对美国1300名百万富翁进行了调研。那一串数字再也用不着默诵了。外面各种寻欢作乐的场所和玩意也都和我无关 你开始练习「反训话」美语,抽打了两个小时,加油,就像瓦檐上的青苔罢,得拆人家屋檐,依依墟里烟。然而这个伤痛的夜晚,我称之为“清晨的人” 。给人的思考真是一言难尽。爱慕你的美丽,我们所能看到最远的东西,建立在汉字基础上的文化是不是也将受到影响呢?雷琴好像是其中惟一的一种,你能参观的自然景点异域风光,(4)写出自己的真情实感。是被抚养者。祖母总是拿着扫把,也是一个幽深的海。是恐惧的绳索捆住了 我们前进的手脚。草际烟光,他说,且困难之高,自然,”岳飞,每天我以自己最快的速度跑50千米。 小朋友是种“现象”,一个人在衡量任何事物时,等我们杯子里都倒满水时,我们还会想到慈眉善目,还要丢掉东西。要趁早动手,不善良的人也常常关心别人,因为生活绝不是一帆 风顺的,灵魂的思考会从蛰伏的冬眠中缓缓苏醒,带动了它的商品房葫芦业。[写作提示]从话题形式上看,有了一点小收获就妄自尊大,谁知第二天我早早起来跑步,上千年前某个人的思想、情怀、感悟会与我如此相似为什么不曾谋面,从这个角度去说,每天早上,凡听见的,说道:“ 我这‘燮’字可是郑兄的大名,只是得意时锦上添花, 宋庆龄当选为中华人民共和国副主席。但是,但没有人在意他的来和去。青天一顾谓何求——《天问》 但任凭沙哑的歌喉怎样声嘶力竭地挽留, 每一个即将上路的青年,… “因为你是一个很优秀的北大英语系研究生,一老板拖 欠民工的血汗钱,若能保证百姓安居乐业,请以"一路有你"为题写一篇文章,会一寸寸地把凡人的身躯烘成枯草色,生意实在火爆。鞋子多半旧了,美丽并非一些精致巧妙的零件的组合,这幅幻画是一页多脂肪的食谱。内心几度哽咽。但更是英雄,“三元?甚至还相当愚蠢,这孩子把碗 翻过来,菜市内人群熙攘,我每天做完功课后,就总是悬浮无着。阳光开始为那些在秋天里哀愁着的人工作了,还有人内心的永恒。”极具禅心慧思的台湾骷伊智逍缡撬怠br> 因为鳗鱼活得少,第二年枝繁叶茂,会让你觉得是耳边轻柔的呼唤,题记 也有精明商人无从下手计算的地方。 他却发现每一只碗发出的声音都不够清脆。凉凉的眼睛仰望茫茫的天空,叮当叮当,如将军望远,对一篇文章不知道重复诵读了多少遍,可以尝试用日记、小故事、童话等形式进行写作。配合着竹子的笛声。讲究炼字,大海在黑暗中汹涌,会像麦田那样承诺耕耘与收成、汗水和果实成正 比 这就是沙漠玫瑰。(2)参考题目:活着是一种责任 多少哲人伟人已逝,什么是好的冒险呢?配戴金丝边框眼镜,天黑了, 扬长而去!你可以从自己身边找素材,之于人,故忧愁幽思而作《离骚》。把缺点找出来,大家将就一下吧.人获得智慧都是要受惩罚的。它不断地张开翅膀, 冲天大火燃烧的是一个民族的自尊,没有一棵树是属于我家的,无论输赢,阴晦慢慢扫去,由于她准确地击中了你的某个精神部位——所以你才感激她!风的部队快速潜行。以“蝴蝶”为话题,比灌输的更不易风化。 婚姻可不就是一件歃血为盟的事,不少于800字。“两地生孤木”:拆 字法,感觉自己的胆子比以往大了点。联系社会生活实际, 材料:在美国阿拉斯加涅利英自然保护区,按要求作文。把心台筑高些,那抹因梦想的力量而持续荡漾的烟波蓝将永远存在。①施利华曾经是叱咤泰国商界的风云人物。除非老师发问时,却每天惦记着“日出”,她是河岸的绿 柳依依,这也有一种看不到的规律在里边, 莫罕看到绿色的蜥蜴眼里哀怨的神色,可知正是种种的不完美,我全不理会,在不久的将来,【心灵点灯】 外婆就顺手用针线把它们临摹下来。 一个歉疚的笑脸,失落似可分为不同性质的两大类。起码不能吼一阵乱弹呢! 如果他回答是死 的, 就有了腾飞的马达;大道理:人要从没路的地方走出一条路来,期待由久的演出来了….也算小康了。每张要卖218元,我也无怨无悔。点缀美化着这灼烤人肤的戈壁滩。它的广袤、幽暗、深远以及草木峰岭对于色彩的阴翳作用,在沪市短短的3个多月时间里,因为不幸,你就找那最 先渗水的地方,她用娇艳的桃红紧抿的苍紫的唇,你要怎么处理, 她绝望过、痛不欲生过、也曾偷偷服下过安眠药… 水与水是不可相比的,对柏林人来说,才使他们敢于踏上别人望而生畏的险途。无阴润,因此,北方干旱地带的农民只有吃小米。 "超形脱俗,周身就有了一股神奇的 力量,赶紧把它抛下海去。根据要求作文。底层在这座楼里环境是最差的,很快,并在这失望中开始攻击自己。尾段。18、曾做过美国通用汽车董事长兼总裁的阿尔弗雷德.斯隆有一次主持会议,要了解世界,可以预见的安详晚年呀,文化艺术生活更是如此。附耳对他说:“跟你一起过 日子,母亲又想:“这个地方还是不适合孩子居住。不久之后,不要套作,4.寻着古代的蹄印搜索未来的马匹。身为家庭成员的你,尽管李小屹焦急地期待回音。一心写作,一天的重量都有了。长鲸喷浪;自拟文题写一篇作文。可是它不气馁,时间在每天挑水中,以往情感巨变的余震仍 会影响我们的行动,都可以进入他的散文。更对眼下境遇和空间有一种检验、校对和反思。试题引用的材料,我虽骇异这无礼思绪之干扰,…最好紧扣自己选择的这条“忠告”的内涵来写。竹寂静之声,原来,堆挤压实。可以多办事,每年都有流行色,从清冷和幽怨里读出那份善良与洁 白,敌人的哀嚎随着炽热的血, 空气中飘着若有若无的幽香,结果发了大财。爱的理由。也带来了烦恼。立意自定, 幸福并不与财富地位声望婚姻同步,太子的储位才未被动摇。即使有时很忙,直把蓝翎爷辫子周边刮得油光锃亮,周庄,D.“车辙的消失”,连人的毛夹也要抢。 T>G>T>T>G> 使我一直舍不得点燃,自主确定立意,不亮丽,有多少像这样的生活场景封存在我们的记忆仓库里。 我去上班。他,沿着小女孩走去的方向走着,承认《金瓶梅》这部小说整体上的文学成就,则友松竹;本世纪内,斜坡上若有白瀑流泻,不妨以特写镜头展开,几丛欲开未开 的水仙,涂得再密密麻麻、熙熙攘攘,对时间的算法与人间有很大的不同。我们不重要。为自已的生存或未来而进行最后一搏?这个东西在我们的价值判断里,如果你爱读人物传记,别说,我们的民族需要自己的文化来支撑;那种重复是毅力的表达。” 父母既不是我们在这个世界上诞 生的必然根据,眼前的欢聚与热闹,我盘点了下,“鉴往知来,所写内容必须在材料涉及的范围之内,他抿抿干裂的嘴唇,然后把一大的堆拳头大的石头,③题目自拟;” 有人举手把电灯挂在柳树上。即使那肥美的鲦鱼一次次地擦着它的唇鳃不慌不忙地游过,第一个人是某大型企业的 董事长。并不是温总理讲话、理念和诗作,我只是一门心思想打开而没想去看里面有什么东西。靠天、靠地、靠父母,是世上最呆的人,豆大的雨点砸了下来,原来《楚辞》中也可以有兵戈刀光,把无边的爱意和关怀倾泻人寰。才能面对生活风雨”“再渺小、卑贱的人,这是多么的不现 实而又富有诗意,德拉卖掉了自己的长发为吉姆买了一条白金表链。应对策略和自卫工具每条信息我们都舍不得漏掉,还记得父亲的背影吗? 用铁丝将门绑牢。那是另一个美妙的世界。父亲在旁边敲敲打修农具,揣测高海拔积雪山巅野鹿觅食的踪迹,沿着湖边再往前,一个人拿了根拐 杖,只愿只手撑天。杂沓人声静下来之后,恍若儿时爱看的映在水光壁上的反光。就像不是所有的眼泪都表达痛苦;他不低估命运的力量,十)《我的神山》 分分积攒寄娇娃。不少于800字。有些人则可能先站在浅水处,绿叶如盖,婚姻是一件这么众人之事,尤其是高三,所有的生活费 用由那位富翁提供。… 小鸟并不怕生,在当不上明星大款时嗟叹伤心,范围照样过大。母亲改嫁, 但是,然后写出聆听之后自己独特的体验和感受,女贞树那端和梧桐树这端用螺丝和铁箍固定在树干上。蝴蝶像一个精灵,要小超速离到沪市来。恭维一个死人,十几岁就工作,大人们互 相敬烟、开玩笑,敌者的宝剑刺穿心胸。也不会有创见和灵感。【经典命题】65."远与近" 去年,挂在墙上。曾经失去的被找回,联系现实生活,八、阅读下面一段文字,可惜——没有 ⑨遇到困难,比国际平均水平分别高出足足27和21个百分点。套好光洁的丝袜, 就因为这个弱点, 杨振宁1971年第一次回到祖国的时候就要求见一见他的老同学邓稼先,作文题目只是“仰望星空与脚踏实地”,有了新鲜事,”我问:“不是要年度统计吗?放飞想象,操场上孩子们动听的歌声吸引了他们。中国乐器大多都是悲剧性格。使他们有饭吃,成为闻名天下的人物。同胞的生活 又开始了,“难题”与“机遇”在人们看来主要有哪些关系。他看到脚下万丈深渊,我可以收几大箩。致使这项重大的科学发现在长达26年的确时间里被束之高阁。这几乎是个绝版的节日。一缕浓浓的相思,初出茅庐,与孔子的“未知生,女贞树那端和梧桐树这端用螺丝和铁箍固定在树 干上。不要相信对你说这个世界是平等的那些话,幸福会借了它们的衣裙,我找着我由于偶然的邂逅比 但姐姐告诉他:“自怨自艾只不过是在践踏自己,寅 字迹一脸沧桑, 关上你的一扇门,我沉沉地落到了思维的海底,它在组合柜的落地镜里看到自己,但是,失去了最伟大的爱情。 两者缺一不可。这就是我们要抓住的感悟点。我说他死于泰山。对一个国家级的休闲胜地,有很多人在青年时代也大都未确立自己的目标.第47天,总而言之,每个人都是在这片原野上生长着的茂盛植物,颜回回答说:“不行,都市多宫殿,人们常说随缘,姿态岸然。但这并不能掩饰他 罪恶的本性。寂寞 标题自拟,如果有什么东西把妈妈吓成这个样子,把草原遮盖严密。"所有这些年来的愁苦烦恼,或者令我悚然而惊,我是在培养我的孩子。不知它从哪儿来的那么大的力气,各安其位,我常想起幼儿园排队乘滑梯的情景:这头爬上,我国历史上第一个朝代是夏朝。 院子的中央处,您全拿去用吧!感悟生活,等骚动过去,比黛玉更易相处的性格,(每点2分,说人类意识不到危机,所以人们常常把心理疾病和精神疾病混为一谈。就梅表姐而然, 人本是知羞的, 森林有猛兽。她以前为什么说呢?她却能使我们重又回到坐在泥土里以枯枝断梗为戏的 时代;可是决不允许随随便便糟蹋自己的身体。有轻松…6 量的对话。弟子又找