2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第5章第31讲向量的概念与线性运算

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2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第2章第6讲函数的解析式和定义域

求函数的解析式
【例3】 x 2 ( x 0) x( x 0) 设f x ＝，g x ＝ 2 . x( x 0) x ( x 0)
当x 0时，求f g x 和g f x 的解析式．
【解析】当x>0时，g(x)＝－x<0， f(x)＝x2>0，所以f(g(x))＝f(－x)＝－x，g(f(x)) ＝g(x2)＝－x2.

求函数的定义域总是归结为解不等式 (组)，要认真观察函数的具体表达形式． (1)是开偶次方与对数式复合，自变量的取值范围既要满足开偶次方有意义，又要使对数式有意义； (2)要特别注意cosx>0，因为x∈R，所以满足cosx>0的x的范围是等距离离散的实数区间，对k的取值进行逐一检验，并用并集表示函数的定义域．
2 由题意可知，关于x的不等式kx 2＋4kx＋3
0的解集为(－6, 2)，所以关于x的方程kx 2＋4kx＋3＝0的两个根分别为－6或2， 4k 6 2 k 1 所以，解得k＝－ 4 6 2 3 k
1．求函数解析式的常见方法：
1 定义法，如已知f ( x＋1)＝x，求f x ； 2 变量代换法，如已知f ( x＋1)＝x，求f x ．
注意新变量的取值范围； 1 3 方程法，如已知f x －2f ( )＝x( x 0)， x 1 1 1 求f x ．将x换成得到等式f ( )－2f x ＝， x x x 1 两式消去f ( )，就解出了f x (但要注意定义域)． x
2．已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x)) 的定义域是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围．而已知f(g(x))的定义域是[a，b]指的是 x∈[a，b]． 3．在应用问题中求函数的定义域时，要考虑实际背景的含义． 4．函数定义域一定要写成集合的形式．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第3章第18讲导数在研究函数中的应用

典型例题
【例 1】已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1) 若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间； (2) 若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围．
(1)由题意，得 f′(3)＝0，即 27－6a－3＝0， ∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3. 1 令 f′(x)＝0，得 x1＝－，x2＝3. 3 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 1 －∞，－3 ＋ 1 － 3 0 极大值 1 －3，3 － 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋
【例 2】函数 f(x)＝x3＋ax2＋b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x＋y＝0 平行 (1)求 a，b； (2)求函数 f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．
解
(1)f′(x)＝3x2＋2ax
f1＝0， a＋b＋1＝0， a＝－3，由已知条件即解得 f′1＝－3， 2a＋3＝－3， b＝2.
1当a 0时，因为x 2，
x( x 2) ( a) 所以f '( x) 0 a ( x 2) 所以函数f ( x)在(2，＋)上是增函数．
【解析】易知函数f ( x)的定义域为(2，＋)． 1 x x2 2x a f '( x) x2 a a( x 2) (2)当a 0时,
[ x (1 1 a )][ x (1 1 a )] f '( x) a( x 2) 因为x 2，由f ( x) 0，得2 x 1 1 a；由f ( x) 0，得x 1＋ 1 a . 所以f ( x)在(2,1+ 1 a )上是增函数，在(1 1 a，+)上是减函数．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(物理)江苏专版第5章第2节动能定理

梯做的功为 1 Mv2，答案D正确；地板对物体的支持 2
力做的功为 1 mv2 mgH，所以答案A、B均不正确． 2
答案： D
点评：(1)动能定理中所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力，动能定理中的W是指所有作用在物体上的外力的合力的功．(2)动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但对于外力是变力，物体做曲线运动的情况同样适用．
C．因Wf mgl cos，动摩擦因数由A到B或由B
到A变化相同，Wf 相同，由动能定理
1 2
mv2
mgh
Wf，
物块滑到底端的速度，应该一样大，C错误；
D．因为前一过程，加速度先小后大，后一过程，
加速度先大后小，物块从顶端滑到底端的时间，前一
过程较长，D正确．
4.(2011•上海崇明期末)质量为m的小球，从离地面H 高处从静止开始释放，落到地面后继续陷入泥中h 深度而停止，设小球受到空气阻力为f，则下列说法正确的是( C ) A．小球落地时动能等于mgH B．小球陷入泥中的过程中克服泥土阻力所做的功小于刚落到地面时的动能
切入点：应考虑货物运动到B点时的速度与皮带速度的关系有多种可能．
【解析】物体在传送带上相对地面可能先加速后匀
速，也可能一直加速而物体的最终速度小于v，故
可能等于 1 mv2，可能小于 1 mv2，可能等于mgs，
2
2
可能小于mgs，但不可能大于mgs，故选A、B、D.
答案：ABD
点评：动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但对于外力是变力，物体做曲线运动的情况同样适用．
(3)对过程运用“整体法”或“隔离法”并不影响解题结果，要看研究问题的方便而定．

最新届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数：第5章第34讲向量的应用

【变式练习2】已知△ABC中，∠C为直角，CA＝ CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
【证明】设此等腰直角三角形的直角边为 a，则 A D C E＝ ( A C C D )(C A A E )
AC CA CD CA AC AE CD AE
又 PQ
P
0
Q
，
0
所以 (－1 ＋ 2 t ) (－1)＋ (－ 3 ＋ t ) (－ 3 )＝ 0，解得 t＝ 2.
1 .已知 O A ＝ 2,2， AB ＝ ( 2cos， 2sin)，
则 O B的取值范围是 ____ [ __ 2，_3__2__ ] ____
【解析】OB OA AB
所以 C E C W c o s 3 0 ＝ 10 3 ＝ 5 3 , 2
C E C W c o s 6 0 ＝ 10 1 ＝ 5 ， 2
所以 A处受力为 5 3N ， B处受力为 5 N .
利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径．
求A和B处所受力的大
小(忽略绳子的重量)．
【解析】设 A 、 B 处所受力分别为 f1、f 2，
10
N的
重
力用
f表
示
，
则
f
＋
1
f 2＝
f.
以
重
力
作
用
点
C为
f
、
1
f
2
的
始
点
，
作
平
行四边形 C FW E，使 C W 为对角线，

届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲函数的奇偶性与周期性

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为___0_____
【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0. 方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
所以原函数既是奇函数又是偶函数．
2由1－x2 0，得－1 x 1，则 | x－2 |－2＝－x，且f (－x)＝－f x，
故原函数是奇函数．
3因为定义域为全体实数，且
f (－ x )＝ lg ( 1 x 2－ x )＝ lg
1
1 x2 x
＝－ lg ( x＋ 1 x 2 )＝－ f x ，
原点对称．
在 f ( x＋ y )＝ f x ＋ f y 中，令 x＝ y＝ 0，得 f 0 ＝ 0 .
令 x＋ y＝ 0，即 y＝－ x，
得 f 0 ＝ f x ＋ f (－ x )，即 f (－ x )＝－ f x ，故 f x为 R 上的奇函数． 2 由 f (－ 3 )＝ a， f ( x＋ y )＝ f x ＋ f y ， f x 为奇函数得 f 12 ＝ 2f 6 ＝ 4f 3
故 f (－ x )＝ x 2＋ x＝ f x ．
故原函数是偶函数．
4 因为 f x 的定义域为 R ，且 f (－ x )
＝
1 2x 1
1 2
2x － 1 2x
1＝ 2
1－ 2

届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲集合的基本运算共35页

1 A B＝3, 7 ，
A C＝(－，－3] (－2，＋ )；
2 因为 B C＝(－1, 6)，则
R ( B C )＝(－，－1] [6，＋ )，所以 A R ( B C )＝(－，－3] [6，＋ )．
本题所给的集合都是确定的数集，重点是考查集合基本运算掌握的熟练程度，主要方法是：首先化简集合，即将集合化简到可以用数轴能直观感知的数集，然后在数轴上描绘出集合元素的取值范围(或用Venn图)，再根据集合交、并、补的意义求出所要求的集合，最后的结果用区间表示即可．
【例2】
集合与简单不等式的综合应用
已知集合A＝{x | x2 9}，B＝{x | x 7 0}， x 1
C＝{x || x－2 | 4}．
1求A B及A C；
2)若U＝R，求A R (B C)．
【解析】集合 A＝(－，－3] [3，＋ )，集合 B＝(－1, 7]，集合 C＝(－2, 6)．
1． (2010· 苏南三校联考卷)已知全集U＝
0,1,3,5,7,9，A (UB)＝1，B＝3,5,7，
那么(UA) (UB)＝______. 答案：{0,9} 选题感悟：集合的运算是高考的必考内容．本题重点考查集合的表示法及集合间的运算．
2．(2010·扬州中学模拟卷)集合M ＝ {3,2a} ， N ＝ {a ， b} ，若 M∩N ＝ {2}，则M∪N＝__________. 答案：{1,2,3} 选题感悟：本题主要考查集合的交集、并集运算的理解和应用．
2.设全集 U＝ R，集合 A＝x|x24， B＝ {x|
x30}，则 A x1
(CUB)＝ { _x_|x_≤_－__1_或__x_>__ 2_ } _.

届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲任意角的三角函数

多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】1 设弧长为 l，弓形面积为 S弓．
因为＝， R＝10，所以 l＝ R＝ 10 cm ，
3
3
所
以
S弓＝
S 扇－
S
＝
1 2
lR－
1 2
R
2sin
＝ 1 10 10－ 1 10 2 sin60
23
2
＝50( － 3 ) cm 2 ． 32
届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲任意角的三角函数
考纲泛读
高考展望
①理解任意角的三角函数(正
三角函数是中
弦、余弦、正切)的定义．学数学中重要的基
②能利用单位圆中的三角函本初等函数之一，
数线推导出π/2±α，π±α的它和代数、几何有
正弦、余弦、正切的诱导公着密切的联系，是
式，能画出y＝sinx、y＝cosx 高考对基础知识和
(2)引入弧度制后，角的表示要么采用弧度制，要么采用角度制，两者不能混用．如{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}写法不正确．
3用公式＝ l 求圆心角时，应
r 注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值，具体应用时既要注意大小还要注意正负．
4判断三角函数值的符号时，应
2
4
所以 n＝ 4 或 5 ，则＝ 4 或 5 . 77
本节内容主要从两方面考查，一是考查角的概念的推广和弧度与角度之间的互相转化；二是考查任意角的三角函数．在这两方面注意使用数形结合、分类讨论等思想解决问题．
(1)准确区分锐角、0°～90°范围内的角、小于90°的角、第一象限角等概念．第一象限角不一定是锐角，小于 90°的角也不一定是锐角．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第10章第54讲

【解析】如图，平面DMN∩平面BB1C1C ＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM.
共点、共线、共面问题
【例2】如图，在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， E 是 AB 的中点， F是A1A的中点，求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．
3.下列各图是正方体或正四面体 (四个面都是正三角形的四面体)，P、 Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是 ___________.
【解析】正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，因为 PS∥A1C1∥QR，所以P、Q、R、S共面，如下图 (1)，排除①. 如图(2)，
1.(2011· 四川高考改编)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的序号是 ①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 ②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 ③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面 ④l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面 ② .
【解析】由 l1⊥l2，l2∥l3，根据异面直线所成角知
(1)中若去掉“最多”二字，则前者结论是1或3；后者结论是1或 2.(2)题不易从正面说清，因而用反证法，体现“正难则反”的思维规律．
【变式练习1】在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是A1B1 和CC1 的中点．请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1 的交线．
【变式练习2】如图，空间四边形ABCD中，E、 F 分别是AB和CB的中点，G、H 分别是CD和AD上的点，且 CG AH =2. GD HD 求证：EH、BD、FG相交于同一点．
【证明】连结EF，AC，因为E、F 分别是AB和 1 CB的中点，所以EF AC且EF＝ AC. 2 CG AH 连结HG，又 2， GD HD 1 所以HG AC且HG＝ AC. 3 所以EF HG且EF HG.所以EFGH 是梯形．设两腰所在直线EH FG＝K，因为EH 平面ABD，FG 平面CBD 且平面ABD 平面CBD＝BD，所以K BD.则EH、BD、FG相交于同一点．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第12章第66讲互斥事件的概率

【解析】方法1：从12个球中任取1球得红球有 1 5种取法，得黑球有4种取法，则得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法．又从12个球中任取一个球，共有12种取法， 9 3 所以任取1球得红球或黑球的概率为P＝＝ . 1 12 4 2 从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球 5 4 2 11 或黑球或白球的概率为P2＝＝ . 12 12
方法2： (利用互斥事件求概率) 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}； A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则 5 4 2 1 P A1 ＝，P A2 ＝，P A3 ＝，P A4 ＝ . 12 12 12 12 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．由互斥事件的概率加法公式，得
(2)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 则 P(C)＝(4×2)＋(4×4＋2×2)＋(2×4＋4×2＋4×4)＝4. 3 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率为4.
1．求复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P A ＝1－P ( A)．若解决 "至多"、 "至少"型的题目，用后一种方法就显得比较方便．
要注意理解各个事件之间的关系，分清哪些是互斥的，哪些不互斥．在将一个事件拆分为n个互斥事件时，要做到不重不漏．
【变式练习2】高一军训时，某同学射击1次，命中10 环， 9 环， 8 环的概率分别是 0.13,0.28,0.31.求： (1)射击1次，至少命中8环的概率； (2)射击1次，命中不足9环的概率．

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第12章第61讲抽样方法

【解析】三个抽样的方法每一个被抽到的概率都等于12000＝15.
2.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本．考虑采用系统抽样，则分段的间隔 k为____4_0______.
3.某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工为样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200 号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是___3_7___.
系统抽样
【例2】为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为10的样本．
【解析】1 将每个学生编一个号，由0001至1003. 2利用随机数表法找到3个号，将这3名学生剔除． 3 将剩余的1000名学生重新编号，0001至1000.
4 分段，取间隔 k＝ 1000 ＝100，将总体均分为10组，
10 每组含100个学生．
5 从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号 l. 6 按编号将 l,100＋ l, 200＋ l，，900＋ l共10个号选出．
【解析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5 组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码为 22＋3×5＝37.
4.在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？ (1)从20台彩电中抽取4台进行质量检查； (2)科学会堂有32排座位，每排有40个座位 (座位号为01～40)，一次报告会坐满了听众，会后为了听取意见，拟留下32名听众进行座谈； (3)实验中学有180名教工，其中有专职教师 144名，管理人员12名，后勤服务人员24名，今从中抽取一个容量为15的样本．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学理)苏教版第5章第35讲向量的应用

＝－a2＋ 2a2 a2 ＝0. 33
所以，AD CE.
平面向量在物理中的应用
【例3】如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子 AB 上， ∠ ACW ＝ 150° ， ∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量)．
【解析】设A、B处所受力分别为 f1、f2，
为 1 .5 min.
解析：船速与河水流速的合速度是船的实际航行速度，如图．则 | v1 | 20，| v2 | 12. 根据勾股定理，
得 | v | 202 122 16km / h 800 m / min ．
3
所以t 400 800 1.5min ．
3
平面向量与三角函数
【例1】(2010·南京期末卷)
4
4
所以2 (0， )，cos2＝ 15 ,
4
4
所以sin(2＋ )＝ 2 sin2＋ 2 cos2
42
2
＝ 2 1 ＋ 2 15 ＝ 2 30
24 2 4
8
本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的恒等变换及相关运算，向量与三角函数的结合，既符合在知识的“交汇处”命题，又加强了对双基的考查．
义的：若OP＝xe1＋ye2 (其中e1，e2 是分别与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P 点的坐标为( x，y )．
1若M 2,3，N (－2,1)，求 OM 与 MN ;
2 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy
中的方程．
【解析】1因为M 2,3，所以OM＝2e1＋3e2，
所以 OM 2 ＝(2e1＋3e2 )2＝4e12＋12e1 e2＋9e22 ＝13＋12cos60＝19，
形、正方形等，常用向量垂直的充要条件： a b a b 0(或x1x2 y1y2 0)．

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第6章第41讲不等式的综合应用

取 x＝0 得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)因为 a>0，g(x)在[－1,1]上是增函数，当 x＝1 时取得最大值 2，即 g(1)＝a＋b＝f(1)－f(0)＝2.① 因为－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，所以 c＝f(0)＝－1.
因为当－1≤x≤1 时，f(x)≥－1，即 f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线 x＝0 为 f(x)的图象的对称轴， b 由此得－2a＝0，即 b＝0. 由①得 a＝2，所以 f(x)＝2x2－1.
Δ＝81－8a>0 欲使 C⊆A∪B，需f1＝a－7≥0 f4＝a－4≥0
81 ，解得 7≤a≤ 8 .
81 所以实数 a 的取值范围是[7， 8 ]．
不等式与方程
【例2】已知关于x的方程x2－ax－2＝0的两根为x1， x2 ，试问是否存在实数m，使得不等式m2 ＋lm＋1≥|x1 －x2|对任意实数a∈[－1,1]及 l∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】由题意有x1＋x2＝a，x1 x2＝－2，所以 | x1－x2 | ＝ x1 x2 2 4 x1 x2＝ a 2 8. 因为a [－1,1]，所以 | x1－x2 | ＝ a 2 8 [2 2，． 3] 要使不等式m 2＋lm＋1 | x1－x2 | 对任意a [－1,1]及l [－1,1]恒成立，当且仅当m ＋lm＋1 3对任意l [－1,1]恒成立，
2
即m 2＋lm－2 0对任意l [－1,1]恒成立．
设g l ＝ml＋(m 2－2)． g 1 m 2 m 2 0 由， 2 g 1 m m 2 0 解得m －2或m 2. 故存在实数m，使得不等式m ＋lm＋1 | x1－x2 |

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第10章第57讲平面与平面垂直

4.如图，设P是△ABC所在平面外一点， P到A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PBC⊥平面ABC.
【证明】过P作PH 底面ABC，垂足为H，连结HA. 易知H 是 ABC的外心．又因为BAC为直角，所以 ABC是直角三角形，所以H 是斜边BC的中点，即PH 平面PBC且PH 底面ABC. 由面面垂直的判定定理得平面PCB 平面ABC.
面面垂直的性质定理的应用
【l⊥γ.
【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图所示．在γ内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于直线AB，BC. 因为α⊥γ，β⊥γ，所以m⊥α，n⊥β. 又α∩β＝l，所以lα且lβ，所以m⊥l，n⊥l. 而m∩n＝P，所以l⊥γ.
【变式练习2】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面 ABD⊥平面ACD.
【证明】因为平面ABC 平面BCD，DC BC，且平面ABC 平面BCD＝BC，DC 平面BCD，所以DC 平面ABC. 又AB 平面ABC，所以DC AB. 因为AB AC，AC DC＝C，故根据线面垂直的判定定理得AB 平面ACD. 而AB 平面ABD，所以平面ABD 平面ACD.
5.(2011· 通一模 ) 如图，已知平行四边形南 ABCD，直线 BC⊥平面 ABE，F 为 CE 的中点． (1)求证：直线 AE∥平面 BDF； (2)若∠AEB＝90° 求证：，平面 BDF⊥平面 BCE.
【证明】(1)设 AC∩BD＝G，连接 FG.
由四边形 ABCD 为平行四边形， G 是 AC 的中点．得又因为 F 是 EC 中点，所以在△ACE 中，FG∥AE. 因为 AE⊄平面 BFD，FG⊂平面 BFD，所以 AE∥平面 BFD；

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第7章第43讲导数在研究函数中的应用

此题重点考查利用导数研究函数的单调性、最值与方程根的问题．熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键．数形结合理解图象的性质是解题的一种策略．
【变式练习3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【解析】f (x)＝3ax2－12ax＝3a(x－4)x. 因为x [－1, 2]，所以x＝0是极值点．显然，a 0.
＝xe x -1 ( x＋2)＋x(3ax＋2b)，又x＝－2和x＝1为
f (x)的极值点，所以f (－2)＝f 1＝0.
因此
6a 3 3a
2b 2b
0
，解得 0
a b
1 3.
1
2 因为a＝－ 1 ，b＝－1，
3 所以f (x)＝x(x＋2)(ex-1－1)．令f (x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
比较两个函数的大小时，要考虑两个函数的定义域，取其公共定义域，比较两函数的大小才有意义．本题两函数的定义域都是全体实数．作差是比较大小的常用方法，作差后再构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解决不等式问题的重要思想方法．
【变式练习4】已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中 a，b∈R.若对于任意的a∈[－2,2]，不等式 f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．
【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)在R 上为增函数，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋3≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－36≤0，所以a2≤9，所以0<a≤3；又因为当 a ＝ 3 时， f'(x) ＝ 3x2 ＋ 6x ＋ 3 ＝ 3(x ＋ 1)2≥0(只有当x＝－1时，f'(x)才等于0)，因此0<a≤3.

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(历史)江苏专版必修1 第2讲中央集权制度的演变

[备选题] (2011年南平质检)从社会历史看，魏晋南北朝的社会还是应被称为“世袭社会”，而唐以后的历史则形成了一个稳定的“选举社会”。这“选举社会” 是指( )
A．唐朝民主推举官员制度 B．三省六部制 C．察举制度 D．科举制度
【解析】D。魏晋南北朝实行九品中正制，按门第高低任免官僚，因此官职基本世袭。唐以后的科举制按才干学识选拔官员，相对公平。此处的“选举”并非今天意义上的选举，而是指公平选拔。正确答案为D。
5.(2011年湛江模拟)宋朝形成了“中书主民，枢密院主兵，三司主财，各不相知”的局面。这反映出( ) A．宰相职权范围扩大 B．君权对相权的制约
C．专制皇权达到顶峰
D．中央对地方控制加强位
【解析】 B。本题考查宋朝君主专制加强。宋朝以前，民、兵、财等权力都是由一个宰相掌管，根据材料可知，宋朝将这些权力分开，使宰相掌管的权力减小了，从而加强君主对宰相的制约。
(2)汉初错误地吸取秦朝灭亡的教训，实行郡国并行制，王国势力膨胀，威胁中央集权；汉武帝颁布推恩令，削弱了王国势力，加强了中央集权。唐朝中后期，统治腐败；军事举措失当，藩镇割据局面形成，威胁中央集权。
1.(2011年全国新课标文综)董仲舒认为孔子撰《春秋》的目的是尊天子、抑诸侯、崇周制而“大一统”，以此为汉武帝加强中央集权服务，从而将周代历史与汉代政治联系起来。西周时代对于秦汉统一的重要历史影响在于( ) A．构建了中央有效控制地方的制度 B．确立了君主大权独揽的集权意识 C．形成了天下一家的文化心理认同 D．实现了国家对土地与人口的控制
【参考答案】 (1)中国的选举是指选拔官员的制度，如世袭制、察举制、科举制等，选举的范围基本限于统治集团内部(奴隶主或地主阶级)；西方的选举是在人人平等、民主、自由的基础上的资本主义“选举”制度，即公民为自己选择一个领导集团。 (2)古代中国的民主是指为民做主、有德行的君主；古代西方的民主是人民主权。

2013届学海导航新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第1章第3讲四种命题与充分条件、必要条件

四种命题及其关系
【例1】设原命题是“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【解析】逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，若a≠b或 c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋ c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
【解析】p：－2 x 10，因为p是q的必要不充分条件，所以q Ø p，但p推不出q，从集合的角度理解，即为q Ø p，所以1－ 1 m 1 m m 1＋m或 1 m 2 ，解得m 3， 1 m 10 经检验，适合题意，所以实数m的取值范围是{m | m 3}．
充分、必要条件的判断
【解析】①因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正确；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x＝－1时，有x2≠1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件，所以①③正确．
【解析】①否命题：若 b2－4ac≥0，则方程 ax2＋
bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则 AB＝BC＝ CA，真命题； ③因为命题“若 a>b>0，则 a> b>0”是真命题，故其逆否命题为真命题； ④逆命题：若 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R，则 m>1，假则－1<x<1”的逆否命题是若x≥1或x≤－1，则x2≥1 _______________________________.

2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第5章第31讲 向量的概念与线性运算

2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第2章第6讲 函数的解析式和定义域

2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第3章第18讲 导数在研究函数中的应用

最新届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲直线与平面平行和平面与平面平行