2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：解三角形含答案

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2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案)

三角函数与解三角形热点一三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解因为0≤x≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。

2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第4讲含答案

基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1。

（2016·全国Ⅱ卷）若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ）A.x＝错误!－错误!（k∈Z）B.x＝错误!＋错误!(k∈Z)C。

x＝错误!－错误!（k∈Z）D。

x＝错误!＋错误!(k∈Z）解析由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin错误!，由2x＋错误!＝kπ＋错误!得函数的对称轴为x＝错误!＋错误!（k∈Z），故选B。

答案B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ｜<错误!)在区间错误!上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是（)A.ω＝2，φ＝错误!B.ω＝2，φ＝－错误!C.ω＝错误!,φ＝错误!D.ω＝错误!，φ＝－错误!解析由图可知，T＝2错误!＝π，所以ω＝错误!＝2，又sin错误!＝0，所以错误!－φ＝kπ(k∈Z),即φ＝错误!－kπ(k∈Z),而｜φ｜<错误!,所以φ＝错误!，故选A.答案A3.（2017·昆明市两区七校模拟）将函数f(x）＝3sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a（a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是（)A。

π6B.错误!C。

错误! D.错误!解析依题意得f(x)＝2sin错误!,因为函数f(x－a)＝2sin错误!的图象关于y轴对称，所以sin错误!＝±1，a＋错误!＝kπ＋错误!，k∈Z,即a＝kπ＋错误!，k∈Z，因此正数a的最小值是错误!，选B。

答案B4。

（2016·台州模拟）函数f（x)＝3sin错误!x－log错误!x的零点的个数是（)A。

2 B。

3 C.4 D。

5解析函数y＝3sin π2x的周期T＝错误!＝4，由log错误!x＝3，可得x＝错误!。

由log错误!x＝－3,可得x＝8。

2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3，所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________．因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________．原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】－125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________．因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________．原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第四章三角函数、解三角形4.7含解析

1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①）．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S＝p p－a p－b p－c（p＝错误!），S＝错误!＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝错误!）．2．坡度（又称坡比）：坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×）(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0，错误!]．（×)（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．（√）（4)方位角大小的范围是［0，2π)，方向角大小的范围一般是［0，错误!)．（√）1．（教材改编）如图所示,设A，B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50错误!m B．50错误!mC．25 2 m D.错误!m答案A解析由正弦定理得错误!＝错误!，又∵B＝30°，∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!（m）．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC,则点A在点B的( )A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC,∴∠CBA＝45°，而β＝30°,∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：概率含答案

核心考点解读——概率考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)随机事件的概率（I）古典概型（II）几何概型（I）离散型随机变量及其分布（II）离散型随机变量的均值与方差（II）条件概率及两个事件相互独立的概念（I）n次独立重复试验及二项分布（II）正态分布（I）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典概型、几何概型、条件概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查离散型随机变量及其分布、期望与方差.2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，求条件概率，通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，利用正态曲线的对称性求概率，确定离散型随机变量的分布状况，并利用其分布列求该随机变量的期望与方差，体现了概率问题的实际应用状况.3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用.1.随机事件的概率(1)概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在n次重复试验下，某事件A出现的次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变.概率是指对于给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某一个常数附近，这个常数称为事件A发生的概率.频率值随着试验次数的变化而变化，概率值则是一个常数，当试验次数越多时，频率值越接近于概率值，此时可以把频率近似地看做概率.。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-6含答案

真题演练集训1．将函数y＝sin错误!图象上的点P错误!向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′。

若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则（)A．t＝错误!,s的最小值为错误!B．t＝错误!，s的最小值为错误!C．t＝错误!，s的最小值为错误!D．t＝错误!，s的最小值为错误!答案：A解析:因为点P错误!在函数y＝sin错误!的图象上，所以t＝sin错误!＝sin错误!＝错误!.又P′错误!在函数y＝sin 2x的图象上，所以12＝sin 2错误!，则2错误!＝2kπ＋错误!或2错误!＝2kπ＋错误!，k∈Z，得s＝－kπ＋错误!或s＝－kπ－错误!，k∈Z。

又s>0，故s的最小值为错误!。

故选A.2．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝错误!－错误!(k∈Z）B ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z )C ．x ＝错误!－错误!（k ∈Z )D ．x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）答案:B解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移错误!个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2错误!，令2错误!＝k π＋错误!（k ∈Z ），解得x ＝错误!＋错误!（k ∈Z ）,所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋错误!（k ∈Z )，故选B 。

3．将函数f (x ）＝sin 2x 的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1)－g (x 2）｜＝2的x 1，x 2，有｜x 1－x 2|min ＝错误!，则φ＝（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 答案:D解析:因为g （x )＝sin 2（x －φ)＝sin （2x －2φ），所以|f （x 1）－g (x 2)|＝｜sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ）≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ）的值中,一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ）＝－1，则2x1＝2k1π＋错误!，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－错误!,k2∈Z，2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2）π＋π，（k1－k2）∈Z，得｜x1－x2|＝错误!.因为0〈φ<错误!，所以0<错误!－φ<错误!,故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝错误!－φ＝错误!,则φ＝错误!，故选D.4．函数f（x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f（x)的单调递减区间为( ）A.错误!，k∈ZB.错误!，k∈ZC。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：选修部分含答案

核心考点解读——选修部分坐标系与参数方程（II）不等式选讲（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，解绝对值不等式、证明不等式等.2.从考查内容来看，坐标系与参数方程中主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.不等式选讲中主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等.3.从考查热点来看，坐标系与参数方程、不等式选讲是高考命题的选考部分，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注.1.坐标系与参数方程(1)极坐标与直角坐标的互化：设M是平面内任一点，其直角坐标为错误!未找到引用源。

，极坐标为错误!未找到引用源。

，则极坐标与直角坐标的互化公式为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

.(2)简单曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为错误!未找到引用源。

的圆：错误!未找到引用源。

；圆心为错误!未找到引用源。

，半径为错误!未找到引用源。

的圆：错误!未找到引用源。

；圆心为错误!未找到引用源。

，半径为错误!未找到引用源。

的圆：错误!未找到引用源。

；过极点，倾斜角为错误!未找到引用源。

的直线：错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

；过点错误!未找到引用源。

，与极轴垂直的直线：错误!未找到引用源。

；过点错误!未找到引用源。

，与极轴平行的直线：错误!未找到引用源。

.(3)直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程：错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数）；圆的参数方程：错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数）；椭圆的参数方程：错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数）；双曲线的参数方程：错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

为参数）；抛物线的参数方程：错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

2018年高考理数考前20天终极冲刺《解三角形》含答案

核心考点解读——解三角形1．（2017高考新课标Ⅰ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.2．（2017高考新课标Ⅱ，理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．3.（2017新课标III ，理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知sin 0A A =，a b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.4.（2016高考新课标II ，理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = .5.（2016高考新课标III ，理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6.(2016高考新课标I ，理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长． 7. (2015高考新课标Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 8. (2015高考新课标Ⅱ，理17)ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．1．在ABC △中,内角的对边分别为,若,则ABC △的面积为A ．3B ．C ．D ．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为________________．3．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________． 4．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积，其中a b c 、、分别为ABC △内角A B C 、、的对边.若2b =，且，则ABC △的面积S 的最大值为__________．5.在中，角的对边分别为.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.1. 在ABC △中,分别为内角的对边, 且,则A ．B ．C ．D ．2．已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的面积S =b =，120B =o .（1）求b 、c 的值；（2）证明：tan 10S A =.真题回顾：1.（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C BC -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=故△ABC的周长为3.2.（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152c o s 21co217b ac acBa c =+-=+-+所以2b =． 3.（1）由已知可得tan A =2π3A =.在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =.（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD △4.2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以s i n 21s i n 13a Bb A ==.5.C 【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 6.（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =．可得1cos 2C =，所以πC 3=．（II ）由已知，1sin 2ab C =．又π3C =，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.【解析】如图,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =在△QBC 中,可求得BQ 所以AB 的取值范围为8.(Ⅰ)由题意，知1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅∠△，因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC =△△，所以BD =ABD △和ADC △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．又AD =1，cos 2BD CD ADB ADC ==∠与∠互为相反数，所以 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．1．【答案】C 【解析】由可得,又因为,所以,所以ab=6,则.2．【答案】【解析】由22232a b c=+可得22223b ca+=，所以222222223cos22b cb cb c aAbc bc ++-+-===22263b cbc+≥=，所以tan2A==，当且仅当b=时取等号，所以2222sin sin tan22(2)12cos12S bc A bc A Ab c b c bc A===≤++．故222Sb c+的最大值为24．3．【答案】2【解析】由π2A=及2BAD DAC∠=∠可得BAD∠=π,3DAC∠=π6,由2BD DC=,令,2DC x BD x==则,因为1AD=,在ADC△中,由正弦定理可得1πsin sin6xC=,所以sin C=12x, 在ABD△中,πsin3sin2Bx==所以sinsinBC4．【答案】【解析】由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当242a a=⇒=时，5．【解析】（1）在中，，则，所以，所以，即，所以.（2）在中，，由余弦定理，得，所以，所以，.1.【答案】B【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A=, 此时,则b=c,所以,故选B．2. 【解析】（1）由余弦定理2222cosb ac ac B=+-及b=，120B=o，得2227a a c ac=++，故2260a ac c --=，故(2)(3)a c a c -+=，故2c a =.又ABC △的面积为，所以21sin 2ac B a ==2a =，故b =4c =.（2）在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 14a A Bb ==，又120B =o，所以A 是锐角，故cos A ==，所以sin tan cos A A A ===因为S =，所以tan 10S A =.。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：导数与其他知识的综合问题含答案

核心考点解读——导数与其他知识的综合问题(解答题)
5.导数与其他知识的综合应用最后都要化归为利用导数研究函数的单调
1．（2017高考新课标Ⅰ，理21）已知函数2()e
(2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
2．（2017高考新课标III ，理21）已知函数()1ln f x x a x =--.
（1）若()0f x ≥，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.
3.(2016高考新课标I ，理21)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.
（1）求a 的取值范围；
（2）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.
4.(2016高考新课标II ，理21)（1）讨论函数()2e 2
x x f x x -=+的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x
-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.。

【高考冲刺】2018高考数学专题专题集训2 解三角形 Word版含答案

专题限时集训(二) 解三角形 (对应学生用书第114页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b3cos B＝asin A ，则cos B ＝( )【导学号：68334041】A ．－12B.12 C ．－32D.32B [由正弦定理，得b 3cos B ＝a sin A ＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( ) 【导学号：68334042】A.22B. 2 C ．2D ．4C [由正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0.∵sin A ≠0，∴sin B －3cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac . 又b 2＝ac ，∴4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.故选C.] 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3C [∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]4．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.]5．如图21，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE＝22，则cos A ＝( )图21A.223 B.24 C.64D.63C [∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A.∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BCsin ∠BDC ＝BD sin C ，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C.]二、填空题6．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为__________. 6 [在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6或AB ＝－2(舍)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.]7．如图22，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝______m.图221039 [分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．] 8．如图23，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．图23(6,43] [在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DAsin θ＝DCsin 120°－θ ，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin θ＋32cos θ＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.]三、解答题9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C . (1)求B 的大小；【导学号：68334044】(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C . 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ， 1分化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.4分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24.8分由正弦定理得c sin C ＝bsin B，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，12分∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.14分10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos Cc .(1)求ab的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ， ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A ·cos C )， ∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ). 3分 ∵A ＋B ＋C ＝π，4分 ∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0，8分 ∴b > 3.①10分 ∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，② 12分由①②得b 的取值范围是(3，3).14分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2017·温州第二次适应性测试)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.]2．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 法二：同法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A, 又B ＝π4，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ，即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角．又∵1＋tan 2A ＝1cos 2A ，∴cos 2A ＝110，∴cos A ＝－1010. 故选C.]3．(2017·台州市高三年级调考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1,2b－3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则△ABC 的面积为( ) 【导学号：68334045】A.32 B.34C.32或34D.3或32C [根据正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，而sin B ＝sin(A ＋C )，整理为2cosA sin C ＝3sin C ，因为在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝30°，又asin A＝csin C，解得c ＝ 3.因为sin C ＝32，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，B ＝90°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，此时△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝34，故选C.] 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B. 2 C ．3D. 3D [∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C . ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3， ∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选D.] 二、填空题5．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________. 【导学号：68334046】23[由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3，∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.]6．(2017·温州第一次适应性检测)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________.3π45 [由题意可得12×1×2sin B ＝12，则sin B ＝22，当B ＝π4时，由余弦定理可得AC＝1，此时△ABC 是直角三角形，不是钝角三角形，舍去，所以B ＝3π4，则AC 2＝1＋2＋2＝5，AC ＝ 5.]三、解答题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减．(1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形． [证明] (1)∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ， 2分 ∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ， 4分sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， sin C ＋sin B ＝2sin A ， ∴b ＋c ＝2a .6分 (2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ，∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ，即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c . 10分又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.12分8．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知cos(A －B )＋cos C ＝3sin(A －B )＋3sin C .【导学号：68334047】(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)法一：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则cos(A －B )－cos(A ＋B )＝3sin(A －B )＋3sin(A ＋B )，化简得2sin A sin B ＝23sin A cos B ， 5分由于0＜A ＜π，0＜B ＜π，sin A ≠0，则tan B ＝3，解得B ＝π3.9分法二：由于cos(A －B )－3sin(A －B )＝3sin C －cos C ，则－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －B ＋5π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6，从而A －B ＋5π6＝C －π6或A －B ＋5π6＋C －π6＝π.若A －B ＋5π6＝C －π6，则A －B －C ＝－π，又A ＋B ＋C ＝π，则A ＝0，舍去；5分若A －B ＋5π6＋C －π6＝π，则A －B ＋C ＝π3，又A ＋B ＋C ＝π，则B ＝π3.9分(2)由余弦定理，得4＝c 2＋a 2－ca ≥2ac －ca ＝ac ，从而S ＝12ca sin π3≤ 3.13分当且仅当a ＝c 时，S 取最大值 3.15分。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：算法初步含答案

核心考点解读——算法初步算法的概念（I）程序框图（II）基本算法语句（I）1.从考查题型来看，主要在选择题、填空题中考查程序框图与基本算法语句.2.从考查内容来看，主要考查程序框图的理解与应用，根据程序的功能将框图补充完整或通过框图判断输入或输出的结果；根据基本算法语句的功能运行程序，解决问题.3.从考查热点来看，程序框图是高考命题的热点，其中循环结构的程序框图更是几乎每年必考.1.算法的概念算法具有有限性、确定性、顺序性、正确性、不唯一性及普遍性的特点，即根据不同的思维方式，对同一个问题，可以设计出不同的算法，但其针对的问题是同一个.2.程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明.(2)算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.①顺序结构顺序结构由若干个依次执行的步骤组成.如右图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.②条件结构条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构.根据是否满足条件而选择执行步骤A或步骤B，且只能执行步骤A或步骤B之一，不可能同时执行步骤A或步骤B，也不可能步骤A或步骤B都不执行.一个条件结构可以有多个判断框.③循环结构AB当型循环结构是当给定的条件成立时，执行循环体，直到某一次条件不成立为止，此时不再执行循环体，终止循环.直到型循环结构是先执行循环体，然后判断给定的条件是否成立，如果不成立，则继续执行循环体，直到某一次给定的条件成立为止，此时不再执行循环体，终止循环.当型循环结构直到型循环结构3.基本算法语句（1）输入语句、输出语句和赋值语句语句一般格式功能输入语句INPUT “提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT “提示内容”;表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式代表的值赋给变量对于赋值语句，需注意以下几点：（1）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（2）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（3）不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）；（4）对于一个变量可以多次赋值，但只保留最后一次所赋的值.2.条件语句（1）条件语句的功能条件语句的功能是实现程序框图中的条件结构.（2）条件语句的格式①IF—THEN—END IF语句(一个分支的条件结构)；②IF—THEN—ELSE—END IF语句(两个分支的条件结构).③条件语句的嵌套条件语句的嵌套是条件结构嵌套的实现和表达.其一般格式如下：IF 条件1 THEN语句体1ELSEIF 条件2 THEN语句体2ELSE语句体3END IFEND IF对应的程序框图如图所示.3.循环语句（1）循环语句的功能循环语句的功能是实现程序框图中的循环结构. （2）循环语句的格式①UNTIL语句②WHILE语句1．(2017高考新课标Ⅰ，理8)下面程序框图是为了求出满足错误!未找到引用源。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-2含答案

真题演练集训1．若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝( ）A。

错误! B.错误!C．1 D.错误!答案：A解析：解法一：由tan α＝错误!＝错误!，cos2α＋sin2α＝1，得错误!或错误!则sin 2α＝2sin αcos α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝错误!＋错误!＝错误!.解法二：cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.2．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ）A．a〉b〉c B．b>c〉aC．c〉b>a D．c〉a〉b答案:C解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝错误!，又0<cos 35°〈1，∴c>b>a。

3．已知sin α＋2cos α＝0,则2sin αcos α－cos2α的值是________．答案：－1解析:由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2。

所以2sin αcos α－cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－1.课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用(1）已知A＝错误!＋错误!（k∈Z），则A的值构成的集合是（）A．{1,－1,2，－2｝B．{－1，1｝C．｛2，－2} D．{1,－1,0,2，－2｝（2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B）,错误!cos A＝－错误! cos(π－B），则C＝________.(1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；（2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．（1)当k为偶数时，A＝错误!＋错误!＝2；当k为奇数时，A＝错误!－错误!＝－2.所以A的值构成的集合是{2，－2｝．（2）由已知，得错误!①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±错误!,当cos A＝错误!时，cos B＝错误!，又A，B是三角形的内角，所以A＝错误!，B＝错误!，所以C＝π－（A＋B)＝错误!。

2018年高考理科数学考前20天终极冲刺攻略(含答案解析)

核心考点解读——不等式1．（2017高考新课标Ⅱ，理15）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A．15-B．9-C．1D．92．（2017年高考新课标I，理14）设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y=-的最小值为.3.(2016高考新课标I，理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.4.(2016高考新课标III，理13)若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则z=x+y的最大值为_____________.5．(2015高考新课标I，理15)若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为.6．(2015高考新课标II，理14) 若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为____________．1．在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,A ．B ．C ．D ．2．已知均为正实数,且,则的最小值为A ．B ．C ．D ．3．已知点O 为坐标原点,A (-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．4．某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨,B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润7万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.那么该企业可获得的最大利润是 A ．18万元 B ．万元C ．33万元D ．35万元5．记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，；，；，；，.其中的真命题是 A ．， B ．， C ．，D ．，6．已知实数满足,则目标函数的最大值为．1．若实数,,0a b c >，且()()6a c a b +⋅+=-2a b c ++的最小值为 A1 B1 C．2D．22．已知,x y 满足不等式组10040x x y x y -≥-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是A ．4B ．6C ．8D ．10真题回顾：1.A 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2()3)56(1z --=⨯+=-，故选A ．2.5-【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-.3.216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………目标函数2100900z x y =+.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，作直线：73y x =-并平移，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.4.32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y=+经过点A 时，z 取得最大值.由22020x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则max 13122z =+=．5.3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为 3.6.32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．名校预测1．【答案】A 【解析】因为为正项等比数列,,所以.由基本不等式得(当且仅当时等号成立),由,解得142q =,所以.选A ．2．【答案】C【解析】因为均为正实数,所以=(当且仅当时等号成立)，即的最小值为.选C．3．【答案】C【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.易知,.由题意得,,所以=.当过点时,取得最小值，为;当过点时,取得最大值，为.故,即的取值范围为.选C．4．【答案】C【解析】设甲、乙两种产品分别生产x件、y件,则,利润,作出可行域,如图中阴影部分所示,根据目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知,当直线过点B(3,4)时,目标函数取得最大值，为33万元,故选C．5．【答案】A【解析】根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示：由图可得，，，故正确，则错误；令，即，由图可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小，则，故正确，错误.6．【答案】5【解析】画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，联立．化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线y =2x ﹣z过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值，为5．专家押题1．【答案】D 【解析】由基本不等式得2()()a b c a b a c ++=+++≥=)21=，当且仅当1a b a c +=+=时，等号成立，故选择D ．2．【答案】B 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线3y x =-，可知当直线经过点()1,3A 时，目标函数3z x y =+取得最小值，为6.故选B ．核心考点解读——导数及其简单应用(选择题、填空题)处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即1．（2017高考新课标Ⅱ，理11）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e -- C ．35e -D ．12．（2017高考新课标Ⅲ，理11）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．13. (2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数()f x =e (21)x x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．[32e -，1) B ．[ 32e -,34) C ．[ 32e ,34)D ．[32e,1) 4．(2015高考新课标Ⅱ，理12)设函数()f 'x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x > 时，()()0xf 'x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞5.(2016高考新课标II ，理16)若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .6.（2016高考新课标III ，理15）已知f (x )为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+,则曲线y =f (x )在点（1,−3）处的切线方程是_______________.1．已知22cos d a x x ππ-=⎰，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为A ．B ．C ．D ．2．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．3．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．4．已知函数，则下面对函数的描述正确的是A ．，B ．，C ．，D ．5．已知对任意的21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是 A ．e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,e)C ．D ．6．曲线在点处的切线方程为__________．1．设实数0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式恒成立，则λ的最小值为A ．B ．D ．2．已知函数2()ex x f x =，若对任意的12,[1,2]x x ∈-，恒有12(1)|()()|af f x f x ≥-成立，则实数a 的取值范围是 .真题回顾：1.A 【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．2.C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11e e x x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C ． 3.D 【解析】设()g x =e (21)x x -，()h x ax a =-，由题意，知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线()h x ax a =-的下方.因为()g'x =e (2+1)x x ，所以当12x <-时，()g x '<0，当12x >-时，()g x '>0，所以()g x 在1(,)2-∞- 上单调递减，在1(+)2-∞，上单调递增，作出()()g x h x 与的大致图象，如图所示，故(0)(0),(1)(1),h g h g >⎧⎨-≤-⎩ 即1,32e a a <⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，所以312ea <≤ ，故选D ．4.A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf 'x f x g'x x-=，因为当0x >时，()()0x f 'x f x -<，故当0x >时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ． 5.1ln2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122l n 2,l n (1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln 1xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.6.21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．1．【答案】A 【解析】2222cos d =sin |2a x x x ππππ--==⎰.可知的周期为，，，，，.故选.2．【答案】A【解析】∵函数，∴()()()()()22e 2e e 122x xx x x f x x x +-+==++'，当时，，即函数在上为减函数；当时，，即函数在上为增函数.∴.∵函数在上有最小值，∴.故选A ．3．D 令函数，则()()221()ln22()ln22()ln 2ln 2f x f x x f x f x x x x g x xx ''-⋅⋅-'===()2()ln21ln 22xf x x f x x x x '-⎛⎫> ⎪⎝⎭，，，又，函数在区间上单调递增，又e 2e 2e ln 22x xxf g ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭e 2x f x ⎛⎫⎪⎝⎭=，不等式“”等价于“e 21xf x⎛⎫ ⎪⎝⎭<”，则，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，则，解得，故不等式的解集是，故选D ．4．【答案】B【解析】的定义域为，且，令，则在上恒成立，即在上单调递增，又，所以，使，则在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以.故选B ．5．【答案】A 【解析】由得在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即12ln x ax >在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()2ln x f x x=，则，当1[,e)ex ∈时，，单调递增；当2(e,e ]x ∈时，，单调递减．∴，∴，∴.故实数的取值范围是e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．选A ．6．【答案】【解析】因为，所以在点处的切线斜率为又，所以所求的切线方程为1.【答案】A 【解析】由题设可得e ln 0x x λλ-≥，令()e ln xF x x λλ=-，则问题转化为求函数()eln xF x x λλ=-的最小值大于等于0.设最小值点为0x ，即，又因（当且仅当01x λ=时取等号），故22ln 0ln 1λλ+≥⇒≥-，则2．【答案】2[e ,)+∞ 【解析】由题意得22(2)()e ex xx x x x f x --'==，所以当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此当[1,2]x ∈-时，min ()(0)0f x f ==，又因为(1)e f -=，24(2)e ef =<，所以max ()e f x =，因此不等式1(1)|()af f x ≥2()|f x -恒成立，即1|e 0|ea ⨯≥-，即2e a ≥．所以实数a 的取值范围是2[e ,)+∞.核心考点解读——导数与其他知识的综合问题(解答题)5.导数与其他知识的综合应用最后都要化归为利用导数研究函数的单调1．（2017高考新课标Ⅰ，理21）已知函数2()e (2)e x xf x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2．（2017高考新课标III ，理21）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.3.(2016高考新课标I ，理21)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 4.(2016高考新课标II ，理21)（1）讨论函数()2e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当x >0时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.5. (2015高考新课标Ⅱ，理21)设函数2()e mx f x x mx =+-． (1)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．1．已知函数21()e 2xf x ax x =-+．（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12． 2．已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.1．已知函数1()ln 2f x x x x =-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若12,x x 是方程()f x a =的两个不同的实数解，证明：1212e()20x x x x +->.真题回顾：1.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x xf x a a a '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增. （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(l n )1l n f a a a-=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln (1)n a>-，则00000()e (e2)e 20n n n nf n aa n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1).2.（1）()f x 的定义域为()0∞，+. ①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫<⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若a >0，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->.令112n x =+得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.3.（1）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)x xf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．又(1)e f =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若e2a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则l n (2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(l n (2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（2）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)e(1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 4.（1）()f x 的定义域为(,2)-∞--+∞.222(1)(2)e (2)e e ()0,(2)(2)x x xx x x x f x x x -+--'==≥++且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-所以(2)e (2),(2)e 20x x x x x x ->-+-++> （2）33(2)e (2)2()(()),x x a x x g x f x a x x-+++'==+由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=，当00x x <<时，()0,()0f x a g x g x '+<<单调递减；当0x x >时，()0,()0f x a g x g x '+>>单调递增.因此()g x 在x x =处取得最小值，最小值为000000022000e (1)e +()(1)e ().2x x x a x f x x g x x x x -++===+ 于是00e ()2x h a x =+，由2e (1)e e ()0,2(2)2x x x x y x x x +'=>=+++知单调递增所以，由0(0,2],x ∈得002201e e e e ().2022224x h a x =<=≤=+++因为e 2x y x =+单调递增，对任意21e (,],24λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21e (,],24综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21e (,].245.(Ⅰ) ()(e 1)2mx f 'x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e10mx-≤，()0f 'x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f 'x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e10mx->，()0f 'x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f 'x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|e 1f x f x -≤-的充要条件是(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e +e 1m mm m -⎧-≤-⎪⎨≤-⎪⎩，①，设函数()e e 1t g t t =--+，则()e 1t g't =-．当0t <时，()0g't <；当0t >时，()0g't >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e <0g --=+-，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e +e 1m m ->-．综上可知，m 的取值范围是[1,1]-．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数()(e 1)2mx f 'x m x =-+，根据m 的取值范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；(Ⅱ)12()()e 1f x f x -≤-恒成立，等价于12max ()()e 1f x f x -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．1．【解析】（1）由题可得()e xf 'x x a =-+，设()()e x x x g f 'x a ==-+，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f 'x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f 'x 在(,0)-∞上单调递减，所以()(10)f 'f 'x a ≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f 'x >，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增，因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-，所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0xh'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=，所以211e (1)22t t t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <，故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．2．【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，则，∴.故的取值范围是.1．【解析】（1）依题意，11()1(ln 1)(1ln )22f 'x x x =-+=-，令()0f 'x >，则1l n 0x ->，解得0e x <<，故函数()f x 的单调增区间为(0,e). （2）不妨设12x x <，由()f x a =得，1ln 02x x x a --=，令1()l n 12a g x x x =+-，令1t x =，则1()ln 12g t at t =--，由题意，知方程1ln 102at t --=有两个根12,t t ，即方程l n 22t a t+=有两个根12,t t ，不妨设111t x =，221t x =．令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(t t t h +-='，由0)(>'t h 可得10e t <<，由0)(<'t h 可得1e t >，当1(0)et ∈，时，()h t 是增函数，当1()e t ∈+∞，时，)(t h 是减函数．故结合已知有 1201et t >>>．要证1212e()20x x x x +->，即证12122e x x x x +>，即证12112e x x +>，即证122et t +>，即证1221e e t t >->，即证122()()e h t h t <-．又12()()h t h t =，即证222()()eh t h t <-，令2()=()()ex h x h x ϕ--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0)ex ∈，恒成立．222ln()12ln 1e ()()()2e 22()e x x 'x h x h x x x ϕ-----''=+-=+-． 1(0,)e x ∈，∴222ln 10()ex x x --><-，， ∴22222ln()1ln[()]2ln 1e e ()2222()2()2()e e e x x x x 'x x x x ϕ-----+--->+=---． ∵222()21e ()[]e 2ex x x x +--<=，∴()0'x ϕ>，∴()x ϕ在1(0)e ，上是增函数，∴1()()0ex ϕϕ<=，∴1212e()20x x x x +->得证.核心考点解读——概率考纲解读里的I ，II 的含义如下：I ：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II ：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)(,)B n p.ξ==()CkNμσ(,1．（2017高考新课标Ⅰ，理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42.(2016高考新课标I ，理4)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13 B ．12 C ．23D ．343.（2015高考新课标I ，理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432C ．0.36D ．0.3124．（2017高考新课标Ⅲ，理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？5．（2017高考新课标I ，理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．6.(2016高考新课标I ，理19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P Xn ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？7.(2016高考新课标II ，理18)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.1．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为A BC D 2．从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ． B ． C ．D ．3．ABC △中，,在线段上任取一点，则PAB △的面积小于的概率是 A ． B ． C ．D ．4． 2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，如图，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32n N5．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为，求的分布列.1．在区间内随机取出一个数，使得的概率为A ．B ．C ．D ．2. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等.（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率；（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.真题回顾：1.B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B ．秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 2.B3.A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6⨯+=0.648，故选A.4.（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤.当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-；因此()()2.4120E Y nn n =⨯+-⨯+.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-. 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+. 所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.5.（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.00X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02. 162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值0.09≈.6.（I ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为.（II ）由（I ）知44.0)18(=≤XP ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY(192003500)0.044040+⨯+⨯⨯=.当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .7.（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.8520.051.23.EX a a a =+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ，求出P (B |A )； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A . 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 取每个值时的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出EX ．名校预测1．【答案】B 【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10故选B . 2．【答案】C 【解析】记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能：，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为，故选C ．3．【答案】C 【解析】由得则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△∴PAB △的面积小于的概率为．故选C ． 4．【答案】C 【解析】设奥运五环所占的面积为，矩形的面积为，由在长方形内随机取了个点，经统计落入五环及其内部的点数为，得，则，又单独五个圆环的面积为，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为4085ππnnN P N==，故选C ．5．【解析】（1）因为年龄在人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为，所以抽取的10人中男性，女性人数分别为，（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4，所以人中恰有2女性使用者的概率为，(3)由题意知，的可能取值为，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，,,所以分布列为专家押题1．【答案】D【解析】由题意有2+a−a2>0，解得−1<a<2.由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为.2．【解析】（1）取出的4支球拍上的数字互不相同的事件记为A,取出的4支球拍恰有一副球拍上的数字相同的事件记为B，取出的4支球拍恰有两副球拍上的数字相同的事件记为C，则事件A为事件B与事件C的和事件的对立事件.12115422410C C C C4()C7P B==,25410C1()C21P C==，8()1()()21P A P B P C∴=--=.答：取出的4支球拍上的数字互不相同的概率为821.（2）由题意，知5,4,3,2=ξ，则2222410C C1(2)C210Pξ===；。

2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第3讲含答案

基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.在函数①y＝cos｜2x|,②y＝|cos x｜，③y＝cos错误!，④y＝tan错误!中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B。

①③④C。

②④D。

①③解析①y＝cos｜2x｜＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos错误!的最小正周期T＝错误!＝π；④y＝tan错误!的最小正周期T＝错误!,因此选A。

答案A2。

(2017·温州模拟)函数f(x)＝tan错误!的单调递增区间是（) A。

错误!（k∈Z)B。

错误!（k∈Z)C.错误!（k∈Z)D.错误!(k∈Z）解析当kπ－π2＜2x－错误!＜kπ＋错误!(k∈Z）时，函数y＝tan错误!单调递增,解得错误!－错误!＜x＜错误!＋错误!（k∈Z）,所以函数y＝tan错误!的单调递增区间是错误!（k ∈Z )，故选B.答案 B3。

(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为（ )A.3,－1 B 。

3，－2 C.2，－1 D 。

2,－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1,令t ＝sin x ，则t ∈，y ＝－t 2－2t ＋1＝－（t ＋1）2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.答案 D4.(2016·银川模拟）已知函数f （x )＝sin 错误!（x ∈R ),下面结论错误的是( ）A 。

函数f (x )的最小正周期为πB.函数f （x )是偶函数C 。

函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称 D 。

函数f （x )在区间错误!上是增函数解析 f （x ）＝sin 错误!＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f （x ）是偶函数，B 正确；由函数f (x ）＝－cos 2x 的图象可知，函数f（x）的图象不关于直线x＝错误!对称,C错误;由函数f （x）的图象易知,函数f(x)在错误!上是增函数，D正确.答案C5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数f（x)＝sin(ωx＋φ）错误!的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f错误!成立，则f(x）图象的一个对称中心坐标是（)A。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：导数及其简单应用含答案

1．（2017 高考新课标Ⅱ，理 11）若 x 2 是函数 f ( x) ( x ax 1)e A． 1 C． 5e 3 B． 2e 3 D． 1
2 x 1
2
x 1
的极值点，则 f ( x ) 的极小值为
2．（2017 高考新课标Ⅲ，理 11）已知函数 f ( x) x 2 x a(e A．1) 2e
3 3 , ) 2e 4
4 ． (2015 高考新课标Ⅱ，理 12) 设函数 f ' ( x ) 是奇函数 f ( x )( x R ) 的导函数， f ( 1) 0 ，当 x 0 时，
xf ' ( x ) f ( x ) 0 ，则使得 f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是
e x 1 ) 有唯一零点，则 a=
1 2
1 2
B．
1 3
D． 1
x
3. (2015 高考新课标Ⅰ，理 12) 设函数 f ( x ) = e (2 x 1) ax a , 其中 a 1 ，若存在唯一的整数 x0 ，使得
f ( x0 ) 0 ，则 a 的取值范围是
3 ，1) 2e 3 3 C．[ , ) 2e 4
核心考点解读——导数及其简单应用(选择题、填空题)
导数与函数的单调性（I）导数与函数的极值（II）导数与函数的最值（II） 1.涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等. 2.从考查难度来看，本单元的考点综合性比较高，试题难度相对较大，高考中通常利用函数的求导法则和导数的运算性质，考查函数的的基本性质等． 3.从考查热点来看，利用导数研究函数的单调性、极值以及最值是高考命题的热点，要能够利用导数值的正负对函数图象的影响去分析问题、解决问题.定积分的考查重点在于计算、求曲边多边形的面积等. 1.利用导数研究函数的单调性 (1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略函数的概念、性质、图象含答案精品

核心考点解读——函数的概念、性质、图象(基本初等函数).考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判1．（2017高考新课标Ⅰ，理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2．（2017高考新课标Ⅰ，理5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2016高考新课标Ⅰ，理7)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图象大致为A． B．C． D ．4．（2017高考新课标Ⅲ，理15）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .5．(2016高考，江苏5)函数y的定义域是 .6．(2016高考北京，理14)设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.7．(2016高考，江苏11)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 .8．(2015高考新课标Ⅰ，理13)若函数f (x)=ln(x x 为偶函数，则a =_______________.1．函数的定义域为A．B．C．D．2．已知是定义在错误！未找到引用源。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略： 解三角形 含答案

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