数学知识点新人教A版必修五2.3《等差数列的前n和》word教案-总结

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高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)教案新人教A版必修5

专心爱心用心1高中数学 2.3 等差数列的前n 项和(2)教案新人教A 版必修5【使用说明】1、用30分钟先自学课本P 49-P 50，然后完成问题导学。

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

一、学习目标：1. 理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；2. 在具体的的问题情境中，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能解决相应问题。

二、问题导学：问题1：结合课本4个具体例子分别得到怎样的数列，请把它们都写下来。

问题2：回忆数列的等差关系和等差数列的定义。

观察前面得到的4个数列，说说它们有什么共同特点，由此得到等比数列的定义。

问题3：回顾等差数列的通项公式的推导过程，同学们能推导出等比数列的通项公式么？问题4：类比等差中项，归纳等比中项概念并用式子表示。

问题5：结合课本P50探究，思考等比数列与指数函数的关系。

三、合作、探究、展示例1.47(1)27,3,q a a ==-求241(2)18,8,q a a a ==求与579(3)4,6,a a a ==求51423(4)15,6,a a a a a -=-=求例2.在利用电子邮件传播的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少台计算机？例3.某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2000年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2005年需退耕多少公顷？（结果保留到个位）例4：求下列各数的等比中项：（1）77+- （2）422422(0,0)a b aab b ab ++≠≠与四、达标检测1. 在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递___数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递___数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递___数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是____数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是___数列.2. 1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（）.A. 36B. 48C. 60D. 723. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（）.A. 3B. 4C. 5D. 6五、小结。

高中数学新人教A版必修5教案2.3等差数列的前n项和

等差数列的前n 项和一、教材剖析1．教课内容：本节课是高中人教 A 版必修 5 第二章第三节第一课时的内容。

主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。

2．地位与作用本节课是前方所学知识的持续和深入，又是后边学习“等比数列及其前n 项和” 的基础和前奏。

学好了本节课的内容，既能加深对数列相关观点的理解，又能为后边学好等比数列及数列乞降供给方法。

同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形联合、方程思想），所以“等差数列的前n 项和”不论是在《数列》这一章中仍是在高中数学中都有极为重要的地点，拥有承前启后的重要作用。

二、学情剖析1.知识基础：高二年级学生已学习了数列及等差数列相关基础知识，而且在初中已认识特别的数列乞降及小高斯的故事。

2.认知水平与能力：高二学生已初步拥有抽象逻辑思想能力，能在教师的指引下独立地解决问题。

3.学生特色：平行班里有许多学生基础不差且思想较活跃，能带动其余学生踊跃学习，但办理抽象问题的能力还有待进一步提升。

三、目标剖析知识技术目标：1.掌握等差数列前 n 项和公式；2.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程 ;3. 会简单运用等差数列前n 项和公式 .过程与方法：1．经过平等差数列前n 项和公式的推导, 领会倒序相加乞降的思想方法；2.经过公式的运用领会方程的思想。

感情态度：习兴趣 , 并经过平等差数列乞降历史的认识, 浸透数学史和数学文化.教课要点、难点1、教课要点：等差数列前n 项和公式的推导和应用.2、教课难点：在等差数列前n 项和公式的推导过程中领会倒序相加的思想方法.3、要点、难点解决议略：本课在设计上采纳了由特别到一般、从详细到抽象的教课策略．利用数形联合、类比概括的思想，层层深入，经过学生自主研究，剖析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练联合，进而突出要点、打破教课难点。

四. 教法、学法本课采纳“研究——发现”教课模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的指引 . 学生的学法突出研究、发现与沟通 .五 . 教课过程教课过程设计为六个教课环节：（以以下图）指导思想：就是从特别到一般，由详细到抽象，类比概括总结出指导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，而后指引学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中领会方程的思想方法。

新人教A版高中数学(必修5)2.3《等差数列的前n项和》word说课教案2篇

《等差数列的前n项和》说课提纲河北肥乡第一中学常天永各位专家、老师大家好，今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章第三节。

本节共分两个课时。

我说课的内容是第一课时。

下面我将从背景分析、教学目标、方法手段、教学过程及教学评价五个方面来阐述我对这节课的教学认识。

一、背景分析1．在教材中的地位与作用等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2．重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导、应用及它与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

3．学生的知识与能力学生已经学习了等差数列的通项公式和性质等有关内容。

学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到,要着重引导。

二、教学目标1、知识与技能2、过程与方法3、情感与价值观三、方法手段1.教学方法2.学法指导3.教学媒体四、教学程序设计分为五个阶段：①复习巩固；②情景导入；③新知探究；④应用探究；⑤课堂小结、作业。

具体过程如下：五、评价设计1、本节课在“等差数列前n项和公式”的猜想与推导过程中，充分利用类比推理，使学生体会这种从特殊到一般的推理过程，过程中让学生积极参与、相互交流与合作，让学生感受到参与快乐与收获成果的喜悦。

同时在公式的应用过程中让学生体会构造方程与解方程的思想。

2、在教学中始终本着“教师是课堂教学的组织者，引导者、合作者”的原则，让学生通过观察思考类比、自主探究、合作交流从而收获新知识。

3、在教学中充分的培养学生的观察能力，分析能力、推理能力及应用能力等差数列的前n项和河北肥乡第一中学常天永各位专家、老师大家好，今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章第三节。

人教A版数学必修五2.3《等差数列的前n项和(第一课时)》word教案

2.3 等差数列的前n项和（第一课时）（适合高二年级文科数学）教学内容分析本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。

本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。

等差数列在现实生活中比较常见，因此，等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。

另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。

学生学习情况分析本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。

学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。

但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。

设计思想人本主义学习理论以“人”为中心，把认知和情感合二为一，以便培养出完整的人，强调学生学习内部动机的重要性。

在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学习，教学活动的重心是学生，倡导学生在好奇心的驱使下，进行以经验为中心的“有意义的自由学习”，而不是教师强迫下学生无助地、顺从地学习，教师应成为学生“学习的促进者”。

因此，本节课的教学设计围绕学生展开，在具体问题情境中发现问题，让学生带着思考，经历三个由易到难，由特殊到一般的问题探究，层层铺垫展开学习。

高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n 项和教学目标：1．知识目标： (1)掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程; (2)会简单运用等差数列的前n 项和公式。

2．能力目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、分析、归纳问题的能力。

3．情感目标：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学，热爱数学的情感。

教学重、难点：1.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导与应用；2.教学难点：公式推导过程中的转化思想。

、课型课时：新授课、一课时教学方法：探究法、讲授法教学手段：多媒体教学过程一：知识回顾1、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=2、在等差数列a n 中，若有m +n =p +q , m,n,p,q ∈N +,则a m +a n =a p +a q 二：创设情景，导入新知1、创设情境数学家高斯在上小学时就显示出极高的天赋。

据传说，老师在数学课上出了这样一道题：“1+2+3+……+100=？”，对于十岁左右的孩子来说这个题目是比较困难的，但高斯很快就得到了正确答案。

提问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？思考：1+2+3+.......+101=?2、导入新知①等差数列前n 项和——公式推导（倒序相加）n n a a a a S ......321+++= ①121......a a a a S n n n n +++=-- ②则①+②可得()n n a a n S +=12 即 ()21n n a a n S += 有因为()d n a a n 11-+= 所以()d n n na S n 211-+= 强调：在n n S a d n a ,,,,1五个量中，能知三求二。

（分析公式的特点，熟练记忆所学公式.三：应用举例，巩固新知例：在等差数列{n a }中，已知d=2，n=15，n a =-10，求1a 及n S 四：跟踪练习，巩固所学练：已知等差数列{n a }中，1a =1，n a =19，n S =100，求d 与n 五：小结归纳，扩展深化1、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(5) 新人教A版必修5

等差数列的前n项和第一课时一、教材分析1.教材地位与作用本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1．从特殊到一般的研究方法；2．等差数列的基本元表示；3．逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2.教学目标知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

3.教学重点、难点•等差数列前n项和公式是重点。

•获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。

如果直接介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。

所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。

为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成三、学法分析建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。

在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程1．问题呈现泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

数学知识点人教A版数学必修五 2.3《等差数列的前n项和》(第2课时)目标导学-总结

第2课时等差数列的综合应用1．复习巩固等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式．2．掌握等差数列前n 项和的性质及其应用．3．能够利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d 表示．(2)公式：数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有a n ＝a 1＋______，S n ＝na 1＋________＝________.【做一做1－1】等差数列{a n }的公差d ＝2，a 1＝1，则( )A ．a n ＝2n ，S n ＝n 2B ．a n ＝n ，S n ＝n 2＋nC ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2D ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2－n【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．－2D ．3答案：(1)2 差公差 (2)(n －1)d n (n －1)2d n (a 1＋a n )2【做一做1－1】 C 【做一做1－2】C等差数列前n 项和的性质剖析：数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和具有下列性质：(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 是公差为n 2d 的等差数列，且有S n ＋S 3n －S 2n ＝2(S 2n －S n )．S n ，S 2n ，S 3n 不一定成等差数列，这一点要切记！(2)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1＝d ＋d ＋…＋d ＝nd ，S 奇S 偶＝n 2(a 1＋a 2n －1)n 2(a 2＋a 2n )＝2a n 2a n ＋1＝a n a n ＋1. (3)若项数为2n －1，则S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －2＝n －12(a 2＋a 2n －2)＝n －12×2a n ＝(n －1)a n ， S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n 2×2a n ＝na n ， S 奇－S 偶＝na n －(n －1)a n ＝a n (这里a n ＝a 中)，S 奇S 偶＝na n (n －1)a n ＝n n －1. (4)如果等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则有a nb n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝S 2n －1T 2n －1.题型一等差数列前n 项和的性质应用【例题1】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和．分析：本题基本解法是求a 1，d 或令S n ＝an 2＋bn ，先求S n ，再求S 110，或利用性质．反思：(1)利用已知求出a 1，d ，然后再求所求的量，是基本解法，有时运算量大些，如本题解法一．(2)我们也可以利用等差数列前n 项和的性质，或利用等差数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法，如本题解法三和解法四．题型二实际应用问题【例题2】某长江抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外，还需用20台同型号的翻斗车，平均每辆车要工作24小时才能完成任务．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从附近高速公路上抽调，每隔20分能有一辆车到达，且指挥部最多还可调集24辆车，那么在24时内能否构筑成第二道防线？分析：这25辆车分别完成的工作量按从小到大排起来，组成一个等差数列，计算出这25辆车可以完成的工作量，即这个等差数列的前25项和，如果大于或等于总共需要完成的工作量，就能构筑成第二道防线，否则不能．反思：有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征？(2)是求数列{a n }的通项还是求其前n 项和？(3)列出等式(或方程)求解．(4)怎样求解？(5)答案是怎样的？题型三易错辨析【例题3】已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别记为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10. 错解：a 10b 10＝S 10T 10＝10＋310＋1＝1311. 错因分析：事实上a 10b 10≠S 10T 10，应是a 10b 10＝S 19T 19. 反思：两个等差数列第n 项的比等于它们前2n －1项和的比，不等于它们前n 项和的比．答案：【例题1】解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10， ①②解得d ＝－1150. 代入①，得a 1＝1 099100，则S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150 ＝110×⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 解法二：设此等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 解法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为D ，则前10项的和为10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.解法四：∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2，又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110. 【例题2】解：设第n 辆车工作的时间是a n 小时，则有a n －a n ＋1＝2060＝13(小时)，所以数列{a n }是等差数列，公差d ＝－13，a 1＝24. 如果把所有的25辆车全部抽调到位，所用的时间是2060×24＝8(小时)＜24小时，则这25辆车可以完成的工作量为S25＝a1＋a2＋…＋a25＝25a1＋25×(25－1)2d＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500(小时)．总共需要完成的工作量为24×20＝480(小时)．由于500＞480，所以，在24小时内能构筑成第二道防线．【例题3】正解：a10b10＝a10＋a10b10＋b10＝a1＋a19b1＋b19＝19(a1＋a19)219(b1＋b19)2＝S19T19＝19＋319＋1＝1110.1在等差数列{a n}中，已知a5＋a7＝10，S n是数列{a n}的前n项和，则S11＝( )A．45 B．50 C．55 D．602一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.12，12B.12，1 C.12，2 D．1，12 3现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10 C．19 D．204等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，且5523ab=，则99ST＝__________.5等差数列{a n}的前m项和为3，前2m项和为10，求它的前3m项和．答案：1．C 2.A 3.B 4.235．解：S m＝3，S2m＝10，又2(S2m－S m)＝S m＋(S3m－S2m)，∴2×(10－3)＝3＋(S3m－10)．∴S3m＝21.。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3 等差数列的前n项和教案(1)

（设计意图：1考查学生先创造运用等差数列前n项和公式的条件，灵活应用公式解决问题的能力.2教师可借助此题引导学生在此回忆树形结合的方法，类比等差数列前n项和公式和梯形面积公式，使知识发生纵向联系，加深对公式的应用。）
例3：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
留一点时间供学生思考交流．
（设计意图：探究新知的过程体现学生占主体地位，教师起主导作用的教学理念。学生通过学习会感到数学公式的来历自然不生硬，从学习中也潜移默化的感觉到类似问题的解决方法。）
4、公式应用阶段（15分钟）
例1：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和Sn.
（1）a1=-4,a8=-18,n=8;
①等差数列的定义及定义式；②等差数列的通项公式.
（设计意图：复习通项及性质，帮助学生巩固旧知识，同时为前n项和公式的的推导作好知识准备）
2、问题呈现阶段（新课引入）（2分钟）
创设情境：印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，它所在地是阿格拉市，泰姬陵融合了古印度，阿拉伯和古波斯建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征。传说泰姬陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？
（2）a1=14,d=0.7,an=32.
采用学生自主解决的方法。
（设计意图：学生自主解决目的是让学生理解记忆，并会直接应用等差数列的前n项和公式）

高中数学2.3等差数列的前n项和教案新人教A版必修5

第二节等差数列及其前n 项和学习目标:1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．（重点）3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 基础知识梳理(一)等差数列的有关概念1．等差数列：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：若数列a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的．且思考： A ＝a ＋b2是a ，A ，b 成等差数列的什么条件？(二)等差数列的有关公式1．通项公式：a n ＝ .2．前n 项和公式：S n ＝＝ . (三)等差数列的性质1.通项公式的推广：a n ＝ a m + ____________________ (n ，m ∈N*)． 2．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列, 则 a m ＋a n ＝a p +a q . 特别地：若2,m n p +=则____________________3.若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列.考点一等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3 (n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．练习：1.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{S nn}是等差数列； (2)求S n .2.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，2a n ＝1a n ＋1＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.考点二、等差数列的基本运算[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．练习．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝______. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________考点三、等差数列的性质[例3]1.在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________{} _______n a a a S 481116112．在等差数列中，已知＋＝，则该数列前项和＝ 3.等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于 ________102030{}________.n n a n S S S S 10304．已知等差数列的前项和为，且＝，＝，则＝考点四、等差数列前n 项和的最值例4.设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．练习：在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．课堂小结1、等差数列的判定方法2、等差数列的性质3、等差数列的前n 项和和最值得解法作业三维设计56页1,2题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和一.学习目标：1.理解数列前n项和Sn的概念，并掌握Sn与an的关系.2.通过等差数列前n项和公式的推导体会倒序相加的思想.3.会选择恰当的公式解决简单的等差数列求和问题.4.体会两组公式分别从哪些角度反映了等差数列的性质.二．教学重点、难点：1.教学重点：掌握数列的前n项Sn与an的关系、差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题，体会两组公式所反映出的等差数列的性质是本节课的重点.2.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得是难点.三.新课内容：1.数列的前n项和①Sn=_______________②Sn与an的关系③题型练习：已知数列{an}的前n项和Sn=n2则通项公式an=_______2.你能快速求出1+2+3+...+100=?3.这种方法能推广到求一般的等差数列求前n项和？为什么？Sn=a1+a2+a3+...+an4.等差数列前n项和公式Sn=_______5.题型练习:已知等差数列{an}中①a1=-4,a8=-18则S8=______②S10=120,则a2+a9=______③a7=2,则S13=_______※该公式从哪个角度体现了等差数列的性质？6.等差数列的前n 项和Sn=________7.题型练习：已知等差数列{an}中①a1=-16,d=4,则S6=_______;Sn=_______②上式中，当n 取何值时，Sn取到最小值？※该公式从哪个角度说明了等差数列的性质？三.课堂小结、作业1.课堂小结：2.作业：课本44页例3、例4以及45页的练习题.3.思考：题型练习3中的第二问可否从通项公式着手解答？四.板书设计五.教学反思。

人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教案(最新整理)

例题 2
法 2：由题意知 s10 310 ,
s20 1220 代入公式
解:设从 2001 年起第 n 年投入的资金为
an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列, 其中 a1=500, d=50
sn
n(a1 an ) 得： 2
那么，到 2010 年（n=10），投入的资金
总额为
s10
10 500 10 9 50 2
三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类
比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。四. 教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求
深化认识
和时倒序相加是否可行。从而
得出任意项数的等差数列求和
都可用倒序相加法，确立倒序
相加的思想和方法！
奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。
动画演示：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？
sn
n(a1 an ) , 2
sn
na1
n(n 1) d;
2
4、前 n 项和公式的灵活应用及方程的思想。
课后作业
1. 课本 P40 习题 2.2 A 组
第 4，5，B 组第 2 题
2.配套练习
六、作业布置：（一）书面作业： 1.已知等差数列{an},其中 d=2,n=15,

人教A版高中数学必修5第二章2.3 等差数列的前n项和教案

高一数学集体备课教案教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点灵活应用求和公式解决问题.第一课时导入新课高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050. 师这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.（二）、推进新课［合作探究］师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是221)211(⨯+.师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{a n}的前n项的和S n?生 1 对于问题(2)，我这样来求：因为S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，S n =a n +a n -1+…+a 2+a 1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ，所以2)(1n n a a n S +=.(Ⅰ) 生2 对于问题(2)，我是这样来求的：因为S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+…+［a 1+(n -1)×d ］，所以S n =na 1+［1+2+3+…+(n -1)］d =na 1+2)1(-n n d , 即S n =na 1+2)1(-n n d .(Ⅱ) ［教师精讲］其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ,有利于我们的记忆.［方法引导］师如果已知等差数列的首项a 1，项数为n ，第n 项为a n ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a 1，项数为n ，公差d ，则求这数列的前n 项和用公式(Ⅱ)来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生每个公式中都是5个量.师如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).师当公差d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n 可表示为n 的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.［知识应用］【例1】 (直接代公式)计算：(1)1+2+3+…+n ；(2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.生 (1)1+2+3+…+n =2)1(+n n ；(2)1+3+5+…+(2n -1)=2)11(-+n n =n 2；(3)2+4+6+…+2n =2)22(+n n =n (n +1). 师第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用S n 公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生(4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.师很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.【例2】（课本例1)分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?生由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.师这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)【例3】(课本例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？生必须要确定首项a1与公差d.师首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？生由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.(解答见课本)师通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.［合作探究］师请同学们阅读课本例3，阅读后我们来互相进行交流.(给出一定的时间让学生对本题加以理解)师本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?生从所给的和的公式出发去求出通项.师对的，通项与前n项的和公式有何种关系?生当n=1时，a1=S1，而当n ＞1时，a n=S n-S n-1.师回答的真好!由S n的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，即a n=S1(n=1),S n -S n -1(n ≥2).这种已知数列的S n 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项a n =2n -21，我们从中知它是等差数列，这时当n =1也是满足的，但是不是所有已知S n 求a n 的问题都能使n =1时，a n =S n -S n -1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.生1 这题中当n =1时，S 1=a 1=p +q +r ；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2pn -p +q ，由n =1代入的结果为p +q ，要使n =1时也适合，必须有r =0.生2 当r =0时，这个数列是等差数列，当r ≠0时，这个数列不是等差数列. 生3 这里的p ≠0也是必要的，若p =0，则当n ≥2时，a n =S n -S n -1=q +r ，则变为常数列了，r ≠0也还是等差数列.师如果一个数列的前n 项和公式是常数项为0，且是关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.（三）、课堂练习：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ (学生板演)解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项和为S n ,则a 1=-10,d =(-6)-(-10)=4,S n =54,由公式可得-10n +2)1(-n n ×4=54.解之,得n 1=9,n 2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)（四）、课堂小结：师同学们，本节课我们学习了哪些数学内容? 生 ①等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=,②等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. 师通过等差数列的前n 项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生 ①通过等差数列的前n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3 等差数列的前n项和教案(4)

2.3等差数列的前n 项和(第1课时)一、教学内容分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（人教A 版）中第二章的第三节“等差数列的前n 项和”（第一课时）．本节对等差数列前n 项和的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，分两个课时，本节课内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用，其学习平台是学生已经掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法：倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的定义和通项公式，掌握了一些等差数列的性质，而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．方法与过程：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美．通过具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n 项和公式，初步学会用公式解决一些简单问题，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n 项和公式推导思路的获得．五、教学过程设计（一）双基回眸，巩固已学知识促进新知生成①等差数列定义：即d a a n n =--1()2≥n 或d a a n n =-+1.②若三个数b A a ,,成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项,即b a A +=2. 若{}n a 为等差数列,则)2(211≥+=+-n a a a n n n .③等差数列{}n a 通项公式：()d n a a n 11-+=. ()d m n a a m n -+= ④若{}n a 为等差数列，如果()*∈=+=+N r q p n m r q p n m ,,,,2，则 r q p n m a a a a a 2=+=+.（二）创设情景，唤起学生知识经验一个V 形架上面有一堆铅笔，最下面一层放一支，依次每一层都比下面一层多放一支，最上面一层放100支.问：这个V 形架上共放有多少支铅笔？[设计意图] 通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，其作用就在于提升学生的经验，从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．（三）由特殊到一般，自主探究与合作问题1：如何求=++++99321Λ？问题2：如何求=++++n Λ321？[设计意图]从项数为偶数到项数为奇数再到项数为n,由特殊到一般问题由浅入深层层深入，学生思维自然过渡，引导学生自主探究。

高二数学人教A版必修五2.3《等差数列前N项和》word教案2

“体现高中数学相关分支教育价值的教学设计”———等差数列的前n项和(人教A版必修5第二章第三节)永安市第一中学黄金明一、内容和内容解析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．是数列的基本概念和等差数列知识的延续，也是后续学习积分、极限等知识的基础，起着承上启下的重要作用。

本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和及该求和公式的应用,该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。

通过等差数列前n项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的研究问题的方法，体现“授之于鱼，不如授之于渔”的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来体现数学课堂的方法价值、应用价值、类比价值；这些价值的渗透有利于提升学生的数学素养。

二、目标和目标解析知识与技能目标:理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；过程与方法目标学生在教师的引导下，经历从特殊到一般、再从一般到特殊的过程中，探究得到等差数列前n项和公式，进一步体会特殊与一般、化归与转化、函数与方程（组）等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，创新意识与应用意识得到发展。

情感态度价值观学生通过对高斯成长经历的了解，体会他的奉献精神和治学态度，借鉴他的思维方式，培养严谨、细致、勇于探索、敢于创新的良好学习态度。

基于以上教学目标的分析，确立本节课的教学重点是：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决求和问题三、教学问题诊断分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．因为首尾配对法还需要分奇数、偶数两种情况讨论，偶数的情况学生相对较为熟悉，也更容易掌握；奇数的情况时，学生对配对后的项数及剩下的中间项较容易产生错误。

数学必修五人教版2.3 等差数列的前n项和教案

2.3等差数列的前n 项和（一）一、教学目标1、等差数列前n 项和公式．2、等差数列前n 项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入：1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n≥2，n ∈N +）2．等差数列的通项公式：（1）d n a a n )1(1-+= （2）=n a d m n a m )(-+ （3） n a =pn+q (p 、q 是常数)3．几种计算公差d 的方法：① n a d =－1-n a ② 11--=n a a d n ③ m n a a d m n --=4．等差中项：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .“小故事”1、2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、讲解新课：1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=． 2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= ．用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1．但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个．公式二又可化成式子： n d a n d S n )2(212-+=，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．三、例题讲解例1、(1)已知等差数列{an}中, a 1 =4, S 8 =172,求a 8和d ;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：(1) 392)4(817288=⇒+=a a 5)18(439=⇒-+=d d (2)设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．例2、教材P43面的例1解：例3．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．解：由1007<n 得 72147100=<n ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 是为首项71=a 9814=a 等差数列．∴ 7352)987(14=+⨯=n S 答：略．例4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S .（学生练→学生板书→教师点评及规范）练习：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S . ⑵在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，求20S .例4．已知等差数列{a n }前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得⎩⎨⎧=+++=+++---,67,213214321n n n n a a a a a a a a两式相加得,88)()()()(3423121=+++++++---n n n n a a a a a a a a又,3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a 所以221=+n a a又2862)(1=+=n n a a n S ，所以n=26．例5．已知一个等差数列{a n }前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项的和吗？.思考：（1）等差数列中1020103020,,S S S S S --，成等差数列吗？（2）等差数列前m 项和为m S ,则m S 、m m S S -2.、m m S S 23-是等差数列吗？练习：教材第118页练习第1、3题．三、课堂小结：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += ； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=．四、课外作业：1.阅读教材第42～44页；2.《习案》作业十三．2.3 等差数列的前n 项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ．教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+=2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

《等差数列前n项和》教案4(新人教A版必修5).docx

2.3等差数列的前n项和(2)教学目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.进一步理解等差数列的前n项和公式的函数关系，能解决前n项和的最值问题. 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式，最值的求解教学难点:灵活应用求和公式解决问题.教学方法:启发式教学法与讲练相结合教学过程：一•要点回顾1 •等差数列的通项公式: __________2•等差数列的前n项和公式: ______3•等差数列的前n项和公式是关于项数n的________ 函数,其解析式为: __________4•等差数列的通项公式和前n项和公式中一共出现—个量，可以通过知_求_体现_思想。

5•等差数列他｝S” = 35,色=11, d = 2则& = ___________________ n= _____6.在等差数列仏｝中，已知- 48 Sv = 168求a】和〃；二例题分析：■【变式】求在1000以内的(小于等于1000)正整数中，能被2整除，但不能被6整除的所有正整数的个数，并求它们的和。

1.在等差数列i a n｝中，^+a2+a3 =2 ,卬+条+条=1°,求+坷4 +°15【归纳】【推广】已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求前30项的和3.已知仏｝ , ｛仇｝都成等差数列，且= 5 ,也=15 , °100 + ^100 = 1 °。

试求数列｛勺+仇｝的前100项之和S]00・4.一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32： 27,求公差。

仰军一：设首项为％,公差为〃贝XS 奇 + S 偶=354解二：v S 偶 _ 32 A =27 5. 若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少 18,求此四数。

三小结四.作业1.在所有三位数中，有多少个能被11整除的数？并求这些能被11整除的三位数的和。