几何画板的尺规作图与非尺规作图
尺规作图总结
一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出“已知，求作，作法”三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
几何画板的特点和应用
几何画板的特点和应用几何画板是一种专门用于绘制几何图形的工具，其特点和应用可总结如下：1.特点几何画板通常由一个平面木板或塑料板构成，上面有一些固定的轨道和孔洞，用于放置和固定绘图工具，例如直尺、角规等。
画板上还会标有坐标轴和刻度线，方便测量和定位。
几何画板以其简单易用、精确性高等特点而受到广泛应用。
2.应用几何画板在教育、科学和工程等领域有广泛的应用，其主要用途如下：2.1教学工具几何画板是几何学教学中的常用工具，通过实际操作可以帮助学生理解和掌握几何图形的性质和相关定理。
学生可以使用画板绘制直线、角、多边形等几何图形，并进行测量和比较。
通过实地操作，学生可以更加直观地感受几何图形的性质，加深对几何学知识的理解。
2.2几何作图几何画板是制作几何图形的理想工具，可以帮助人们快速、准确地绘制各种几何图形。
例如，利用画板的直尺和角规，可以绘制直线、角、三角形等固定形状；借助画板上的圆心孔和刻度线，可以绘制圆、弧以及各种曲线等。
由于画板具有固定的轨道和定位孔洞，绘制的图形能够保持一定的精确度，能够满足实际应用中对几何图形精度的要求。
2.3几何推理几何画板常用于展示几何推理的过程和结果。
通过在画板上绘制几何图形，并利用尺规作图原理进行推理，可以展示和证明几何定理。
例如，可以在画板上绘制两个等腰三角形，然后利用角平分线和边的平分线的性质，推导出它们底角相等的结论。
通过画板的实际操作，可以帮助人们更好地理解几何推理的过程和思路。
2.4工程设计几何画板在工程设计中也有广泛的应用。
例如，土木工程师可以使用画板来绘制道路和桥梁的平面布置图，确定各个构件之间的相对位置和尺寸；建筑师可以利用画板来绘制建筑物的立面图和剖面图，展示建筑物的形状和结构。
通过画板的绘制，可以帮助工程师更好地理解和分析设计需求，提高设计的精确度和效率。
综上所述，几何画板具有简单易用、精确性高等特点，广泛应用于几何学教学、几何作图、几何推理以及工程设计等领域。
初中几何基本尺规作图动态演示附画板课件
初中几何基本尺规作图动态演示附画板课件一、作一条线段等于已知线段已知：线段a求作：线段AB，使AB=a．作法：(1)作一条直线l；(2)在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段a的长度为半径画弧，交直线l于点B．线段AB就是所求作的线段.二、作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF= ∠AOB．作法：（１）在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点P，Q；（２）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；（３）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（２）步中所画弧于点F；（４）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．三、用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线．作法：(1)分别以点 A，B为圆心，大于AB长为半径（为什么？）画弧交于点E,F．(2)过点E,F作直线．则直线EF就是线段AB的垂直平分线．四、用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线作法：１以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,OB于点M,N，２分别以点M,N为圆心，以大于MN 长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点 P．３作射线OP，则OP为所要求作的∠AOB的平分线.五、经过一点作已知直线的垂线由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求作的垂线．2.经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：(1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁；(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；(4)作直线CF．直线CF就是所求作的垂线．在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。
善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
利用几何画板可以很快速地作出角的平分线，但在研究角平分线的相关性质时会需要利用尺规作图，以便能更好地理解。
下面就介绍尺规作图法怎样构造几何画板角平分线。
（几何画板官网）
操作步骤如下：
1.利用线段工具构造一个角，顶点为O。
利用圆工具以O点为圆心，任意长为半径画圆。
利用线段工具和圆工具构造角与圆
2.圆O与角的两条边产交点分别为A、B。
选中点A、B，选择“构造”——“以圆心和圆周上的点绘圆”构造出圆A，同样的方法构造圆B。
两圆的交点为P。
利用圆工具分别以A、B为圆心AB为半径画圆
3.选中点O、点P，选择“构造”——“线段”，线段OP就是角的平分线。
选中多余的圆与点，按下“Ctrl+H”，尺规作图完成。
选中点O、点P构造线段即为角平分线
以上内容向大家介绍了尺规作图法构造几何画板角平分线的方法，操作非常简单，可以看到作图过程中利用了几何画板圆工具，利用圆工具可以辅助构造很多图形，比如等分线段。
尺规作图课件
作圆的直径与半径
总结词
利用直尺和圆规，可以轻松作出圆的直径和半径。
详细描述
首先确定圆心和任意一点在圆上，然后使用直尺和圆规，通过测量和画线，可以作出圆的直径或半径。直径是穿 过圆心且两端都在圆上的线段，而半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
04
尺规作图的进阶技能
作已知直线的中垂线
总结词
通过给定直线上的一个点，使用尺规作已知直线的中垂线。
02
尺规作图的基本知识
尺规作图的工具与材料
工具
直尺、圆规、斜边尺
材料
白纸、铅笔、橡皮
尺规作图的规则与限制
规则
只能使用直尺和圆规，不能使用其他工具。
限制
不能折叠、剪切或黏贴图形。
尺规作图的步骤与方法
步骤一
确定作图目标，理解题 目要求。
步骤二
根据题目要求，使用直 尺和圆规绘制草图。
步骤三
仔细检查草图，确保符 合尺规作图的规则和限
制。
步骤四
修改和完善草图，直至 达到预期的作图目标。
03
尺规作图的基本技能
作平行线与垂直线
总结词
利用直尺和圆规，可以轻松作出 平行线和垂直线。
详细描述
首先确定一个点作为起点，然后 使用直尺和圆规，通过测量和画 线，可以作出与已知直线平行的 直线或与已知直线垂直的直线。
作角的平分线
总结词
利用直尺和圆规，可以将一个角平分 成两个相等的角。
何图形。
尺规作图的限制在于只能使用直 尺和圆规，不能使用其他工具来
辅助作图。
尺规作图的历史与发展
尺规作图的历史可以追溯到古希腊时期，当时数学家们开始研究如何使用直尺和圆 规来完成各种几何图形。
几何中的尺规作图法
第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。
二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆；（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下面列举一些：（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（15）作两已知圆的内、外公切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n 倍或n 等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段,,a b c 的第四比例项。
（21）作已知两线段,a b 的比例中项。
（22）已知线段,a b 作一线段为22x a b =+，或作一线段为22()x a b a b =->。
数学中的几何图形与尺规作图
数学中的几何图形与尺规作图几何学是数学的一个重要分支，研究各种几何图形及其性质。
在几何学中，尺规作图是一种重要的方法，它通过使用直尺和圆规来构造各种几何图形。
本文将介绍几何学中常见的一些图形以及尺规作图的基本原理和方法。
一、点、线、面的基本概念在几何学中，点、线、面是最基本的概念。
点是没有大小和形状的，只有位置的概念；线是由无数个点连成的轨迹，没有宽度，只有长度；面是由无数个线连成的平面，具有宽度和长度。
二、常见的几何图形1. 直线和线段直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点，可以延伸到无穷远；线段是直线上的一段有限长度。
2. 射线射线是由一个起点和一个方向确定的，可以延伸到无穷远的线段。
3. 角角是由两条射线共享一个起点组成的图形。
角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
4. 三角形三角形是由三条线段组成的图形，它有三个顶点和三条边。
根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
5. 四边形四边形是由四条线段组成的图形，它有四个顶点和四条边。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形等。
6. 圆圆是由一个固定点到平面上所有距离相等的点所组成的图形。
圆由圆心和半径来确定，圆心是圆上任意一点到圆心的线段的中垂线。
三、尺规作图的基本原理和方法尺规作图是一种使用直尺和圆规进行几何图形构造的方法。
它基于以下两个基本原理：1. 直尺原理直尺原理指出，可以用直尺连接两个已知点，得到一条直线。
2. 圆规原理圆规原理指出，可以以已知点为圆心，已知长度为半径，画出一个已知的圆。
在尺规作图中，常用的基本作图方法包括：1. 作线段已知两点A和B，可以使用直尺连接这两个点，得到线段AB。
2. 作垂线已知一条直线和一点C，在这条直线上取一点D，然后以点D为圆心，以任意长度为半径画一个圆，得到与直线交于点E和F的两个交点，连接点C和点E或点F，得到垂线。
3. 作平行线已知一条直线和一点G，在这条直线上取一点H，然后以点H为圆心，以任意长度为半径画一个圆，得到与直线交于点I和J的两个交点，连接点G和点I或点J，得到平行线。
完整版几何画板教程
完整版几何画板教程2篇完整版几何画板教程（上）导言：在学习几何的过程中，几何画板是一个非常重要的工具。
使用几何画板可以帮助我们更直观地理解几何概念，并通过绘图来解决各种几何问题。
本文将介绍如何使用完整版几何画板来进行几何学习和解题。
第一部分：几何画板的安装和准备工作几何画板通常是通过软件模拟实现的，因此我们需要在电脑上安装相应的软件。
目前市面上有很多几何画板软件可供选择，例如GeoGebra、Cabri等。
在选择软件时，可以根据个人喜好以及软件的用户评价来进行选择。
安装完软件后，我们需要进行一些准备工作，以便于更好地使用几何画板。
首先，我们需要熟悉软件的界面和操作方式。
不同的软件界面和操作方式可能会有所不同，但总体上都包括了绘图区域、工具栏和属性设置等功能区域。
通过熟悉这些功能区域，我们可以更方便地进行几何画板的操作。
其次，我们需要设置一些常用的画板属性。
这些属性包括画板的背景颜色、坐标轴设置、单位长度设置等。
通过设置这些属性，我们可以根据具体的几何问题来调整画板的显示方式，以便更好地展示问题的特点。
第二部分：基本绘图命令的使用在熟悉了几何画板的界面和操作方式后，我们可以开始学习一些基本的绘图命令。
这些命令包括绘制点、线段、直线、射线、角等几何元素。
绘制点是几何画板的基本操作，我们可以通过命令或者鼠标点击来进行绘制。
绘制点时，我们需要注意点的名称和位置，以便后续的绘图和问题解答。
绘制线段、直线和射线是我们进行几何推理和证明的重要工具。
通过绘制线段、直线和射线，我们可以直观地看到它们的长度、方向和位置关系。
在绘制线段时，我们可以通过指定两个点的位置来确定线段的长度和方向。
在绘制直线和射线时，我们可以通过指定一点和一直线上的另一点来确定直线和射线的位置和方向。
绘制角是进行角度测量和推理的基础。
通过绘制角，我们可以直观地看到角的大小、类型和位置关系。
在绘制角时，我们可以通过指定三个点的位置来确定角的大小和类型。
《几何画板》简介
《几何画板》简介《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。
它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。
它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。
它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，它能显示或构造出其它较为复杂的图形。
它的特色首先能把较为抽象的几何图形形象化，但是它最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。
《几何画板》操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。
它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容--例如部分物理、天文问题等。
因此，它非常适合于几何老师使用，因为用它进行开发最关键的是“把握几何关系”--这正是老师所擅长的。
用《几何画板》进行开发速度非常快。
一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5--10分钟。
正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。
学习数学需要数学逻辑经验的支撑，而数学经验是从操作活动中获得。
离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。
在老师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。
学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。
因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。
如何用几何画板作一个角等于已知角
如何用几何画板作一个角等于已知角
在研究几何时，有的时候需要作一个角等于已知角，我们可以利用尺规作图法画出这样的角，那么怎样用几何画板作一个角等于已知角呢？
具体的操作步骤如下：
1.度量已知角的度数。
依次选中已知角的三个顶点，执行“度量”——“角度”命令度量角的度数。
执行“度量”——“角度”度量已知角的度数
2.在所需要的地方画一条线段，作为要画的角的一边，然后双击其中一个端点，使其作为标记中心。
作角的一边并双击其中一个端点为标记中心3.选中度量的已知角的度数，执行“变换”——“标记角度”；
选中度量的度数对已知角标记角度
4.选中所画的角的一边，执行“变换”——“旋转”（在弹出旋转的对话框中，选标记角度），单击“旋转”按钮，即可得到一个等于已知角的角。
选中角的一边执行“变换”——“旋转”得到角
以上给大家介绍了利用几何画板作一个角等于已知角的方法，过程很详细，大家照着练习就能掌握了。
数学的技巧学会使用尺规作
数学的技巧学会使用尺规作数学的技巧学会使用尺规作图数学是一门抽象而又实用的学科，它的应用广泛，涉及到各个领域。
在学习数学的过程中，我们不仅要掌握理论知识，还要学会运用各种技巧来解决问题。
其中，尺规作图是一项重要的技巧，它能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。
一、尺规作图的基本概念尺规作图是指用直尺和圆规来进行几何图形的绘制。
直尺用来画直线，圆规用来画圆或弧。
这两个简单的工具在几何学中的作用非常大，它们可以帮助我们准确地绘制各种形状，并解决与之相关的问题。
二、尺规作图的基本步骤尺规作图通常包括以下几个基本步骤：1. 给定条件：首先，我们需要明确问题中给出的条件和要求。
只有清楚地了解了问题的背景和要求，才能进行下一步的操作。
2. 画基本几何形状：根据给定的条件，我们需要用直尺和圆规来画出一些基本的几何形状，比如线段、角、三角形等。
这些形状将为后面的操作提供基础。
3. 利用尺规作图的基本构造方法：尺规作图有一些基本的构造方法，比如平行线的作图、垂直线的作图、角的平分线的作图等。
在解决问题时，我们可以根据这些基本构造方法来进行操作。
4. 综合运用尺规作图的方法：有时，我们需要综合运用多个尺规作图的方法来解决一个问题。
这就需要我们充分发挥自己的思维能力和创造力，在实际操作中灵活运用各种方法。
三、尺规作图的应用举例下面我们通过几个实例来看一下尺规作图在数学问题中的应用。
例1：已知一个长方形的长和宽，如何用尺规作图构造这个长方形？解：首先，我们可以使用直尺来画两条相等长度的线段，作为长方形的长和宽。
然后，我们可以通过圆规来画出长方形的四个顶点，并将相邻的顶点用直线连接起来。
最后，我们就可以得到所要构造的长方形。
例2：如何用尺规作图将一个已知长度的线段等分成n等分？解：首先，我们可以使用直尺来画出一个等于已知线段长度的线段。
然后，我们可以使用圆规来作n个弧，以该线段的两个端点为圆心，且圆规的半径等于该线段长度。
基于《几何画板》的初中数学教学研究
ＰＪ、Ｐ ・ ） 的值 始 终相 等 ． Ｅ ＪＤ ｝ Ｆ
（） 的长度， 拖动点 ， 可以看到随着 值的改变，
Ｙ 在改 变 ； 值 ⑧ 描 点 ： 示平 面 直 角坐 标系 ， 显 先后 选 中 Ｘ 、
着重点在于帮助学生领会几何事实， 用运动变化 的观点去看待、认识几何 图形的变化， 从而提高
对 数 学 问题 的认 识 ．
《 几何画板》 能完成所有的尺规作图， 因为它 能运动， 从而体现 出任意性， 免了尺规 作图的 避
看起来却像一 门试验性 的归纳科学． ”要全 面提 高学生的数学 素质， 就要在数学教学 中充分体现 它 的 两个 侧 面． 重 视数 学 内容 形 式化 、抽 象 化 既 的一面， 又重视数学 发现、数学创造过程 中具体 化 的 一面 ， 后 者对 于 初 中数 学 教学 显 得更 为 重 而
的测量值， 在平面 内画点Ｐ（ ，）并追踪点Ｊ； ｘ ， Ｆ ） ④ 图形变化生成 图像： 双击“ 动画” 钮， 按 点 Ｃ在线段ＡＢ上作来回运动， 同时也生成了 关
教 学 中， 生对 第 ① 、 ② 小 题 都 能轻 松 解 学
１— ２ ｏ ｉ
Ｉ． 学 ｔ学教
２１ 年第 １期 ００ ０
决， 而对第 ③ 小题， 大多数则认为点移动时的长 度不 变 ． 时 可进 行 如 下 的操 作过 程 ： 这
① 画 出 图形： 线 段 Ｂ上 取 点 后， 在 按题 意 画 图． 点 在 线 段 ＡＢ上 的 “ 画” 钮； 作 动 按
要．
偶然性 （ 特殊性 ）于是把一些过去只可意会的过 ， 程或现象表现得淋漓尽致， 为培养学生的观察、
尺规作图方法介绍课件
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现实和理想之间，不变的是跋涉， 暗淡与辉煌之间，不变的是开拓；
整理你的行装，
不同的起点，可以到达同样辉煌的终点。
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感谢 聆听！
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l 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。 只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆 规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开 成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
2
一、何为“尺规作图”
l 尺规作图，起源于古希腊。 l 希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因： ①希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定(定义、公理、公设)出发，推导
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二、 “尺规作图”可能问题
7、几种常见的尺规作图方法
(2)代数作图法： 例3，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周
(已知圆心)。
例4，求作一正方形，使其面积等于已知 ⊿ABC的面积。
14二、Βιβλιοθήκη “尺规作图”可能问题7、几种常见的尺规作图方法
(3)旋转作图法： 例 5 ， 已 知 ： 直 线 a、 b、 c， 且 a/ b/ c.
求作：正⊿ABC，使得A、B、C 三点分别在直线a、b、c上.
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二、 “尺规作图”可能问题
7、几种常见的尺规作图方法
(4)位似法作图： 例6，已知：一锐角⊿ABC
求作：一正方形DEFG，使得D、E在 BC上， F在AC上， G在AB上.
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二、 “尺规作图”可能问题
7、几种常见的尺规作图方法
(5)面积割补法 例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P，
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二、 “尺规作图”可能问题
几何画板的尺规作图与非尺规作图
第四讲授课提纲主题：几何画板的尺规作图与非尺规作图第一部分：几何画板的尺规作图一、基础知识尺规作图即仅利用一把无刻度的直尺和一只圆规进行的作图。
因而所作出的图形不外乎点、线（线段、射线与直线）和圆（圆周、圆弧）。
许多几何图形无法仅用尺规完成作图，比如：三角函数曲线、二次曲线以及三等分一个任意角等问题。
这里主要介绍几何画板的尺规作图，利用工具框中的作图工具和作图菜单中的命令进行尺规作图。
它是几何画板的最基本的应用。
1．工具框中的作图工具工具框中的作图工具在前面已作过介绍，这里再作些补充。
图4.1图4.1是选择/移动工具的全景图。
在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。
左起第二格为“选择/平移”工具（默认状态），第三格为“选择/旋转”工具，第四格为“选择/缩放”工具。
改变工具的方法是：用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。
图4.1下图是直尺工具的全景图。
在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。
左起第二格为线段工具（默认状态），第三格为射线工具，第四格为直线工具。
改变工具的方法是：用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。
2．作图菜单中的命令为叙述方便，我们再次列出可作的图形的类型及其前提条件，如表4.1所示。
表4.1几点说明：1．作图的前提条件是指要作出某个图形对象，必须由哪些对象作为前提。
这里涉及到几何画板的一个重要概念——对象的层次性。
几何画板中的点、线、圆对象不是始终处于同一个层次的。
对某一个对象而言，那些派生它的对象被称为该对象的父母对象，而由该对象进一步派生出的对象则被称为该对象的子女对象。
在一个绘图窗口中，可以“三代同堂”、“四代同堂”，甚至“几十代同堂”。
举两个简单的例子，在图4.2中：（1）对线段AB而言，其父母对象为点A、B，而其子女对象为线段的中点C，此图为“三代同堂”；（2）对圆的半径DF而言，其父母对象为点D、F，而其子女对象为过F与线段DF相垂直的（切）线；对圆DE而言，其父母对象为点D、E，而其子女对象为点F。
初中尺规作图详细讲解含图
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形==.2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边为1的的长度自然就出来了.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形作法：⑴ 作线段12MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点． 【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h=△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．A CB 图1 ADB 图2C AD B 图3 C FE 图4设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．E M （答案图1）E M （答案图2）。
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第四讲授课提纲主题：几何画板的尺规作图与非尺规作图第一部分：几何画板的尺规作图一、基础知识尺规作图即仅利用一把无刻度的直尺和一只圆规进行的作图。
因而所作出的图形不外乎点、线（线段、射线与直线）和圆（圆周、圆弧）。
许多几何图形无法仅用尺规完成作图，比如：三角函数曲线、二次曲线以及三等分一个任意角等问题。
这里主要介绍几何画板的尺规作图，利用工具框中的作图工具和作图菜单中的命令进行尺规作图。
它是几何画板的最基本的应用。
1．工具框中的作图工具工具框中的作图工具在前面已作过介绍，这里再作些补充。
图4.1图4.1是选择/移动工具的全景图。
在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。
左起第二格为“选择/平移”工具（默认状态），第三格为“选择/旋转”工具，第四格为“选择/缩放”工具。
改变工具的方法是：用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。
图4.1下图是直尺工具的全景图。
在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。
左起第二格为线段工具（默认状态），第三格为射线工具，第四格为直线工具。
改变工具的方法是：用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。
2．作图菜单中的命令为叙述方便，我们再次列出可作的图形的类型及其前提条件，如表4.1所示。
表4.1几点说明：1．作图的前提条件是指要作出某个图形对象，必须由哪些对象作为前提。
这里涉及到几何画板的一个重要概念——对象的层次性。
几何画板中的点、线、圆对象不是始终处于同一个层次的。
对某一个对象而言，那些派生它的对象被称为该对象的父母对象，而由该对象进一步派生出的对象则被称为该对象的子女对象。
在一个绘图窗口中，可以“三代同堂”、“四代同堂”，甚至“几十代同堂”。
举两个简单的例子，在图4.2中：（1）对线段AB而言，其父母对象为点A、B，而其子女对象为线段的中点C，此图为“三代同堂”；（2）对圆的半径DF而言，其父母对象为点D、F，而其子女对象为过F与线段DF相垂直的（切）线；对圆DE而言，其父母对象为点D、E，而其子女对象为点F。
此图为“四代同堂”。
A BC图4.22．作图的前提对象必须适当，不能弄错前提。
比如：作一个角的平分线必须选择构成该角的三个点，而不是构成该角的两条边；作一个三角形的内部必须选择构成该三角形的三个点，而不是构成该三角形的三条边。
3．作图的前提对象不能多，也不能少。
比如：作线段AB的垂直平分线，必须而且只须选中线段中点C和线段AB本身。
4．由于作已知线段的中点、过已知点作已知直线的垂线、过已知点作已知直线的平行线、作已知角的平分线、作过不在同一条直线上三个点的弧都可以仅利用尺规完成作图，因此本章在讲述几何画板的尺规作图时，将利用这些命令所作的图，均称为尺规作图，而不再回复到仅利用尺规的最原始的作法。
二、实例例1：作同底等高的两个三角形，且使它们的另一个顶点在底边的同一侧。
并验证它们的面积相等。
[简要步骤]：（1）将直尺工具改为“直线”，用Shift配合（用Shift配合可画出一些特殊角度的线：0︒、15︒、30︒、45︒、…、90︒、…、165︒等），在绘图窗口中画一条水平的直线AB；（2）在直线AB外任取一点C，选中点C和直线AB，过点C作直线AB的平行线，用点工具分别在直线AB及平行线上任取两点D、E和F、G；（3）选中点F和直线AB，过点F作直线AB的垂线，交直线AB于点I；（4）选中点G和直线AB，过点G作直线AB的垂线，交直线AB于点J；（5）隐藏上述两条垂线、直线AB以及点A、B、C；（6）将直尺工具改为“线段”，分别连接FI、ID、IE、GJ、JD、JE，得到6条线段，可利用显示菜单中“线型”，将这6条线段改为虚线；（7）选中点F、D、E，利用作图菜单中“多边形内部”，构造△FDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△FDE的内部改为红色；（8）同样，选中点G、D、E，利用作图菜单中“多边形内部”，构造△GDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△GDE的内部改为绿色，如图4.3。
图4.3△FDE与△GDE就是同底等高的三角形。
下面验证△FDE与△GDE的面积相等。
（9）分别选择△FDE、△GDE的内部，利用度量菜单中“面积”，得到不同颜色和形状的两个三角形的面积。
随意拖动两个三角形的任意一个顶点，观察它们的面积的变化，从而可以验证：同底等高的三角形的面积相等。
例2：将已知线段三等分；[简要步骤]：（1）打开一个新的绘图窗口，用线段工具作一条水平线段AB；（2）选择左端点A，作一条射线AC；在射线AC上任取一点J，以J为圆心，A为圆周上的点作圆，交AC于K；（3）以K为圆心，J为圆周上的点作圆，交AC于L；（4）连接LB，分别过点K、J作线段LB的平行线，交线段AB于M、N，如图4.4所示。
隐藏一些不需要的线、圆，M、N为已知线段AB的三等分点。
图4.4本题还可以使用非尺规作图的方法，用缩放得到已知线段AB的三等分点。
（1）打开一个新的绘图窗口，用线段工具作一条水平线段AB；（2）双击左端点A，将点A标识为缩放中心。
选择右端点B，在变换菜单中选择缩放命令，弹出对话框，在框条中输入“1”和“3”，按确定，得点M；（3）选择点B，在变换菜单中选择缩放命令，在框条中输入“2”和“3”，按确定，得点N，则M、N为已知线段AB的三等分点。
例3：已知线段MN为定长，且端点M、N分别为x轴、y轴上的自由点。
在此基础上作出MN中点的轨迹。
[简要步骤]：（1）作线段AB，建立坐标系，以原点C为圆心，以线段AB为半径，作圆C；（2）在圆C上任取一点E，选择点E，作动画按钮；（3）过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N；（4）连接MN，如图4.5。
单击动画按钮，可以看到点M、N分别在整个x轴、y轴上运动，且线段MN的长始终不变。
图4.5（5）作线段MN的中点P，选中点P和点E，利用作图菜单中“轨迹”，得点P的轨迹。
例4：已知两圆内切，求作一圆，使它与大圆内切、与小圆外切，并作出该圆的圆心轨迹。
[简要步骤]：（1）作射线AB，在射线AB上取一点C，以点A为圆心，点C为圆周上一点作圆AC；（2）在线段AC上任选一点D，以点D为圆心，点C为圆周上一点作圆DC；（3）以点C为圆心，点D为圆周上一点作圆与射线AB相交于点E；（4）以点A为圆心，点E为圆周上一点作圆AE；（5）在圆AE上任取一点F，连接F A、FD，线段F A与圆AC相交于点G；（6）作FD的中点H，过点H作线段FD的垂线，交线段F A于点I；（7）以点I为圆心，点G为圆周上一点作圆IG，如图4.6。
隐藏不需要的点、线、圆，圆HF就是所求作的圆。
（8）选择点I和点F，利用作图菜单中“轨迹”，得点I的轨迹。
图4.6选择点F，作动画按钮，跟踪圆IG，你发现了什么？第二部分：几何画板的非尺规作图一、基础知识非尺规作图，是指不能用尺规作图直接完成的作图。
本章主要介绍几何画板的非尺规作图功能，它是几何画板的极富魅力的内容。
非尺规作图除了用到工具框中的作图工具和作图菜单中的命令以外，更多地用到了变换菜单、度量菜单、数据菜单、绘图菜单、显示菜单以及编辑菜单中的各种按钮。
变换菜单中的命令可以按指定值、计算值和动态值进行变换（平移、旋转、缩放、反射和迭代）。
利用度量、绘图和作图菜单将把你带入解析几何的王国，你能探索各种几何轨迹问题，也可在直角坐标系或极坐标系中作出许多不能用尺规直接作出的函数图像。
二、实例例1：将已知角三等分。
[简要步骤]：（1）任意作A、B、C三点，由点B与点A确定射线BA，由点B与点C确定射线BC，则点B为∠ABC的顶点；（2）依次选择点A、B、C，利用度量菜单，度量∠ABC的值；（3）利用度量菜单，计算得到∠ABC的值的13，选中计算值，将它标识为“标识角度”；（4）双击点B，将点B标识为旋转中心，选中点A与射线BA，利用变换菜单中“旋转”，将点A与射线BA绕点B按标识角度测算旋转，得到射线BA'；（5）同样，将点A'与射线BA'绕点B按标识角度测算旋转，得到射线BA''。
则射线BA'、射线BA''三等分∠ABC，如图5.1。
图5.1例1中的角的范围为0︒~180︒，如果要三等分0︒~360︒的角，可以按如下方法进行：（1）任意作A 、B 、C 三点，由点B 与点A 确定射线BA ，由点B 与点C 确定射线BC ；以点B 为圆心，点A 为圆上一点作圆，交射线BC 于点D ；（2）依次选中点B 、A 、D ，作圆上的弧AD ，并利用度量菜单，度量弧AD 的弧度值（与角度单位无关，角度单位可以是角度单位，也可以是弧度单位）；（3）利用度量菜单，计算得到弧AD 的弧度值的 13 ，选中计算值，将它标识为“标识角度”；以下同例1的（4）、（5）。
例2：作函数]2,0[ ,sin π∈=x x y 的图像；[简要步骤]：（1）显示坐标轴AB ，利用绘图菜单中“绘制点”命令，在对话框中分别输入6.28（π2）和0，并确认，得点C （π2，0），（也可以利用计算器算得数值π2和0，依次选中π2和0，利用绘图菜单中“绘制点”，得点C （π2，0）；）连接原点A 与C ，得线段AC ；（2）在线段AC上任取一点D（注意在线段AC呈高亮时取点D，这里的点D的横坐标x D满足]∈，0[π2x，这一点十分关键），D再显示坐标轴AB；（3）利用度量菜单，度量点D的横坐标。
（4）将角度单位设置成“弧度”状态，利用计算器计算出sin(x D)（注意观察图5.2的计算器示例，留意其中的若干函数，了解其作用是十分有益的）；图5.2（5）依次选取横坐标x D、sin(x D)（注意：切不可颠倒次序），利用绘图菜单中“绘制点”，得轨迹点E；（6）选取主动点D和轨迹点E，利用作图菜单中“轨迹”命令，即得y =sin x，]x的图像。
∈2,0[π例3：作函数kxy的图像，要求其中a、h、k的大小及其符号能随时改变。
a=h)(2+-[简要步骤]（1）显示坐标轴，在坐标轴x的负半轴上任取两点C、D，过此两点分别作x轴的垂线；（2）类似地，在坐标轴y的负半轴上任取一点E，过此点作y轴的垂线；（3）分别在三条垂线上各取一点F、G、H，并与坐标轴上的点连接成三条线段FC、GD、HE，显示线段的标签，并分别将标签改为a、h、k，隐藏三条垂线；（4）在x轴上任取一点M，度量点H、M的横坐标和F、G的纵坐标y F、y G，将度量值的标签相应地修改为h、x、a、k；（5）选中度量a、k、h、x，利用计算器计算出a(x-h)2+k；（6）依次选中度量x和a(x-h)2+k，利用绘图菜单中的“绘制（x，y）”，绘制点P（x，a(x-h)2+k）；（7）选中点P、M，利用作图菜单中“轨迹”，即得图5.3所示的抛物线；（8）过点G作辅助虚线平行于x轴，过点H作辅助虚线平行于y轴；（9）隐藏不必要的度量和点线，即得图5.3。