[考研类试卷]考研数学三(矩阵的特征与特征向量)模拟试卷1.doc

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考研数学三矩阵的特征值与特征向量二次型-试卷1_真题-无答案

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)2. 填空题1. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，-1，1)T，则λ=2的特征向量是_______．2. 已知A=相似，则x=_____，y=________．3. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=______．4. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的正、负惯性指数分别为p=______，q=_______．5. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．6. 假设二次型f(x1，x2，x3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定，则a的取值为_____．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 已知A=，求A的特征值、特征向量，并判断A能否对角化，说明理由．2. 已知A=，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．3. 已知A=可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵A，使P-1AP=A．4. 已知A暑3阶不可可矩阵，-1和2是A的特征值．B=A2-A-2E，求B的特征值，并问B 能否相似对角化，并说明理由．5. 设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．6. 设矩阵A=是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．7. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．8. 已知A～B，A2=A，证明B2=B．9. 已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化．10. 已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．11. 设A=．12. 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式；(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．13. 求正交变换化二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形，并写出所用正交变换．14. 已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．15. 设二次犁x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换．16. 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．17. 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3，(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．18. 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．19. 已知三元二次型xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．20. 用配方法把二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3化为标准形，并写出所用坐标变换．21. 用配方法化二次型x1x2+2x2x3为标准形，并写出所用满秩线性变换．22. 判断3元二次型f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性．23. 判断n元二次型的正定性．。

考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题

考研数学三（线性方程组与矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(3a2，－a3，2a1)，则P－1AP等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：显然3a1，－a3，2a1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P－1AP＝，选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．A．A，B相似于同一个对角矩阵B．存在正交阵Q，使得QTAQ＝BC．r(A)＝r(B)D．以上都不对正确答案：D解析：令A＝，B＝显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题3．设A＝，｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11＋a22＋a33＝_____________．正确答案：－2解析：因为｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A－1＝A*，从而A－1的特征值为－，－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，得A的特征值为－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(2a3，－3a1，－a2)，则P－1(A－1＋2E)P＝_____________．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P＝P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A －1＋2E)P＝．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，a1，a2，a3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若a1，A(a1＋a2)，A2(a1＋a2＋a3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_____________．正确答案：≠0解析：令x1a1＋x2A(a1＋a2)＋x3A2(a1＋a2＋a3)＝0，即(x1＋λ1x2＋λ21x3)a1＋(λ2x2＋λ22x3)a2＋λ23x3a3＝0，则有x1＋λ1x2＋λ21x3＝0，λ2x2＋λ22x3＝0，λ23x3＝0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0λ2λ3≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(线性方程组、矩阵的特征值与特征向量)模拟试卷1(题

考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n元齐次线性方程组Ax＝0的系数矩阵A的秩为r，则Ax＝0有非零解的充分必要条件是A．r＝n．B．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组2．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是A．A的列向量线性无关．B．A的列向量线性相关．C．A的行向量线性无关．D．A的行向量线性相关．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组3．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)：Ax＝0和(Ⅱ)：ATAx＝0必有A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组4．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x＝0A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组5．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B 涉及知识点：线性方程组6．设A是m×n矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解．B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多解．C．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解．D．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性方程组7．非齐次线性方程组Ax＝b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r＝m时，方程组Ax＝b有解．B．r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．C．m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．D．r＜n时，方程组Ax＝b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组8．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解x为A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组9．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是A．λ－1｜A｜n．B．λ－1｜A｜．C．λ｜A｜．D．λ｜A｜n．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量10．设λ＝2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于A．．B．．C．．D．．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量11．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是A．P－1α．B．PTα．C．Pα．D．(P－1)Tα．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量12．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量13．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A与B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似．正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量14．设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A－2E)与r(A－E)之和等于A．2．B．3C．4D．5正确答案：C 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量填空题15．若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0；涉及知识点：线性方程组16．设其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程ATx＝B的解是________．正确答案：利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0)T；涉及知识点：线性方程组17．设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是________．正确答案：(1，0，0)T；涉及知识点：线性方程组18．设方程有无穷多个解，则a＝________．正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组19．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4；涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量20．矩阵的非零特征值是_______．正确答案：4．涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：由A 的特征多项式｜λE-A ｜= =(λ+1) 3，知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4．故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ．或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2，亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(矩阵)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学三（矩阵）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有｜AB｜＝0C．当n＞m时，必有｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有｜AB｜＝0正确答案：B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n)，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜＝0，选B．知识模块：矩阵2．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选C．知识模块：矩阵3．设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．A．(A＋B)*＝A*＋B*B．(AB)*＝B*A*C．(A－B)*＝A*－B*D．(A＋B)*一定可逆正确答案：B解析：因为(AB)*＝｜AB｜(AB)－1＝｜A｜｜B｜B－1A－1＝｜B｜B－1?｜A｜A－1＝B*A*，所以选B．知识模块：矩阵4．设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．A．kA*B．knA*C．kn－1A*D．kn(n－1)A*正确答案：C解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n－1阶子式，所以(kA)*＝kn－1A*，选C．知识模块：矩阵5．设A为n阶矩阵，A2＝A，则下列成立的是( )．A．A＝0B．A＝EC．若A不可逆，则A＝0D．若A可逆，则A＝E正确答案：D解析：因为A2＝A，所以A(E－A)＝O，由矩阵秩的性质得r(A)＋r(E－A)＝n，若A可逆，则r(A)＝n，所以r(E－A)＝0，A＝E，选D．知识模块：矩阵6．设A为m×n阶矩阵，且r(A)＝m＜n，则( )．A．A的任意m个列向量都线性无关B．A的任意m阶子式都不等于零C．非齐次线性方程组AX＝b一定有无穷多个解D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmO)正确答案：C解析：显然由r(A)＝m＜n，得r(A)＝r(A)＝m＜72，所以方程组AX＝b有无穷多个解．选C．知识模块：矩阵7．设P1＝，P2＝，A＝，若Pm1APn2＝，则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：Pm1Pn2＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E12，P2＝＝E13，且E2ij＝E，Pm1APn2＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选B．知识模块：矩阵8．设A＝，B＝，P1＝，P2＝，则B－1为( )．A．A－1P1P2B．P1A－1P2C．P1P2A－1D．P2A－1P1正确答案：C解析：B＝AE14E23或B＝AE23E14即B＝AP1P2或B＝AP2P1，所以B－1＝P－12P－12A－1或B－1＝P－11P－12A－1，注意到E－1ij＝Eij于是B－1＝P2P1A－1或B－1＝P1P2A－1，选C．知识模块：矩阵9．设P＝，Q为三阶非零矩阵，且PQ＝O，则( )．A．当t＝6时，r（Q)＝1B．当t＝6时，r(Q)＝2C．当t≠6时，r(Q)＝1D．当t≠6时，r(Q)＝2正确答案：C解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ＝O得r(P)＋r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)＝1，选C．知识模块：矩阵填空题10．设A，B都是三阶矩阵，A＝，且满足（A*)－1B＝ABA＋2A2，则B ＝_____________．正确答案：－6A(E＋3A)－1＝解析：｜A｜＝－3，A*＝｜A｜A－1＝3A－1，则(A*)－1B＝ABA＋2A2化为－AB＝ABA＋2A2，注意到A可逆，得－B＝BA＋2A或－B＝3BA＋6A，则B＝－6A(E＋3A)－1，E＋3A＝，(E＋3A)－1＝，则B＝－6A(E＋3A)－1＝－．知识模块：矩阵11．设矩阵A，B满足A*BA＝2BA－8E,且A＝，则B＝_____________．正确答案：4(A＋E)－1＝解析：由A*BA＝2BA－8E，得AA*BA＝2ABA－8A，即－2BA＝2ABA－8A，于是－2B＝2AB－8E，(A＋E)B＝4E，所以B＝4(A＋E)－1＝．知识模块：矩阵12．＝_____________．正确答案：E13解析：＝E13，＝E12，因为E－1ij＝Eij，所以E2ij＝E，于是＝E13．知识模块：矩阵13．设A＝，B为三阶矩阵，且r(B*)＝1且AB＝O，则t＝_____________．正确答案：6解析：因为r(B*)＝1，所以r(B)＝2，又因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，从而r(A)≤l，又r(A)≥1，r(A)＝1，于是t＝6．知识模块：矩阵14．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r（B）＝_____________．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数三真题试卷

考研数三真题试卷考研数学三（简称“数三”）是中国研究生入学考试中数学科目的一种，主要面向理工科考生。

数三的真题试卷通常包含选择题、填空题、解答题等多种题型，旨在考察考生的数学基础知识、运算能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。

# 试卷结构数三试卷一般包含以下几个部分：1. 选择题：这部分题目通常考察基本概念和计算能力，考生需要从四个选项中选择正确答案。

2. 填空题：考生需要在空白处填入正确的数值或数学表达式。

3. 解答题：这部分题目要求考生给出详细的解题过程，考察考生的逻辑推理和证明能力。

# 考试内容数三的考试内容通常包括但不限于以下几部分：- 高等数学：包括微积分、级数、多元函数微分学、偏微分方程等。

- 线性代数：涉及矩阵运算、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量等。

- 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律和中心极限定理等。

# 真题示例选择题：1. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则根据中值定理，至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

这种说法是否正确？填空题：2. 若矩阵A为3×3的正交矩阵，则|A|=______。

解答题：3. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是增函数。

# 复习建议1. 系统复习：按照教材和考试大纲，系统复习高等数学、线性代数和概率论与数理统计的知识点。

2. 练习真题：通过历年的考研数三真题，熟悉考试题型和难度，提高解题速度和准确率。

3. 强化训练：对于自己的薄弱环节，进行专项训练，提高解题技巧和方法。

4. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验复习效果，及时调整复习策略。

希望以上内容能够帮助考生更好地准备考研数学三的考试。

记住，持续的努力和正确的复习方法是成功的关键。

祝所有考生考试顺利！。

考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1(题后含

考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设矩阵A=，那么矩阵A的三个特征值是( )A．1，0，-2．B．1，1，-3．C．3，0，-2．D．2，0，-3．正确答案：D解析：根据特征值的性质：∑λi=∑aij 现在∑aii=1+(-3)+1=-1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜=0，故λ=0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ=1不是A 矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )A．A-EB．2A-EC．A+2ED．A-4E正确答案：C解析：因为A*的特征值是1、-1、2、4，所以｜A*｜=-8，又因为｜A*｜=｜A｜n-1，即｜A｜3=-8，于是｜A｜=-2．那么，矩阵A的特征值是：-2，2，-1，因此，A-E的特征值是-3，1，-2，，因为特征值非0，故矩阵A—E可逆．同理可知矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆．所以应选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )A．ATB．A2C．A-1D．A-E．正确答案：A解析：由于｜λE-AT｜=｜(λE-A)T｜=｜λE-A｜，A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值．由Aα=λα，α≠0可得到：A2α=λ2α，A-1α=λ-1α，(A-E)α=(λ-1)α，说明A2、A-1、A-E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．已知α=(1，-2，3)T是矩阵A=的特征向量，则( )A．a=-2，b=6．B．a=2，b=-6．C．a=2，b=6．D．a=-2，b=-6．正确答案：A解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有所以λ=-4，a=-2，b=6，故应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量β是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中(1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)α肯定是其特征向量的矩阵共有( )A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：B解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAa=λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为(P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，按定义，矩阵P-1AP，的特征向量是P-1α因为P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )A．若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量．B．若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量．C．若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量．D．若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．正确答案：D解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)=λα，α≠0．那么Aα=，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量．由于(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是( ) A．αB．Aα+2αC．A2α-AαD．A2α+2Aα-3α正确答案：C解析：因为A3α+2A2α-3Aα=0．故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-A α)，因为α，Aα，A2α线性无关，那么必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量．所以应选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量．当P-1AP=A时，P由A的特征向量所构成，A由A的特征值所构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵A应当由1，3，-2构成，因此排除选项B、C．由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵A中应当是第2列，所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题9．设3阶方阵A的特征值分别为-2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜=______ 正确答案：-16解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1-E｜=_______正确答案：3解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A-1的特征值为，因此进一步可得4A-1-E的特征值为3，1，1，所以｜4A-1-E｜=3×1×1=3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P-1AP=______正确答案：解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．已知A有一个特征值-2，则B=A2+2E必有一个特征值是______正确答案：6解析：因为λ=-2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2+2=(-2)2+2=6是B=A2+2E的特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．设A是n阶矩阵，λ=2是A的一个特征值，则2A2-3A+5E必定有特征值________正确答案：7解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于A的一个特征向量，则Aα=λα，因此有A2α=A(λα)=λAα=λ2α．因此可知(2A2-3A+5E)α=2A2α-3Aα+5α=(2λ2-3λ+5)α，所以2×22-3×2+5=7一定是2A2-3A+5E的一个特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值_________正确答案：5解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得知识模块：矩阵的特征值和特征向量15．已知A=，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是______正确答案：1，7，7解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜=∏λi，可得｜A｜=7．因为如果Aα=λα，则有A*=，因此A*的特征值是1，7，7．知识模块：矩阵的特征值和特征向量16．矩阵A=的三个特征值分别为________正确答案：解析：｜λE-A｜=所以A的特征值为λ1=2，λ2= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化)模拟试

考研数学三（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记P=(α3，α2，α1)，则P－1AP=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于Aα1=1α1，Aα2=0α2，Aα3=(-1)α3，所以即又由于α1，α2，α3是不同的特征值对应的特征向量，所以α1，α2，α3，线性无关，从而P=(α3，α2，α1)可逆．故知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化2．已知矩阵则与A相似的矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：显然于是r(E－B)=1．故B相似于A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0．B．λ2≠0．C．λ1=0．D．λ2=0．正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关即选项(B)正确．【解法2】由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为即λ2≠0，故选(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化填空题4．设A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，且A相似于B，A的特征值为1，2，3．则B的伴随矩阵B*的迹trB*=___________．正确答案：11解析：由于A相似于B，所以B的特征值为1，2，3．从而|B|=1×2×3=6，于是得B*的特征值为故trB*=6+3+2=11．故应填11．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．设3阶矩阵只有一个线性无关的特征向量，则t=_________．正确答案：－2解析：由于矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以矩阵A有3重特征值，设λ是A的特征值．所以有3λ=4－2+1，从而λ=1．于是得t=－2．故应填－2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为___________，特征向量为___________.正确答案：特征值为A=|A|，特征向量k1e1+k2e2+…knen，其中e1，e2，…，en为Rn的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数．解析：由于矩阵A可逆，故|A|≠0，又因为AA*=|A|E，即得|AA*－|A|E|=0，因此矩阵AA*的全部特征值为λ=|A|，是n重特征值．对于λ=|A|，λE－AA*=|A|E －|A|E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE－AA*)x=0的非零解，从而矩阵AA*的属于λ=|A|的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn中的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(行列式和矩阵)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学三（行列式和矩阵）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．-24C．48D．-48正确答案：D解析：选D．知识模块：行列式2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选B．知识模块：行列式填空题3．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：行列式4．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．知识模块：行列式5．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=_______．正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(-1)mnab．知识模块：行列式6．设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A 的行列式｜A｜=-2，则行列式｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=_______．正确答案：12解析：由(-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=｜A1，A2，A3｜.=12．知识模块：行列式7．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______．正确答案：63解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．知识模块：行列式8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=______(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1得(A*)*=｜A*｜.(A*)-1=｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1=｜A｜n-2A，故[(A*)*]-1= 知识模块：矩阵9．设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=______．正确答案：解析：βTα=3，A2=αβT.αβT=3αβT=3A，则An=3n-1A=3n-1 知识模块：矩阵10．A=，且n≥2，则An-2An-1=______．正确答案：O解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．知识模块：矩阵11．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：矩阵12．A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是______．正确答案：AB=BA解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：矩阵13．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2．知识模块：矩阵14．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1=4A-1得=｜(2A-1)｜-1= 知识模块：矩阵15．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则=______.正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故｜(A) -1=｜4A-1-6A-1｜=｜(-2)A-1｜=(-2)4｜A-1｜=16×=8．知识模块：矩阵16．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．由得t=1．知识模块：矩阵17．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：则A-1= 知识模块：矩阵18．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：设A1=，A2=，于是A-1=而A-1=，A-1=，故A-1= 知识模块：矩阵19．设A=，则(A*)-1=________．正确答案：解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1= 知识模块：矩阵20．设A=，则(A-2E)-1=________．正确答案：解析：则(A-2E)-1= 知识模块：矩阵21．设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=________．正确答案：(A+4E)解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)[ (A+4E)]=E，则(A-3E)-1=(A+4E)．知识模块：矩阵22．设A==________．正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=于是知识模块：矩阵23．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+αα2，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：由AB=(E-ααT)(E+-ααT)=E+ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠O，得-1-2a=0，解得a=-1．知识模块：矩阵24．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1= 知识模块：矩阵25．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题后含

考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( ) A．[α1，-α2，α3]．B．[α1，α2+α3，α2-2α3]．C．[α1，α3，α2]．D．[α1+α2，α1-α2，α3]．正确答案：D解析：若P-1AP=A=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA．即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关．若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确．对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )A．λ-1｜A｜B．λ-1｜A｜C．λ｜A｜D．λ｜An｜正确答案：B解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有Ax=λx．上式两边左乘A*，并考虑到A*A=｜A｜E，得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，从而可见A*有特征值所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值．B．至少是A的二重特征值．C．至多是A的二重特征值．D．一重、二重、三重特征值都有可能．正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)-1的特征值．因此的特征值为．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．三阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )A．秩r(A)=0B．秩r(A)=1C．秩r(A)=2D．条件不足，不能确定正确答案：D解析：考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )A．λE-A=λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似．正确答案：D解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D正确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P-1AP=B 于是P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE- B．可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )A．充分必要条件．B．必要而非充分条件．C．充分而非必要条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B解析：由A-B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P-1AP｜=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜即A 与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题8．设A是3阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______正确答案：t(-1，0，1)T，t≠0解析：设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有所以可知x1=-t，x2=0，x3=t．所以对应于特征值2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________正确答案：1解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(0，2α1+α2)=(α1，α2)记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵．因此，则A与B相似，从而有相同的特征值．因为所以λ=0，λ=1．故A的非零特征值为1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵必有一个特征值为_________正确答案：解析：根据矩阵特征值的特点，A有特征值-3，所以有特征值知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_______正确答案：2解析：因为αTβ=2，所以βαTβ=β(αTβ)=2×β，故βαT的非零特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=__________正确答案：-1解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=-1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是-24，则b=________正确答案：-3解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此a+3+(-1)=∑λt=3，所以a=1．又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b=-3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．设A=有二重特征根，则a=________正确答案：解析：=(λ-2)(λ2-2λ-2(a-2))=0．如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2-2λ-2(a-2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2-2λ-2(a-2)=0是完全平方，则有(λ-1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时-2(a-2)=1，即a= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷6(题后含

考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />解得此方程组的基础解系α=(一1，1，1)T。

根据A(α1,α2，α)=(6α1,6α2，0)得A=(6α1,6α2，0)(α1,α2，α)-1= 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一l，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。

4．求A的特征值与特征向量；正确答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。

对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，l，1)T，其中k是不为零的常数。

又由题设知Aα1=0，A α2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1,α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1,α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1,k2是不全为零的常数。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量5．求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

正确答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1,α2正交，只需将α1与α2正交化。

由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2－,再将α，β1,β2单位化，得令Q=(η1,η2，η3)，则Q-1=QT，且QTAQ==A。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且6．求A的所有特征值与特征向量；正确答案：由即特征值λ1=一1,λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2与两两正交，于是得由此得η=是特征值0对应的特征向量。

因此k1α1，k2α2，k3η是依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1,k2,k3为任意非零常数。

涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量7．求矩阵A。

正确答案：令则A=PΛP-1=。

考研数学三矩阵的特征值与特征向量二次型-试卷3_真题-无答案

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷3(总分64,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 设矩阵A=．则A与BA. 合同且相似．B. 合同但不相似．C. 不合同但相似．D. 既不合同也不相似．2. 下列矩阵中，正定矩阵是A. B.C. D.3. 与矩阵A=合同的矩阵是A. B.C. D.4. 设A=，则A与BA. 合同且相似．B. 合同但不相似．C. 不舍同但相似．D. 不合同也不相似．5. 设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A. A，B有相同的特征值．B. A，B有相同的秩．C. A，B有相同的行列式．D. A，B有相同的正负惯性指数．6. 二次型xTAx正定的充要条件是A. 负惯性指数为零．B. 存在可逆矩阵P，使P-1AP=E．C. A的特征值全大于零．D. 存在n阶矩阵C，使A=CTC．2. 填空题1. 二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是_______．2. 二次型f(x2，x2，x3)=x22+2x1x3的负惯性指数q=_____．3. 若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=_______．4. 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3经正交变换化为标准形y12+2y32，则a=______.5. 设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈_______．6. 已知A=，矩阵B=A+kE正定，则k的取值为_______．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 设A，B均是n阶正定矩阵，判断A+B的正定性．2. 已知二次型xTAx是正定二次型，x=Cy是坐标变换，证明二次型yTBy是正定二次型，其中B=CTAC．3. 证明二次型xTAx正定的充分必要条件是A的特征值全大于0．4. 已知A是n阶可逆矩阵，证明A TA是对称、正定矩阵．5. 已知A，A-E都是n阶实对称正定矩阵，证明E-A-1是正定矩阵．6. 设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．7. 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．(Ⅰ)计算PTDP，其中P=(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．8. 设A是n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn是n维非零列向量，且αiTAαj=0(i≠j)，证明α1，α2，…，αm线性无关．9. 设A是n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A可逆．10. 已知A=，证明A与B合同．11. 设矩阵A=有一个特征值是3，求γ，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．12. 求正交变换化二次型x12+x22+x32-4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形．13. 二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换．14. 设A是n阶实对称矩阵，若对任意的乃维列向量α恒有αTAα=0，证明A=0．15. 若A是n阶正定矩阵，证明A-1，A*也是正定矩阵．16. 设A是m×n矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．17. 设A是n阶正定矩阵，证明｜A+2E｜＞2n．18. 已知A=。

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化)模拟试

考研数学三（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )A．P－1αB．PTα．C．PαD．(P－1)Tα．正确答案：B解析：由于(P－1AP)TPTα=PTAT(P－1)TPTα=PTA(PT)－1α=PTAα=PT λa=λPTα．由特征值与特征向量的定义知(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量为PTα因而应选(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化2．设矩阵有3个线性无关的特征向量，则a，b应满足的条件为( ) A．a=b=1．B．a=b=－1．C．a≠b．D．a+b=0．正确答案：D解析：由A的特征方程得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，由于对应于不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以当A有3个线性无关的特征向量时，对应于特征值λ1=λ2=1应有两个线性无关的特征向量，从而r(E －A)=1，由知，只有a+b=0时，r(E－A)=1，此时A有3个线性无关的特征向量，故应选(D)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．设矩阵已知矩阵A相试于B，则秩r(A－2E)+r(A－E)=( ) A．2．B．3．C．4．D．5．正确答案：C解析：因A相似于B，所以存在可逆矩阵P，使A=PBP－1．从而故选(C)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化填空题4．设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵．E为n阶单位矩阵，若A有特征值A，则(A*)2+E必有特征值___________．正确答案：解析：由于A是A的特征值，所以是A*的特征值．从而(A*)2+E必有特征值知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．设n阶矩阵A的每行元素之和为a，则A3+3A2+2A+E必有特征值___________.正确答案：a3+3a2+2a+1．解析：由于根据矩阵特征值与特征向量的概念知a是A的一个特征值，从而a3+3a2+2a+1必是A3+3A2+2A+E的特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式|B-1－E|=__________.正确答案：24解析：由矩阵A与B相似，知A与B有相同的特征值，因此B的特征值也为易知B－1的特征值为2，3，4，5，而B－1－E的特征值为1，2，3，知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，则k=_________．正确答案：1或－2．解析：设λ是A-1的对应于α的特征值，则A-1α=λα，即λ=λAα，亦即得方程组解之，得或于是，k=1或－2时，α是A－1的特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化8．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________.正确答案：1解析：由于令P=(α1，α2)，则有AP=PB，由于α1，α2线性无关，从而P=(α1，α2)可逆，于是P-1AP=B，再由得λ=0，1，故A的非零特征值为1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含

考研数学三（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：解一由题设有Aα=λα，且AT=A，令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT，故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边左乘PT，得到B(PTα)=λPTα．又PTα≠0．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．解二用定义(P-1AP)TX=λX判别．当X=PT α时，计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍．事实上，有(P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα．又PTT ≠0．因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量．解三为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=PTT，有[(P-1AP)T－λE](PT α)=[PTA(PT)-1PTα－λPTα]=PTAα－λPTα=λPTα－λPTα=0．易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又PTα≠0．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A－1与B－1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A－1与B+B－1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P－1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P－1AP)T=PTAT(P－1)T=[(PT)－1]－1AT[(PT)－1]故AT与BT相似．选项(A)正确．在式①两边求逆运算得到B－1=(P－1AP)－1=P－1A－1(P－1)－1=P－1A－1P．②故A与A－1相似．选项(B)正确．由式①+式②得到B+B－1=P－1AP+P－1A－1P=P－1(A+A－1)P，故A+A－1～B+B－1．选项(D)正确．仅(C)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵[*]则[*] 所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE－M)=秩(E－M)=2．设选项(A)、(B)、(C)、(D)的矩阵分别记为A、B、C、D，容易计算出其特征值均为1，且秩(AE－A)=秩(E－A)=2，秩(E－B)=秩(E－C)=秩(E－D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项(A)正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2017年] 已知矩阵则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由得秩(2E－A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由得秩(2E－B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令则因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则|2E—A|=2[22－(b+2)．2+2b一2a2]=2(－2a2)=0，故a=0．由λ=b为B的特征值知，λ=b也必为A的特征值，则|bE－A|=b[b2－(b+2)·b+2b]=b·0=0，即易可为任意常数．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0．于是A 的特征值为－1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，由命题2．5．4．1(2)知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A 的秩也为3，于是A=diag(－1，－1，－1，0)．仅(D)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．[2018年] 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=一α2+α3，则A的实特征值为__________．正确答案：2解析：由题设得因为[α1，α2，α,3]可逆，所以矩阵A与矩阵相似，故特征值相同，而所以A的实特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2015年] 设三阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式|B|=__________．正确答案：21解析：因A的特征值为2，－2，1，而B=f(A)=AT－A+E，故B的特征值分别为f(2)=2T－2+1=3，f(－2)=(－2)T－(－2)+1=7，f(1)=1T－1+1=1，故|B|=f(2)·f(1)·f(－2)=3×1×7=21．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．正确答案：2解析：解一因αβT相似于而利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．解二设A=αβT，λ为A的特征值，而故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．又A相似于对角矩阵由命题2．5．3．3(3)知，相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值0，0，3，于是应有1+k=3，即k=2．注：命题2．5．3．3 设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似，则(3)|λE－A|=|λE—B|，从而A与B有相同的特征值；(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。