2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理(C卷01)江苏版

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2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（C 卷01）江苏版一、填空题 1．设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个的整数12,x x 使得()()120,0f x f x <<，则实数a 的取值范围是______． 【答案【解析】分析：设g （x ）=e x（2x ﹣1），y=ax ﹣a ，则存在两个整数x 1，x 2，使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x（2x+1）， ∴当xx ）＜0， ∴当x=[g （x ）]min =g=﹣当x=0时，g （0）=﹣1，g （1）=e ＞0，直线y=ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1， 且g （﹣1）=﹣3e ﹣1＜﹣a ﹣a ，解得ag （﹣2）≥﹣2a ﹣a ，解得a∴a 的取值范围是．故答案为：点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知a 为常数，函数()f x =的最小值为23-，则a 的所有值为____． 【答案】144，令()0f x '==，则21a x a =+. ∵函数()f x 的最小值为23- ∴0a >∴()0f x '>，得()()2110a a a x ⎡⎤--+>⎣⎦.①当01a <<时，函数()f x 的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x <x <≤，由()0f x '<得x <<()f x 在⎡⎢⎣， 上为增函数，在⎛⎝上为减函数.3∵(f =，1f a =-， ∴()min213f x f a ===--，则14a = ②当1a >时，函数()f x 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0f x '<得1x -≤<或1x <≤，函数()f x在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数.∵1f a ⎛=--⎝， ()1f =∴()min213f x f a ==-=--，则4a =. 综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4，14. 3．设函数()33,,{ 2,.x x x a f x x x a -≤=->（1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 2 (),1-∞4．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[1，3)【解析】f (x )＝x |x 2－当m ∈(2，时，此时f (x )的取值范围是()0,f m ⎡⎤⎣⎦. 所以()f m am =，即()23m m am -=，得(]231,2a m =-∈.综上：实数a 的取值范围是[1，3). 故答案为：[1，3).5．直线l 经过椭圆的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为________．5(),0A a -3x y a =+，联立2222223{ 0x y a b x a y a b =-+-=，得()2222960a b y ab y +-=AB 的中点为 AB 的中垂线方程为，令0x =，则CA a ⎛=- 9ab CB ⎛= 则0CA CB ⋅=，即226ab ab 化简，得223a b =，则222c b =，即该椭圆的离心率为6在[]0,2x ∈的值域为[]0,4m ，则实数m 的最小值为_____． （2）当0a >时，函数()g t 在[]0,a 单调递增，在[],3a a 上单调递减，在[)3,a +∞上单调递增，且 ()()344g a g a a ==， ()()300g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[]0,2单调递增，则()()22444316g a m =-=，即 ②若44a a ≤<，即14a ≤<时，()()32max 416g t g a a m ===，即③若44a >，即01a <<时， ()()()32max 444316g t g a m ==-=，即 综上所述，的最小值为7在[]1,2上单调递增，则a的取值范围为______．点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路： （1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解； （2）将函数()f x 在某区间上单调递增转化为()0f x '≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.8．已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为12,F F ，点,A B 在椭圆Γ上， 1120AF F F ⋅=且22AF F B λ=，则当[]2,3λ∈时，椭圆的离心率的取值范围为______．【解析】因为1120AF F F ⋅=，所以可设，由22AF F B λ=，得，即()222222c b a λλ++=，即()222222c b a λλ++=，即7()()2222431c a λλλ++=-[]2,3上为增函数，所以点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴的左焦点(),0F c -与对称轴垂直的弦称.9．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x 满足1206n x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=（2m ≥， *N m ∈），则m 的最小值为__________． 【答案】8【方法点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________．122t ⎛=⎝'m e ∴=当0m e <≤时当m e >时，所以t 的最大值是点睛：求函数最值的五种常用方法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合11．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．【答案】114【解析】分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.详解：分配方案为2211分配方案为2220因此安排方法为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.12．M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出处的切线与在处导数不存在，切线方程为；（213．值所构成的集合为______．【解析】分析：关于的方程.9详解：可得斜率直切时得斜同理，当直线相切时，斜率四个交点，此时关方且只有四个不同的解，故答案为点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.11点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 二、解答题 15．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除． 【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由二项式定理，得21Cii n a +=（i 0，1，2，…，2n +1），（1）根据()021nn n k k T k a -==+∑，得221035T a a a =++，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出()()12121C 21C n k n kn n n k n ++++++=+，再将()021nn n k k T k a -==+∑化简得()21221C n n n T n -=+，即可证明.试题解析：由二项式定理，得21C ii n a +=（i0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．16．设函数()()212ln f x m x x mx =--+，其中m 是实数．(l ）若()12f = ，求函数()f x 的单调区间；(2）当()210f '=时，若(),P s t 为函数()y f x =图像上一点，且直线OP 与()y f x =相切于点P ，其中O 为坐标原点，求S 的值；(3) 设定义在I 上的函数()y g x =在点()00,M x y 处的切线方程为():l y h x =，若()()()()00·0g x h x x x x x ⎡⎤--<≠⎣⎦在定义域I 内恒成立，则称函数()y g x =具有某种性质T ，简称“T 函时，试问函数()y f x =是否为“T 函数”？若是，请求出此时切点M 的横坐标；若不是，清说明理由．【答案】（1（2）1s =；（3）是“T 函数”， 2 . 【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，分别令()'0f x >和()'0fx <可以得到函数的增区间和减区间．（2）由题设，曲线在P2ln 10s s +-=，根据函数2ln 1y s s =+-为增函数以及21ln110+-=得到1s =．（3）函数在()00,M x y 处的切线方程为：13分别讨论002x <<和02x >时()'F x 的符号以及进一步讨论()F x 的单调性可知()y f x =在()0,2和()2,+∞上不是“T 函数”，故02x =，经检验符合．（2）由()'210f =，得3m =， ()222ln 3f x x x x ∴=-+．所以切线的斜OM2ln 10s s +-=，设2l n 1y s s=+-，所以，函数2ln 1y s s =+-在(0,＋∞)上为递增函数，且1s =是方程的一个解，即是唯一解，所以，． （3，令设()()()F x f x h x =- ，则()00F x =．当002x << 时，上有()'0F x > 上()F x 单调递增，故当有()()00F x F x >=，所以在有()()00F x x x ->；当02x =时，，所以函数()F x 在()0,+∞上单调递减．所以， 2x > 时， ()()20F x F <= ， ()()20F x x -<；02x <<时， ()()20F x F >=， ()()20F x x -<．因此，切点为点()()2,2f ，其横坐标为2．点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标0x 取值不容易求得，我们是先讨论了002x <<和02x >时()f x 不是“T ”从而得到02x =．17．已知椭圆C 经，且与椭圆:E (1)求椭圆C 的标准方程；(2）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）存在点()1,0M . 【解析】试题分析：（1）先求出椭圆E 的焦点为()1,0±，则由题设有，从中解出22,a b 可得椭圆C 的标准方程为(2)因为动直线l 与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到2234m k=+又()4,4Q k m +，设(),M s t ，则0MP MQ ⋅=对任意的,k m 恒成立，但15(4k MP MQ ⋅=因此2210,{0, 430s t s s t -==-++=，从而1,{0.s t ==也就是点()1,0M 符合题意．（2）联立22,{3412,y kx m x y =++=消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()2222644344120k m k m ∆=-+-=，即2234m k =+．设(),P P P x y ，则假设存在定点(),M s t 满足题意，因为()4,4Q k m +，则4MP =-（ ()4,4MQ s k m t =-+-，所以)434MP MQ s ⎛⎛⋅=--+恒成立，故2210,{0, 430s t s s t -==-++=解得1,{0.s t ==所以存在点()1,0M 符合题意．点睛：动圆过定点，一般是找出动圆的一般式方程，它含有一个参数．而对于含多个参数的圆的一般方程，考虑其过定点时，可先设出定点的坐标，代入圆的一般方程得到一个恒等式，从而得到定点坐标满足的方程组，解这个方程组即可．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为()1F ，且过点P ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ， 2A 分别为椭圆C 的左、右顶点， Q 为直线1x =上任意一点，直线1A Q ， 2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ， N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t AQ y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t tt t t t t t -++-+--++=2243t t -+ 所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭()22443t x t =--+ 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19．设函数f(x)2－1－ln x，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．【答案】(1) y－1 (2) ① (0，e)．②见解析②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，，两式作差得a(x1＋x2)代入要证得式子得0，令h(x)＝2ln x ＋－x，x∈(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得.试题解析：（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－．设切点为T(x0，－1－ln x0)，则切线方程为：y＋1＋ln x0＝－ ( x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y ＝－x－1．17当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．要使函数f(x)有两个零点，首先－－ln＜0，解得0＜a＜e．当0＜a＜e时，＞＞．因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点．考察函数g(x)＝x－1－ln x，则g′(x)＝1－＝．当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．因为－＝＞0，故＞．19因为f ()·f ()≤0，且f (x )在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)．f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－＋ax 2－＜0，即a (x 1＋x 2)－－＜0，即－－＜0，即2ln ＋－＞0．设h (x )＝2ln x ＋－x ，x ∈(0，1)．则h′(x )＝－－1＝＝－＜0，所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0． 因为∈(0，1)，所以2ln ＋－＞0， 即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立．点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．20其中a 为正实数． (1)若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； (2)求函数()y f x =的单调区间；(3)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证： ()()126ln f x f x a +<-．【答案】(1)1(2) 单调减区间为（3）见解析试题解析：(1) 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为此时()f x 的单调减区间为(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()g x '在()0,4上单调递增,且()g x '在定义域上不间断,21 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x ,则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．当()01,2x∈时则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。