人教B版选修1-1高中数学3.1.2《瞬时速度与导学》word课后知能检测

合集下载

【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：3.1.2瞬时速度与导数(含答案解析)

选修 1-1第三章3.1课时作业22一、选择题f x0＋Δx － f x0中，Δx不行能 ()1．在 f′(x0)＝ limΔxΔx→0A．大于0B．小于0C．等于0D．大于 0或小于 0分析：由导数定义知Δx不过无穷趋近于0，应选 C.答案： Cf x0－Δx － f x0等于() 2．设 f(x)在 x＝ x0处可导，则 limΔxΔx→0A．－ f′(x0) B ．f ′(－x0)C． f ′(x0)D． 2f′(x0)f x0－Δx － f x0分析： limΔxΔx→0＝lim－ f x0－ f x0－ΔxΔxΔx→0＝－ lim f x0－fx－Δx＝－f′(xΔx→0Δx0)．答案： A23．设函数 f(x)在点 x0邻近有定义，且 f(x0＋Δx)－ f(x0)＝ aΔx＋ b(Δx)(a，b 为常数 )，则 () A． f′(x0)＝－ a B ． f′(x0)＝－ bC． f′(x0)＝ a D． f′(x0)＝ b分析：∵ f( x＋Δx)－ f(x2，00)＝aΔx＋b(Δx)∴f x0＋Δx －f x0＝a＋bΔx.Δxf x0＋Δx － f x0(a＋bΔx)．∴ limΔx ＝ limΔx→0Δx→0∴f′(x0)＝ a.应选 C.答案： C4．一物体的运动方程是 s＝1a t2(a 为常数 )，则该物体在t＝ t0时的刹时速度是 ()2A． at0 B ．－ at01C ． 2at 0D ． 2at 0s s t 0 ＋ t － s t 0 1分析：∵t ＝ t＝2a t ＋ at 0，Δs∴ lim＝at 0.Δt→0 Δt答案： A二、填空题x5．过曲线 y ＝ 2 上两点 (0,1)， (1,2)的割线的斜率为 ______．2－ 1分析：由均匀变化率的几何意义知k ＝＝ 1.答案： 1f x－ f a2，则 lim＝ ________. 6．已知 f( x)＝ x x →ax － a 分析：令 x － a ＝Δx，则 x ＝ a ＋Δx，f x － f a f a ＋Δx － falimx － a＝ limΔxx →aΔx→02－2－ 22＝ lima ＋ Δx aΔx ＝ lim＝－2.Δx→0Δx→0aa ＋Δx a2答案：－ a 21，且 f ′(m)＝－ 1，则 f(m) ＝________.7．已知 f( x)＝ x 16分析：∵ f( x)＝1，x∴ f ′(m)＝ lim f m ＋ Δx － f mΔxΔx→01 － 1－ 11＝ limm ＋Δx mΔx ＝ lim＝－2Δx→0Δx→0mm ＋ Δx m.又 f ′(m)＝－1 1116 ，∴－ 2m＝－16.1 1∴m ＝ ±4.∴ f( m)＝ m ＝ ±4.1 答案： ±4三、解答题x ， x ≥08．已知函数 f(x)＝1＋ x 2， x<0 ，求 f ′(1)f ′(·－1)的值．Δy f＋Δx －f 解：当 x＝ 1 时，＝ΔxΔx＝1＋Δx－ 1＝1.Δx1＋Δx＋ 1由导数的定义，得f′(1)＝ lim1＝1.Δx→01＋Δx＋ 12Δy f － 1＋Δx － f－当 x＝－ 1 时，＝ΔxΔx1＋－ 1＋Δx2－1－－2＝Δx＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝ lim(Δx－2) ＝－ 2.Δx→0因此 f′(1)f′(·－1) ＝1×(－2)＝－ 1. 29．高台跳水运动中，运动员相关于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位： s)之间的关系式为h(t)＝－ 4.9t2＋ 6.5t＋ 10，求运动员在t＝65s 时的刹时速度，并解说此时的98运动情况．65解：令 t0＝，Δt为增量．则 h t 0＋Δt－ h t0Δt－t0＋Δt2＋t0＋Δt＋ 10＋ 4.9t02－6.5t0－ 10＝Δt－ 4.9Δt t0＋Δt＋ 6.5Δt＝Δt＝－ 4.9(6549＋Δt)＋ 6.5.∴lim h t0＋Δt－ h t0Δt→0Δt65＝Δt→0lim[－ 4.9(49＋Δt)＋ 6.5] ＝0，65即运动员在t0＝s 时的刹时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。

人教B版选修(1-1)3.3.1《瞬时速度与导数》word学案

课题：学习目标：1.知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数．2.体会由特殊到一般的思维方法3.感受导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值，树立学好数学的信心．重点：瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念使用说明及学法指导：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。

2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。

3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。

一．相关知识已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，令)()()()(,xfxxfxfxfyyyxxx-∆+=-=-=∆-=∆则当0≠∆x时，比值xyxxfxxf∆∆=∆-∆+)()(叫做函数f(x)在x0到xx∆+之间的平均变化率。

二．教材助读1、一般的如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在ttt∆+到这段时间内，当0t→∆时，即v=2、设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量x=x0附近改变x∆时，函数值相应地改变如果当x∆趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的可以记作3、函数在x0的瞬时变化率，定义为f(x)在x=x0处的导数，记作xxy)(=''或xf。

可以写作：4、如果f(x)在开区间（a,b）内的每一点x倒数都存在，则称f（x）在区间（a,b）内可导。

这样对于开区间（a,b）内每一个x都对应一个确定的导数)(xf'，于是在区间（a,b）内)(xf'构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数f(x)的简称为三．预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 203．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．学始于疑---我思考、我收获学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

高中数学第三章导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速

3.1 导数
瞬时速度与导数
• [目标导航]
• 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．
• 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．
• 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
fx0＋hh－fx0＝f′(x0)，
仅与 x0 有关，与 h 无关，故选 B.
答案：B
• 4．函数y＝x2在x＝1处的导数为__________．
解析：f′(1)＝ lim Δx→0
1＋Δx2－1 Δx
＝lim (2＋Δx)＝2. • 答案Δ：x→20
知识点三
导数的实际意义
• 5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s) 的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
求瞬时速度
• 1．y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是( )
• A．2
B．3
• C．4 D．5
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则ΔΔyx＝3ΔΔxx＝3， • 答∴案当：BΔx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于 3.故选 B.
• 2．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是 ()
ΔΔst＝Δlitm→0
(4Δt＋12)＝12(米/秒)．
• 答案：C
知识点二
导数的定义
3.函数
f(x)在
x0
处可导，则lim h→0
fx0＋hh－fx0(

人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计

人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计课程目标本课程旨在使学生：1.掌握瞬时速度的概念，并能够将其应用于实际问题中；2.了解导数的概念及其与瞬时速度的关联，进而能够求解一些简单的导数；3.提高数学思维及解决实际问题的能力。

教学内容1.瞬时速度的概念与意义；2.限速牌与瞬时速度的关系；3.导数的概念与求导法则；4.利用导数求解瞬时速度等实际问题。

教学步骤本课程分为三个部分：瞬时速度，导数课程设计，实际应用。

部分一：瞬时速度步骤一：引入在学生已经掌握速度的概念基础上，以限速牌为例，引出瞬时速度的概念。

步骤二：定义通过图像和数学语言对瞬时速度的概念进行定义，并引入切线概念。

步骤三：练习在学生理解后，发放一些练习题，帮助学生巩固瞬时速度的概念。

部分二：导数课程设计步骤一：引入在学生已经掌握切线概念基础上，引出导数的概念。

步骤二：定义通过数学语言和图形展示，对导数概念进行定义，并引入一阶导数和高阶导数的概念。

步骤三：练习发放一些练习题，帮助学生巩固求导法则和导数的基本概念。

部分三：实际应用步骤一：引入在学生已经掌握求导法则和导数的基础上，引出实际应用问题。

步骤二：解题方法引导学生逐步解决实际问题，如求解瞬时速度、求解极值等问题。

步骤三：练习提供多种类型的实际应用题目，帮助学生巩固和拓展相应的知识点。

教学评估本课程主要以平时表现、作业、测试形式进行综合评估。

其中，平时表现包括课堂表现、参与讨论和课后作业；作业包括课后作业和课堂练习；测试主要为考察学生对知识点的掌握程度。

实施建议为了提高本课程的效果，建议教师在课程实施中，注意以下几点：1.认真备课，拓宽课程知识面；2.注重课堂互动，提高学生学习积极性；3.合理布置作业，加强巩固；4.适当拓展应用场景，提高学生实际解决问题的能力。

总结瞬时速度与导数课程设计旨在让学生掌握瞬时速度的概念，并且能够知道如何求解一些常用的导数操作。

在实际应用中，学生将能够应用导数和瞬时速度的知识解决实际问题。

数学人教B版选修1-1课件：第三章 3.1.2 瞬时速度与导数

(3)取极限，得导数 f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
简记为一差，二比，三极限.
解析
lim
Δx→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0，
＝2 lim 2Δx→0
fx0＋22··ΔΔxx－fx0＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数.
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，ΔΔxy＝2Δx＋16， Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
题型二求物体运动的瞬时速度
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋
t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1
＝
Δt
＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
lim ，即f′(x0)＝ Δx→0
Δx
.
2.导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x) ，于是在区间(a， b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数.记为 f′(x)(或yx′、y′). 3.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即
(1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，

高中数学 1.1.2 瞬时速度与导学课后知能检测新人教B版选修22(1)

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.2 瞬时速度与导学课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．下列各式正确的是( )A．＝limΔx→0f x0－Δx－f x0ΔxB．f′(x0)＝limΔx→0f x0－Δx－f x0ΔxC．＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0f x0－f x0－Δx－Δx【解析】由导函数定义知C正确．【答案】 C2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，V＝s′(1)＝li mΔt→0(－3Δt－6)＝－6.3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是图中的( )【解析】本题主要考查导数的物理意义，位移关于时间的函数．故选A.【答案】 A4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝li mΔx→0aΔx＋bΔx2Δx＝li mΔx→0(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】 C5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )A．1 B．－1C．±1D．3 3【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3得3x20＝3，∴x0＝±1.二、填空题图1－1－36．如图1－1－3，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.【解析】 ∵f (0)＝4， ∴f (f (0))＝f (4)＝2.由A (0,4)，B (2,0)，得函数f (x )＝－2x ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝－2.【答案】 2 －27．设c 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为c ＝c (q )，当产量为q 0时，产量的变化Δq 对成本的影响可用增量比Δc Δq＝cq 0＋Δq －c q 0Δq刻画，如果Δq 无限趋近于0时，ΔcΔq 无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为q 0时，增加单位产量需付出的成本为A ，它是实际付出成本的一个近似值．若某一产品的成本c 与产量q 满足函数关系c ＝3q 2＋1，则当产量q ＝30时的边际成本是________．【解析】 ∵Δc ＝3(30＋Δq )2＋1－(3×302＋1) ＝180Δq ＋3(Δq )2， ∴Δc Δq ＝180Δq ＋3Δq 2Δq ＝180＋3Δq .∴A ＝li m Δq →0ΔcΔq ＝li m Δq →0(180＋3Δq )＝180.∴当产量q＝30时的边际成本为180.【答案】1808．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.【解析】∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，∴ΔyΔx＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，∴f′(－1)＝limΔx→0[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.【答案】 1三、解答题9．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．【解】∵Δy＝[1x＋Δx2＋2]－(1x2＋2)＝－2xΔx－Δx2x＋Δx2·x2，∴ΔyΔx＝－2x－Δxx＋Δx2·x2.∴y′＝limΔx→0－2x－Δxx＋Δx2·x2＝－2x3.∴y′|x＝1＝－2.10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v＝limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v ＝s 2－s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位：℃)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x 2＋20，0≤x ≤1，－2049x 2－2x －244，1<x ≤8.求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．【解】 ∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x ≤1时，f (x )＝80x 2＋20， ∴Δf x Δx ＝f 0.25＋Δx －f 0.25Δx＝800.25＋Δx2＋20－80×0.252＋20Δx＝80[0.5Δx ＋Δx 2]Δx＝40＋80Δx .∴f ′(0.25)＝li m Δx →0 Δf xΔx ＝li m Δx →0 (40＋80Δx )＝40.又当1<x ≤8时，f (x )＝－2049(x 2－2x －244)，∴当x ＝4时， Δf x Δx＝－2049[4＋Δx2－24＋Δx －244]＋204942－2×4－244Δx＝－2049[6Δx ＋Δx 2]Δx ＝－2049(6＋Δx )，∴f ′(4)＝li m Δx →0Δf x Δx ＝li m Δx →0[－2049(6＋Δx )] ＝－2049×6＝－12049.在第15分钟与第4 h 时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－12049，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40 ℃/h 的速率上升；在第4 h 附近，沥青温度大约以12049℃/h 的速率下降.。

2017-2018学年高中数学(人教B版)选修1-1 名师课件：第一部分第三章 3.1 3.1.2 瞬时速度与导数

f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)
.
fx0＋Δx－fx0 lim Δx ＝ Δx→0
4．函数的导数 (1)可导函数定义如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x) 在区间(a，b)可导． (2)导函数定义若 f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，简称导数，记为 f′(x)(或 y′x、y′) ．
求函数在某点处的导数
[例 1] 1 求函数 y＝x在 x＝1 处的导数．
[思路点拨]
[精解详析]
法一：(定义法)
1－1＋Δx －Δx 1 Δy＝－1＝＝， 1＋Δx 1＋Δx 1＋Δx －1 Δy 1 ＝－，∴函数在 x＝1 处的导数 lim ＝－1. Δx 1＋Δx 1 ＋ Δ x Δx→0 法二：(求导函数的函数值法)．－Δx 1 1 x－x＋Δx Δy＝－＝＝， x＋Δx x x＋Δx· x x＋Δx· x －1 －1 Δy 1 ＝，∴y′＝ lim ＝－ 2， Δx x＋Δx· x x x Δx→0 x＋Δx· ∴当 x＝1 时，导数值为 y′|x＝1＝－1.
Δt→0
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 Δs f1＋Δt－f1 ＝ Δt Δt 29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32 ＝ Δt ＝3Δt－12. (10 分)
Δs ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为lim ＝lim (3Δt－12)＝－12， Δ t Δt→0 Δt→0 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s. (12 分)

人教新课标版数学高二人教B选修1-1讲义 3-1-12瞬时速度与导数

3．1导数3．1.1函数的平均变化率3．1.2瞬时速度与导数1．理解函数在某点附近的平均变化率．(重点)2．会求函数在某点处的导数．(难点)3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易错点)教材整理1变化率问题阅读教材P75～P76例1以上，完成下列问题．函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．()(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2导数的概念阅读教材P78～P81例以上部分，完成下列问题．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()(4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________平均变化率(1)00________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝________. 【导学号：25650096】【自主解答】(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)Δx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx)2＋3Δx，∴Δy Δx ＝－(Δx)2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3(2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3．得平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.1．求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为：k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝3(Δt )2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．求物体瞬时速度的步骤1．设非匀速直线运动的规律s ＝s (t )．2．求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． 3．求平均速率v ＝ΔsΔt .4．计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt →v (常数)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度．【解】v＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→02×(2＋Δt)2－2×22Δt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8(cm/s)，v＝s(3)－s(1)3－1＝2×32＋3－(2×12＋3)2＝8(cm/s)．函数在某点处的导数探究【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数．【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解．【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝12.(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx ＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1．求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致lim Δx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．3．求函数y＝x－1x在x＝1处的导数. 【导学号：25650097】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴Δy Δx ＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a＋b·Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴lim Δt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→02(Δt)2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【导学号：25650098】【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴Δy Δx ＝2(Δx)2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。

2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3-1-1

3．1.1函数的平均变化率3．1.2瞬时速度与导数学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？梳理函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的________．知识点二瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当________________时，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．知识点三函数在某一点处的导数与导函数思考 f ′(x 0)与f ′(x )表示的意义一样吗？梳理 (1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝________________. (2)导函数定义如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.类型一函数的平均变化率例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy ； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．引申探究1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三求函数在某一点处的导数例3 求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. 跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数为________．5．已知函数f (x )＝ax在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. 简记为一差，二比，三极限．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使当Δx →0时，分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．答案精析问题导学知识点一思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度．思考3 观察图象可看出，ΔyΔx表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (2)函数值自变量 (4)斜率知识点二思考1 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .思考2 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．梳理 (1)t 0到t 0＋Δt f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt (2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx知识点三思考 f ′(x 0)表示f (x )在x ＝x 0处的导数，是一个确定的值．f ′(x )是f (x )的导函数，它是一个函数．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．梳理 (1)瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)确定的导数f ′(x ) 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5，所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.例2 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ， ∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．解 ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ， ∴lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．解设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， ∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝2t 0＋1＋Δt . ∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.跟踪训练2 解质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δx →ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 例3 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12.跟踪训练3 解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 3(x 0＋Δx )2－3x 20Δx＝lim Δx →(6x 0＋3Δx )＝6x 0，又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1. 当堂训练1．B 2.B 3.28π34.165.2。

高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.2瞬时速度与导数课件

fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δlixm→0
(a＋b·Δx)＝a.
12345
5.已知函数f(x)＝ ax在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是__2_.
1＋aΔx－a
－a
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim
＝－a.
Δx→0 1＋Δx
由题意知，－a＝－2，∴a＝2.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
(2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx.
跟踪训练 1
(1)若 lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝k，则Δlixm→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0等于
√A.2k
B.k
1 C.2k
D.以上都不是
解析
lim
Δx→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0，
＝2 lim 2Δx→0
fx0＋22··ΔΔxx－fx0＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数.
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，ΔΔxy＝2Δx＋16， Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
3 达标检测
PART THREE
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其
在1.2 s末的瞬时速度为
√A.－4.8 m/s
B.－0.88 m/s
C.0.88 m/s
D.4.8 m/s
解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.

2018年秋新课堂高中数学人教B版选修1-1学案：第3章 3.1 3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2瞬时速度与导数含答案

3.1 导数 3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数学习目标：1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度．(易混点).2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点).3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(难点)[自主预习·探新知]1．函数的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？图3-1-1[提示] ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．2．瞬时变化率(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率f(x0＋Δx)－f(x0)Δx趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．3．函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x.思考：f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？[提示]f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．[基础自测]1．思考辨析(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx，函数值的增量Δy 可以为任意实数．()(2)对于函数f (x )，若x 1≠x 2，平均变化率可以表示为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2.( )(3)函数f (x )在定义域内的任一点都存在导数．( )[提示] (1)× Δx 可正、可负，但不能等于零，Δy 可以为任意实数． (2)√(3)× 不一定．存在导数的点x 0首先在区间内部，不能是区间端点，其次当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋近于一个常数．如函数f (x )＝x ，在x ＝0处就不存在导数．因为f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx Δx ＝1Δx ，当Δx 趋近于0时，导数越来越大，无法趋近于一个确定的值．2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：73122201】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [由Δy ＝f (Δx ＋2)－f (2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知选B.]3．质点按规律s (t )＝at ＋1运动，若t ＝2时刻的瞬时速度为12，则a 的值为________．12 [lim Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a ＝12][合作探究·攻重难]①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，哪一点附近的平均变化率最大？【导学号：73122202】[解](1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.Δy Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)ΔxΔx＝2Δx＋4x1＋3.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.ΔyΔx＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1附近的平均变化率为k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．1．(1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.(2)如图3-1-2所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3-1-2(1)Δx (2)12 34 [(1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1＜x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.](1)若lim Δx →000Δx ＝k ，则lim Δx →000Δx 等于( )A ．2kB ．k C.12k D ．以上都不是 (2)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【导学号：73122203】[思路探究] (1)严格按照导数定义推导求解．(2)[解] (1)∵lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，∴lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx。

高二数学(人教B版)《选修瞬时速度与导数(2)》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程

函数的平均变化率极限
函数的瞬时变化率
（二）数理对比，类比定义
设函数 y = f (x) 在 x0 附近有定义，当自变量在 x = x0 附近改变 ∆x 时，函数值
相应地改变y f (x0 +x) f (x0 )，如果 ∆x 趋近于 0 时，平均变化率
y f (x0 +x) f (x0 )
瞬时速度与导数(2)
人教B版选修高二数学
主讲人
中学
（一）复习旧知，引入新知
在10米跳台跳水运动中，平均速度为（函数的平均变化率）
当△t 趋于 0 时，得到瞬时速度为
h(t0
t) t
h(t0
)
9.8t0
4
4.9t.
9.8t0 4.
（二）数理对比，类比定义
平均速度极限
瞬时速度
对应对应
【例】求函数
在 x = −2 处的导数．
【解法2】（先求导函数，再求一点处的导数）
f '(x) lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2
x0
x
x0
x
lim x2 2xx (x)2 x2 lim (2x x) 2x.
x0
x
x0
所以， f '(2) 4.
（2）思考与交流
① “极限”一词用符号“lim”表示，读为“limit”．
② 这里“∆x → 0”的理解与“瞬时速度”中含义相同 .
f (x0 +x) f (x0 )
③ 注意
与x
的l区ixm别0
f
.
(x0 +x) x
f
(x0 )
（三）符号表示，概念生成

高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题1

阶段性测试题一(第一章基本知能检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，不表示命题的一个是( )A ．3>8B ．0是自然数C ．杭州是省会城市D ．他去哪儿 [答案] D[解析] 选项D 不涉及真假．2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 [答案] A[解析] 判断命题的真假，根据选项容易选出A.3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题和逆否命题中( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 [答案] D[解析] 原命题与其逆否命题同真假，原命题真，故选D.4．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“或”D ．使用了逻辑联结词“非”[答案] C[解析] “π≥3.14”的意思为：“π>3.14或π＝3.14”．故选C.5．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则¬p 是¬q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ¬p ：－1≤x ≤1，¬q ：－2≤x ≤1，¬p ⇒¬q ，而¬q ⇒/ ¬p .6．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题( )A ．是真命题B ．是假命题C ．不一定是真命题D ．不一定是假命题 [答案] A[解析] 一个命题的逆命题与否命题真值相同．7．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵N M ，∴若a ∈N ，则a ∈M ，当a ＝52时，a ∈M ，但a ∉N ，故选B. 8．a ＝3是直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] C[解析] 当直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行时，有a (a －1)＝6，解得a ＝3或a ＝－2.当a ＝－2时，两直线重合．9．下列判断不正确．．．的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真[答案] B[解析] 由am 2<bm 2⇒a <b ，但a <b ⇒/ am 2<bm 2.例如：m ＝0时，故选B.10．如果命题“¬(p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个真命题D ．p 、q 中至多有一个真命题[答案] C[解析] “¬(p 或q )”为假，则“p 或q ”为真，故p 、q 中至少有一个为真．11．“1x 2>1y 2”是“|x |<|y |”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x |<|y |⇔x 2<y 2，1x 2>1y 2⇔1x 2－1y 2>0 ⇔y 2－x 2x 2y 2>0⇔y 2－x 2>0⇔x 2<y 2. 当x 2＝0，y 2≠0时，x 2<y 2成立，但1x 2无意义，故选A. 12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] a ＝18⇒2x ＋a x＝2x ＋18x ≥22x ×18x＝1. 另一方面，对任意正数x,2x ＋a x≥1，只要2x ＋a x ≥22x ×a 8x ＝22a ≥1⇒a ≥18，所以选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．命题“如果ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．[答案] 如果a ，b 至少有一个为零，则ab 为零[解析] 将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．14．用“p ∨q ”“p ∧q ”“¬q ”填空．命题“－x 2＋2≤2”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．[答案] “p ∨q ” “¬p ”15．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[答案] 0≤a ≤12[解析] 命题p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1.∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16．已知：①命题“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“如果m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题；④命题“如果A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．[答案] ①②③[解析] ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1，是真命题．②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝2，但a ≠b .③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m <0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0；真命题．18．(本题满分12分)已知命题p {x |1－c <x <1＋c ，c >0}，命题q (x －3)2<16，且p 是q的充分而不必要条件．求c 的取值范围．[解析] 命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，由(x －3)2<16可解得命题q 对应的集合B ＝{x |－1<x <7}，∵p 是q 的充分而不必要条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c >01－c ≥－11＋c ≤7，解得：0<c ≤2，经检验知c ＝2也符合题意，所以所求c 的取值范围为0<c ≤2.19．(本题满分12分)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；命题q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，已知命题p 和q 中，一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围．[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0解得m >2. q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0解得1<m <3.∵p ，q 中一真一假．∴有两种可能，即p 真q 假或者p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得：m ≥3或1<m ≤2.20．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a >2，q ：a >5；(4)p ：a <b ，q ：a b<1. [解析] (1)在△ABC 中，∠A >∠B ⇔BC >AC .所以p 是q 的充要条件．(2)a ＝3⇒(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0⇒/ a ＝3.所以p 是q 的充分而不必要条件．(3)a >2⇒/ a >5，但a >5⇒a >2，所以p 是q 的必要而不充分条件．(4)a <b ⇒/ a b <1，且a b<1⇒/ a <b ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件． 21．(本题满分12分)已知p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．[解析] 由p 真可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a ·116a <0，解得a >2，由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假．若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.22．(本题满分14分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >52. (1)p 正确，q 不正确．则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)p 不正确，q 正确．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.。

人教B版选修(2-2)1.1.2《瞬时速度与导数》word练习题4

瞬时速度与导数、选择题（本大题共 16小题，每小题5分，共80分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知函数f (x ) = a x 2+ c,且f (1)=2 ,则a 的值为A . 4x 2y 二-0B . 4x - 2y 二-0C . 4x -2y -二-0D . 4x 2y -二-06.曲线y =cosx （0乞x "'）与坐标轴围成的面积是（）25 A. 4B.2C. 3D. 27. 一质点做直线运动 ,由始点起经过 t s 后的距离为 1.4 s = t - 4t43+ 16t 2则速度为零的时刻是()A.4s 末B.8s 末C.0s 与8s 末D.0s,4s,8s末&函数 y =1 • 3x -X 3有()11、一物体在力F （x ）=4xT （单位:N ）的的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x=1m 处运动2. 已知函数 f （x ）在x =1处的导数为3，贝U f （x ）的解析式可能为 ( ) A . (x - 1) 3+3(x - 1) B .2(x - 1) 2C .2(x - 1)D .x - 1 3. 已知函数 f (x)在 x =1处的导数为1 , 则叽 f (1 _ X)_ f (1 -x) -( )3x213A .3B . ———C .—D ———3 324. 函数y = (2x + 1) 3在 x : =0处的导数是( )A.0B.1C.3D.6A.1B.■. 2C. — 1D. 05 .函数y =cos2x 在点（］,0）处的切线方程是（）A.极小值—1,极大值1B.极小值—2,极大值3C.极小值—1，极大值39.已知自由下落物体的速度为 D.极小值—2，极大值2V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（B . gt 。

2C .知2押。

2410 .如果10N 的力能使弹簧压缩（）10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为A . 0.28JB . 0.12JC . 0.26JD . 0.18J到x=3m 处，则力F （x ）所作的功为（)A. 10JB. 12JC. 14JD. 16J12、若函数f （x ） =X -3bx 3b 在（0,1）内有极小值 ,则（）A 0 ::: b :::1B b <1C b 01 D bq13、函数f (x) =2x 3-3x 2-12x • 5在1.0,3 1上最大值和最小值分别是()(A )5 , — 15(B)5, — 4(C) — 4, — 15(D)5, — 1614、若函数f （x ）的导数为-2x 21，则f （x ）可以等于（）15、函数 y =sin(2x 2• x)导数是( )A.. cos(2x 2x)B. 2xsi n(2x 2x) 2D. 4cos(2x x)216、函数f （x ） =2x -Inx 的递增区间是（）1 1 1 1 A.（0,；） B.（-；,0）及（二，C.（；,2 2 2 2二、填空题：（每题4分共24分）11 •函数y = x 3 - X 2- x 的单调增区间为 ___________3212•设函数 f(x)=2x +ax +x , f"(1)= 9,贝U a= __________________________1 3 213. 物体的运动方程是 s =—丄t + 2t — 5,则物体在t = 3时的瞬时速度为 __________ . 314. 把总长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _____________ 卅. 15. ___________________________________ [ （3x 2+k ）dx = 10,贝Uk = , . V^dx=_______________________________________ .2316. 已知物体的运动方程是S =t • t （t 秒,s 米）,则物体在时刻t = 4时的速度v= _________ , _______ 力口速度a = _A.、 -2x 31 B 、x 1C.、 -4xD 、一％ X3C. (4x 1)cos(2x 2x)1 1D.1 二)及(0,-)三、解答题：（共46分）17.计算下列定积分。

高中数学第三章导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义教案新人教B版选修1-1

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何
预习导航
1．瞬时变化率
思考1平均变化率与瞬时变化率相同吗？
提示：不相同．平均变化率是描述函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率是描述函数值在x 0点处变化的快慢．
思考2瞬时变化率定义中Δx →0的含义是什么？
提示：Δx 趋近于0的距离要多近就有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.
2．导数与导函数
思考3函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗？
提示：相同．
思考4函数f (x )在定义域内的任一点都存在导数吗？
提示：不一定．存在导数的点x 0首先在区间内部，不能是区间的端点，其次是当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
趋近于一个常数，否则就不存在导数．特别提醒(1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．
(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.
3．导数的几何意义
思考5曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
提示：不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一个或多个公共点．。

高中数学人教B版选修1-1课件：3.1.2 瞬时速度与导数

＝Δx－1＋1＋1Δx
＝1＋ΔxΔ2x，
∴ΔΔyx＝1＋ΔxΔx.
∴y′|x＝1＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋ΔxΔx＝0.
法二 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－(x＋1x)
＝Δx－1x＋x＋1Δx
＝Δxxx2＋x＋x·ΔΔxx－1，
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1．怎么求运动员在 t0 时刻的瞬时速度？【提示】先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度 v ，当 Δt 趋于 0 时，平均速度就趋于运动员在 t0 时刻的瞬时速度．
2．当 Δx 趋于 0 时，函数 f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均变化率即为函数 f(x)在 x0 处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？
(12＋3Δt)＝12.
题目类型二、求函数在某点处的导数
求函数 y＝x＋1x在 x＝1 处的导数．【思路探究】本题主要考查利用导数的定义求函数的导数，可直接根据函数在某点处的导数的定义进行求解；也可先利用定义求出其导函数，再将 x＝1 代入．
解：法一 ∵Δy＝(1＋Δx)＋1＋1Δx－(1＋11)
∴v0＝lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlit→m0
(3Δt)＝0.
(2)当 t＝2 时，s＝3t2＋3，
Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝3(2＋Δt)2＋3－(3×22＋3)
＝12Δt＋3(Δt)2
ΔΔst＝12Δt＋Δt3Δt2＝12＋3Δt.
∴v2＝lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
【提示】当 Δx 趋于 0 时，x0＋Δx 就无限接近于点 x0，这样 (x0，x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0 处的瞬时变化率．