解方程对抗赛11
解比例和解方程练习题带答案
解比例和解方程练习题带答案题目一：解比例1. 已知比例 $\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$，求$x$的值。
解析：根据比例的性质，我们可以得到等式: $\frac{x}{3}=\frac{6}{9}$。
为了解出$x$的值，我们可以先将等式两边乘以3和9，得到新的等式: $3x=6\times3$。
进一步计算可得: $3x=18$。
最后，将等式两边除以3，得到$x=6$。
2. 若$\frac{5}{x}=\frac{2}{3}$，求$x$的值。
解析：根据已知比例 $\frac{5}{x}=\frac{2}{3}$，我们可以通过交叉相乘的方法求解。
将等式两边交叉相乘，得到新的等式: $5\times3=2\times x$。
计算可得: $15=2x$。
最后，将等式两边除以2，得到$x=\frac{15}{2}=7.5$。
题目二：解方程1. 解方程 $2x-3=5$。
将已知方程 $2x-3=5$ 移项，得到新的等式: $2x=5+3$。
计算可得: $2x=8$。
最后，将等式两边除以2，得到$x=4$。
2. 解方程 $3(x-5)=12$。
解析：将已知方程 $3(x-5)=12$ 进行分配计算，得到新的等式: $3x-15=12$。
将等式两边加上15，得到 $3x=27$。
最后，将等式两边除以3，得到$x=9$。
3. 解方程 $4x+7=3x-2$。
解析：将已知方程 $4x+7=3x-2$ 移项，得到新的等式: $4x-3x=-2-7$。
计算可得: $x=-9$。
4. 解方程 $\frac{3}{x}=5$。
解析：将已知方程 $\frac{3}{x}=5$ 移项，得到新的等式: $3=5x$。
最后，将等式两边除以5，得到$x=\frac{3}{5}$。
通过以上的解比例和解方程的练习题，我们可以掌握解题的方法和技巧。
在解比例时，根据比例的性质可得等式，通过交叉相乘或者移项计算可以求解未知数的值。
专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)
提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一、选择题1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=【答案】A【解析】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ）A ．4B ．－3C ．－4D ．3【答案】D【解析】∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x 1•x 2=ca =3．故选D ．3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( )A ．1212x x =-=，B ．1212x x ==-，C ．123x x =＋D ．122x x =【答案】C【解析】∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===-∴C 选项正确.故选C4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( )A ．1B ．-1C ．3D ．-3 【答案】A【解析】因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，所以12122,1x x x x +=•=-所以1122x x x x ++=2-1=1故选A5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为． 故选：A ．6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2-6的值相等，则x 的值是( )A ．-2或3B ．2或3C ．-1或6D ．1或-6. 【答案】B【解析】因为这两个代数式的值相等，所以有： 2x 2-5x=x 2-6，x 2-5x+6=0，(x-2)(x-3)=0，x-2=0或x-3=0，∴x=2或3．所以选B7．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣3m 2＝0的两根，则下列说法不正确的是（ ）A ．x 1+x 2＝2mB ．x 1x 2＝﹣3m 2C ．x 1﹣x 2＝±4mD ．12x x ＝﹣3 【答案】D【解析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2m ﹣3m 2=0的两根，∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=﹣3m 2，|x 1﹣x 2|==|4m |=±4m ， 解方程x 2﹣2mx ﹣3m 2=0得：x =3m 或﹣m ， ∴12x x =-3或13-． 故选D ．8．若a b ，是方程220180x x =＋－的两个实数根，则22a a b ++= ( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．2015【答案】B【解析】∵a 是方程220180x x =＋－的根，∴220180a a -=＋，∴22018a a =-＋，∴22201822018a a b a a b a b ++=-+++=++.∵a b ，是方程220180x x ＋－＝的两个实数根，∴1a b +=-，∴22201812017.a a b +=-=＋故选B.9.关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）A ．1B ．﹣2C ．2D ．3【答案】A【解析】设方程x 2+kx ﹣3＝0的另一个根为a ，∵关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3， ∴由根与系数的关系得：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，即方程的另一个根为1，故选：A ．10.关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（）A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =【答案】A【解析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选A ．11．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．2019【答案】A【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．12．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】 （k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．二、填空题13．若方程2410x x -+=的两根是12x x ，，则122(1)x x x ++的值为________．【答案】5【解析】根据题意得121241x x x x ==＋，，所以12211221212141()5x x x x x x x x x x x ++=++=++=+=.故答案为5.14．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=______________【答案】2【解析】∵x 1、x 2是方程x 2−2x −1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2，x 1×x 2＝−1，∴x 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2−2x 1x 2＝22−2×（−1）＝6．故答案为：6．15．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．【答案】8．【解析】∵a，b 是方程x 2+2017x+2=0的两个根，∴2+2017a+a 2=0，2+2017b+b 2=0，ab=2，∴（2+2019a+a 2）（2+2019b+b 2）=（2+2017a+2a+a 2）（2+2017b+2b+b 2）=4ab=8，故答案为：8．16．若a 、b 是关于一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两实数根，则11a b +的值为_____． 【答案】13 【解析】∵a 、b 是关于一元二次方程230x x +-=的两实数根，∴13a b ab +=-=-， ，∴111133a b a b ab +-+===- ， 故答案为：13． 三、解答题17．关于x 的一元二次方程2380x mx =＋－有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值． 【答案】该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.【解析】设方程的另一个根为t .依题意得22238033m ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得10.m = 又2833t =-，所以4t ＝－. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10. 18.已知关于x 的方程x 2﹣2kx+k 2﹣k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣3x 2＝2，求k 的值．【答案】（1）k ＞﹣1；（2）k ＝3．【解析】（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0，∴k＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩， ∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1，∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1， ∴k 1＝3，k 2＝﹣1， ∵k＞﹣1，∴k＝3．19．按指定的方法解方程()21(9)250x +-=(直接开平方法)()226160x x --=(配方法)()()()33121x x x -=-(因式分解法)()242720x x -+=(公式法)【答案】(1)1x 4=-，2x 14=-；(2)1x 8=，2x 2=-；(3)12x 3=，2x 1=；(4)733x ±=．【解析】 ()1方程变形得：2(x 9)25+=，开方得：x 95+=或x 95+=-，解得：1x 4=-，2x 14=-；()2方程变形得：2x 6x 16-=，配方得：2x 6x 925-+=，即2(x 3)25-=，开方得：x 35-=或x 35-=-，解得：1x 8=，2x 2=-； ()3方程变形得：()()3x x 12x 10---=，分解因式得：()()3x 2x 10--=， 解得：12x 3=，2x 1=； ()4这里a 2=，b 7=-，c 2=，∵491633=-=，∴x =． 20．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值【答案】a=-335. 【解析】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=c a=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80，∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80，∴5a 2+18a-99=0，∴a=3或-335， 当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=-33521．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【解析】 （1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．【答案】（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2． 【解析】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥0，解得m ≥﹣112； （2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞0，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝0，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝0，整理得m 2+12m ﹣28＝0，解得m 1＝﹣14，m 2＝2，而m≥﹣1 12；所以m＝2．。
11列一元一次方程解应用题(球赛积分表问题)
11列一元一次方程解应用题（球赛积分表问题）一．解答题（共14小题）1．在开展校园足球对抗赛中，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，我校女子足球队一共比赛了10场，且保持了不败战绩，一共得了22分，我校女子足球队胜了多少场？平了多少场？2．列方程解应用题：某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？3．某年级8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分、平一场得1分、负一场得0分，某班共得17分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛．4．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分，问：该队在这次循环赛中战平了几场？5．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？6．列方程解应用题：足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，恒大淘宝足球队在2017赛季共比赛30场，输掉6场比赛，得64分，这支足球队在2017赛季共胜多少场？7．某篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分．某篮球队赛了12场，共得20分．该篮球队负了多少场？请按照下列步骤解决这个问题：（1）设该篮球队胜了x场，则负了场，根据题意列出一个一元一次方程：；（2）解（1）中所得的方程，并回答：该篮球队负了多少场？8．学校举行数学知识竞赛，共10道选择题．答对得分，答错或不答会扣分．其中4个同学的得分情况如下表：小王小明小红小丽答对题数8题9题10题4题答错题数2题1题0题6题得分708510010请问答错一题扣多少分？若小雨的分数是25分，则小雨答对了多少题？9．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040（1）由表格知，答对一题得分，答错一题扣分．（2）参赛者的76分，他答对了几道题？（请用方程作答）（3）参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？10．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同、每题必答，如表记录了五位参赛者的得分情况．参赛者A B C D E答对题数20191814m得分10094 88n 40根据表格提供的信息．（1）每做对一题得分，每做错一题得分；（2）直接写出m=，n=；（3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？11．某班的一次数学测验中，共出了20道选择题，每小题5分，总分为100分，答对加分，答错倒扣分．现从中抽出5份试卷进行分析，如表：试卷正确个数错误个数得分A19194B18288C17382D14664E101040（1）甲同学得了76分，他答对了多少道题？（2）有一位同学说“同学乙得了89分”，这个成绩准确吗？为什么？12．如表是某次篮球联赛积分的一部分球队比赛现场胜场负场积分前进1410424光明149523远大147721卫星1441018备注：积分=胜场积分+负场积分（1）请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（2）某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，n为正整数，求n的值．（注意：本题只能用一元一次方程求解，否则不给分）．13．某班一次数学竞赛共出了20道题，现抽出了4份试卷进行分析如下表：（1）问答对一题得多少分，不答或答错一题扣多少分？（2）一位同学说他得了65分，请问可能吗？请说明理由．试卷答对题数不答或答错题数得分A19194B18288C17382D10104014．2011年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：球队名称比赛场次胜场负场积分悦达1211123香港129321济源128420圣奥126618丰绅125717广西123915三沟1201212（1）观察上面表格，可以发现，篮球联赛胜一场积多少分？负一场积多少分？（2）用式子表示某一个队总积分与胜、负场数之间的关系；（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？说明理由．11列一元一次方程解应用题（球赛积分表问题）参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．在开展校园足球对抗赛中，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，我校女子足球队一共比赛了10场，且保持了不败战绩，一共得了22分，我校女子足球队胜了多少场？平了多少场？【分析】根据分数可得等量关系为：胜场的得分+平场的得分=22分，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设我校女子足球队胜了x场，则平了（10﹣x）场，3x+（10﹣x）=22，解得x=6，则平了10﹣6=4（场），答：我校女子足球队胜了6场，平了4场．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，得到总得分的等量关系是解决本题的关键．2．列方程解应用题：某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？【分析】由“共赛7场”可设胜利x场，则平（7﹣x）场，由“积分17分”作为相等关系列方程，解方程即可求解．【解答】解：设胜利x场，平（7﹣x）场，依题意得：3x+（7﹣x）=17解之得：x=5答：该班共胜了5场比赛．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．某年级8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分、平一场得1分、负一场得0分，某班共得17分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛．【分析】由“8个班共赛7场”可设胜利x场，则平（7﹣x）场，由“积分17分”作为相等关系列方程，解方程即可求解．【解答】解：设胜利x场，平（7﹣x）场，由题意得：3x+（7﹣x）=17解得：x=5答：该班共胜了5场比赛．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．4．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分，问：该队在这次循环赛中战平了几场？【分析】设该队负了x场，则胜（x+2）场，平局的场数为[11﹣x﹣（x+2）]场．根据总积分=3×胜利场数+1×平局场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该队负了x场，则胜（x+2）场，平局的场数为[11﹣x﹣（x+2）]场．根据题意得：3（x+2）+1×[11﹣x﹣（x+2）]=19，解得：x=4，∴11﹣x﹣（x+2）=1．答：该队在这次循环赛中战平了1场．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？【分析】设这个班胜了x场，则负（28﹣x）场，根据3×胜场数+1×负场数=总分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这个班胜了x场，则负（28﹣x）场，根据题意得：3x+（28﹣x）=48，解得：x=10．答：这个班胜了10场．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．列方程解应用题：足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，恒大淘宝足球队在2017赛季共比赛30场，输掉6场比赛，得64分，这支足球队在2017赛季共胜多少场？【分析】设这支足球队在2017赛季共胜x场，则平（30﹣6﹣x）场，根据总分=3×胜的场数+1×平的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这支足球队在2017赛季共胜x场，则平（30﹣6﹣x）场，根据题意得：3x+（30﹣6﹣x）=64，解得：x=20．答：这支足球队在2017赛季共胜20场．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．某篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分．某篮球队赛了12场，共得20分．该篮球队负了多少场？请按照下列步骤解决这个问题：（1）设该篮球队胜了x场，则负了（12﹣x）场，根据题意列出一个一元一次方程：2x+（12﹣x）=20；（2）解（1）中所得的方程，并回答：该篮球队负了多少场？【分析】（1）根据“某篮球队赛了12场，共得20分”填空；（2）解（1）中的方程即可．【解答】解：（1）依题意得：该篮球队胜了x场，则负了（12﹣x）场，根据题意列出一个一元一次方程：2x+（12﹣x）=20；故答案是：（12﹣x），2x+（12﹣x）=20；（2）2x+（12﹣x）=20，x+12=20，x=20﹣12x=8，该篮球队负了4场．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，是基础题，理解得分规则是解题的关键．8．学校举行数学知识竞赛，共10道选择题．答对得分，答错或不答会扣分．其中4个同学的得分情况如下表：小王小明小红小丽答对题数8题9题10题4题答错题数2题1题0题6题得分708510010请问答错一题扣多少分？若小雨的分数是25分，则小雨答对了多少题？【分析】由小红可知，每答对一题得10分，设答错一题得x分，则每人得分为=正取答题道数×10+答错（或不答）道数×x，可由小王或小明求出答错一题扣多少分；设小雨答对a道，则答错（或不答）（10﹣a）道，可得关于a的一元一次方程，求出解即可．解决本题也可以列二元一次方程组．【解答】解：（法一）由小红作对10道得100分，知作对一题得10分；设答错一题得x分，因为小明得了95分所以90﹣x=95解得x=﹣5即打错一题扣5分．（法二）设答对一题得x分，错一道得y分．由小红和小明可以得到解方程组，得所以答错一题扣5分．设小雨答对了a道题，由题意：10a﹣5（10﹣a）=25，整理，得15a=75解得a=5．答：小雨答对了5道题．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解表格．9．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是5名参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040（1）由表格知，答对一题得5分，答错一题扣1分．（2）参赛者的76分，他答对了几道题？（请用方程作答）（3）参赛者说他得80分，你认为可能吗？为什么？【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分=总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分；（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=76分建立方程求出其解即可；（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=80分建立方程求出其解即可；【解答】解：（1）由题意，得，答对一题的得分是：100÷20=5分，答错一题的扣分为：19×5﹣94=1分，故答案为：5，1；（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得，5x﹣（20﹣x）=76，解得：x=16．答：参赛者得76分，他答对了16道题；（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意，得，5y﹣（20﹣y）=80，解得：y=，∵y为整数，∴参赛者说他得80分，是不可能的．【点评】本题考查了总数÷份数=每份数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键答对的得分+加上答错的得分=总得分是关键．10．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同、每题必答，如表记录了五位参赛者的得分情况．参赛者A B C D E答对题数20191814m得分10094 88n 40根据表格提供的信息．（1）每做对一题得5分，每做错一题得﹣1分；（2）直接写出m=10，n=64；（3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分=总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分；（2）根据（1）的得分即可求出m，n；（3）假设他得80分可能，设答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=80分建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得，答对一题的得分是：100÷20=5分，答错一题的得分为：94﹣19×5=﹣1分，故答案为：5，﹣1；（2）n=5×14﹣（20﹣14）=64；依题意有5m﹣（20﹣m）=40，解得：m=10．故答案为：10，64；（3）假设G得80分可能，设答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得5x﹣（20﹣x）=80，解得：x=，∵x为整数，∴参赛者G说他得80分，是不可能的．【点评】本题考查了总数÷份数=每份数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键答对的得分+加上答错的得分=总得分是关键．11．某班的一次数学测验中，共出了20道选择题，每小题5分，总分为100分，答对加分，答错倒扣分．现从中抽出5份试卷进行分析，如表：试卷正确个数错误个数得分A19194B18288C17382D14664E101040（1）甲同学得了76分，他答对了多少道题？（2）有一位同学说“同学乙得了89分”，这个成绩准确吗？为什么？【分析】（1）根据答对19题的得分﹣总得分即可求出答错一题的得分，设甲同学答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，再根据总分=答对题目数×5﹣答错题目数×1即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）假设成立，设乙同学答对了y道题，则答错了（20﹣y）道题，根据总分=答对题目数×5﹣答错题目数×1即可得出关于y的一元一次方程，解之即可求出y值，根据y不是正整数即可得出假设不成立，此题得解．【解答】解：（1）∵19×5﹣94=1，∴答错一题扣一分．设甲同学答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，根据题意得：5x﹣（20﹣x）=76，解得：x=16．答：甲同学答对了16道题．（2）假设成立，设乙同学答对了y道题，则答错了（20﹣y）道题，根据题意得：5y﹣（20﹣y）=89，解得：y=，∵不是正整数，∴假设不成立，即同学乙的成绩不准确．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系总分=答对题目数×5﹣答错题目数×1列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系总分=答对题目数×5﹣答错题目数×1列出关于y的一元一次方程．12．如表是某次篮球联赛积分的一部分球队比赛现场胜场负场积分前进1410424光明149523远大147721卫星1441018备注：积分=胜场积分+负场积分（1）请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（2）某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，n为正整数，求n的值．（注意：本题只能用一元一次方程求解，否则不给分）．【分析】（1）设胜一场积x分，则由前进队胜、负积分可知负一场积分，根据光明队胜9场负5场积23分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设胜了x场，则负了（14﹣x）场，由胜一场积2分负一场积1分结合负场总积分是胜场总积分的n倍即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，再根据x、n均为正整数即可得出n的值．【解答】解：（1）设胜一场积x分，则由前进队胜、负积分可知负一场积分，由光明队胜、负积分可得如下方程：9x+=23，解得：x=2，==1．答：胜一场积2分，负一场积1分．（2）设胜了x场，则负了（14﹣x）场，由题意得：2nx=14﹣x，解得：x=，∵x和n均为正整数，∴2n+1为正奇数且又是14的约数，∴2n+1=7，∴n=3．答：n的值为3．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．13．某班一次数学竞赛共出了20道题，现抽出了4份试卷进行分析如下表：（1）问答对一题得多少分，不答或答错一题扣多少分？（2）一位同学说他得了65分，请问可能吗？请说明理由．试卷答对题数不答或答错题数得分A19194B18288C17382D101040【分析】（1）由D卷可知，每答对一题与答错（或不答）一题共得4分，设答对一题得x分，则答错（或不答）一题得（4﹣x）分，再由A卷可得方程：19x+（4﹣x）=94，求解即可．（2）5x﹣（20﹣x）=65时，x=，根据题目的数量应该为整数，即可求解．【解答】解：（1）由D卷可知，每答对一题与答错（或不答）一题共得4分，设答对一题得x分，则答错（或不答）一题得（4﹣x）分，再由A卷可得方程：19x+（4﹣x）=94，解得：x=5，4﹣x=﹣1．答：答对一题得5分，不答或答错一题扣1分．（2）5x﹣（20﹣x）=65时，x=，题目的数量应该为整数，所以这位同学不可能得65．【点评】根据D卷可知，每答对一题与答错（或不答）一题共得4分，是此题的关键．14．2011年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：球队名称比赛场次胜场负场积分悦达1211123香港129321济源128420圣奥126618丰绅125717广西123915三沟1201212（1）观察上面表格，可以发现，篮球联赛胜一场积多少分？负一场积多少分？（2）用式子表示某一个队总积分与胜、负场数之间的关系；（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？说明理由．【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可；（2）根据上题发现的规律用另一个未知数表示出总积分与胜、负场数之间的关系即可；（3）根据题意列出一元一次方程求解即可得到答案．【解答】解（1）观察积分表的最下面一行数据，可以看出，负一场积．设胜一场积x分，则从表中其它任何一行可以列方程（如第一行），得11x+1×1=23，解得x=2，所以篮球联赛胜一场积，负一场积．（2）如果一个队胜m场，则这个队就负12﹣m场，从而总积分为2m+（12﹣m）×1=12+m．（或者如果一个队负n场，则这个队就胜12﹣n场，从而总积分为2（12﹣n）+n×1=24﹣n．）（3）设某个队胜了m场，则这个队就负12﹣m场，于是胜场总积分为2m，负场总积分为12﹣m，若2m=12﹣m，解得m=4，表明当这个队胜4场，就能满足胜场总积分等于它的负场总积分．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．。
实际问题与一元一次方程球赛积分问题公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
球赛积分表问题
第1页
球赛积分表问题
赛季全国男篮甲A联赛常规赛最后积分榜
队名 迈进
东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 14 14 14 14 14 14 14 14
胜场 10 10 9 9 7 7 4 0
负场 4 4 5 5 7 7 10 14
积分 24 24 23 23 21 21 18 14
问题4：若卫星队数据因 某种原因而丢失，你能填 出相关数据吗？
第4页
球赛积分表问题
赛季全国男篮甲A联赛常规赛最后积分榜
队名 迈进
东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 胜场 负场 积分
14
10 4 24
14
10 4 24
14
9
5 23
14
9
5 23
14
7
7 21
14
7
7 21
14
4 10 18
队名 迈进
东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁
比赛场次 14 14 14 14 14 14 14 14
胜场 10 10 9 9 7 7 4 0
负场 4 4 5 5 7 7 10 14
积分 24 24 23 23 21 21 18 14
问题2：用你所求出胜一 场得分、负一场得分去检 查其它几种队，能否适合 其它队？
东方
14
10 4 24
光明
14
9
5 23
蓝天
14
9
5 23
雄鹰
14
7
7 21
远大 卫星 钢铁
14
7
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小学数学奥数竞赛列方程解应用题专项练习试卷及答案解析(50道学生专用)
小学数学奥数竞赛列方程解应用题专项练习试卷及答案解析（50道）1、某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？2、有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.3、兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？4、小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？5、六年级学生去秋游，要分成15个组，一部分由8人组成一个小组，另一部分由5个人组成一个小组，8人组成小组的总人数比5人组成小组的总人数多3人，求六年级共有多少名同学参加秋游？6、五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共12人去取树苗，男同学每人拿3棵，女同学每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，则还差2棵不能取回．问：原来男、女生人数各是多少？7、苹果和梨共80斤，价值200元，已知苹果2元一斤，梨元一斤，那么苹果和梨各多少斤？8、甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量.9、汽车以每小时千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？(声音的速度以米/秒计算)10、平行四边形的周长是80厘米，以边为底时，高为12厘米；以边为底时，高为20厘米，求平行四边形的面积．11、小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了．求原来每个人各有几个球？12、甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书多少本？13、有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？14、某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这个旅游团一共有多少人？15、箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的倍多两个，每次从箱子里取出个白球，个红球。
五年级上册数学教案-11解方程(四)-人教新课标
五年级上册数学教案-11解方程（四）-人教新课标一、教学目标1. 让学生掌握解方程的方法，能熟练运用解方程解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
二、教学内容1. 方程的基本概念2. 解方程的方法3. 解方程在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：解方程的方法，解方程在实际问题中的应用。
2. 教学难点：解方程的方法，特别是解一元二次方程。
四、教学方法1. 讲授法：讲解方程的基本概念和解方程的方法。
2. 演示法：通过示例演示解方程的过程。
3. 练习法：让学生通过练习加深对解方程方法的理解。
五、教学步骤1. 导入：通过复习方程的基本概念，引入本节课的主题。
2. 讲解：讲解解方程的方法，特别是解一元二次方程。
3. 演示：通过示例演示解方程的过程。
4. 练习：让学生通过练习加深对解方程方法的理解。
5. 应用：让学生运用解方程的方法解决实际问题。
6. 总结：总结本节课的内容，强调解方程的方法和在实际问题中的应用。
六、教学评价1. 课后作业：布置课后作业，让学生巩固本节课的内容。
2. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对解方程方法的掌握情况。
3. 课堂问答：通过课堂问答，检查学生对解方程方法的理解情况。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学质量。
同时，教师还应关注学生的学习兴趣和自信心，激发学生的学习积极性。
总之，本节课的教学目的是让学生掌握解方程的方法，能熟练运用解方程解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
通过讲解、演示、练习和应用，让学生深入理解解方程的方法，并能将其应用于实际问题中。
同时，教师还应关注学生的学习情况，及时调整教学方法，提高教学质量。
重点关注的细节是“解方程的方法，特别是解一元二次方程”。
六年级高斯学校竞赛不定方程含答案
第11讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．典型问题兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有31的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？ 6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？ 2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．超越篇1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次?第11 讲不定方程兴趣篇1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44 千克油恰好装满这些油桶。
11稍复杂的方程的解法
2. 等式性质 等式性质1：在等式的两边同时 加上（或减去）同一个数，所得 的结果仍是等式。 等式性质2：在等式的两边同时 乘（或除以）同一个数（除数不 能是0），所得的结果仍是等式。
3．移项
把等式中的某一项从方程的一边 改变符号后移到方程的另一边，
叫做移项。
移项变号法则：移项过等号，一 定要变号。
例3．解方程：
（1）12＋(5x－7)＝70－8 （2）24－2(x－2)＝70－6x
去括号之前一定要看清括号前面的符号，特别 是括号前面如果是“－”号时，不要忘记将括 号里面每一项都要变号。如果括号前面有系数 时，根据乘法分配律进行计算时，不要漏乘。
例4．解方程：
7 （1） x＝14 10 3 1 （2） x－ x＝8 5 3
解方程的方法可以根据实际情况 采用不同的方法。
课堂练习
5 • （1） x＝45 9
• （2）1.7x－0.2x＝3
8 5 • （3） x－ x＝27 9 9
• （4）3.2×4＋4x＝48
课堂练习 1 2 • （5）7x＋ ＝ 5 3
• （6）72－4x＝60 • （7）0.51x＋0.6×4＝7.5
第十一讲
稍复杂的方程的解法
1．等式及方程 像3＋2＝5，5x＋3＝4， 2 3x＋2y＝6， 3a ＝12等，这样的用 “＝”连接，表示相等关系的式 子叫做等式。其中5x＋3＝4，3x 2 ＋2y＝ 6， ＝12这种含有未知数 3a 的等式叫做方程。
1．等式及方程 2 5x＋3＝4，3x＋2y＝6， 3a ＝12 在上面的方程中像5x＋3＝4这样的 方程，只含有一个未知数，并且未 知数的次数是1，系数不等于0的方 程叫做一元一次方程。使方程左右 两边的值相等的未知数的值，叫做
五年级解方程专项模拟卷11
五年级解方程专项模拟卷11一、选择题1.下列不是一元一次方程的是（）。
A. 2x + 3 = 7 B. 3x - 5 = 2x + 1 C. 4x - 3y = 5D. 5(x + 2) = 3 - x2.解方程5x - 3 = 12的解是（）。
A. x = 3 B. x = 5 C. x = 2 D. x = 43.如果5x + 7 = 22，那么x的值是（）。
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4二、填空题1.解方程3x + 5 = 14，得到x = 7。
2.如果方程4x - 8 = 16的解是x = 6，则x乘以2的结果是__12__ 。
三、计算题1.解方程5x - 8 = 22。
2.解方程3(x + 4) = 21。
四、应用题某个数的六分之一减去5等于这个数的四分之一加上2，求这个数是多少？解题过程及答案一、选择题1.答案：C。
4x - 3y = 5不是一元一次方程，因为含有两个变量。
2.答案：A。
将5x - 3 = 12转化，得到x = 3。
3.答案：A。
根据5x + 7 = 22，解方程得到x = 3。
二、填空题1.通过3x + 5 = 14解方程可得x = 3。
2.由4x - 8 = 16解得x = 6，计算得x乘以2为12。
三、计算题1.解方程5x - 8 = 22： 5x - 8 = 22 5x = 30 x = 62.解方程3(x + 4) = 21： 3x + 12 = 21 3x = 9 x = 3四、应用题设这个数为x，根据题意可列方程： 1/6 * x - 5 = 1/4 * x + 2 化简得： 4x - 120 = 6x + 48 2x = -168 x = -84综上所述，得到这个数为 -84。
以上是五年级解方程专项模拟卷11的内容，希望能帮助到你。
专题11配方法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。
初一数学消元解方程组水平测试卷及解析11
初一数学消元解方程组水平测试卷及解析11以下是查字典数学网为您举荐的七年级数学消元解方程组水平测试题及答案11，期望本篇文章对您学习有所关心。
七年级数学消元解方程组水平测试题及答案11一、选择题1.四名学生解二元一次方程组提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( )A.由①得x= ，代入②B.由①得y= ，代入②C.由②得y=- ，代入①D.由②得x=3+2y，代入①2.用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )A.由①得x=B.由①得y=C.由②得x=D.由②得y=2x-53.用加减法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：其中变形正确的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④4.二元一次方程组的解是( ).A B C D5.已知方程组的解为，则的值为()A. B. C. D.6.在2021年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分成8个小组进行单循环竞赛，小组竞赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是()A.两胜一负B.一胜两平C.一胜一平一负D.一胜两负7.一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到方程组为()A. B.C. D.8.假如方程组的解与方程组的解相同,则a、b的值是( )A. B. C. D.9.刘东同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元.设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么所适合的一个方程组是( )A. B. C. D.二、填空题10、请写出一个以为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成②方程组的解为，如此的方程组能够是.11、已知方程，用含的代数式表示y的式子是_________________;当时,12、甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克：⑴列出关于x、y的二元一次方程;⑵若x =12，则y = ;⑶若有乙种物品8个，则甲种物品有个。
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)在小学数学中，我们研究了应用题的算术解法和常见的典型应用题。
然而，算术解法往往只能从已知条件出发推出结论，不允许未知数参与计算。
因此，对于较复杂的应用题，使用算术方法可能会比较困难。
相比之下，列方程的方法更为灵活，因为未知数和已知数都是运算对象，通过找出“未知”和“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），可以解决问题。
因此，对于应用题，列方程的方法往往比算术解法更易于思考和求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题、设未知数、找出相等关系、列方程、解方程和检验作答。
其中，列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来。
要建立这种相等关系，必须对题目进行细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
下面举两个例子来说明如何列方程解应用题。
第一个例子是：求一个六位数，这个六位数满足：如果把它乘以10再加1，得到的结果是3的倍数；如果把它乘以3再加1，得到的结果是10的倍数。
我们可以设这个六位数为x，那么根据题意，可以列出两个方程式：10x+1=3y 和 3x+1=10z。
解这两个方程，可以得到x=.因此，这个六位数为.第二个例子是：有一支队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一名通讯员，他因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头，并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？这是一道“追及又相遇”的问题。
我们可以设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒。
根据题意，可以列出方程式：2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解这个方程，可以得到x=500.因此，队伍长为（2.6-1.4）×500=600米。
即8-a = (8+a)/2，解得a=2千米/时。
暴雨时水流速度变为原来的2倍，即4千米/时。
设顺水行驶的时间为t，则逆水行驶的时间为2t。
根据行程公式，有xt/(8+2) + xt/(8-2) = 9。
初中数学竞赛列方程解应用题（含答案）
初中数学竞赛列⽅程解应⽤题（含答案）列⽅程解应⽤题在⼩学数学中介绍了应⽤题的算术解法及常见的典型应⽤题。
然⽽算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应⽤题，使⽤算术⽅法常常⽐较困难。
⽽⽤列⽅程的⽅法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出⽅程（或⽅程组），使问题得以解决。
所以对于应⽤题，列⽅程的⽅法往往⽐算术解法易于思考，易于求解。
列⽅程解应⽤题的⼀般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列⽅程，解⽅程，检验作答。
其中列⽅程是关键的⼀步，其实质是将同⼀个量或等量⽤两种⽅式表达出来，⽽要建⽴这种相等关系必须对题⽬作细致分析，有些相等关系⽐较隐蔽，必要时要应⽤图表或图形进⾏直观分析。
⼀、列简易⽅程解应⽤题10x+1，从⽽有3（105+x）=10x+1，7x＝299999，x＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这⼀解法的关键有两点：⽰出来，这⾥根据题⽬的特点，采⽤“整体”设元的⽅法很有特⾊。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是⼀般语⾔与数学的形式语⾔之间的相互关系转化。
因此，要提⾼列⽅程解应⽤题的能⼒，就应在这两⽅⾯下功夫。
例2有⼀队伍以1.4⽶/秒的速度⾏军，末尾有⼀通讯员因事要通知排头，于是以2.6⽶/秒的速度从末尾赶到排头并⽴即返回排尾，共⽤了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是⼀道“追及⼜相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所⾏路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所⾏路程和为队伍长。
如果设通讯员从末尾到排头⽤了x秒，那么通讯员从排头返回排尾⽤了（650-x）秒，于是不难列⽅程。
解：设通讯员从末尾赶到排头⽤了x秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得x＝500。
推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（⽶）。
八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11 用分式方程解决问题
专题11 用分式方程解决问题专题解读】用分式方程解决问题时，重要的是用代数式表达相关的量，利用实际问题的意义建立分式方程解决问题.将实际问题去情景化，抽象出其数学意义，用数学符号语言来表达，借助于方程思想解决后再回到实际问题，这正是数学核心素养的基本要求.思维索引例1.小明和小刚相约到红星电影院电影，他们的家分别距离电影院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达电影院.求两人的速度.例2.某公司在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？例3.市场上的红茶由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买15吨纯净水.由于今年以来茶产地连续大旱，茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了10%，导致配制的这种茶饮料成本上涨40%，求这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例.素养提升1.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）A.40 1.2540800x x⨯-= B.800800402.25x x-=C.800800401.25x x-= D.800800401.25x x-=2.为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长1200m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为2120012003300x x⨯=+时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是（）A.实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的23；B.实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23；C.实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23；D.实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的2 3 .3.某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元.若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（）A.117元B.118元C.119元D.120元4.小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%.如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时，问小王跑步从A城到B城需要的时间是（）A.45分钟B.48分钟C.56分钟D.60分钟5.一个人步行从A地出发，匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）A. 2﹕1B. 3﹕1C. 4﹕1D. 5 ﹕16.某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元.设此商品的进价是x元，则可列方程________________.7.某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是_______元.8.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，则小刚每消耗1千卡能量需要行走的步数是________.9.小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等_______分钟.10.一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子1xx+（x＞0）的最小值为2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边长是1x，矩形的周长是12()xx+；当矩形成为正方形时，就有1xx=（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长12()xx+＝4最小，因此1xx+（x＞0）的最小值是2，模仿老师的推导，你求得式子216xx+（x＞0）的最小值是_______.11.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元；（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元.12.为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程.一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程.（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天.13.若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有游客正好能平分乘到其他各车上，求游客共有多少人.14.若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的1 4（1）若按改变的方式装卸，求自始至终共需的时间；（2）求参加装卸的有工人人数.专题11用分式方程解决问题思维索引】例1.设小明的速度为3x 米/分，则小刚的速度为4x 米/分，20004x －12003x＝4，解得：x ＝25，经检验，x ＝25是分式方程的根，且有实际意义，∴3x ＝75，4x ＝100.所以小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分.例2.（1）设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x ＋10）元，480x 10＋＝360x， 解得：x ＝30.经检验，x ＝30是原方程的解，且有实际意义，x ＋10＝30＋10＝40.所以甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元.（2）设他们可购买y 棵乙种树苗，30×（1－10%）（50－y ）＋40y ≤1500，解得y ≤11713， ∵y 为整数，∴y 最大为11.所以他们最多可购买11棵乙种树苗.例3.设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a :b ，购买一吨纯净水的价格是x ， ()()bx 110%15x 150%a a b＋＋＋＋＝()bx 15xa 10%a b ＋＋4＋，解得a b ＝15.素养提升】1.C ；2.A ；3.A ；4.B ；5.B ；6.12000.2x＝12003000.15x ＋－80；7.4；8.30；9.30；10.8；11.（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为（x ＋l 0）元，由题意：1.2（x ＋10）＋x ≤34，解得：x ≤10.所以购入B 种原料每千克的价格最高不超过10元； （2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a ＋30）元，由题意：10000a ＝16000a 30＋，解得：a ＝50，经检验，a ＝50是原方程的根，且符合实际.所以这种产品的批发价为50元. 12.（1）设B 工程公司单独完成需要x 天，由题意：45×1180＋54（1180＋1x）＝1，解得：x ＝120，经检验x ＝120是分式方程的解，且符合题意，所以B 工程公司单独完成需要120天； （2）根据题意得：m ×1180＋n ×1120＝1，整理得：n ＝120－23m ，∵m ＜46，n ＜92，∴120－23m ＜92，解得42＜m ＜46，∵m 为正整数，∴m ＝43，44，45，又∵120－23m 为正整数，∴m ＝45，n ＝90，所以A 、B 两个工程公司各施工建设了45天和90天.13.设起初有汽车m 辆，当有一辆车不做人时，平均每辆车所乘游客为n 人.由题意：22m ＋1＝n （m －1）.所以n ＝22m 11m ＋－＝22＋231m －，因为n 为自然数，所以231m －为整数，所以m －1＝1，或m －1＝23，即m ＝2或m ＝24.当m ＝2时，n ＝45，n （m －1）＝45；当m ＝24时，n ＝23，n （m －1）＝529.故游客共有45人或529人.14.（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干x4小时，两人共干活（x＋x4）小时，平均每人干活12（x＋x4）小时，由题意，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是12（x＋x4）小时.所以12（x＋x4）＝10，解得x＝16；所以共需16小时.（2）设共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y－1）t小时，按题意，得16－（y－1）＝16×14，即（y－1）t＝12.解此不定方程得y＝2，t＝12；y＝3，t＝6；y＝4，t＝4；y＝5，t＝3；y＝7，t＝2；y＝7，t＝1.所以参加的人数为2或3或4或5或7或13.。
专题11 直线的方程(深度精讲)(含解析)
专题直线的方程【重难点精讲】重点一、直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x＝x0．重点二、直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.倾斜角是90°的直线没有斜截式方程．强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．重点三、直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1叫做直线l的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴垂直(或平行)的直线没有两点式方程．[归纳总结] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1． 重点四、直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)、P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb ＝1叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[归纳总结] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋yb ＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程． 重点五、中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．重点六、直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的． 重点七、直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1．【典题精讲】考点1、直线的点斜式方程例1．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.【答案】230x y --= 【解析】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩=由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --=考点点睛：求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0、y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． 点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0、y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．考点2、直线的斜截式方程例2．过点()3,0P作一直线，使它夹在两直线1l ：220x y --=与2l：30x y ++=之间的线段AB 恰被点P 平分，则此直线的方程为______. 【答案】8240x y --= 【解析】设过点(3,0)P 的一条直线为l ，与1l 和2l 分别交于点,A B ，则点,A B 关于点P 对称. 设()00,22A x x -，则()006,22B x x --.将点B 坐标代入直线2l :30x y ++= 可得()0062230x x -+-+=，解得0113x =. 则1116716,,,3333A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线l 方程的斜率为160381133k -==-. 所以此直线方程为8(3)y x =-，整理后即为8240x y --=. 故答案为：8240x y --= 考点点睛：斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k ≠0时，斜截式方程y ＝kx ＋b 是一次函数的形式；而一次函数y ＝kx ＋b 中，k 是直线的斜率，常数b 是直线在y 轴上的截距．考点3、直线的两点式方程例3．已知ABC ∆中，()3,2A ，(1,5)B -，点C 在直线330x y -+=上，若ABC ∆的面积为10，则点C 的坐标为______.【答案】()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设点C 到直线AB 的距离为d ， 由题意知：5AB ==，11510,422ABC S AB d d d ∆=⋅=⨯⨯=∴=， 直线AB 的方程为235213y x --=---，即34170x y +-=， C 点在直线330x y -+=上，设()00,33C x x +，001553145x d x -∴===-=，00314,1x x ∴-=±∴=-或53，C 的坐标为()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为()1,0-或5,83⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：对直线的两点式方程的理解：(1)方程也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，两者形式有异但实质相同；(2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为零(y 1＝y 2)时，不能用两点式表示；(3)如果将直线两点式转化为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．考点4、直线的截距式方程例4．过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______． 【答案】2x +y =0或x +y -1=0 【解析】当直线过原点时，斜率等于20210-=---，故直线的方程为2y x =-，即20x y +=，当直线不过原点时，设直线的方程为0x y m ++=，把()1,2P -代入直线的方程得1m =-，故求得的直线方程为 10x y +-=综上，满足条件的直线方程为430x y +=或10x y ++=，故答案为20x y += 或10x y +-=.考点点睛：(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．考点5、忽视截距为0的情形例5．过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．5x y +=B ．5x y -=C ．5x y +=或40x y -=D ．5x y -=或04=+y x【答案】C 【解析】设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0), 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=14, ∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.考点点睛：截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x 、y 轴上的截距均为0，即过原点．考点6、直线的一般式方程例6．已知点00(,)P x y 不在直线:0l Ax By C ++=上，则方程()000Ax By C Ax By C +++++=表示（ ）A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线 【答案】D【解析】点()00,P x y 不在直线0Ax By C ++=上 000Ax By C ∴++≠∴直线()000Ax By C Ax By C +++++=不经过点P又直线()000Ax By C Ax By C +++++=与直线:0l Ax By C ++=平行∴方程()000Ax By C Ax By C +++++=不过点P 且与l 平行的直线本题正确选项：D考点7、直线的一般式方程的应用例7．已知直线l 的方程为()23y k x +=-． （1）若直线l 过原点，求实数k 的值． （2）求证：无论k 取何实数，直线l 恒过定点． （3）若直线l 不经过第三象限，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）23k =-；（2）恒过定点()3,2-；（3）23k ≤- 【解析】(1) 直线l 过原点，所以()0203k +=-， 故23k =-； （2）令3020x y -=⎧⎨+=⎩ ，解得：32x y =⎧⎨=-⎩ ，即无论k 取何实数，直线l 恒过定点()3,2-；（3）由（2）得：直线l 不经过第三象限，则直线的纵截距230k --≥， 即 23k ≤-， 故实数k 的取值范围为23k ≤-．考点点睛：(1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．考点8、平行与垂直的应用例8．已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=； （2）320x y +-=. 【解析】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-， 点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=， 点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．考点点睛：1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．【基础精练】13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；3）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<， 则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4. 此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)250x y +-=；(2)30x y -=. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【答案】（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =. 【答案】（1）230x y -=或50x y +-=；（2）1x =或3410x y ++=.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ， 若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=. 若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=. （2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =， 即1x =为所求.②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩ 得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫⎪++⎝⎭. 22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=.17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程． 【答案】（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=. 【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直； （2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．【答案】（1）32110x y --=；（2）430x y -+=或430x y --=. 【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-．由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32， 所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±故直线方程为430x y -+=或430x y --=【能力提升】11．直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为()0,2，则直线l 的斜率的取值范围为__________． 【答案】()1,1-【解析】设直线l 方程为11y k x -=-（）， 令0x = ，可得1y k =-，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是()0,2， 012,11k k ∴-∴-<<＜＜12.（江西省赣州市十四县（市）2018届高三下期中）记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________.【答案】112-【解析】∵直线:210l x y -+=的斜率为2， ∴tan 2α=，∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++， 222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---， ∴1541tan2sin24312αα+=-=-． 答案： 112-13.（2019届高考全程训练）过点(－1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 【答案】或【解析】①所求的直线与两坐标轴的截距为时，设该直线的方程为.∵直线过点∴，即∴直线的方程为，即.②所求的直线与两坐标轴的截距不为时，设该直线的方程为.∵直线过点∴∴直线的方程为.综上，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是或.故答案为或.14.（山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺）直线()sin 30x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是_______.（6分） 【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】若sin 0α=，则直线的倾斜角为90；若sin 0α≠，则直线的斜率][()1,11,,sin k α=-∈-∞-⋃+∞设直线的倾斜角为θ，则][()tan ,11,θ∈-∞-⋃+∞，故,42ππθ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭ 3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15.已知直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线l 的斜率的取值范围是__________.（6分） 【答案】（-1，1）【解析】设直线l 的方程为：y −1=k(x −1)，化为：y=kx+1−k ， 由题意可得：0<1−k<2， 解得−1<k<1.∴直线l 的斜率的取值范围为(−1,1).16.（天津市七校（静海一中、杨村中学等）2017-2018学年高二上期中（文））一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点，再从P 点出发爬行到点(1,1)A ，则虫子爬行的最短路程是__________．（6分） 【答案】2【解析】如图所示：12345123451234512345xyO A B C设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b ， 连接OB 和直线1y x =+交于C 点， 则OC CA +最短， 由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得(0,2)B ，故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1)， 故112OC CA +=+=． 故答案为：2．17.（四川省成都市2019届摸底）已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．（6分）【答案】. 【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.18．等腰△ABC 的顶点A (－1,2)，AC 3B (－3，2)，求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在直线方程． 【答案】【解析】AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 倾斜角为30°或120°． 当α＝30°时，BC 方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线倾斜角为120°， ∴所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 方程为y ＝－3x ＋2－3 3，∠A 平分线倾斜角为30°， ∴所在直线方程为y ＝3x ＋2＋3． 19.设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．（1）在轴上的截距为1； （2）斜率为1； （3）经过定点．【答案】（1）1；（2）；（3）或.【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0)， ∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得解得m ＝.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－ (m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝或m ＝－2. 20.（重庆市綦江区2017-2018学年高二上期末（文））（1）求经过点(1,1)且在x 轴上截距等于y 轴上截距的直线方程；（2）求过直线022=+-y x 与022=--y x 的交点，且与直线0143=++y x 垂直的直线方程. 【答案】(1)0=-y x 或02=-+y x ；(2)0234=--y x【解析】(1)当直线过原点时，直线方程为0=-y x ； ……2分 当直线不过原点时，由横纵截距相等可设横纵截距a ，直线方程为a y x =+……3分直线经过)1,1(∴a =+11即2=a∴直线方程为02=-+y x ……4分综上所述：直线方程为0=-y x 或02=-+y x ……6分 (2)由⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，交点为)2,2(.又因为所求直线与0143=++y x 垂直，所以所求直线斜率34=k 故所求直线方程为0234=--y x21.已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．【答案】3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．【解析】设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0． 由22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得正方形的中心坐标P (－1,0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，=，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等，=，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． 综上，另三边所在的直线方程分别为 3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。
(完整版)《一元一次方程》竞赛试题
《一元一次方程》竞赛试题1．已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解，则k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题)2．方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解为 ；解方程0333)321(212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x ，得x= ． 3．已知关于x 的方程2a(x 一1)＝(5一a)x+3b 有无数多个解，那么a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题)4．和方程x 一3＝3x+4不同解的方程是( )．A ．79—4＝59—11B ．0231=++xC ．(a 2+1)(x 一3)＝(3x+4)(a 2+1)D ．(7x 一4)(x —1)＝(5x 一11)(x 一1) 5．已知a 是任意有理数，在下面各题中 (1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax=1的解是x ＝a1(4)方程a x a =的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ． 2D ．3 (江苏省竞赛题)6．方程231)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x 的解是（ ）A ．1415 B ．1415- C ．1445 D ．1445- 7．已知关于x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0无解，则ab=( ) ．A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数 8．解关于x 的方程： （1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1) 9．A 为何值时，方程)12(6123--=+x x a x 有无数个解？无解？ 10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 ． 11．已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ． 12．已知431)119991(441=++x ，那么代数式)19991999(481872xx+⋅+的值为 ． 13．若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，则x = ． 14．有4个关于x 方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4)111112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（1）与（4）D ．（2）与（4） 15．方程1995199619953221=⨯++⨯+⨯xx x 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知2001222==-=+cb a ，且kc b a 2001=++，那么k 的值为（ ）． A ．41B ．4C ．41- D ．－417．若k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个 (“希望杯”邀请赛试题)18．若干本书分给小朋友，每人m 本，则余14本，每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几个?有多少本书?19．下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x 的值．(上海市竞赛题) 5ABCDEFXGHE 1020．如果a 、b 为定值，关于x 的方程6232bkx a kx -+=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值．(山东省竞赛题)21．将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：(1)1988；(2)1991；(3)2000；(4)2080．这是否可能?若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数．(河北省竞赛题)22．(第12届“希望杯”竞赛试题)若k 为整数，则使得方程(k —1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值为( D )A ．4个B ．8个C ． 12个D ．16个模拟试题一、选择题：1. 几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ） A 、28 B 、33 C 、45 D 、572. 已知y=1是方程2－yy m 2)(31=-的解，则关于x 的方程m （x+4）=m （2x+4）的解是（ ）A 、x=1 B 、x=－1 C 、x=0 D 、方程无解3 某种商品的进价为1200元，标价为1750元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5﹪，则至多可打（ ）A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折 4. 下列说法中，正确的是（ ）A 、代数式是方程B 、方程是代数式C 、等式是方程D 、方程是等式5. 一个数的31与2的差等于这个数的一半．这个数是（ ）A 、12B 、–12C 、18D 、–186. 母亲26岁结婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的3倍. 此时母亲的年龄为（ ）A 、39岁B 、42岁C 、45岁D 、48岁7. A 、B 两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4小时到达目的地，火车提速后，速度比原来加快30％，那么提速后只需要（ ）即可到达目的地。
专题11方程组同解的问题
专题11 方程组同解的问题[例11.1] 已知齐次方程组同解，求a，b，c．[解法一] 设这两个方程组的系数矩阵分别为A和B，由Ax=0与Bx=0同解，知r(A)=r(B)．显然r(B)＜3，故|A|=0．于是由得到方程组(Ⅰ)的通解：k(-1，-l，1)T，其中k为任意常数．把x1=-k，x2=-k，x3=k代入方程组(Ⅱ)，得[解法二] 因为Ax=0与Bx=0同解[例11.2] 已知齐次方程组同解，求a，b，c之值并求它们的通解．[解] 设方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和曰，a，b，c恒有r(A)=r(B)=2．取x2，x4为自由变量，得到(Ⅰ)的基础解系η1=(-1，1 -4，0)T，η2=(-a，0，-3a，1)T．因为(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故η1，η2是(Ⅱ)的基础解系．代入(Ⅱ)有方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的通解均为k1(-1，1，-4，0)T+k2(2，0，6，1)T，其中k1，k2为任意常数．评注请你用[例11.1]的[解法二]再做一遍．[例11.3] 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解．[证明] 设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解．若α是齐次方程组ABx=0的解，则ABα=0，那么Bα是齐次方程组Ax=0的解．因为秩r(A)=n，所以Ax=0只有0解．故Bα=O．从而α是齐次方程组Bx=0的解．因此ABx=0与Bx=0同解．[例11.4] 设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，证明向量β=(b1，b2，…，b n)可由A的行向量线性表出．[证明] 因为Ax=0的解全是b1x1+b2x2+…+b n x n=0的解，所以若是矩阵A行向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组，那么也是α1，α2，…，αm，β的极大线性无关组．因此β可由线性表出，亦即β可由A的行向量线性表出．[例11.5] 证明n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是A T x=0的解全是b T x=0的解．[证明] (必要性)因为方程组Ax=b有解，设α是Ax=b的一个解，即Aα=b，即b T=(Aα)T=αT A T．若η是A T x=0的任一个解，则A Tη=0，那么b Tη=αT A Tη=αT0=0，即η是b Tη=0的解．(充分性)因为A T x=0的解全是b T x=0的解，所以A T x=0 与同解．那么即r(A)=r(A，b)，因此方程组Ax=b有解．专题12 抽象矩阵的特征值与特征向量[例12.1] 设A是3阶矩阵，其特征值是1，2，-1，那么(A+2E)2的特征值是______．[分析] 设矩阵A属于特征值λi的特征向量是αi，那么(A+2E)αi=Aαi+2αi=(λi+2)αi，(A+2E)2αi=(A+2E)(λi+2)αi=(λi+2)(A+2E)αi=(λi+2)2αi．由于αi≠0，故αi是矩阵(A+2E)2属于特征值(λi+2)2的特征向量，即矩阵(A+2E)2的特征值是9，16，1．[例12.2] 已知若矩阵A与αβT相似，那么(2A+E)*的特征值是______．[分析] 记B=αβT，由于所以矩阵曰的特征方程为|λE-B|=λ3-2λ2=λ2(λ-2)=0，即B的特征值是2，0，0．那么矩阵A的特征值是2，0，0，从而2A+E的特征值是5，1，1．因此，|2A+E|=5·1·1=5．所以，(2A+E)*的特征值是1，5，5．[例12.3] 设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0．那么，矩阵A的n个特征值是______．[分析] 设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0．那么，A nα=λnα．于是有(A4-3A3+3A2-2A)α=(λ4-3λ3+3λ2-2λ)α=0．从而λ4-3λ3+3λ2-2λ=0，即λ(λ-2)(λ2-λ+1)=0．因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故而r(A)=r(Λ)=r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n-r重)．[例12.4] 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．[解法一] 由于A3+2A2α-3Aα=0，有A(A2α+2Aα-3α)=0=0(A2α+2Aα-3α)．因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α+2Aα-3α≠0．所以λ=0是A 的特征值，而k1(A2α+2Aα-3α)(k1≠O)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．类似地，由A3α+2A2α-3Aα=0，有(A-E)(A2α+3Aα)=0=0(A2α+3Aα)，(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)．所以，λ=1是A的特征值，而k2(A2α+3Aα)(k2≠0)是属于λ=1的特征向量；λ=-3是A的特征值，而k3(A2α-Aα)(k3≠0)是属于λ=-3的特征向量．[解法二] 由A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3Aα-2A2α)知矩阵B的特征值是0，1，-3，亦即A的特征值是0，1，-3．由(0E-B)x=0得基础解系β1=(-3，2，1)T；(E-B)x=0得基础解系β2=(0，3，1)T；(-3E-B)x=0得基础解系β3=(0，-1，1)T．如Bβ=λβ有(P-1AP)β=λβ，即 A(Pβ)=λPβ．所以[例12.5] 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα2=α2+2α2，Aα3=α1-3α2+2α3．(Ⅰ) 求矩阵A的特征值与特征向量；(Ⅱ) 判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；(Ⅲ) 求秩r(A+E)．[解] (Ⅰ)据已知条件，有所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0．对应于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ1=(1，2，0)T．如果Bα=λα，则(P-1AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么是矩阵A对应于特征值λ=2的特征向量．又Aα1=0=0α1，知α1是矩阵A对应于特征值λ=0的特征向量．从而矩阵A对应于λ1=λ2=2的特征向量是k1(α1+2α2)，k1≠0；矩阵A对应于λ3=O的特征向量是k2α1，k2≠0．(Ⅱ)因为秩r(2E-B)=2，矩阵曰对应于λ1=λ2=2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似．(Ⅲ)因为A-B，有A+E-B+E．从而r(A+E)=r(B+E)=3．专题13 关于P-1AP=B中的矩阵P[例13.1] 已知α1是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，α2和α3是矩阵A属于特征值λ=2的线性无关的特征向量，如果①P=(α3，-α2，2α1) ②P=(3α1，α3，α2)③P=(α2，α2-α3，α1) ④P=(α3，α1+α2，α1)那么正确的矩阵P是(A) ①，②．(B) ①，③．(C) ②，③．(D) ②，④．[分析]是矩阵A的特征值，而α1，α2，α3依次分别是α1，α2，α3的特征向量．根据特征值，特征向量的性质：1°若α，β是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量．2°若α，β是矩阵A不同特征值的特征向量，则kα+lβ(kl≠0)就不是矩阵A的特征向量．因为④中的α1+α2不是矩阵A的特征向量，而②中矩阵P的特征向量的排序与对角矩阵Λ中特征值的排序不协调，故②、④不正确，所以应选(B)．[例13.2] 已知A是3阶实对称矩阵，若有正交矩阵P使得且α1=是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量，则P=______．[分析] 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交．设属于λ=-3的特征向量α3=(x1，x2，x3)T，则评注注意正交矩阵的几何意义，列向量应两两正客且长度为1．以往在用正交变化实对称矩阵为对角形的问题中，总有同学忘记正交化(若特征值有重根)或单位化，在枝节问题上丢分是非常可惜的．[例13.3] 已知矩阵与对角矩阵Λ相似，求a的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ．[解] 由=(λ+1)(λ-3)2=0，得到矩阵A的特征值λ1=λ2=3，λ3=-1．由矩阵A的特征值有重根，而A与对角矩阵相似，可知λ=3必有2个线性无关的特征向量，因而秩r(3E-A)=1．于是由[例13.4] 已知矩阵试求可逆矩阵P，使P-1AP=B[分析] 因为A和B均与对角矩阵相似，可有[解] 由得到矩阵A的特征值：λ1=λ2=0，λ3=1．对应于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(0E-A)x=0，得基础解系：α1=(-2，1，0)T，α2=(-3，0，1)T．对应于λ3=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系：α3=(1，0，0)T．λ1=λ2=0，λ3=1．对应于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(OE-B)x=0，得基础解系：β1=(1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T．对应于λ3=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系：β3=(2，1，O)T．专题14 由特征值、特征向量求矩阵中参数[例14.1] 已知有三个线性无关的特征向量，则a=______．[分析] 先求矩阵A的特征值，由知矩阵A的特征值是λ1=1，λ2=λ3=2．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故λ=2必有两个线性无关的特征向量，那么秩r(2E-A)=1．所以a=-10．[例14.2] 已知矩阵A第一行3个元素是3，-1，-2，又α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，0)T，α3=(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A=______．[分析] 设矩阵A的三个特征值依次为λ1，λ2，λ3，则利用第1行相乘，可知λ1=0，类似可知λ2=λ3=1，那么 A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)．所以[例14.3] 设，向量是矩阵A-1属于特征值λ0的特征向量，若|A|=-2，求a，b，c及λ0的值．[解] 由A-1α=λ0α两边左乘A得λ0Aα=α，即则有 a(b-6)=0．若a=0，由①、②解出c=-2，λ0=1，代入③得b=-2．若b=6，由①、③解出c=-4，λ0=-1，代入②得a=-2．评注虽α是A-1的特征向量誊但不要由A去求A-1那样会很繁琐，用恒等变形转换为A的特征向量会方便得多．[例14.4] 已知矩阵A和B相似，其中求a，b，c的值．[解] 由于矩阵A与对角矩阵B相似，知矩阵A的特征值是b，b，c．且λ=b有两个线性无关的特征向量，故秩r(bE-A)=1．矩阵A的特征多项式评注若A～B，则∑a ii=∑b ii，这是一个比较好用的必要条件．专题15 实对称矩阵的特征值[例15.1] 设A是3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．[解]故(Ⅱ)由矩阵A的特征多项式评注若解方程组(2E-A)x=0求基础解系(1，1，0)T，(1，0，1)T，则因为这两个解不正交，而应当Schmidt 正交化处理，注意到已知条件的α=(1，2，-1)T与(1，0，1)T正交，选它们则计算量略小．[例15.2] 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2，3，-1)T与α2=(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A* -2E)x=0的通解．[分析] 若α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量，则Aα=0α=0，即α是齐次方程组Ax=0的非零解，反之亦然．在已知条件是特征值、特征向量这一情况下，求齐次方程组的解应考虑λ=0的特征向量．[解] 由A的特征值是1，2，-l，可知行列式|A|=-2，那么A*的特征值是-2，-1，2．于是所以r(A* -2E)=r(A)=2．那么，(A* -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A*属于λ=2的特征向量，亦即A* -2E属于λ=0的特征向量．由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，则有评注本题也可以通过特征值、特征向量先把矩阵A反求出来，然后再求A*，进而求方程组的通解，但那样做比较复杂，应当知道AX=0的解与特征向量之间的联系．[例15.3] 已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．[证明] 设α1，α2，α3是矩阵A的相互正交的特征向量，若k1α1+k2α2+k3α3=0，用左乘得因为α1≠0，α1与α2，α3均正交，故于是有k1||α1||2=0．所以k1=0．类似可知k2=0，k3=0．即α1，α2，α3线性无关，那么矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以矩阵A可以相似对角化．则Q是正交矩阵，并有Q-1AQ=Λ．于是 A=QΛQ-1。
用一元一次方程解决比赛积分类问题-2021-2022学年七年级数学上学期期末考试好题汇编(苏科版)
专题10 用一元一次方程解决比赛积分类问题一．选择题1．（2021春•江都区校级期末）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队进行了6场比赛，得了14分，该队获胜的场数是（）A．2B．3C．4D．52．（开封校级自主招生）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一队打14场，负5场，共得19分，那么这个队共胜了（）A．6场B．5场C．4场D．3场3．（苏州校级期中）某年全国足球甲级联赛A组的前11轮比赛中，一支足球队11场比赛保持连续不败，积23分，按比赛规则胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．那么该队胜的场数为（）A．3场B．4场C．5场D．6场4．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的某大厦底层（1层）出发，当甲到达6层时，乙刚到达5层，按此速度，当甲到达顶层时，乙可达（）A．31层B．30层C．29层D．28层二．填空题5．（通江县校级期中）甲、乙两人进行100米跑比赛．当甲到达终点时，乙才跑了97米．他们决定再跑一次，这一次甲先后退3米，同时起跑．假设这次比赛两人的速度保持不变，终点也不变，那么比赛如结果是（填“甲先到达”，“乙先到达”或“同时到达”）．6．（如皋市校级二模）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某队踢了14场足球，负5场，共得19分，那么这个队胜了场．7．某小组进行个人篮球比赛，并用表格记录了在规定时间内的进球数，后来表格不慎受到了污损．若已知平均每人进球3.5个，则投进3个球的学生有人．8．（2010春•乐陵市期末）在去年足球甲A的前11轮（场）比赛中，某足球队保持连续不败记录，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，输一场计0分，若该队共积23分，那么该队共胜了场．三．解答题9．（宿城区校级月考）在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空：（1）该队平了场；（2）按比赛规则，该队胜场共得分；（3）按比赛规则，该队平场共得分．10．（湛江）某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？11．（云南）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？12．（苏州开学）在某一次自行车1000米场地追逐赛中（一圈为1000米），甲运动员的战术为：第一分钟的速度为1000米/分，以后每分钟递增200米，到第5分钟时由于体力下降，则以每分钟递减200米，直至最低速度为600米/分，乙运动员的战术为1200米/分匀速前进．比赛规则规定：两人同时、同地、同向出发，追上一圈者获胜．问：（1）甲运动员在最高时速时，能否追上乙．（2）比赛结束时，比赛进行了多长时间．一．选择题1．（大庆二模）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2B．3C．4D．52．（新华区校级模拟）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）A．3场B．4场C．5场D．6场3．（宿迁）在世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（）A．两胜一负B．一胜两平C．一胜一平一负D．一胜两负二．填空题4．（涟水县期末）某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜场比赛．5．（如皋市校级月考）某球队参加比赛，共赛9场，且保持不败，得分为21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则该球队共胜的场数为．6．（常熟市校级月考）某足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场倒扣1分，某队在一个赛季比赛中结果是：胜2场，平2场，负6场，得分为．7．（2019春•荔湾区校级月考）在某校举办的足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得了22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜了场．三．解答题8．（启东市校级期中）一足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场？9．（苏州开学）在某一次自行车1000米场地追逐赛中（一圈为1000米），甲运动员的战术为：第一分钟的速度为1000米/分，以后每分钟递增200米，到第5分钟时由于体力下降，则以每分钟递减200米，直至最低速度为600米/分，乙运动员的战术为1200米/分匀速前进．比赛规则规定：两人同时、同地、同向出发，追上一圈者获胜．问：（1）甲运动员在最高时速时，能否追上乙．（2）比赛结束时，比赛进行了多长时间．10．在某校“第二十届校园文化艺术节”活动中，七年级组织各班级进行足球比赛，最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．如果七（1）班足球队共需比赛15场，现已比赛了8场（其中平了3场），共得15分，请问：（1）前8场比赛中，七（1）班足球队共胜了多少场？（2）七（1）班足球队打满15场比赛，最高得分得多少分？（3）通过对比赛情况分析，这支球队打满15场比赛后，得分不低于28分，就可以进入下一轮比赛，请你分析一下，在后面的7场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能进入下一轮比赛？11．（2010秋•番禺区期末）列方程解应用题（从中任选一题，多做不给分）：（A类6分）春运期间，汽车票上浮20%，上浮后从连云港到南京的票价为96元，求连云港到南京的原票价．（B类7分）某村果园里，13的面积种植了梨树，14的面积种植了苹果树，其余5ha地种植了桃树．问这个村的果园共有多少ha？（C类8分）某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛我选择的是类；解答过程如下：12．（烟台）为庆祝第29届北京奥运圣火在泉州站传递，甲、乙两校联合准备文艺汇演．甲、乙两校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套46套至90套91套及以上每套服装的价格60元50元40元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？（3）如果甲校有9名同学抽调去参加迎奥运书法比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？专题10 用一元一次方程解决比赛积分类问题一．选择题1．（2021春•江都区校级期末）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队进行了6场比赛，得了14分，该队获胜的场数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据得分＝3×获胜的场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，依题意得：3x+（6﹣x）＝14，解得：x＝4．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（开封校级自主招生）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一队打14场，负5场，共得19分，那么这个队共胜了（）A．6场B．5场C．4场D．3场【分析】先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．本题的等量关系为：胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0＝总得分，从而设共胜了x 场，列方程解答即可．【解答】解：设共胜了x场．由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19解得：x＝5故选：B．【点评】此题从实际出发，有利于锻炼学生分析能力，提高学习兴趣．特别是要掌握总场数＝胜的场数+平的场数+负的场数．3．（苏州校级期中）某年全国足球甲级联赛A组的前11轮比赛中，一支足球队11场比赛保持连续不败，积23分，按比赛规则胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．那么该队胜的场数为（）A．3场B．4场C．5场D．6场【分析】可设该队胜场为x，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为11﹣x，由题意可得出：3x+（11﹣x）＝23，解方程求解．【解答】解：设该队胜场为x，根据题意得：3x+（11﹣x）＝23，解得x＝6．故选：D．【点评】列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平的场数的关系，根据积分总数列出方程．4．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的某大厦底层（1层）出发，当甲到达6层时，乙刚到达5层，按此速度，当甲到达顶层时，乙可达（）A．31层B．30层C．29层D．28层【分析】要求当甲到达顶层时，乙可达几层，就要从题中明确两人的速度比不变，根据速度比不变即可列出方程．【解答】解：设乙可达x层．根据两人的速度比不变，可列方程：5：4＝35：x﹣1，解得x＝29故选：C．【点评】此题应重点注意：在登楼的过程中，甲和乙的速度比不变．根据速度比不变即可列出方程．二．填空题5．（通江县校级期中）甲、乙两人进行100米跑比赛．当甲到达终点时，乙才跑了97米．他们决定再跑一次，这一次甲先后退3米，同时起跑．假设这次比赛两人的速度保持不变，终点也不变，那么比赛如结果是甲先到达（填“甲先到达”，“乙先到达”或“同时到达”）．【分析】先列出甲与乙的速度关系式，根据速度公式v=st就可求出他们各自的速度，再根据路程变化求出它们所用的时间之比，即可得出答案．【解答】解：根据题意得v甲=100t，v乙=97t，根据甲跑的路程为s甲＝100m+3m＝103m，乙跑的路程为s乙＝100m，那么甲跑完用的时间为t甲=103100t=103100t，乙跑完用的时间为t乙=10097t=10097t，∵t甲=103100t＜t乙=10097t，所以甲先到达终点．故答案为：甲先到达．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出速度公式的计算以及时间之间关系得出是解题关键．6．（如皋市校级二模）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某队踢了14场足球，负5场，共得19分，那么这个队胜了5场．【分析】先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．本题的等量关系为：胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0＝总得分，从而设共胜了x场，列方程解答即可．【解答】解：设共胜了x场．由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19，解得：x＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．此题从实际出发，有利于锻炼学生分析能力，提高学习兴趣．特别是要掌握总场数＝胜的场数+平的场数+负的场数．7．某小组进行个人篮球比赛，并用表格记录了在规定时间内的进球数，后来表格不慎受到了污损．若已知平均每人进球3.5个，则投进3个球的学生有3人．【分析】设投进3个球的学生有x人，根据图表给出的数据和平均每人进球3.5个，列出方程，求解即可．【解答】解：设投进3个球的学生有x人，根据题意得：1×1+2×2+3x+4×2+5×4＝3.5（1+2+x+2+4），解得：x＝3．答：投进3个球的学生有3人；．故答案为：3．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，此类题目的属于数形结合，需仔细分析图表，从中找寻信息，并利用方程解决问题．8．（2010春•乐陵市期末）在去年足球甲A的前11轮（场）比赛中，某足球队保持连续不败记录，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，输一场计0分，若该队共积23分，那么该队共胜了6场．【分析】根据某足球队保持连续不败记录，可设该队胜了x场，则平了（11﹣x）场，根据总积分可列方程求解．【解答】解：设该队胜了x场，则平了（11﹣x）场，根据该队共积23分得：3x+（11﹣x）＝23，解得：x＝6，即该队共胜了6场．故填：6．【点评】此题主要考查了球场上的积分问题，注意题意中隐含的条件“某足球队保持连续不败记录”．三．解答9．（宿城区校级月考）在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空：（1）该队平了11﹣x场；（2）按比赛规则，该队胜场共得3x分；（3）按比赛规则，该队平场共得11﹣x分．【分析】可设该队胜场为x，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为11﹣x，由题意可得出：3x+（11﹣x）＝23，解方程求解．【解答】解：（1）11﹣x；（2）3x；（3）（11﹣x）；故答案为：11﹣x，3x，11﹣x．【点评】本题主要考查列一元一次方程解足球比赛得分问题，列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平的场数的关系，根据积分总数列出方程．10．（湛江）某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？【分析】设这个队胜了x场，根据共得分是19分，即：胜场得分+平场得分＝19分，列方程求解．【解答】解：设这个队胜了x场，依题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19，解得：x＝5．答：这个队胜了5场．【点评】理解此题中的等量关系：胜的场数得分+平的场数得分＝19分，是解决本题的关键．11．（云南）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：2x+1•（8﹣x）＝13，x＝5，8﹣5＝3．答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，还考查了学生的理解题意能力，关键设出胜的场数，以总分数做为等量关系列方程求解．12．（苏州开学）在某一次自行车1000米场地追逐赛中（一圈为1000米），甲运动员的战术为：第一分钟的速度为1000米/分，以后每分钟递增200米，到第5分钟时由于体力下降，则以每分钟递减200米，直至最低速度为600米/分，乙运动员的战术为1200米/分匀速前进．比赛规则规定：两人同时、同地、同向出发，追上一圈者获胜．问：（1）甲运动员在最高时速时，能否追上乙．（2）比赛结束时，比赛进行了多长时间．【分析】（1）求出甲运动员最高时速跑的路程，求出乙跑的路程，可以判断是否能追上．（2）设进行了x 秒，根据追上一圈者获胜可列方程求解．【解答】解：（1）根据题意可知，第4分钟时到达最高时速，甲行驶的路程为：1000+1200+1400+1600＝5200米．乙行驶的路程为：1200×4＝4800米．5200﹣4800＝400＜1000．甲在最高时速时没有追上乙．（2）第5分钟时，甲的时速为1400米/分，甲领先乙5200﹣4800+200＝600米．第6分钟不变，第7分钟甲领先乙400米，第8分钟甲领先乙0米，此时甲的速度也成为600米/分．（1200﹣600）（x ﹣8）＝1000，x =293． 比赛结束时，比赛进行了293分钟．【点评】本题考查理解题意的能力，关键看到甲的速度是不断变化的直到600米/分之前，先把前面这个变化时，两个人离的距离求出，然后根据追及问题列方程求解．一．选择题 1．（2019•大庆二模）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设该队获胜x 场，则负了（6﹣x ）场，根据总分＝3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该队获胜x 场，则负了（6﹣x ）场，根据题意得：3x +（6﹣x ）＝12，解得：x ＝3．答：该队获胜3场．故选：B ． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2019•新华区校级模拟）足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）A．3场B．4场C．5场D．6场【分析】设共胜了x场，本题的等量关系为：胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0＝总得分，解方程即可得出答案．【解答】解：设共胜了x场，则平了（14﹣5﹣x）场，由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19，解得：x＝5，即这个队胜了5场．故选：C．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0＝总得分，难度一般．3．（宿迁）在世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（）A．两胜一负B．一胜两平C．一胜一平一负D．一胜两负【分析】32支足球队分为8个小组进行单循环比赛，每组4支球队，也就是说每只球队都要进行三场比赛；根据题意，设其胜平的局数分别为x，y（x、y均是整数）；可得关于x、y的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，32支足球队分为8个小组进行单循环比赛，每组4支球队，也就是说每只球队都要进行三场比赛，设其胜局数为x，平局为y（x、y是整数）；必有y＝5﹣3x；且0≤5﹣3x≤3；解可得x＝1，y＝2；故选：B．【点评】本题显然四个队一个组，因为“负一场得0分”并且是“单循环比赛”，所以只考虑3场比赛中胜、平多少场即可．二．填空题4．（涟水县期末）某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜4场比赛．【分析】8个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，根据总比赛场数为7，设赢了x场，总分数为15即可列出方程，即可解题．【解答】解：8个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，根据总比赛场数为7，设赢了x场，则3x+（7﹣x）＝15，解得：x＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7是解题的关键．5．（如皋市校级月考）某球队参加比赛，共赛9场，且保持不败，得分为21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则该球队共胜的场数为6．【分析】首先设该队共胜x场，则平了（9﹣x）场，由题意得：胜场得分+平场得分＝21，列出方程，解方程即可．【解答】解：设该队共胜x场，由题意得：3x+（9﹣x）＝21，解得：x＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据题目中的得分情况列出方程．6．（常熟市校级月考）某足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场倒扣1分，某队在一个赛季比赛中结果是：胜2场，平2场，负6场，得分为2分．【分析】设胜2场，平2场，负6场，得分为x分，根据“总分﹣3×胜场数+1×负场数＝1×平场数”列出方程并解答．【解答】解：设胜2场，平2场，负6场，得分为x分，依题意得：x﹣3×2+6×1＝1×2，解得x＝2．即：胜2场，平2场，负6场，得分为2分．故答案是：2分．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．弄清题中的得分规则是解本题的关键．7．（2019春•荔湾区校级月考）在某校举办的足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得了22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜了6场．【分析】首先设这支足球队胜x场，则平12﹣2﹣x＝10﹣x场，由题意得等量关系：平场得分+胜场得分+负场得分＝22分，根据等量关系列出方程求解即可．【解答】解：首先设这支足球队胜x场，则平12﹣2﹣x＝10﹣x场，由题意得3xx+（10﹣x）＝22，解得x＝6．故此队胜了6场．故答案为：6．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．弄清得分和赢的场数所得到的分数，打平的场数所得的分数的关系．要注意，场数包括负的场数，因为负了就没得分，所以得分跟负的场数没关系．三．解答题8．（启东市校级期中）一足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场？【分析】设这个队胜了x场，则平了（9﹣2﹣x）场，根据三种比赛结果的得分之和为17分建立方程求出其解即可．【解答】解：设这个队胜了x场，则平了（9﹣2﹣x）场，由题意，得3x+（9﹣2﹣x）+2×0＝17，解得：x＝5．故这个队胜了5场，又平了2场．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据三种比赛结果的得分之和为17分建立方程是关键．9．（苏州开学）在某一次自行车1000米场地追逐赛中（一圈为1000米），甲运动员的战术为：第一分钟的速度为1000米/分，以后每分钟递增200米，到第5分钟时由于体力下降，则以每分钟递减200米，直至最低速度为600米/分，乙运动员的战术为1200米/分匀速前进．比赛规则规定：两人同时、同地、同向出发，追上一圈者获胜．问：（1）甲运动员在最高时速时，能否追上乙．（2）比赛结束时，比赛进行了多长时间．【分析】（1）求出甲运动员最高时速跑的路程，求出乙跑的路程，可以判断是否能追上．（2）设进行了x秒，根据追上一圈者获胜可列方程求解．【解答】解：（1）根据题意可知，第4分钟时到达最高时速，甲行驶的路程为：1000+1200+1400+1600＝5200米．乙行驶的路程为：1200×4＝4800米．5200﹣4800＝400＜1000．甲在最高时速时没有追上乙．（2）第5分钟时，甲的时速为1400米/分，甲领先乙5200﹣4800+200＝600米．第6分钟不变，第7分钟甲领先乙400米，第8分钟甲领先乙0米，此时甲的速度也成为600米/分．（1200﹣600）（x ﹣8）＝1000，x =293． 比赛结束时，比赛进行了293分钟．【点评】本题考查理解题意的能力，关键看到甲的速度是不断变化的直到600米/分之前，先把前面这个变化时，两个人离的距离求出，然后根据追及问题列方程求解．10．在某校“第二十届校园文化艺术节”活动中，七年级组织各班级进行足球比赛，最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．如果七（1）班足球队共需比赛15场，现已比赛了8场（其中平了3场），共得15分，请问：（1）前8场比赛中，七（1）班足球队共胜了多少场？（2）七（1）班足球队打满15场比赛，最高得分得多少分？（3）通过对比赛情况分析，这支球队打满15场比赛后，得分不低于28分，就可以进入下一轮比赛，请你分析一下，在后面的7场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能进入下一轮比赛？【分析】（1）首先假设这个球队胜x 场，则负了（8﹣3﹣x ）场，利用得分情况得出答案即可；（2）利用现已比赛了8场，平了3场，得15分，即可得出打满15场比赛最高能得15+（15﹣8）×3＝36（分）．（3）由题意知，以后的7场比赛中，只要分不低于（28﹣15＝13分）即可，进而得出答案．【解答】解：（1）设这个球队胜x 场，则负了（8﹣3﹣x ）场．根据题意，得3x +3×1＝15．解得x ＝4．故前8场比赛中，七（1）班足球队共胜了4场．（2）打满15场比赛最高能得15+（15﹣8）×3＝15+21＝36（分）．故最高得分得36分．（3）由题意知，以后的7场比赛中，只要分不低于（28﹣15＝13分）即可．所以胜不少于5场，一定达到预期目标，而胜3场、平4场，正好达到预期目标． 所以在以后的比赛中这个球队至少要胜3场．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知胜负得分情况正确得出等式方程是解题关键．11．（2010秋•番禺区期末）列方程解应用题（从中任选一题，多做不给分）：（A 类6分）春运期间，汽车票上浮20%，上浮后从连云港到南京的票价为96元，求连云港到南京的原票价．（B 类7分）某村果园里，13的面积种植了梨树，14的面积种植了苹果树，其余5ha 地种植了桃树．问这个村的果园共有多少ha ？（C 类8分）某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛我选择的是 A 类；解答过程如下：【分析】（A 类）等量关系：（1+20%）×原价＝96；（B 类）等量关系：梨树的面积+苹果树的面积+5＝总面积；（C 类）等量关系：该班胜场的得分+平场的得分＝17．【解答】解：（A 类）设连云港到南京的原票价为x 元．根据题意得：（1+20%）x ＝96． 解得：x ＝80．故连云港到南京的原票价为80元．（B 类）设这个村的果园共有xha ，根据题意得：13x +14x +5=x ，解得：x ＝12．故这个村的果园共有12ha ．（C 类）设该班共胜x 场比赛，根据题意得：3x +（7﹣x ）＝17．解得：x ＝5．故该班共胜了5场比赛．【点评】本题考查解一元一次方程的应用，有一定难度，注意明确各类题目的等量关系，本题出的较好．12．（烟台）为庆祝第29届北京奥运圣火在泉州站传递，甲、乙两校联合准备文艺汇演．甲、乙两校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装（一人买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？。