非线性矩阵方程X+A~＊ X~(-q) A=Q的Hermite正定解

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非线性规划的MATLAB解法及其应用

题目非线性规划的MATLAB 解法及其应用（一）问题描述非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。

70年代又得到进一步的发展。

非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。

例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。

对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划研究一个n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

本实验就是用matlab 软件来解决非线性规划问题。

（二）基本要求掌握非线性规划的MATLAB 解法,并且解决相关的实际问题。

题一：对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？题二：某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.符号说明：z(x 1,x 2)表示总利润；p 1，q 1，x 1分别表示甲的价格、成本、销量； p 2，q 2，x 2分别表示乙的价格、成本、销量； a ij ，b i ，λi ,c i （i ，j =1，2）是待定系数.题三：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x 万元, 则可得效益x 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.（三）数据结构题一:设剪去的正方形的边长为x ，则水槽的容积为：x x )23(2-;建立无约束优化模型为：min y=-x x )23(2-， 0<x<1.5题二：总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z 最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值.题三：设变量i x 表示第i 年所使用的资金数,则有 4,3,2,1,04.5321.121.1331.14841.121.14401.1400..max 43213212114321=≥≤+++≤++≤+≤+++=i x x x x x x x x x x x t s x x x x z i（四）源程序题一：编写M 文件fun0.m:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序为wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval题二：建立M-文件fun.m:function f = fun(x)y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2;输入命令:x0=[50,70];x=fminunc(‘fun ’,x0),z=fun(x)题三：建立M 文件 fun44.m,定义目标函数:function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));建立M 文件mycon1.m 定义非线性约束：function [g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0主程序youh4.m 为:x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五）运行结果题一:运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.题二：运行结果为:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.题三：运行结果为：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六）相关知识用Matlab 解无约束优化问题一元函数无约束优化问题21),(m in x x x x f ≤≤常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x ，fval]= fminbnd （...）（4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...）（5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。

(最新整理)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组

(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组的全部内容。

基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组已知非线性方程组如下221122121210801080x x x x x x x ⎧-++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F 。

m 保存到工作路径中：function f=F （x ）f （1）=x(1)^2—10＊x(1)+x （2)^2+8；f （2)=x(1）*x （2)^2+x(1)-10＊x(2)+8;f=[f(1) f （2）]；建立函数DF （x),用于求方程组的Jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中:function df=DF(x)df=[2＊x （1)—10，2＊x （2）；x （2）^2+1,2＊x(1）＊x （2）-10］；编程牛顿迭代法解非线性方程组,将newton 。

m 保存到工作路径中：clear ；clcx=[0，0]'；f=F （x);df=DF(x);fprintf （'％d ％。

7f ％.7f\n’,0，x （1），x （2）);N=4；for i=1:Ny=df\f'；x=x —y;f=F （x);df=DF （x ）;fprintf （'％d ％.7f ％。

关于非对称矩阵正定的一个等价定理及其正定性的判定

非对称矩阵正定是指一个非对称矩阵（即其转置矩阵不等于自身）在所有可能的情况下都是正定的。

非对称矩阵正定的一个等价定理是：一个非对称矩阵 A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，有x^T A x > 0。

这个定理表明，一个非对称矩阵A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，其与矩阵A 的乘积x^T A x 大于0。

此外，我们还可以使用下列方法来判定非对称矩阵 A 的正定性：
1.计算矩阵A 的特征值。

如果矩阵A 的所有特征值均大于0，则矩阵A 是正定的。

2.计算矩阵A 的行列式值。

如果矩阵A 的行列式值大于0，则矩阵A 是正定的。

3.将矩阵A 转化为对称矩阵的形式，再使用对称矩阵正定的判定方法。

如果矩阵A 转化为对称矩阵后是正定的，则矩阵A 是正定的。

非线性代数方程组的数值解法

a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a

i 1 m

i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代，而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态，它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变化规律的方法，称为增量方法。

Hermite矩阵

Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。

定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。

AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。

定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。

其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。

其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。

设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。

000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。

正定Hermitian矩阵的分解法的概述及应用

正定Hermitian 矩阵的分解法的概述及应用［摘要］对正定Hermitian 矩阵的定义、性质以及Cholesky 分解法做简单的概括、分析。

利用正定Hermitian 阵的Cholesky 分解法来解决一些题目，由此，我们可以看出一些矩阵可以分解成一些具有特殊特定性质的矩阵。

［关键词］矩阵分解、正定Hermitian 矩阵、Cholesky 分解法 1.定义关于矩阵的分解，一般的理论有①矩阵的三角分解（Crout 分解、TLDL 分解、Doolittle [5]分解等等），②矩阵的正交三角分解（方阵的QR 分解，长方阵的QR 分解），③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异分解。

现在我要给出一种特殊的三角分解：正定Hermitian 矩阵的分解及应用。

为此，先引入定义[1]1，设n nA C⨯∈，若HAA =，则称A 是Hermitian 矩阵；若H A A =-，则称A 是反Hermitian 矩阵。

定义2.对于Hermitian 矩阵的二次齐式，(),,H n f x X AX X C =∈下列命题是等价： (1)()f x 是正定的；(2)对于任何n 阶可逆矩阵P 都有HP AP 为正定矩阵； (3)A 的n 个特征值全大于零；(4)存在n 阶可逆矩阵P ，使得HP AP E =； (5)存在n 阶可逆矩阵Q ，使得HA=Q Q(6)存在正线上三角矩阵R ，使得HA R R =，且分解是唯一的。

2. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解 (或平方根分解或对称三角分解)2.1. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解的可行性 1.以下两个命题等价：命题[1]1，设n nA C⨯∈是正定Hermitian 矩阵一，则A 可分解为1/21/2()()H H A LDLDLL == 其中1/2L LD= ，L 是单位下三角矩阵，1/2D diag = ， (1,2,,k k n = 是A 的k 阶顺序主子式。

矩阵方程(A ＊XA,B ＊XB)=(C,D)有Hermite半正定解的条件

ＡｂｔａｔＴｅｃｍｐｅｍａｒｃｓｏｕｉｎｗｉＨｅｍｉｐｓｔｅｓｍｉｅｎｔｓｌｔｎｏｔｅｓｒｃ：ｈｏｌｘｔｅｓｌｔｓｉｏｔｈｒｔｅｏｉｖｅｄｆｉｉｉｅｏｕｉｆｒｈｍａｒｘｑａｉｎｏｔｅｕｔｉｏ
引言
文［】１由振动理论的一个逆问题提出了线性矩阵方程Ａ＝Ｃ和（，一ＹＤ）Ｄ，）ＡＸ４Ａ＝（０具有半正
定解的可解条件，且利用矩阵的奇异值分解给出了一般解的表达式．文【】论了更一般的矩阵方程２讨
ｕｉｇｔｅｇｎｒｌｅｉｇｌｒａｕｅｏｏｓｔｎＴｅｆｒｆｅｅａｏｕｉｎａｅａｓｒｓｎｅ．ｓｎｅｅａｉｄｓｎｕａｌｅｄｃｍｐｉｏ．ｈｍｓｏｇｎｒｌｌｔｌｏｐｅｅｔｄｈｚｖｉｏｓｏｒＫｅｒｓｙｗｏｄ：ｍａｒｅｕｔｎｃｍｐｅｓｉｅｓｍｉｅｎｔ；Ｈｅｉｏｉｖｅｄｆｎｔ；ｇｎｒｌｅｉｇｌａｕｔｘｑａｉ；ｏｌｘｐｉｖｅｄｆｉｉｏｏｔｉｅｍｅｒｔｐｓｔｅｓｍｉｅｉｉｉｅｅｅａｉｄｓｎｕａｖｌｅｚｒｄｃｍｐｓｔｎｅｏｏｉｏｉ
（，Ｂ＝ＣＤ存在半正定解的充分必要条件，ＡＢＸ）（，）且利用矩阵的广义奇异值分解给出了一般解的表达式．３、【也对上述线性矩阵方程问题进行了讨论，５文【４】】文【】讨论矩阵方程（’ ＡＢＸ）（，）ＡＸ， ‘Ｂ＝ＣＤ有复半

矩阵方程X-A~＊ X~(-a)A=O的Hermite正定解

Ｈｅｍｔ矩阵，Ｈｅｔ矩阵和Ｅ＞（ｌ表示ｙＨｒｔ正定（ｒｉｅ对于ｒｅｍｉＸＹＸ，）为ｅｍｉｅ半正定）阵．矩特别地，＞表示是Ｈｅｍｔ正定Ｘ０ｒｉｅ
表示矩阵的Ｆｏｅｉ范数．（）Ａ（分别表示矩阵的最大特ｒｎｓｂｕＡ和 … Ｍ）
ＡＡ０～Ａ。故Ｘ ∈ ［ｐ＋ＡＡ．０，０］证毕．
定理２２如果对任意的Ｘ ∈ ［，Ａ９Ａ，＿ｐ０＋］有
ｑＪ。＜Ａ（ＡＩＩ『Ｑ），则矩阵方程（）１有唯一正定解．证
ＡＡ０Ａ成立，矩阵方程（）在正定解；还满足则１存若
２１年０月０１３
内蒙古民族大学学报
ＪｕｎｌｏｎｅｎｏｉｉｅｓｔｏｔｎｌｉｓｏｒａｆＩｎｒＭｏｇｌＵｎｖｒｉｆｒＮａｉａｉｅａｙｏｔ
Ｍａ．０ｌｒ２１Ｖｏ＿７Ｎｏ２ｌ１．
第１卷第２７期
（Ｚ０１— ９１ＸＤ９００— ）
［作者简介］邵星峰，西华大学数学与计算机学院硕士研究生。
５
ＡＸ一Ａ≤ Ａ一Ｑ成立。有Ｑ≤
）Ｑ＋ＡＱ～．以）∈ ．Ａ所
由Ｂｏｗｒｒｕｅ不动点定理可知，有一个不动点 ∈－即：厂ｘ）＝Ｑ＋Ａ．厂ｒ２，（
方程的应用相当广泛，包括控制理论、规划、动态统计、随机渗入、队理论、排梯型网络等多个领域都有重要的应用．本文中的矩阵均指Ｈｒｉ正定矩阵，中的解均指Ｈｒｉ正定解，表示全体ｎｎ实）阵，ｅｔｍｅ文ｅｔｍｅ￣复（矩矩阵．对于方阵是矩阵Ｍ的共轭转置，ｌＩ表示全体ｒｎｔ阶￣

非线性规划(管理运筹学,李军)

6 非线性规划1、判断函数的凸凹性（1）3)4()(x x f -=，4≤x （2）22212132)(x x x x X f ++= （3）21)(x x X f =（1）解：'2f (x)3(4)0x =--<=，Q x<=4,故f(x)在（-∞，4]上是不减函数，''f (x)6(4)0x =->=，故f(x)在（-∞，4]上是凸函数。

（2）解：f(x)的海赛矩阵22()26H x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因H （x ）正定，故f （x ）为严格的凸函数。

（3）解：取任意两点(1)11(,)Xa b =、),(22)2(b a X =，从而(1)11().f X a b =，(2)22().f X a b =，(1)11()(,)T f X b a ∇=看下式是否成立：(2)(1)(1)(2)(1)()()().()f X f X f X X X >+∇- 2211112121..(,)(,)T a b a b b a a a b b >+--2121().()0a a b b -->Q 1212,,,a a b b 是任意点，并不能保证上式恒成立，故所以12()f X x x =既非凸函数，也非凹函数。

2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值，初始的搜索区间为]15,1[∈x ，要求5.0|)()(|1≤--n n x f x f 。

x x x x X f 1357215)(234-+-=解：斐波那契法已知δ = 0.5/(15-1)=1/28、a = 1、b = 15，有128n F δ≥=，即8n =。

7821134()15(151) 6.3529FF a b b a =--=--≈ 7821134()1(151)9.6471F F b a b a =+-=+-≈ 11()168.876()592.4527f a f b =-<=故搜索区间可以从[1,15]缩减为[1,9.6471]。

matlab非线性方程的解法(含牛拉解法)

非线性方程的解法(含牛拉解法)1引言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，0)(=x f (1.1) 这里，)(x f 可以是代数多项式，也可以是超越函数。

若有数*x 为方程0)(=x f 的根，或称函数)(x f 的零点。

设函数)(x f 在],[b a 内连续，且0)()(<b f a f 。

根据连续函数的性质知道，方程0)(=x f 在区间],[b a 内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(=x f 的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。

即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。

所以，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止。

如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(x f 在区间],[b a 内有一个实的单根，且0)(,0)(><b f a f 。

我们从左端出点a x =0出发，按某一预定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查每一步的起点k x 和1+k x (即，h x k +)的函数值是否同号。

若有：0)(*)(≤+h x f x f k k (1.2) 那么所求的根必在),(h x x k k +内，这时可取k x 或h x k +作为根的初始近似值。

这种方法通常称为“定步长搜索法”。

另外，还是图解法、近似方程法和解析法。

2 迭代法2.1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。

迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。

首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。

对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。

这里，主要看看解方程迭代式的构造。

对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ= (2.1) 取],[0b a x ∈，用递推公式：)(1k k x x ϕ=+, ,2,1,0=k (2.2) 可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x (2.3)当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， )~(~x x ϕ= 即，x ~为方程(2.1)的根。

非线性算子方程的正算子解问题

第41卷第3期2 0 18 $ 5 月安徽师范大学学报（自然科学版"_Journal of Anhui Normal University (Natiaral Science)Vol.41 No. 3 May . 2 0 1 8D O I；10.14182/J.c n k i1001 -2443.2018.03.002非线性算子方程的正算子解问题杨凯凡(陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723001)摘要:研究算子方程！ (0<q<s)的正算子解的存在性问题，利用算子理论知识，给出了该算子方程有正算子解的一些必要条件和充分条件，并研究方程中各算子之间的关系。

关键词：算子方程;正算子解;谱分解;谱半径中图分类号：〇177.91 文献标识码:A文章编号！1001 -2443(2018)03 -0217 -031预备知识算子理论是泛函分析的重要分支。

算子方程是算子论中的一个热点问题，一直以来都受到很多学者的关注。

对于算子方程的正算子解的研究产生于20世纪九十年代，并在控制论[1]，动态规划[2]和统计学[3]等方面都有广泛的应用。

近年来，算子方程的研究得到了很大的发展，关于各类算子方程的论文也层出不穷[4]-[9]，使得算子方程成为一个非常活跃的领域。

本文在无限维可分H ilbert空间H上研究非线性算子方程! + $!!q$ ='⑴的正算子解的问题，其中B(H)表示H上的所有有界线性算子组成的全体。

X是B(H)上的未知算子，$，Q "(())是给定的算子且Q>0，s，q是给定的正整数且q<s。

近年来，众多的学者们利用矩阵论的知识，通过构造迭代序列，在有限维空间上，对此类方程做了一定的研究，得到了这类方程有正定矩阵解的条件。

本文不再局限于有限维空间，而是在无限维空间上，利用算子论的知识，研究算子方程（1)，给出此类方程有正算子解的一些充分条件和必要条件。

非线性解法

解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。

几何非线性有限元方法：1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：式（1）式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。

在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。

将式（1）写成微分形式变形后得：式（2）这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。

式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。

2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。

增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：式（3）3、T.L列式与U.L列式的比较T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。

矩阵方程Xs+A＊X-tA=I的Hermite正定解注记

Ｈｒｔｅｅ正定解的特性，ｍｉ改进了以往相应的结论．
关键词：阵方程；范数；ｍｂｎｕ矩谱Ｆｅｉｓ范数中图分类号：２１１０４．文献标志码：Ａ
本文使用的符号：Ａｌ和『分别表示矩ＪｊｌＡ
阵Ａ的谱范数与Ｆｏｅｉ范数；表示矩阵Ａ的ｒｎｓｂｕＡ
华南师范大学学报（自然科学版）
２１００年８月
Ａｕ．２０１ｇ０
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＴＨＯＵＣＨＩＮＡＮＯＲＭＡＬＵＮＩＲＳＹＶＥ ⅡＴ
２１第３期００年
Ｎｏ３，２１．００
（ＡＵＬＳＩＮＥＥＩＩＮ）ＮＴＲＡＣＥＣＤＴＯ
那么方程（）２２有个正的实根：／，＜方程（）３３也有２个正的实根ａ＜２／并且有３
收稿日期：０９—１０２０２—１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７０６；１７１７）广东省自然科学基金资助项目（７０７０００６０）
・通讯作者
第３期
周裕中等：矩阵方程＋～Ａ’ Ａ＝，的Ｈｒｔｅｍｉｅ正定解注记
５
的特征值，则有（ｓｚ（））Ｃ ≤ （Ｃ）一（ｓｚ（．Ｓ≤ ）Ｃ）
文章编号：１０５６（００００００００— ４３２１）３— Ｏ４— ３
矩阵方程＋ — ＝Ａ术ｃＩ的Ｈｒｉ正定解注记Ａｅｍｔｅ
周裕中，林利云
（华南农业大学理学院数学系，广东广州５０４）１６０

非线性(p,q)-差分方程非局部问题的正解

非线性(p,q)-差分方程非局部问题的正解作者：禹长龙韩获德王菊芳邢厚民来源：《河北科技大学学报》2021年第04期摘要：为了完善非线性量子差分方程边值问题的基本理论，研究了二阶非线性（p，q）-差分方程非局部问题的可解性。

首先，计算线性（p，q）-差分方程边值问题的Green函数，研究Green函数的性质;其次，运用Banach压缩映像原理和Guo-Krasnoselskii不动点定理，获得二阶三点非线性（p，q）-边值问题正解的存在性和唯一性定理;再次，给出线性（p，q）-差分方程非局部问题的Lyapunov不等式;最后，给出2个实例，证明所得结果是正确的。

结果表明，在赋予非线性项f一定的增长条件下，非线性（p，q）-差分方程非局部问题正解具有存在性和唯一性。

研究结果丰富了量子差分方程可解性的理论，对（p，q）-差分方程在数学、物理等领域的应用提供了重要的理论依据。

关键词：非线性泛函分析;非线性（p，q）-差分方程;非局部问题;Banach压缩映像原理;Guo-Krasnoselskii不动点定理;正解中图分类号：O175.8 文献标识码：Adoi：10.7535/hbkd.2021yx04005收稿日期：2021-04-28;修回日期：2021-06-06;责任编辑：张士莹基金项目：国家自然科学基金（11201112）;河北省自然科学基金（A201520811）;河北省教育厅基金（ON2017065）第一作者简介：禹长龙（1978—），男，河北阳原人，副教授，硕士，主要从事微分方程边值问题、量子差分方程边值问题以及数值计算等方面的研究。

E-mail：*******************禹长龙，韩获德，王菊芳，等.非线性（p，q）-差分方程非局部问题的正解[J].河北科技大学学报，2021，42（4）：352-359.YU Changlong，HAN Huode，WANG Jufang，et al.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：352-359.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equationsYU Changlong1，HAN Huode1，WANG Jufang1，XING Houmin2（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China;2.College of Letter and Science，University of California，Berkeley，California 94720，USA）Abstract：In order to improve the basic theory of boundary value problems for nonlinear quantum difference equations，in this paper，we study the solvability of nonlocal problems for second order three-point nonlinear （p，q）-difference equations.Firstly，the Green function of the boundary value problem of linear （p，q）-difference equation is calculated and the property of Green function is studied.Secondly，we obtain the existence and uniqueness of the positive solution for the problem by the Banach contraction mapping principle and the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem in a cone.Next，we get the Lyapunov inequality for nonlocal problems of linear （p，q）-difference equations.Finally，two examples are given to illustrate the validity of the results.The results show that the existence and uniqueness of positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）-difference equations are obtained，under the condition of nonlinear term f certain growth.The research results enrich the theory of solvability of quantum difference equations and provide important theoretical basis for the application of（p，q）-difference equation in mathematics，physics and other fields.Keywords：nonlinear functional analysis;nonlinear （p，q）-difference equation;nonlocal problem;Banach contraction mapping principle;Guo-Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution量子微积分，又名q-微积分，是一类无极限的微积分，最早于20世纪初期由JACKSON[1-2]正式提出。

第四讲非线性方程近似解

第2章 4,误差控制方法: ,误差控制方法:
非线性方程的近似解
方法1:先计算满足误差要求的迭代次数 ,再迭代. 方法 :先计算满足误差要求的迭代次数n,再迭代.由 ε (1 L ) n ln L | x1 x0 | | x n x * |≤ | x 1 x 0 |≤ ε 有 n ≥ 1 L ln L 对于较为复杂的迭代函数,其导数也较为复杂,使得L难以取值, 对于较为复杂的迭代函数,其导数也较为复杂,使得难以取值, 难以取值所以实际中并不常用此方法. 所以实际中并不常用此方法. 方法2:事后误差估计法. 方法 :事后误差估计法. 由 | x n x* |≤
x*
x2=x1-f(x1)/f'(x1)
b
如此下去,第n+1条切线方程为 y=f(xn)+f'(xn)(x-xn) 如此下去, 条切线方程为它与x轴交点的横坐标它与轴交点的横坐标xn+1为轴交点的横坐标 xn+1=xn-f(xn)/f'(xn) (n=0,1,2,…) (2) ) 得近似根数列{x . 式称为牛顿迭代公式式称为牛顿迭代公式. 得近似根数列 n}.(2)式称为牛顿迭代公式.
第2章
(3)二分法 )
非线性方程的近似解
通过试探,确定区间通过试探,确定区间(a,b)后,可以用简单的二分法将区间缩小,具体后可以用简单的二分法将区间缩小, 步骤如下: 步骤如下: 是根; , , 取(a,b)的中点 x0=(a+b)/2,若f(x0)=0,则x0是根; , ) 否则, 否则,如f(a)f(x0)<0,令a1=a,b1=x0;如f(x0)f(b)<0,令a1=x0,b1=b. , , , . 内至少有一个根, 包含(a 在(a1,b1)内至少有一个根,且(a,b)包含 1,b1).再取 1,b1)的中点内至少有一个根 , 包含 .再取(a 的中点 x1=(a1+b1)/2,如此进行下去,包含根的区间 (an,bn) 的长度每次缩小一半 ,如此进行下去, (n=1,2,…),n足够大时即可达到满意的精度. , 足够大时即可达到满意的精度足够大时即可达到满意的精度. 用二分法,理论上区间中点序列将收敛到根的真值, 用二分法,理论上区间中点序列{xn}将收敛到根的真值,但收敛速度将收敛到根的真值较慢,所以通常用作下面介绍的其它方法的初步近似. 较慢,所以通常用作下面介绍的其它方法的初步近似. 对于m次代数方程对于次代数方程 f(x)=xm+am-1xm-1+…+a1x+a0=0

南航《矩阵论》第5章Hermite矩阵与正定矩阵

k 1,, n
定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的所有主子式全大于零。定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负。定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得
第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
5.1 5.2 Hermite矩阵与Hermite二次型 Hermite正定（非负定）矩阵
5.3
5.4
矩阵不等式
Hermite矩阵的特征值*
5.1
Hermite矩阵与Hermite二次型
Hermite矩阵矩阵的惯性
5.1.1 5.1.2
5.1.3
Hermite二次型
H
(5.1.1)
其中1 , 2 ,, n均为实数。
定理5.1.4 设 A R nn ，则 A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n )
(5.1.2)
其中1 , 2 ,, n均为实数。
5.1.2 矩阵的惯性
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可表示为 f ( x ) x H Ax
设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则
f ( x ) x H Ax y H By
其中B P H AP .
Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
设A C
nn
, ( A)、 ( A)和 ( A)分别表示 A
的位于复平面上右半平开面、左半开平面和虚记 In( A) { ( A), ( A), ( A)} 则称In( A)为矩阵 A的惯性。

正定Hermite矩阵的性质

正定Hermite矩阵的性质刘兴祥;黄美愿【摘要】Hermite矩阵在酉空间、酉变换及复二次型中都有很重要的地位. 一方面是对称矩阵的自然推广;另一方面它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位. 文中主要给出正定Hermite矩阵子式阵正定性的判定、正定Hermite矩阵行列式、迹的多个不等式以及有关Hadamard乘积的行列式的不等式, 同时也给出正定Hermite二次型的标准型.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)001【总页数】5页(P16-20)【关键词】正定Hermite矩阵;行列式;迹;子式阵;不等式;正定Hermite二次型【作者】刘兴祥;黄美愿【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000【正文语种】中文【中图分类】O241.6Hermite矩阵是在研究酉空间时给出的, 与欧几里德空间中实对称矩阵一样, 因而也可以说实对称矩阵是它的特例. Hermite矩阵与正定矩阵是矩阵理论中比较重要的概念, 它们在数学、物理中有许多重要的应用. 以下对正定Hermite矩阵若干性质以及正定Hermite二次型的共轭相合标准型进行研究.在以下文中约定： A H 表示A的共轭转置、 A T 表示A的转置、表示A的共轭、det A表示A的行列式、trA表示A的迹、I表示单位矩阵、表示数域F上秩为r的m×n阶矩阵、C表示复数域.定义 1[1,2] 设A ∈ C n×n ,A = AH，则称A为n阶Hermite矩阵. 如果对任意X ∈ C n×1且X ≠ 0 , 都有X H AX> 0 , 则称A为n阶正定的Hermite矩阵.定义2[3] 设A为n阶Hermite矩阵, 记X =(x 1 , ,x n )T ∈Cn×1, 则称为n元Hermite二次型, 并称A为n元Hermite二次型 f ( x1 , ,x n )的矩阵, 同时称A的秩为n元Hermite二次型 f ( x1 , ,x n )的秩. 如果对任意0 ≠ X = (x1 , ,, 都有f( x1 ,,xn ) = X H AX>0, 则称 f为n阶正定Hermite二次型.定义 3[4] 设 A , B ∈ C n×n, 如果存在P ∈ 有 P H AP = B, 那么就称B共轭相合于A (也称A与B共轭相合).定义4 设正定的Hermite二次型 f ( X ) 与 f ( Y )的矩阵分别为A与B,且存在 P ∈ 有 PH AP = B , 则称线性变换X PY= 为共轭相合变换.引理 7[8] 设A、B ∈ C n×n 为正定的Hermite矩阵, 则存在酉矩阵P ∈ Cn×n , 使得 P H AP和 P H BP同为对角阵, 当且仅当AB = B A.引理8[9] (Minkowski不等式)若实数 x i,y i非负, 且0 < p< 1 ,则引理10[8] 若A、B ∈ C n×n 为正定Hermite矩阵, 且 tr ( A) > 0 , t r( B) > 0 , 则3.1 正定Hermite二次型定理 1 正定Hermite二次型 f ( X ) = X H AX经线性变换X = C Y[C ∈ ], 仍化成正定Hermite二次型, 且其秩不变.证明由引理1知 f ( Y )仍为Hermite二次型且其秩不变. 又因为因为每个正定Hermite二次型完全被它的系数矩阵(正定Hermite矩阵)所确定, 所以研究正定Hermite二次型同研究正定Hermite矩阵是相当的.3.2 正定Hermite矩阵定理3 共轭相合的两个Hermite矩阵A与B有相同的正定性.证明由n阶Hermite矩阵A、B共轭相合可得, 存在P ∈ , 使得 B = P H AP 由引理3可得, A与B有相同的正定性.定理4 正定Hermite矩阵A的k阶子式阵 C k (A)仍为正定Hermite矩阵.证明由于A为Hermite矩阵, 即 A = AH. 故 (A) = (A H ) = [ C (A)]H, 再由定义 1知： C (A)为k k Hermite矩阵．又因为A为正定Hermite矩阵, 所以由引理2知：存在P ∈ ,使得 A = PH P. 从而因此, 结合引理4与引理2可得： C k (A)也为正定Hermite矩阵.定理5 设A、B ∈ C n×n为正定Hermite矩阵, 则证明因为A、B均为Hermite矩阵, 且t ∈ [ 0 ,1], 所以tA +(1−t)B仍为Hermite矩阵.从而, d et[ t A + ( 1 − t ) B ] ,detA, detB 均为实数, 故不等式有意义.令C= B −1A, 则由引理6可得：C有正特征值λ1 , λ 2, ,λn . 将不等式左边变形为：将行列式表示成特征值的乘积可进一步得到等价形式：.+(1 − t) ] ≥ ,t ∈[0 ,1]为此只须证明tλ + (1 − t) ≥ λ t,t ∈ [ 0 ,1].此不等式是成立的, 因为它可以写成而f ( t) = λt是凸函数, 当t=0或 t=1时取等号.推论1 设A、B为n阶正定Hermite矩阵, 则此不等式也就是我们中学阶段所学过的均值不等式.定理6 设A、B、C为n阶正定Hermite矩阵, 且满足AB = B A, A m + Bm =Cm m ∈ Z +, 则再由引理8可得：则由(1)的证明过程中可得：定理7 设 A i( i = 1 ,2,, k) 为n阶正定Hermite矩阵, λ i ∈ R + (i =1 ,2, ,n )为实数, 则利用引理10、引理11及数学归纳法可以证明.定理8 设∈ C n×n (i = 1 ,2,, k )为正定Hermite阵, = ( a )(i)(s, t =1 ,2, ,n ), 则st利用引理12及数学归纳法可以证明.总之, 从正定Hermite矩阵出发, 探讨了有关正定Hermite二次型的共轭相合标准型、正定Hermite矩阵行列式、迹的多个不等式, 以及与共轭相合有关的重要性质. 当然, 正定Hermite矩阵和正定Hermite二次型在实际生活中也有着广泛的理论应用, 例如在控制论、优化理论、微分方程等, 这又有待于进一步的探讨.【相关文献】[1] 方保 , 周继东, 李医民. 矩阵论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004: 62-117.[2] ROGER A. HORN AND R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Posts and Telecom Press, 2005:167-176.[3] 万志超, 李兆强. Hermite二次型的标准型[J]. 重庆科技学院学报: 自然科学版, 2009, 11(1): 129-136.[4] 张贤科, 许甫华. 高等代数[M]. 北京: 清华大学出版社, 1997: 221-292.[5] 蒋忠樟. 高等代数典型问题研究[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 109-172.[6] 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M]. 北京: 清华大学出版社, 2000: 45-207.[7] 任芳国, 冯孝周. 浅谈Hermite矩阵的学习[J]. 陕西师范大学继续教育学报(西安), 2004, 21(3): 102-105.[8] 王桂松, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式[M]. 北京: 科学出版社, 2006: 12-136.[9] 郑锡陆. 实正定和反对称矩阵若干不等式[J]. 杭州师范学院学报: 自然科学版, 2006, 5(1): 29-30.[10] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2006.。