安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考数学理科试卷
2019学年高二数学下学期期末联考试题 理-人教新目标版(1)

2019期末联合考试 高二数学(理)试卷(本试题卷共4页。
考试用时120分钟)注意事项:1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、复数错误!未找到引用源。
,iiZ -+=22则Z 的虚部为( ) A 、错误!未找到引用源。
B 、错误!未找到引用源。
C 、54错误!未找到引用源。
D 、i 53错误!未找到引用源。
2、用反证法证明:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )A 、假设三角形的三内角至多两个大于60度B 、假设三角形的三内角都不大于60度C 、假设三角形的三内角都大于60度D 、假设三角形的三内角至多有一个大于60度 3、设错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的( )A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、命题P :若错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
是1>a 错误!未找到引用源。
的充分不必要条件;命题q :函数)3lg(-=x y 错误!未找到引用源。
的定义域为),3[]3,(+∞--∞ 错误!未找到引用源。
,则( ) A 、q p ∨为假 B 、q p ∧错误!未找到引用源。
为假 C 、错误!未找到引用源。
为真 D 、错误!未找到引用源。
为假5、已知抛物线C 的开口向上,其焦点是双曲线1322=-x y 错误!未找到引用源。
2019学年安徽省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】

2019学年安徽省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 抛物线的焦点坐标是()A .______________B .______________C .______________D .2. =( 1-t,1-t,t ),=( 2,t,t ),则| - |的最小值是()A .____________________________B .____________________________C .________________________D .3. 若椭圆的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A .________B ._________C ._________D .4. 下列命题中正确的是()A .若为真命题,则为真命题B .“ ,”是“ ”的充分必要条件C .命题“若,则或”的逆否命题为“若或,则”D .命题,使得,则,使得5. 如图,在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,∠ ACB=90°,AA 1 =2,AC=BC=1,则异面直线A 1 B与AC所成角的余弦值是().A ._________B .____________________________C .___________D .6. 设F 1 (-4,0 ),F 2 ( 4,0 )为定点,动点M满足|MF 1 |+|MF 2 |=8,则动点M的轨迹是().A .椭圆_________B .直线___________C .圆______________D .线段7. 若直线交抛物线于A,B两点,且线段AB中点到轴的距离为3,则()A . 12______________________________B . 10____________________________C . 8___________________________________D . 68. 已知双曲线C:的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,P为C的右支上一点,且|PF 2 |=|F 1 F 2 |,则等于()A . 24________B . 48______________________________C . 50______________D . 569. 已知椭圆的焦点分别为F 1 、F 2 ,b=4,离心率为.过F 1 的直线交椭圆于A、B两点,则的周长为()A . 10B . 12______________________________C . 16___________D . 2010. 已知正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的侧棱长与底面边长相等,则AB 1 与侧面ACC 1A 1 所成角的正弦等于().A ._________________________________B .____________________________ C .______________________________ D .11. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (,0 ),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是()A .___________B .______________C .________ D .12. 抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A .___________________________________B .______________________________ C .____________________ D .二、填空题13. 已知命题.若命题是真命题,则实数 a 的取值范围是______________ .14. 已知,,,若向量共面,则______________ .15. 设分别是双曲线的左、右焦点,是的右支上的点,射线平分 ,过原点作的平行线交于点 ,若 ,则的离心率为______________ .16. 已知ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体,① (++) 2 =32 ;② ·(-)=0;③ 向量与向量的夹角是60°;④ 正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的体积为| · · |.其中正确命题的序号是________ .三、解答题17. 已知命题:实数满足,命题:实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆,若是的充分不必要条件,求的取值范围.18. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 ,且过点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)设点,若是椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.19. 在边长是2的正方体 - 中,分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长;(2)证明:平面;(3)证明: 平面.20. 在直角坐标系中,设动点到定点的距离与到定直线的距离相等,记的轨迹为 , 又直线的一个方向向量且过点,与交于两点,求的长.21. 如图,平面ABEF ⊥ 平面 ABC ,四边形 ABEF 为矩形, AB=BC . O 为 AB 的中点,OF ⊥ EC .(1)求证:OF ⊥ FC ;(2)若时,求二面角 F-CE-B 的余弦值.22. 如图,椭圆,轴被曲线截得的线段长等于C 1 的长半轴长.(1)求实数b的值;(2)设C 2 与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与C 2 相交于点A、B,直线MA、MB分别与C 1 相交于点D、E.① 证明:② 记的面积分别是若,求的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
安徽省高中教科研联盟2018-2019学年高二下学期期末联考理科数学试题

因为 的定义域为 , ,
所以 为奇函数,故排除A.
,故排除B.
当 时, ,故排除C.
故选:D
【点睛】
本题主要考查根据函数图象选取解析式,熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键,属于中档题.
6.B
【解析】
【分析】
首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱,再求其外接球的大圆面积即可.
3.B
【解析】
【分析】
首先算出 名党员选 名去甲村的全部情况,再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况,即可得到既有男性,又有女性的情况.
【详解】
从 名党员选 名去甲村共有 种情况, 名全是男性党员共有 种情况,
名全是女性党员共有 种情况,
名既有男性,又有女性共有 种情况.
故选:B
【点睛】
本题主要考查组合的应用,属于简单题.
A. B. C. D.
13. 的展开式中, 的系数为______.
14.已知等比数列 中,有 , ,数列 前 项和为 , 且 则 _______.
15.函数 ,若函数 恰有两个零点,则实数 的取值范围是______.
16.在正方体 中, 是棱 的中点,点 在棱 上,若 平面 ,则 _____.
17.设等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 成等差数列, .
所以 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查了三角函数的恒等变换,属于中档题.
19.(1)分布列详见解析,数学期望为151.5元;(2)推荐该公司选择乙的方案,理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先根据茎叶图得到 的所有可能取值为: , , , , ,并计算其概率,再列出分布列求数学期望即可.(2)根据题意求出乙的日均工资额,再比较甲乙的日工资额即可.
2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……2019学年度第二学期期末考试高二理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先化简集合B,再求,再求.详解:由题得B={x|x>2},所以={x|≤2},所以=.故答案为:C.点睛:(1)本题主要考查集合的化简和集合的交集补集运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)化简集合B时,注意它表示函数的定义域,不是函数的值域.2. 已知复数满足(为虚数单位),为的共轭复数,则()A. 2B.C.D. 4【答案】B【解析】分析:先求复数z,再求,再求.详解:由题得,所以故答案为:B.点睛:(1)本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数和模,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的共轭复数复数的模.3. 已知是公差为2的等差数列,为数列的前项和,若,则()A. 50B. 60C. 70D. 80【答案】D【解析】分析:由是公差为的等差数列,,可得,解得,利用等差数列求和公式求解即可.详解:是公差为的等差数列,,,解得,则,故选D.点睛:本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 设,向量,且,则()A. 5B. 25C.D. 10【答案】A【解析】分析:首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标,进一步求出,利用向量模的坐标表示可得结果.详解:已知,由于,,解得,,,,故选A.点睛:利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.5. 函数的部分图象可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先求函数的奇偶性,排除A,C,再排除D.详解:由题得,所以函数f(x)是奇函数,所以排除A,C.当x=0.0001时,,所以排除D,故答案为:B.点睛:(1)本题主要考查函数的图像和性质,考查函数的奇偶性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像,一般先找差异,再验证.6. 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示,则该几何体的体积为()A. 6B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】分析:先通过三视图找几何体原图,再求几何体的体积.详解:由三视图可知原几何体是一个四棱锥,底面是一个上底为1,下底为2,高为2的直角梯形,四棱锥的高为2,所以几何体的体积为故答案为:C. 点睛:(1)本题主要考查三视图找几何体原图,考查几何体的体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图常用方法有直接法和模型法.7. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量(单位:度)与气温(单位:℃)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以照表:(单位:)(单位:度)由表中数据得线性回归方程:,则由此估计:当气温为时,用电量约为()A. 56度 B. 62度 C. 64度 D. 68度【答案】A【解析】分析:先求样本中心点,再求的值,再预测当气温为时的用电量.详解:由题得因为回归直线经过样本中心点,所以40=-20+,所以=60.所以回归方程为,当x=2时,y=56. 故答案为:A.点睛:(1)本题主要考查回归方程,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 回归直线经过样本中心点,这是回归方程的一个重要性质..................................8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力,是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一,是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德车汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数,如果它是奇数,对它乘3再加1,如果它是偶数,对它除以2,这样循环,最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图,则输出的为()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】执行程序框图可得:不成立,是奇数,不成立不成立,是奇数,不成立不成立,是奇数,不成立不成立,是奇数,成立不成立,是奇数,成立成立,故输出,结束算法故选9. 已知函数最小正周期为,则函数的图象()A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】分析:先化简函数f(x)=,再根据周期求出w,再讨论每一个选项的真假. 详解:由题得f(x)=,因为对于选项A,把代入函数得,所以选项A是错误的;对于选项B, 把代入函数得,所以选项B是错误的;对于选项C,令无论k取何整数,x都取不到,所以选项C 是错误的.对于选项D, 令当k=1时,,所以函数的图像关于点对称.故答案为:D.点睛:(1)本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断,要灵活,不要死记硬背.10. 设圆上的动点到直线的距离为,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形结合得到d的取值范围. 详解:由题得所以圆心为(2,-2),半径为1.所以圆心到直线的距离为,所以动点P到直线的最短距离为4-1=3,最大距离为4+1=5,故答案为:C.点睛:(1)本题主要考查圆的方程和点到直线的距离,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.11. 已知双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比为1:2的两部分,则此双曲线的离心率等于()A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】分析:先通过已知条件求出双曲线的渐近线的倾斜角和斜率,再求双曲线的离心率. 详解:圆的标准方程为,所以圆心坐标为(0,2),半径为2,且过原点.因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点,截圆为弧长之比为1:2的两部分,所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为,所以所以故答案为:A点睛:(1)本题主要考查双曲线和圆的几何性质,考查双曲线的离心率的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的方法有直接法和方程法.12. 已知是定义在上的偶函数,且满足,若当时,,则函数在区间上零点的个数为()A. 2018B. 2019C. 4036D. 4037【答案】D【解析】分析:先把问题转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数,再求函数f(x)的周期为2,再作出两个函数的图像观察图像得到零点个数.详解:函数在区间上零点的个数函数的图像与函数y=的图像的交点的个数,因为函数f(x)是定义在 R上的偶函数,且满足,即f(-x)=f(x),又因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)是周期为2的偶函数,当时,,作出函数f(x)与y=的图像如下图,可知每个周期内有两个交点,所以函数在区间上零点的个数为2018×2+1=4037.故答案为:D.点睛:(1)本题主要考查函数的图像和性质,考查利用函数的图像研究零点个数,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合的能力.(2)本题解答的关键有两点,其一是转化为函数的图像与函数y=的图像的交点的个数,其二是能准确作出两个函数的图像.第Ⅱ卷二、填空题(本题共4个小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 曲线在处的切线方程为__________.【答案】【解析】∵,∴∴曲线在点P(0,3)处的切线的斜率为:,∴曲线在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3,故答案为y=2x+3.点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.14. 已知变量满足约束条件,则的最大值与最小值的积为__________.【答案】-8【解析】分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.解析:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC)由得,平移直线,由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最大,即z最大.由,解得,即.将代入,得,即的最大值为2.故答案为:2.点睛:线性规划问题的解题步骤:(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线;(2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点的位置;(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.15. 展开式的常数项为80,则实数的值为__________.【答案】-2【解析】分析:先利用二项式展开式的通项求常数项,再令常数项为0,解之即得实数a的值. 详解:二项式的展开式中的通项公式为T k+1=C5k•a k•x10﹣2.5k,∵二项式的展开式中的常数项为80,∴当10﹣2.5k=0时,得k=4,此时常数项为C54•a4=80,即5a4=80,解得a=±2,因为a<0,所以a=-2.故答案为:-2.点睛:(1)本题主要考查二项式定理的应用,考查利用二项式定理求特定项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求出展开式的通项公式和化简是解决本题的关键.16. 设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,以为圆心,为半径的圆交于两点,若,且的面积为,则此抛物线的方程为__________.【答案】【解析】分析:根据抛物线的定义可得,是等边三角形,由的面积为可得从而得进而可得结果.详解:因为以为圆心,为半径的圆交于两点,,由抛物线的定义可得,是等边三角形,,的面积为,到准线的距离为此抛物线的方程为,故答案为.点睛:本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质,属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中,角所对的边分别为,满足.(1)求角的大小;(2)若,且,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】分析:(Ⅰ)由,利用正弦定理可得,从而得,进而可得结果;(Ⅱ)结合(Ⅰ)由余弦定理可得,,即,.详解:(I)由题意得:.,即又,(Ⅱ),,即点睛:以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 已知正项等比数列的前项和为,若,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】分析:(1)利用且得到关于的方程组,解方程组即得,再写出数列的通项公式.(2)先求得,再利用裂项相消求,再证明. 详解:(1)由题意得:∵,∴,即,解得:或(舍去)又∵,∴,∴;(2)∵,∴,∴,又∵为递增数列,的最小值为:∴.点睛:(1)本题主要考查等比数列通项的求法,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,由以上数据完成下列2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“移动支付活跃用户”与性别有关?(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户.为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元,记奖励总金额为,求的分布列及数学期望.附公式及表如下:【答案】(1)能;(2)400元.【解析】分析:(1)先根据已知的数据完成2×2列联表,再计算判断在犯错误概率不超过0.005前提下,能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.(2)利用二项分布求的分布列及数学期望.详解:(1)由表格数据可得2×2列联表如下:将列联表中的数据代入公式计算得:所以在犯错误概率不超过0.005前提下,能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.(2)视频率为概率,在我市“移动支付达人”中,随机抽取1名用户,该用户为男“移动支付达人”的概率为,女“移动支付达人”的概率为,记抽出的男“移动支付达人”人数为,则,由题意得,∴,;,所以的分布列为所以的分布列为由,得的数学期望元(或元)点睛:(1)本题主要考查独立性检验,考查随机变量的分布列和期望,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若~则20. 如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)中,已知,点为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】分析:(1)先证明A平面,再证明平面平面.(2)利用向量法求直线与平面所成角的正切值.详解:(1)由题意知:为的中点,∴,由平面得:,∵平面,且,∴平面,又∵平面,∴平面平面;(2)建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,因此.设为平面的一个法向量,则,即,取,则,,设直线与平面所成角为,则,∵,∴∴,所以直线与平面所成角的正切值为.点睛:(1)本题主要考查空间直线平面位置关系的证明,考查直线和平面所成的角的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力及计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一:(几何法)找作(定义法)证(定义)指求(解三角形),其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二:(向量法),其中是直线的方向向量,是平面的法向量,是直线和平面所成的角. 21. 已知椭圆的离心率为,且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为,求的值;②在轴上是否存在点,使为定值?若是,求点的坐标;若不是,请说明理由. 【答案】(1);(2)①,②.【解析】分析:(1)先根据已知得到a,c的两个方程,解方程即得椭圆的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理=2×,即得k的值. ②假设存在定点使得为定值,设点,先求,再分析得到,即得m的值.详解:(1)由题意得:① ,②,由①②解得:,∴,∴椭圆的方程为.(2)由消去得,,设,则,①∵线段的中点的横坐标为,所以,即,所以;②假设存在定点使得为定值,设点,所以为定值,即,故,解得:,所以当时为定值,定值为.点睛:(1)本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆的几何性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有两点,其一是计算出,其二是分析得到.22. 已知函数(为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性;(2)记函数的导函数,当且时,证明:.【答案】(1)当时,在上单调递减;当时,在上单调递增;在上单调递减;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)先求导,再对m分类讨论,求函数f(x)的单调性.(2)先把问题等价转化,,再构造函数设函数求即得证.详解:(1)的定义域为,①当时,;②当时,令,得,令,得,综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递增;在上单调递减.(2)当时,,设函数,则,记,,则,当变化时,的变化情况如下表:由上表可知而,由,知,所以,所以,即,所以在内为单调递增函数,所以当时,即当且时,,所以当且时,总有.点睛:(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是转化,,其二是构造函数设函数求。
最新2019学年高二数学下学期期末联考试题 理

2019学年高二下期末联考理科数学试卷满分:150分考试时间:120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题有且只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C AB =( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.“0<a <1”是“ax 2+2ax +1>0的解集是R”的 ( ) A .充分而非必要条件 B .必要而非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A .sin 2y x x =+B .2cos y x x =- C .122x xy =+D .2sin y x x =+ 4.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .c b a >>5. 2()ln(34)f x x x =--函数的单调递减区间是( )A .31,2(-)B .3(,4)2C .,1)-∞-(D .(4,)+∞ 6. 已知函数()1x f x e =-,2()43g x x x =-+-,若存在()()f a g b =,则实数b 的取值范围为( )A .[0,3]B .(1,3) C.[2 D.(2 7.已知m ∈R ,“函数y =2x+m -1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +310 C.y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +410D.y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +5108.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为 ( )10.设()27x f x x =+-,0x 是函数()f x 的一个正数零点,且0(,1)x a a ∈+,其中a N ∈, 则a =( )A.1B.2C.3D.411.如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),且当x ≥12时,f (x )=log 2(3x -1),那么函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A. -1B. 2C. 3D. 412.设A 是自然数集的一个非空子集,对于k A ∈,如果2k A ∉A ,那么k 是A 的一个“酷元”,给定2lg(49)|3x S x N y x ⎧⎫-=∈=⎨⎬-⎩⎭,设集合M 由集合S 中的两个元素构成,且集合M 中的两个元素都是集合M 的“酷元”,那么这样的集合M 有( ) A .3个B .4个C .5个D .6个二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知集合A ={x |x 2-2x +a >0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是 .14.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x ≥1,x 2-x ,x <1,则满足()2f a >的a 的取值范围是 .15. 已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-,且在区间[]2,0-上递减,不等式 2(1)(1)0f m f m -+-<的解集是 .16.已知()f x 是以2为周期的偶函数,当[]0,1x ∈时,()f x x =,那么在区间[]1,3-内,关于x 的 方程()1f x kx k =++(其中k 为不等于1的实数)有四个不同的实根,则k 的取值范围是 .三、解答题:(本大题共5小题,共70分)17.在曲线1C :1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数),在曲线1C 求一点,使它到直线2C:12(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R ,试求a 的取值范围.19. 已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠- (1)求()f x 的定义域;(2)判断()f x 的奇偶性并给与证明; (3)求使()0f x >成立的x 的取值范围。
安徽省2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题(教师版)

2018-2019学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分:150分考试时间:120分钟注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在答题卡条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区城书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上的答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.6.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数112iz i -=+(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A. 135i + B. 135i -+ C. 135i -D.135i-- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算,化简复数,再根据共轭复数概念得结果 【详解】1i 13i 12i 5z ---==+,故z 的共轭复数13i5z -+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念,考查基本分析求解能力,属基础题.2.已知线性回归方程ˆˆ0.6ybx =+相应于点()3,6.5的残差为0.1-,则ˆb 的值为( ) A. 1 B. 2C. 0.5-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计y ,再根据残差定义列方程,解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-,所以ˆ6.50.1y -=-,所以6.50.130.6b +=+$,解得2b=$,故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念,考查基本分析求解能力,属基础题.3.由命题“周长为定值的长方形中,正方形的面积取得最大”可猜想:在表面积为定值的长方体中( ) A. 正方体的体积取得最大 B. 正方体的体积取得最小 C. 正方体的各棱长之和取得最大 D. 正方体的各棱长之和取得最小 【答案】A 【解析】 【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系:周长类比表面积,长方形类比长方体,正方形类比正方体,面积类比体积,因此命题“周长为定值的长方形中,正方形的面积取得最大”,类比猜想得:在表面积为定值的长方体中,正方体的体积取得最大,故选A.【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比,考查基本分析判断能力,属基础题. 4.在一次调查中,根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图,则( )A. 两个分类变量关系较强B. 两个分类变量关系较弱C. 两个分类变量无关系 ^D. 两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析:利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解:从等高条形图中可以看出2,在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重,所以两个分类变量的关系较强.故选A点睛:等高条形图,可以粗略的判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度,考查识图用图的能力.5.独立性检验显示:在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关,那么下列说法中正确的是( )A. 在100个男性中约有90人喜爱喝酒B. 若某人喜爱喝酒,那么此人为女性的可能性为10%C. 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10% D. 认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断,而不是因果关系,故A ,B 错误.由已知得,认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%,故C 错误,D 正确.选D. 【点睛】本题考查独立性检验的含义,考查基本分析判断能力,属基础题.6.将6位女生和2位男生平分为两组,参加不同的两个兴趣小组,则2位男生在同一组的不同的选法数为( ) A. 70 B. 40C. 30D. 20【答案】C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生,再进行分组排列,即得结果【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30=,选C.【点睛】本题考查分组排列问题,考查基本分析求解能力,属基础题. 7.函数()y f x =的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A. ()()()()1221f f f f ''<<-B. ()()()()1212f f f f ''<-<C. ()()()()2211f f f f ''<-<D. ()()()()2121f f f f ''<<- 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以把()()21f f -转化为()()2121f f -- 即为函数()y f x =在x 为1和2对应两点连线的斜率,且()1f ',()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率,再结合图像即可得到答案. 【详解】()1f ',()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率,()()()()212121f f f f --=-Q ,()()21f f ∴-为图像上x 为1和2对应两点连线的斜率,(如图)由图可知,()()()()1212f f f f ''<-< 故选:B【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式,比较斜率大小,属于较易题. 8.已知1(5,)3X B :,则37()22P X ≤≤=( ) A.80243B.40243C.4081D.8081【答案】C【解析】 【分析】根据二项分布求对应概率【详解】()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以选C.【点睛】本题考查二项分布,考查基本分析求解能力,属基础题. 9.若0k m n ≤≤≤,且m ,n ,k ∈N ,则CC mn mk n k n k --==∑( )A. 2m n +B. C 2n mmC. 2C n mnD. 2C m mn【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件,运用组合数的阶乘可得:n m k m kn k n n m C C C C --=,再由二项式系数的性质,可得所要求的和.【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()0102mmn m k m k m mm m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑L故选:D【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质,属于一般题. 10.某人射击一次命中目标的概率为12,且每次射击相互独立,则此人射击 7次,有4次命中且恰有3次连续命中的概率为( ) A. 3761()2C B. 2741()2AC. 2741()2CD. 1741()2C【答案】B 【解析】 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12,所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数,即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况, 所以所求概率7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式,考查基本分析求解能力,属中档题.11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有些数据漏记了(见表中空白处)在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6 人,则以下判断正确的为( )A. 4号学生一定进入30秒跳绳决赛B. 5号学生一定进入30秒跳绳决赛C. 9号学生一定进入30秒跳绳决赛D. 10号学生一定进入30秒眺绳决赛 【答案】D 【解析】 【分析】先确定立定跳远决赛的学生,再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1,3,4,6,7,8,9,10号的8个学生,由同时进入两项决赛的有6人可知,1,3,4,6,7,8,9,10号有6个学生进入30秒跳绳决赛,在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩依次排名为1,2,3名,1号和10号成绩相同,若1号和10号不进入30秒跳绳决赛,则4号肯定也不进入,这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人,矛盾,所以1,3,6,7,10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【点睛】本题考查合情推理,考查基本分析判断能力,属中档题.12.已知随机变量()2,1X N :,其正态分布密度曲线如图所示,若向长方形OABC 中随机投掷1点,则该点恰好落在阴影部分的概率为( ) 附:若随机变量()2,N ξμσ:,则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=,()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A. 0.1359B. 0.7282C. 0.6587D. 0.8641【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质,再利用面积比的几何概型求解概率,即得解. 【详解】由题意,根据正态分布密度曲线的对称性,可得:()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==, 故选:D【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用,考查了学生概念理解,转化与划归的能力,属于基础题.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,满分20分.)13.由曲线cos y x =,,x y 坐标轴及直线2x π=围成的图形的面积等于______.【答案】1 【解析】 【分析】 根据定积分求面积【详解】2cos sin 10120S xdx x ππ===-=⎰.【点睛】本题考查利用定积分求面积,考查基本分析求解能力,属基础题.14.621(2)x x-的展开式中的常数项为______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数,再代入得结果【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2rrr r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦, 令3120r -=得,4r =,所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,考查基本分析求解能力,属基础题.15.在如图的数表中,仅列出了前6行,照此排列规律还可以继续排列下去,则数表中第n (3n ≥)行左起第3个数为_______.【答案】262n n -+【解析】 【分析】根据题意先确定每行最后一个数,再求结果【详解】依排列规律得,数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=L 第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理,考查基本分析求解能力,属基础题.16.若存在一个实数t ,使得()F t t =成立,则称t 为函数()F x 的一个不动点,设函数()(1)x g x e e x a =+-(,a R e ∈为自然对数的底数),定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=,且当0x ≤时,'()f x x <,若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭,且0x 为函数()g x 一个不动点,则实数a 的最小值为________.【答案】2【解析】 【分析】先构造函数()()2112f x f x x =-,研究其单调性与奇偶性,再化简不等式1()(1)2f x f x x +≥-+,解得0x 取值范围,最后根据不动点定义,利用导数求出a 的范围,即得最小值. 【详解】由()()2f x f x x -+=,令()()2112f x f x x =-, 则()1f x 为奇函数,当0x ≤时,()()10f x f x x ''=-<, 所以()1f x 在(],0-∞上单调递减, 所以()1f x 在R 上单调递减, 因存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭, 所以()()10101f x f x ≥-, 所以001x x ≤-,即012x ≤. 因为0x 为函数()g x 一个不动点, 所以()g x x =在12x ≤时有解,令()()1e ,2xh x g x x a x =-=-≤, 因为当12x ≤时,()12e e 0x h x '=≤=,所以函数()h x 在1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时单调递减,且x →-∞时,()h x →+∞,所以只需102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭,得a ≥. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题,考查综合分析求解能力,属难题.三、解答题(本题共6题,满分70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤)17.在复平面内,复数222(34)z a a a a i =--+-- (其中a R ∈). (1)若复数z 为实数,求a 的值; (2)若复数z 为纯虚数,求a 的值;(3)对应的点在第四象限,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a =-或4;(2)2a =;(3)()2,4 【解析】 【分析】(1)根据复数为实数条件列方程解得结果,(2)根据纯虚数定义列式求解,(3)根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】(1)因为复数z 为实数,所以2340a a --=, 所以1a =-或4;(2)因为复数z 为纯虚数,所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩,所以2a =(3)因为z 对应的点在第四象限,所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得,24a <<, 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?参考公式: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+=+.参考数据:【答案】(1)该社区不可称为“健身社区”;(2)能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【解析】 【分析】(1)计算平均数,再比较数据大小作出判断(2)先求卡方,再对照参考数据作出判断 【详解】(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时,由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时, 因为1.15小时76<小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”; (2)由联立表可得,()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算,考查基本分析求解判断能力,属基础题.19.现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图,进人高三后,由于改进了学习方法,甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲(乙)的高二任意一次考试成绩为x ,则甲(乙)的高三对应的考试成绩预计为10x +(若10x +>100.则取10x +为100).若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的,定义X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.(I )试预测:在将要进行的高三6次测试中,甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少?(计算结果四舍五入,取整数值)(Ⅱ)求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】(I )先依题意预测出高三的6次考试成绩,由平均数的公式,分别计算即可; (Ⅱ)由题意先写出随机变量X 的取值,以及对应的概率,即可求出分布列和期望. 【详解】(I )由已知,预测高三的6次考试成绩如下: 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 78 86 89 96 98 100 乙 8185929496100甲高三的6次考试平均成绩为788689969810019166+++++=,乙高三的6次考试平均成绩为818592949610019163+++++=所以预测:在将要进行的高三6次测试中,甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91,91. (Ⅱ)因为X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值, 所以X =0,1,2,3 所以()106P X ==,()116P X ==,()21263P X ===,()21363P X ===. 所以X 的分布列为所以()111111012366336E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望,属于基础题型. 20.已知函数2()3ln f x ax x a x=---,其中a 为常数. (1)证明:函数()f x 的图象经过一个定点A ,并求图象在A 点处的切线方程; (2)若2'()13f =,求函数()f x 在[1,]e 上的值域.【答案】(1)证明见解析,()()11y a x a =--+;(2)[]3ln 2,2-- 【解析】 【分析】(1)将函数解析式重新整理,解得定点,再求导数,根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式得切线方程,(2)先解出1a =,再利用导数求函数值域. 【详解】(1)因为()()223ln 13ln f x ax x a a x x x x=---=---, 所以()12f =-,所以函数()f x 的图像经过一个定点()1,2A -, 因为()223f x a x x'=+-, 所以切线的斜率()11k f a '==-,.所以在A 点处的切线方程为()()()211y f a x --=--, 即()()11y a x a =--+;(2)因为23f a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,213f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,所以1a =, 故()23ln 1f x x x x =---, 则()()()212x x f x x --'=,由()0f x '=得1x =或2x =,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:从而在[]1,e 上()f x 有最小值,且最小值为()23ln 2f =-, 因为()12f =-,()2e e 4e f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭, 所以()()21e e 2e f f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,因为2x x-在()0,∞+上单调减,e 2.72<, 所以22e 2 2.722e 2.72⎛⎫⎛⎫-+>-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭220.72 2.720.7202.72 2.72-⨯-=>,所以()()1f f e >,所以最大值为()12f =-, 所以函数()f x 在[]1,e 上的值域为[]3ln 2,2--.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域,考查综合分析求解能力,属中档题. 21.(1)求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数;(2)某火车站共设有4个“安检”入口,每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数,要求写出计算过程.【答案】(1)56;(2)840种,计算过程见解析 【解析】 【分析】(1)利用隔板法求结果;(2)将问题分4种情况分别得出其方案数,可求得结果,注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序. 【详解】(1)若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →,其中()11,2,3,4i i y x i =+=,则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射,利用隔板法得,方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56;(2)这4名旅客通过安检口有4种情况:从1个安检口通过,从2个安检口通过,从3个安检口通过,从4个安检口通过。
安徽省2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题

, 是 分别为 时对应图像上点的切线斜率,
,
为图像上 为 和 对应两点连线的斜率,(如图)
由图可知,
故选:B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义以及斜率公式,比较斜率大小,属于较易题.
8.C
【解析】
【分析】
根据二项分布求对应概率
【详解】
,所以选C.
【点睛】
本题考查二项分布,考查基本分析求解能力,属基础题.
【详解】
(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时,
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时,
因为1.15小时 小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”;
(2)由联立表可得,
,
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
【点睛】
本题考查计算平均数以及卡方计算,考查基本分析求解判断能力,属基础题.
A. B. C. D.
10.某人射击一次命中目标的概率为 ,且每次射击相互独立,则此人射击7次,有4次命中且恰有3次连续命中的概率为()
A. B. C. D.
11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩,其中有些数据漏记了(见表中空白处)
学生序号
3.由命题“周长为定值的长方形中,正方形的面积取得最大”可猜想:在表面积为定值的长方体中()
A.正方体的体积取得最大
B.正方体的体积取得最小
C.正方体的各棱长之和取得最大
D.正方体的各棱长之和取得最小
4.在一次调查中,根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图,则()
A.两个分类变量关系较强
B.两个分类变量关系较弱
安徽省名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题

安徽省名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________1.复数z 满足210z +=,则3z 等于( ) A .1B .±1C .iD .i ±2.已知集合{}2,A x x x Z =<∈,{}220B x x x =--<,则A B =( )A .{}0,1B .()0,1C .{}1,0,1-D .()1,2-3.世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘,用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满(如下图),若在棋盘内随机取一点,则此点取自白色区域的概率为( )A .16B .13C .14D .5164.设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则//αβ的一个充分条件是( )A .存在两条异面直线,a b ,,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B .存在一条直线a ,//,//a a αβ.C .存在一条直线a ,,//β⊂a a a .D .存在两条平行直线,a b ,,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直,则离心率e =( )AB C .2D6.20世纪产生了著名的“31x +”猜想:任给一个正整数x ,如果x 是偶数,就将它减半;如果x 是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图,若输入正整数m 的值为20,则输出的n 的值是( )A .8B .9C .10D .117.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,523S =,360n S =,5183n S -=,则n =( ) A .16B .17C .18D .198.已知52log a =,122b =,c = )A .a c b >>B .a b c >>C .c a b >>D .c b a >>9.函数sin y x x =-在[]2,2ππ-上的大致图象是( )A .B .C .D .10.已知A ,B ,C 是球心为O 的球面上三点,60AOB ∠=,120AOC ∠=,若三棱锥O ABC -体积的最大值为1,则球O 的表面积为( ) A .12πB .16πC .24πD .36π11.若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则实数a 的取值范围是()A .)+∞B .[)1,+∞C .()1,+∞D .()+∞12.已知ABC 中,9AB =.点O 为其外接圆的圆心且12AO CB ⋅=.则当B 取最大值时,ABC 的面积为( )A .B .2C .D .13.若角α的终边经过点(),6P m -,且4cos 5α=,则tan α=________. 14.()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________.15.直线l 经过抛物线C :212y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,弦AB 的长为16,则直线l 的倾斜角等于__________. 16.若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值,则实数a 的取值范围是________.17.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且()sin sin sin b B c b C a A +-=. (1)求A 的大小;(2)若ABC 的面积等于,5b =,求sin sin B C 的值. 18.设数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N.且满足21nn aS n +=+.(1)证明{}2n a -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)若()2n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足1AD CE ==(如图1).将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1A C (如图2).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.20.已知椭圆C :(22213x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A ,设离心率为e ,且满足113e OF OA AF+=,其中O 为坐标原点 (1)求椭圆C 的方程:(2)过点0,1的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求OMN 面积的最大值. 21.某省从2021年开始将全面推行新高考制度,新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始,高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级,确定各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%,2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表:而等比例转换法是通过公式计算:2211Y Y T TY Y T T --=--其中1Y ,2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分,1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分,Y 表示原始分,T 表示转换分,当原始分为1Y ,2Y 时,等级分分别为1T 、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表:设小南转换后的等级成绩为T ,根据公式得:847585756971T T --=--,所以76.677T =≈(四舍五入取整),小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学,以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩,其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表:(1)从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名,求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率;(2)从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名,设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ,求ξ的分布列和期望. 22.已知函数()()2xf x e axa =-∈R 在()0,∞+上有2个零点1x 、()212x x x <.(1)求实数a 的取值范围; (2)证明:124x x +>.参考答案1.D 【解析】 【分析】由已知求得z i =±,再由虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】210z +=,21z ∴=-,则z i =±.当zi 时,33z i i ==-;当z i =-时,()3z i i =-=3.综上所述,3z i =±. 故选:D. 【点睛】本题考查复数乘方的运算,考查计算能力,属于基础题. 2.A 【解析】 【分析】可以求出集合A 、B ,然后进行交集的运算即可. 【详解】{}{}{}2,22,1,0,1A x x x Z x x x Z =<∈=-<<∈=-,{}{}22012B x x x x x =--<=-<<,因此,{}0,1A B =.故选:A. 【点睛】本题考查交集的运算,同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解,考查计算能力,属于基础题. 3.B 【解析】 【分析】根据几何概型计算概率,即可得答案;【详解】直接数出正六边形共包含菱形48个,其中白色16个, 则此点此点取自白色区域的概率161483===白色区域面积正六边形面积.故选:B . 【点睛】本题主要考查几何概型,考查数学文化,重点检测数学学科素养.不同的素养发展水平、不同的思考问题角度,可以有不同的问题解决思路,体现不同的能力发展水平. 4.A 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理,以及线面,面面位置关系,逐项判断,即可得出结果. 【详解】对于A 选项,如图:,a b 为异面直线,且,,//,//a b a b αββα⊂⊂,在β内过b 上一点作//c a ,则β内有两相交直线平行于α,则有//αβ;故A 正确;对于B 选项,若//,//a a αβ,则a 可能平行于α与β的交线,因此α与β可能平行,也可能相交,故B 错;对于C 选项,若,//β⊂a a a ,则α与β可能平行,也可能相交,故C 错;对于D 选项,若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ,则α与β可能平行,也可能相交,故D 错. 故选:A 【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件,熟记面面平行的判定定理,以及线面,面面位置关系即可,属于常考题型. 5.A 【解析】 【分析】由已知条件求得221b a =,然后利用公式e =可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题设1b b a a -⨯=-,所以,221b a =,则c e a =====故选:A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,在涉及渐近线的问题时,利用公式e =计算较为方便,考查计算能力,属于基础题. 6.B 【解析】 【分析】依次执行循环,直到1m =时退出循环,输出n . 【详解】 根据框图可知:第一次执行循环,2n =,20m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,3n =,10m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,4n =,5m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,5n =,16m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,6n =,8m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,7n =,4m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,8n =,2m =,不满足条件,继续执行循环; 第一次执行循环,9n =,1m =,满足条件,退出循环,输出n 的值为9. 故选:B. 【点睛】本题考查程序框图的计算,属于基础题. 7.C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质121n n a a a a -+=+= ,结合等差数列求和公式即可得答案.【详解】由题意知12345523S a a a a a =++++=,51234360183177n n n n n n n S S a a a a a ------=++++=-=,两式想加可得:()()()()()12132435423177200n n n n n a a a a a a a a a a ----+++++=+++++=,所以140n a a +=,1220360nn S n n a a +=⨯==,因此18n =. 故选:C 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列前n 项和公式,属于基础题. 8.A 【解析】 【分析】化简式子可得5log 3a =,5log 2b =,7log 3c =,然后借用中间值1来进行比较即可. 【详解】化简得5log 3a =,5log 2b =,7log 3c =, 且52log 41b =<,72log 91c =>,所以a c b >>. 故选:A 【点睛】本题考查对数式的比较大小,掌握比较大小的常用方法:作差法、作商法、函数的单调性等,同时借用中间值0,1比较,方便简洁,属基础题. 9.C 【解析】先将函数写成分段函数的形式,由函数奇偶性的概念可知,函数()f x 为非奇非偶函数,可排除选项A 和D ;当()0,2x π∈时,sin y x x =-,求导,判断单调性,并观察x π=附近y '的值,可排除选项B ,故而得解.【详解】sin ,20sin sin ,02x x x y x x x x x ππ+-≤<⎧=-=⎨-≤≤⎩,∴函数y 为非奇非偶函数,排除选项A 和D ;当()0,2x π∈时,sin y x x =-,∴1cos 0y x '=->,即函数y 单调递增,且在x π=附近,y '不为0,排除选项B. 故选:C. 【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题. 10.B 【解析】 【分析】根据题意分析可知,当平面AOB ⊥平面AOC 时,三棱锥O ABC -体积的最大.此时,点B 到平面AOC 的距离达到最大值,为正三角形AOB 的OA 边上的高,根据三棱锥的体积公式计算体积,可解得R ,根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设球O 半径为R ,当平面AOB ⊥平面AOC 时,三棱锥O ABC -体积的最大. 注意AOB 是正三角形,AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形,所以23111sin12012328V R R R R ⎛⎫=︒==⇒= ⎪⎝⎭,所以16S π=. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式,考查了三棱锥的体积公式,考查了球的表面积公式,属于中档题.【解析】 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立;根据导函数解析式可知问题可进一步转化为04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立;利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭,则只需10a -+≥即可,解不等式求得结果. 【详解】由题意得:()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x sin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥,解得:[)1,a ∈+∞ 本题正确选项:B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题,涉及到正弦型函数值域的求解问题;本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题,从而利用三角函数的最值来求得结果. 12.C 【解析】 【分析】结合平面向量的加法运算法则和数量积的定义可推出22111222AO CB CA AB ⋅=-+=,从而得出CA 的值,在ABC 中,由余弦定理有222cos 2BC AB ACB BC AC+-=⋅,结合基本不等式可得当224BC =时B 角最大,所以ABC 是以角C 为直角的直角三角形,从而可得答案. 【详解】因为O 为ABC 外接圆的圆心,所以()AO CB AO CA AB AO CA AO AB ⋅=⋅+=⋅+⋅,如图,过O 分别作,OE AC OF AB ⊥⊥,则,E F 分别为,AC AB 的中点.21cos 2AO CA AO CA CAO CA CE CA ⋅=-⋅⋅∠=-⋅=-21cos 2AO AB AO AB BAO AB AF BA ⋅=⋅⋅∠=⋅=所以()22111222AO CB AO CA AB AO CA AO AB CA AB ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+=则2812457CA =-=,22228157cos 229BC AB AC BC B BC AC BC +-+-==⋅⨯124118189BC BC ⎛⎫=⨯+≥⨯= ⎪⎝⎭ 所以当且仅当224BC=时cos B 最小,此时角B 最大,且此时222AB CA BC =+,ABC 是以角C 为直角的直角三角形,所以1122ABC S AC BC =⋅===△ 故选:C .【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用,运用了平面向量的加法运算和数量积的定义、余弦定理以及基本不等式的性质等考点,有一定的综合性,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.13.3 4【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求得答案.【详解】由三角函数的定义知:r OP===4cos5xrα===,解得:8m=-或8m=(舍)663tan84yx mα====-,故答案为:34【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,属于基础题.14.132-【解析】【分析】本题首先可确定二项式()62x-展开式的通项,然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x-两种情况进行讨论,即可得出结果.【详解】二项式()62x-展开式的通项为6162kk kkT C x,当第一个因式取1时,第二个因式应取含5x的项,则对应系数为:()55612112C⨯⨯⨯-=-;当第一个因式取2x -时,第二个因式应取含4x 的项,则对应系数为:()()42622120C -⨯⨯=-;则()()6121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-, 故答案为:132-. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数,考查二项式展开式的通项的应用,二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=,考查推理能力与计算能力,是中档题.15.3π或23π【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ,设直线AB 方程为(3)y k x =-,利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k .【详解】 由题意6p,抛物线的焦点为(3,0)F , 16AB =,则AB 的斜率存在,设1122(,),(,)A x y B x y ,设直线AB 方程为(3)y k x =-,由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=,所以21226(2)k x x k ++=,所以12616AB x x =++=,21226(2)10k x x k++==,k = 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π. 故答案为:3π或23π. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,解题方法是设而不求思想方法,解题关键是掌握焦点弦长公式. 16.(]4,1--【解析】 【分析】计算导数()f x ',可知函数的单调性并可知最大值,然后进行判断和计算可得结果. 【详解】由题可知:()22f x x x '=-令()00'>⇒<f x x 或2x > 令()002'<⇒<<f x x所以函数()f x 在()0,2单调递减,在()(),0,2,-∞+∞单调递增 故函数的极大值为()00f =所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =,又()()300f f ==,所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩,得实数a 的取值范围是(]4,1--. 故答案为:(]4,1-- 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,考查分析问题的能力以及判断能力,属基础题. 17.(1)3A π=;(2)57. 【解析】 【分析】(1)由正弦定理化简已知可得222b c bc a +-=,由余弦定理可得1cos 2A =,结合范围()0,A π∈,可求A 的值.(2)利用三角形的面积公式可求20bc =,进而可求4c =,由余弦定理可求a ,进而根据正弦定理即可求解. 【详解】解:(1)∵()sin sin sin b B c b C a A +-=,∴由正弦定理可得222b c bc a +-=,∴由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, ∵()0,A π∈,∴3A π=.(2)∵ABC 的面积等于1csin 24b A bc ==, ∴20bc =,又5b =,∴4c =,∴由余弦定理2222cos 21a b c bc A =+-=,可得a =∴2sin sin a R A π===()25sin sin 72bc B C R ==. 【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理求解三角形,以及三角形的面积公式的应用,属于中档题. 18.(1)证明见解析,122n n a =-;(2)222nn +-. 【解析】 【分析】(1)根据n a 与n S 的关系得122n n a a --=,(2n ≥,n *∈N ),再根据等比数列定义即可证明,进而求得数列{}n a 的通项公式; (2)结合(1)得2n nnb =,再根据错位相减法求和即可得答案. 【详解】(1)∵21n n a S n +=+, 当1n =时,得123a =,132a =. ∵21n n a S n +=+,∴ ()11211n n a S n --=+-+,(2n ≥,n *∈N ) 两式相减,得122n n a a --=,整理1112n n a a -=+, 所以()11222n n a a --=-,()2n ≥ ∴数列{}2n a -是首项为1122a -=-,公比为12的等比数列.∴122nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, ∴122n n a =-. (2)()22n n nn b n a =-=, 所以231232222n nnT , 两边乘以12得2341112322222n n n T +=++++,将两式相减得23111111111211222222222n n n n n n n n nT ++++=++++-=--=-, 所以222n n nT +=-,即数列{}n b 的前n 项和n T 等于222n n+-.【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求数列的通项公式,错位相减法求前前n 项和,考查运算能力,是中档题.19.(1)证明见解析;(2)存在,52PB =. 【解析】 【分析】(1)等边ABC 中,依题意可得2AE =,由余弦定理算出DE =222AD DE AE +=,所以AD DE ⊥.结合题意得平面1A DE ⊥平面BCDE ,利用面面垂直的性质定理,可证出1A D ⊥平面BCED ;(2)作PH BD ⊥于点H ,连接1A H 、1A P ,由1A D ⊥平面BCED 得1A D PH ⊥,所以PH ⊥平面1A BD ,可得1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角,即160PA H ∠=︒.设(03)PB x x =,分别在Rt △1BA H 、Rt △1PA H 和Rt △1DA H 中利用三角函数定义和勾股定理,建立等量关系得222111(2)()22x x +-=,解之得52x =,从而得到在BC 上存在点P且当52PB =时,直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒.【详解】证明:(1)因为1AD =,312AE =-=,60A ∠=︒.由余弦定理得DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AB DE ⊥.折叠后有1A DDE ⊥.因为二面角1A DE B --是直二面角, 所以平面1A DE ⊥平面BCED . 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A DDE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED . (2)假设在线段BC 上存在点P , 使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P . 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D PH ⊥.又1A D BD D ⋂=,所以PH ⊥平面1A BD . 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角.160PA H ∠=︒设(03)PB x x =,则cos602x BH PB =︒=,sin 60PH PB =︒= 在1Rt PA H △中,160P AH =∠︒, 所以112A H x =. 在1Rt A DH △中,11A D =,122DH x =-. 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒,此时52PB =.【点睛】本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题.20.(1)22143x y +=;(2)3. 【解析】 【分析】(1)设椭圆的焦半距为c ,结合题意分析可得113ec a a c+=-,结合椭圆的几何性质可得a 、b 的值,代入椭圆的方程即可得答案;(2)由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直,设其方程为1y kx =+,联立l 与椭圆C 的方程,可得()2243880k x kx ++-=,结合根与系数的关系可以用k 表示MN 与O 到l 的距离,由三角形面积公式计算可得OMN 的面积12S d MN ==,由基本不等式分析可得答案. 【详解】(1)设椭圆的焦半距为c ,则OF c =,OA a =,AF a c =-.所以113e c a a c +=-,其中ce a=,又2223b a c ==-,联立解得2a =,1c =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=. (2)由题意直线l 不能与x 轴垂直,否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时,设其斜率为k ,那么l 的方程为1y kx =+.联立l 与椭圆C 的方程,消去y ,得()2243880k x kx ++-=. ()()2283243k k ∆=++,显然大于0. 设点()11,M x y ,()22,N x y . 则122843k x x k +=-+,122843x x k =-+.所以12MN x =-=, 又O 到l的距离d =.所以OMN 的面积21243S d MN k ===+令2433t k =+≥,那么S ==≤3t =时取等号. 所以OMN 面积的最大值是3. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,考查韦达定理法的使用,直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.属于中档题.21.(1)1235P =(2)见解析 【解析】【分析】 (1)根据成绩换算公式,计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩,进而得到等级成绩不低于96分的人数,根据古典概型的概率即可得到所求;(2)列出随机变量ξ的所有可能的取值,分别求出对应的概率,列出分布列,计算期望即可.【详解】(1)设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ,等级成绩为y ,由转换公式得: 951008586x y x y --=--,即:()148514330861010x x y --=+=, 所以143309610x -≥,得:92.1x ≥, 显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人,获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. (2)由题意可得:等级成绩不小于96分人数为3人,获得A 等级的考生有15人,0531251524(0)91C C P C ξ===,1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===,323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为则期望为:45202231919191E ξ=+⋅+⋅=【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布,考查数据处理能力和运算求解能力,属于中档题.22.(1)2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)令()0f x =可得2x e a x=,将问题等价于直线y a =与函数()2x e g x x =在区间()0,∞+上的图象有两个交点,利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性与极值,数形结合可求得实数a 的取值范围;(2)由题意可知1202x x <<<,且有122212x x e e a x x ==,可得12122ln ln x x x x -=-,于是可将所证不等式等价于证明不等式1121221ln 21x x x x x x -<⨯+,令()120,1x t x =∈,即证()21ln 01t t t --<+,令()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+,利用导数证明出()0h t <即可. 【详解】 (1)()20x f x e ax =-=,等价于2xe a x =, 设()2xe g x x =,则()()32x e x g x x-'=, 令()0g x '=得2x =,当02x <<时,()0g x '<,函数()y g x =单调递减;当2x >时,()0g x '>,函数()y g x =单调递增.所以,函数()y g x =在2x =处取得极小值,亦即最小值,即()()2min24e g x g ==. 而且0x →时()g x →+∞,x →+∞时()g x →+∞,如下图所示:由图象可知,当24e a >时,直线y a =与函数()y g x =在区间()0,∞+上的图象有两个交点,所以实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; (2)由(1)知,当函数()y f x =有2个零点时,一定有1202x x <<<,且122212x x e e a x x ==, 两边取对数得11222ln 2ln x x x x -=-,所以12122ln ln x x x x -=-. 要证明的不等式等价于()12121212022ln ln x x x x x x x x +-><<<-. 等价于121212ln ln 2x x x x x x --<⨯+,等价于证明1121221ln 21x x x x x x -<⨯+, 令()120,1x t x =∈,等价于证明()21ln 01t t t--<+,其中01t <<, 设函数()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+,则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++,故函数()y h t =在()0,1上是增函数,所以()()10h t h <=,即()21ln 01t t t--<+成立,所以原不等式成立. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,同时也考查了极值点偏移问题,考查利用导数证明函数不等式,考查计算能力与推理能力,属于较难题.。
安徽高中教科研联盟2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题 含答案

半.莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有浦生长 1 日,长为 3 尺.莞生长 1 日,长为 1 尺.浦
的生长逐日减半.莞的生长逐日增加 1 倍.问几日浦、莞长度相等?”根据上面的已知条件,若浦、莞
1
长度相等时,间浦的长度是
A.4 尺
B.5 尺
( ) 6.函数 f (x) = ex + e−x ln | x |的图象大致为
(1)求 an ;
(2)求数列{(2n −1) an}的前 n 项和 Sn .
18.(12 分)
ABC 中,三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,BC 边上的高为 h,已知 c (sin B − cos B) = b cosC .
(1)求 h 的值; a
(2)若 A = ,且 ABC 的面积为 1 ,求 ABC 的周长.
指标质量
[0,10)
[10,20)
[20, 30)
[30,40)
[40,50]
频数
10
20
30
25
15
(1)求所抽取的 100 包口罩质量指标值的样本平均数 x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合
题目要求的.
1.已知复数 z 满足 z = i ,则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 z−i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
2.设U = R , A = x | 2x 1 , B = x | log2 x 0 ,则 B ( U A) =
= 1,a2
2019-2020学年安徽省高中教科研联盟高二(下)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年安徽省高中教科研联盟高二(下)期末数学试卷(理科)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分) 1.复数2i1+i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合U ={0,1,2,3},集合A ={1,2},B ={2,3},则(∁U A)∪B =( )A. {3}B. {0,1,2}C. {0,2,3}D. {1,2,3}3.若a >0,b >0,且a ≠1,则log a b >0是(a −1)(b −1)>0的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的â估计值为0.2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为( ) A. y =1.2x −0.2 B. y =1.2x +0.2 C. y =0.2x +1.2 D. y =0.2x −0.25.无穷等比数列9、−3、1,−13、……,各项的和为( )A. −274B. 274C. 27D. −196.有如下命题:①函数y =sinx 与y =x 的图象恰有三个交点;②函数y =sinx 与y =√x 的图象恰有一个交点;③函数y =sinx 与y =x 2的图象恰有两个交点;④函数y =sinx 与y =x 3的图象恰有三个交点,其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.函数f (x)=a x−1+2的图象恒过定点( )A. (3,1)B. (0,2)C. (1,3)D. (0,1)8.已知空间中非零向量a ⃗ ,b ⃗ 不共线,并且模相等,则a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 之间的关系是( ) A. 垂直B. 共线C. 不垂直D. 以上都有可能9.已知圆M :(x +√7)2+y 2=64,定点N(√7,0),点P 为圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在线段MP 上,且满足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点G 的轨迹方程是( ) A. x 216+y 29=1B. x 264+y 257=1C. x 216−y 29=1D. x 264−y 257=110. 满足条件|z −1|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为2,且离心率为√3,则该双曲线的实轴的长为()A. √2B. √3C. 2√2D. 2√312.函数=()cosx的最小正周期为()A. 2πB.C. πD.二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名,执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作,每个场地由两名来自不同年级的裁判组成,则不同的安排方案共有______种.14.在数列{a n}中,若存在非零整数T,使得a m+T=a m对于任意的正整数m均成立,那么称数列{a n}为周期数列,其中T叫做数列{a n}的周期,若数列x n满足x n+1=|x n−x n−1|(n≥2,n∈N),如x1=1,λ2=a(a∈R,a≠0),当数列x n的周期最小时,该数列的前2015项的和是______.15.在边长2的正方形AP1P2P3中点B,C边2,P2P3的,沿AB,BC,A翻成一三棱锥P−ABC,使P1、P2、P3重合于点P三锥P−B的外接球表面积为______ .16.a=c+1,a>b>c,则M=1a−b +2b−c的取值范围是______ .三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知数列{a n}前项n和s n=n2+4n(n∈N∗),数列{b n}为等比数列,首项b1=2,公比为q(q>0),且满足b2,b3+4q,b4成等差数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=3(a n−3)b n4=n⋅3n,记数列{c n}的前n项和为T n,求T n.18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知√3sinB−2cos2A+C2=0.(1)求角B的大小;(2)若b=√3,求△ABC的面积的最大值.19.如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)平面AEF⊥平面PBC;(3)PC⊥EF.20.为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系,随机抽取了30名员工,并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70.202121253233363742434445455858596166747576777778788283858690(Ⅰ)是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系?若有请说明理由,若没有,说明理由并分析原因:(Ⅱ)以样本中的频率作为概率,从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人,这3人中月收入4000元以上的人数为X,求X的分布列与期望;(Ⅲ)经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系,并得到y关于x的回归直线方程:ŷ=0.245x+0.321.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入(该家庭只有两人收入),估计该家庭的年饮食支出费用.,n=a+b+c+d.附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是2√3.(1)求椭圆C的方程;(2)设A是椭圆C的右顶点,点B在x轴上.若椭圆C上存在点P,使得∠APB=90°,求点B横坐标的取值范围.22.(本题共12分,第(Ⅰ)问4分,第(Ⅱ)问8分)已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.【答案与解析】1.答案:A解析:解:2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+2i,对应点的坐标为(1,2),位于第一象限,故选:A.结合复数的几何意义,先进行化简即可.本题主要考查复数的几何意义,结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.2.答案:C解析:解:∵U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},∴∁U A={0,3},∴(∁U A)∪B={0,2,3}.故选:C.利用集合的基本运算求集合即可.本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交,并,补运算.3.答案:C解析:解:因为a>0,b>0,a≠1,则若log a b>0成立,当a>1时,有b>1;当0<a<1,有0<b<1,则“(a−1)(b−1)>0”成立;若“(a−1)(b−1)<0”,有a>1且b>1或0<a<1且0<b<1则“log a b>0”故“log a b>0”是“(a−1)(b−1)>0”的充要条件故选:C.先判断p⇒q与q⇒p的真假,再根据充要条件的定义给出结论;也可判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.然后判断“log a b> 0”⇒“(a−1)(b−1)>0”与“(a−1)(b−1)>0”⇒“log a b>0”的真假即可得到答案.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.4.答案:B解析:本题考查了回归直线方程的求法,在回归分析中,回归直线经过样本中心点,属于基础题. 根据回归直线经过样本中心点,代入样本中心点的坐标求得回归系数b ̂值,可得回归直线方程. 解:∵回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的a ̂估计值为0.2,样本点的中心为(4,5), ∴5=4b ̂+0.2, ∴b̂=1.2, ∴回归直线方程为y =1.2x +0.2. 故选:B .5.答案:B解析:解:等比数列9、−3、1,−13、……,可得公比为−13, 前n 项和为:9(1−(−13)n )1+13.无穷等比数列9、−3、1,−13、……,各项的和为:n →∞lim9(1−(−13)n )1+13=91+13=274.故选:B .求出等比数列的前n 项和,然后求解极限即可.本题考查数列求和以及数列的极限的运算.是基本知识的考查.6.答案:C解析:解:①设f(x)=sinx −x ,则f′(x)=cosx −1≤0,即函数f(x)为减函数, ∵f(0)=0,函数f(x)是奇函数,∴函数f(x)只有一个零点,即函数y =sinx 与y =x 的图象恰有一个交点,故①错误, ②由①知当x >0时,sinx <x , 当0<x ≤1时,√x >x >sinx , 当x >1时,√x >sinx , 当x =0时,sinx =√x ,综上当x >0时,√x >sinx 恒成立,函数y =sinx 与y =√x 的图象恰有一个交点,故②正确,③作出函数y =sinx 与y =x 2,的图象,由图象知两个函数有2个交点,即函数y =sinx 与y =x 2的图象恰有两个交点,故③正确,④作出函数y=sinx与y=x3,的图象,由图象知两个函数有3个交点,即函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点,故④正确,故正确的是②③④,故选:C.①构造函数f(x)=sinx−x,求出函数的导数,研究函数的导数和单调性,进行判断即可②利用√x与x的关系进行转化判断③直接作出两个函数的图象即可进行判断本题主要考查考查命题的真假判断,涉及函数零点个数,利用数形结合或构造函数,利用导数是解决本题的关键.7.答案:C解析:本题主要考查指数函数的特殊点,属于基础题.根据指数函数的特殊点,令x−1=0,求得x=1,y=3,可得函数f(x)=a x−1+2的图象恒过定点(1,3).解:根据函数y=a x的图象经过定点(0,1),令x−1=0,求得x=1,y=3,可得函数f(x)=a x−1+2的图象恒过定点(1,3),故选C.8.答案:A解析:解:空间中非零向量a⃗,b⃗ 不共线,并且模相等,∴(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−|b⃗ |2=0,∴a ⃗ +b ⃗ ⊥a ⃗ −b ⃗ , 故选:A .根据向量的数量积得到(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=|a ⃗ |2−|b ⃗ |2=0,问题得以解决. 本题主要考查两个向量垂直的条件,两个向量的数量积的运算,属于中档题.9.答案:A解析:解:∵圆M :(x +√7)2+y 2=64,定点N(√7,0),点P 为圆M 上的动点, ∴M(−√7,0),PM =8,∵点Q 在NP 上,点G 在线段MP 上,且满足NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ,∴GQ 为PN 的中垂线, ∴|PG|=|GN|,∴|GN|+|GM|=|MP|=8,故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆,其长半轴长a =4,半焦距c =√7, ∴短半轴长b =√16−7=3, ∴点G 的轨迹方程是x 216+y 29=1.故选:A .由已知得Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ,|GN|+|GM|=|MP|=8,从而得到G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆,其长半轴长a =4,半焦距c =√7,由此能求出点G 的轨迹方程.本题考查点的轨迹方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆定义和性质的合理运用.10.答案:B解析:解:设z =x +yi ,由|z −1|=|3+4i|,可得|(x −1)+yi|=|3+4i|,即√(x −1)2+y 2=√32+42, 两边同平方可得(x −1)2+y 2=25,所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是以(1,0)为圆心,5为半径的圆. 故选:B .设z =x +yi ,由复数模的计算方法表示出已知的等式,化简即可得到点的轨迹方程,从而确定点的轨迹.本题考查了动点轨迹的问题,主要考查了复数模的运算、圆的标准方程的理解和应用,求解动点轨迹的常见方法有:直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等,属于中档题.11.答案:C解析:解:根据题意,双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为2,则b=2,=√3,即c=√3a,又由双曲线的离心率√3,即e=ca则有b=√c2−a2=√2a,解可得a=√2,则双曲线的实轴2a=2√2;故选:C.根据题意,由双曲线的几何性质分析可得b的值,又由双曲线的离心率分析可得c=2a,联立两式分析可得a的值,由双曲线的长轴长2a计算可得答案.本题考查双曲线的几何性质,注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是b的值.12.答案:A解析:=()cosx==2sin(),∴T=2π,选A.13.答案:48解析:解:根据题意,分2步进行分析:①,将6个裁判分为3组,由于将每个场地由两名来自不同年级的裁判组成,只能分为高一、高二;高一、高三;高二、高三的三组,则有A22A22A22=8种分组方法;②,将分好的三组安排到三个比赛场地,有A33=6种排法,则不同的安排方案总数有8×6=48种;故答案为:48.根据题意,分2步进行分析:①,先将6个裁判分为3组,②,将分好的三组安排到三个比赛场地,由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.14.答案:1344解析:解:①若其最小周期为1,则该数列是常数列,即每一项都等于1,此时a=1,而该数列的项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,即此时该数列是以3为周期的数列,矛盾,舍去.②若其最小周期为2,则有a3=a1,即|a−1|=1,a−1=1或−1,a=2或a=0,又a≠0,故a=2,此时该数列的项依次为1,2,1,1,0,…,由此可见,此时它并不是以2为周期的数列,舍去.综上所述,当数列{x n}的周期最小时,其最小周期是3.(i)a≥1时,a1=1,a2=a,a3=|a−1|=a−1,a4=|a−1−a|=1,a5=|1−(a−1)|=|2−a|,…,∴|2−a|=a,解得a=1.此时该数列的前2015项和是671×(1+a+a−1)+(1+a)=1343a+1=1344.(ii)a<1,a≠0时,a1=1,a2=a,a3=|a−1|=1−a,a4=|1−a−a|=1,解得a=0或1,舍去.故答案为:1344.①若其最小周期为1,则该数列是常数列,即每一项都等于1,此时a=1,而该数列的项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,即此时该数列是以3为周期的数列,矛盾,舍去.②若其最小周期为2,同理得出矛盾,舍去.综上所述,当数列{x n}的周期最小时,其最小周期是3,即可得出.本题考查了数列的周期性、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.15.答案:6π解析:解:根据题意得三棱锥P−ABCAP=2,BP=C1)=6π=4πR24π×(√62∴棱锥P−BC的外接球的2R=√AP2+BP2+CP2=√6∵PAPBPC两两互相垂,可得三棱锥PAB的接球的半径为=√62故答案为:6.根题意,得成的三棱PBC三条棱PPB、PC两两互相垂直,可三棱锥ABC的外接径等以PA、PB、PC为长、宽的长方的对角线长,此结合AP=2、BP=CP1算出外接球的半径R=√6,合表面积公2式即算三棱锥P−BC的外接球的表面积.本将正方形折叠三棱锥,棱锥的接球的表.着重考查了长方的角线、三棱锥的外接球和球的表积公式等知识,属于中档题.16.答案:[3+2√2,+∞)解析:解:∵a=c+1,a>b>c,∴a−b=c+1−b>0,∴1>b−c>0.令b−c=x,x∈(0,1).。
2019年高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案

2019年高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.本试卷分为试题卷(1~4页)和答题卡两部分。
试题卷上不答题,请将第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置;选择题答题用机读卡的,请将第I卷选择题的答案填涂在机读卡上。
考试结束,只交答题卡;选择题答题用机读卡的,同时须交机读卡。
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,每题5分,共计60分)1.复数z1=3+i,z2=1-i,则复数的虚部为()A.2 B.-2i C.-2 D.2i2.数列2,5,11,20,X,47,…中X是()A.28 B.32 C.33 D.273.已知为的极大值点,则=()A.-4 B.-2 C.4 D.24.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1 =(a≠1,n∈N)”时,在验证n=1成立时,左边应该是()A.1 B.1+a C.1+a+a2D.5.已知ξ~B(4,),且Y=2X+3,则方差D(Y)= ().A.B.C.D.6.已知平行六面体中,,,则的长为()A.B.C.10 D.7.今天是星期日,再过2天是()A.星期一B.星期二C.星期五D.星期六8.若函数在其定义域内的一个子区间内不是..单调函数,则实数k 的取值范围是()A.B.C.D.9.某电视台连续播放6个广告,分别是三个不同的商业广告和三个不同的公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且任意两个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有()A.36种B.108种C.144种D.720种10.在正三棱柱中,若,,则点A到平面距离为()A.B.C.D.11.从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张,在其中1张是假钞的条件下,2张都是假钞的概率是()A.B.C.D.12.已知函数的定义域为,与部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示.给出下列说法:0 5 63 3①函数在上是增函数;②曲线在处的切线可能与轴垂直;③如果当时,的最小值是,那么的最大值为5;④,都有恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡上相应位置) 13.求值= .14.在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布N(100,),(>0),若在(80,120)内的概率为0.6,则落在(0,80)内 的 概率为 .15.已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1ln 1x 1x 41(x xx f ),则方程恰有2个不同的实根,实数取值范围 . 16.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f (x )的图象恰好通过n (n∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数、有下列函数:①f(x )=sin 2x ;②g (x )=x 3;③h (x )=();④φ(x )=lnx ,其中是一阶整点函数的是 . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分) 17.(本题10分)二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍. 求:(1)n ; (2)展开式中的所有的有理项。
安徽省合肥市六校联盟2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(解析版)

数学(理科)试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)1.直线l 的方程为222y x +=-,则( ) A. 直线l 过点(2,2)-,斜率为12B. 直线l 过点(1,2)-,斜率为12C. 直线l 过点(1,2)-,斜率为2D. 直线l 过点(2,2)-,斜率为2【答案】C 【解析】 【分析】利用点斜式的方程判定即可.【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选:C【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2.双曲线22145x y -=的离心率是( )A.B.32C. 2D.94【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得a 和c ,从而求得离心率ce a=的值.【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =,b =∴3c =,∴32c e a ==. 故选:B.【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.3.已知定点()3,0B ,点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,则线段AB 的中点M 的轨迹方程是( )A. 22(1)1x y ++= B. 22(2)4x y -+= C. 22(1)1x y -+= D. 22(2)4x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设(),M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(),M x y ,则(),A A A x y 满足()3,,22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩ .故()23,2A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故()()2222(231)2411x y x y -++=⇒-+=.故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型. 4.双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A. 940x y -= B. 490x y -=C. 320x y +=D. 230x y -=【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式,即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线2294360x y -+=,得22149x y -=,所以渐近线的方程为22049x y -=,即320x y ±=.故选:C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( )A. 8+B. 8+C. 4+D. 6+【答案】A 【解析】 【分析】易得该几何体为三棱柱.分别求解侧面与底面面积即可.【详解】易得该几何体为三棱柱,的等腰直角三角形,高为3.故侧面积为23236⨯⨯=+底面总面积为21222⨯⨯=故表面积为8+. 故选:A【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题.属于基础题型. 6.“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合直线垂直的条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直,则()()22110m m ---=,即2210m m --=,解得1m =或12m =-, 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选:A .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及直线垂直的条件应用,属于基础题.7.已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:43360C x y x y ++--=,则圆1C 和圆2C 的位置关系为( ) A. 相切 B. 内含 C. 外离 D. 相交【答案】B 【解析】 【分析】将两圆的方程化为标准方程,求出两圆的圆心与半径,求出圆心距,再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系,即可得到结论.【详解】圆221:2310C x y x y ++++=,即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,132r =, 圆222:43360C x y x y ++--=,即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2132r =, ∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=,21133522r r -=-=, ∴11225r C r C =<-=,故两圆内含. 故选:B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程,两圆的位置关系的判定方法,属于基础题.8.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O 与圆锥的底面和侧面均相切,设球O 的体积为1V ,圆锥的体积为2V ,则12V V =( )A.18B.38C.14D.827【答案】B 【解析】 【分析】根据纵截面图求解内切球半径,再分别求得1V 与2V 即可.【详解】由题知,过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面,易得圆锥高为4=.故纵截面面积164122S =⨯⨯=.故内切球半径()131255622r r =⨯++⇒=.故314932V r ππ=⨯=.22134123V ππ=⨯⨯=.故129132128V V ππ=⨯=.故选:B【点睛】本题主要考查了圆锥与内切球的体积运算,需要根据题意作出纵截面进行高的求解.属于基础题型. 9.下列命题是真命题的是( ) A. “若a b >,则22a b >”的逆命题 B. “若αβ=,则sin sin αβ=”的否定 C. “若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”的否命题D. “若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的定义,写出已知中命题的四种命题或否定命题,再逐一判断真假即可得到答案.【详解】对于A :“若a b >,则22a b >”的逆命题为:“若22a b >,则a b >”为假命题,故A 错误; 对于B :“若αβ=,则sin sin αβ=”的否定为:“若αβ=,则sin sin αβ≠”为假命题,故B 错误; 对于C :“若,a b 都是偶数,则+a b 是偶数”否命题为:“若,a b 不都是偶数,则+a b 不是偶数”为假命题,故C 错误;对于D :“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数,则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为:“若()()f x g x +是R 上的奇函数,则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题,故D 正确.故选:D .【点睛】本题考查的知识点是四种命题,命题的否定,熟练掌握四种命题的定义是解答的关键,属于基础题.10.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ,直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ,与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =,则抛物线的准线方程为( ) A. 2y =- B. 1y =-C. 2x =-D. 1x =-【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为2p x ny =+,由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭,得1n =-,再联立直线与抛物线方程,利用韦达定理列式即可得抛物线的方程,进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2p x ny =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则12AB x x p =++, ∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则022p pn =⋅+,得1n =-, ∴直线l 的方程为2p x y =-+, 的联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,消去y 得22304p x px -+=,∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==,即2p =, 故抛物线方程为24y x =,所以准线方程为1x =-. 故选:D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的弦长公式,属于基础题.11.如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,,E F 分别在棱,AC AD 上,且BE AC ⊥于E , BF AD ⊥于F ,则下列说法正确的有( )①ACD ∠是直角②BEF ∠是异面直线BE 与CD 所成角 ③CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角 ④BFE ∠是二面角B AD C --的平面角 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项判断即可.【详解】对①,因为AB ⊥平面BCD ,故AB ⊥CD ,又BC CD ⊥,故CD ⊥平面ABC .所以ACD ∠是直角.故①正确.对②,因为CD 与EF 不平行.故②错误.对③,因为AB ⊥平面BCD ,故平面ABD ⊥平面BCD ,故C 在平面BCD 上投影在BD 上.故CDB ∠是直线CD 与平面ABD 所成角.故③正确.对④,由①CD ⊥平面ABC ,故CD ⊥BE ,又BE AC ⊥,故BE ⊥平面ACD .故BE AD ⊥. 又AD BF ⊥.故BFE ∠是二面角B AD C --的平面角.故④正确. 故选:C【点睛】本题主要考查了空间中垂直的证明与性质,同时也考查了线线线面角的求解与证明.属于中等题型.12.已知正方形ABCD 的边长为4,,E F 分别为边,AB BC 上的点,且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起,使点A 和C 重合于点P ,则三棱锥P EFD -的外接球表面积为( ) A. 26πB. 13πC.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】用球的内接长方体的性质,得出半径,求解外接球表面积. 【详解】如图所示:在三棱锥P EFD -中,4DP =,3PE =,1PF =,EF ,因222PE PF EF +=,则PE PF ⊥, 由题意知,PE PD ⊥,PF PD ⊥, 所以,,PE PD PF 互相垂直,的即三棱锥P EFD -的外接球的半径为R ==所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为2244262S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体的性质,运算求解外接球表面积,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈--> 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为特称量词,则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为:“2,10x R x x ∀∈-->”.故答案为:2,10x R x x ∀∈-->.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题. 14.离心率12e =,且过的椭圆的标准方程为__________或________. 【答案】 (1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【解析】 【分析】分焦点在,x y 轴上两种情况进行求解即可.【详解】(1)当焦点在x 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222143x yc c+=.代入可得(22222222111343c c c c c+=⇒+=⇒=.故2212,9a b ==.即椭圆方程221129x y +=.(2) 当焦点在y 轴上时,因为离心率12e =,此时2,a c b ==.设椭圆方程2222134x yc c+=.代入可得(2222222834111343412c c c c c +=⇒+=⇒=. 故224141,34a b ==.即椭圆方程221414134y x +=. 故答案为:(1). 221129x y += (2). 221414134y x += 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法,注意焦点在,x y 轴上两种情况即可.属于基础题型.15.已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -,若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+,则点M 的轨迹方程为__________.【答案】221(1)3x y y -=≤-【解析】 【分析】根据||||||||MA AC MB BC +=+中||,||AC BC 为定值,故先化简,再分析M 满足的距离关系即可. 【详解】设(),M x y ,因为||||||||MA AC MB BC +=+,故||3||MA MB +=即||||2MA MB -=.故(),M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2)A B -为焦点,22a =的双曲线的下支.此时1,2a c ==.故2223b c a =-=.故221(1)3x y y -=≤-.故答案为:221(1)3x y y -=≤-【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意||||2MA MB -=为双曲线的下支,属于基础题型. 16.已知(3,0)A -,(3,0)B ,点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动,则22PA PB +的最小值是________.【答案】36 【解析】 【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++,利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +,进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),设()32cos ,42sin P θθ++,则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++,()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+,∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++,其中3tan 4ϕ=, 当()sin 1θϕ+=-时, 22PA PB +有最小值为36.故答案为:36.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式,圆的参数方程的应用,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分。
2018-2019学年安徽省高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)

进入立定跳远决赛的学生是1,3,4,6,7,8,9,10号的8个学生,由同时进入两项决赛的有6人可知,1,3,4,6,7,8,9,10号有6个学生进入30秒跳绳决赛,在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中,3,6,7号学生的成绩依次排名为1,2,3名,1号和10号成绩相同,若1号和10号不进入30秒跳绳决赛,则4号肯定也不进入,这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人,矛盾,所以1,3,6,7,10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.
【点睛】
本题考查平面几何与立体几何对应类比,考查基本分析判断能力,属基础题.
4.在一次调查中,根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图,则()
A.两个分类变量关系较强
B.两个分类变量关系较弱
C.两个分类变量无关系^
D.两个分类变量关系难以判断
【答案】A
【解析】分析:利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
,
为图像上 为 和 对应两点连线的斜率,(如图)
由图可知,
故选:B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义以及斜率公式,比较斜率大小,属于较易题.
8.已知 ,则 ()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据二项分布求对应概率
【详解】
,所以选C.
【点睛】
本题考查二项分布,考查基本分析求解能力,属基础题.
9.若 ,且m,n, ,则 ()
【答案】
【解析】根据题意先确定每行最后一个数,再求结果
【详解】
依排列规律得,数表中第 行最后一个数为
第 行左起第3个数为 .
【点睛】
本题考查归纳推理,考查基本分析求解能力,属基础题.
16.若存在一个实数 ,使得 成立,则称 为函数 的一个不动点,设函数 ( 为自然对数的底数),定义在 上的连续函数 满足 ,且当 时, ,若存在 ,且 为函数 一个不动点,则实数 的最小值为________。
2019-2020学年安徽省名校高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽名校第二学期期末联考高二理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足210z +=,则3z 等于( )A .1B .1±C .iD .i ±2.已知集合{}2,A x x x =<∈Z ,{}220B x x x =--<,则A B ⋂=( )A .{}0,1B .()0,1C .{}1,0,1-D .()1,2-3.世界著名的数学杂志(美国数学月刊于1989年管刊登过一个红极-时的棋盘问题题中的正六边形棋盘,用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满(如下图),若在棋盘内随机取点,则此点取自黑色区域的概率为( )A .16B .14C .13D .5164.设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.则//αβ的一个充分条件是( ) A .存在一条直线a ,//a α,//a β B .存在一条直线a ,a α⊂,//a βC .存在两条平行直线a ,b ,a α⊂,b β⊂,//a β,//b αD .存在两条异面直线a ,b ,a α⊂,b β⊂,//a β,//b α5.已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的两条渐近线互相垂直,则离心率e =( )A 2B 3C .2D 56.20世纪产生了著名的“31x +”猜想:任给一个正整数x ,如果x 是偶数,就将它减半;如果x 是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图,若输入正整数m 的值为20,则输出的n 的值是( )A .8B .9C .10D .117.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,523S =,360n S =,5183n S -=,则n =( )A .16B .17C .18D .198.已知52log 3a =,51log 22b =,7log 3c =,则( )A .a c b >>B .a b c >>C .c a b >>D .c b a >>9.函数sin y x x =-在[]2,2ππ-上的大致图象是( )A .B .C .D .10.已知A ,B ,C 是球心为O 的球面上三点,060A B ∠=︒,120AOC ∠=︒,若三棱锥O ABC -体积的最大值为1,则球O 的表面积为( )A .12πB .16πC .24πD .36π11.若函数()()sin xf x ex a =+在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .)+∞B .()+∞C .()1,+∞D .[)1,+∞12.已知ABC △中,9AB =.点O 为其外接圆的圆心且12AO CB ⋅=.则当B ∠取最大值时,ABC △的面积为( )A .BC .D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若角α的终边经过点(),6P m -,且4cos 5α=,则tan α=________. 14.()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________.15.直线l 经过抛物线C :212y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,弦AB 的长为16,则直线l 的倾斜角等于________. 16.若函数()3213x x f x =-在区间(),4a a +内存在最大值,则实数a 的取值范围是________. 三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且()sin sin sin b B c b C a A +-=. (1)求A 的大小;(2)若ABC △的面积等于5b =,求sin sin B C 的值. 18.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N .且满足21n n a S n +=+. (1)证明{}2n a -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)若()2n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.(12分)等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足1AD CE ==(如图1).将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1A C (如图2). (1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.20.(12分)已知椭圆C :(222133x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A ,设离心率为e ,且满足113eOF OA AF+=,其中O 为坐标原点 (1)求椭圆C 的方程:(2)过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求OMN △面积的最大值. 21.(12分)某省从2021年开始将全面推行新高考制度新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始,高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级,确定各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%,2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100分具体转换分数区间如下表:等级 ABCDE比例 15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100 []71,85 []56,70 []41,55 []30,40而等比例转换法是通过公式计算:2211Y Y T TY Y T T --=--.其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分,1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分,Y 表示原始分,T 表示转换分,当原始分为1Y 、2Y 时,等级分分别为1T 、2T ,假设李明的生物考试成绩信息如下表:考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 生物75分B 等级[]69,84 []71,85设李明转换后的等级成绩为T ,根据公式得:847585756971TT --=--,所以76.677T =≈(四舍五人取整),李明最终生物成绩为77分.已知某年级学生有100人选了生物,以学期考试成绩为原始成绩转换本年级的生物等级成绩,其中生物成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表:(1)从生物成绩获得A 等级的学生中任取2名,求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率; (2)从生物成绩获得A 等级的学生中任取5名,设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ.求ξ的分布列和期望.22.(12分)已知函数()()2xf x e axa =-∈R 在()0,+∞上有2个零点1x ,()212x x x <.(1)求实数a 的取值范围; (2)证明:124x x +>.2020年高二期末联考理数参考答案1.【解析】z i =±,所以()33z i i =±=±.2.【解析】集合{}1,0,1A =-,()1,2B =-,所以{}0,1A B ⋂=. 3.【解析】一共48个菱形,黑白灰各16个. 4.【解析】选项ABC 都是必要非充分条件.5.【解析】由题设1b ba a-⨯=-,所以a b =,e = 6.【解析】按程序框图,m 的值依次为20,10,5,16,8,4.2,1,输出n 的值是9. 7.【解析】()()()()1545523360183200n n n n a a a a S S S --+++=+-=+-=,所以140n a a +=,1220360nn S n n a a +=⨯==,因此18n =. 8.【解析】化简得5log 3a =,5log 2b =,7log 3c =,且52log 41b =<,72log 91c =>,所以a c b >>.9.【解析】函数非奇非偶,()0,2x π∈时,1cos 0y x '=->单调递增,x π=附近导数不为0. 10.【解析】设球O 半径为R ,当平面AOB ⊥平面AOC 时,三棱锥O ABC -体积的最大.注意AOB △是正三角形,AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形,所以23111sin120123228V R R R R ⎛⎫=︒⨯==⇒= ⎪⎝⎭,所以16S π=.11.【解析】由题意得:()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭() f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,()0f x ∴'≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立,又0xe >,04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立, 当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭, 10a ∴-+≥,解得:[)1,a ∈+∞,选D .12.【解析】因为O 为ABC △外接圆的圆心,所以()22111222AO CB AO CA AB AO CA AO AB CA CB ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+=,所以2812457CA =-=,22228157cos 229BC AB AC BC B BC AC BC +-+-==⋅⨯12411818BC BC ⎛⎫=⨯+≥⨯= ⎪⎝⎭ 所以当且仅当224BC=时cos B 最小,此时角B 最大,且此时222AB CA BC =+,ABC △是以角C 为直角的直角三角形,所以1122ABC S AC BC =⋅===△, 故选C .13.【答案】34【解析】角α的终边一定在第一象限,所以3sin 5α=,3tan 4α= 14.【答案】132-【解析】当第一个因式取1时,第二个因式应取含5x 的项,则对应系数为:()55612112C ⨯⨯⨯-=-;当第一个因式取2x -时,第二个因式应取含4x 的项,则对应系数为:()()42622120C -⨯⨯=-;故()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为12120132--=-.15.【答案】3π或23π【解析】由己知6p =,6cos AF AF θ=+所以61cos AF θ=-,同理61cos BF θ=+.所以211126161cos 1cos sin AB θθθ⎛⎫=-==⎪+-⎝⎭,得sin θ=3πθ=或23π. 16.【答案】(]4,1--【解析】令()220f x x x '=-=,得10x =,22x =,在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =,又()()300f f ==,所以0443a a a <<++≤⎧⎨⎩,得实数a 的取值范围是(]4,1--.17.【解析】(1)()sin sin sin b B c b C a A +-=,由sin sin sin a b cA B C==得222b c bc a +-=, 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==, 0A π<<,3A π∴=.(2)1sin 24S bc A bc === 所以20bc =,又5b =故4c =于是2222cos 21a b c bc A =+-=,2sin sin 3a R A === 所以()25sin sin 72bcB C R ==. 18.【解析】(1)∵21n n a S n +=+,令1n =,得123a =,132a =. ∵21n n a S n +=+,()11211n n a S n ++∴+=-+,(2n ≥,n *∈N ) 两式相减,得122n n a a --=,整理1112n n a a -=+, 所以()11222n n a a --=-,()2n ≥ ∴数列{}2n a -是首项为1122a -=-,公比为12的等比数列.∴122nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,∴122n n a =-.(2)()22n n n n b n a =-=,所以231232222n nnT =++++, 两边乘以12得2341112322222n n nT +=++++,将两式相减得23111111111211222222222n n n n n n n n n T ++++=++++-=--=-, 所以222n n nT +=-,即数列{}n b 的前n 项和n T 等于222n n+-.19.【解析】证明:(1)因为1AD =,312AE =-=,60A ∠=︒.由余弦定理得DE = 因为222AD DE AE +=,所以AB DE ⊥.折叠后有1A D DE ⊥. 因为二面角1A DE B --是直二面角, 所以平面1A DE ⊥平面BCED .又平面1A DE ⋂平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥, 所以1A D ⊥平面BCED . (2)假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P . 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D PH ⊥.又1A D BD D ⋂=,所以PH ⊥平面1A BD . 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角.设()03PB x x =≤≤,则2xBH =,2PH x =. 在1Rt PA H △中,160P AH =∠︒, 所以112A H x =. 在1Rt A DH △中,11A D =,122DH x =-. 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒, 此时52PB =.20.【解析】(1)设椭圆的焦半距为c ,则OF c =,OA a =,AF a c =-.所以113e c a a c +=-,其中ce a=, 又2223b a c ==-,联立解得2a =,1c =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=. (2)由题意直线不能与x 轴垂直,否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时,设其斜率为k ,那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程,消去y , 得()2243880k x kx ++-=.()()2283243k k ∆=++,显然大于0.设点()11,M x y ,()22,N x y . 则122843k x x k +=-+,122843x x k =-+. 所以22212462111k k MN k x ++=+-=,又O 到l 的距离21d k=+所以OMN △的面积()2222212621212624343k k S d MN k k++===++令2433t k =+≥,那么221112623233t S t t t -==-+≤,当且仅当3t =时取等. 所以OMN △面积的最大值是26. 21.【解析】(1)设生物成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ,等级成绩为y ,由转换公式得:951008586x yx y --=--, 即:()148514330861010x x y --=+=,143309692.110x x -∴≥⇒≥.根据成绩统计表显示满足92.1x ≥的同学只有3人,获得A 等级的考生有15人故恰好有1名同学的等级成绩不小于96的概率为113122151235C C P C ==. (2)由题意等级成绩不小于96分人数为3人,获得A 等级的考生有15人,则()0531251524091C C P C ξ===, ()1431251545191C C P C ξ===,()2331251520291C C P C ξ===, ()323125152391C C P C ξ===,∴分布列为ξ0 1 2 3P2491 4591 2091291则期望为:2231919191E ξ=+⋅+⋅=. 22.【解析】(1)()20xf x e ax =-=,等价于2xe a x=,设()2xe g x x=,则()()32x e x g x x -'=, 令()0g x '=得2x =,在()0,2上()0g x '<,()g x 单调递减; 在()2,+∞上()0g x '>,()g x 单调递增.2x =时()g x 取极小值也是最小值()224e g =.而且0x →时()g x →+∞,x →+∞时()g x →+∞,所以实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)解法1:由(1)知()f x 有2个零点时,一定有1202x x <<<,且122212x x e e a x x ==,两边取对数得11222ln 2ln x x x x -=-, 所以12122ln ln x x x x -=-.要证明的不等式等价于()12121212022ln ln x x x x x x x x +-><<<-. 等价于121212ln ln 2x x x x x x --<⨯+,等价于证明1121221ln 21x x x x x x -<⨯+,令()120,1x t x =∈,等价于证明()21ln 01t t t--<+,()01t <<, 设函数()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+, 则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++,故函数()f t 在()0,1上是增函数,所以()()10h t h <=,即()21ln 01t t t--<+成立,所以原不等式成立. 解法2:由(1)知()f x 有2个零点时,一定有1202x x <<<,且122212x x e e a x x ==,可得21221x xx e x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,令211x t x =>,则212x x t e-=即212ln x x t -=,所以()112ln 12ln 1t t x t x t -=⇒=-,22ln 1t tx t =-, 122ln 2ln 11t t t x x t t +=+--, 要证明124x x +>,即证明2ln 2ln 411t t tt t +>--等价于ln ln 22t t t t +>-, 令()ln ln 22h t t t t t -=++,则()1ln 1h t t t'=+-,令()1ln 1s t t t =+-,则()()2211101t s t t t t t-'=-=>>,所以()s t 在()1,+∞单调递增,()()10s t s >=, 即()0h t '>,所以()h t 在()1,+∞单调递增. 所以()()10h t h >=,即ln ln 22t t t t +>-, 因此124x x +>得证.。
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安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考数学(理科)2019.6注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1.复数121iz i+=-的共轭复数z 在复平面上对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.在平面直角坐标系中,角αα的终边与单位圆交于点1,2P ⎛ ⎝⎭,则tan2α=( )A .B .CD 3.根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研,其中有4名男性党员,3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性,又有女性,则不同的选法共有( ) A .35种B .30种C .28种D .25种4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,122n n n a a a ++=+,若37513a a a +-=,770S =,则1a =( ) A .1-B .0C .1D .25.如图,已知函数cos ()xf x x=,则它在区间[],ππ-上的图象大致为( ) A . B . C . D .6.中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体:“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图(直角三角形)如图所示,则该“堑堵”的外接球的大圆面积为( )A .27πB .1174π C .48916π D .51916π 7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为12y x =±,则焦点到渐近线的距离为( ) A .1BC .2D.8.在平面四边形ABCD ,(1,3)AC =u u u r ,(9,3)BD =-u u u r,则四边形ABCD 的面积为( )A.2B .272C .15 D.29.若实数,x y 满足约束条件0102210x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≤⎩,且(0,0)z ax by a b =+>>最大值为1,则ab 的最大值为( ) A .18B .14C.4D.210.设,(0,1)a b ∈,:P “a b <”,:q “log log a b a b b a <”,则p 是q 的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件11.已知抛物线2:4C y x =,过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若3AF FB =u u u r u u u r,则AOF △的面积(O 为坐标原点)为( )ABCD.12.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称,()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7),若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α,则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为( )A.10-B.10C.4- D.4- 二、填空题:本题共4小题每小题5分,共20分. 13.()24(2)x x x +-的展开式中,3x 的系数为______.14.已知等比数列{}n a 中,有135a a +=,1534a a a =,数列{}n b 前n 项和为n S ,11b a =且4(1)n n S m b =+-则n b =_______.15.函数1,0()|ln |,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若函数()()g x f x tx =-恰有两个零点,则实数t 的取值范围是______.16.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1CC 的中点,点N 在棱11B C 上,若1A N P 平面1AD M ,则111B NB C =_____. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知14a =,且1238,5,2S S S 成等差数列,2log n n b a =. (1)求数列{}n b 的通项公式;(2)()()112212nnn b n b b c +-=-,求数列{}n c 的前n 和n T . 18.已知向量3sin ,cos cos4m x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u r ,3cos ,cos sin 4n x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭r ,函数()f x m n =⋅u r r ,在ABC △中1()2f B =,4AB =,AC =D 在BC 边上,且1cos 3ADC ∠=. (1)求AD 的长; (2)求ACD △的面积S .19.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下:甲无保底工资送出50件以内(含50件)每件支付3元,超出50件的部分每件支付5元;乙每天保底工资50元,且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图: 若将频率视作概率,回答以下问题:(1)记甲的日工资额为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望;(2)如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择,并说明理由.20.在四棱锥M ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,且BC AB BD ==,MCB MCD ∠=∠. (1)求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值;(2)若2CM =,2CD =,二面角B CM D --的平面角的余弦值为725,求DCM ∠的正弦值.21.已知点O 为坐标原点椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,离心率为12,点,P Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点,POQ △的边PQ 上的中线长为2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点直线PA PB 、分别交直线2x a =于M N 、两点,求FM FN ⋅u u u u r u u u r.22.已知函数2()1f x x nx x mx =+-,2()t x x x m =--. (1)当22m e =+时,求()f x 的极值;(2)若m ∈N 且对任意的2x >,()()f x t x >恒成立,求n 的最大值.安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考·理数参考答案、提示及评分细则一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1.答案:C 解析:12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+,则1322z i =--,选C. 2.答案:D解析,由1,22P ⎛- ⎝⎭得tan α=tan 213α-==-.选D. 3.答案:B解析:33374330C C C --=.选B. 4.答案:C解析:由数列{}n a 为等差数列,74477010S a a ==⇒=,375513a a a a +-==.得11a =.选C. 5.答案:D 解析:由cos ()x f x x =为奇函数,排除A ;0x +→,()f x →+∞排除C ;2sin cos ()x x xf x x+'=-在0x >的右侧附近()0f x '<,()f x ∴单减,排除B.选D. 6.答案:B解析:2222117(2)(63)61174R S R ππ=++=⇒==大圆.选B. 7.答案:A解析:2c =及渐近线方程2204x y -=,得双曲线方程2214x y -=,则不妨求右焦点F 到20x y -=的距离1d ==(即b ),选A. 8.答案:C解析:由11(9)330||||2ABCD AC DB AC DB S AC BD ⋅=⨯-+⨯=⇒⊥⇒=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r四边形12=15=.选C.9.答案:A解析:由图易得,在(1,2)A 处,z取最大值,即1218a b ab +=⇒厔,选A. 10.答案:C解析:由,(0,1)a b ∈,22lg lg log log (lg )(lg )lg lg a b a b b aa b b a a b b a a b<⇔<⇔<. 则22lg lg 0(lg )(lg )a b a b a b <⇒<<⇒>,又b a >得22(lg )(lg )b a a b >,由逆否命题的思想反之也成立.选C. 11.答案:B解析:如图,作111AA A B ⊥,111BB A B ⊥(11A B 为准线),作1BM AA ⊥,易得在Rt ABM △中30ABM ∠=︒,则60AFH ∠=︒.则241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩化简得231030x x -+=.则12101612||2||4333AB x x p AF =++=+=⇒==,在Rt AFH △中,||4AF =,60AFH ∠=︒得||AH =11||||122AOF S OF AH =⋅⋅=⨯⨯=△选B.另由A 也可得.12.答案:B解析:由(1)(1)2(2)(2)42f f a c f f a c +-=+=⎧⎨+-=+=⎩解得02a c =⎧⎨=⎩,则3()2f x x bx =++,2()3,(1)3f x xb f b ''=+=+,则过(1,(1))f 的切线方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-,代入(2,7)解得12b =, 则31()22f x x x =++,则21()32f x x '=+,1(0)tan 2f α'==又1cos tan()sin tan 22παπααα⎛⎫+⋅-=⋅==⎪⎝⎭.选B. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.答案:8-解析:21322244(2)(2)x C x x C x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-满足题意,系数为84468-⨯+⨯=-.14.答案:134n -⎛⎫⎪⎝⎭解析:由等比数列{}n a ,1534a a a =得35a =,又135a a +=得111a b ==,则114(1)S m b =+-得4m =, 则43n n S b =-①,当2n …时,1143n n S b --=-②,①-②得134n n b b -=,134n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,经验证1n =满足.15.答案:1,1{0}e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭解析:如图设()|ln |f x x =与y tx =的切点为()00,ln m m ,则切线方程为()0001ln y m x m m -=-,原点代入,解得00ln 1m m e =⇒=,则1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意,还有0t =也满足题意,即1,1{0}e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.16.答案:12解析:如图易得N 为11B C 中点时满足题意,答案为12.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解析:(1)由题意得2131082S S S =+, 即()()1211231082a a a a a a +=+++, 化简得234a a =,即324a q a ==,所以4n n a =, ()*22log log 42n n n b a n n ===∈N .(2)由(1)可得,()()()()()()211222122411134141212141412121n nn b n n n n n b b n n n n c ++++⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭ 12223111111113414141414141n n n n T c c c +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()1119341n n T +=-- 18.解析:(1)2331()sin cos cos coscos sin sin cos cos 442f x m n x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅++⋅+=⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u r r11cos21sin 2222224x x x π+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭由1()sin 2242f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,得sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,3244B ππ+=,4B π=又由1cos 3ADC ∠=,在ABD △中,因为1cos 3ADB ∠=-,所以sin 3ADB ∠=. 在ABD △中,由正弦定理sin sin AD ABABD ADB=∠∠,得42sin 32sin AB AD ABD ADB ⨯=⋅∠==∠. (2)因为1cos 3ADC ∠=,所以sin 3ADC ∠=,在ACD △中,由余弦定理2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠, 得21179233CD CD =+-⨯⨯, 解得4CD =或2CD =-(舍). 所以ACD △的面积11sin 3422S AD DC ADC =⋅⋅∠=⨯⨯= 19.解析:(1)设甲日送件量为a ,则 当48a =时,483144X =⨯=,当49a =时,493147X =⨯=,当50a =时,503150X =⨯=,当51a =时,5035155X =⨯+=,当52a =时,50352160X =⨯+⨯=,X ∴的所有可能取值为:144,147,150,155,160. X ∴的分布列为13111()144147150155160151.51010555E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元). (2)乙日送件量为:480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙的日均工资额为:5050.221504+⨯=⋅(元), 而甲的日均工资额为:151.5元,150.4元<151.5元, 因此,推荐该公司选择乙的方案.20.解析:(1)由四边形ABCD 是平行四边形,且BC AB CD ==,得四边形ABCD 是菱形,设AC 与BD 的交点为O ,MCB MCD ∠=∠Q ,BC CD =,MC MC =,MCB MCD ∴△≌△,MB MD ∴=.又BO DO =Q ,MO MO =,及MB MD =,MOB MOD ∴△≌△,2BOM DOM π∴∠=∠=,即MO BD ⊥,MO BDAC BD BD AC MO O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面MAC BD MC ⇒⊥ 故异面直线BD 与MC 夹角的余弦值为0. (2)解法1:作DF CM ⊥于点F ,连接BF ,MCB MCD ∠=∠Q ,CB CD =,CF CF =,CDF CBF △≌△, DFC BFC ∴∠=∠,BF DF =,BF CM ∴⊥,BFD ∴∠为二而角B CM D --的一个平而角,设DCM θ∠=,则2sin BF DF θ==,222222(2sin )(2sin )47cos 22(2sin )25BF DF BD BFD BF DF θθθ+-+-∠====⋅, 解得,5sin 6θ=所以DCM ∠的正弦值为56. 解法2:空间直角坐标系酌情给分.21解析:(1)由题意得POQ △为直角三角形,且PQ上的中线长为2,所以||PQ = 设椭圆C 的半焦距为c,则22212c a a b c ⎧=⎪=+=⎪⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩∴椭圆的标准方程为:22143x y +=. (2)由题意,如图设直线l 的方程为:1x my =+,()11,A x y ,()22,B x y ,则()34,M y ,()44,N y , 联立方程221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩化简得()2234690m y my ++-=则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由,,P A M 三点共线易得311004(2)2y y x --=--+,化简得13163y y my =+,同理可得24263y y my =+ ()()()12123434212121266363,3,9993339y y y y FM FN y y y y my my m y y m y y ⋅=⋅=+=+⋅=++++++u u u u r u u u r ()22222229363693499096918934393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯+⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫--++-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.22.解析:(1)当22m e =+时,()ln 12ln 221f x x x m x x e '=++-=+--,易知函数()y f x '=在(0,)+∞上为单调增函数,及(c)lnc 2c 2c 10f '=+--=当0c x <<,()0f x '<,当x c >,()0f x '>,()y f x ∴=在x c =时取最小值,即22()(c)c c (2c c)c c c f x f ==+-+=--极小值,无极大值(2)当2x >时,由22ln x x x mx x x m +->--,即ln (1)0x x m x m +-+>得ln 1x x x m x +<- 令ln ()1x x x g x x +=-,则22ln ()(1)x x g x x --'=- 设()2ln h x x x =--,则11()10x h x x x -'=-=>, ()h x 在(2,)+∞上为增函数,(3)1ln30h =-<Q ,(4)2ln40h =->,0(3,4)x ∴∃∈,且()00h x =,当()02,x x ∈时,()0h x <,()0g x '<,()g x 在()02,x 上单调递减;当()0,x x ∈+∞时,()0h x >,()0g x '>,()g x 在()0,x +∞上单调递增.()000min 00ln ()1x x x g x g x x +∴==-, ()0002ln 0h x x x =--=Q ,0011ln x x ∴-=+,()00g x x =,0(3,4)m x∴<∈,m∴的最大值为3.。