安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考数学理科试卷

安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考数学(理科)2019.6注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.复数121iz i+=-的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.在平面直角坐标系中，角αα的终边与单位圆交于点1,2P ⎛ ⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．B ．CD 3.根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种B ．30种C ．28种D ．25种4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．25.如图，已知函数cos ()xf x x=，则它在区间[],ππ-上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．6.中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（ ）A ．27πB ．1174π C ．48916π D ．51916π 7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为12y x =±，则焦点到渐近线的距离为（ ） A ．1BC ．2D．8.在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =u u u r ，(9,3)BD =-u u u r，则四边形ABCD 的面积为（ ）A．2B ．272C ．15 D．29.若实数,x y 满足约束条件0102210x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+≤⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>最大值为1，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C．4D．210.设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r，则AOF △的面积（O 为坐标原点）为（ ）ABCD．12.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A．10-B．10C．4- D．4- 二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分. 13.()24(2)x x x +-的展开式中，3x 的系数为______.14.已知等比数列{}n a 中，有135a a +=，1534a a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ，11b a =且4(1)n n S m b =+-则n b =_______.15.函数1,0()|ln |,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个零点，则实数t 的取值范围是______.16.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点，点N 在棱11B C 上，若1A N P 平面1AD M ，则111B NB C =_____. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，且1238,5,2S S S 成等差数列，2log n n b a =. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）()()112212nnn b n b b c +-=-，求数列{}n c 的前n 和n T . 18.已知向量3sin ,cos cos4m x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u r ，3cos ,cos sin 4n x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭r ，函数()f x m n =⋅u r r ，在ABC △中1()2f B =，4AB =，AC =D 在BC 边上，且1cos 3ADC ∠=. （1）求AD 的长； （2）求ACD △的面积S .19.某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图： 若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由.20.在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB BD ==，MCB MCD ∠=∠. （1）求异面直线BD 与MC 所成角的余弦值；（2）若2CM =，2CD =，二面角B CM D --的平面角的余弦值为725，求DCM ∠的正弦值.21.已知点O 为坐标原点椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为12，点,P Q 分别是椭圆C 的左顶点、上顶点，POQ △的边PQ 上的中线长为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点直线PA PB 、分别交直线2x a =于M N 、两点，求FM FN ⋅u u u u r u u u r.22.已知函数2()1f x x nx x mx =+-，2()t x x x m =--. （1）当22m e =+时，求()f x 的极值；（2）若m ∈N 且对任意的2x >，()()f x t x >恒成立，求n 的最大值.安徽高中教科研联盟2019年高二期末联考·理数参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.答案：C 解析：12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+，则1322z i =--，选C. 2.答案：D解析，由1,22P ⎛- ⎝⎭得tan α=tan 213α-==-.选D. 3.答案：B解析：33374330C C C --=.选B. 4.答案：C解析：由数列{}n a 为等差数列，74477010S a a ==⇒=，375513a a a a +-==.得11a =.选C. 5.答案：D 解析：由cos ()x f x x =为奇函数，排除A ；0x +→，()f x →+∞排除C ；2sin cos ()x x xf x x+'=-在0x >的右侧附近()0f x '<，()f x ∴单减，排除B.选D. 6.答案：B解析：2222117(2)(63)61174R S R ππ=++=⇒==大圆.选B. 7.答案：A解析：2c =及渐近线方程2204x y -=，得双曲线方程2214x y -=，则不妨求右焦点F 到20x y -=的距离1d ==（即b ），选A. 8.答案：C解析：由11(9)330||||2ABCD AC DB AC DB S AC BD ⋅=⨯-+⨯=⇒⊥⇒=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r四边形12=15=.选C.9.答案：A解析：由图易得，在(1,2)A 处，z取最大值，即1218a b ab +=⇒厔，选A. 10.答案：C解析：由,(0,1)a b ∈，22lg lg log log (lg )(lg )lg lg a b a b b aa b b a a b b a a b<⇔<⇔<. 则22lg lg 0(lg )(lg )a b a b a b <⇒<<⇒>，又b a >得22(lg )(lg )b a a b >，由逆否命题的思想反之也成立.选C. 11.答案：B解析：如图，作111AA A B ⊥，111BB A B ⊥（11A B 为准线），作1BM AA ⊥，易得在Rt ABM △中30ABM ∠=︒，则60AFH ∠=︒.则241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩化简得231030x x -+=.则12101612||2||4333AB x x p AF =++=+=⇒==，在Rt AFH △中，||4AF =，60AFH ∠=︒得||AH =11||||122AOF S OF AH =⋅⋅=⨯⨯=△选B.另由A 也可得.12.答案：B解析：由(1)(1)2(2)(2)42f f a c f f a c +-=+=⎧⎨+-=+=⎩解得02a c =⎧⎨=⎩，则3()2f x x bx =++，2()3,(1)3f x xb f b ''=+=+，则过(1,(1))f 的切线方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，代入(2,7)解得12b =， 则31()22f x x x =++，则21()32f x x '=+，1(0)tan 2f α'==又1cos tan()sin tan 22παπααα⎛⎫+⋅-=⋅==⎪⎝⎭.选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.答案：8-解析：21322244(2)(2)x C x x C x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-满足题意，系数为84468-⨯+⨯=-.14.答案：134n -⎛⎫⎪⎝⎭解析：由等比数列{}n a ，1534a a a =得35a =，又135a a +=得111a b ==，则114(1)S m b =+-得4m =， 则43n n S b =-①，当2n …时，1143n n S b --=-②，①-②得134n n b b -=，134n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，经验证1n =满足.15.答案：1,1{0}e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭解析：如图设()|ln |f x x =与y tx =的切点为()00,ln m m ，则切线方程为()0001ln y m x m m -=-，原点代入，解得00ln 1m m e =⇒=，则1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意，还有0t =也满足题意，即1,1{0}e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.16.答案：12解析：如图易得N 为11B C 中点时满足题意，答案为12.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解析：（1）由题意得2131082S S S =+， 即()()1211231082a a a a a a +=+++， 化简得234a a =，即324a q a ==，所以4n n a =， ()*22log log 42n n n b a n n ===∈N .（2）由（1）可得，()()()()()()211222122411134141212141412121n nn b n n n n n b b n n n n c ++++⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭ 12223111111113414141414141n n n n T c c c +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()1119341n n T +=-- 18.解析：（1）2331()sin cos cos coscos sin sin cos cos 442f x m n x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅++⋅+=⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u r r11cos21sin 2222224x x x π+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭由1()sin 2242f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，3244B ππ+=，4B π=又由1cos 3ADC ∠=，在ABD △中，因为1cos 3ADB ∠=-，所以sin 3ADB ∠=. 在ABD △中，由正弦定理sin sin AD ABABD ADB=∠∠，得42sin 32sin AB AD ABD ADB ⨯=⋅∠==∠. （2）因为1cos 3ADC ∠=，所以sin 3ADC ∠=，在ACD △中，由余弦定理2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯， 解得4CD =或2CD =-（舍）. 所以ACD △的面积11sin 3422S AD DC ADC =⋅⋅∠=⨯⨯= 19.解析：（1）设甲日送件量为a ，则 当48a =时，483144X =⨯=，当49a =时，493147X =⨯=，当50a =时，503150X =⨯=，当51a =时，5035155X =⨯+=，当52a =时，50352160X =⨯+⨯=，X ∴的所有可能取值为：144，147，150，155，160. X ∴的分布列为13111()144147150155160151.51010555E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. （2）乙日送件量为：480.2490.1500.2510.3520.250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙的日均工资额为：5050.221504+⨯=⋅（元）， 而甲的日均工资额为：151.5元，150.4元<151.5元， 因此，推荐该公司选择乙的方案.20.解析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，且BC AB CD ==，得四边形ABCD 是菱形，设AC 与BD 的交点为O ，MCB MCD ∠=∠Q ，BC CD =，MC MC =，MCB MCD ∴△≌△，MB MD ∴=.又BO DO =Q ，MO MO =，及MB MD =，MOB MOD ∴△≌△，2BOM DOM π∴∠=∠=，即MO BD ⊥，MO BDAC BD BD AC MO O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面MAC BD MC ⇒⊥ 故异面直线BD 与MC 夹角的余弦值为0. （2）解法1：作DF CM ⊥于点F ，连接BF ，MCB MCD ∠=∠Q ，CB CD =，CF CF =，CDF CBF △≌△， DFC BFC ∴∠=∠，BF DF =，BF CM ∴⊥，BFD ∴∠为二而角B CM D --的一个平而角，设DCM θ∠=，则2sin BF DF θ==，222222(2sin )(2sin )47cos 22(2sin )25BF DF BD BFD BF DF θθθ+-+-∠====⋅， 解得，5sin 6θ=所以DCM ∠的正弦值为56. 解法2：空间直角坐标系酌情给分.21解析：（1）由题意得POQ △为直角三角形，且PQ上的中线长为2，所以||PQ = 设椭圆C 的半焦距为c，则22212c a a b c ⎧=⎪=+=⎪⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩∴椭圆的标准方程为：22143x y +=. （2）由题意，如图设直线l 的方程为：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()34,M y ，()44,N y ， 联立方程221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩化简得()2234690m y my ++-=则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由,,P A M 三点共线易得311004(2)2y y x --=--+，化简得13163y y my =+，同理可得24263y y my =+ ()()()12123434212121266363,3,9993339y y y y FM FN y y y y my my m y y m y y ⋅=⋅=+=+⋅=++++++u u u u r u u u r ()22222229363693499096918934393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯+⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫--++-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.22.解析：（1）当22m e =+时，()ln 12ln 221f x x x m x x e '=++-=+--，易知函数()y f x '=在(0,)+∞上为单调增函数，及(c)lnc 2c 2c 10f '=+--=当0c x <<，()0f x '<，当x c >，()0f x '>，()y f x ∴=在x c =时取最小值，即22()(c)c c (2c c)c c c f x f ==+-+=--极小值，无极大值（2）当2x >时，由22ln x x x mx x x m +->--，即ln (1)0x x m x m +-+>得ln 1x x x m x +<- 令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln ()(1)x x g x x --'=- 设()2ln h x x x =--，则11()10x h x x x -'=-=>， ()h x 在(2,)+∞上为增函数，(3)1ln30h =-<Q ，(4)2ln40h =->，0(3,4)x ∴∃∈，且()00h x =，当()02,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 在()02,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增.()000min 00ln ()1x x x g x g x x +∴==-， ()0002ln 0h x x x =--=Q ，0011ln x x ∴-=+，()00g x x =，0(3,4)m x∴<∈，m∴的最大值为3.。