启东高中数学第一章第4课时1.1任意角的三角函数教案苏教版必修

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高中数学第1章三角函数 1.1.1 任意角教案苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

（3）若是第三象限角，判断是第几象限角？
课外作业
教学小结
,
即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
【数学运用】
例1、在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
3、象限角是如何定义的？
【建构数学】
1、角的定义
2、角的分类
3、象限角的定义
回忆：初中学过哪些角？
合作探究：
-3000，1500，-600,600,2100,3000,4200角分别是第几象限角？
其中哪些角的终边相同？
教学过程设计
教
学
二次备课
4、终边相同的角的表示：
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
教材、教参
授课方法
自学、讨论、归纳、巩固训练
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
【创设情境】
通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；
【自主学习】
阅读课本，回答下列问题：
1、角是如何定义的？
2、角是如何分类的，其标准是什么？
(1)6500（2）-1500（3）
例2、已知与2400角的终边相同，判断是第几象限角？
变式：呢？
例3、讨论四个象限角的范围：
小结：
能否写出与600终边相同的角的集合？
练习.写出终边半轴上、负半轴上的角的集合. 写出终边在x轴上的角的集合.

高中数学第1章三角函数 1.1.1 任意角讲义苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

1.1.1 任意角学习目标核心素养(教师独具) 1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角角吗？[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.] 终边相同的角与象限角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. 思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136.k的最大整数解为k＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k ＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么与阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k ·360°＋150°≤β≤k ·360°＋225°，k ∈Z }．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn所在象限的判定． 2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及nα、αn所在象限的判断．3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________.－960°[∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，k∈Z，即－1 110°<k·360°<－750°，k∈Z，∴k＝－3.当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.－40°[∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解](1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，S2＝{β|β＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋60°，n∈Z}．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－73≤n＜113，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。

高中数学第1章三角函数 1.1.1 任意角教学设计苏教版必修4

1．1.1 任意角作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想当今世界随着知识经济的不断发展，对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少，究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发，以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果，有向同学、教师展示自己成果和才能的机会，能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．教学内容分析本课时教学内容为引言和1.1.1 任意角，是三角函数的开篇．“引言”提出了本章的中心问题，它是本章知识的生长点，特别是周期现象贯穿了本章教学内容的始终，它可以帮助学生很好的探索、理解同终边角、同直线角、范围角的集合表示的抽象形式．同时，周期也是三角函数的一个非常重要的性质，是把三角函数一个周期的性质推广到整个定义域的理论依据，是研究三角函数的核心概念，为学生学习、理解周期的抽象的代数定义作了一个很好的铺垫．因此，笔者认为，在三角函数的开篇课中，应该按照引言中所提出的对周期性的研究大纲，把周期现象这一变化规律作为教学内容的一个重要组成部分实施教学，不能一带而过或不讲，要让学生对周期现象形成初步的感性认识和理性认识，为进一步学习与周期性相关的内容和理解周期的抽象含义打下坚实的基础，起到统领全章教学的核心作用．引言中所提出的“用什么样的数学模型来刻画圆上点P运动的变化规律”以及“如何表示点P”等问题在以后的教学中会自然的解决，因此，这些问题在本节课中没有必要作为重点，只是略作分析，通过用角α表示圆上围绕圆心的旋转点P的实际意义的需要，自然过渡到任意角这一教学环节，这样的处理符合了新课标中提出的螺旋上升的教学原则．任意角的概念是本节课的重点，关于正、负角的引入，可以从实际事例(如体操中“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”)引入，这样处理比较自然，学生也能够体会到引入正、负角的必要性和它的实际意义．然后再与正、负数类比，建立角度与实数一一对应的关系．在讲解任意角时，要注意把即时的画图和描述相结合起来，给学生以直观，以形助数，数形结合，体会任意角的旋转运动的实际意义．把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来，是本节课的一个难点，理解终边相同的角的意义，是学好这一小节的关键，同时这一知识也是同直线角、范围角以及诱导公式等知识的生长点．因此，这一环节的教学，要引导学生结合周期现象通过对足够的特例进行观察、分析、研究最终探索一般的知识规律——“同终边角相差周期‘360°’的整数倍”，并及时地让学生去运用这一数学知识，使学生强化理解知识，为后续学习铺路．问题与例题的设计给学生留下了比较多的思维空间，通过设疑来激发学生的思维，教师要让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，逐步归纳的思考方法；体会转化、分类讨论、数形结合等数学解题思想．教学目标分析知识目标1．初步理解周期现象的含义．2．使学生理解用“旋转”定义的任意角的概念．3．理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，是本节的教学重点．能力目标1．学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的集合的表示方法，是本节的教学难点．3．能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并能判定其为第几象限角．4．学会用“特殊到一般、具体到抽象”研究问题的学习方法，体会分类讨论等数学思想．情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．教学过程(一)引言流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)问题情境：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？师生合作：讨论分析，探索发现规律．问题1：同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？问题2：你们能再举例说明周期现象吗？问题3：数学问题中有这样的周期现象吗？小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．设计意图：创设生活情境，符合学生实际，有利于营造和谐的、活跃的氛围，激发学生学习的兴趣；有利于学生“从无到有”的创造性的探索、发现知识的规律，揭示实际问题的数学本质．使学生充分地认识和理解周期现象，有利于学生对整章的学习，起到了关键性的作用．(二)任意角的概念流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)问题情境：如图1，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图1问题3：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？问题4：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．设计意图：创设问题情境，自然过渡，从学生已有的认知出发，暴露学生的“思维定势”，引导学生质疑、批判的去思考问题，以形象的生活实际，引入正、负角的概念，有利于学生理解和接受新知识；有利于学生自觉地、创造性地去研究数学、构建数学．(三)同终边角的集合表示流程：(创设问题情境——自主探究——建构数学)师：为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(画图分析说明)问题：－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°，180°，540°，900°，－900°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边是相同的？探究题组：(1)终边相同的角是否相等？不同角的终边是否不同？(2)相同终边的角彼此之间有什么关系？(3)你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？(4)求与角α终边相同的角的集合．小结：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(β与α相差周期的整数倍)．作用：可以把不在0°到360°范围内的角转化为0°到360°范围内的角．设计意图：创设问题情境，从特殊到一般，从具体到抽象，有利于学生探究问题、发现问题、归纳问题的一般规律，培养学生探究学习数学的方法和能力；有利于学生深刻地理解同终边角集合的抽象的表示形式．(四)数学应用流程：(问题情境——自主实践——合作交流——疑难点拨——解题回顾)例1在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.示范(1)：方法一：因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．方法二：表示与650°同终边角的集合，对k 取值验证．方法三：表示与650°同终边角的集合，解不等式求k 的值．(2)、(3)略．例2已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角．方法一：分类讨论，化为同终边的角判断．方法二：利用周期性，数形结合画出终边判断．设计意图：创设问题情境，通过解题示范，增强学生的解题规范意识，树立学习数学的科学态度；通过一题多解的解题方法，渗透数学思想方法，提高学生的解题能力，揭示数学问题的本质规律．(五)回顾反思(1)知识要点回顾：周期现象；任意角；同终边角的集合表示；象限的判断．(2)思想方法回顾：探索研究问题的一般思想方法——(一般到特殊)特殊到一般；判断象限时——转化思想；分类讨论、数形结合的数学思想的运用；周期应用．(3)反思存在的问题(由学生提出疑问或问题改进的办法)．(4)补充说明：(教师：一般情况下我们还可以用弧长，半径以及方向来刻化圆上点P 运动的变化规律．)设计意图：让学生谈学习体会，反思所学，反馈课堂教学信息，使学生的学习得到进一步的升华，从而提高课堂教学的效率．(六)课后拓展(1)终边落在x 轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？(2)终边落在第一象限的角的集合如何表示？(3)若α是第三象限角，则α2是第几象限角？ (七)作业布置(略)附录(教学实录两个片段)(一)引言(教学过程实录)流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)师：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？生：议论但没有回答．师：答案就是：给你们上数学课．(学生笑)你们知道这一个很平常的生活现象表明了一个什么规律吗？生：周期．师：你们能用一个数字来刻化这个规律并说明你的理由吗？生：四，因为今天是星期四．师：那么，这一现象的周期是“四”对吗？(学生思考)生：应该是“7”，因为老师要每隔“7”天才会再次在今天的同一时间上课．师：还有其他数字吗？(学生一起答道“14”)好，同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？生：每隔相同时间重复相同事情的现象(教师引导：我们把这种现象称为周期现象，那么周期是什么呢？学生齐答：间隔的时间．教师引导：我们把7就叫做这一现象的一个周期．)师：好，你们能再举例说明周期现象吗？生：每天太阳早上升起，傍晚降落；年复一年，春夏秋冬四个季节；潮起潮落．师：数学问题中有这样的周期现象吗？生：循环小数如13＝0.33··；圆上的一点绕圆心旋转．师：如图2，点P 是半径为r 的圆O 上一点，点P 的运动可以形象地描述为“周而复始”．那么点P 运动的一个周期是什么？图2生：点P 运动的一个周期是360°.小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．(二)任意角的概念(教学过程实录)流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)师：如图3，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图3生：建立直角坐标系，用坐标(x，y)表示．师：还可以用什么刻画呢？生：角度．师：用多少度来表示呢？生甲：180°师：为什么？生甲：因为点P绕圆心O旋转一周半后终边与始边形成了一个平角，所以是180°.生乙：不对，应该是540°.师：为什么？生乙：180°应该表示旋转半周，而旋转一周半表示旋转了360°＋180°＝540°(老师画图演示)．师：大家认为用哪个角度表示合理呢？生：540°.师：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？生：是用来表示旋转900°的角度．(老师画图演示)师：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？生：“向前翻腾两周半”用900°表示；“向后翻腾两周半”用－900°表示．师：“－”表示什么意思？生：表示方向．师：为什么“向后翻腾两周半”表示负的呢？怎样画－900°呢？(学生分析，老师画图) 师生共同小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．。

苏教版高中数学必修4教学案：第一章三角函数第4课时任意角的三角函数(2)

第4课时任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。

2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。

3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。

4．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。

根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；tan y xα==__________。

【典型例题】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：()31π()π652()π323-()64π-例2．利用三角函数线比较大小 () 30sin 1______ 150sin : () 25sin 2______ 150sin : ()π32cos 3______π54cos ; ()π32tan 4______π32tan例3．解下列三角方程()23sin 1=x ()21cos 2=x ()1tan 3=x变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()21cos 2≤x ()1tan 3>x变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.【巩固练习】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 ()π6111-()π3222．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；3．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）cos θ<；（2）tan 1θ>- ；（3）sin θ>5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =6．若cos θ<，sin θ>，写出角θ的取值范围。

高中数学第1章三角函数1_2_1任意角的三角函数教学设计苏教版必修4

1．2.1 任意角的三角函数教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1 三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sinα＝MP OP ＝y r ，cosα＝OM OP ＝x r ，tanα＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋kπ(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋kπ，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋kπ(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13. 所以sinα＝y r ＝－313＝－31313，cosα＝x r ＝213＝21313， tanα＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解. 变式训练求5π3的正弦、余弦和正切值．解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝5π3，如图5. 图5易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．所以sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－ 3. 例2见课本本节例2.变式训练1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．反过来请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角答案：C思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sinα＋3secα＝________. 活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k 2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sinα＝y r ＝－3k 10k＝－31010，secα＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sinα＋3secα＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sinα＝y r ＝－3k －10k ＝31010，secα＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sinα＋3secα＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sinα＋tanα的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝s inα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋π2(k∈Z )．由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<π2＋2kπ，或π2＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z }．点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.课本本节练习1～6.本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．课本习题1.2 1,5,6.关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是 cotα＝x y ，secα＝r x ，cscα＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是( )A.1313B.1312C ．±1313 D ．±213132．已知tanαcosα>0，且tanαsinα<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．44.tan －150°cos －210°cos420°tan －600°sin －330°＝__________. 5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y)，x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标．显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段：如果x>0，OM 与x 轴同向，规定此时OM 具有正值x ；如果x<0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x.如果y>0，把MP 看作与y 轴同向，规定此时MP 具有正值y ；如果y<0，把MP 看作与y 轴反向，规定此时MP 具有负值y ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cosα＝x r ＝x 1＝x ＝OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝y x ＝AT OA＝AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tanα＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tanα＝AT.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r ，cosα＝x r ，secα＝r x ，cscα＝r y. 原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2 ＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y 2r 2＋y2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x2 ＝2＝右边．∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α ＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2＝右边．∴左边＝右边．∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.证明：设M(x ，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有sinα＝y r，cosα＝x r ，tanα＝y x ，secα＝r x. 左边＝1＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋y x ＋r －y ＝x ＋r ＋y x ＋r ＋y x ＋r －y x ＋r ＋y＝x ＋r ＋y 2x ＋r 2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry 2x 2＋2xr＝r ＋y r ＋x x r ＋x ＝r ＋y x ，右边＝1＋y r x r＝r ＋y x，∴左边＝右边，故原等式成立. 课本本节练习7、8.本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sinα＝MP ，cosα＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2，即sin 2α＋cos 2α＝1.对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sinθ<θ<tanθ. 证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sinθ，AT ＝tanθ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT，即sinθ<θ<tanθ.二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( ) A ．tanθ<cosθ<sinθ B．sinθ<tanθ<cosθ C ．cosθ<tanθ<sinθ D．cosθ<sinθ<tanθ2．若0<α<2π，则使sinα<32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D．(0，π3)∪(5π3，2π) 3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________．4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sinα－sinβ. 5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4) 4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sinα＝M 1P 1，sinβ＝M 2P 2，α－β＝， ∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sinα＝y 1，图13cosα＝x 1，∴cosα>sinα.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sinα＝cosα. (3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sinα＝y 2，cosα＝x 2，∴sinα>cosα.(4)当π2<α≤π时，s inα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα. (5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sinα＝y 3，cosα＝x 3，∴sinα>cosα.(6)当α＝5π4时，有sinα＝cosα. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sinα＝y 4，cosα＝x 4，∴sinα<cosα.(8)当3π2<α<2π时，cosα≥0，sinα<0， ∴cosα>sinα.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sinα>cosα；当α＝π4或5π4时，sinα＝cosα；当π4)∪(5π4，2π)时，sinα<cosα.α∈[0，。

2015-2016学年高一苏教版数学必修4教案第1章第4课时《任意角的三角函数》(2)

第4课时任意角的三角函数(2)教学过程一、问题情境在前面的学习中,我们知道,角α的三角函数值与角的终边上的点P(x,y)的位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.二、数学建构(一)生成概念问题1在角α的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢?(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.问题2在单位圆中,角α的正弦值、余弦值分别是多少?(引导学生得到sinα=y,cosα=x)问题3x,y分别是角α的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x,y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段作铺垫)问题4我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x,y,也即表示角α的余弦值、正弦值呢?(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)(图1)结合图1,进行如下思考:当角α的终边不在坐标轴上时,若x>0,则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.问题5在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).(二)理解概念1.有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的.2.当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l 的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.问题6引进有向线段的数量后,在图1中,x,y分别与哪个有向线段的数量对应?通过讨论,得到x=OM,y=MP,从而有sinα=MP, cosα=OM.我们把有向线段MP,OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.问题7类似地,我们能引进正切线的概念吗?(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)由于tanα=,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让==?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).(图2)当角α终边在y轴的右侧时,在角α终边上取点T(1,y'),则tanα==y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角α终边在y轴的左侧时,在角α终边的反向延长线上取点T(1,y'),由于它关于原点的对称点Q(-1,-y')在角α的终边上,故有tanα==y'=AT.因此把有向线段AT叫做角α的正切线.[3]当角α终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.(图3)特殊情况:①当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1;②当角α的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.三、数学运用【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1);(2);(3)-;(4)-.[4](见学生用书P7)[处理建议]可让学生参见教材P13图1-2-8的作法.[规范板书]解(例1)图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM,AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.[题后反思]作三角函数线分三步:①先画出单位圆,柱注点A(1,0);②准确作出角α的终边,找到角α的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角α的终边(或角α的终边的反向延长线)于点T;③写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.【例2】比较下列各组三角函数值的大小:(1) sin35°, sin55°;(2) cos, cos;(3) tan1, tan2.[5](见学生用书P8)[处理建议]引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小.解(1)sin35°<sin55°;(2) cos>cos;(3) tan1>tan2.[题后反思]三角函数线是有方向的,与x轴、y轴的正方向相反的三角函数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.问题1从例2中,我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的单调性吗?问题2我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间上的单调性吗?问题3我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗?(让学生自主探究,一方面是对例题的加深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)【例3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合:(1) sinα=;(2) cosα=-;(3) tanα=.[6](见学生用书P8)[处理建议]由学生作出相应的三角函数线,互相之间进行讨论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.(例3)[规范板书]解(1)作出如图所示的图形,则根据图形可得α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z;(2)α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z(图略);(3)(图略).[题后反思]要提醒学生注意正弦线平行于y轴或在y轴上,而余弦线在x轴上,这是此题的易错点.变式利用单位圆写出符合不等式cosα≥-的角α的集合.[7][处理建议]引导学生正确作图.[规范板书]解作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角α的集合为α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z.(变式)[题后反思]解决此类问题一般可分为三步:(1)求出边界的值;(2)标出满足条件的区域;(3)根据区域写出满足条件的答案.另外,还要注意,是否包括边界,通常情况下,包括边界的,边界用实线表示,不包括边界的,边界用虚线表示.*【例4】已知α为锐角,求证:1<sinα+cosα<.[8][处理建议]引导学生去思考sinα, cosα可以用单位圆中的正弦线、余弦线表示出来,那么1,能用什么表示出来?从而联想到单位圆中的半径1及扇形的弧长、面积(都与π有关),由此得到本题的解题思路.[规范板书](例4)解如图,设单位圆与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,角α的终边与单位圆交于点P(x, y),过P作PD⊥Ox,PE⊥Oy,D,E为垂足.因为y=sinα,x=cosα,在△OPD中,OD+DP>OP,从而sinα+cosα>1.又S△POA=OA·PD=sinα,S△POB=OB·PE=cosα,而S扇形OAB=·×12=,且S扇形OAB>S△POA+S△POB,故sinα+cosα<,从而1<sinα+cosα<成立.[题后反思](1)利用单位圆把三角函数值转化为单位圆中某些线段的长;(2)利用整体的面积大于部分的面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法.四、课堂练习1.已知MP,OM,AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线,则这三条线长从小到大的排列顺序是OM,MP,AT.2.如果角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,那么α的值为或.3.设MP和OM分别是π角的正弦线和余弦线,给出以下不等式:①MP<OM<0;②OM>MP>0;③OM<MP<0;④MP>0>OM.其中正确的是④(填序号).4.利用单位圆比较大小:(1) sin25°<sin150°;(2) cos=cos;(3) tan<tan;(4)tanπ>tan.五、课堂小结1.单位圆的概念,有向线段、有向直线的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义.三角函数线都是一些特殊的有向线段,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,它们是三角函数的几何表示.2.应用单位圆中的三角函数线,解决了一些与三角函数有关的问题,如比较三角函数值的大小,求角或角的范围.这里,关键在于要学会用数形结合的思想来解决问题,同时,也是培养学生数形结合意识的好机会.。

高中数学1.2.1 任意角的三角函数(一) 教案(苏教版必修4)

第 3 课时： 1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。

3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、过程与方法1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；3.通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

三、情感、态度与价值观1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学法与教学用具】： 1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用),(αr 与用坐标),(y x 均可表示圆周上点P ，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，● 用怎样的数学模型刻画),(y x 与),(αr 之间的关系？二、研探新知 1.三角函数的定义【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。

当α为锐角时，过P 作x PM ⊥轴，垂足为M ，在OPM Rt ∆中，sin y r α=,cos x r α=,tan yx α=●怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？一般地，对任意角α，我们规定：（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；【说明】：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

高中数学第1章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数教学设计苏教版必修4

1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin α＝MP OP ＝y r ，cos α＝OM OP ＝x r ，tan α＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋k π(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋k π，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sin α、cos α、tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sin α＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－2＝13.所以sin α＝y r ＝－313＝－31313，cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.图5的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sin α＋tan α的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )．由正弦函数的定义知道，sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π，或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }．点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin α≥0，且tan α有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cot α＝x y ，sec α＝r x ，csc α＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cos α的值是( ) A.1313 B.1312C ．±1313D ．±213132．已知tan αcos α>0，且tan αsin α<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限D ．第三、四象限3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570°A ．1B ．2C ．3D ．4 4.－－－－＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan 191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角．参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.(2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y 轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin α＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cos α＝x r ＝x1＝x ＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan α＝y x ＝ATOA＝AT.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tan α＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tan α＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tan α＝AT.因此，我们把有向线段AT 叫做角α的正切线．有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sin α＝y r ，cos α＝x r ，sec α＝r x ，csc α＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x 2 ＝2＝右边． ∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.左边＝＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋yx ＋r －y ＝＋r ＋＋r ＋＋r －＋r ＋＝＋r ＋2＋2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry2x 2＋2xr ＝＋＋＋＝r ＋yx，知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sin α＋cos α>1；(2)sin 2α＋cos 2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P ，过P 作PM⊥x 轴于M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM.图10(1)在Rt△OMP 中，MP ＋OM>OP ，即sin α＋cos α>1.(2)在Rt△OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2，即sin 2α＋cos 2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sin θ<θ<tan θ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sin θ，AT ＝tan θ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sin θ<θ<tan θ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ<cos θ<sin θB ．sin θ<tan θ<cos θC ．cos θ<tan θ<sin θD ．cos θ<sin θ<tan θ 2．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sin α－sin β.5．当α∈[0,2π)时，试比较sin α与cos α的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sin α＝y 1，图13cos α＝x 1，∴cos α>sin α.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sin α＝cos α.(3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sin α＝y 2，cos α＝x 2，∴sin α>cos α.(4)当π2<α≤π时，sin α≥0，cos α<0，∴sin α>cos α.(5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sin α＝y 3，cos α＝x 3，∴sin α>cos α.(6)当α＝5π4时，有sin α＝cos α.(7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sin α＝y 4，cos α＝x 4，∴sin α<cos α.(8)当3π2<α<2π时，cos α≥0，sin α<0，∴cos α>sin α.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sin α>cos α；当α＝π4或5π4时，sin α＝cos α；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sin α<cos α.。

江苏省启东中学人教A版高中数学必修4教案(无答案)：121任意角的三角函数

§1.2.1任意角的三角函数（1）主备人：教学目标1、掌握任意角的三角函数的定义，理解角与2k βπα=+()k Z ∈的同名三角函数值相等。

2、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。

【温故习新·导引自学】一、任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么名称定义定义域正弦 sin α＝ R 余弦 cos α＝ R正切tan α＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？二、三角函数在各象限的符号1．若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.2．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”) (2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”)【交流质疑·精讲点拨】三角函数的定义及应用【例1】在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．跟踪训练1．已知角θ终边上一点P (x ,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.。

苏教版高中数学必修4《任意角的三角函数(第1课时)》参考教案1

1 / 3§1.2.1 任意角的三角函数（1）教学目标：理解并掌握任意角三角函数的定义；理解三角函数是以实数为自变量的函数；理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；强化数形结合的数学思想.教学重点：任意角三角函数的定义；各种三角函数在各象限内的符号.教学难点：任意角三角函数的定义及根据定义求任意角的三角函数值. 教学过程：一、问题情境1．情境引入：作PMO Rt ∆，回顾初中三角函数的定义. 2．提出问题： POM ∠的三角函数有哪些？分别如何定义的？二、学生活动问题1：将POM ∠放到直角坐标系中，点P 的坐标分别表示什么？问题2：当点P 在终边OP 上移动时，POM ∠的三角函数值是否发生变化？三、建构数学问题3：此时POM ∠的各三角函数值是否可以由点P 的坐标),(y x P 以及点P 到原点的距离r （022>+=y x r ）来表示？正弦r y=αsin , 余弦r x=αcos ,正切x y=αtan .问题4：这样将锐角三角函数推广到任意角？四、数学理论 1.任意角的三角函数：一般地，对任意角α，我们规定：（1）比值ry叫做α的正弦，记作αsin ，即 αMOP),(y x P αMOxyryx),(y x P αOryx。

2 / 3r y =αsin ；（2）比值r x叫做α的余弦，记作αcos ，即r x=αcos ，（3）比值)0(≠x x y叫做α的正切，记作αtan ，即x y=αtan .2.回顾反思：（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.（2）书写及读法名称，α为自变量，αsin ，αcos ，αtan 分别叫做α的正弦函数，余弦函数，正切函数，以上三种都称为三角函数，三角函数是以“比值”为函数值的函数.（3）对αsin 的理解，符号是不可分的，不能认为是α⋅sin . （4）αtan 中规定0≠x 的理解，即Z k k ∈+≠,2ππα.（5）一些特殊角的三角函数值，P16练习3.α 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒ 弧度αsinαcosαtan3.三角函数在各象限内的符号α 第一象限第二象限第三象限第四象限 αsinαcosαtan+—+ + +++—————αsinαcosαtan3 / 3总结规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数的定义域五、数学运用 1.例题例1．课本P15例1（变题：0),3,2(<-t t t P ）例2．课本P15例2例3．确定下列条件的角α是第几象限角.（1）0cos ,0sin <>αα （2）0tan ,0sin <<αα （3）0tan ,0cos <>αα 2．练习：可以讨论课本P15练习1，2，4，5，6；P16链接. 六、总结反思任意角三角函数的定义及求任意角的三角函数值，各种三角函数在各象限内的符号.。

高中数学第1章《三角函数》任意角的三角函数(1)教学案苏教版必修4(1)

江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》任意角的三角函
数(1)教学案苏教版必修4 教学目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。

掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这
三种函数的值在各象限的符号。

教学重点：正弦、余弦、正切的定义教学难点：正弦、余弦、正切的定义
教学过程：
一、问题情境：在Rt ABC 中sin α=__________
cos α=_________,tan α=_________. 二、学生活动：
１、在直角坐标系中，设α（锐角）终边上任意一点P （x,y ）到原点距离为r (r=22a b +)，则sin α=_______,cos α=________,tan α=_______.
你能将锐角三角函数推广到任意角吗？
三、知识建构：
1、正弦：
余弦：
正切：
思考：它们的值与终边上的点P 的选取有关吗？
2、三角函数：
3、三角函数定义域：
4、三角函数值在各象限符号：
四、知识运用：
例1、已知角α的终边经过点P(2,-3) ，求α的正弦、余弦、正切值。

A C
B x y
x y α α
变式训练：若角θ的终边过点P(4a,-3a)(a≠0),求sinθ和cosθ的值。

小结：
例2、确定下列三角函数值的符号。

（1）cos
7
12
π（2）sin（-465°）（3）tan
11
3
π。

高中数学第1章(三角函数)三角函数的应用教学案苏教版必修4 教学案

某某省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

注重渗透化归与转化的数学思想。

教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；（2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）将点P距离水面的高度z (m) 表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。

高中数学第1章三角函数 1.1.1 任意角教学设计苏教版必修4(2021年整理)

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1．1.1 任意角作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．错误!设计思想当今世界随着知识经济的不断发展,对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少,究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发,以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果,有向同学、教师展示自己成果和才能的机会,能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．教学内容分析本课时教学内容为引言和1.1。

—高中数学第1章三角函数1.2 任意角的三角函数同步教学案苏教版必修4

§1.2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝________. 2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为________．3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是________．6．α是第一象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x ＝________.7．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．9．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且OP ＝10，则m －n ＝________. 二、解答题11．确定下列各式的符号：(1)tan 120°·sin 273°；(2)tan 108°cos 305；(3)sin 5π4·cos 4π5·tan 116π.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．①sin θ2；②cos θ2；③tan θ2；④cos 2θ；⑤sin 2θ.14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关． 2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)知识梳理 1.y r x ryx作业设计1．－713 2.－ 33．三解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 4．3解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∵α的终边经过点P ，cos α＝－35，∴α为第二象限角， ∴b >0，∴b ＝3. 5．{－1,3}解析若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1. ∴函数f (x )的值域为{－1,3}． 6. 3解析 r ＝x 2＋5，cos α＝xx 2＋5，由2x 4＝xx 2＋5(x >0)，解得x ＝ 3. 7．－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 8．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 9.7π4解析由任意角三角函数的定义，tan θ＝yx ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴OP ＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0. ∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0.从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正． (2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°cos 305°<0，∴式子符号为负．(3)∵5π4是第三象限角，4π5是第二象限角，11π6是第四象限角，∴sin 5π4<0，cos 4π5<0，tan 11π6<0，从而sin 5π4·cos 4π5·tan 11π6<0，∴式子符号为负．12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73.13．③⑤解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z ，4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z .sin 2θ>0.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.1．2.1 任意角的三角函数(二)课时目标1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是________；余弦函数y ＝cos x 的定义域是________；正切函数y ＝tan x 的定义域是________________． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.一、填空题 1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．①正弦线PM ，正切线A ′T ′；②正弦线MP ，正切线A ′T ′；③正弦线MP ，正切线AT ；④正弦线PM ，正切线AT .2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为______．4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)． 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是________．7．如果π4<α<π2，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．8．不等式tan α＋33>0的解集是______________． 9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．二、解答题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．能力提升13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22.14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．1．2.1 任意角的三角函数(二)知识梳理1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．③ 2.3π4或7π4解析角α终边落在直线y ＝－x 上． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π64．sin 1.5>sin 1.2>sin 1解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤54π，2π 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π7．cos α<sin α<tan α 解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .9．>解析作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.10.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈Z 解析如图所示．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 11．解 (1)图1作直线y ＝32交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)图2作直线x ＝－12交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }．12．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2.当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π (k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2.13．解由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .14．证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.1．2.2 同角三角函数关系课时目标1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z )2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________； sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______.3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________． 6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________． 7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____. 二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 22x ＝1－tan 2x1＋tan 2x.能力提升 13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．2.2 同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 sin α＋cos α2－121－sin α－cos α22 cos αtan α sin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝α＋cos αα＋cos αα＋cos αα－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.10．2 解析方法一由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255.∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2.方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5， ∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解原式＝－cos 4α－sin 4α－cos 6α－sin 6α ＝－cos 2α＋cos 2α－sin 4α－cos 2α＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α＋cos 2α－sin 4αsin 2α＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋2α＋sin 2α2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明左边＝cos 2 2x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝x －sin 2x 2x －sin 2x x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αα＋cosαsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α ∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a . 解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2 ∵sin θ≤1，cos θ≤1， ∴sin θcos θ≤1，即a ≤1， ∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.1．2.3 三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α.相关角终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称－α与α 关于________对称 π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin 585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.3．若n 为整数，则代数式n π＋αn π＋α的化简结果是________．4．三角函数式α＋π2α＋3πα＋π3－α－π的化简结果是______. 5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.6．tan(5π＋α)＝2，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为________．7．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______．9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________．二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求α－2π＋－α－3πα－3ππ－α－－π－αα－4π的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 能力提升13．化简：k＋π＋θk＋π－θ]kπ－θkπ＋θ(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一)知识梳理1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α 作业设计1．－22 2.－33 3.tan α4．tan α解析原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3α＋π＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α ＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32 (α为第四象限角)．6．3解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.7．－1－k2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.8．－1 解析原式＝1＋＋＋＋＋＋＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.9．3解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.11．解原式＝－π－α－π＋απ－α－cos α－－cos αα＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α－cos α－cos α－cos α ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝n ＋π＋θn ＋π－θ]nπ－θn π＋θ＝π＋θπ－θ－sin θ·cos θ＝－sin θ－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝n ＋π＋θn ＋π－θ]n ＋π－θn ＋π＋θ]＝n ＋π＋θn ＋π－θ]π－θπ＋θ＝sin θ·cos θsin θ－cos θ＝－1. ∴原式的值为－1.14．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.1．2.3 三角函数的诱导公式(二)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________．6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则α－3π＋π－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α＝________. 二、解答题11．求证：π－α－2π－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3－α＝－2π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892 解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明左边＝－α－α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－tan α－sin ααsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169，又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高中数学第1章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案苏教版必修4-苏教版高中必修4数学学案

1.2.1 任意角的三角函数1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)[基础·初探]教材整理1 任意角三角函数的定义阅读教材P 11～P 12第一自然段的有关内容，完成下列问题．在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么名称定义定义域正弦 sin α＝y r R 余弦cos α＝x rR正切tan α＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Zsin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________. 【解析】由题意可知 |OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－02＝1，∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.【答案】－22 22－1 教材整理2 三角函数值的符号阅读教材P 12第二自然段的有关内容，完成下列问题．三角函数在各象限符号：图121(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”，“＜”) (2)若α在第二象限，则sin αtan α________0.(填“＞”“＜”) 【解析】 (1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0， ∴sin αcos α＞0. (2)∵α在第二象限， ∴sin α＞0，tan α＜0. ∴sin αtan α＜0. 【答案】 (1)＞ (2)＜教材整理3 三角函数线阅读教材P 12第三自然段～P 14例1以上部分的内容，完成下列问题． 1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( )(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( )(3)α与α＋π有相同的正切线．( )【解析】结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．【精彩点拨】以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．【自主解答】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1,2)，则r＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P ′(1，－2)，则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α的终边在直线上的问题，常分两类情况分别计算sin α，cos α，tan α的值．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[再练一题]1．已知角α的终边上有一点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值.【导学号：06460006】【解】 ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.当a ＞0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a ＜0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.三角函数值的符号判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)si n 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.【精彩点拨】先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号．【自主解答】 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0， ∴sin α·tan α>0. (2) ∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin 3>0，cos 4<0. 又∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 3·cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.[再练一题]2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.【解】 (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0.[探究共研型]应用三角函数线解三角不等式探究1 在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．图122【提示】两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.探究2 满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．【提示】如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域．【精彩点拨】借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．【自主解答】由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z.求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式组的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.[再练一题]3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【解】 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3π≤α≤2k π＋2π3π，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. [构建·体系]1．若角α的终边经过点P (－2,2)，则sin θ＝________. 【解析】由题意可知，OP ＝－22＋22＝8，∴sin θ＝28＝22. 【答案】222．若sin α＜0，tan α＞0，则α为第________象限角．【解析】由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上．由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．【答案】三3．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________.【导学号：06460007】【解析】由三角函数的定义可知－bb 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.【答案】 34．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“＞”或“＜”连接)： (1)sin 2π3________sin 4π5；(2)cos 2π3________cos 4π5；(3)tan 2π3________tan 4π5.【解析】借助单位圆中的三角函数线易得sin 2π3＞sin 4π5；cos 2π3＞cos 4π5；tan 2π3＜tan 4π5.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【解】 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(三) 任意角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限．【解析】由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】二2．若角α的终边落在y ＝－x 上，则tan α的值为________．【解析】设P (a ，－a )是角α上任意一点，若a >0，P 点在第四象限，tan α＝－aa ＝－1，若a <0，P 点在第二象限，tan α＝－aa＝－1. 【答案】－13．有三个结论：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】 ①②4．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C ＜0，则△ABC 是________三角形．【解析】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的内角，∴sin A ＞0. ∵sin A ·cos B ·tan C ＜0，∴cos B ·tan C ＜0， ∴cos B 和tan C 中必有一个小于0，即B ，C 中必有一个钝角，故△ABC 是钝角三角形．【答案】钝角5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．【解析】 ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋－32＝2，∴sin α＝－32. 【答案】－326．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】如图所示，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，恒有MP ＞OM ，而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π时，则是MP ＜OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 7．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________. 【解析】由已知sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝1＋1＝2. 【答案】 28．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．【解析】因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上．因为α的终边过点(3a －9，a ＋2)，所以{ 3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.【答案】 (－2,3]二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin cos θcos sin θ(θ为第二象限角). 【导学号：06460008】【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，∴sin 340°cos 265°＞0.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜π2，－π2＜－1＜cos θ＜0， ∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴sin cos θcos sin θ＜0. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0， ∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45. [能力提升]1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)①sin α2；②cos α2；③tan α2；④cos 2α. 【解析】由α为第四象限角，得2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4＜α2＜k π＋π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4，2n π＋π，此时，α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋7π4，2n π＋2π，此时，α2是第四象限角．故无论α2落在第二还是第四象限，tan α2＜0恒成立．又4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，(k ∈Z )．故cos 2α有可能为正也有可能为负．【答案】 ③2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．【解析】由题意得{ n ＝3m ＜0，m 2＋n 2＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.【答案】 23．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．【解析】设Q (cos α，sin α)，由2π3＝α·1可知α＝2π3，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 4．已知：cos α＜0，tan α＜0. (1)求角α的集合； (2)试判断角α2是第几象限角； (3)试判断sin α2，cos α2，tan α2的符号．【解】 (1)因为cos α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上．因为tan α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . (2)因为π2＋2k π＜α＜π＋2k π(k ∈Z )，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π4＋2n π＜α2＜π2＋2n π(n ∈Z )．所以α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，5π4＋2n π＜α2＜3π2＋2n π(n ∈Z )，所以α2是第三象限角． (3)当α2为第一象限角时， sin α2＞0，cos α2＞0，tan α2＞0. 当α2为第三象限角时， sin α2＜0，cos α2＜0，tan α2＞0.。

高中数学第一章三角函数第4课时1.1任意角的三角函数2教案苏教版必修

第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2）【教学目标】一、知识与技能1、掌握任意角的三角函数的定义，理解角与=2k +(k Z)的同名三角函数值相等。

2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重点难点：三角函数线的作法与表示【教学过程】一、复习回顾（1）六个三角函数定义，定义域（2）六个三角函数值在各象限内的符号二、新课当角的终边上一点(,)P x y 221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：既有大小又有方向的线段（矢量）坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .y PyTP由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明：①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

高中数学第一章三角函数 1.1 任意角、弧度 1.1.2 弧度制导学案苏教版必修4(2021

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1。

1.2 弧度制课堂导学三点剖析1。

弧度的意义，角度与弧度之间的换算【例1】-300°化为弧度是（）A 。

34π-B 。

35π- C.47π- D 。

67π- 思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.解：∵1°=180π弧度， ∴-300°=35π-弧度. 答案：B温馨提示掌握基本换算关系：180°=π弧度，1弧度=（π180）°≈57.30°，可以解决角度与弧度的换算问题。

2．弧度制的概念及其与角度的关系【例2】用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界).思路分析：运用数形结合表示象限角的方法，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或最大负数.解:（1）中OB 为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度,即6π-而75°=125π. ∴阴影部分内的角的集合为 {θ|2kπ6π-＜θ＜2kπ+125π,k∈Z }. （2)中OB 为终边的角是225°，可看成-135°，化为弧度，即43π-，而135°=43π. ∴阴影部分内的角的集合为｛θ｜2kπ43π-＜θ＜2kπ+43π，k∈Z ｝. 温馨提示在表示角的集合时,一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.3．弧度的意义的再理解【例3】下列诸命题中，真命题是( ）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B 。

启东高中数学第一章第4课时1.1任意角的三角函数教案苏教版必修

高中数学 第1章 三角函数 1.1.1 任意角教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

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苏教版高中数学必修4教学案：第一章三角函数第4课时 任意角的三角函数(2)