2020百题人精推100-高考数学(理科版)

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2020届高考数学百题精炼系列3(文理合卷) 精品

2020届高考数学百题精炼系列3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.5．若ω13=-+i 22，则246ωωω++ 等于 5.答案: 06．已知数列{a n }的前n 项和3nn s r =+，则数列{a n }成等比数列的充要条件是r ＝．6.答案: r = -1 7．计算2211(1)(1)i ii i -++=+-7.答案：-18．观察下列等式：332123,+=33321236,++=33332123410+++=,……，根据上述规律，第五个等式为 ____ ________. 8.【答案】333333212345621.+++++=9．已知复数z 满足34i z --=2，则z 的最大值为． 9.答案：710．设+++=31211)(n f …1()31n n *+∈-N ，则=-+)()1(n f n f . 10.答案：23113131++++n n n11．已知函数2)()(a x x x f -=在2=x 处有极大值，则a = 。

11.答案：612．12. 已知函数f(x) 在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则f ’(1)= . 12.答案: 213．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 13.答案：2tan 2R α14.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 .14.[答案]：1-或25-64[解析] 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，二、解答题2α2α图一第12题图图二16．（本小题满分14分）已知p ：28200x x -++≥，q ：22210(0)x x m m -+-≤>．⑴ 若p 是q 充分不必要条件，求实数m 的取值范围；⑵ 若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 16、(本题14分)解：P ：210x -≤≤，Q ：11m x m -≤≤+ …………2分 ⑴∵P 是Q 的充分不必要条件， ∴[]2,10-是[]1,1m m -+的真子集． ……………4分0,12,110,m m m >⎧⎪∴-≤-⎨⎪+≥⎩ 9m ∴≥． ……………7分∴实数m 的取值范围为9≥m ． ……………8分 ⑵∵“非P ”是“非Q ”的充分不必要条件，∴Q 是P 的充分不必要条件． ……………10分0,12,110,m m m >⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩03m ∴<≤． ……………13分∴实数m 的取值范围为30≤<m ．……………18. (本题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (7分) （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式. (8分)（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n ≥2）∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=122-n n Sn-1（n ≥2）∵a1=1，∴S1=a1=1.∴S2=34，S3=23=46，S4=58， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分猜想Sn=12+n n（n ∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.②假设n=k （k ≥1,k ∈N*）时，等式成立，即Sk=12+k k，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+12+k k， ∴ak+1=()()122++k k ，∴Sk+1=（k+1）2·ak+1=()212++k k =()()1112+++k k ，∴n=k+1时等式也成立，得证.∴根据①、②可知，对于任意n ∈N*，等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分又∵ak+1=)1)(2(2++k k ，∴an=)1(2+n n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分19.（本小题满分16分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设CBA θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；并写出函数的定义域. (5分) （ii ）设AC x =（km ），将y 表示成x 的函数；并写出函数的定义域. (5分) （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？ (6分)解:（1）（i ）由题意知, AC=20sin θ, BC=20cos θ,224 (0,)400sin 400cos 2k y πθθθ=+∈---------------------------------2分其中当4x π=时，y=0.065 , 所以k=9所以2249 (0,)400sin 400cos 2y πθθθ=+∈------------------------------3分（ii ）如图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,224(020)400ky x x x =+<<- -----7分其中当102x =时，y=0.065,所以k=9A B C x所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<--------------------10分（2）（i）222222222249400sin 400cos 149=(sin cos ) () 400sin cos 19sin 4cos 13261=(13)400cos sin 40016y θθθθθθθθθθ=++++⨯++≥=g -------------------------------4分当且仅当6tan θ=即当AC 410=时, 即当C 点到城A 的距离为410时, 函数2249 (0,)400sin 400cos 2y πθθθ=+∈有最小值.---------------------------------16分（ii ）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--,令'0y =得422188(400)x x =-,所以2160x =,即410x =, 当0410x <<时, 422188(400)x x <-,即'0y <所以函数为单调减函数,当4620x <<时,422188(400)x x >-,即'0y >所以函数为单调增函数------14分 .所以当410x =时, 即当C 点到城A 的距离为10时,函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值. --16分解法二: （1）同上.20．（本小题满分16分）已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-，且在点(1,(1))f --处的切线与直线510x y -+=垂直． (1) 求实数,b c 的值；(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值； (3) 对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？20．（1）当1x <时，2'()32f x x x b =-++， ………2分由题意得：(1)2'(1)5f f -=⎧⎨-=-⎩，即22325b c b -+=⎧⎨--+=-⎩， ………4分解得：0b c ==。

2020届高考数学百题精炼系列6(文理合卷) 精品

2020届高考数学百题精炼系列63．下列结论错误的．．．是（）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B ．命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．【答案】C【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。

【解析】根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p q ∨为真命题，选项B 中的结论正确；当0m =时，22a b am bm <⇒=，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确。

【考点】常用逻辑用语【点评】本题属于以考查知识点为主的试题，要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。

4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（）A．12()S x x dx=-⎰B．12()S x x dx=-⎰C．12()S y y dy=-⎰D．10()S y y dy=-⎰【答案】B【分析】根据定积分的几何意义，确定积分限和被积函数。

【解析】两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[]0,1上，2x x≥，故求曲线2y x=与y x=所围成图形的面12()S x x dx=-⎰。

6．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）正视图侧视图俯视图O thhtOhtOO thA ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断。

【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B 。

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,+∞)2.已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，M(−2,−1)，则点N的坐标为()A. (5,5)B. (−3,1)C. (1,3)D. (1,1)3.已知命题p：∃x∈R，使得x2−x+2<0；命题q：∀x∈[1,2]，使得x2≥1.以下命题为真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.已知点是角α终边上一点，则)A. √32+12B. −√32+12C. √32−12D. −√32−125.已知函数f(x)=xcosx+(a−1)x2是奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x−y=0B. x−y=0C. 2x+y=0D. x−2y=06.若直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1，则函数y=tanωx图象的对称中心为()A. (k2,0),k∈Z B. (k,0)，k∈ZC. (kπ2,0),k∈Z D. (kπ,0)，k∈Z7.已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3(e为自然对数的底)，则函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为()A. 6B. 8C. 12D. 148.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若，且，则面积为()A. √2B. 2C. 3D. √39.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°，且满足|a⃗−2b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 310. 已知a >1，三个数lna+1a、1a+1、1a 的大小关系是( )A. lna+1a >1a>1a+1B. 1a >lna+1a >1a+1C. 1a >1a+1>lna+1aD. 1a+1>1a >lna+1a11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x =2π3对称，则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)12. 若方程x 3−3ax +2=0(a >0)有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a >0C. 1<a <3D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x){1,x >0(12)x ,x ≤0则满足f(a)=2的实数a 的值为______．14. 化简1sin70∘−√3cos70°=______． 15. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______________． 16. 在△ABC 中，若b =1，c =√3，∠C =2π3，则a =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α2)=45,0<α<π3，求cosα的值．18.对于任意非零实数x1，x2，函数f(x)满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，(1)求f(−1)的值；(2)求证：f(x)是偶函数；(3)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，若f(2x−1)<f(x)，求x取值范围．19.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．(Ⅰ)求证：BC=√2AC；(Ⅱ)若AB=√5，求BC的长．20.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的−1<x<0，都有f(x)<(a−2)x，求a的取值范围．21.如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果同种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ的总长度为200m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1m，AQ段围墙高1.5m，造价均为每平方米100元．若建围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22.已知函数f(x)=(x2+a)lnx．(1)当a=0时，求f(x)的最小值．(2)若f(x)在区间[1e2,+∞)上有两个极值点x1，x2(x1<x2)．(ⅰ)求实数a的取值范围．(ⅰ)求证：−2e2<f(x2)<−12e．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|0<x <2}，B ={y|y ≥0}； ∴A ∪B =[0,+∞)．故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.答案：C解析：本题考查向量的坐标，属于基础题．设N (a,b )，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，即可得N ．解：设N (a,b )，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，所以{a +2=3b +1=4，解得{a =1b =3，所以N(1,3)．故选C ．3.答案：C解析：本题主要考查了复合命题的真假判断，属于基础题．解决此题的关键是分别判断命题p 和q 的真假，再结合复合命题的真假判断方法即可求解．解：对于命题p ，因为△=(−1)2−8<0，故不等式无解，所以p 为假命题；对于命题q ，因为函数y =x 2在[1,2]上为增函数，所以y min =1，所以∀x∈[1,2]，使得x2≥1为真命题，即q为真命题，故￢p∧q为真命题，故选C．4.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，属于基础题目．现由任意角的三角函数得出，再由诱导公式得出结果．解：由点是角α终边上一点，可得．故选D．5.答案：B解析：解：函数f(x)=xcosx+(a−1)x2，若f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，则−xcosx+(a−1)x2=−xcosx−(a−1)x2，即为(a−1)x2=0恒成立，可得a=1，即f(x)=xcosx，f(0)=0函数的导数为f′(x)=cosx−xsinx，可得f(x)在x=0处的斜率为k=f′(0)=1，则f(x)在x=0处的切线方程为y=x．故选：B．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，可得a=1，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用正切函数的图象和性质，先求出ω，可得函数y=tanωx图象的对称中心．解：直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为πω=1，∴ω=π，函数y=tanωx=tanπx，令πx=kπ2，求得x=k2，可得它的对称中心为(k2,0)，k∈Z，故选：A．7.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数找到对称性求解，综合性较强．解：根据f(x)为奇函数，得到f(0)=0，又周期为4，所以f(4)=f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又周期为4，所以f(−2)=f(2)，故f(2)=0，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3，令t=e x−1∈(1e ,e)，f(x)=e x−1+e1−x−3=1t+t−3=g(t)，g(t)在(1e,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，g(1e)=g(e)>0,g(1)<0,故g(t)=0有有两个解，即f(x)在(0,2)有两个零点记为x1,x2，则在(−2,0)内有两个零点为−x1,−x2，根据周期为4，得到在(2,4)内有两个零点为x3=4−x1,x4=4−x2，所以函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为0+2+4+x1+x2+4−x1+4−x2=14，故选D．8.答案：A解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．由正弦定理得ac=3，由余弦定理得a2+c2−b2=2，代入“三斜求积”公式计算求解即可．解：由c2sinA=3sinC，得ac=3，又cosB=a2+c2−b22ac =13，得a2+c2−b2=2．所以S=√14×[32−(22)2]=√2．故选A．9.答案：B解析：本题考查了向量的数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用向量的数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2，即可得出答案．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1，∴a⃗⋅b⃗ 的最大值为1，故选B．10.答案：B解析：本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．构造函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，利用导数判断f(x)的单调性，得出x>ln(1+x)，令x=1a得1 a >ln a+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x，x>0，得出ln a+1a>1a+1，即得1a>ln a+1a>1a+1.解：设函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，∴f′(x)=1−11+x>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴f(x)>f(0)=0， ∴x >ln(1+x)；令x =1a ，且a >1，则1a >ln(1+1a )=lna+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x ，x >0， ∴g′(x)=11+x −1(1+x)=x(1+x)>0， ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴g(x)>g(0)=0， ∴ln(1+x)>x1+x ；令x =1a ，a >1， ∴ln(1+1a )>1a1+1a，即lna+1a >1a+1；综上，1a >ln a+1a>1a+1．故选B ．11.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6，由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2，可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12，则f(x)=2sin(12x +π6)，由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错；由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x0)=cosπ2=0，故B错；f(x)≥1即2sin(12x+π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z，化为4kπ≤x≤4kπ+π3，k∈Z，故C错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D对．故选：D．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x+π6)，由正弦函数的单调性可判断A；由对称轴特点和导数，可判断B；由正弦函数的图象可得x的不等式组，解不等式可判断C；由对称中心的特点可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用，同时考查了构造法的应用．易知a=x23+23x，从而令f(x)=x23+23x，求导得f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，从而判断函数的单调性与极值，从而解得．解：易知0不是方程x3−3ax+2=0的根，故3ax=x3+2，故a=x23+23x，令f(x)=x23+23x，则f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，故当x∈(−∞,0)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(1)=13+23=1，在直角坐标系中作出f(x)的示意图。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（二）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗}，则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i，则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13，则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2？B. x2+y2=z2？C. y2+z2=x2？D. x=y？5.已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，△ABC 内有一点O ，满足：CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ>0，μ>0，4λ+3μ=2，则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，且f(x)在(π,4π3)上单调，则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E 于点C ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，其中a 0+a 1+⋯+a n =243，则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数，则f(2x −1)≤f(x)的解集为______．14.已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是______．15.已知点O(0,0)，A(4,0)，M是圆C：(x−2)2+y2=1上一点，则|OM||AM|的最小值为______．16.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.四棱锥P−ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=CD=1，BC//AD，∠PAD=90°.∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19.直线l过点(4,0)，且交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点，∠AOB=90°．(1)求p；(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M，N两点，抛物线上是否存在定点Q，使直线MQ，NQ斜率之和为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由．20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位：只)的统计情况如表：这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理．(Ⅰ)若a=16，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位：元)关于需求量x(单位：只，x∈N∗)的函数解析式；(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0，g(x)=ln(x +a)．(1)若f(x)，g(x)有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ．(Ⅰ)当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M(2,1)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|．(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m]，求a 和m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25=32，非空真子集个数为30．故选：A．求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由z⋅(1+i)=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−13．故选：B．利用两角和与差公式直接求解．本题考查三角函数值的求法，考查两角和与差公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】A【解析】解：由题知，AC=x，AB=y，BC=z，由勾股定理可知x2+z2=y2．故选：A．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225，解得n=2．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：如图；因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切，∴QF1=4+r；∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2；∴r=QF2；故圆Q过双曲线C的右焦点；故选：A．根据两圆外切得到QF1=4+r；再结合双曲线的定义即可求解结论．本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2， ∵λ>0，μ>0，4λ+3μ=2， ∴2−4λ>0，解得λ<12， ∴0<λ<12．∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2，∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2， ∴CO 的最小值为√2．故选：C ．根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案．本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用，需要学生有转化的思想，属于中档题，解题时要认真审题．8.【答案】D【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6，整理得：x =kω6−π6(k ∈Z)，由于f(x)在(π,4π3)上单调，所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω>0，所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1)，解得0<k 0≤72．所以k 0=1，2，3，当k 0=3时，ω的最大值为83．故选：D ．首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：{c =λ(x −c)−b =λy ，则{x =(1+λ)λc y =−b λ，因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．设点C(x,y)，利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值．本题考查椭圆离心率的表示，抓住向量表示是关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB =CD =√5，AC =2√2，BC =1，BD =√6，BD =3．最长的棱的长度为3．故选：C ．由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD ，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=a+lnx x，g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数)，∃x ∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a+lnx x ≥e x −1成立，即∃x ∈(0,+∞)，使得a ≥xe x −x −lnx 成立．令g(x)=xe x −x −lnx(x >0)，则a ≥g(x)min ，∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0)，∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0，∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增，又g′(13)=43e 13−4<0，g′(1)=2e −2>0，∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0，此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值，也是最小值．令g′(x 0)=0，则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0，即e x 0=1x 0．∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1，即g(x)min =1， ∴a ≥1，∴实数a的最小值为1，故选：A．∃x∈(0,+∞)，使得f(x)≥g(x)成立，分离参数a，可转化为∃x∈(0,+∞)，使得a≥xe x−x−lnx成立．构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0)，利用导数法可求得g(x)min，从而可得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理能力与综合运算能力，是难题．13.【答案】[13,1]【解析】解：∵f(x)为偶函数，y=x为奇函数，∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，∴g(0)=0，解得a=1，对0<x1<x2，可知0<g(x1)<g(x2)，故0<x1g(x1)<x2g(x2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|，即(2x−1)2≤x2，解得13≤x≤1，即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1]．故答案为：[13,1]．根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数，g(0)=0，解得a=1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集．本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力．14.【答案】(−1,2]【解析】解：x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图：目标函数化为y=2x+z，z=2时，可知：最优解在直线2x−y+2=0上，而(0,2)在可行域内，且满足2x−y+2=0.故可知：实数k的取值范围是(−1,2]．故答案为：(−1,2]．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】13【解析】解：如图，由图可知，当M为(1,0)时，|OM|最小为1，|AM|最大为3．则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．由题意画出图形，通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】3√7777【解析】解：如图；DE⊥面ACE，∠EAB=45°，∠EBD=30°；由题可得：AE=DE=60；AB=BC=80；∴EB=DEtan30∘=60√3；∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77；∴tanθ=6020√77=3√7777；故答案为：3√7777．画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．本题考查三角形的实际应用，根据条件画出示意图是解决本题的关键，理解本题是立体图形．17.【答案】解：(1)由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√an4a n−1}是等差数列，且首项为1，公差d =1，∴√an 4a n−1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8．【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1，再求出a n ；(2)由(1)中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ．本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°．又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行)，则B(√32,12,0)，C(√32,32,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由(1)的证明知：平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0)．设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0．令x =1⇒m =(1,√3,√3)，cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．(2)取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．19.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠AOB =90°，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0，即y 1y 2=−4p 2，设直线l 的方程为x =my +4，联立抛物线的方程y 2=2px ，可得y 2−2pmy −8p =0，则y 1y 2=−8p =−4p 2，可得p =2；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2−4ty +4=0，则y M +y N =4t ，y M y N =4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2)．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；(2)抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q(x 0,y 0)，MN 的方程为x =ty −1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论．本题考查直线和抛物线的位置关系，注意直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)当x <a 时，y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2，当x ≥a 时，y =30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗)，由a =16，得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)； (Ⅱ)若出栏112只，则a =16，y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗)．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P(Y 1=420)=0.15，P(Y 1=450)=0.2，P(Y 1=480)=0.65， Y 1的分布列为：E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465；若出栏119只，则a =17，y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗)．记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P(Y 2=417)=0.15，P(Y 2=448)=0.2，P(Y 2=479)=0.25，P(Y 2=510)=0.4， Y 2的分布列为：E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9． ∵E(Y 1)<E(Y 2)，∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x <a ，剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a =16代入求解；(Ⅱ)根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．本题主要考查样本估计总体，考查分段函数的应用与运算求解能力，考查离散型随机变量的分布列与期望，是中档题．21.【答案】解：(1)设M(x 0,y 0)，则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②，由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0，对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx，求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0， ∴φ(x)为增函数，且φ(2e)=0，故x 0=2e ；当x 0<0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22；综上，M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2)；(2)由(1)知，x 0=2e 时，a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e)，则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0，故ℎ′(x)在定义域上单调递增，则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ，则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0，故ℎ(x)有唯一零点；当a <−e 时，ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0，ℎ(x)无零点；当−e <a ≤1时，ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点，ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点，而ℎ(0)=−lna ≥0，ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞，故ℎ(x)在(0,2e)，(2e,+∞)上各一个零点；当a >1时，ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0，ℎ′(2e)>0，故在(0,2e)上，ℎ′(x)仅一个零点，设为m ，在(0,m)上，ℎ(x)为减函数，在(m,+∞)上，ℎ(x)为增函数，而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0，x →+∞时，ℎ(x)→+∞，故仅在(m,+∞)上有一个零点．综上可得，当a <−e 时，ℎ(x)无零点；当a =−e 或a >1时，ℎ(x)有1个零点；当−e <a ≤1时，ℎ(x)有2个零点．【解析】(1)设M(x 0,y 0)，分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；(2)结合(1)中得到的结论，分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论．本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，考查分类讨论思想，属于压轴题目．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的普通方程为：√3x−y+1−2√3=0；椭圆C的直角坐标方程为：x216+y212=1．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0，由题意得：t1+t2=0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32，所以直线l的斜率为−32．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号，故f(x)的最小值为∣a−2∣，∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1．(Ⅱ)由不等式解集的意义可知：x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4．a=0时，如图所示：不合题意，舍去；a=4时，如图所示：由y=x与y=2x−6，解得：x=6．即m=6，综上，a=4，m=6．【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式，由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣，求得f(x)最小值，再由∣a−2∣≥3求解；(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系，当x=2时，f(2)=2，即∣a−2∣=2，解得a=0或4.再分类求解．本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈R|x>1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取()人．A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少？”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 7=4，则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=12，则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2n=n−a n，a2n+1=a n+1，则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,−2)，则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ ．14.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是．15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________．16.已知函数的部分图象如图所示，则f(0)=__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π4，tan∠ADC=−2，(1)求CD的长；(2)求ΔBCD的面积。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷和答案(理科)(三)(全国ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x∈N|x≤6}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{y|y＝x2，x∈A}，则∁M B＝（）A．{2，5，6}B．{2，3，6}C．{2，3，5，6}D．{0，2，3，5，6}2．（5分）已知i是虚数单位，z（2﹣i）＝5（1+i），则＝（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．（5分）在△ABC中C＝4，D为BC上一点，且，AD＝2，则BC的长为（）A．B．C．4D．4．（5分）在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形T，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，四边形OAFB为梯形，则双曲线C离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4034？B．i≤4036？C．i≤4038？D．i≤4042？9．（5分）已知大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，则下列结论正确的是（）A．B．ln（x2+1）＜ln（y2+1）C．tanx＜tany D．10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x﹣y﹣2＝0对称的不同两点P 和Q，则线段PQ的中点坐标为（）A．（1，﹣1）B．（2，0）C．（，﹣）D．（1，1）11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形，M，N分别是C 1B1，CC1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝asinωx+bcosωx（ω＞0）在区间上单调，且，当时，f（x）取到最大值4，若将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g（x）的图象，则函数零点的个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（2，﹣1），则•（2﹣）＝．14．（5分）已知曲线f（x）＝ln（a+x）（a∈R）在（0，0）处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围为．15．（5分）若，则＝．16．（5分）某饮料厂生产A、B两种饮料．生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时（m，n∈N*）利润最大，则m+n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a3a7＝322，数列{b n}的前n项和为S n＝n2﹣n，（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．18．（12分）已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表：表1（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹重量（kg）包裹数402520105损坏件数13230表2（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹重量（kg）出厂价（元2025304050 /件）60657090110卖价（元/件）（Ⅰ）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；（Ⅱ）将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间（2，3]和（3，4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD是等边三角形，BC⊥CD，BC＝CD＝，E为三棱锥A﹣BCD外一点，且△CDE 为等边三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．求BE的长．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的四个顶点围成的四边形面积为，圆O：x2+y2＝1经过椭圆E 的短轴端点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于A，C和B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值．21．（12分）已知函数f的最小值为0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣﹣m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A，B，C的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），且△ABC的顶点都在圆C2上，将圆C2向右平移3个单位长度后，得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的直角坐标方程（Ⅱ）设M（1，1），曲线C1与C3相交于P，Q两点，求|MP|•|MQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，对∀x∈R，不等式恒成立，求mn的最小值．2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】求出集合M，B，再计算即可．【解答】解：已知集合M＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0，1，4}，则∁M B＝{2，3，5，6}，故选：C．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（2﹣i）＝5（1+i），得z＝，则．故选：B．3．【分析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．【解答】解：在△ABC中C＝4，D为BC上一点，如图所示：设BD＝x，且，所以DC＝2x，AD＝2，在△ABD中，利用余弦定理：①，在△ADC中，利用余弦定理：42＝22+（2x）2﹣2×2×2x•cos∠ADC②，由于cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由①得：，代入②得：，解得x＝．所以BC＝3x＝，故选：D．4．【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可．【解答】解：设正方形的边长为1；则对应正三角形的边长也为1；整个图形是有三个正方形和7个三角形组合而成；所以在T内随机取一点，则此点取自正方形的概率P＝＝＝；故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为．再由球与棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为．则该组合体的体积V＝．故选：A．6．【分析】求出A的坐标，然后求解B的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，四边形OAFB为梯形，可得A（c，），BF的方程为：y＝，与y＝﹣联立，可得B（，﹣），，可得（﹣）•（，）＜0，可得：，，可得3c2＜4a2，所以1＜e＜．故选：A．7．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，排除C，计算f（1）的值，排除AD，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|，则有f（﹣x）＝（x2﹣2|x|）e|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除C，又由f（1）＝（1﹣2）e＝﹣e，排除AD；故选：B．8．【分析】根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件式子．【解答】解：算法的功能是计算的值，易知正项的分母为2，6，10，…，4038成等差数列，所以判断框中i＝4038，继续执行，故终止程序运行的i值为4038，∴判断框内处应为i≤4038．故选：C．9．【分析】大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，可得log x2＝log y3，1＜x＜y．再利用函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，∴log x2＝log y3，∴1＜x＜y．∴ln（x2+1）＜ln（y2+1）．故选：B．10．【分析】曲线C：y2＝2x．设P（x1，y1），Q（x1，y1），线段PQ 的中点M（x0，y0），直线l垂直平分线段PQ，设其方程为y＝﹣x+b，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理转化求解即可．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0）因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为﹣1，设其方程为y＝﹣x+b，由，消去x得y2+2y﹣2b＝0，由P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2，从而△＝4﹣4×1×（﹣2b）＝8b+4＞0（*），因此y1+y2＝﹣2，所以y0＝﹣1，又M（x0，y0）在直线l上，所以x0＝1，所以点M（1，﹣1），此时b＝0满足（*）式，故线段PQ的中点M的坐标为（1，﹣1）．故选：A．11．【分析】推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y 轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形，M，N分别是C 1B1，CC1的中点，∴AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），M（0，1，2），A（2，0，0），N（0，0，1），＝（0，﹣1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线BM与AN所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BM与AN所成角的余弦值．故选：B．12．【分析】由题知f（x）＝asinωx+bcosωx＝，由得出对称中心及对称轴，得出T，再得出f （x）解析式，再由变换得出g（x），再分别画出g（x）与图象，即可得出结论．【解答】解：f（x）＝asinωx+bcosωx＝（ω＞0），所以，即0＜ω≤3，又，所以为f（x）对称轴；且，则为f（x）的一个对称中心，由于0＜ω≤3，所以与为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，则，∴ω＝2，又，且，解得，故，由图象变换得，g（x）在处的切线斜率为，又在处的切线斜率不存在，即切线方程为，所以右侧g（x）图象较缓，如图所示：同时时，，所以的零点有7个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．【分析】直接代入数量积求解即可．【解答】解：因为向量＝（2，1），＝（2，﹣1），∴2﹣＝（2，3）；则•（2﹣）＝2×2+（﹣1）×3＝1；故答案为：1．14．【分析】根据切线方程可求得参数a，进而解出不等式组即可【解答】解：因为f′（x）＝，所以f′（0）＝，f（0）＝lna，则曲线在（0，0）处的切线方程为y＝x+lna，所以＝1，lna＝0，解得a＝1，所以f（x）＝ln（x+1），则0≤f（x﹣2）≤1即0≤ln（x﹣1）≤1，所以1≤x﹣1≤e解得2≤x≤e+1，故答案为[2，e+1]．15．【分析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（+2α）的值．【解答】解：由，即sinα+cosα+cosα＝﹣，所以sinα+cosα＝﹣，即sin（α+）＝﹣，所以＝1﹣2sin2（α+）＝1﹣2×＝．故答案为：．16．【分析】设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，作出可行域，目标函数为z＝1.5x+y，则y＝﹣1.5x+z，z表示直线在y轴上的截距，求出当直线y＝﹣1.5x+z 经过点（4，3），即m＝4，n＝3时，利润最大，由此能求出结果．【解答】解：设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z＝1.5x+y，则y＝﹣1.5x+z，z表示直线在y轴上的截距，∵x，y只取整数，∴当直线y＝﹣1.5x+z经过点（4，3），即m＝4，n＝3时，利润最大，∴该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时（m，n∈N*）利润最大时，m+n＝7．故答案为：7．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【分析】本题第（Ⅰ）题设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），然后根据等比中项的性质a3a7＝＝322，进一步计算可得公比q 的值，即可得到数列{a n}的通项公式，然后利用公式b n＝可计算出数列{b n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果写出数列{c n}的通项公式，然后运用奇偶项分别求和的分组求和法计算出前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a 3a7＝＝322，故a5＝32．q4＝＝16＝24．解得q＝2．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．当n＝1时，b1＝S1＝12﹣1＝0，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣n﹣（n﹣1）2+（n﹣1）＝2n﹣2．∴数列{b n}的通项公式为b n＝2n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝．∴T2n＝c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n＝21+2+23+6+…+22n﹣1+（4n﹣2）＝（21+23+…+22n﹣1）+[2+6+…+（4n﹣2）]＝+＝•22n+1+2n2﹣．18．【分析】（Ⅰ）由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值．（Ⅱ）重量在（2，3]的产品数为20，其损坏率为＝0.1，重量在（3，4]的产品数为10，其损坏率为，设重量在（2，3]的这件产品的利润记为X，重量在（3，4]的这件产品的利润记为Y，X+Y的可能取值为45，2，﹣9，﹣52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：＝（40×10+25×15+20×20+10×25+5×30）＝15.75（元）．（Ⅱ）重量在（2，3]的产品数为20，其损坏率为＝0.1，重量在（3，4]的产品数为10，其损坏率为，设重量在（2，3]的这件产品的利润记为X，则X1＝70﹣30﹣20＝20，X2＝﹣（30+20）+30×0.9＝﹣23．设重量在（3，4]的这件产品的利润记为Y，则Y1＝90﹣40﹣25＝25，Y2＝﹣（40+25）+40×0.9＝﹣29，∴X+Y的可能取值为45，2，﹣9，﹣52，∴P（X+Y＝45）＝0.9×0.7＝0.63，P（X+Y＝2）＝0.1×0.7＝0.07，P（X+Y＝﹣9）＝0.9×0.3＝0.27，P（X+Y＝﹣52）＝0.1×0.3＝0.03，∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：利润452﹣9﹣52P0.630.070.270.03期望E（X+Y）＝45×0.63+2×0.07+（﹣9）×0.27+（﹣52）×0.03＝24.5．19．【分析】（I））取BD的中点O，连接OC，OA，现证明BD⊥平面AOC，再得到结论；（II）以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设∠EFG＝θ，求出平面ECD和平面ABD的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出E的坐标，得出结论．【解答】解：（I）取BD的中点O，连接OC，OA，根据题意，AO⊥BD，又BC＝CD，故CO⊥BD，又CO∩AO＝O，所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，所以AC⊥BD；（II）由平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BD＝2，AO＝，取CD的中点F，连接OF，显然CD⊥平面EOF，故OF＝，EF＝CD＝，则O（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），B（0，﹣1，0），F（），设∠EFG＝θ，则E（，cosθ+），设平面ECD的法向量为，则，即，得，平面ABD的法向量为，由|cos＜＞|＝，sinθ＝，cosθ＝，故E（1，1，1）或者（0，0，1）（舍弃），故BE＝．20．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）对直线AC的斜率分情况讨论，当直线AC的斜率不存在或为0时，S四边形ABCD＝2，当直线AC的斜率存在时，不妨设为k （k ≠0），则直线BD的斜率为﹣，直线AC的方程为：y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AC|＝，将k替换为﹣，得|BD|＝，所以S四边形ABCD＝，令t＝1+k2，则t＞1，利用二次函数的性质即可求出S四边形ABCD≥，因为2，所以四边形ABCD 的面积的最小值为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得，∴椭圆E的方程为：；（Ⅱ）易知椭圆E的右焦点坐标为（1，0），①当直线AC的斜率不存在或为0时，S四边形ABCD＝＝，②当直线AC的斜率存在时，不妨设为k （k≠0），则直线BD的斜率为﹣，直线AC的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，右焦点在椭圆E内，故此方程的△＞0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则有，，∴|AC|＝＝，将k替换为﹣，得|BD|＝，∴S四边形ABCD＝＝，令t＝1+k2，则t＞1，∴S四边形ABCD＝＝，当t＝2，即k＝±1时，等号成立，∵2，∴四边形ABCD 的面积的最小值为．21．【分析】（I）先对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求最小值，然后结合已知即可求解a；（II）由题意可得，0＝lnx1+﹣1﹣m，，两式相减可得ln＝，然后结合式子特点适当构造函数，即可证明【解答】解：（I）因为f＝ln（ax）+，x ＞0＝，易得当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（a，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝a时，函数取得最小值f（a）＝lna2＝0，故a＝1，f（x）＝lnx+．（II）由（I）可得f（x）＝lnx+，所以g（x）＝lnx+﹣1﹣m，因为g（x）＝f（x）﹣﹣m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，所以0＝lnx1+﹣1﹣m，，两式相减可得ln＝，故x1x2＝，则x1＝，，令t＝，则0＜t＜1，x1+x2＝，令h（t）＝，0＜t＜1，则＝＞0恒成立，故h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）＜h（1）＝0，所以t﹣＜2lnt＜0，所以，故x1+x2＞1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A，B，C的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），转换为直角坐标为A（2，2），B（﹣2），C（0，﹣4）设经过的圆的方程为x2+（y﹣m）2＝r2，将直角坐标A（2，2），B（﹣2），C（0，﹣4），代入圆的方程得到：解得m＝0，r＝4，所以圆C2的直角坐标方程为x2+y2＝16．将圆C2向右平移3个单位长度后，得到曲线C3，得到（x﹣3）2+y2＝16．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：把曲线C1的参数方程为（t为参数），代入（x﹣3）2+y2＝16．得到：，整理得：，所以|MP|•|MQ|＝|t1t2|＝11．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（（1））原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|．通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号解对应的不等式，最后取并即可；Ⅱ）由f（x）＝，可求得f（x）min＝f（）＝，恒成立⇔log2m•log2n≥1恒成立，利用基本不等式即可求得mn的最小值．【解答】解：（1））原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|．①当x≤时，原不等式可化为﹣3x+1+2﹣x≥3，解得x≤0，∴x≤0……（2分）②当＜x＜2时，原不等式可化为3x﹣1+2﹣x≥3，解得x≥1，∴1≤x≤2…（…3分）③当x≥2时，原不等式可化为3x﹣1﹣2+x≥3，解得x≥，∴x≥2……（4分）综上，原不等式的解集为：{x|x≤0或x≥1}…（5分）Ⅱ）∵f（x）＝，∴f（x）min＝f（）＝，…（…6分）∴由恒成立可知，不等式log2m•log2n≥1恒成立…（8分）∵log 2m+log2n≥2≥2，∴log2（m•n）≥2，∴mn≥4，当且仅当m＝n＝2时等号成立，∴mn的最小值是4……（10分）．。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =()A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]答案：D根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 解：解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 点评：本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则|z|=（）A ．15B C ．125D ．25答案：B根据复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，求出||z 即可. 解：1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--，22125||55z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 点评：本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9730S S -=，22a =，则2019a =（） A ．2017 B ．2019C ．4036D ．4038答案：C设等差数列{}n a 公差为d ，可得8930a a +=，结合22a =，建立1,a d 方程组，求解得到通项公式，即可求出结论. 解：由9730S S -=，得8930a a +=，所以121530a d +=，又12a d +=，所以2d =，10a =，所以02(1)22n a n n =+-=-，所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 点评：本题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．23答案：B设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=. 解：设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4= ∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选：B. 点评：本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(D ．()+∞答案：A求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 解：解：设(),0F c ，所以c =OB 的方程为by x a=-，直线BF 的方程为()b y x c a =-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0BO BA ⋅<，所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，2313e ∴<<.故选：A. 点评：本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题. 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．233π- B ．223π- C ．23π D ．413π- 答案：B由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 解：解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体， 2，高为1，所以四棱锥的体积为1222133=，半球的体积为322133ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为223π-. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：B判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 解：易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 点评：本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 8．已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A ．log 2log 2log 2x y z x y z >>B ．log 2log 2log 2y z x y z x >>C ．log 2log 2log 2x z y x z y >>D ．log 2log 2log 2y x z y x z >>答案：B由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.解：∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．点评：本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．31B ．39C ．47D ．60答案：D根据循环程序框图，循环计算到11n =时，输出T ，即可得出答案. 解：解：根据题意，0T =，1n =；8T =，2n =；84T =+，3n =；844T =++，4n =；8448T =+++，5n =；84480T =++++，6n =； 8448+012T =++++，7n =； 84480124T =+++++-，8n =； 8448012416T =+++++-+，9n =； 84480124168T =+++++-+-，10n =； 8448012416820T =+++++-+-+，11n =，故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选：D. 点评：本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.10．已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||22AB =物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(1,1)答案：A根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标，代入抛物线方程，求出p ，设点()11,P x y ，()22,Q x y 代入抛物线方程作差，得到PQ 斜率与12,y y 关系，即可求解. 解：因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为，横坐标为1，代入22(0)y px p =>，可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-，又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 点评：本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，注意相交弦中点问题“点差法”的应用，属于中档题.11．已知三棱柱111ABC A B C -的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．310BC ．710D答案：B画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC=CA=CC 1， ∵三棱柱111ABC A B C -3的球，设BC=CA=CC 1=a,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球， 22223a a a ++=a=2， ∴BC=CA=CC 1=2,55()222211226NO MB B M BB ==+=+=在△ANO 中,由余弦定理可得：222302256AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅⨯⨯故选：B. 点评：本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12．设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =-A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D由已知可得()()f x x ωϕ=+，由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出()f x 的解析式，再有变换得出()g x ，再分别画出()g x与y =图象，得出结论. 解：解：设()()f x x ωϕ=+()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤，又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴，且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心，由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=．4=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3y x π=+在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-．所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示，同时43x π+>时，163x π>-，所以()3y g x x π=-+的零点有7个．故选：D.点评：本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(,1)()b m m =-∈R ，且(2)b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为______.答案：2210由向量垂直的坐标关系，求出m ，再由向量的投影公式，即可求解.解：根据题意，2(4,3)a b m -=-，(2)b a b ⊥-，(4)30m m ∴--=，1m ∴=或3m =，所以向量a在b方向上的投影为||2abb⋅===.故答案为:2或2.点评：本题考查向量的坐标运算、向量的投影，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知91xax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含3x项的系数为212-，则实数a=______.答案：2求出二项展开式通项公式，得到3x项的系数，建立a的方程，求解即可.解：99219911C Cr rr r r rrT x xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由9233r r-=⇒=，得系数为339121C2a⎛⎫-=-⎪⎝⎭，2a∴=.故答案为:2.点评：本题考查二项展开式定理通项公式，熟记公式是解题关键，属于基础题.15．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且1234··n nT a a a a a=⋅⋅⋅⋯，若72a=，1016a=，则满足n nS T>的最大正整数n的值为______.答案：12根据已知求出{}n a通项公式，进而求出,n nS T，得到不等式21110*2221,nnnn N-+∈>+，等价转化为21110*222,nnnn N-+>∈，即211102n nn-+>，求解即可得出结论.解：根据题意，72a=，1016a=，2q∴=，所以62nna-=，记()1211221321232nnn nS a a a--=++⋯+==-，(11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=，由题意n n S T >，即(11)252122n n n -->， 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=， 211102221n n n -+∴->，因此只需211102n n n -+>， 213100n n ∴-+<，n <<，由于n 为整数，因此n最大为132+的整数部分，即为12. 故答案为:12.点评：本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式，合理放缩是解题的关键也是难点，属于中档题.16．某饮料厂生产A ，B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大，则m n +=_________.答案：7 设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩，画出可行域，结合已知，即可求得答案.解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩ 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设B 饮料每桶利润为1，则目标函数为 1.5z x y =+，则 1.5y x z =-+，z 表示直线在y 轴上的截距，x ，y 只取整数，∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =，3n =时，z 取得最大值，故7m n +=.故答案为：7.点评：本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．三、解答题17．在ABC 中，23AB =D 为BC 上一点，且3BC BD =，2AD =.（Ⅰ）若30B =︒，ADB ∠为钝角，求CD 的长；（Ⅱ）若sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠，求ABC 的周长. 答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）3442++（Ⅰ）在ABD △中，根据正弦定理，结合ADB ∠范围，求出,ADB BAD ∠∠，即可求出结论；（Ⅱ）由已知可得12BAD CAD S S =△△，由sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式，求出4AC =，设BC x =，分别在,ADC ADB ∆∆中，用余弦定理表示,AC AB ，再由,ADC ADB ∠∠互补，建立x 的方程，求解即可.解：（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，2sin 30=︒，解得sin ADB ∠=，则120ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，所以2AD BD ==，所以24CD BD ==.（Ⅱ）由3BC BD =，得12BAD CAD S S =△△，所以1sin 1212sin 2BAD CAD AB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△，因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠，AB =4AC =，设BD x = 由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠；2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠，22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠；222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠，可得3x =，所以BC = 故ABC的周长为4+点评：本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；()2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．答案：()115.75元；()2见解析，24.5. ()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值；()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=，重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，45X Y +=，2，9-，52-，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．解：解：()1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ，401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）． ()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=．重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，则170302020X =--=，()23020300.923X =-++⨯=-，设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，则190402525Y =--=，()24025400.929Y =-++⨯=-，所以45X Y +=，2，9-，52-，则()450.90.70.63P X Y +==⨯=，()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=，()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=，所以其分布列为：利润 452 9- 52- P 0.63 0.07 0.27 0.03根据题意，()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=．点评：本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，2BC CD ==，E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE △为等边三角形．()1证明：AC BD ⊥；()2若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为33，求BE 的长．答案：()1证明见解析；()26BE =()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，证明BD ⊥平面AOC ，可得到结论；()2以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.解：解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，所以AO BD ⊥，又因为BC CD =，所以CO BD ⊥，因为CO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥．()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =，设EFO πθ∠=-，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-，31122CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0311cos cos 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭．因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =，所以cos ,3OC n 〈〉==，22cos 1sin 2θθ∴= 所以3cos 3θ=±，sin 6θ=，所以()1,1,1E 或()0,0,1E ．因为E 为三棱锥A BCD -外一点，所以()1,1,1E ，所以6BE =．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ，过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ，且4MA MB k k +=，求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离.答案：（Ⅰ）2212x y +=51- （Ⅰ）根据椭圆的对称性可得2b a =，再由1b =，即可求出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,A B 坐标关系，将4MA MB k k +=用坐标表示，化简得出,m k 关系，求出直线AB 过定点，当直线AB 斜率不存在时，求出其方程也过同一定点，即可求出结论. 解：（Ⅰ）根据题意，1b =，又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直，所以sin 45b a ︒==，所以a =1C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， (),A A A x y ，(),B B B x y ，代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，所以2212A B km x x k -+=+，22112A B m x x k -⋅=+，故1A MA A y k x -=，1B MB By k x -=，所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-， ∴将12k m =-代入y kx m =+得：12k y kx =+-，所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.②当直线AB斜率不存在时，A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，24MA MB k k t+==-=，解得12t =-，则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而点P 到点Q 的最小距离为12-. 点评：本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，相交弦问题注意根与系数关系的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 答案：（Ⅰ）()ln f x x x =-（Ⅱ）见解析（Ⅰ）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出极大值，最大值，建立a 的方程关系，求解即可；（Ⅱ）12,x x 代入方程1ln 202x x +-=，整理得到1212122ln x x x x x x -=，进而有1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，01t <<，转化为证明112ln t t t->，构造函数1()2ln h t t t t =--，根据函数单调性证明()0h t <即可.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(0)f x a x x '=->，当0a 时，1()0f x a x'=->，即函()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值.当0a >时，令1()0f x a x ，可得1x a =，当10x a<<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以ln 11a --=-，1a .故()ln f x x x =-. （Ⅱ）设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点，所以111ln 202x x +-=，221ln 202x x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=.构造函数1()2ln h t t t t =--，则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<，()0h t '>恒成立，故()(1)h t h <，所以12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<，因为ln 0t <，可知112ln t t t ->，故121x x +>.点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明，构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值.答案：（1）22(3)16x y -+=（2）11（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；（2）由（1）联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A的直角坐标系为2)A ，点B的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=，代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.（2）由（1）联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)1622t --++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．23．已知函数()|31||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值. 答案：（1）{|0x x ≤或1}x ≥.（2）4（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用基本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．解：（1）原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤；②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥， 2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知，不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.点评：本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。

2020年高考数学教材必做100题理新人教A必修5 精品

2020年高考数学教材必做100题（理）（人教A 必修5）时量：120分钟班级：姓名：计分：（说明：《必修5》共精选13题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）1. 在△ABC 中，若cos cos a A b B =，判断△ABC 的形状. （☆P 6 3）2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2＝c 2＋2ab . （1）求C ；（2）若tan 2tan B a c C c-=，求A ．（☆P 6 8）3. 如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知△ACD 为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，试求炮击目标的距离AB ．（☆P 8 8）4. 已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(2)n n n a a a n --=+>给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n na b a +=构造一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的前5项. （◎P 34 B3）5. 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P 44 例3）6.（09年福建卷.文17）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==. （☆P 38 8）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .7. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P 58 2）8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(1)()3n n S a n N =-∈. （☆P 32 9）（1）求12,;a a （2）求证：数列{}n a 是等比数列.9. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （☆P 42 9）（1）求A B I ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,A B I 求20ax x b ++<的解集.10. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？（◎P 81 6）11. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P 93 3）12. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P 99 例2）13. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600v y v v v =>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(理)(二)试题(解析版)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（二）试题一、单选题1．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( )A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A【解析】先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 【详解】因为集合{|6A x x =<且}{}*N1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2．复数z 满足()113z i i ⋅+=+，则z =（）A ．2B ．4C D ．5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求出模长|z |．【详解】()()13113212i i i z i i +-+===++，故z =故选：C . 【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．3．已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．13B ．13-C D ．【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】由诱导公式可得：3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭1cos 3α=-=，故1cos 3α=-.故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为( )A ．222?x z y +=B ．222?x y z +=C ．222?y z x +=D ．?x y =【答案】A【解析】根据题意得，,,,AC x AB y BC z === 则1600,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，再根据ABC V 为直角三角形90C =o ∠ 求解. 【详解】由题意得，,,,AC x AB y BC z ===则1000,80x y z y x ++==+ ，所以15202z x =- ，符合程序框图所示:又ABC V 为直角三角形，且90C =o ∠，所以222x z y += . 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3:1获胜的概率是( ) A ．827B ．1627C ．1681D ．3281【答案】A【解析】根据题意，可知5局3胜制，甲以3:1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，根据二项分布即可求出概率. 【详解】解：由题可知，5局3胜制，甲以3:1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，故所求概率为223221833327P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查独立重复试验求概率以及二项分布的实际应用，属于基础题.6．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆2C ：()2221x y -+=相切，则双曲线1C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．13y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】D【解析】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，根据渐近线与圆2C ：()2221x y -+=1=求解.【详解】双曲线1C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心()2,0到渐近线的距离为1，1=，得223a b =即3b a =. 所以双曲线1C的渐近线方程为：y x = 故选;D 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知向量a v 、b v 满足1a =v ，2b =v，2a b a b +=-v vv v ，则a v 与b v 夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】根据|2a b +rr|=2a b -rr|，两边平方，根据|a r|，|b r|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解．【详解】由已知，（2a b +r r ）2＝3（2a b -r r ）2，即4a r 2+4a r •b b r r +2＝3（4a r 2﹣4a r •b b r r +2）．因为|a r|＝1，|b r|＝2，则a r21b =r，2＝4，所以8+4a r •b =r 3（8﹣4a r •b r），即a r •1b =r．设向量a r与b r的夹角为θ，则|a r|•|b r|cosθ1=，即cosθ12=，故θ＝60°．故选：B . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据正弦函数的对称轴，令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.再根据()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，令()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩求解.【详解】令62x k ππωπ+=+，k Z ∈，则3k x ππω+=，k Z ∈.因为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，所以()()()130,30,13,23,k k k k ππωππωπππωπππω⎧+-⎪≤⎪⎪⎪+⎪>⎪⎪⎨⎪++⎪<⎪⎪⎪++⎪≥⎪⎩则20,310,34,37,3k k k k ωω⎧-≤⎪⎪⎪+>⎪⎨⎪>+⎪⎪⎪≤+⎩ 解得47,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．1 B ．eC ．1eD【答案】B【解析】根据题意，对2112x x x x <两边取对数，化简得1212ln ln x x x x <，故()ln x f x x=在()0,m 上为增函数，利用导数求出单调增区间，即可得出答案.【详解】解：由题意得，当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，两边取对数，得2112ln ln x x x x <，化简得1212ln ln x x x x <，故()ln xf x x=在()0,m 上为增函数，因为()21ln 00xf x x e x -'=≥⇒<≤，故m 的最大值为e .故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性的实际应用，利用导数研究单调性解决恒成立问题，考查转化思想和计算能力.10．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则0121231n a aa a n +++⋅⋅⋅+=+( ) A ．182 B ．1823C ．913D ．1829【答案】B【解析】由题可知，令1x =，得：32435n n =⇒=，根据导数的运算公式，得()()()666255101212112261226x x a x a x x a x '''⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⋅=+==++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令0x =和1x =，即可求出答案.【详解】解：根据题意，01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，令1x =，得：32435n n =⇒=，由于()612126x '⎡⎤+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦()512x =+()62551015026a x a x a a x a x a x ''⎛⎫⎛⎫'=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()662510121226x a x a x a x ''⎡⎤+⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()662510121226x a x a x a x C +∴=++⋅⋅⋅++，令0x =，解得112C =，而5n =，令1x =，得051218212363a a a a +++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）A．23B．22C．3 D．6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，则CD=1，BC=AD5，BD=BE=CF=22结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，由勾股定理得AB22CF AF+=+=，AC22=5+1=6+BE AE=813最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12．已知函数()()ln f x x a =-，若1x ∃，()2,x a ∈+∞，使得()()2212214x f x x f x -+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则实数a 的取值范围是( )A ．(,21⎤-∞-⎦ B ．2,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦C ．(,2⎤-∞⎦D ．(],2-∞【答案】A【解析】根据题意，()()221221x f x x f x -+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦表示两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出图象，可知()1,0A a +，()0,1B a +，则1AB k =-，分类讨论a ，结合条件即可求出a 的取值范围. 【详解】解：令()2t f x =，则()()()22121221,S x x x f x x f x =-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦为两点()()11,x f x ，(),tt e a +距离的平方，画出()()ln x a y f x ==-与xy e a =+的图象.设()1,0A a +，()0,1B a +，两函数图象在A ，B 处的切线斜率都为1，1AB k =-，当1a >-时，可知2AB 为()12,S x x 最小值.即()2421a ⎡⎤≥+⎣⎦，解得121a -<≤-，当1a ≤-时，显然成立，故21a ≤-.故选：A.【点睛】本题考查指对数函数的应用，涉及切线斜率和两点间距离，考查转化和分析能力.二、填空题13．已知())lg f x x x =是偶函数，则()()21f x f x -≤的解集为______.【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，利用函数的单调性解不等式，即可求出()()21f x f x -≤的解集.【详解】解：由题知，()f x 是偶函数，故())lgg x x =为奇函数，()001g a =⇒=，对()()()()12121122000x x g x g x x g x x g x <<⇒<<⇒<<，即()f x 在()0,∞+上为增函数，()()()22121212113f x f x x x x x x ∴-≤⇔-≤⇔-≤⇔≤≤，即()()21f x f x -≤的解集为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.14．已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(]1,2-【解析】根据x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，且直线20kx y -+=过定点()0,2 ，将目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，根据2z =时，最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=结合图形求解.x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，直线20kx y -+=，过定点()0,2目标函数化为2y x z =+，平移直线2y x =，在y 轴上截距最大时，目标函数值最大，当2z =时，可知：最优解在直线220x y -+=上，而()0,2在可行域内，且满足220x y -+=. 所以最大值点为()0,2 如图所示：所以实数k 的取值范围是(]1,2-. 故答案为：(]1,2- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15．已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且190AF B ∠=︒.圆M 与1F A 的延长线，1F B 的延长线，直线AB 都相切，则圆M 的半径为______. 【答案】2【解析】根据题意，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ，得出四边形1F RMQ 是正方形，利用椭圆的定义，列式转化即可求出圆M 的半径.解：由题知，设M e 分别与直线AB ，1F A 延长线，1F B 延长线切于P ，Q ，R ，则四边形1F RMQ 是正方形，而11F R F B BP =+，11FQ F A AP =+，故1111442F R FQ F A F B AB a +=++==，所以122M F R r ==. 故答案为：22.【点睛】本题考查圆的半径和椭圆的定义的应用，以及圆的切线，考查转化思想和计算能力. 16．四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，7CD =，8DA =，则四边形ABCD 面积最大值为______. 【答案】4105【解析】在△CBD ，△ABD 中，由余弦定理可得21cos 20cos 1C A -=- 再由三角形面积公式，可得21sin 20sin ABCD C A S +=，结合同角基本关系可得()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+，利用余弦定理的有界性求得最值．【详解】ABD ∆中，22258258cos BD A =+-⨯⨯，①CBD ∆中，22267267cos BD C =+-⨯⨯，② 由①②得：21cos 20cos 1(*)C A -=-，1158sin 67sin 22ABCD S A C =⨯⨯+⨯⨯21sin 20sin (**)ABCD C A S ⇒+=,(*)(**)两式平方相加得：()2222120840cos 1ABCD A C S +-+=+， ∴222121208401681ABCD S +++=≤，∴ABCD S=故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，考查运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++L . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122311111n n a a a a a a ++++<L . 【答案】（1）n a n =（2）见解析【解析】（1）根据已知利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令nn a b n=，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式；（2）根据（1）求出12231111n n a a a a a a ++++L ，然后利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++L 得： 122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+L ，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥. 当1n =时，122a a =满足此式，故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+，化为111n n a a n n +⋅=+. 令nn a b n=，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=，即212311k k b b b --====L ，故n 为奇数时，1n n b a n ==，. 又21b =，故22221k k b b b -====L ，故n 为偶数时，1n n b a n ==，，故n a n =.（2）由（1）可得：122311*********(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+L L 1111112231n n =-+-++-+L1111n =-<+.【点睛】本题考查数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18．四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）先作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，又在底面中可得90ABD ∠=︒，从而可得DB ⊥平面PAB PA DB ⇒⊥，结合90P D A PA ∠=︒⇒⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求. 【详解】（1）作AM PB ⊥于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD AM ⇒⊥平面PBD AM BD ⇒⊥，取AD 中点为Q ，则190BQ CD QD QA ABD BC QD ====⇒∠=⇒︒P，又PBA ∠为锐角，∴M 、B 不重合，DB ABDB DB AM ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面PAB PA DB ⇒⊥与PA AD PA ⊥⇒⊥平面ABCD . （2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则31,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()002P ,,，由（1）的证明知：平面PAB 法向量为33,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面PCD 法向量为(),,m x y z =u r，则220031002y z m PD m CD x y ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ，令(13,3x m =⇒=，333722cos 77,3m BD m B m BD D-+⋅==⋅⋅=u r u u u r u r u u r u u u r u u r . 【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题；19．已知抛物线()220x py p =>上有两点A ，B ，过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒.（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）斜率为1且过焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，直线()1y x c c =+<交抛物线于C ，D 两点，求四边形MNDC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）128227. 【解析】（Ⅰ）根据过A ，B 作抛物线的切线交于点()2,1Q --，且90AQB ∠=︒，设过点Q 的直线方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入22x py =，得到()222210--=-x pkx p k ，根据相切，则由0∆=，得2420pk k +-=，再根据两切线垂直求解.（Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，利用弦长公式得到8M N MN x x =-=.CD l ：y x c =+与24x y =，利用弦长公式得到=-=C D CD x x ，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，然后由梯形的面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）过点Q 作22x py =的切线，方程为()12y k x +=+，即21y kx k =+-，代入()22210222x py x p k kx p ---⇒==，0∆=，化为2420pk k +-=，122112k k p p-=-⇒=-⇒=. （Ⅱ）MN l ：1y x =+与24x y =联立，得 2440x x --=，故8M N MN x x =-==.CD l ：y x c =+与24x y =，得：2440x x c --=，=-=C D CD x x且由1616011c c ∆=+>⇒-<<，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC=，故(()(1812=⨯+=-MNDCS c ，t =，则()()(()222MNDC S tt t =-∈.()()()(2222226463S t t t t t t ⎛⎫'=-+-⋅=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭.在0,3⎛ ⎝⎭上，0S '>，在3⎛⎝上，0S '<.故当t =S 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理. （Ⅰ）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【答案】（Ⅰ）()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩；（Ⅱ）119只.【解析】（Ⅰ）根据题意，可求出利润y 关于需求量x 的函数解析式：()()2*1416,N 30,a x a a x ay x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，即可求出当16a =时，y 关于x 的解析式；(Ⅱ)根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112只和出栏119只时的分布列和期望，比较即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+--⋅-=++-，当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩.（Ⅱ）若出栏112只，则16a =，由（Ⅰ）知，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，记1Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.1Y 可取420，450，480，()14200.15P Y ==，()14500.2P Y ==，()14800.65P Y ==，1Y 的分布列为：()14200.154500.24800.65465E Y =⨯+⨯+⨯=，若出栏119只，则17a =，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩， 2Y 可取417，448，479，510，()24170.15P Y ==，()24480.2P Y ==， ()24790.25P Y ==，()25100.4P Y ==，2Y 的分布列为：()24170.154480.24790.255100.4475.9E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.综上可知，()()1277E Y E Y <，则养鸡厂出栏119只时，利润最大. 【点睛】本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-，故ln 21122a b +-=-，可得1ln 222b a -=-.（2）由（1）可得22ln 21()()22x x x x h x e a e b mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m >时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞.故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+- ()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m >，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点，108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x x h x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.222111111111(ln )ln (2)ln h t t t m t t t t t t =--=---1111[(1)(12)ln ]t t t t =-+-11110,120,ln 0t t t -<-><Q ，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立， ()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m >时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为()2,1M ，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ10y -+-=，2211612x y +=；（Ⅱ）32-.【解析】（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，消去t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C 的极坐标方程222483cos 4sin ρθθ=+，变形为22223cos 4sin 48ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求解.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，利用A ，B 中点为()2,1M ，且直线过()2,1M ，利用参数的几何意义求解.【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩，且3πϕ=，所以12212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t10y -+-=，所以直线l10y -+-=；因为椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+. 所以22223cos 4sin 48ρθρθ+=，223448x y +=，椭圆C 的直角坐标方程为：2211612x y +=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：()()223sin 12cos 8sin 320t t ϕϕϕ+++-=，因为A ，B 中点为()2,1M所以120t t +=，故312cos 8sin 0tan 2k ϕϕϕ+=⇒==-，所以直线l 的斜率为32-.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()2f x x a x =-+-. （Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由()()222x a x x a x a -+-≥---=-，求得()f x 最小值，再由23a -≥求解.（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.，再分类求解.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -，235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届高考数学百题精炼系列2(文理合卷) 精品

2020届高考数学百题精炼系列2一、选择题：（每小题仅有一个选项符合题意，共5×12=60分）【解析】当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，由于函数()f x 是奇函数，故()()(1)f x f x x x =--=+。

【考点】基本初等函数Ⅰ。

【点评】已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。

3．抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（）A ．)2,1(B ．)0,0(C ．)1,21(D ．)4,1(【答案】C【分析】根据题意，直线54-=x y 必然与抛物线24y x =相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线54-=x y 平行的抛物线的切线的切点。

【解析】'8y x =，由84x =得12x =，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是1 (,1) 2，该点到直线45y x=-的距离是最短。

【考点】导数及其应用。

【点评】本题以数形结合思想为指导命制，通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为4的切线的切点坐标。

本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解，即抛物线上的点到直线5．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2，则213ba+的最小值为（）A．233B．33C．2D．1【答案】A【分析】根据基本不等式21233b ba a+≥，只要根据双曲线的离心率是2，求出ba的值即可。

【解析】由于已知双曲线的离心率是2，故222221c a bba a a+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，解得3ba=所以213ba+的最小值是23。

【考点】圆锥曲线与方程。

【点评】双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率e和渐近线的斜率ba±之间有关系221bea⎛⎫=+± ⎪⎝⎭，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(三)(全国Ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{x ∈N|x ≤6}，A ＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B ＝{y|y ＝x 2, x ∈A}，则∁M B ＝（） A.{2, 5, 6} B.{2, 3, 6} C.{2, 3, 5, 6} D.{0, 2, 3, 5, 6}2. 已知i 是虚数单位，z(2−i)＝5(1+i)，则z ¯=( ) A.1+3i B.1−3i C.−1+3i D.−1−3i3. 在△ABC 中,AB =2√3,AC ＝4，D 为BC 上一点，且BC →=3BD →，AD ＝2，则BC 的长为（） A.√423B.√422C.4D.√424. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形T ，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A.23 B.√37+4√3C.7+4√3D.125. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2π+4√33B.2π+12√33C.4π+4√33D.4π+12√336. 已知O 为坐标原点，双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO →⋅BA →<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（） A.(1,2√33) B.(2√33, +∞) C.(1, 2√3) D.(2√3, +∞)7. 函数f(x)＝(x 2−2|x|)e |x|的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图给出的是计算12−14+16⋯+14038−14040的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A.i ≤4034？B.i ≤4036？C.i ≤4038？D.i ≤4042？9. 已知大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，则下列结论正确的是（） A.1x 2+1<1y 2+1B.ln (x 2+1)<ln (y 2+1)C.tan x <tan yD.√x 3>√y 310. 已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l:x −y −2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（） A.(1, −1) B.(2, 0) C.(12, −32)D.(1, 1)11. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点,CA →⋅CB →=0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A.15 B.25C.45D.√21512. 设函数f(x)=a sin ωx +b cos ωx(ω>0)在区间[π6,π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，当x =π12时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y =g(x)−√x +π3零点的个数为( ) A.4 B.5C.6D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知向量a →=(2, 1)，b →=(2, −1)，则b →⋅(2a →−b →)＝________．已知曲线f(x)＝ln (a +x)(a ∈R)在(0, 0)处的切线方程为y ＝x ，则满足0≤f(x −2)≤1的x 的取值范围为________．若sin (α+π6)+cos α=−√33，则cos (2π3+2α)=________．某饮料厂生产A 、B 两种饮料．生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m, n ∈N ∗)利润最大，则m +n =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知正项等比数列{a n }满足a 1=2，a 3a 7=322，数列{b n }的前n 项和S n =n 2−n ． (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ={a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表：表1(1)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；(2)将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2, 3]和(3, 4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABD 是等边三角形，BC ⊥CD ，BC =CD =√2，E 为三棱锥A −BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形．(1)证明：AC ⊥BD ；(2)若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为√33．求BE 的长．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点围成的四边形面积为2√2，圆O:x 2+y 2＝1经过椭圆E 的短轴端点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过椭圆E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E 相交于A ，C 和B ，D 四点，求四边形ABCD 面积的最小值．已知函数f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)的最小值为0．(Ⅰ)求f(x)的解析式； (Ⅱ)若函数g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3． (1)求曲线C 3的直角坐标方程；(2)设M(1, 1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|⋅|MQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|+|x −2|． (1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若m >1，n >1，对∀x ∈R ，不等式3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立，求mn 的最小值．参考答案与试题解析2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合M，B，再计算即可．【解答】已知集合M＝{x∈N|x≤6}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{y|y＝x2, x∈A}＝{0, 1, 4}，则∁M B＝{2, 3, 5, 6}，2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由z(2−i)＝5(1+i)，得z=5(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i，则z¯=1−3i．3.【答案】【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．【解答】在△ABC中,AB=2√3,AC＝4，D为BC上一点，如图所示：设BD＝x，且BC→=3BD→，所以DC＝2x，AD＝2，在△ABD中，利用余弦定理：(2√3)2=22+x2−2×2x⋅cos∠BDA①，在△ADC中，利用余弦定理：42＝22+(2x)2−2×2×2x⋅cos∠ADC②，由于cos∠ADB＝−cos∠ADC，由①得：cos∠BDA=x2−84x，代入②得：16=4+4x2+8x⋅x2−84x，解得x=√423．所以BC＝3x=√42，故选：D．4.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可．【解答】设正方形的边长为1；则对应正三角形的边长也为1；整个图形是有三个正方形和7个三角形组合而成；所以在T内随机取一点，则此点取自正方形的概率P=3S3S+7S=3×123×12+7×12×1×1×sin60=√34√3+7；5.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3．再由球与棱锥体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3．则该组合体的体积V =12×43π×13+13×2×2×√3=2π+4√33． 6.【答案】 A【考点】双曲线的离心率【解析】求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：O 为坐标原点，双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上， AF ⊥x 轴，四边形OAFB 为梯形，可得A(c, bca )，BF 的方程为：y =ba (x −c)，与y =−ba x 联立，可得B(c2, −bc2a )， BO →⋅BA →<0，可得(−c 2,bc 2a)⋅(c 2, 3bc 2a)<0，可得：−c 24+3b 2c 24a 2<0，3b 2a <1，可得3c 2<4a 2，所以1<e <2√33．故选A . 7.【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数，排除C ，计算f(1)的值，排除AD ，即可得答案．【解答】故选：B ． 8.【答案】 C【考点】程序框图【解析】根据算法的功能确定跳出循环的i 值，可得判断框内的条件式子．【解答】算法的功能是计算12−14+16⋯+14038−14040的值，易知正项的分母为2，6，10，…，4038成等差数列，所以判断框中i ＝4038，继续执行，故终止程序运行的i 值为4038， ∴ 判断框内处应为i ≤40(38) 9.【答案】 B【考点】对数值大小的比较【解析】大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，可得log x 2＝log y 3，1<x <y ．再利用函数的单调性即可判断出结论．【解答】大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ， ∴ log x 2＝log y 3，∴ 1<x <y ．∴ ln (x 2+1)<ln (y 2+1)． 10.【答案】 A【考点】抛物线的性质【解析】曲线C:y 2＝2x ．设P(x 1, y 1)，Q(x 1, y 1)，线段PQ 的中点M(x 0, y 0)，直线l 垂直平分线段PQ ，设其方程为y ＝−x +b ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理转化求解即可．【解答】设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，线段PQ 的中点M(x 0, y 0)因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为−1，设其方程为y ＝−x +b ，由{y =−x +b y 2=2x ，消去x 得y 2+2y −2b ＝0，由P 和Q 是抛物线C 的两相异点，得y 1≠y 2，从而△＝4−4×1×(−2b)＝8b +4>0(∗)，因此y 1+y 2＝−2，所以y 0＝−1，又M(x 0, y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，所以点M(1, −1)，此时b ＝0满足(∗)式，故线段PQ 的中点M 的坐标为(1, −1)． 11.【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出AC ⊥BC ，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形， M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点,CA →⋅CB →=0，∴ AC ⊥BC ，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0, 2, 0)，M(0, 1, 2)，A(2, 0, 0)，N(0, 0, 1)， BM →=(0, −1, 2)，AN →=(−2, 0, 1)，设异面直线BM 与AN 所成角为θ，则cos θ=|BM →⋅AN →||BM →|⋅|AN →|=5⋅5=25．∴ 异面直线BM 与AN 所成角的余弦值25． 12.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换根的存在性及根的个数判断函数的零点【解析】由题知f(x)＝a sin ωx +b cos ωx =√a 2+b 2sin (ωx +φ)，由f(π2)=f(2π3)=−f(π6)得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出f(x)解析式，再由变换得出g(x)，再分别画出g(x)与y =√x +π3图象，即可得出结论．【解答】解：f(x)=a sin ωx +b cos ωx =√a 2+b 2sin (ωx +φ)(ω>0)，所以π2−π6≤T 2=12⋅2πω=πω，即0<ω≤3，又f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，所以x =π2+2π32=7π12为f(x)对称轴,且π2+π62=π3，则(π3,0)为f(x)的一个对称中心，由于0<ω≤3，所以x =7π12与(π3,0)为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，则T =4(7π12−π3)=π， ∴ ω=2，又√a 2+b 2=4，且f(π12)=a sin2π12+b cos2π12，解得a =2,b =2√3，故f(x)=2sin 2x +2√3cos 2x =4sin (2x +π3)，由图象变换得g(x)=4sin (x +π3)，g(x)在(−π3,0)处的切线斜率为g ′(−π3)=4cos (−π3+π3)=4，又y =√x +π3在(−π3,0)处的切线斜率不存在，即切线方程为x =−π3，所以x =−π3右侧g(x)图象较缓，如图所示：同时√x +π3>4时，x >16−π3，所以的零点有7个. 故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接代入数量积求解即可．【解答】因为向量a →=(2, 1)，b →=(2, −1)， ∴ 2a →−b →=(2, 3)；则b →⋅(2a →−b →)＝2×2+(−1)×3＝1；【答案】 [2, e +1] 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据切线方程可求得参数a ，进而解出不等式组即可【解答】因为f′(x)=1a+x ，所以f′(0)=1a ，f(0)＝ln a ，则曲线在(0, 0)处的切线方程为y =1a x +ln a ，所以1a =1，ln a ＝0，解得a ＝1，所以f(x)＝ln (x +1)，则0≤f(x −2)≤1即0≤ln (x −1)≤1，所以1≤x −1≤e 解得2≤x ≤e +1，【答案】79【考点】两角和与差的三角函数【解析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin (α+π3)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos (2π3+2α)的值．【解答】由sin (α+π6)+cos α=−√33，即√32sin α+12cos α+cos α=−√33，所以12sin α+√32cos α=−13，即sin (α+π3)=−13，所以cos (2π3+2α)=1−2sin 2(α+π3)＝1−2×(−13)2=79．【答案】7【考点】简单线性规划线性规划的实际应用【解析】设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0x ≤2y3x ≥y100y +100x −750≤0 ，作出可行域，目标函数为z ＝1.5x +y ，则y ＝−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，求出当直线y ＝−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m ＝4，n ＝3时，利润最大，由此能求出结果．【解答】解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0，x ≤2y ，3x ≥y ，100y +100x −750≤0，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z =1.5x +y ，则y =−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，∵ x ，y 只取整数，∴ 当直线y =−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m =4，n =3时，利润最大， ∴ m +n =7．故答案为：7.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q(q >0)，∴ a 3a 7=a 52=322， ∴ a 5=32．又a 1=2， ∴ q 4=a 5a 1=322=16=24，解得q =2．∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n (n ∈N ∗)．当n ≥2时，b n =S n −S n−1=n 2−n −(n −1)2+(n −1)=2n −2，当n =1时，b 1=S 1=12−1=0，满足b n =2n −2， ∴ 数列{b n }的通项公式为b n =2n −2(n ∈N ∗)．(2)由(1)得，a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)，b n=2n−2(n∈N∗)，∴c n={a n，n为奇数，b n，n为偶数，={2n，n为奇数，2n−2，n为偶数，．∴T2n=c1+c2+c3+c4+⋯+c2n−1+c2n=21+2+23+6+⋯+22n−1+(4n−2)=(21+23+⋯+22n−1)+[2+6+⋯+(4n−2)]=2−22n−1⋅221−22+n⋅[2+(4n−2)]2=13⋅22n+1+2n2−23．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的性质等比数列的通项公式【解析】本题第(1)题设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，然后根据等比中项的性质a3a7=a52=322，进一步计算可得公比q的值，即可得到数列{a n}的通项公式，然后利用公式b n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2可计算出数列{b n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果写出数列{c n}的通项公式，然后运用奇偶项分别求和的分组求和法计算出前2n项和T2n．【解答】解：(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，∴a3a7=a52=322，∴a5=32．又a1=2，∴q4=a5a1=322=16=24，解得q=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)．当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2−n−(n−1)2+(n−1)=2n−2，当n=1时，b1=S1=12−1=0，满足b n=2n−2，∴数列{b n}的通项公式为b n=2n−2(n∈N∗)．(2)由(1)得，a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)，∴c n={a n，n为奇数，b n，n为偶数，={2n，n为奇数，2n−2，n为偶数，．∴T2n=c1+c2+c3+c4+⋯+c2n−1+c2n=21+2+23+6+⋯+22n−1+(4n−2)=(21+23+⋯+22n−1)+[2+6+⋯+(4n−2)]=2−22n−1⋅221−22+n⋅[2+(4n−2)]2=13⋅22n+1+2n2−23．【答案】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X1=70−30−20=20，X2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，则Y1=90−40−25=25，Y2=−(40+25)+40×0.9=−29，∴X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，∴P(X+Y=45)=0.9×0.7=0.63，P(X+Y=2)=0.1×0.7=0.07，P(X+Y=−9)=0.9×0.3=0.27，P(X+Y=−52)=0.1×0.3=0.03，∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：期望E(X+Y)=45×0.63+2×0.07+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【考点】众数、中位数、平均数离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值．(Ⅱ)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．【解答】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X 1=70−30−20=20，X 2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y ，则Y 1=90−40−25=25，Y 2=−(40+25)+40×0.9=−29， ∴ X +Y 的可能取值为45，2，−9，−52， ∴ P(X +Y =45)=0.9×0.7=0.63， P(X +Y =2)=0.1×0.7=0.07， P(X +Y =−9)=0.9×0.3=0.27， P(X +Y =−52)=0.1×0.3=0.03，∴ 该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0, 得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=√2=√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（I ））取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，现证明BD ⊥平面AOC ，再得到结论；(II)以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设∠EFG ＝θ，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出E 的坐标，得出结论．【解答】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0,得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=1√2=sin θ√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【答案】（1）由题意可知：{2ab =2√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得{a =√2b =1c =1， ∴ 椭圆E 的方程为：x 22+y 2=1；（2）易知椭圆E 的右焦点坐标为(1, 0)，①当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=12×2a ×2b 2a=2b 2=2，②当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，联立方程{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +2(k 2−1)＝0，右焦点在椭圆E 内，故此方程的△>0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，∴ |AC|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=2√2(k 2+1)2k 2+1，将k 替换为−1k ，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，∴ S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)，令t ＝1+k 2，则t >1， ∴ S 四边形ABCD =4t 22t 2+t−1=4−(1t −12)2+94≥169，当t ＝2，即k ＝±1时，等号成立，∵ 2>169，∴ 四边形ABCD 的面积的最小值为169．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆E 的方程；(Ⅱ)对直线AC 的斜率分情况讨论，当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD ＝2，当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k ，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AC|=2√2(k 2+1)2k 2+1，将k 替换为−1k，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，所以S 四边形ABCD=4(k 2+1)(2k 2+1)(k 2+2)，令t ＝1+k 2，则t >1，利用二次函数的性质即可求出S 四边形ABCD ≥169，因为2>169，所以四边形ABCD 的面积的最小值为169．【解答】（1）由题意可知：{2ab =2√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得{a =√2b =1c =1 ， ∴ 椭圆E 的方程为：x 22+y 2=1；（2）易知椭圆E 的右焦点坐标为(1, 0)，①当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=12×2a ×2b 2a=2b 2=2，②当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k ，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，联立方程{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +2(k 2−1)＝0，右焦点在椭圆E 内，故此方程的△>0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，∴ |AC|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=2√2(k 2+1)2k +1，将k 替换为−1k ，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，∴ S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=4(k 2+1)2(2k +1)(k +2)，令t ＝1+k 2，则t >1， ∴ S 四边形ABCD =4t 22t 2+t−1=4−(1t −12)2+94≥169，当t ＝2，即k ＝±1时，等号成立，∵ 2>169，∴ 四边形ABCD 的面积的最小值为169．【答案】（I ）因为f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)=ln (ax)+ax −1，x >0f ′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，易得当x ∈(0, a)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(a, +∞)，f′(x)>0，函数单调递增，故当x ＝a 时，函数取得最小值f(a)＝ln a 2＝0，故a ＝1，f(x)＝ln x +1x −1．(II)由( I)可得f(x)＝ln x +1x −1，所以g(x)＝ln x +12x −1−m ，因为g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，所以0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得ln x1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2，则x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2，令t =x 1x 2，则0<t <1，x 1+x 2=t−1t21nt，令ℎ(t)=t −1t−21nt ，0<t <1，则ℎ′(t)=1+1t 2−2t=(t−1)2t 2>0恒成立，故ℎ(t)在(0, 1)上单调递增，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，所以t −1t <2ln t <0，所以t−1t21nt >1，故x 1+x 2>(1) 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（I ）先对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求最小值，然后结合已知即可求解a ； (II)由题意可得，0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得lnx 1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，然后结合式子特点适当构造函数，即可证明【解答】（I ）因为f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)=ln (ax)+ax−1，x >0f ′(x)=1x −a x 2=x−a x 2，易得当x ∈(0, a)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(a, +∞)，f′(x)>0，函数单调递增，故当x ＝a 时，函数取得最小值f(a)＝ln a 2＝0，故a ＝1，f(x)＝ln x +1x −1．(II)由( I)可得f(x)＝ln x +1x −1，所以g(x)＝ln x +12x −1−m ，因为g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，所以0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得ln x 1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2，则x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2，令t =x 1x 2，则0<t <1，x 1+x 2=t−1t21nt ，令ℎ(t)=t −1t −21nt ，0<t <1，则ℎ′(t)=1+1t 2−2t =(t−1)2t 2>0恒成立，故ℎ(t)在(0, 1)上单调递增，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，所以t −1t <2ln t <0，所以t−1t21nt>1，故x 1+x 2>(1)请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t （t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11． [选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1， ∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32，∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4. 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】【解答】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1， ∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32， ∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4.。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ．故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091．故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析：本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可．解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅱ卷)

，
因为 P2＜P1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品．
20. 解：（Ⅰ）依题意，点 P 在椭圆 C 上，
设点 P（x0，y0），则
，
故
，其中 x∈[-2，2]，
故当 x0=-2 时，|PM|有最大值．（Ⅱ）设 E（x1，y1），F（x2，y2）（x1≠1 且 x2≠1），
由
得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12＞0；
是多少？”则该几何体的容积为（）（注：1 丈=10 尺．）
A. 45000 立方尺 B. 52000 立方尺 C. 63000
立方尺
D. 72000 立方尺
7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9=54，a4=5，
则数列前 2019 项的和为（）
A.
B.
C.
D.
8. （1+2x2- ）（3x-2）5 的展开式中 x2 的系数为（）
由 VB-SDC=VS-BCD，得
=
，
解得 h= ，
∵直线 BA 与平面 SCD 所成角的正弦值为
∵BA2=BD2+AD2-2BD•AD•cos60°，
∴
，
，sinθ= ，解得 BA=
=，
解得 AD= 或 AD= ．
19. 解：（Ⅰ）依题意，完善列联表如下所示：
男性消费者Βιβλιοθήκη 女性消费者选择方案一
150
80
20. 已知椭圆 C：
=1 的左、右焦点分别为 F1，F2．
（Ⅰ）若|PF1|+|PF2|=4，求点 P 到点 M（，0）距离的最大值；
（Ⅱ）若过点（4，0）且不与坐标轴垂直的直线与椭圆 C 分别交于 E，F 两点，点 A（0，yA），B（0，yB）分别在直线 F2E，F2F 上，比较|F2A|，|F2B|的大小关系，并说明理由．

2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(二)理科数学

2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（） A ．1213-B ．513-C ．513D ．12132. 已知A ={x |y =ln （1－x ）}，B ={x |log 2x ＜1}，则A ∩B =（）A.B.C. D.3. 函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4. 不等式对恒成立，则a 的取值范围为 A.B.C. D.5. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 966.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A.B. C. 10 D. 207.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π68. 定义在R 上的函数满足：且，若，则的值是 A.B. 0C. 1D. 无法确定9.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610. 已知函数f （x ）=，则y =f （x ）的图象大致为（）A. B.C. D.11. 已知函数f （x ）=ln x +ln （2－x ），则（）A. 在单调递增B.在单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称12. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题“p ：∀x ∈R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是____________． 14. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。

2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题(解析版)

画出 g x 与 y x 图象，得出结论.
用，属于中档题.
11．已知三棱柱 ABC A1B1C1 内接于一个半径为 3 的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1
均为正方形，M , N
分别是
A1B1 ，A1C1 的中点，C1M
1 2
A1B1 ，则异面直线 BM
与
AN
所成角的余弦值为（）
3
A．
10
B． 30 10
7
C．
10
D． 70 10
的大小关系 0 x 1 y z ，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.
【详解】
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∵a＞b＞0， ab 1 ，
∴可得 a= 1 ，且 a＞1＞b＞0， b
∴x
b 2a
1 a 2a
1
，
2
y log2 (a b) log2 2 ab log2 2 1 ，
【详解】
因为 A, B 关于 x 轴对称，所以 A, B 纵坐标为 2 ，
横坐标为 1，代入 y2 2 px( p 0) ，
可得 y2 2x .设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 .
则
y12 y22
2x1, 2x2 ,
则
y1
y2
y1
y2
2 x1
x2
，
kPQ
2 y1
∴ a2 a2 a2 2 3 ，解得 a=2，
∴BC=CA=CC1=2,
CO=1,AO= 5 ,AN= 5 , NO MB B1M 2 BB12
2 2 22 6 ，
在△ANO 中,由余弦定理可得：
cosANO AN 2 NO2 AO2

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（三）数学（理）试题（解析版）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，可知，取中点，连接，再取的中点，连接，则，同理可证，所以为异面直线与所成的角（或其补角），即可求得答案.
【详解】
，
，
取中点，连接，再取的中点，连接，
则，同理可证，
为异面直线与所成的角（或其补角）.
又，
根据勾股定理，，，，
又由，关于直线对称得出，进而求出线段的中点坐标.
【详解】
解：因为焦点到准线的距离为，则，
所以．设点，．
则，则，
，又，关于直线对称．，即，，
又的中点一定在直线上，
．
线段的中点坐标为．
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
11．已知三棱柱，四边形与均为边长为的正方形，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.
【详解】
解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，
个小三角形的面积之和为，
又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，
所以此点取自正方形的概率是．
故选：B.
【点睛】
本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，由得出对称中心及对称轴，得出，再得出的解析式，再有变换得出，再分别画出与图象，得出结论.
【详解】
解：设，
，即，
又，
为的一条对称轴，

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目录
道习题+ 参考答案与提示+
100 道习题
华东师范大学出版社出品
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华东师范大学出版社出品
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preface
前言
!百题大过关"是一套深受读者欢迎的复习备考用书#它帮助学生在复习时针对自身薄弱的环节#各个击破$ 为了更好地服务读者#从年开始#我们推出了%百题人精推 &数字版系列#包括中考语文'数学'英语'物理'化学#高考语文'数学'英语'物理'化学'生物'历史'地理#共计个学科#供学生中高考前冲刺使用$
高考语文王学东)特级教师* 高考数学张瑞炳)特级教师* 高考英语李忠)高级教师* 高考物理傅雪平)高级教师* 高考化学何来荣)高级教师* 高考历史王雄)特级教师* 高考地理何陆祎)特级教师*
高考生物吴红漫)特级教师* 中考语文王学东)特级教师* 中考数学曾大洋)特级教师* 中考英语刘建)高级教师* 中考物理阮志军)特级教师* 中考化学曹年华)高级教师*
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茫茫题海#时间有限#尤其在冲刺备考前#到底刷哪些题才会更有效( 这个专业的问题当然要由专业的老师给出建议$ 我们邀请了!百题大过关"系列图书的作者精挑细选了题#这些作者都深耕教学一线#多位是特级教师#我们相信由他们把关的%百题人精推&系列一定会帮助同学们达到事半功倍的效果$
“百题人精推 100”作者团队介绍：
过*西游记+或*红楼梦+的学生共有7)位#阅读过*红楼梦+的学生共有4)位#阅读过*西游
记+且阅读过*红楼梦+的学生共有6)位#则该校阅读过*西游记+的学生人数与该校学生总
数比值的估计值为!"""$
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*西游记+,*三国演义+,*水浒传+和*红楼梦+是中国古典文学瑰宝#并称为中国古典小说四大名著$某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况#随机调查了!))位学生$其中阅读
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第3题图
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2 百题人精推!))"高考数学理科#)#)版
华东师范大学出版社出品
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