江西省赣州市十四县(市) 高一下册第二学期期中联考试卷数学试卷word版有答案【优选】
江西省高一下学期数学期中联考试卷
江西省高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）与向量a＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为（）A . (1,3,2)B . (-1，-3,2)C . (-1,3，-2)D . (1，-3，-2)2. （2分） (2017高一下·河口期末) 已知向量，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2014·江西理) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积是（）A .B .C .D . 34. （2分）(2020·龙江模拟) 已知为锐角，且，则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 中的对边分别是其面积，则中的大小是（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·莆田模拟) 已知向量，若，则与的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·大庆月考) 存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）的值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2019高二上·丽水月考) 已知，，则＝________；在方向上的投影等于________．10. （1分） (2016高一下·承德期中) 若sinθ=﹣，tanθ＞0，则cosθ=________．11. （1分） (2020高一下·杭州月考) 向量，，且，则 ________，________．12. （1分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=________．13. （1分）(2018·栖霞模拟) 已知为锐角，且，则 ________．14. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则________．15. （1分） (2019高三上·鹤岗月考) 在中，角所对的边分别为的平分线交于点D ，且，则的最小值为________三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2016高一下·黄石期中) 解答（1）若关于x的不等式﹣ +2x＞mx的解集为（0，2），求m的值．（2）在△ABC中，sinA= ，cosB= ，求cosC的值．17. （10分） (2020高二上·慈溪期末) 已知在平面外,（1）如图1,若 , , ,求证: 三点共线;（2）如图2,若 , ,求证: .18. （10分） (2020高一下·红桥期中) 已知分别为三个内角的对边，．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若的面积为，求．19. （10分）(2017·漳州模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，（Ⅰ）求证：∠BAC是直角；（Ⅱ）求tan∠D的值．20. （10分） (2020高二下·和平期中) 已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个x，都有成立，求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
江西省赣州市高一下学期期中数学试卷
江西省赣州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A . 13B . 18C . 21D . 262. （2分）下列说法正确的是（）A . 三点确定一个平面B . 平面和有不同在一条直线上的三个交点C . 梯形一定是平面图形D . 四边形一定是平面图形3. （2分） (2017高一下·芮城期末) 若，则一定有（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′= ，那么原△ABC是一个（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 三边中只有两边相等的等腰三角形D . 三边互不相等的三角形5. （2分）下图是两个全等的正三角形.给定下列三个命题:①存在四棱锥，其正视图、侧视图如右图;②存在三棱锥，其正视图、侧视图如右图;③存在圆锥，其正视图、侧视图如右图.其中真命题的个数是（）A . 3B . 2C . 1D . O6. （2分）某地2011年人均GDP（国内生产总值）为m元，预计以后年增长率为l0%，使该地区人均GDP超过2m元，至少要经过（）A . 4年B . 5年C . 8年D . 10年7. （2分）(2017·郴州模拟) 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A . 点Q到平面PEF的距离B . 直线PE与平面QEF所成的角C . 三棱锥P﹣QEF的体积D . 二面角P﹣EF﹣Q的大小8. （2分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为（）A . -5B . -9C . -3D . 59. （2分） (2016高一下·天津期中) 若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003 ． a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）A . 4005B . 4006C . 4007D . 400810. （2分） (2018高一下·北京期中) 已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .11. （2分）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·佛山期中) 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图所示，半径R=2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于________14. （1分） (2016高二上·郑州期中) an=2n﹣1，Sn=________．15. （1分）(2019·天津模拟) 已知，若，则的最小值为________．16. （1分） (2017高二上·莆田月考) 边长为1的等边三角形中，沿边高线折起，使得折后二面角为60°，点到平面的距离为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·海南模拟) 已知集合，集合 .（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.18. （5分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2 ，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．19. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 如图,三棱柱中,侧面侧面， , 为棱的中点, 为的中点.（1）求证：平面；（2）若 ,求三棱柱的体积.20. （5分） (2017高三上·泰安期中) 已知数列{an}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{anbn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2016高三上·上海模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．22. （10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，点E为AD边上的中点，过点D作DF∥BC交AB于点F，现将此直角梯形沿DF折起，使得A﹣FD﹣B为直二面角，如图乙所示．（1）求证：AB∥平面CEF；（2）若二面角的余弦值为﹣，求AF的长．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2022-2023学年江西省赣州市南康区高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省赣州市南康区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为i 512ii -A ．B ．C ．D ．1-1i -i【答案】B【详解】因为，所以复数的虚部为 ，故选B.()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+512ii -12．在中，“”是“”的（ ）ABC AB AC BA BC ⋅=⋅ AC BC= A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：若，则，AB AC BA BC ⋅=⋅ cos cos AB AC A BA BC B ⋅=⋅ ∴，由正弦定理得，cos cos AC A BC B =s s s in cos in co B A A B =所以，因为，所以，所以，∴，反之也成in 0()s A B -=(),0,A B π∈(),A B ππ-∈-A B =AC BC=立，故“”是“”的充要条件；AB AC BA BC ⋅=⋅AC BC=故选：C3．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为4πA B C D 【答案】C【分析】先利用侧面积求解底面圆的周长，进而解出底面面积，再求体高，最后解得体积【详解】圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积R 4=，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径211S 4π2R α==2πα=l 2R απ==2π，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C ．r 1=S π=h =1V 3Sh ==【点睛】本题已知展开图的面积，母线长求体积，是圆锥问题的常见考查方式，解题的关键是抓住底面圆的周长为展开图的弧长．4．在三角形中，是角所对的边，满足,则的大小是（ ）ABC ,,a b c ,,A B C 222a ab bc ++=C A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】D【分析】根据余弦定理直接计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，即，即.2222cos a ab C b c -+=1cos 2C =-120C ∠=︒故选：D【点睛】本题考查了余弦定理求角度，属于简单题.5．如图，在等腰梯形中，，，，，为线段上的动点ABCD //AD BC 4=AD 6BC =45C ∠=︒P CD (包括端点)，则的最小值为（ ）AP BP ⋅A ．8B ．12C ．20D ．30【答案】C【分析】设，利用，结合向量的数量积的运算，即可求解.CP x =()()AP BP AD DP BC CP ⋅=+⋅+ 【详解】如图所示，过点作，垂足为，D DE BC ⊥E 因为在等腰梯形中，，ABCD //,4,6,45AD BC AD BC C ==∠=可得，1,DE DC ==设，CP x =可得()()AP BP AD DP BC CP AD BC AD CP DP BC DP CP⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅，224))30(0x x x x x =-+-=-+≤≤由二次函数的图象与性质，可得当时，取得最小值，最小值为.x =AP BP ⋅20故选：C.6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点ABC O BC O AB AC ，若，，则（ ）M N ，AB mAM = AC nAN =m n +=A ．1B ．C ．2D ．332【答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得，再将其用，1()2AO AB AC =+AM 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.AN 122m n+=m n +【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，，1()222m n AO AB AC AM AN=+=+ 、、三点共线，M O N ，122m n ∴+=.2m n ∴+=故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.7．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足ABC A B C a b c a ∈1b =，则的取值范围为（ ）cos cos ab C c A abc +=cos BA ．B ．C ．D ．73,124⎛⎤ ⎥⎝⎦13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦73,124⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，1c a =2211cos 2a a B +-=结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.a ∈()1f x x x =+3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭cos B 【详解】且，所以，1b = cos cos ab C c A abc +=cos cos a C c A abc +=由正弦定理得，即，sin cos cos sin sin A C A C ac B +=()()sin sin sin sin ac B A C B Bπ=+=-=，，所以，，则，0B π<<sin 0B ∴>1ac =1c a =由余弦定理得，2222211cos 22a a c ba B ac+-+-==，则，由于双勾函数在上单调递增，a ∈ 23,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1f x x x =+3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭则，即，所以，.()()2322f f a f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭22131562a a <+<73cos 124B <<因此，的取值范围为.cos B 73,124⎛⎫⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.8．在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，ABC ABC ()222S a b c =--则的取值范围为（ ）．22224121741213b bc c b bc c -+-+A ．B ．C ．D ．973,437⎡⎫⎪⎢⎣⎭2819,1815⎛⎤⎝⎦732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭281,2181⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用，三角形面积公式和余弦定理可得，故可得到，()222S a b c =--4sin 5A =3cos 5A =，然后利用正弦定理可得，利用换元法即可求解4tan 3A =435tan 5b c C =+【详解】中，由余弦定理得，，ABC 2222cos a b c bc A =+-且的面积为，由，得，ABC 1sin 2S bc A =()222S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-化简得；又，，所以，sin 2cos 2A A +=π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1A A +=sin 2A +=化简得，解得或（不合题意，舍去）；25sin 4sin 0A A -=4sin 5A =sin 0A =因为，所以，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5A ==sin 4tan cos 3A A A ==所以，()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C b B A C A C c CC C C ++====+由，且，，πB C A +=-π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π2A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭解得，ππππ,π0,,2222C A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈--⋂=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，所以，所以；πsin π132tan tan π2tan 4cos 2A C A A A ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭>-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，其中，b tc =35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，22222241217412174121341213b b b bc c c c y b bc c b b c c ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241217441141213412133442t t t t t t t -+==+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭又，所以时，y 取得最大值为，335523<<32t =max 2y =时，；时，，且．35t =281181y =53t =7337y =2817318137<所以，即的取值范围是，281,2181y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦22224121741213b bc c b bc c -+-+281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：D【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值二、多选题9．已知，则下列结论正确的有（ ）(3,1),(1,2)a b =-=- A ．B ．与方向相同的单位向量是C ．D ．与平行5a b ⋅= a,4a b π〈〉= a b 【答案】ABC【分析】根据给定的条件，利用向量的数量积、向量夹角，向量共线的坐标表示判断A ，C ，D ；求出与方向相同的单位向量的坐标判断B 作答.a【详解】因，则，A 正确；(3,1),(1,2)a b =-=-31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-= 与方向相同的单位向量是，B 正确；a1)||a a =-=，所以，C 正确；cos ,a b 〈〉==,[0,]a b π〈〉∈ ,4a b π〈〉=因，则与不平行，D 不正确.3(2)(1)1⨯-≠-⨯a b故选：ABC 10．已知复数，下列命题错误的有（ ）12,,z z z A ．若，则12z z z =⋅12z z z =⋅B ．若，那么12Rz z ⋅∈12Rz z +∈C ．若，那么12R z z +∈12R z z ⋅∈D ．若，那么121z z ⋅=121z z =【答案】BCD【分析】根据复数的模的定义，复数的分类，复数的运算判断各选项，错误命题可举反例说明．【详解】设，则，12i, i,(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈12(i)( i)()i z z z a b c d ac bd ad bc ==++=-++A 正确；==若，则，但，B 错；12i z z ==121R z z ⋅=-∈122i Rz z +=∉若，则，但，C 错；121i,2i z z =+=-123R z z +=∈123i R z z =+∉若，满足1，但，D 错．12i z z =12z z =122i 1z z z =≠故选：BCD ．11．圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A ．B ．38πcm38cm πC ．D ．316cm π34cm π【答案】BD【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm ，高为2cm 的和圆柱的底面周长为2cm ，高为4cm ，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形， 若圆柱的底面周长为4cm ，则底面半径，，2cm πR =2cm h =此时圆柱的体积238πcm πV R h ==若圆柱的底面周长为2cm ，则底面半径，，1cm πR =4cm h =此时圆柱的体积23πcm π4V R h ==故选：BD12．在△中，内角所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ）ABC ,,A B C A ．sin sin sin sin b a b cB A B C++=++B ．若，则A B >sin 2sin 2A B >C ．cos cos a b C c B=+D ．若，且，则△为等边三角形()0AB AC BC AB AC+⋅=12AB AC AB AC ⋅= ABC 【答案】ACD【分析】A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令可得反例；C 由和角正弦公式及三,36A B ππ==角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D 若，sin cos sin cos sin B C C B A +=,AB AC AE AF AB AC==，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△AE AF AG +=的形状.ABC【详解】A ：由，根据等比的性质有，正确；sin sin sin a b cA B C ==sin sin sin sin b a b c B A B C ++=++B ：当时，有，错误；,36A B ππ==sin 2sin 2A B =C ：，而，即，由正弦定理sin cos sin cos sin()B C C B B C +=+B C A +=π-sin cos sin cos sin B C C B A +=易得，正确；cos cos a b C c B =+D ：如下图，是单位向量，则，即、,AB AC AE AF AB AC == AB AC AB AC + AEAF AG +==0AG BC ⋅= ，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，12AE AF ⋅=AG BC ⊥ AG BAC ∠,AE AF 3πABC 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题13．在△ABC 中，A ，AB＝4，AC ＝，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，则AD ＝_____．34π=【分析】首先利用余弦定理的应用求出的长，进一步利用余弦定理和cos ∠BDC ＝﹣cos ∠CDA ，BC 即可求出结果.【详解】在△ABC 中，A ，AB ＝4，AC ＝，34π=利用余弦定理的应用，整理得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠A ，解得BC ＝，在△ABD 中，设BD ＝x ，则AD ＝x ，AB ＝4，利用余弦定理，22162x x cos BDA x x+-∠=⋅⋅在△ADC 中，DC ＝x ，AD ＝x ，AC ＝，利用余弦定理cos CDA ∠=由于cos ∠BDC ＝﹣cos ∠CDA ，所以x22162x x x x+-=⋅⋅=．【点睛】本题考查余弦定理及其的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为米的正ABCD 1方形，内嵌一个小正方形，且，，，分别是，，，的中点，则EFGH E F G H AF BG CH DE 的值为________.AG DF ⋅【答案】0【分析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，A AB x AD y 计算直线方程得到坐标，，计算向量得到答案.42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.A AB x AD y 延长与交于点，，故为中点.AF BC I 1tan 2FB BIFAB FA AB ∠===I BC 直线，同理可得：直线，直线；1:2AI y x=:22GB y x =-+11:22HC y x =+解得：，，42,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55G ⎛⎫⎪⎝⎭，，故，，.()0,0A ()0,1D 34,55AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 43,55DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 0AG DF ⋅=故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能力和计算能力，建立坐标系转化为坐标运算是解题的关键.15．底面为正方形的正四棱柱内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为_________.【分析】设正四棱柱的高、底面边长分别为，利用圆锥的轴截面及内接正四棱柱的性质求,h a 的数量关系，根据棱柱的体积公式得并应用导数研究最大值，即可求体积最大,h a 32442h h h V -+=时正四棱柱的底面边长.【详解】圆锥轴截面如下图示，分别是中点，若正四棱柱的高、底面边长分别为，,O G ,AB EF ,h a∴，易知，则且，,OG h EF ==EF PG AB PO =22h-=)a h =-02h <<∴正四棱柱体积为，则，2322(2)4422h h h h h V a h --+===2384(32)(2)22h h h h V -+--'==∴，有，递增；，有，递减；故时最大，0V '>203h <<V 0V '<223h <<V 23h =V此时，2)3a =-=16．如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、ABC 90C =∠1AC =2BC =l ABC G A 分别交于、两点，则的最小值为________．B D E CG ED ⋅【分析】设，，分析得出，求得，利用基本不AE AC λ= AD AB μ= 113λμ+=()133CG ED λμ⋅=+ 等式可求得的最小值.CG ED ⋅【详解】先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若O l R S T l ，则.OT xOR yOS =+1x y +=因为、、为直线上三个不同的点，则，R S T l //ST SR可设，即，所以，，ST xSR = ()OT OS x OR OS -=- ()1OT xOR x OS=+- 所以，，结论成立.()11x y x x +=+-=本题中，设，，AE AC λ= AD AB μ=当点与点重合时，为的中点，此时；E C D AB 12μ=当点为线段的中点时，与点重合，此时，故，同理可得.E AC D B 1μ=1,12μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，31311331D A A G AB AC AEμλ+=+=又、、三点共线，，即，E G D 11133λμ∴+=113λμ+=延长交于点，则为的中点，且有，CG AB F F AB ()()22113323CG CF CA CB CACB==⨯+=+ 又()()11113333CG ED CA CB AB AC CA CB CA CB μλλμμ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+-=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()111113133443999μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时取得最小值.λ=μ=【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题17．已知向量.()()2,1,,2a b m ==（1）若与共线，求实数的值；3a b + a b - m （2）若与垂直，求与的夹角.()2a b+ a a b 【答案】（1）4；（2）.34π【分析】（1）由平面向量共线定理的坐标表示求解即可（2）根据平面向量垂直的坐标表示求出，再用坐标法求向量的夹角即可m 【详解】（1）()()2,1,,2a b m ==()()()32,13,223,7a b m m ∴+=+=+()()()2,1,22,1a b m m -=-=--与共线3a b + a b -()()()23127m m ∴+⨯-=-⨯4.m =（2）与垂直，且 2a b +a 2(4,2)(,2)(4,4)ab m m +=+=+ (2)(4,4)(2,1)2(4)40a b a m m ∴+⋅=+⋅=++=6m ∴=-cos a b a b θ⋅∴==== 与的夹角为a b34π18．已知复数(其中是虚数单位，)．2(2i)1i xz =+--i x R ∈（1）若复数是纯虚数，求的值；z x （2）若函数与的图象有公共点，求实数的取值范围．2()||f x z =()3g x mx =-+m 【答案】（1）；（2）2x =(,2][10,)-∞+∞ 【分析】（1）化简得到，由复数为纯虚数可得的值.z (2)(1)i z x x =-+-z x （2）算出，因一元二次方程在有解，利用判别式可得的取值范2()265f x x x =-+()()f x g x =R m 围.【详解】（1）∵，且复数为纯虚数2(2i)(2)(1)i 1i xz x x =+-=-+--z ∴，解得2010x x -=⎧⎨-≠⎩2x =（2）由（1）知函数2222()||(2)(1)265f x z x x x x ==-+-=-+又函数与 的图象有公共点()f x ()- 3g x m x =+∴方程有解，即方程有解 22653x x mx -+=-+22(6)20x m x +-+=∴2(6)4220m ∆=--⨯⨯≥∴或2m ≤10m ≥∴实数的取值范围是．m (,2][10,)-∞+∞ 【点睛】（1）复数，①若，则为实数；②若，则为虚数，特别地，,,z a bi a b R =+∈0b =z 0b ≠z 如果，则为纯虚数．0,0a b =≠z （2）对于含参数的一元二次不等式的恒成立问题，注意区分变量的范围，如果范围为，则可以R 利用判别式来处理，如果范围不是，则可转变为函数的最值或用参变分离来考虑.R 19．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，PA 是圆柱的母线，，，3PA =22AD AB ==，C 是上的一个动点.120BAD ∠=︒ BD(1)求圆柱的表面积；S 圆柱(2)求四棱锥的体积的最大值.P ABCD -P ABCD V -【答案】【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r ，进而求出结果;BD （2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.7BC CD ⋅≤【详解】（1）连接BD ，在中，，，，ABD △1AB =2AD =120BAD ∠=︒由余弦定理，得，2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=所以r ，BD =由正弦定理，得2sin BD r BAD ===∠所以.r ()2π3S r r PA ⎫=+==⎪⎪⎭圆柱（2）由（1）知，中，，BCD △BD =18060BCD BAD ∠=︒-∠=︒由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD=+-⋅∠，222BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD =+-⋅≥⋅-⋅=⋅即，当且仅当7BC CD ⋅≤BC CD ==所以11sin 7sin 6022BCD S BC CD BCD =⋅∠≤⨯︒=△因为，，11sin 12sin12022ABD S AB AD BAD =⋅∠=⨯⨯︒=△3PA =所以四棱锥的体积，P ABCD -()1113333P ABCD ABCD ABD BCD V S PA S SPA -=⋅=+⋅≤⨯⨯=△△故四棱锥的体积P ABCD -P ABCD V -20．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若ABC A B C a b c.4sin s sin sin in C B a B C =（1）求角的大小；A（2）若，求面积的取值范围.2sin 2sin b B c C bc +=ABC【答案】（1）；（2）.3A π=【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角A ；（2）利用正弦sin A =定理将所给等式转化为关于a 、b 、c 的等式，结合余弦定理即可求出a ，从而可得，代入三角形面积公式并将角统一为B ，即可根据三角函数的值域求得三角形的2sin ,2sin b B c C ==面积的范围.【详解】（1及正弦定理得：4sin s sin sin in C B a B C =，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C =因为，，所以，，0B <2C π<sin 0B ≠sin 0C ≠所以，所以；sin A =02A π<<3A π=（2）由正弦定理，sin s in si n B C b a Ac ===sin B =sin C =由得：，2sin 2sin b B c C bc +=+22bc +=即①，由余弦定理得，解得222b c a +-222b c a bc +-=a 所以，2sin ,2sin b B c C ==2sin sin 231s 6in 2ABC B C B B S B bc A ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=△∵为锐角三角形，∴且，ABC 02B π<<32B ππ+>即，∴，62B ππ<<52666B πππ<<-<∴，.1sin 2126B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭ABC S <≤△面积的取值范围为.ABC 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式、正弦型函数的值域，属于中档题.21．已知，，设，．(1,0)a = (b = 3m a b =- 2n ka b =+ （1）若，求实数的值；m n ⊥k （2）当时，求与的夹角；2k =m n（3）是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．k //m nk k 【答案】（1）；（2）；（3）存在；-6．1k =1arccos7【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得，列出方程，即可求解；22m n k ⋅=-（2）当时，求得，，结合向量的夹角公式，即可求2k=3(2,m a b =-=22(4,n a b =+= 解；（3）根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，，可得，(1,0)a =(b = 1,2,1a b a b ==⋅= 因为且，，m n ⊥ 3m a b =-2n ka b =+ 可得，解得.22(3)(2)3(6)2220m n a b ka b ka k a b b k ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=1k =（2）当时，可得，，2k=3(2,m a b =-=22(4,na b =+= 则，242m n ⋅=⨯=n = 所以与的夹角为，m n 1cos ,7m n =因为，所以.,[0,]m n π∈1,arccos 7m n = （3）由题意可得，，3(2,m a b =-=2(2,n ka b k =+=+ 若，可得，解得，//m n2((2)0k ⨯-⨯+=6k =-即存在，使得.6k =-//m n22．正方形ABCD 中，，点O 为正方形内一个动点，且4AB =OA =,0,2OAB πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当时，求的值；3πθ=22OB OD +(2)若P 为平面ABCD 外一点，满足，,2POA POB POD PO π∠=∠=∠=cos ()BPD f θ∠=求的取值范围.()f θ【答案】(1)36-(2).1[,3-【分析】（1）构建平面直角坐标系得到，坐标，进而写出、坐标，应用向量模长的,B D O OB OD坐标表示求目标式的值.（2）以A 为原点构建空间直角坐标系，确定的坐标，利用向量夹角的坐标表示得到,PB PD ，结合换元法及三角函数、二次函数性质求范围.cos ()BPD f θ∠=【详解】（1）构建如下图示的平面直角坐标系，则，，(0,4),(4,0)B D )O θθ当，则，故，，3πθ=O (4OB = (4OD =所以222((418OB =+=- 222(4(18OD =+=-则.2236OB OD =-+（2）由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，所以且，(0,4,0),(4,0,0),B D P θθ0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，(,4,(4,,PB PD θθθθ==所以cos ()||||PB PD BPD f PB PD θ⋅∠===令，则，可得sin cos )4t πθθθ=+=+∈22sin cos 1t θθ=-cos BPD ∠=若，则，此时在上递增，11,1]m =-∈11)m ∈cos BPD ∠=11)m ∈所以.1cos [,3BPD ∠∈-【点睛】关键点点睛：构建坐标系，利用坐标表示相关向量，由向量模长、夹角的坐标表示求值、得到，结合相关函数的性质求范围.cos ()BPD f θ∠=。
江西省赣州市2020年高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
江西省赣州市2020年高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设，则方程不能表示的曲线为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线2. （2分）设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二下·林州月考) 已知抛物线上的点到焦点的距离为，则的面积为（）A . 2B . 4C . 8D . 164. （2分） (2020高一下·扬州期中) 如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（）A . 直线B . 直线C . 直线D . 以上均不正确5. （2分） (2020高一下·丽水期中) 已知、为锐角，，，则（）A .B .C . 3D .6. （2分） (2020高一下·扬州期中) 圆与圆的公切线共有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条7. （2分）(2020高一下·扬州期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定8. （2分） (2020高一下·扬州期中) 已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A . 3B .C . 6D .9. （2分）(2020·漯河模拟) 设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在中，D为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为锐角，若，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为________ ．14. （1分） (2020高一下·扬州期中) 中，已知，则A为________．15. （1分） (2020高一下·扬州期中) 在中，，的平分线交于D，，则 ________.16. （1分） (2020高一下·扬州期中) 在平面四边形中，，， .若，则的最小值为________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一下·淮南期末) 求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程.18. （10分） (2020高一下·扬州期中) 已知函数， .（1）当时，求函数的值域；（2）若，，求的值.19. （10分） (2020高一下·扬州期中) 如图，在正方体中，E、F、G、H分别是棱、、、的中点.（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线与所成的角的大小.20. （10分） (2020高一下·扬州期中) 如图，在直角中，，，，点M在线段上.（1）若，求的长；（2）点N是线段上一点，，且，求的值.21. （10分） (2020高一下·扬州期中) 如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得， .（1）设，求三角形铁皮的面积；（2）求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.22. （15分） (2020高一下·扬州期中) 在平面直角坐标系中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.（1）求圆M面积的最小值；（2）设直线与圆M交于不同的两点C、D，且，求圆M的方程；（3）设直线与（2）中所求圆M交于点E、F，P为直线上的动点，直线，与圆M 的另一个交点分别为G，H，求证：直线过定点.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2020年江西省赣州市高一(下)期中数学试卷解析版(理科)
大角为______．
16. 已知等比数列{an}的首项为 ，公比为 ，其前 n 项和为 Sn，若
意 n∈N*恒成立，则 B-A 的最小值为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
A. 分钟
B. 分钟
C. 21.5 分钟
D. 2.15 分钟
12. 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．
若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2019 积数列”，且 a1＞1，则当其前 n 项 的乘积取最大值时 n 的值为（ ）
A. 1010
B. 1009
则 sinA=（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 设 D 为△ABC 所在平面内一点， =- + ，若 =λ （λ∈R），则 λ=（）
A. 2
B. 3
C.
D.
5. 如图在矩形 ABCD 中，AB= ，BC=4，点 E 为 BC 的中点，点 F
且 sinB=2sinC
22. 已知数列{an}中，a1=1，an+1=
（1）求 a2，a3，a4 的值； （2）求证：数列{a2n- }是等比数列； （3）求数列{an}的前 n 项和 Sn，并求满足 Sn＞0 的所有正整数 n 的值．
第 3 页，共 13 页
1.【答案】A
答案和解析
2023-2024学年江西省赣州市高一下学期期中联考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西省赣州市高一下册期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知α是第三象限角，则点(sin ,tan )P αα在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由α为第三象限角，知sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩由此能判断出点(sin ,tan )P αα在第几象限．【详解】已知α是第三象限角,sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩,所以(sin ,tan )P αα在第二象限.故选:.B 本题考查三角函数值的符号,难度容易.2．已知向量1(1,2a =- ，(2,)b m = ，且//a b r r ，那么实数m 的值是（）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【正确答案】A【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算可得；【详解】解：因为1(1,)2a =- ，(2,)b m = ，且//a b r r ，所以1122m ⎛⎫⨯=⨯- ⎪⎝⎭，解得1m =-；故选：A3．已知向量()0,1a = ，(b = ，则b 在a上的投影向量为（）A B CD ．12a【正确答案】B【分析】由已知求出a b ⋅ 、a r 和b ，进而可得cos ,a b ，从而由b 在a上的投影向量为cos ,b b a a即可求解.【详解】解：因为向量()0,1a =，(b = ，所以011a b ⋅=⨯+⨯ 1,2a b === ，所以cos ,2a b a b a b⋅==，所以b 在a 上的投影向量为cos ,1a b a b = ，故选：B.4．已知角α的终边经过点P (5,12)，那么sin α的值是（）A ．512B ．125C ．513D ．1213【正确答案】D【分析】利用三角函数的定义，结合终边上的点坐标求sin α.【详解】由正弦函数的定义知.12sin 13α=故选：D5．函数y ）A ．,44k k ππ⎡⎫π-π+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)B ．42,k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)C ．32,k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)D ．,+4k ππ⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)【正确答案】B【分析】由题可得tan x ＋1≥0，从而可求得答案【详解】由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得x ∈42,k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)．故选：B 6．已知3318sin ,sin ,sin 755a b c πππ===，则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c b a<<D ．c<a<b【正确答案】C【分析】利用诱导公式将a 、b 、c 对应角转化到正弦函数的一个单调区间内，进而比较函数值的大小即可.【详解】322sin sin(sin 555b ππππ==-=，22sin(4)sin 55c πππ=-=-，而230572πππ<<<，则223sin 0sin sin 1557πππ-<<<<，所以c b a <<.故选：C7．已知点D 在ABC 的边AC 上，2CD DA =，点E 是BD 中点，则EC = （）A ．1233AB AC + B ．1223AB AC +C ．1536AB AC-+D ．1526AB AC-+【正确答案】D【分析】根据E 是BD 中点，利用中点坐标公式，再结合2CD DA =化简求解.【详解】1()2EC CB CD =-+，1223AB AC AC ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1526AB AC =-+.故选：D本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．若方程42sin(433x π-=在4[,]63x ππ∈上的根从小到大依次为12,,,n x x x ，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=（）A ．203πB ．24πC ．12πD ．103π【正确答案】A【分析】根据三角函数的图象，结合其对称性，数形结合，即可求得结果.【详解】根据题意，12,,,n x x x ，是sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与23y =在4[,]63ππ上图象交点的横坐标，在同一直角坐标系下画出两个函数的图象如下所示：数形结合可知，两个函数在区间4[,]63ππ上共有5个交点，故5n =；对函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令4,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,424k x k Z ππ=+∈，则在区间4[,63ππ上，sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴分别为11172329,,,24242424x ππππ=，则12111122412x x ππ+=⨯=，2317172,2412x x ππ+=⨯=34232322412x x ππ+=⨯=，45292922412x x π+=⨯=，上述等式累加可得.123451117232920222121212123x x x x x πππππ++++=+++=故选：A.本题考查方程和函数思想，涉及三角函数对称性的应用，以及数形结合，属综合中档题.二、多选题9．设向量(,2),(1,1)a k b ==-，则下列说法错误的是（）A ．若2k <-，则a 与b的夹角为钝角B ．||a的最小值为2C ．与b共线的单位向量只有一个，为22D ．若||2||a b =，则k =-【正确答案】CD【分析】A 由0a b ⋅< 且a 与b 不共线列不等式组求k 范围，即可判断；B由2a =可判断；C 由单位向量的定义求b共线的单位向量；D=.【详解】若a 与b 夹角为钝角，则0a b ⋅< 且a 与b 不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎪⎨-≠⎪⎩ ，解得2k <且2k ≠-，A正确；2a =≥，当且仅当0k =时等号成立，B 正确；由||b = b 共线的单位向量为b b ± ，即b共线的单位向量为或()22-，C 错误；因为2a b ===2k =±，D 错误.故选：CD10．下列说法正确的是（）A ．在△ABC中，满足π3,3a b B ===的三角形有两个B ．在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则A B=C ．在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．在△ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C【正确答案】CD【分析】结合正弦定理对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由于π,3a b B <=，则A B <所以三角形有一个，A 选项错误.B 选项，sin 2sin 2A B =，可能ππ,63A B ==，所以B 选项错误.C 选项，由正弦定理得sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b A B >⇔>⇔>⇔>，其中R 是三角形ABC 外接圆的半径，所以C 选项正确.D 选项，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知D 选项正确.故选：CD11．已知(0,)θπ∈，sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．sin cos 0θθ<B ．sin cos θθ-=C ．cos 5θ=D ．sin 5θ=【正确答案】ABD【分析】考虑角θ所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.【详解】由sin cos 5θθ+=…①，以及22sin cos 1θθ+=，对等式①两边取平方得112sin cos 5θθ+=，2sin cos 5θθ=-…②，()0,θπ∈Q ，sin 0θ∴＞，由②，cos 0θ＜，由①②sin θ，cos θ可以看作是一元二次方程2205x -=的两个根，解得sin θ=，cos 5θ=，故A 正确，B 正确，C 错误，D 正确；故选：ABD.三、单选题12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A ．若,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则函数f (x )的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是函数f （x ）图象的一个对称中心C ．函数f （x ）在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．函数f （x ）的图象可以由函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到【正确答案】A【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得．【详解】由题图及五点作图法得1A =，512πωϕπ⋅+=，2332πωϕπ⋅+=，则2ω=，6πϕ=，故()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，故()1sin 21,62f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故A 正确，C 错误；∵当3x π=-时，262x ππ+=-，所以点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 错误；由cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到sin 2122y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：A ．四、填空题13．已知△ABC 中，B ＝45°，6=BC 3AC =A ＝______【正确答案】30 /6π【分析】根据正弦定理求得sin A 的值，判断角A 的范围，确定答案.【详解】△ABC 中由正弦定理得：sin sin BC ACA B=,即sin sin 45A =，则1sin ,302A A == 或150 ，又BC AC <，故A 为锐角，所以30A = ，故3014．已知扇形的圆心角为3π，半径为2，则该扇形的面积为_________．【正确答案】23π；【详解】试题分析：由题圆心角为3π，半径为2；则：1112,·,··422233S lR l R S R R ππαα====⨯⨯=弧度制下的扇形面积算法.15．若71sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【正确答案】13-【分析】利用诱导公式即可求出.【详解】因为71sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以52771cos cos cos sin 336263πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为.13-16．函数()23s 4f x in x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________．【正确答案】1【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 1x -+，由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．五、解答题17．已知平面向量a ，b ，||2a = ，||2b = ，且a 与b的夹角为π3．(1)求||a b +；(2)若a b - 与()a kb k R +∈ 垂直，求k 的值．【正确答案】(1)(2)1【分析】（1）先用平面向量运算法则求出()2a b + ，从而求出模长；（2）根据平面向量垂直得到方程，求出k 的值.【详解】（1）()2222π||242cos 4123a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅+=，所以||a b += .（2）由题意得：()()()()22π1cos 421403a kb a k a b k a b b k k +=+-⋅-=+---⋅=，解得.1k =18．已知α为第三象限角，53sin()cos()tan()22()tan()sin()f αππαπαααπαπ-+-=----．(1)化简()f α；(2)若31cos()23απ-=，求()f α．【正确答案】(1)()f α=cos α-(2)3【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由诱导公式化简已知式得sin α，再由平方关系求得cos α即可得．【详解】（1）cos sin (tan )()cos tan sin f ααααααα-⋅⋅-==--⋅（2）∵31cos()23απ-=∴1sin 3α-=，1sin 3α=-∵α是第三象限角∴cos α===()3f α∴=19．已知,,a b c分别为ABC 内角,,A B C 的对边，且sin cos 0a B A =．(1)求角A ；(2)若a =1b =，求ABC 的面积．【正确答案】(1)3π；(2)2.【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助同角三角函数公式求解作答.（2）利用余弦定理求出边c ，再利用三角形面积定理计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理结合sin cos 0a B A =得：sin sin cos 0A B B A =，而0B π<<，即sin 0B >，则sin 0A A =，有tan A =0A π<<，解得3A π=，所以3A π=.（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212cos3c c π=+-即220c c --=，而0c >，解得2c =，所以ABC 的面积为11sin 12sin 223S bc A π==⨯⨯=20．已知函数π()2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象两相邻对称轴之间的距离是π2．(1)求()f x 的最小正周期T 以及()f x 的单调增区间；(2)求()f x 在ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的取值范围．【正确答案】(1)πT =，增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）(2)(]0,2【分析】（1）根据题设易知最小正周期2ππT ω==，进而得解析式，根据正弦型函数性质求增区间；（2）由题设有π2π20,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数性质求值域即可.【详解】（1）由题设，易知周期2ππT ω==，所以2ω=，则π()2sin(2)3f x x =+，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）由ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π2π20,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的取值范围为(]0,2.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=+.(1)求角B ；(2)当1b =时，求ABC 面积的最大值.【正确答案】(1)2π3【分析】（1）角化边，可以用余弦定理解得；（2）由于a ，c 两边是不确定的，但受到b 和B ∠的制约，因此需要基本不等式来确定范围.【详解】（1）由()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=+，得()()()b c b c a a c -+=+，即222a cb ac +-=-，2221cos 22a cb B ac +-==-，又()0,πB ∈故2π3B =；（2）由（1）知，2π3B =，∴1sin 24ABC S ac B ac == .由余弦定理得22222π12cos 233a c ac a c ac ac ac ac =+-=++≥+=，即13ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，∴ABC S ≤△ABC 22．已知函数()()sin 206f x x πϕϕπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭为偶函数．(1)求()f x 图象的对称中心的坐标．(2)将()f x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的()1A A >倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图象．若对任意的13,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求A 的取值范围．【正确答案】(1)(),0Z 42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)[)2,+∞【分析】（1）由题意可得62k ππϕπ-=+，从而可求得ϕ，即可得函数()f x 的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得出答案；（2）求得函数()g x 的解析式，分别求出两个函数的值域，再根据对任意的13,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，可得()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，即可得出答案.【详解】（1）解：因为()f x 为偶函数，所以62k ππϕπ-=+，Z k ∈，则23k πϕπ=+，Z k ∈，又因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，故()2sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫=+-= ⎝⎭，令22x k ππ=+，Z k ∈，解得42k x ππ=+，Z k ∈，故()f x 图象的对称中心的坐标为(),042k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）解：由题意可知()cos 2g x A x =，因为13,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以132,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以222,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，21cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2g x 的值域为,2A A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为对任意的13,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，所以()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，则1,1,21,2A A A ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，解得2A ≥，即A 的取值范围为[)2,+∞．。
2023-2024学年江西省赣州市高一下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西省赣州市高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知0m >，则“a b >”是“am bm >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定条件进行判定即可.【详解】因为0m >，a b >，所以am bm >成立；又am bm >，0m >，所以a b >成立；所以当0m >时，“a b >”是“am bm >”的充分必要条件.故选：C.2．设43(i z i i ⋅=-为虚数单位），则复数z 的虚部为()A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i【正确答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案．【详解】解：43i z i ⋅=- ，2243(43)43341i i i i i z i i i ---∴====---，∴复数z 的虚部为4-，故选：A ．3．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等D ．棱柱的侧面都是全等的平行四边形【正确答案】C【分析】对A ，根据棱柱的定义可判断；对B ，举出反例判断即可；对C ，根据正六棱锥底面正六边形的性质判断即可；对D ，根据棱柱的性质判断即可【详解】对A ，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体，A 错；对B ，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B 错；对C ，正六棱锥的底面为正六边形，其底面最长的对角线长度为底面边长的两倍，又该对角线和相交的两条侧棱要构成三角形，故侧棱一定大于底面边长，C 对对D ，棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D 错；故选：C.4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,33C c b a π===，则ABC 的面积为（）AB C D ．4【正确答案】A由余弦定理求出,a b 关系，再结合3b a =可求得,a b ，再用三角形面积公式1S sin 2ab C =计算出面积．【详解】由余弦定理得：2222271cos cos 2232a b c a b C ab ab π+-+-====，∴227a b ab +-=，又3b a =，所以221073a a -=，∴1a =，∴3b =，∴1sin 2ABC S ab C ∆=113224=⨯⨯⨯=.故选.A本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．利用余弦定理求得,a b 的关系，并结合已知求得,a b 的值是关键，三角形的面积公式111S sin sin sin 222ab C ac B bc A ===.5．下列说法中正确的是（）A ．若a b =r r ，则,a b的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b相反向量，则a b =r r C ．若//a b r r，则存在唯一的实数λ使得λa b= D ．在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=【正确答案】B【分析】由相反向量定义、向量模长定义、平面向量共线定理和向量线性运算依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若a b =r r ，则,a b 的长度相同，方向任意，A 错误；对于B ，由相反向量定义知：a 与b方向相反，模长相等，B 正确；对于C ，当0b = ，0a ≠r r 时，//a b r r，此时不存在唯一的实数λ使得λa b = ，C 错误；对于D ，若O 为BD 中点，则2AB AD AO +=，AC 与2AO 不恒相等，AB AD AC ∴+=不恒成立，D 错误.故选：B.6．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AP =）A ．CT =+B ．CT =+C ．1324CT CA CE-=+ D ．3142CT CE=+ 【正确答案】A设AP a =，根据PT AP =,PT CP ==，进而得到,CP PT ===- ，然后由CT CP PT =+ 求解.【详解】设AP a =，因为PT AP =所以,,PT a CP a CA a ，所以,CP PT ===-，因为CT CP PT =+ ，所以1122CT CE -= ，所以CT，=+ ，3322CA CE =+.故选：A7．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()2b a ac =+()cos B A A-+范围为（）A ．2⎫⎪⎪⎭B ．,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】首先根据题意，结合余弦定理得到2cos a a B c +=，利用正弦定理转化求得sin sin()A B A =-，根据角的范围，得到=2B A ，根据三角形是锐角三角形，求得64A ππ<<，结()cos =2sin(6B A A A π-++，从而求得结果.【详解】因为()2b a ac =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+，所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即sin sin()A B A =-，因为△ABC 是锐角三角形，所以,(0,2A B π∈，所以A B A =-，即=2B A ，所以2022032AB AC Aππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得64Aππ<<，()cos cos2sin(6B A A A A Aπ-++=+，因为53612Aπππ<+<，所以2sin()6Aπ+∈，故选：A.该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，正弦型函数在给定区间上的值域，属于中档题目.8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知,,a b c分别是ABC三个内角,,A B C的对边，且22()6b a c--=，cos sin2cos6A CBπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若点P为ABC的费马点，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅=（）A．6-B．4-C．3-D．2-【正确答案】C【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简22()6b a c--=，cos sin2cos6A CBπ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得3Bπ=，6ac=，再根据ABC等面积法即可求得6PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅=，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ，从而求得答案.【详解】1cos2sin cos,cos2cos cos622A CB AC C Bπ⎛⎫⎛⎫=-∴=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q,即cos cos cos cosA CBC B=-,又A B Cπ++=cos cos()cos cos sin sinA B C B C B C∴=-+=-+,cos cos sin sin cos cos cosB C B C C B C B∴-+=-,即sin sin cosB C C B=,sin sin 0,tancos B C B B≠∴==Q 又(0,),3B B ππ∈∴=.由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，再由余弦定理知,2221cos 22a cb B ac +-==,22()6,6b a c ac =-+∴=Q ,12121211sin sin sin sin 6sin 2323232232ABC S PA PB PB PC PA PC ac B ππππ∴=⋅+⋅+⋅==⨯⨯=V ,6PA PB PB PC PA PC ∴⋅+⋅+⋅=.由6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=等号左右两边同时乘以2cos3π可得：2222coscos cos 6cos 3333PA PB PB PC PA PC ππππ⋅+⋅+⋅=⨯，∴26cos 33PA PB PB PC PA PC π⋅+⋅+⋅=⨯=-uu r uu r uu r uu u r uu r uu u r .故选：C.本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.二、多选题9．下列各命题中，是充要条件的有（）A ．:0p a ≠，2:q y ax bx c =++为二次函数B ．:0p x >，0y >，:0q xy >C ．:p四边形是正方形，:p 四边形对角线互相平分D ．:1p x =或2x =，:1q x -=【正确答案】AD【分析】根据充要条件依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若0a ≠，2y ax bx c =++为二次函数，满足充分性，若2y ax bx c =++为二次函数，则0a ≠，满足必要性，故A 选项为充要条件.对选项B ，若0x >，0y >时，则0xy >，满足充分性，若0xy >时，则0x >，0y >或0x <，0y <，不满足必要性，故B 不符合充要条件.对选项C ，若四边形是正方形，则四边形对角线互相平分，满足充分性，若四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，不一定是正方形，不满足必要性，故C 不符合充要条件.对选项D ，若1x =或2x =，则1x -，满足充分性，若1x -，则()2111x x x ⎧-=-⎪⎨≥⎪⎩，解得1x =或2x =，满足必要性，故D 选项为充要条件.故选：AD10．设12,z z 是复数，则（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】ABC【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析判断.【详解】对于A ：若120z z -=，则12z z =，所以12z z =，故A 正确；对于B ：若12z z =，根据共轭复数的定义可得12z z =，故B 正确；对于C ：∵22121122,z z z z z z ⋅==⋅，若12=z z ，即2212z z =，可得1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：例如121,i z z ==，显然12=z z 成立，但22121,1z z ==-，即2212z z ≠，故D 错误；故选：ABC.11．将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（）A B ．圆锥的侧面积为2πC ．圆锥侧面展开图扇形圆心角为πD【正确答案】BCD【分析】由题中等边三角形就是圆锥轴截面，得出圆锥母线长，底面半径，高，然后计算体积、侧面积，圆锥侧面展开图扇形圆心角，过圆锥顶点的截面面积的最大值判断各选项．【详解】由题意圆锥的母线长为2l =，底面半径为1r =，高为h =2211212333V r h πππ==⨯⨯=，A 错；S 侧122rl πππ==⨯⨯=，B 正确；圆锥侧面展开图扇形圆心角为2212r l ππθπ⨯===，C 正确；由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角3π，因此过圆锥顶点的截面面积的最大值212sin 23S π=⨯⨯=D 正确．故选：BCD ．12．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AB AE λμ=+，则（）A ．μ最大值为1B ．AP ·AB最大值是8C ．λ最大值为14D ．AP ⋅ AC最大值是8+【正确答案】AD【分析】建系，设()2cos ,2sin P θθ，根据向量的坐标运算结合三角函数的有界性逐项分析运算.【详解】如图，以AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()2,0,2,0,2,2,2,4A B E C -，设()[]()2cos ,2sin 0,πP θθθ∈，可得()()()()2cos 2,2sin ,4,0,4,2,4,4AP AB AE AC θθ=+===uu u r uu u r uu u r uuu r ，则()44,2AB AE λμλμμ+=+uu u r uu u r，由题意可得442cos 222sin λμθμθ+=+⎧⎨=⎩，解得()1cos 2sin 12sin λθθμθ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩.对于A ：∵sin μθ=，且[]0,πθ∈，可得当π2θ=，sin θ取到最大值1，∴μ最大值为1，故A 正确；对于B ：AP ·()()42cos 28cos 1AB θθ=+=+uu u r ，∵[]0,πθ∈，可得当0θ=时，cos θ取到最大值1，∴AP ·AB最大值是()81116+=，故B 错误；对于C ：∵()()11cos 2sin 1cos 222λθθθϕ=-+++，其中πtan 2,0,2ϕϕ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，由[]0,πθ∈，则3π0π2ϕθϕϕ<≤+≤+<，令πϕθϕ≤+<，解得0πθϕ≤<-；令ππθϕϕ≤+≤+，解得ππϕθ-≤≤；故()122λθϕ=++在[)0,πϕ-上单调递减，在[]π,πϕ-上单调递增，当0θ=时，则1λ=；当πθ=时，则01λ=<；∴λ最大值是1，故C 错误；对于D ：AP ⋅π8cos 88sin 84AC θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭uuu r ，∵[]0,πθ∈，则ππ5π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当ππ42θ+=，即π4θ=时，πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取到最大值1，∴AP ⋅ AC最大值是8+D 正确；故选：AD.方法定睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．三、填空题13．已知空间向量(2,1,3)a =- ，(4,1,)b x =- ，若a b ⊥，则x =__________．【正确答案】3【详解】8130x --+=，得3x =．14．ABC ∆中,60ABC ∠= ，2BA =，3BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于D ,则线段BD 的长为______.【分析】由BD 是角平分线，可知23BA DA BC DC ==，设2,3,DA m DC m BD x ===，ABD ∆和BDC ∆中，分别列出余弦定理，再求BD 的长度.【详解】 BD 平分ABC ∠交AC 于D ,ABD ∆中，sin 30sin AD BAADB=∠ ，BDC ∆中，sin 30sin DC BCBDC=∠ ，sin sin ADB BDC ∠=∠ ，23BA DA BC DC ∴==，∴设2,3,DA m DC m BD x ===，ABD ∆中，22444cos30m x x =+-⋅ ，BDC ∆中，22996cos 30m x x =+-⋅ ，两式相除可得，49=，解得.x =本题考查利用正余弦定理解三角形，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据正弦定理判断出23DA DC =，问题迎刃而解.15．2020年夏天，国内多地出现洪涝灾情，某地一处长100m 的堤坝需要用土方进行填筑加固，计划将背水坡的坡度由原来的75︒改为45︒（如图所示），其中背水坡长AB 为6m ，则加固这段堤坝需要使用的土方量为__3m .【正确答案】31).计算三棱柱111ABD A B D -的体积得出答案.【详解】解：在ABD △中，754530BAD ∠=︒-︒=︒，6AB m =，由正弦定理可得：sin 45sin 30AB BD =︒︒，故6sin 3032sin 45BD m ︒==︒，于是三棱柱111ABD A B D -的体积为311·326sin105100450(31)2ABD V S AA m ==⨯⨯︒⨯=+ ，故答案为.450(31)+16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，a ＝4，3cos cos cos b A a C c A -=，点D 在线段BC 上，2BD DC =，过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，则DEF 面积的最大值是______.【正确答案】28164281【分析】先由3cos cos cos b A a C c A -=结合正弦定理求得cos A ，sin A ，再由余弦定理可得222163b c bc +-=，结合不等式222b c bc +≥证得12bc ≤，又由2BD DC =得223ACD ABD ABC S S S ==△△△，从而求得DE ，DF ，由此得DEF 面积的关于,b c 的表达式，进而求得其最大值．【详解】因为3cos cos cos b A a C c A -=，所以由正弦定理得3sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=，则()()3sin cos sin cos sin cos sin sin πsin B A C A A C A C B B =+=+=-=，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以1cos 3A =，则2sin 3A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2222163a b c bc =+-=，因为222b c bc +≥，所以22163bc bc -≤，则12bc ≤，当且仅当3c b ==连结AD ，因为2BD DC =，所以223ACD ABD ABC S S S ==△△△，所以112122222323b DF c DE bc ⋅=⨯⨯=⨯⨯，则229DE b =，429DF c =，则11162642sin sin 2224381DEF S DE DF EDF DE DF A bc =⋅⋅∠=⋅⋅=≤△．故答案为.64281.四、解答题17．已知()()()3sin cos tan 22()tan sin f ππααπαααπαπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若4cos()35πα+=，且α为第三象限角，求()f α【正确答案】（1）()cos f αα=-；（2）33410.【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可.（2）由题意41122336k k ππππαπ+<+<+求sin()3πα+，再根据两角和正弦公式求sin()2πα+，可得cos α，即知()f α.【详解】（1）()()()3sin cos tan (cos )sin (tan )22()tan sin tan sin f ππααπααααααπαπαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭==-----⋅cos α=-.（2）∵α为第三象限角，则41122336k k ππππαπ+<+<+，∴3sin()35πα+=-，而sin()sin()cos cos()sin 23636πππππααα+=+++，∴3341433cos 525210α-=-+⨯=33()410f α=-.18．已知z 为虚数，42z z +-为实数．（1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；（2）求|4|z -的取值范围．【正确答案】（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，R y ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ；（2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x 的范围，根据复数的模的定义，化简为4z -的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，R y ∈，0)y ≠，（1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+，又因为42z z +-为实数，则(442)242z yi y i R z yi y+=++=+-∈-，得40y y-=，2y =±，所以22z i =+或22z i =-.（2） 2222(4442)4[]22(2)(2)x yz x yi x y i R z x yi x y x y-+=++=++-∈-+--+-+，因为42z z +-为实数，∴2240(2)yy x y -=-+，0y ≠ ，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-==由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<，即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cosC A c a +=．（1）求c 的值；（2）若3C π=，求ABC 面积的最大值．【正确答案】（1）c =（2）4.（1）根据cos cosC A c a +=，利用正弦定理余弦定理，角化边即可求解.（2）利用正弦定理得到24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则4sin sin ab A B =2sin 216A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求得其最大值，然后代入三角形面积公式求解.【详解】（1）因为cos cosC A c a +=，所以22222222a b c b c a abc abc +-+-+=解得c =（2）因为3C π=所以由正弦定理得24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴24sin sin 4sin sin 3ab A B A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭14sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭．21cos 2A A +-，2sin 216A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当262A ππ-=即3A π=时，ab 取最大值为3．∴11sin 32224ABC S ab C =⨯⨯=，所以ABC 面积的最大值为4．关键点点睛：本题第二问关键是结合（1）和3C π=，利用正弦定理得到24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而转化为2sin 216ab A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解，20．如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【正确答案】(1)75π2(2)15π【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可【详解】（1）由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==，可得圆柱的底面圆的半径为52R =，则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=．（2）由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．21．已知向量()2cos ,cos a x x = ,πsin ,33b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设函数3()4f x a b =⋅ x ∈R(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程π12142fx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根,求m 的取值范围;(3)若函数π()12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,使得()()120f x kg x +>,求实数k的取值范围.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)[3,4)m ∈(3),,22⎛⎫⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)根据数量积的坐标运算,结合三角函数的恒等变换可得1π()sin(2)23f x x =-,由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+,Z k ∈即可求得答案;(2)将方程π12()42f x m +=1-有两个不等的实根转化为函数ππ()2()sin(2)46h x f x x =+=+的图象与112y m =-有两个交点,数形结合,求得答案;(3)将对于任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12()()0f x kg x +>,转化为min 2min ()[()]f x kg x >-成立,求出函数(),()f x g x 的范围,分类讨论,求得k 的取值范围;【详解】（1）由题意可知:2211()cos sin cos22f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-+⋅-+⎪ ⎪⎝⎭111πsin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin 24444423x x x x x ⎛⎫=++=-=- ⎪⎝⎭,由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+,Z k ∈,解得:π5πππ1212k x k -+≤≤+,Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）令ππ()2sin 246h x f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,令π26r x =+,则π5π,66r ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,且sin y r =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程π12142fx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根,则需函数()h x 的图象与112y m =-有两个交点,即sin y r =,π5π,66r ⎡⎤∈-⎢⎣⎦与112y m =-有两个交点,如图所示:,则111122m ≤-<,则[3,4)m ∈.（3）由题意π1ππ1π1()sin 2sin 2cos 2122123222g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,若对于任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()120f x kg x +>,即()min 2min ()f x kg x ⎡⎤>-⎣⎦,当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,则1π1()sin 2,2342f x x ⎡⎤⎛⎫=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,111()cos 2,222g x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,故当0k =时,0不成立;当0k >时,12k -,解得k当0k <时,12k ,解得k <,故实数k 的取值范围为,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．将二次函数2y x =的图象在坐标系内自由平移，且始终过定点()2,P t t，则图象顶点A 也随之移动，设顶点(),A x y 所满足的表达式为二次函数()y f x =.例如，当1t =时，()22f x x x =-+；当2t =时，()24f x x x =-+.(1)当2t =，图象平移到某一位置时，且P 与A 不重合，有OP PA ⊥ ，其中O 为坐标原点，求PA的坐标；(2)记函数()()21g x f x x -=+在区间[]2,4上的最大值为()M t ，求()M t 的表达式；(3)对于常数λ（0λ>），若无论图象如何平移，当A ，P 不重合时，总能在图象上找到两点B ，C ，使得BC PA λ=，且直线BC 与()f x 无交点，求λ的取值范围.【正确答案】(1)11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)()274,238,22,t M t t t t -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩3535t t t ≤≥<<(3)Rλ∈【分析】（1）当2t =时，()24f x x x =-+，设点()2000,4A x x x -+，()2,4P ，通过坐标表示向量，并通过OP PA ⊥建立等式关系求出0x 的值，进而求得结果；（2）由题意确定二次函数顶点的表达式()22f x x tx =-+，进而求出()()2221g x x t x =-+-+，由函数区间定轴动的思想进行求解；（3）联立22y kx by x tx=+⎧⎨=-+⎩无解，证得直线BC 与()f x 无交点，设()()1122,,,B x y C x y ，2121y y k x x -=-，通过化简式子发现BC PA λ=恒成立，进而求得λ的取值范围.【详解】（1）当2t =时，()24f x x x =-+，设点()2000,4A x x x -+，()2,4P ()20002,44PA x x x =--+- ，因为OP PA ⊥ ，所以()()20022420O x x P PA ⋅=--+-= ，解得：02x =或052x =，则()2,4A 或515,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，当点A 的坐标为()2,4A 时，A 与P 重合，不合题意，所以515,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,24PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）设二次函数2y x =的图象在坐标系内平移之后的解析式为()2y x a b =-+，(),a b 为二次函数的顶点，因为函数过定点()2,P t t，则22b aat =-+，即()22f x x tx =-+，()()22221221g x x tx x x t x =-+-+=-+-+，对称轴为1x t =-，当12t -≤时，即3t ≤，()g x 在区间[]2,4上单调递减，()()max 274g x g t ==-+；当14t -≥时，即5t ≥，()g x 在区间[]2,4上单调递增，()()max 4238g x g t ==-+；214t <-<时，即35t <<，()g x 在区间[]2,1t -上单调递增，在区间(]1,4t -上单调递减，()()2max 122g x g t t t =-=-+.所以()274,238,22,t M t t t t -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩3535t t t ≤≥<<.（3）设直线:BC y kx b =+，则联立22y kx b y x tx=+⎧⎨=-+⎩，()220x k t x b +-+=无解，()2240k t b ∆=--<，则直线BC 与()f x 无交点；设()()1122,,,B x y C x y ，()()12221,,λλλ∴--=-=-= BC PA x t x y y y t x ()2121222-∴=⇒---=--=⇒--y y t x y t y t t k y t x t k x x x ，λ=∴BC PA 恒成立，λ的取值范围为R .。
【推荐】江西省赣州市十四县(市)高一下册第二学期期中联考试卷数学试卷word版有答案
2019-2020第二学期赣州市十四县（市）期中联考高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1.若tan 0α<且sin 0α>,则α在( ) A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.向量(2,),(6,8)a x b ==r r，若//r r a b ，则x 的值为（）A. 83B.2C. 32D.- 323.在△ABC 中，4,a b ==A=45°，则三角形的解的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.不确定 4．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线C ．若a b a b +=-r r r r，则0a b =r r gD ．若a r 与b r 都是单位向量，则1a b =r rg5.已知函数sin 2y x =图像可以由函数sin(2)4y x π=+如何平移得到（）A.向左平移4πB.向右平移4πC.向左平移8πD.向右平移8π6.已知等差数列{}n a 中的前n 项和n S ，若1082327,=a a S =+则（ ）A ．145 B. 1452C.161D. 16127.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos =b c A ，则这个三角形一定是（） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布。
A.21B.815C.1631D.16299.在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，4AB =，3AC =，则BC uuu r 在CA 方向上的投影是（）A. 4B. 3C. -4D. -310.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知32=a ，22=c ，bcB A 2tan tan 1=+。
江西省赣州市高一下学期期中数学试卷
江西省赣州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）满足{1，2}⊂M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数为（）A . 4B . 6C . 7D . 83. （2分）“a，b为异面直线”是指：①，且a与b不平行；②a平面， b平面，且；③a平面， b平面，且；④a平面， b平面；⑤不存在平面，能使a且b成立。
上述结论中，正确的是A . ①④⑤正确B . ①⑤正确C . ②④正确D . ①③④正确4. （2分） (2015高三上·务川期中) 由几块大小相同的正方体搭成如图所示的几何体，它的侧视图是（）A .B .C .D .5. （2分）给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数，则等于（）A .B . 0C . 1D . 27. （2分） (2016高二下·宝坻期末) 已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且＞2，则不等式f（x）＞ x﹣1的解集是（）A . （﹣∞，2）B . （2，+∞）C . （0，2）D . （﹣∞，1）8. （2分）等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·银川模拟) 如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）=（）A .B .C . -D . -11. （2分）点A（﹣1，），B（1，3），则直线AB的倾斜角为（）A . 30°B . 150°C . 60°D . 120°12. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 若点在第一象限,则在内的取值范围是（）A .B .C .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 设f（x）= ，则f（f（））=________．14. （1分）直线2x+ay+2=0与直线ax+（a+4）y﹣1=0平行，则a的值为________15. （1分）一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为________16. （1分） (2019高一下·上海月考) 设当时，函数取得最大值，则________.三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）(2018·兴化模拟) 已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．18. （5分）若直线ax+3y﹣5=0过连结A（﹣1，﹣2），B（2，4）两点线段的中点，求实数a的值．19. （15分） (2016高二上·公安期中) 已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，PM，切点为Q，M，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）若以P为圆心的圆P与圆O有公共点，试求圆P的半径最小时圆P的方程；（3）当P点的位置发生变化时，直线QM是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．20. （15分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+1（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（x）的解析式，并求出函数的单调递增区间；（2）求x∈[ ， ]时，函数f（x）的最大值与最小值；（3）试列表描点作出f（x）在[0，π]范围内的图象．21. （10分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE= a．（1）求证：PB⊥BC；（2）试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。
2016-2017学年江西省赣州市十四县(市)联考高一下学期期中数学试卷
2016-2017学年江西省赣州市十四县（市）联考高一下学期期中数学试卷一、选择题 (共12题；共24分)1．（2分）已知等差数列{a n }满足a 1=2，a 3=8，则数列{a n }的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2分）设向量前 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，﹣2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，6），则| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（ ）A ．2 √6B ．5C ．√26D ．63．（2分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A= π3 ，则 b 2+c 2−a 2bc的值为（ ） A ．12B ．√32C ．1D ．√34．（2分）在公比为2的等比数列{a n }中，a 1a 3=6a 2，则a 4等于（ ）A ．4B ．8C ．12D ．245．（2分）将函数y=cos （3x+ π3 ）的图象向左平移 π18 个单位后，得到的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos C= √55，b=atan C ，则sinB sinA 等于（ ） A ．2B ．12C ．√5D ．√557．（2分）如图，G 是△ABC 的重心，D 为BC 的中点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λ GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．128．（2分）已知数列{a n }满足：a 1=﹣13，a 6+a 8=﹣2，且a n ﹣1=2a n ﹣a n+1（n≥2），则数列{ 1a n an+1}的前13项和为（ ）A．113B．﹣113C．111D．﹣1119．（2分）函数f（x）=2sin2（2x+ π6）﹣sin（4x+π3）图象的一个对称中心可以为（）A．（﹣5π48，0）B．（﹣7π48，0）C．（﹣5π48，1）D．（﹣7π48，1）10．（2分）在等腰△ABC中，AB=AC=1，D是线段AC的中点，设BD=x，△ABC的面积S=f （x），则函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（2分）若向量a⃗与向量b⃗满足：| a⃗|=2，| b⃗|=3，且当λ∈R时，| b⃗−λa⃗|的最小值为2 √2，则向量a⃗+b⃗在向量a⃗方向上的投影为（）A．1 或2B．2C．1 或3D．312．（2分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1（S n+1﹣2S n+1）=3S n（S n+1），则a100等于（）A．2×398B．4×398C．2×399D．4×399二、填空题： (共4题；共8分)13．（2分）若向量a⃗=（1，﹣x）与向量b⃗=（x，﹣6）方向相反，则x=．14．（2分）已知函数f（x）= {2sinπx，x<1f(x−23)，x≥1，则f(2)f(−16)=．15．（2分）在数列{a n}中，a 2=32，a3=73，且数列{na n+1}是等差数列，则a n=．16．（2分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000 m，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为km．三、解答题 (共6题；共55分)17．（5分）在△ABC 中，已知a=2，b=2 √3 ，B=120°，解此三角形． 18．（10分）已知向量 a⃗ ， b ⃗ 满足：| a ⃗ |=2，| b ⃗ |=4 （1）（5分）若（ a ⃗ −b⃗ ）• b ⃗ =﹣20，求向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角及|3 a ⃗ + b ⃗ | （2）（5分）在矩形ABCD 中，CD 的中点为E ，BC 的中点为F ，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，试用向量 a ⃗ ， b ⃗ 表示 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19．（10分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知 b+acos C=0，sin A=2sin（A+C ）．（1）（5分）求角C 的大小；（2）（5分）求 c a 的值．20．（10分）已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和•且S 4=S 3+3a 3，a 2=9．（1）（5分）求数列{a n }的通项公式（2）（5分）设b n =（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．21．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分別为a ，b ，c ，且asin Acos C+csin AcosA= 13 c（1）（5分）若c=1，sin C= 13，求△ABC 的面积S（2）（5分）若D 是AC 的中点•且cosB= 2√55，BD= √26 ，求△ABC 的最短边的边长．22．（10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =（a n ﹣1）（a n +2），（1）（5分）求数列{a n }的通项公式（2）（5分）设数列{ (n−1)⋅2nna n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与 2n+1(18−n)−2n−2n+1的大小．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：等差数列{a n }满足a 1=2，a 3=8，则数列{a n }的公差=8−22=3．故选：C ．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，﹣2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，6）， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4），∴| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= √32+42 =5． 故选：B ．【分析】利用平面向量坐标运算法则求出 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |．3．【答案】C【解析】【解答】解：∵A= π3 ，∴cosA= 12 = b 2+c 2−a 22bc = 12 • b 2+c 2−a 2bc ，∴b 2+c 2−a 2bc=1．故选：C ．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵在公比为2的等比数列{a n }中，a 1a 3=6a 2，∴a 1⋅a 1⋅22=6a 1⋅2 ， 解得a 1=3，∴a 4= a 1⋅q 3=3⋅23 =24． 故选：D ．【分析】利用等比数列通项公式求出首项，由此能求出第4项．5．【答案】A【解析】【解答】解：将函数y=cos （3x+ π3 ）的图象向左平移 π18 个单位后， 得到的函数解析式为：y=cos[3（x+ π18 ）+ π3 ]=﹣sin3x ，此函数过原点，为奇函数，排除C ，D ；原点在此函数的单调递减区间上，故排除B ． 故选：A ．【分析】由函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可得向左平移 π18 个单位后，得到的函数解析式为：y=﹣sin3x ，利用正弦函数的图象和性质即可得解．6．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵cosC= √55，∴sinC= √1−cos 2C = 2√55，∵b=atanC ，∴由正弦定理可得：sinB=sinA• sinC cosC ，由于sinA≠0，可得： sinB sinA = sinC cosC=2．故选：A ．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，利用正弦定理即可化简已知等式求值得解．7．【答案】C【解析】【解答】解：∵点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 16 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 16 （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 16 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 16 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗）， ∴λ=6， 故选：C ．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，求和得到结果．8．【答案】B【解析】【解答】解：a n ﹣1=2a n ﹣a n+1（n≥2），可得a n+1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ， 由a 1=﹣13，a 6+a 8=﹣2，即为2a 1+12d=﹣2， 解得d=2，则a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣15．1a n a n+1 = 1(2n−15)(2n−13) = 12（ 1(2n−15) ﹣ 1(2n−13) ）， 即有数列{ 1a n a n+1 }的前13项和为 12 （ 1−13 ﹣ 1−11 + 1−11 ﹣ 1−9 +…+ 111 ﹣ 113）= 12×（﹣113﹣113）=﹣113．故选：B．【分析】由条件可得a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，以及1a n a n+1=1(2n−15)(2n−13)= 12（1(2n−15)﹣1(2n−13)），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．9．【答案】D【解析】【解答】解：函数f（x）=2sin2（2x+ π6）﹣sin（4x+π3）化简可得：f（x）=1﹣cos（4x+ π3）﹣sin（4x+ π3）=1﹣√2sin（4x+ 7π12）由对称轴中心横坐标：4x+ 7π12=kπ，k∈Z．可得对称轴中心横坐标：x= −7π48+14kπ．当k=0时，可得x= −7π48．故选：D．【分析】将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质求解即可．10．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，cosA= 54﹣x2，sin2A=1﹣（54﹣x2）2，（12<x<32）∴y=S2= 12×1×12×[1﹣（54﹣x2）2]= −14x4+58x2−964，∴y′=﹣x（x+ √52）（x﹣√52），∴1 2＜x＜√52，y′＞0，32＞x＞√52，y′＜0，故选D．【分析】求出三角形面积的表达式，求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．11．【答案】C【解析】【解答】解：设a⃗与b⃗的夹角为θ，∵| a⃗|=2，| b⃗|=3，且当λ∈R时，| b⃗−λa⃗|的最小值为2 √2，∴(b⃗−λa⃗)2的最小值为8，即b⃗2﹣2λ a⃗⋅b⃗+λ2a⃗2=9﹣2λ•2•3•cosθ+4λ2的最小值为8，当λ= −(−12cosθ)2×4=32cosθ时，(b⃗−λa⃗)2有最小值为8，即4× (32cosθ)2−12cosθ⋅(32cosθ)+9=8 ，解得cos θ=±13 ．向量 a ⃗ +b ⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为 (a ⃗⃗ +b ⃗⃗ )⋅a ⃗⃗ |a ⃗⃗ |=|a ⃗⃗ |2+|a ⃗⃗ ||b ⃗⃗|cosθ2=4+6cosθ2 ， ∵cos θ=±13 ，∴(a⃗⃗ +b ⃗⃗ )⋅a ⃗⃗ |a ⃗⃗ |=3或1．故选：C ．【分析】设出 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为θ，由| b ⃗ −λa ⃗ |的最小值为2 √2 ，求出使 (b ⃗ −λa ⃗ )2的最小值为8的λ值，再代入 b ⃗ 2 ﹣2λ a ⃗ ⋅b ⃗ +λ2a ⃗ 2 =9﹣2λ•2•3•cosθ+4λ2=8，解出cosθ，再由投影公式求解．12．【答案】B【解析】【解答】解：S n 为正项数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n+1（S n+1﹣2S n +1）=3S n （S n +1），可得S n+12﹣2S n+1S n ﹣3S n 2+S n+1﹣3S n =0， 即有（S n+1﹣3S n ）（S n+1+S n ）+（S n+1﹣3S n ）=0， 即为（S n+1﹣3S n ）（S n+1+S n +1）=0， 即有S n+1=3S n ，数列{S n }为等比数列，首项为2，公比为3， 可得S n =2×3n ﹣1，则a 100=S 100﹣S 99=2×399﹣2×398 =4×398． 故选：B ．【分析】由题意结合因式分解可得（S n+1﹣3S n ）（S n+1+S n +1）=0，即有S n+1=3S n ，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，即可得到所求值．13．【答案】−√6【解析】【解答】解：向量 a⃗ =（1，﹣x ）与向量 b ⃗ =（x ，﹣6）方向相反， 可得﹣x 2=﹣6，解得x= ±√6 ． x= √6 ，两个向量方向相同，舍去； 故答案为： −√6 ．【分析】利用向量相反，列出关系式求解即可．14．【答案】﹣ √3【解析】【解答】解：f （2）=f （2﹣ 23 ）=f （ 43 ）=f （ 23 ）=2sin （ 23 π）=2sin π3 = √3 ，f （﹣ 16）=2sin （﹣ π6 ）=﹣1，故f(2)f(−16)=﹣√3，故答案为：﹣√3．【分析】根据函数的解析式求出f（2），f（﹣16）的值，作商即可．15．【答案】4n−5n【解析】【解答】解：∵数列{na n+1}是等差数列，∴na n+1=2a2+1+（n﹣2）[（3a3+1）﹣（2a2+1）]=3+1+（n﹣2）（8﹣4）=4n﹣4，∴a n= 4n−5n．故答案为：4n−5n．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出16．【答案】15﹣10 √3【解析】【解答】解：如图，∠A=15°，∠ACB=60°，AB=1000×108× 13600=30（km ）∴在△ABC中，BC=20 √3sin15°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin75°=20 √3sin15°sin75°=10 √3山顶的海拔高度=（15﹣10 √3）km．故答案为15﹣10 √3．【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．17．【答案】解：△ABC中，∵a=2，b=2 √3，B=120°，∴由正弦定理得：sinA= asinBb = 12，∵a＜b，∴A=30°，∴C=30°，c=a=2．【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，求出sinA ，确定出A 的度数，进而求出C 的度数，得到c 的值．18．【答案】（1）解：∵向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足：| a ⃗ |=2，| b ⃗ |=4，（ a ⃗ −b ⃗ ）• b ⃗ =﹣20，设向量 a ⃗ 与 b⃗ 的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则 a ⃗ ⋅b ⃗ ﹣ b ⃗ 2=2•4•cosθ﹣16=﹣20，求得cosθ=﹣ 12 ，∴θ= 2π3． ∴|3 a ⃗ + b ⃗ |= √(3a ⃗ +b ⃗ )2 = √9a ⃗ 2+b ⃗ 2+6a ⃗ ⋅b⃗ = √36+16+6⋅2⋅4⋅(−12) =2 √7 ． （2）解： AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = a ⃗⃗2 + b ⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = a ⃗ + b ⃗⃗ 2， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ a ⃗⃗ 2 + b ⃗ ）•（ a ⃗ + b ⃗⃗ 2 ）= a ⃗⃗ 22 + b ⃗⃗ 22+ 5a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ 4 = 42 + 162 +0=10． 【解析】【分析】（1）由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得|3 a ⃗ + b ⃗ |= √(3a ⃗ +b⃗ )2 的值．（2）根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用两个向量的数量积的定义，求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19．【答案】（1）解：sin A=2sin （A+C ）=2sin （π﹣B ）=2sinB ， 由正弦定理可知： a sinA = b sinB= csinC =2R ，∴a=2b ，由cosC=﹣ b a=﹣ 12 ，由0＜C ＜π，则C=2π3，（2）解：由余弦定理可知：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4b 2+b 2+2b 2=8b 2，则c=2 √2 b ，则 c a = 2√2b 2b = √2 ，∴ca 的值为 √2 ．【解析】【分析】（1）由题意可知sin A=2sinB ，根据正弦定理可知a=2b ，则cosC=﹣ b a =﹣ 12 ，即可求得C ；（2）利用余弦定理求得c=2 √2 b ，即可求得 ca 的值． 20．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，S 4=S 3+3a 3，a 2=9，可得a 4=S 4﹣S 3=3a 3，即q= a4a 3=3，a 1q=9，可得a 1=3，则数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n ﹣1=3n ； （2）解：b n =（2n ﹣1）a n =（2n ﹣1）•3n ； 则前n 项和T n =1•31+3•32+…+（2n ﹣1）•3n ； 3T n =1•32+3•33+…+（2n ﹣1）•3n+1；两式相减可得，﹣2T n =3+2（32+33+…+3n ）﹣（2n ﹣1）•3n+1 =3+2• 9(1−3n−1)1−3﹣（2n ﹣1）•3n+1；化简可得T n =3+（n ﹣1）•3n+1．【解析】【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得b n =（2n ﹣1）a n =（2n ﹣1）•3n ；运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．21．【答案】（1）解：由正弦定理可知： a sinA = b sinB= c sinC =2R ，则a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ， ∴sinAsinAcosC+sinCsinAcosA= 13 sinC ，则sinAsin （A+C ）= 13sinC ，∴sinAsinB= 13 sinC ，则sinA× b 2R = 13 × c2R ，∴bsinA= 13，△ABC 的面积S ，S= 12 ×bcsinA= 12 ×1× 13 = 16 ，△ABC 的面积S= 16；（2）解：由cosB= 2√55 ，可得sinB= √55，∵C=π﹣（A+B ），∴3sinA= √5 sin （A+B ），则sinA=cosA ，得tanA=1，∴A= π4 ，则c 2+ 14 b 2﹣ √22bc=26，∵sinA× √55 = 13 sinC ，且sinB× √22 = 13 sinC ，∴c= 3√55 a ，b= √23 c= √105a ，∴95 a 2+ 110 a 2﹣ 35a 2=26， ∴解得：a=2 √5 ，∴b=2 √2 ，c=6，∴△ABC 的最短边的边长为2 √2 ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得sinAsinB= 13 sinC ，即bsinA= 13 ，根据三角形的面积公式，即可求得△ABC 的面积S ；（2）由同角三角函数基本关系式可求sinB ，结合已知可求A ，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解． 22．【答案】（1）解：当n=1时，2a 1=2S 1=（a 1﹣1）（a 1+2）， ∵a 1＞0，∴a 1=2．n=2时，2S 2=（a 2﹣1）（a 2+2）=2（2+a 2）， 解得a 2=3．当n≥2时，2a n =2（S n ﹣S n ﹣1）=a n 2﹣a n ﹣12+a n ﹣a n ﹣1， ∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，∵a n +a n ﹣1＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =n+1；（2）解：∵(n−1)⋅2n na n = (n−1)⋅2n n(n+1) = 2n+1n+1﹣ 2n n ， ∴T n = 222 ﹣ 21 + 233 ﹣ 222 +…+ 2n+1n+1 ﹣ 2n n = 2n+1n+1 ﹣2， T n ﹣ 2n+1(18−n)−2n−2n+1 = 2n+1n+1 ﹣2﹣ 2n+1(18−n)−2n−2n+1 = 2n+1(n−17)n+1， 当n ＜17且n 为正整数时，2n+1(n−17)n+1 ＜0，∴T n ＜ 2n+1(18−n)−2n−2n+1； 当n=17时，2n+1(n−17)n+1 =0，∴T n = 2n+1(18−n)−2n−2n+1； 当n ＞17且n 为正整数时，2n+1(n−17)n+1 ＞0，∴T n ＞ 2n+1(18−n)−2n−2n+1． 【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1．可得a n =n+1；（2）求得 (n−1)⋅2n na n = (n−1)⋅2n n(n+1) = 2n+1n+1 ﹣ 2n n ，运用裂项相消求和可得T n ，再由作差法，讨论n 的范围，即可得到大小关系．。
2023-2024学年江西省赣州市南康区高一下学期期中考试数学质量检测模拟试题
2023-2024学年江西省赣州市南康区高一下册期中考试数学试题一、单选题1．已知向量1e 与2e 不平行，记1232a e e =- ，122b e ke =+ ，若a b，则k =（）A ．2B ．43-C ．53D ．23【正确答案】B【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.【详解】依题意，121232,2a e e b e ke =-=+，a b ，b a λ∴= ，即()1212232e ke e e λ+=- ，232k λλ=⎧∴⎨=-⎩，解得4323,k λ==-．故选：B ．2．给定两个向量()3,4a =r ，()2,1b =-r，若()()a xb a b +⊥- ，则x 的值是（）A ．23B ．232C ．233D ．234【正确答案】C【分析】先求出()()a xb a b +- ,的坐标,然后利用向量垂直等价于数量积为零，利用数量积的坐标运算得到关于x 的方程，求解即得.【详解】()()3,4,2,1a b ==-,()()32,4,1,5a xb x x a b ∴+=+--=，又()(),a xb a b +⊥- ()()0a xb a b ∴+⋅-= ，即()321(4)50x x +⨯+-⨯=，整理得323x =,解得233x =，故选:C.3．已知()()()()πtan πcos 2πsin 2cos πf ααααα⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎝⎭=--化简结果为（）A ．sin cos ααB ．cos αC ．tan αD ．sin α【正确答案】D【分析】利用诱导公式及切化弦化简即可.【详解】()()()()()πtan πcos 2πsin tan cos cos 2cos πcos πf ααααααααα⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪-⋅⋅⎝⎭==--+sin cos cos cos sin cos αααααα-⋅⋅==-.故选：D.4．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若13AF x AB AD =+，则x =（）A ．23B ．45C ．56D ．67【正确答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知()23AE AB AD =+，∵点F 在BE 上，∴()1AF AB AE λλ=+- ，∴2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．∴221333λ-=，12λ=．∴21153326x =+⨯=．故选：C ．5．函数()sin lg f x x x =-零点的个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】画出函数sin y x =和lg y x =的图象，根据函数图象得到答案.【详解】画出函数sin y x =和lg y x =的图象，其中0x >，如图,由图可知，当01x <<时，sin 0,lg 0x x ><，两函数图象没有交点；当110x ≤≤时，两函数图象有3个交点；当10x >时，lg 1sin x x >≥，两函数图象没有交点，综上，函数sin y x =和lg y x =的图象有3个交点，所以，函数()sin lg f x x x =-零点的个数为3．故选：C.6．△ABC 中，已知2a =，60A =︒，b x =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围为（）A ．2x >B ．2x <C ．4233x <<D ．4233x <≤【正确答案】C【分析】根据题意得sin b A a b <<，列出关于x 的不等式求解即可.【详解】在ABC 中，已知2a =，60A =︒，b x =，由于ABC 有两组解，则sin b A a b <<，即322x <<，即4233x <<故选：C.7．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin 2sin sin a b cA B C -+-+的值等于（）A 2393B 2633C 833D ．23【正确答案】A【详解】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 60322ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=，解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+=-+ A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.8．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S，若2S AC =⋅，2a bc =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【正确答案】D【分析】由2S AC =⋅，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得tan A =，得π3A =，由余弦定理结合条件2a bc =可得b c =，从而得出结果．【详解】由2S AC ⋅，可得12sin cos 2bc A A ⨯=，即tan A =因为(0,π)A ∈，可得π3A =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为2a bc =，所以22b c bc bc +-=，即2()0b c -=，即b c =，又π3A =，所以ABC 是等边三角形．故选：D ．二、多选题9．要得到函数y x的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度【正确答案】AC【分析】根据三角函数的图象变换规则及三角函数诱导公式求解即可得出答案.【详解】对于A ，π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π8个单位长度，可得πππ2sin 2cos 2842y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y x ，故A 正确；对于B ，π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π4个单位长度，可得ππ3π22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得3π44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位长度，可得ππ4s 4x y x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π8个单位长度，可得ππ3π848y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC.10．下列说法正确的是（）A ．不等式cos 2x ≤的解集为3π5πππ,Z 88k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．函数()()π2sin 20,π6y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是5π0,6⎛⎫⎪⎝⎭C ．已知π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是13-D ．若()πsin6xf x =，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+的值为0【正确答案】ACD【分析】解不等式cos 22x ≤-，即可判断A ；化简ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用三角函数的单调性求解可判断B ；由πππcos cos 424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式可判断C ；利用()πsin6xf x =的周期性求解可判断D.【详解】由不等式cos 22x ≤-得2π22π,Z π4345πk x k k +≤≤+∈，解得Z 3ππ5π8π,8k x k k +≤≤+∈，故A 正确；ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，得π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈，即函数的增区间为π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，又()0,πx ∈，取0k =，函数的增区间为π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 错误；已知π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππππ1cos cos sin 42443ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；()πsin 6x f x =的最小正周期2π2π16T ==，则(1)(2)(2015)(1)(2)(2015)(2016)(2016)f f f f f f f f +++=++++- 168[(1)(2)(12)](2016)f f f f =⨯+++- π2016π662π162π168(sin sin si 6n )sin=++-111116810100022222222⎛⎫=⨯+++-----+-= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD.11．定义：a ，b两个向量的叉乘sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅r r r r r r ，则以下说法正确的是（）A ．若0a b ⨯=，则a b B ．()()a b a b λλ⨯=⨯r r r r C ．若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于AB AD⨯ D．若a b ⨯r r ，1a b ⋅=，则a b +【正确答案】AC【分析】对于A ，根据叉乘定义，判断a ，b 至少有一个为零向量或sin ,0a b 〈〉=，即可判断；对于B ，根据叉乘定义，讨论0λ≥和0λ<，即可判断；对于C ，结合平行四边面积即可判断；对于D，由a b ⨯r r ，1a b ⋅=推出||||2a b ⋅= ，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断.【详解】对于A ，sin ,0a b a b a b ⨯=⋅⋅=r r r r r r ，若a ，b 至少有一个为零向量，则满足//a b；若a ，b 均不为零向量，则sin ,0a b 〈〉= ，即a ，b 同向或反向，即a b ∥，故A 正确，对于B ，()||||sin ,a b a b a b λλ⨯=⋅⋅〈〉，()||||sin ,a b a b a b λλλ⨯=⋅⋅〈〉 ，若0λ≥，则()||||sin ,a b a b a b λλ⨯=⋅⋅〈〉 ，此时()()λλ⨯=⨯a b a b ；若0λ<，()||||sin ,a b a b a b λλ⨯=-⋅⋅〈〉 ，此时()()a b a b λλ⨯≠⨯，故B 错误；对于C ，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于||||sin ,AB AD AB AD ⋅⋅〈〉 ，即AB AD ⨯，故C 正确；对于D ，||||sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅〈〉，||||cos ,1a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉= ，两式平方后相加得2(||||)4a b ⋅= ，即||||2a b ⋅=，又||a b +=当且仅当||||a b =故||a b +D 错误，故选：AC12．下列说法正确的是（）A ．若圆心角为2π3的扇形的弦长为8π3B ．已知向量()2,3a = ，(),2b x = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件C ．向量()2,2OA = ，()4,1OB = ，在x 轴上的一点P ，使AP BP ⋅取得最小值，则点P 的坐标为()3,0D ．已知扇形的周长是4，当扇形面积最大时，则扇形的圆心角的弧度数是2【正确答案】BCD【分析】求出扇形的半径，进而得出扇形面积，扇形中除去弓形部分的三角形面积，从而得出弓形的面积，即可判断A ；由a 与b的夹角为锐角，求得x 的范围，结合充分条件与必要条件的概念，即可判断B ；设(,0)P x ，利用数量积的坐标运算求出AP BP ⋅，结合二次函数的性质求解，即可判断C ；设扇形的半径为r ，得出扇形的面积的表达式，结合二次函数的性质求解，即可判断D.【详解】对于A 选项，设弓形所在圆的半径为R ，sin,4π3R ∴∴=，弓形所在的扇形面积为：21116π42332πS =⨯⨯=，扇形中除去弓形部分的三角形面积为：212π44sin23S =⨯⨯=，所以弓形的面积为：1216π3S S S =-=-，故A 错误；对于B 选项，因为a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>且a 与b 不平行，所以260x +>且34x ≠，即3x >-且43x ≠，所以“a ，b 的夹角为锐角”可以推出“3x >-”，但是“3x >-”不能推出“a 与b的夹角为锐角”，故“a ，b的夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件，故B 正确；对于C 选项，设(,0)P x ，则(2,2),(4,1)AP x BP x =--=--，22(2)(4)(2)(1)610(3)1AP BP x x x x x ∴⋅=--+-⨯-=-+=-+ ，∴当3x =时，AP BP ⋅取得最小值，此时(3,0)P ，故C 正确；对于D 选项，设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为42r -，扇形的面积为221(42)2(1)12S r r r r r =-=-+=--+，当1r =时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角的弧度数为422rrα-==，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知a 的终边过点(2)，α-，若1tan(π+)=5α，则=a __________．【正确答案】10-【详解】∵α的终边过点()2a -，∴2tan aα-=∵1tan()5πα+=∴12tan 5aα-==∴10a =-故10-14．设1e ，2e 为单位向量．且1e 、2e 的夹角为，若a =1e +32e ，b =21e ，则向量a 在b方向上的射影为________.【正确答案】52【详解】1211112(3)2265cos 13cos .2232e e e e e e e a b a b a a a b bπθ+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅====+=⋅该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、csin cC=，6b =，则 ABC 面积的最大值为________．【正确答案】【分析】又正弦定理可得π3B =，再由面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出最值.sin sin c bC B==sin B B =，即tan B =故π3B =.由余弦定理可得：222221cos 3622a cb B ac ac ac +-==⇒+-=，由基本不等式得：2236a c ac ac ac +-=≥=，等且仅当6a c ==时取得等号，此时1sin 2ABC S ac B =⋅≤ ABC面积的最大值为故16．平面向量a ，b满足1a = ，2b =，a b -= ，对于任意实数k ，不等式1ka tb +> 恒成立，则实数t 的取值范围是________．【正确答案】,33∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由a b -= 两边平方，结合向量的数量积运算求得1a b ⋅=-，由||1ka tb +> 两边平方并整理化简，从而问题转化为：对于任意实数k ，不等式222410k tk t -+->恒成立，利用一元二次不等式恒成立问题的解法即可得出答案.【详解】1a = ，2b =，a b -=则()22222221227a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+-⋅= ，得1a b ⋅=- ，又对于任意实数k ，不等式||1ka tb +>恒成立，即对于任意实数k ，不等式222221k a tka b t b +⋅+>恒成立，即对于任意实数k ，不等式222410k tk t -+->恒成立，则()2244410t t ∆=--<，即2310t ->，解得：t <3t >，则实数t的取值范围是,,33∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．四、解答题17．已知4a = ，2b = ，且a 与b夹角为120 ，求：(1)2a b - ；(2)a 与a b +的夹角．【正确答案】(1)(2)π6.【分析】（1）根据数量积的运算律，求出()22a b - 的值，即可得出答案；（2）先根据数量积的运算律，求出()2a b + 的值，即可得出a b + 的值，进而根据数量积的运算得出()a ab ⋅+的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）由已知可得，1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r .所以有()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++= ，所以2a b -=.（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += 又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅= ，所以()cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+，所以a 与a b + 的夹角为π6．18．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数()g x 的图像，求当50,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，函数()y g x =的值域．【正确答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像得到A =1，741234T πππ=-=，进而求得ω，再由点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图像上求解；（2）利用伸缩变换得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）解：由图像知：A =1，741234T πππ=-=，则T π=，22Tπω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图像上，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以732,Z 62k k ππϕπ+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由题意得()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为50,4x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，则27,3336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，当2332x ππ+=，即4x π=时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1；当27336x ππ+=，即54=x π时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最小值12-所以()21sin ,1332g x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=.（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为ABC 的周长.【正确答案】（1）3π；（2）7.【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到22()a a b b c -+=，再利用余弦定理求解即可.（2）首先根据三角形面积得到12ab =，利用余弦定理得到7a b +=，即可得到三角形ABC 的周长.【详解】（1）因为(sin sin )sin sin a A B b B c C-+=由正弦定理可得22()a a b b c -+=，即222a b c ab +-=.由余弦定理知2221cos 22a b c C ab +-==又因(0,)C π∈，所以3C π=；（2）sin sin3C π==ABC 的面积1sin 2S ab C ===即12ab =，所以22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==2()24131242a b +--==，所以2()49a b +=，即7a b +=.所以ABC 的周长为720．如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 的中点，AC 与EF 交于点N .(1)设AE a = ，AF b = ，试用a ，b 表示AC ；(2)若2AB =，1BC =，H 是线段EF 上的一动点，求AH HB ⋅的最大值.【正确答案】(1)2233AC a b =+(2)15【分析】（1）AC 引入{},AE AF ，重新整理得出AC 和{},AE AF 这组基底的关系；（2）以A 为原点，AB ，AD 分别为x ，y 轴，建立平面坐标系，借助EF 的方程，AH HB ⋅化为关于y 的表达式，从而利用二次函数性质求最值.【详解】（1）取AC 的中点O ，连OE ，OF则，因为()1122222AC OC OE OF AE AC AF AC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2232233AC AE AF AC a b =+⇒=+ .（2）以A 为原点，AB ，AD 分别为x ，y轴，建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()1,1E ，12,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线EF 的方程为：230x y +-=，设()132,12H y y y ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则()32,AH y y =- ，()12,HB y y =-+- ，所以()()()22606413212583455AH HB y y y y y -⋅=--+-=-+-≤=⋅- ，当45y =时等号成立.21．如图，在ABC 中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，4PC =，8AP AC +=.(1)求边AC 的长；(2)若APB △的面积是83sin BAP ∠的值.【正确答案】(1)4(2)217【分析】（1）在APC △中，利用余弦定理即可求得边AC 的长；（2）求得4AP =，可得APC △是等边三角形，利用三角形面积公式可求得PB ，再在APB △中，由余弦定理求出AB ，最后由正弦定理可求sin BAP ∠的值.【详解】（1）在APC △中，设AC x =，由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅∠，则22214(8)2(8)2x x x x =+--⋅-⋅，整理得2324480x x -+=，解得4x =，故4AC =．（2）因为4AC =，8AP AC +=，所以4AP =，所以APC △为等边三角形，则120BPA ∠=︒，所以1sin 832AP BP BPA ⋅⋅⋅∠=8BP =．在APB △中，由余弦定理得2222cos 112AB BP AP BP AP BPA =+-⋅⋅⋅∠=，得47AB =在APB △中，由正弦定理得sin sin BP AB BAP BPA =∠∠，即847sin 32BAP ∠21sin 7BAP ∠=．22．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.【正确答案】（1）()252m π；（2）50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2.【分析】（1）根据弧长的计算公式可求 PQ的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=，故()25350122l m ππ=创=.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++，由题意知，12T =，所以26w T ππ==，又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin(622x ππ-≥，令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈，因为甲乙两人相差3312min 242⨯=，又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果.三角函数实际应用问题的处理策略：1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.。
江西赣州十四县(市)高三下册第二学期期中联考数学(理)试卷及答案【精选】.doc
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}2160A x x =-<，{}26B x x =-<≤，则()R A C B I 等于（ ） A.()4,0-B.(]42--，C.()44-，D.()4,2--2.设复数2z i =-+（i 是虚数单位），的共轭复数为z ，则()1z z +⋅等于（ ） A.5B.25C.52D.103.如图所示的程序框图，若输入x ，k ，b ，p 的值分别为1，2-，9，3，则输出x 的值为（ ）A.29-B.5-C.7D.194.设1F ，2F 是椭圆()2221024x y b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）A.12251- 3 5.在ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于（ ）315B.34315D.36.若不等式组11x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线z x y=-分成面积相等的两部分，则z的值为（）A.1 2 -B.22- C.122- D.12-7.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB=，16AA=，若E，F分别是棱1BB，1CC上的点，且1BE B E=，1113C F CC=，则异面直线1A E与AF所成角的余弦值为（）A.3B.2C.3D.28.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E，F分别在边AB，AD上，57AE AB=，14AF AD=，直线EF交AC于点K，AK AOλ=u u u r，则λ等于（）A.827B.13C.1027D.11279.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（）A.()4223++B.()6225++C.10D.1210.已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1011.已知定义在区间[]3,3-上的单调函数()f x 满足：对任意的[]3,3x ∈-，都有()()26x f f x -=，则在[]3,3-上随机取一个实数x ，使得()f x 的值不小于4的概率为（ ） A.16B.56C.13D.1212.若存在01x >，使不等式()()0001ln 1x x a x +<-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),2-∞B.()2,+∞C.()1,+∞D.()4,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．14.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足()49A C B =-，则展开式中2x 的系数为．15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余税金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为x ．16.点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程y bx a =+（b 精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望.（参数公式：1221ni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑$，$a y bx=-$.）参考数据：22222908574686329394++++=，9013085125741106895639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，AD CD AB==，60ABC∠=︒，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上.（1）求证：平面ACD⊥平面ABD；（2）求二面G AC D--的平面角的余弦值.20.已知点()0,8H-，点P在x轴上，动点F满足PF PH⊥，且PF与y轴交于Q点，Q是线段PF 的中点.（1）求动点F的轨迹E的方程；（2）点D是直线:20l x y--=上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A，B，取线段AB的中点M，连接DM交曲线E于点N.求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标. 21.已知函数()2sinx xf x e be a x-=+-（a，b R∈）.（1）当0a=时，讨论函数()f x的单调区间；（2）当1b=-时，若()0f x>对任意()0,xπ∈恒成立，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线1C的极坐标方程为2cos218ρθ=，曲线2C的极坐标方程为6πθ=，曲线1C，2C相交于A，B两点.（1）求A，B两点的极坐标；（2）曲线1C与直线3212xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度. 23.设对于任意实数x，不等式61x x m++-≥恒成立.（1）求m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：4329--≤-.x x m2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高三数学试卷参考答案（理科） 一、选择题1.B ∵{}44A x x =-<<，{}26R C B x x x =≤->或，∴()(]4,2R A C B =--I . 2.D ∵11z i +=-+，∴()()()1123z z i i i +⋅=-+--=-，∴()110z z +⋅=.3.D 程序执行过程为：1n =，2197x =-⨯+=；2n =，2795x =-⨯+=-；3n =，()25919x =-⨯-+=；43n =>，∴终止程序，∴输出的19x =. 4.A 因为124AF AF +=，124BF BF +=， 所以2ABF △的周长为228AF BF AB ++=， 显然，当AB 最小时，22AF BF +有最大值， 而22min2b AB b a ==，所以，285b -=，解得23b =，21c =，从而12e =-. 5.A 设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =，10a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =. 又15sin A =，由115123222h ⨯⨯⨯=⨯，得315h =. 6.D 不等式组表示的可行域为三角形ABC ，如图所示：目标函数所在直线DE 将其可行域平行，因为2212DEC ABC S DC S BC ==△△，所以2DC BC =，设(),0D x ，则122x -=，得12x =-，所以12z =-. 7.D 以BC 的中点O 为坐标原点建立空间直线坐标系数如图所示，则()23,0,0A ，()123,0,6A ，()0,2,3E ，()0,2,4F -，()123,2,3A E =--，()23,2,4AF =--，设1A E ，AF 所成的角为θ，则112cos 542A E AF A E AFθ⋅===⨯⋅u u u u r.8.C 因为()2AK AO AB AD λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，所以7425AK AE AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，又E ，F ，K 三点共线，所以74125λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1027λ=. 9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD -即为所求，且3PA PB ==，5PC PD ==，可求得表面积为()6225++.10.C 如图可设()1,2,5M x ，()2,2,5N x -，所以()2212513MN x x -+=，解得1212x x -=，所以224T πω==，即12πω=，所以() 2.5cos 12f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()30f =，可得4πϕ=，即() 2.5cos 124f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度得新图象对应的函数()()32.5cos 2.5cos 1241212t g x x t x πππππ-⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令()3122t k k Z ππππ-=+∈，得1230t k =-->，所以14k <-.当1k =-时，t 的最小值为9.11.C 依题知，对任意的[]3,3x ∈-，都有()2x f x a -=（其中a 为常数），即()6f a =，∴()2a f a a -=，即62a a -=，得2a =，故()22x f x =+，由()4f x ≥得1x ≥，因此所求概率为311333-=+. 12.B 令()()()1ln 11a x g x x x x -=->+，则()10g =，()()()()22221112'11x a x a g x x x x x +-+=-=++， 当2a ≤时，得()22110x a x +-+≥，从而()'0g x ≥，得()g x 在()1,+∞上是增函数， 故()()10g x g >=，不合题意； 当2a >时，令()'0g x =得()21111x a a =---()22111x a a =---由21x >和121x x =得11x <，故当()21,x x ∈时，()'g x 在()21,x 上单调递减，此时()()10g x g <=，即()1ln 01a x x x --<+，满足()()1ln 1x x a x +<-，综上，a 的取值范围是()2,+∞.二、填空题 13.2因为θ为锐角，若33cos 165πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以34sin 165πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此34322sin sin 1616455πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 14.5627因为1A =，3nB =，()21918n n n C C -==，所以有249183n n n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2780n n --=，解得8n =.在813x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，因为通项882818133rr r r r r r C T C x x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令3r =，得245627T x =，所以展开式中2x 的系数为5627. 15.172第1关收税金：12x ； 第2关收税金：11132623x x x ⎛⎫-== ⎪⨯⎝⎭；第3关收税金：11114261234x xx ⎛⎫--== ⎪⨯⎝⎭；……第8关收税金：8972x x=⨯. 16.43±如图，A 是切点，B 是1PF 的中点，因为OA a=，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =，24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此2413b c a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.三、解答题17.解：（1）由27a =，3a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤， 解得132134d -≤≤-，因此2d =数列{}n a 的通项公式为112n a n =-. （2）因为11222n n n na nb -==， 所以239751122222n nnT -=++++…，① 2341197511222222n n nT +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222n n n n T -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，整理得11772222n n nT +--=-+，因此2772n nn T -=+. 18.解：（1）9085746863765x ++++==，13012511095901105y ++++==，51522215425955761107951.5293945765145i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑$≈，$110 1.5764ay bx =-=-⨯=-$， 所以$1.54y x =-， 当80x =时，$116y =. （2）因为数学成绩高于100分的人有3个，所以随机变量X 的可能取值为1，2，3，而()2123353110C C P X C ===，()122335325C C P X C ===，()33351310C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为所以()331123 1.810510E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出23BD =，4BC =， 在BCD △中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥，AG BD G =I ，∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .（2）解：由（1）知BD DC ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设2AD CD AB ===，结合（1）中的计算可得：()0,0,0D ，()0,2,0C ，)3,0,0G ，()31A，，，()0,0,1GA =，()3,2,0GC =-，设()1111,,n x y z =u u r 是平面AGC 的法向量，则1110320z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()13,0n =u u r .()0,2,0DC =u u u r ，()3,0,1DA =u u u r，设()2222,,n x y z =u u r 是平面ACD 的法向量，则22230y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取(21,0,3n =-u u r.设二面角G AC D --的平面角为θ，则127cos cos ,72n n θ=<>==⨯u u r u u r. 20.解：（1）设(),F x y ，()',0P x ，()0,'Q y ，()',8PH x =--，()','PQ x y =-，∵PF PH ⊥，∴2'8'0x y -=，即2'8'x y =， 又'020'2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴''2x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入2'8'x y =，得()240x y y =≠.（2）设()00,2D x x -，()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线与抛物线相切，所以'2xy =，11'2DA x x x k y ===， 直线DA 的方程可表示为112x y x y =-， 因为点D 在DA 上，所以100122x x x y -=-，化简得01102240x x y x --+=， 同理可得：B 点的坐标满足02202240x x y x --+=，所以直线AB 的方程为002240x x y x --+=，直线AB 过定点()2,2. 21.解：（1）当0a =时，()x x f x e be -=+，()()2'x x xxe bf x e be e --=-=，①当0b ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； ②当0b >时，可知：1'ln 02f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当1ln 2x b <时，()'0f x <；当1ln 2x b >时，()'0f x >；所以函数()f x 的单调递增区间为1ln ,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,ln 2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当1b =-时，()2sin x x f x e e a x -=--，()'2cos x x f x e e a x -=+-， 若0a ≤，此时对任意()0,x π∈都有0x x e e -->，sin 0x >， 所以()0f x >恒成立； 下面考虑0a >时的情况：若01a <≤，对任意()0,x π∈都有2x x e e -+>，2cos 2a x <，所以()'0f x >，所以()f x 为()0,π上的增函数，所以()()00f x f >=，即01a <≤时满足题意；若1a >，则由()'0220f a =-<，'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可知：一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0f x =，且当()00,x x ∈时，()'0f x <，所以在()00,x 上，()f x 单调递减，从而有：()00,x x ∈时()()00f x f <=，不满足题意.综上可知，a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）由2cos 2186ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2cos 183πρ=， 所以236ρ=，即6ρ=±.所以A 、B 两点的极坐标为：6,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭或76,6B π⎛⎫⎪⎝⎭同样得分. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，整理得2280t +-=，即12t t +=-1228t t ⋅=-， 所以MN =23.解：（1）∵61617x x x x ++-≥+-+=， 又61x x m ++-≥恒成立， ∴7m ≤.（2）当m 取最大值时7m =， 原不等式等价于：435x x --≤， 等价于：4435x x x ≥⎧⎨--≤⎩或4435x x x <⎧⎨--≤⎩，等价于：4x ≥或144x -≤<.所以原不等式的解集为14x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.。
2024届赣州市重点中学高一数学第二学期期末联考试题含解析
2024届赣州市重点中学高一数学第二学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线3310x y ++=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m αβ⇒⊥∥ （2）l m αβ⊥⇒∥ （3）l m αβ⇒⊥∥ （4）l m αβ⊥⇒∥ A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）3．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高23h c =，且25sin 5A =，则cos C 等于( ) A ．1010B ．55C ．3510D ．1054．两数1，25的等差中项为（ ） A ．1B ．13C ．5D ．5-5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13B ．23C ．122+D ．226．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2B ．1C ．2或-1D ．-2或17．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．328．不等式 2340x x --+>的解集为( ) A ．(-4，1)B ．(-1，4)C ．(-∞，-4)∪(1，+∞)D ．(-∞，-1)∪(4,+∞）9．如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．在ABC 中，AB 2=，πC 6=，则AC 3BC +的最大值为( ) A ．47B ．37C ．27D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年江西省赣州市区域联考高一下学期期中联考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江西省赣州市区域联考高一下册期中联考数学试题一、单选题1．把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（）A ．π3-B ．π3C ．π6-D ．π6【正确答案】B【分析】手表分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为一圈的16.【详解】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，所以该手表分针转过的角为.1π2π63⨯=故选：B.2．定义运算.a b ab b =- 若集合{}{}0,1,2,2,∣===∈ A B xx a a A ，则A B = （）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,2D ．{}1,2【正确答案】C【分析】运用集合的新定义和交集运算即可.【详解】由题意得{}{}22,2,0,2∣==-∈=-B xx a a A ，所以{}0,2A B =I .故选：C.3．若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 外接圆的半径为5，则“π6A =”是“5a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】应用正弦定理，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可得答案.【详解】当π6A =时，由正弦定理10sin aA=，得10sin 5a A ==；当5a =时，由正弦定理10sin a A =，得1sin 102a A ==，得π6A =或5π6.故“π6A =”是“5a =”的充分不必要条件.故选：A4．为了得到函数πcos 59y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos5y x =的图象（）A ．向右平移π45个单位长度B ．向左平移π45个单位长度C ．向右平移π9个单位长度D ．向左平移π9个单位长度【正确答案】A【分析】根据三角函数图象平移变换的知识可得答案.【详解】函数ππcos 5cos5945⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，只需将函数cos5y x =的图象向右平移π45个单位长度，即可得到函数πcos 59y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：A.5．如图，在44⨯正方形网格中，蚂蚁甲从A 点爬到了B 点，蚂蚁乙从C 点爬到了D 点，则向量AB与CD夹角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【正确答案】C【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.【详解】如图，以A 为原点，AC 为2个单位长度，建立直角坐标系，则()4,2B ，()2,0C ，()4,1D -，()4,2AB = ，()2,1CD =-，所以向量AB ，CD夹角的余弦值为35AB CD AB CD ⋅=.故选：C6．若5sin cos ,ααα+=-为第二象限角，则tan α=（）A ．-2B ．12-C ．5-D ．55【正确答案】B【分析】运用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】由5sin cos 5αα+=，得5cos sin 5αα=，代入22sin cos 1αα+=，得5sin 5α=或255-，因为α为第二象限角，所以5sin 5α=，所以25cos 5α-=，所以sin 1tan cos 2ααα==-.故选：B.7．若甲､乙､丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为0.7,0.6,0.5，则甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（）A ．0.26B ．0.29C ．0.32D ．0.35【正确答案】D【分析】应用对立事件概率，结合互斥事件加法、独立事件乘法公式求甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率.【详解】甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为0.7(10.6)(10.5)(10.7)0.6(10.5)(10.7)(10.6)0.5⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯(10.7)(10.6)(10.5)0.35+-⨯-⨯-=.故选：D8．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==）A ．9B ．10C ．11D ．12【正确答案】B【分析】先根据条件建立对数不等式665⎛⎫≥ ⎪⎝⎭x，从而得到65log 6≥x ，再利用换底公式即可求出65log 6的值，进而求出x 的范围得到结果.【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x 年该种植区的脐橙产量为6120%5xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭（），由题意得665⎛⎫≥ ⎪⎝⎭x，得到65log 6≥x ，又因为()65lg6lg6lg2lg3lg2lg30.30.480.78log 69.756lg6lg5lg2lg31lg22lg2lg310.60.4810.08lg 5+++=======-+--+-+-，所以9.75>x ，故至少需要经过的年数为10.故选：B.二、多选题9．若向量()3,1a =- ，()1,1b =- ，()1,2c = ，则（）A ．4a b ⋅=B ．a 在cC ．()//a c b- D ．()a b c+⊥ 【正确答案】ABD【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项A ；根据投影的定义判断选项B ；根据平面向量共线的坐标运算判断选项C ；根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项D ．【详解】由题意得，314a b ⋅=+=，故A 正确；a 在c方向上的投影数量为5a c c⋅== ，故B 正确；因为()2,3a c -=- ，且1231-⨯≠-⨯，所以a c - 与b不平行，C 错误；因为()4,2a b +=-，()41220a b c +⋅=⨯-⨯= ，所以()a b c +⊥ ，D 正确．故选：ABD10．若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称【正确答案】BC 【分析】A 选项，由πT ω=求出最小正周期；B 选项，整体法得到()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，求出定义域；C 选项，得到ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得到()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.【详解】A 选项，()f x 的最小正周期为ππ2ω==T ，A 错误；B 选项，由()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，得()5ππ162k x k ≠+∈Z ，B 正确；C 选项，由π3π,1616x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y z =在π40,z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；D 选项，由()ππ282k x k -=∈Z ，得()ππ164k x k =+∈Z ，当0k =时，π16x =，所以()f x 的图象关于点π,316⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 错误.故选：BC11．2016年至2022年，我国全社会研究与试验发展（R&D ）经费投入持续上升，经费投入强度情况如图所示，则（）A ．2016年至2022年，我国每年R&D 经费与GDP 之比的极差为0.45%B ．2016年至2022年，我国每年R&D 经费总量的60%分位数为22144亿元C ．2016年至2022年，我国R&D 经费总量的平均数大于20000亿元D ．2016年，我国GDP 小于亿元【正确答案】ACD【分析】根据极差的计算公式，可判定A 正确；根据中位数的计算方法，可判定B 错误；根据平均数的计算公式，可判定C 正确；根据GDP 的计算方法，可判定D 正确.【详解】由2016年至2022年，我国每年R&D 经费与GDP 之比的极差为2.55% 2.10%0.45%-=，所以A 正确.因为60%7 4.2⨯=，所以2016年至2022年，我国每年R&D 经费总量的60%分位数为24393亿元，所以B 错误；从2016年至2022年我国每年经费总量的数据，可得2016年至2022年我国R&D 经费总量的平均数为1(15677176061967822144243932795630870)226187x =++++++≈，所以C 正确；因为15677156777838502.1%2%<=，所以2016年我国GDP 小于亿元，所以D 正确.故选：ACD.12．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，1为半径的O 上做匀速圆周运动，同时出发.P 逆时针运动，角速度大小为1rad /s ，起点为O 与y 轴正半轴的交点；Q 顺时针运动，角速度大小为2rad /s ，起点为射线()0y x x =≥与O 的交点.当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（）A ．11π11πcos ,sin 1212⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．22⎛ ⎝⎭D ．5π5πcos ,sin 1212⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】设t 时刻,P Q 两点重合，则满足()π22π2π4t t k k +=-+∈N ，根据任意角的正弦函数､余弦函数的定义与三角函数的周期性逐一判断各选项.【详解】由题意得Q 的初始位置1Q 的坐标为ππcos ,sin 44⎛⎫ ⎪⎝⎭，锐角1π4Q OP ∠=，设t 时刻,P Q 两点重合，则()π22π2π4t t k k +=-+∈N ，即()7π2π123k t k =+∈N ，此时点ππcos 2,sin 244Q t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()11π4π11π4πcos ,sin 123123k k Q k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N .当0k =时，11πcos 12Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝，11πsin 12⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎭，即11π11πcos ,sin 1212Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确.当1k =时，27π27πcos ,sin 1212Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππcos ,sin 44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确.当2k =时，43π43πcos ,sin 1212Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即5π5πcos ,sin 1212Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确.由三角函数的周期性可知，其余各点均与上述三点重合，故C 错误.故选：ABD.三、双空题13．已知一扇形的圆心角为514π，半径为7，则该扇形的弧长为___________，面积为___________.【正确答案】52π354π【分析】根据扇形的弧长和面积公式，准确计算，即可求解.【详解】因为扇形的圆心角为514π，半径为7，由扇形的弧长公式，可得557142ππ=⨯=l ，又由扇形的面积公式，可得15357224S ππ=⨯⨯=.故52π；354π.四、填空题14．已知()f x 是偶函数，函数()()sin 1=+g x f x x ，若()12g -=，则()1g =___________.【正确答案】0【分析】利用奇偶性和诱导公式得()1sin11=-f ，从而求出()1g .【详解】由()()()()11sin 111sin112-=--+=-+=g f f ，得()1sin11=-f ，所以()()11sin110=+=g f .故0.15．若212sin cos 11αα+>，则()cos α-的取值范围是______.【正确答案】11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】将212sin cos 11αα+>化简得到11cos 43α-<<求解.【详解】解：由()2212sin cos 121cos cos 11αααα+=-+>，得()212cos cos 14cos 1ααα--=+()3cos 10α-<，得11cos 43α-<<，因为()cos cos αα-=，所以()cos α-的取值范围是11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭.故11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭16．和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达12.8米的钟面.小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底B 点的正西处的C 点测得该钟塔塔顶A 点的仰角为30 ，然后沿着东偏南67 的方向行进了180.8m 后到达D 点（,,B C D 三点处于同一水平面），且B 点在D 点北偏东37 的方向上，则该钟塔的高度为___________m .（参考数据：取sin530.8= ）【正确答案】113【分析】先利用正弦定理求出BC ，再求出AB .【详解】由题意做上图，67,90673760∠∠==-+= BCD CDB ，则180606753∠=--= CBD .由正弦定理sin sin BC CD CDB CBD =∠∠，得sin 180.8sin60sin sin53∠∠==CD CDB BC CBD ，所以180.8sin60180.8tan30tan30113m sin53 1.6=⋅=⋅==AB BC ；故113m.五、解答题17．已知sin 5cos αα=.(1)求sin 2cos 3sin cos αααα-+的值；(2)求()2πsin πsin 2cos 2ααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)316(2)726【分析】（1）由已知得出tan α，再将分式的分子和分母同时除以cos α，化简计算即可；（2）利用诱导公式和＂1＂的代换化简，再将分式的分子和分母同时除以2cos α，并将tan 5α=代入求值即可．【详解】（1）由题意得sin tan 5cos ααα==，故sin 2cos tan 2523sin cos 3tan 1351αααααα---==++⨯+316=．（2）()22πsin πsin 2cos sin cos 2cos 2αααααα⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭222sin cos 2cos sin cos ααααα+=+2tan 252tan 1251αα++==++726=．18．已知函数()π2cos 25f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)写出()f x 图象的一条对称轴的方程；(2)求()f x 的单调递减区间；(3)求()f x 在π4π,4015⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【正确答案】(1)π10x =（答案不唯一，只要方程满足()ππZ 102k x k =+∈即可）(2)()π3ππ,πZ 105k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2【分析】（1）令π2π,Z 5x k k -=∈，求得ππ,Z 102k x k =+∈，进而得到()f x 图象的一条对称轴方程；（2）令()π2π2π2πZ 5k x k k ≤-≤+∈，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由π4π,4015x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得πππ2,543x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质求得函数的最值，即可求解.【详解】（1）解：由题意可得令π2π,Z 5x k k -=∈，解得ππ,Z 102k x k =+∈，取0k =，可得π10x =，所以()f x 图象的一条对称轴方程可以为10x π=.（2）解：令()π2π2π2πZ 5k x k k ≤-≤+∈，解得()π3πππZ 105k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为()π3ππ,πZ 105k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）解：由π4π,4015x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得πππ2,543x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当π205x -=时，即π10x =时，()f x 取得最大值，最大值为max ()2cos02==f x ；因为1cos cos 324ππ=<=当ππ253x -=时，即4π15x =时，()f x 取得最小值，最小值为min ()2cos 13π==f x ，所以()f x 在π4π,4015⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2.19．在平行四边形ABCD 中，点E 和点B 关于点D 对称，3AF FC = .(1)用AB ，AD 表示AE ，AF ；(2)若G 为线段EF 上一点，且AG xAB y AD =+，求57x y +.【正确答案】(1)2AE AB AD =-+ ，3344AF AB AD =+ (2)579x y +=【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；（2）由向量的运算得出751244AG AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，再由AG xAB y AD =+ ，得出57x y +的值.【详解】（1）由题意，可得()222AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=-+ ，()33334444AF AC AB AD AB AD ==+=+ .（2）设EG EF λ= ，[]0,1λ∈，则()()1AG AE EG AE EF AE AF AE AE AF λλλλ=+=+=+-=-+ ()()337512124444AB AD AB AD AB AD λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以71,452,4x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以579x y +=.20．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()1,1,,sin m C n b b c B ==+ ，且//m n .(1)求C ；(2)若224316-=c a ，求ABC 面积的最大值.【正确答案】(1)2π3C =(2)2【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算公式列方程，结合正弦定理化简得出角C ；（2）由已知结合由余弦定理，得出关于,a b 的方程，利用不等式化简得出ab 的范围，进而得出ABC 面积的最大值．【详解】（1）由题意得，()sin 1cos +==b c B b C b C ，得sin cos =c B C ，由正弦定理得sin sin cos =C B B C .因为sin 0B ≠，所以sin =C C ，得tan C =0πC <<，所以2π3C =．（2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，由224316-=c a ，得22344=+c a ，代入上式得22344=+c a 22a b ab =++，即221424=++≥=a b ab ab ab ，解得02ab <£，当且仅当22a b ==时，等号成立，所以1sin 242== ABC S ab C ab ，即ABC 面积的最大值为2.21．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且图中的π6b a =-.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()()21π2g x f x x =-+在[)0,∞+上的零点个数，并说明理由.【正确答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()g x 在[)0,∞+上有3个零点，理由见解析【分析】（1）根据函数图象得到A ，再求出函数的一条对称轴，即可求出函数的周期，从而求出ω，最后根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式.（2）问题等价于()f x 的图象与直线21π2y x =-在[)0,∞+上的交点个数，分析函数的取值及画出函数图象，数形结合即可判断.【详解】（1）由图可知2A =，又()f x 图象的一条对称轴为直线1ππ2612x a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，由πππ43124T =-=，得πT =，所以2π2T ω==，因为ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，得()π2π3k k ϕ=+∈Z ，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()g x 在[)0,∞+上有3个零点.理由如下：()g x 在[)0,∞+上的零点个数等于()f x 的图象与直线21π2y x =-在[)0,∞+上的交点个数，令0y =，得ππ43x =<，当13π12x =时，523=<y ，当11π6x =时，1926=>y ，21π2y x =-，[)0,x ∈+∞与()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞的函数图象如下所示：由图可知两函数有且只有3个交点，故()g x 在[)0,∞+上有3个零点.22．如图，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2223sin 3sin 2sin sin 3sin B C B C A ++=.(1)求cos A ；(2)若AD 为边BC 上的中线，M 为ABC 的重心，P 为ABC 的外心，且4124AP PM ⋅=- ，3b c =，求c .【正确答案】(1)13-(2)1c =【分析】（1）由题意及正弦定理得2223323++=b c bc a ，然后利用余弦定理求出cos A .（2）作PN AC ⊥，得出21||2AP AC AC ⋅=，21||2AP AB AB ⋅= ，从而得到2221166AP PM AP AB AC ⋅=-++ .由题意得a =，最后求出c .【详解】（1）由题意及正弦定理得2223323++=b c bc a ，即22223+-=-b c a bc ，由余弦定理得2221cos 23b c a A bc +-==-.（2）如图，过点P 作PN AC ⊥于点N .因为P 为ABC 的外心，所以N 为AC 的中点，则21||||cos ||||||2⋅=∠== AP AC AC AP PAN AC AN AC ，同理21||||cos ||2⋅=∠= AP AB AB AP PAB AB .因为M 为ABC 的重心，所以221111332233⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ AM AD AB AC AB AC ，又1133=-=+- PM AM AP AB AC AP ，所以211113333⎛⎫⋅=⋅+-=-+⋅+⋅ ⎪⎝⎭AP PM AP AB AC AP AP AP AB AP AC 2221166=-++ AP AB AC由3b c =，2223323++=b c bc a ，得a =.由1cos 3A =-，得sin A =，因为P 为ABC 的外心，所以AP 为ABC 外接圆的半径，则2sin 8==a AP a A ，则22222221191141416632662424⋅=-++=-++=-=- AP PM AP AB AC a c b c ，得1c =.。
2022-2023学年江西省赣州市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省赣州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知，，是三个向量，则“”是“”的（ ）a b c a b a c+=+ b c = A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可.【详解】当成立时，例如当时，，显然两个平面向量的模相等，这两个平a b a c+=+0a = b c = 面向量不一定相等，因此由成立时，不一定能得到；a b a c +=+ b c = 当时，显然成立，所以“”是“”的必要而不充分条件.b c = a b a c +=+ a b a c+=+ b c = 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属于基础题.2．的值为sin 20cos 70sin10sin 50⋅+⋅A ．B ．C ．D ．14-141212-【答案】B【分析】原题并不符合两角和差的正余弦展开式，所以先探究下面的公式： sin sin 2222αβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin cos cos sin22222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+-=++-2sincos22αβαβ+-=即，；1sin cossin sin 2222222αβαβαβαβαβαβ+-⎡+-+-⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理，．1sinsincos cos 2222222αβαβαβαβαβαβ+-⎡+-+-⎤⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】()()()()0000sin 20cos 70sin10sin 5011sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⋅+⋅⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦()()11sin 90sin 50cos 40cos 6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ .1111sin 50sin 504224=-+= 故选B.【点睛】化简求值时要看角的形式，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系，合理选择和、差角，辅助角，倍角（降幂）等方法进行．3．函数在区间上的值域为（ ）y cosx =-(0)π，A ．B ．C ．D ．[]2,2-[]1,2-[]1,1-(]1,2-【答案】D【分析】利用辅助角公式把三角函数关系式化成，根据相应的正弦曲线求值域即可=2()6y sin x π-【详解】=2()6y cosx sin x π--，,0()x π∈，6566x πππ-<-<1sin()126x π∴-<-≤函数值域为 (1,2]-故选：D【点睛】本题考查利用三角恒等变换求三角函数值域问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 ()y A x t ωϕsin ＝＋＋()y A x t ωϕcos ＝＋＋的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或x ωϕ＋参数范围.4．是所在平面上一点，若，则是的（ ）P ABC PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可PB AC ⊥PA BC ⊥PC AB ⊥得出结论.【详解】因为，则，所以，，PA PB PB PC ⋅=⋅ ()PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= PB AC ⊥同理可得，，故是的垂心.PA BC ⊥PC AB ⊥P ABC 故选：D.5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ：DC ：AD ＝2：3：6，则∠BAC 的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π6π2π【答案】B【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan ∠BAD 、tan ∠CAD ，利用两角和的正切函数求出tan ∠BAD 的值，由∠BAC 的范围和特殊角的正切值求出∠BAC ；【详解】解：∵BD ：DC ：AD ＝2：3：6，AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝ ＝ ，tan ∠CAD ＝ ＝ ，BD AD 13CD AD 12则tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）＝＝1，112311123+-⨯又∠BAC ∈（0，π），则∠BAC ＝ ；4π故选：B ．6．已知函数，则的最大值为（ ）()2sin sin 2xf x x =+()f x A ．B ．C ．D ．2-1-01【答案】D【解析】令，可得出，令，证明出函数在[]sin 21,3t x =+∈()44f x t t =+-()44g t t t =+-()g t 上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.[)1,2(]2,3()g t []1,3【详解】令，则，则，[]sin 21,3t x =+∈sin 2x t =-()()222sin 44sin 2t xf x t x t t -===+-+令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，()44g t t t =+-()g t [)1,2(]2,3任取、且，则1t [)21,2t ∈12t t <，()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，则，，，，1212t t ≤<< 120t t -<1214t t <<()()120g t g t ∴->()()12g t g t ∴>所以，函数在区间上为减函数，()44g t t t =+-[)1,2同理可证函数在区间上为增函数，()44g t t t =+-(]2,3，，.()11g = ()133g =()max 1g t ∴=因此，函数的最大值为.()f x 1故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：（1）判断或证明函数在区间上的单调性；（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.7．设，，，则（ ）()120sin 80a =sin 40sin110sin 20sin130b =-22tan151tan 15c =-A ．B ．C ．D ．a b c >>c b a >>c a b >>a c b>>【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简、、，利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基本关系a b c 可得出、、的大小关系.a b c【详解】()120sin 80a ==()2sin 2030cos102sin10cos10cos 20cos 20-==-=，sin 20tan 20cos 20==()()sin 40sin110sin 20sin130sin 40sin 9020sin 20sin 9040b =-=+-+ ，()sin 40cos 20sin 20cos 40sin 4020sin 20=-=-=，22tan15tan 301tan 15c ==- 因为，则，即.0cos 201<< sin 20tan 30tan 20sin 20cos 20>=>c a b >>故选：C.8．若，，下列判断错误的是ππtan 22b a θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（ ）A ．当时，B ．当时，0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+C ．当时，D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2πϕθ=+【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.ϕ【详解】由选项知，，，0ab ≠sin cos )a xb x x x +=令，有，，cos ϕϕ==)sin t n ππ2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ==-<=<02πϕ≤<则，sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=++对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A0,0a b >>ϕπ02ϕ<<π02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π2θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π2θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且，，，则0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<π02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D 错误.πϕθ=+故选：D二、多选题9．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的()sin 2y x ϕ=+x π8ϕ可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．5π434ππ4π4-【答案】BD【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正余弦函数的奇偶性计算判断作答.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应解析式为()sin 2y x ϕ=+π8，ππsin[2(]sin(2)84y x x ϕϕ=++=++因函数是奇函数，则，即，πsin(2)4y x ϕ=++ππ,Z 4k k ϕ+=∈ππ,Z4k k ϕ=-∈当时，，当时，，选项B ，D 满足，A ，C 不满足.1k =3π4ϕ=0k =4πϕ=-故选：BD 10．设函数，则关于函数说法正确的是（ ）()2cos 2f x x=-()y f x =A ．函数是偶函数，且函数的对称轴是y 轴()y f x =B ．函数的最大值为2()y f x =C ．函数在单调递减()y f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数图象关于点对称()y f x =π,04⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用三角函数的性质对每个选项逐个判断即可【详解】对于A ，∴，∵，为偶函数，()2cos 2f x x=-()()()2cos 22cos 2f x x x f x -=--=-=()y f x =由，得函数的对称轴为，，2π,Z x k k =∈π2k x =Z k ∈所以y 轴（即）为其中一条对称轴，故A 不正确；0x =对于B ，的最大值是，故选项B 正确．()f x 22-=对于C ，求的递减区间，相当于的递增区间，()2cos 2f x x=-cos 2y x =令，解得，()2ππ22πZ k x k k -≤≤∈()πππZ 2k x k k -≤≤∈所以的递减区间为，无论k 取何整数，不包含区间，所以()2cos 2f x x =-()π,πZ 2k k k π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 不正确；由，，解得，，所以函数的对称中心为，π2π2x k =+Z k ∈ππ24k x =+Z k ∈ππ,0,Z24k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭可得当时，其图象关于点对称，故D 正确；0k =π,04⎛⎫⎪⎝⎭故选：BD ．11．已知，，，，下列说法正确的0ω>()3sin ,cos a x x ωω=()cos b x xωω=()f x a b =⋅ 是（ ）A ．()2+6f x x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若的最小正周期为，则()f x π2ω=C ．若是的一个对称中心，则的最小值为,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ω54D ．若在上的值域为，则的取值范围是()f x []0,πω11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】由结合向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式求出的解析式，()f x a b =⋅ ()f x 然后逐个分析判断即可【详解】因为，，()3sin ,cos a x x ωω=()cos b x xωω=所以()f x a b =⋅23sin cos x x x ωωω=31cos 2sin 222x x ωω+=3sin 222x x ωω=，26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以A 正确，对于B ，当的最小正周期为时，，得，所以B 错误，()f x π22ππω=1ω=对于C ，当是的一个对称中心时，，所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 20336f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得，因为，所以的最小值为，所以C 正确，2,Z36k k ππωπ⋅+=∈61,Z 4k k ω-=∈0ω>ω54对于D ，当时，，因为在上的值域为，所以[]0,x π∈2,2666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,π，得，所以D 正确，52266πππωπ≤+≤1163ω≤≤故选：ACD12．已知函数，则下面结论正确的是（ ）()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--A ．的对称轴为()f x ()ππ4x k k =+∈Z B ．的最小正周期为()f x 2πC ．，最小值为() f x 1-D ．在上单调递减()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.()f x ()f x 【详解】因为，πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当时，即当时，()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z ()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z ，即，sin cos 0x x -≥sin cos x x ≥此时，；()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=当时，即当时，()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z ()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z ，即，sin cos 0x x -≤sin cos x x ≤此时，.()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=所以，.()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z 作出函数的图象如下图中实线所示：()f x对于A 选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，()f x 3π4x =-π4x =5π4x =对任意的，k ∈Z π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=所以，函数的对称轴为，A 对；()f x ()ππ4x k k =+∈Z 对于B 选项，对任意的，x ∈R ()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦，()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B 对；()f x 2π对于C 选项，由A 选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为()f x ()ππ4x k k =+∈Z ，2π要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，()f x ()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为函数在上单调递减，在上单调递增，()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，当时，，π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min πcos π1f x f ===-因为ππsin 44f ⎛⎫==⎪⎝⎭5π5ππsin sin 444f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以，，()max π4f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭因此，，最小值为，C 对；()f x 1-对于D 选项，由C 选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D 错.()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.三、填空题13．在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值为1e 2e b12()()b e b e -⊥- b ______.【答案】1【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量数量积的定义、共线向量的定义、单位向量的定义进行求解即可.【详解】由题意，即，12()()b e b e -⊥- 21212()0b e e b e e -+⋅+⋅= 又，是方向相反的单位向量，所以，，1e 2e 120e e += 121e e ⋅=-所以，即，所以.210b -= 21b = 1b = 故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平面向量垂直的性质，考查了共线向量的定义，考查了单位向量的定义，考查了数学运算能力.14．把函数图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平()y f x =移个单位长度，得到函数的图像，则________．π4πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】【分析】由题意将数的图象，向左平移个单位长度，再把所得曲线图象上所有点πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图象，可得解析式，由此可12()y f x =()y f x =得答案.【详解】由题意将数的图象，向左平移个单位长度，得到，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4ππ44sin 2y x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再把所得曲线图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图象，12()y f x =故，πππ()sin 4cos 4244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭故，ππcos π44f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.15．把函数的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称，若()()cos 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6y 在区间上单调递减，则的最大值为___________.()f x [],a a -a 【答案】π6【分析】先由平移后为偶函数求得，再根据的单调递减区间求解即可.ϕ()f x 【详解】函数的图象向右平移个单位后，()()cos 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6得到的图象，πππcos 2cos 2663y f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由已知，所得函数的图象关于轴对称，∴为偶函数，y πcos 23y x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴，即，ππ,Z3k k ϕ-+=∈ππ,Z 3k k ϕ=+∈∵，∴，∴.0πϕ<<π3ϕ=()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵余弦函数的单调递减区间为，cos y x =[]2π,π2π,Z k k k +∈∴由，解得，，π2π2π2π,Z3k x k k ≤+≤+∈ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈∴的单调递减区间为，()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦∴当时，在区间上单调递减，0k =()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又∵在上单调递减，∴，()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[],a a -π6π3a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩∴，的最大值为.π06a <≤a π616．已知函数，若且在区间上有最小值无最()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭大值，则_______．ω=【答案】4或10/10或4【分析】根据可求出f (x )的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值，结合y ＝sin x 的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而()f x 5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭判断ω的取值.【详解】∵f (x )满足，∴是f (x )的一条对称轴，5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541223x πππ+==∴，∴，k ∈Z ，362k πππωπ⋅+=+13k ω=+∵ω＞0，∴.1,4,7,10,13,ω=⋯当时，，5,412x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,646126x πππππωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭y ＝sin x 图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：()f x 5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭或，31624624355321262ππππωωππππω⎧≤+<⎪⎪⇒≤<⎨⎪<+⎪⎩ 57285224627593521262ππππωωππππω⎧≤+<⎪⎪⇒≤<⎨⎪<+⎪⎩ 此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭55312412126πππππ-=-=当时，f (x )最小正周期，则f (x )在既有最大值也有最小值，故13ω 22136T πππω=< 5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭不满足条件.13ω 综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.四、解答题17．已知．tan22α=(1)求的值﹔tan α(2)求的值．()()()()2πsin cos cos π24sin 2πcos π2cos cos ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭+-+-【答案】(1)43-(2)311【分析】（1）利用二倍角正切公式直接求解即可；（2）利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式求法可求得结果.【详解】（1）.22tan442tan 1431tan 2ααα===---（2）原式.222cos cos 211384sin cos 2cos 4tan 212tan 1113ααααααα+=====-+-+-+18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足tan A ＝tan B ＝tan C ．1213（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为15，求a 的值．【答案】（1）；（2）.π4A =5a =【分析】（1）根据题意可得到，，利用三角恒等变换，可知求解tan 2tan B A =tan 3tan C A =，即可求解角的大小.tan 1A =A （2）利用正弦定理得出，代入三角形的面积公式，即可求解的值．sin sin Bb aA =a 【详解】（1）由题可知：，tan tan tan 23B CA ==则，．tan 2tan B A =tan 3tan C A =在中，．ABC ()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C +=-+=--则，解得，22tan 3tan tan 16tan A AA A +=--2tan 1A =或，tan 1A ∴=-tan 1A =当时，，则，均为钝角，tan 1A =-tan 2B =-A B与矛盾，故舍去，πA B C ++=故，则．tan 1A =π4A =（2）由可得，，tan 1A =tan 2B =tan 3C =则cos ==Bcos ==C 所以．sinB =sinC =在中有，则，ABC sin sin a b A B=sin sin B b a A ===则．2113sin 15225△====ABCa S ab C a 得，所以．225=a 5a =【点睛】本题考查了正弦定理以及面积公式的应用，熟练掌握公式，审清题意，属中档题.19．已知函数的部分图象如图所示.()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭（1）求的解析式；()y f x =（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，再将所得函数图象向()y f x =12右平移个单位，得到函数的图象，当方程，有两个不同的实数根时，6π()y g x =()g x m =0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求的取值范围.m 【答案】（1）；（2）.()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[)2,4【解析】（1）根据图象，求得最小正周期，振幅，结合五点法即可求得所有参数，则问题得解；（2）根据（1）中所求，解得其在区间上的值域，数形结合，即可求得结果.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，()y f x =T 31134632T πππ=-=则，2T π=，，则，0ω> 21T πω∴==()()sin =+f x A x φ由图象可得，()max sin 33f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则，可得，则，02πϕ<<5336πππϕ∴<+<32ππϕ+=6πϕ=()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，得，()10sin 262f A A π===4A =因此，；()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，()y f x =12再将所得函数图象向右平移个单位，6π得到的图象，()4sin 24sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当-时，，令，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52666x πππ-≤-≤52,666u x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：y m =4sin y u =5,66u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由图象可知，当时，24m ≤<直线与函数在上的图象有两个交点，y m =4sin y u =5,66u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦因此，实数的取值范围是.m [)2,4【点睛】本题考查由图象求函数解析式，以及三角函数值域的求解，属综合中档题.20．已知向量，，函数1,2x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ sin ,2sin 2x b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()f x a b =⋅+ （1）求的单调增区间；()f x （2）求在区间的最小值.()f x 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦0【分析】（1）先根据平面向量的数量积公式求出的表达式，再利用正弦、余弦的二倍角公式()f x 以及两角和的正弦公式，将化为，把看成整体，利用正弦函数的增区间求()f x 2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x π+得；（2）由，求得范围，进而得到的最小值.20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3x π+()f x 【详解】（1），()2sin sin 2sin 23x f x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭由，，得，22232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈52266k x k ππππ-≤≤+Zk ∈所以的单调增区间为；()f x ()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2），，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33x πππ∴≤+≤0sin 13x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭在上的最小值为．()f x \20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦021．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为A B C A ---,AB AC 线段，是以为直径的半圆，，km.BC BC AB =4AC =π6BAC ∠=(1)求的长度；BC (2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（A D C --在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比B D 、AC ,AD CD π3ADC ∠=A D C --原有健康步道的路程增加多少长度？ABC --【答案】(1)km π(2)8π--【分析】（1）利用余弦定理求得，从而求得的长度BCBC （2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度.A D C --【详解】（1）联结，在中，由余弦定理可得，BC ABC，2BC ==所以，即的长度为；12π1π2BC =⨯⨯⨯= BC ()πkm（2）记，则在中，由余弦定理可得：AD a,CD b ==ACD ，即，22π2cos163a b ab +-=2216a b ab +-=从而()221631632a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭所以，则，当且仅当时，等号成立；()21164a b +≤8a b +≤4a b ==新建健康步道的最长路程为，A D C --()8km故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加A D C --A B C --)8πkm --22．已知函数，图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><()f x ，是的一条对称轴，且．2π3x π=-()f x ()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，满足()f x 12π()t x 1x 2x ⋅⋅⋅m x ，且（，），1205m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤()()()()()()1223120m m t x t x t x t x t x t x --+-+⋅⋅⋅+-=2m ≥N m *∈求m 的最小值；(3)令，，若存在使得()()cos 2h x f x x =-()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围．()()()2230g g x a x a +-+-≤【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)12(3)a ≥【分析】（1）根据题意可得周期，代入可得或，再分别代入判断是否3x π=-6πϕ=56π=-ϕ()f x 满足即可；()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）先求得，再数形结合分析满足的条件求解即可()sin 2t x x=mx （3）化简可得，根据可得的解析式与值域，再参变分离得到()sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x ，结合基本不等式求解即可()()211a g x g x ≥+++【详解】（1）由题意，周期，故，，且22T ππ=⨯=22πωπ==()()sin 2f x x ϕ=+，即，因为，故或()2Z 23k k πππϕ⨯+⎛⎫- +⎪⎝⎭=∈()7Z 6k k πϕπ=+∈ϕπ<766ππϕπ=-=，故或.当时75266ππϕπ=-=-()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，，故成立；当sin 21666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216f π⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭时，，.综上有()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5sin 21666f πππ⎛⎛⎫⨯-=- ⎪⎝=⎭⎭⎫ ⎪⎝()51sin 216f π⎛⎫=->-⎪⎝⎭()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭（2）由题意，，根据题意，要使m 的值尽量小，则()sin 2sin 2126t x x xππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦要尽量大.又，结合的图象可得，当，，()()1m m t x t x --()()12m m t x t x --≤()sin 2t x x =10x =24x π=，，，，，，，，，334x π=454x π=574x π=694x π=7114x π=8134x π=9154x π=10174x π=11194x π=时，m 的取值最小为12125x π=（3）由（1），所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()1cos 2sin 2cos 22cos 2cos 262h x f x x x x x x xπ⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，，所以，，,123x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦0262x ππ≤-≤()01h x ∴≤≤()22666h x πππ-≤-≤-所以，，()()()1sin 2,sin 2626g x h h x h x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-∈--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∴+∈+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，2223ππ<<2362πππ∴<-<sin 216π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭由可得，()()()2230g g x a x a +-+-≤()()()2231g x g x a g x ++≤+⎡⎤⎣⎦所以，，()()()()()()()22122321111g x g x g x a g x g x g x g x ++⎡⎤++⎣⎦≥==+++++由基本不等式可得，()()211g x g x ++≥=+当且仅当时，等号成立，所以，()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ≥。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020第二学期赣州市十四县（市）期中联考高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1.若tan 0α<且sin 0α>,则α在( ) A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.向量(2,),(6,8)a x b ==r r，若//r r a b ，则x 的值为（）A. 83B.2C. 32D.- 323.在△ABC 中，4,a b ==A=45°，则三角形的解的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.不确定 4．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线C ．若a b a b +=-r r r r，则0a b =r r gD ．若a r 与b r 都是单位向量，则1a b =r rg5.已知函数sin 2y x =图像可以由函数sin(2)4y x π=+如何平移得到（）A.向左平移4πB.向右平移4πC.向左平移8πD.向右平移8π6.已知等差数列{}n a 中的前n 项和n S ，若1082327,=a a S =+则（ ）A ．145 B. 1452C.161D. 16127.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos =b c A ，则这个三角形一定是（） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 8.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布。
A.21B.815C.1631D.16299.在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，4AB =，3AC =，则BC uuu r 在方向上的投影是（）A. 4B. 3C. -4D. -310.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知32=a ，22=c ，bcB A 2tan tan 1=+。
则=∠C （）A. 60°B. 45°C. 45°或135°D. 135°11.已知向量(1,2),(3,)a b λ=-=r r若向量a b r r 与的夹角为锐角，则λ的取值范围为（）A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.36,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3(,6)(6,)2-∞-⋃-12.已知点O 是ABC ∆的重心，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,且2320OA OB OC b a c ++=u u u r u u u r u u u r r ,则sin :sin :sin A B C =( )A. 1:2:3B. 1:2:3C. 232:1:D. 23:2:1 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分13.已知1tan 2α=，则2sin cos sin cos αααα+-的值________. 14.设△ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=，2sin A ＝3sin C ，则cos B =_____．15.在数列{}n a 中,112()2121()2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩若145a =则20a 的值为______.16.已知1,a b ==r r 且a b ⊥r r，若1a b m ++≤r r u r 成立，则m u r 的取值范围是__________.三.解答题：本大题共6个小题.共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10分)已知a r ，b r 的夹角为120°，且|a r |＝4，|b r|＝2，求：(1)( a r －2b r )·(a r ＋b r )；(2)| a r ＋b r|；18. (本题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，3cos 5B =. (1)若4b =，求sin A 的值；(2)若ABC ∆的面积4ABC S ∆=，求b 、c 的值。
19. (本题满分12分）已知在等差数列{}n a 中,131a = , n S 是它的前项和,1022S S =. 1.求n S ；2.这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值。
20. (本题满分12分）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=-><的图像与x 轴相邻的交点距离为2π， 并且过点1(0,)2-(1)求函数()f x 的解析式 ；(2)设函数2()()2cos g x f x x =+，求()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
21. （本题满分12分）某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中πACB 3∠=，πABC 4∠=，AB 6km =；AC 、CD 为游客通道（不考虑宽度），且2πADC 3∠=，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休息。
（1）求AC 的长度；（2）求ADC ∆面积的最大值。
22.（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量p u r =（sinA ,b c +），q r =（a c -,sinC sinB -）,满足p q +u r r =p q -u r r（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设m u r =（sin （C+3π）,12）, (2,k cos2)n A =r （0k ≠）, ⋅u r r m n 有最大值为32，求k 的值。
2019-2020第二学期赣州市十四县（市）期中联考高一数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分 13.-4 14.-14 15 2516 21,21⎡⎤-+⎣⎦ 三、解答题：17.解：（1）22-2)(+)=2......2164812......5a b a b a a b b --=+-=u u r r r r r r r g g （分分(2).222 (21)=16+242-+4=2 3 (52)a b a a b b +=++⨯⨯⨯r rr r r r g 分（）分18.解：(1)因为cos B ＝35>0，0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝45………3分由正弦定理得asin A＝bsin B ，所以sin A ＝a b sin B ＝25……….6分 (2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，所以c ＝5………9分由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，所以b ＝17 …………12分 19.1.,,又∵,∴……2分即,故.又∵,∴……4分∴……6分2. 由（1）利用二次函数图像性质，故当时,有最大值,的最大值是256.20．（1）由已知函数()f x 的周期T π=,22Tπω∴==……1分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BABCDCCDDBDA把点1(0,)2-代入得1sin()2ϕ-=-，6πϕ∴=……3分 ()sin(2)6f x x π∴=-……分4（2）22()()2cos sin(2)2cos 6g x f x x x x π=+=-+Q12cos2cos212x x x =-++ sin(2)16x π=++……7分70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，1sin(2)126x π∴-≤+≤……10分1sin(2)12,26x π∴≤++≤1()0222g x π⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦在区间，上的最大值为，最小值为……12分21. (1)在ABC ∆中，,34AB ACB ABC ππ=∠=∠=，由正弦定理知，ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin得42.........4sin3AC km ππ==分 (2),在ACD ∆中，设,3DAC DCA πθθ∠=∠=-,由正弦定理知sin sin sin AC AD CD ADC ACD CAD ===∠∠∠得sin(),sin ......7333AD CD πθθ=-=分1sin sin()sin 2331cos sin )sin 2)6S AD AC πθθθθθθπθ=⨯=-=-=+-分20,km (123)6S ππθθ<<∴=当时，分 22.解：（Ⅰ）由条件p q +u r r =p q -u r r，两边平方得0p q =u r r g ，又 p u r =（sinA,b+c ）,q r=（a －c,sinC －sinB ）,代入得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0，根据正弦定理，可化为a （a －c ）+（b+c ）（c －b ）=0,即222a c b ac +-=，………..2分 又由余弦定理222a c b +-＝2acosB,所以cosB ＝12，B ＝3π………..4分 （Ⅱ）m=（sin （C+3π）,12）,n=（2,kcos2A ）（0k ≠）, ⋅u r rm n=2sin（C+3π）+12cos2A=2sin （C+B ）+12kcos2A=2ksinA+k 2cos A -2k =-k 2sin A +2sinA+2k =-211k(sin )A k k -++2k......6分而0<A<23π,sinA ∈（0,1],⑴ .01k <≤时，sinA 1=取最大值为32,122k k -==......8分⑵ 1k >时，当1sinA k =时取得最大值，1322k k +=解得12k k ==或，1(2k k =∴=舍去），......10分⑶ 0k <时，开口向上，对称轴小于0当sinA 1=取最大值32,122k k -==（舍去） (11)分综上所述12k k ==或......12分。