一题打天下之椭圆(28问)(含个人解析)

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椭圆单元测试题及答案

椭圆单元测试题及答案一、选择题1. 椭圆的定义是什么？A. 所有点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合B. 所有点到一个固定点的距离等于常数的点的集合C. 所有点到两个固定点的距离之差等于常数的点的集合D. 所有点到一个固定点的距离之差等于常数的点的集合2. 椭圆的焦点到中心的距离称为什么？A. 长轴B. 短轴C. 焦距D. 半轴3. 椭圆的长轴和短轴的长度之和等于什么？A. 焦距B. 椭圆的周长C. 椭圆的面积D. 椭圆的直径4. 如果椭圆的长轴是2a，短轴是2b，那么它的面积是多少？A. πabB. π(a+b)C. π(a-b)D. π(a^2 + b^2)5. 椭圆的离心率e定义为什么？A. e = c/aB. e = a/cC. e = b/aD. e = a/b二、填空题6. 椭圆的标准方程是 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，其中a和b分别代表_________。

7. 当椭圆的离心率e等于0时，椭圆退化为_________。

8. 椭圆的周长是一个比较复杂的表达式，通常用近似公式来表示，其中一种近似公式是周长L = π[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]，其中a和b分别为椭圆的_________。

9. 椭圆的焦点在_________轴上。

10. 椭圆的离心率e的取值范围是_________。

三、解答题11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴为6，短轴为4，求椭圆的标准方程。

12. 已知椭圆的离心率为0.6，焦点到中心的距离为2，求椭圆的长轴和短轴的长度。

答案：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. A二、填空题6. 椭圆的长半轴和短半轴7. 圆8. 长半轴和短半轴9. 主10. (0, 1)三、解答题11. 椭圆的标准方程为 \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \]。

一题打天下之椭圆与方程

考点：椭圆（一）如图，长为12的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：22221x y a b+=恰好过CD 两点（1）求椭圆M 的标准方程（2）若直线1l ：2y kx =+与椭圆M 有两个不同的交点，求k的取值范围（3）若点00(,)P x y 为椭圆M 上异于顶点的动点，求证：直线2l ：00141x x y y +=与椭圆只有一个公共点（4）求ACB ∠的角平分线所在的直线方程（5）若直线1l ：2y kx =+被椭圆M k 的值（6）若直线3l 被椭圆M 截得的弦恰以点（1，12）为中点，求直线3l 的直线方程（7）若直线1l ：2y kx =+与椭圆M 相交于P 、Q 两点，则是否存在k,使得以PQ 为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出k 的值，若不存在请说明理由（8）记12,B B 分别是椭圆M 与y 轴相交的下上顶点，若直线4l 交椭圆M 于PQ 两点，问是否存在直线4l 使得B 为2PQB ∆的垂心。

若存在请求出直线4l 的方程，若不存在请说明理由【意图】主要考查椭圆的定义，椭圆标准方程的求法，以及椭圆中静态问题，渗透数形结合，静态方程思想考点：椭圆（二）如图，长为12的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：22221x y a b+=恰好过CD 两点（9）记12,A A 分别是曲线M 与x 轴相交的左、右顶点，若P 是曲线M 上的动点，判断12k k A P A P ∙是否为定值，并说明理由。

（10）若一条直线5l 与椭圆M 交于PQ 两点，若以PQ 为直径的圆过点2A （2，0），求证：直线5l 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（11）直线5l 与椭圆M 交于PQ 两点，若PQ 的中点为M,求证：PQ OM k k ∙为定值（12）已知M 是直线1x =-上的动点且直线5l 与椭圆相交于PQ 两点恰以M 为中点，过M 点作直线5l 垂线6l ,求证直线6l 恒过定点（13）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆的交于PQ 两点，S 是椭圆的右顶点，直线SP,SQ 分别与y 轴交于点M,N ，问以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过x 轴上的定点，请说明理由【意图】主要考查设而不求法解决椭圆中动中有静问题，如定点定值，三点共圆，等式的恒成立问题等，渗透数形结合思想，几何问题代数化的转化思想考点：椭圆（三）如图，长为12的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：22221x y a b+=恰好过CD 两点（14）若点00(,)P x y 为椭圆M 上的动点，求PA PB ∙ 的最值（15）若点00(,)P x y 为椭圆M 上的动点，求点P 到直线40x y --=距离的最小值，并求此时的P 点的坐标（16）若直线1l ：2y kx =+与椭圆M 相交于P 、Q 两点，求POQ S ∆的最值（17）若直线1l ：2y kx =+与椭圆M 相交于P 、Q 两点，若原点在以PQ 为直径的圆的内部，求k 的取值范围（18）若点00(,)P x y 为椭圆M 上的动点，R 为定点（0，4），过P 点作垂线垂直于直线x =垂足为H ，求PR 的最小值【意图】主要考查椭圆的动态问题，如最值，主要渗透方程思想，化归思想及函数思想。

((完整版))椭圆测试题(含答案解析),推荐文档

11、已知焦点在 x 轴上的椭圆,长轴长为 4,右焦点到右顶点的距离为 1,则椭圆的标准方程为
12、已知椭圆
的长轴在轴上,焦距为 ,则等于
13、椭圆
＝1 的离心率为________．
14、若椭圆方程
的离心率
,右焦点为
的两个实数根分别是和 ,则点
, 到原点的距离为
15、我们把离心率为黄金比
的椭圆称为“优美椭圆”.设
为“优
美椭圆”, , 分别是它的左焦点和右顶点, 是它短轴的一个端点,则
的度数为
三、解答题（写出必要的解答过程或步骤）16、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0）
（2）经过点 A（ 3 ，-2）和点 B（-2 3 ，1）
10
17、已知椭圆 mx 2 5y 2 5m(m 0)的离心率为 e＝ 5 ，求 m 的值．
a2
a2
5
5
5
当椭圆的焦点在 y 轴上，即 m>5 时,
a 2 m，b 2 5,e 2 c 2 1 b 2 1 5 ( 10 )2 2 , m 25
a2
a2
m
5
5
3
25
综上所述，m 的值为 3 或
3
18、解：
19、解：
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18、已知椭圆点的距离为 .求椭圆的方程.
的离心率
,过点
和
的直线与原
y
o A
B x
19、为何值时,直线
和曲线
有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

高考数学中的椭圆问题技巧

高考数学中的椭圆问题技巧高考椭圆题技巧高考数学复习策略和高考椭圆大题技巧对考生来说极其重要。

以下是边肖为大家整理的高考数学大椭圆题技巧内容。

希望你喜欢！高考椭圆大题技巧1。

设定点或直线一般来说，问题需要点的坐标或线性方程组，其中求解点或线性方程组的方法有很多。

该点可以设置为等于，或者如果它是椭圆上的点，也可以设置为。

一般来说，如果题目中只涉及椭圆xx上的运动点，这个点可以设置为。

还需要注意的是，很多点的坐标都是不求而设的。

对于直线，如果经过一个固定点，且不平行于Y轴，则可以设置为一个斜点；如果不平行于X轴，可以设置为参数方程，其中为直线的倾角。

一般题目涉及xx运动直线时，可以设置直线的参数方程。

二、转型条件有时题目给出的条件不直接适用或者直接使用不方便，此时需要对这些条件进行转化。

这是解决问题的关键一步。

如果翻译得巧妙，计算量可以大大减少。

例如，圆上的一个点可以转化为乘以零的向量点，三个共线性点可以转化为平行的两个向量。

如果一个角的平分线是一条水平或垂直的直线，则该角两边的斜率之和为零。

有些问题可以不通过变换直接带入条件解题，有些问题可以通过多种变换方法给出条件。

这个时候X最好不要急着做题，多想想几种变换方法，估计哪种方法更简单。

第三，代数运算在转换条件之后，没有什么可以计算的了。

在很多题目中，直线和椭圆要结合使用二次方程的vieta定理，但需要注意的是，并不是所有题目都是这样的。

有些题目可能需要计算弦长，可以用弦长公式。

设置参数方程后，弦长公式可以简化为解析几何中有时需要的面积。

如果O是坐标原点，椭圆上的两点A和B 的坐标分别是和，AB和X轴相交D，那么(d为O点到AB点的距离；我自己推了第三个公式，但是课本上没有。

几何分析中的许多问题都有移动的点或移动的线。

如果主题只涉及一个移动点，可以考虑用参数设置点。

如果只涉及一条移动的直线经过一个固定的点，而题目涉及到像求长度和面积这样的东西，那么直线的参数方程就会简单一些。

一题打下之椭圆28+20问

一题打下之椭圆（28问）如图，长为2312的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：22221x y a b+=恰好过CD 两点考点1：静态方程思想（1）求椭圆M 的标准方程（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P 的坐标；（3）若直线1l ：2y kx =+被椭圆M 42k 的值（4）若直线3l 被椭圆M 截得的弦恰以点（1，12）为中点，求直线3l 的直线方程（5）若直线1l ：2y kx =+与椭圆M 相交于P 、Q 两点，则是否存在k,使得以PQ 为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出k 的值，若不存在请说明理由（6）记12,B B 分别是椭圆M 与y 轴相交的下上顶点，若直线4l 交椭圆M 于PQ 两点，问是否存在直线4l 使得B 为2PQB ∆的垂心。

若存在请求出直线4l 的方程，若不存在请说明理由（7）过椭圆的下顶点且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y=x 分别相交于E ，F 两点，已知OE=OF ，求直线l 1的斜率（8）过左焦点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于P 、Q 、M 、N 四点，若四边形PMQN 的面积为，求直线PQ 的方程；如图，长为2312的矩形ABCD ，以A 、B 为焦点的椭圆M ：22221x y a b+=恰好过CD 两点考点2：动中有静化归思想（1）记12,A A 分别是曲线M 与x 轴相交的左、右顶点，若P 是曲线M 上的动点，判断12k k A P A P ∙是否为定值，并说明理由。

（2）若一条直线5l 与椭圆M 交于PQ 两点，若以PQ 为直径的圆过点2A （2，0），求证：直线5l 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（3）设直线l 不经过T(0,1)且与椭圆相交于P 、Q 两点，若直线TP 与TQ 直线的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点（4）直线5l 与椭圆M 交于PQ 两点，若PQ 的中点为M,求证：PQ OM k k ∙为定值（5）过点T （0，1）作两条互相垂直的直线分别交椭圆于P ，Q 两点．求证：直线PQ 恒过定点3(0,)5-．（6）已知M 是直线1x =-上的动点且直线5l 与椭圆相交于PQ 两点恰以M 为中点，过M 点作直线5l 垂线6l ,求证直线6l 恒过定点（7）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆的交于PQ 两点，S 是椭圆的右顶点，直线SP,SQ 分别与y 轴交于点M,N ，问以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过x 轴上的定点，请说明理由（8）左焦点为，过F 点的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，交y 轴的正半轴于点M ．设1M P P F λ=，2MQ QF λ=，求证：λ1+λ2为定值．（9）椭圆的右顶点为P ，上顶点为Q 已知四边形PQMN 内接于椭圆E ，PQ ∥MN ．记直线PM ，QN 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1•k 2是否为定值？证明你的结论．（10）直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于P ，Q 两点．，且k OP •k OQ =﹣，求证：△OPQ 的面积为定值．【意图】主要考查设而不求法解决椭圆中动中有静问题，如定点定值，三点共圆，等式的恒成立问题等，渗透数形结合思想，几何问题代数化的转化思想考点3：动态最值函数思想（1）若点00(,)P x y 为椭圆上的动点，求PA PB ∙的最值（2）若点00(,)P x y 为椭圆上的动点，求点P 到直线40x y --=距离的最小值，并求此时的P 点的坐标（3）若直线1l ：2y kx =+与椭圆相交于P 、Q 两点，求POQ S ∆的最值（4）若直线1l ：2y kx =+与椭圆相交于P 、Q 两点，若原点在以PQ 为直径的圆的内部，求k 的取值范围（5）变：若直线1l ：2y kx =+与椭圆相交于P 、Q 两点，若原点在以PQ 为直径的圆的外部，求k 的取值范围（6）若圆O ：x 2+y 2=1的切线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为T ，求|OT |的最大值．考点4：光学性质，第二定义等（1）若点00(,)P x y 为椭圆M 上异于顶点的动点，求证：直线2l ：00141x x y y+=与椭圆只有一个公共点（2）求ACB ∠的角平分线所在的直线方程（3）若点00(,)P x y 为椭圆M 上的动点，R 为定点（0，4），过P 点作垂线垂直于直线43x =H ，求PR 的最小值（数形结合）（4）点P 为直线0334=-+y x 上任意一点，过点P 作椭圆的切线PM ，PN ，其中M ，N 为切点，求椭圆右焦点F 到直线NM 的距离的最小值。

(2021年整理)椭圆小题专项训练有详解答案

椭圆小题专项训练有详解答案(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（椭圆小题专项训练有详解答案(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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椭圆小题专项训练一、单项选择1、已知点1F ，2F 分别是椭圆22121x y k k +=++(1k >-）的左、右焦点，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为（) A.12B.1415342、椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥，则AFB 的面积是（） A 。

33、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =,则k =（） A 。

1B 2C 3。

24、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，0为坐标原点，则ON等于（)A.2B 。

正月十五元宵节灯谜及答案

正月十五元宵节灯谜及答案正月十五元宵节灯谜及答案正月十五元宵节灯谜及答案11.雨(打一字)――池2.血盆(打一字)――唬3.刃(打一字)――召4.思(打一字)――十5.武(打一字)――斐6.书签(打一字)――颊7.四个晚上(打一字)――罗8.陕西人十分好打一字附9.送走观音使不得打一字还10.早不说晚不说(打一字)――许11.进水行不成(打一字)――衍12.上下一体(打一字)――卡13.半导体(打一字)――付14.熙熙攘攘(打一字)――侈chǐ15.内里有人(打一字)――肉16.一一入史册(打一字)――更17.两点天上来(打一字)――关18.祝福(打一字)――诘19.池塘亮底(打一字)――汗20.雨(打一字)――池21.血盆(打一字)――唬22.刃(打一字)――召23.思(打一字)――十24.武(打一字)――斐25.书签(打一字)――颊26.四个晚上(打一字)――罗27.入门无犬吠(打一字)――问28.弹丸之地(打一字)――尘29.凤头虎尾(打一字)――几30.矮(打一字)――射31.抽水泵(打一字)――石32.顶破天(打一字)――夫33.后村闺中听风声(打一字)――封34.另有变动(打一字)――加35.半耕半读(打一字)――讲36.画中人(打一字)――佃diàn37.丰收(打一字)――移正月十五元宵节灯谜及答案2谜面：讨媳妇图漂亮（打一成语）答案：以貌取人解析：“取”别解为“娶”，以貌娶人。

谜面：哪吒不闹海，武松不过冈。

（打一成语）答案：生龙活虎解析：哪吒不闹海“龙”王就不会死，武松不过冈老“虎”也就活生生的。

谜面：武则天登基（打一成语）答案：后来居上解析：“后”别解为太后武则天，“上”别解为皇上。

谜面：漓江之水天下绝（打一汉字）答案：璃解析：“漓江”的“水”和“天”字的下面“绝”了，不存在了，便剩下“离工一”。

谜面：别后不见有变化（打一汉字）答案：加谜面：迎春袭人两含羞（打一成语）答案：花花草草解析：“迎春”是一种“花”名，“袭人”扣《红楼梦》中的“花”袭人，由此构成“花花”；“含羞”是一种“草”名，“两含羞”即两个“草”，“草草”。

高中数学一题打天下之直线与方程(20问)

一题打天下之直线的方程（20问）已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈， P(3,-1),Q （-3，3）考点1：直线的定（交）点问题（1）证明：直线l 过定点T ；答案（-2，1）（2）若直线l 与直线x-y+1=0, 2x+3y-8=0三线共点，求k 的值考点2：两直线的位置关系（1）若直线l 与直线x+2y-3=0垂直，求k 的值答案2（2）若直线l 与直线x+2y-3=0平行，求k 的值答案21- （3）若直线l 与直线010)2(=+-+ky x k 平行，求k 的值答案k=-1（或k=2舍去）考点3：斜率的范围问题（1）直线不过第四象限，求k 的范围（2）若P 、Q 两点分布在直线l 的两侧，求k 的取值范围（两种方法） ),52()2,(+∞-⋃--∞ （3）若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围（两种方法） ),52[]2,(+∞-⋃--∞ 考点4：距离问题（1）若P 、Q 两点到直线l 的距离相等，求此时直线l 的直线方程（2）当k 为何值时，原点到直线l 的距离最大（3）当k=1时，求直线l 上的动点M 到原点距离的最小值，并求此时M 点的坐标考点5：对称问题（1）当k 为1时，求直线l 关于点P 的对称直线l ′,并求直线l 与l ′间的距离（2）当k 为1时，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程；（3）若直线l 被直线x-y+6=0和x 轴截得的线段恰好被定点T 平分，求k 的值（4）当k=-1时，求直线l 上的动点M 到P ，Q 两点的距离之和的最小值（5）一条光线经定点T 射入，先后被x 轴、x+y=0反射回T 点，求光线在这个过程中走过的路程考点6：截距问题（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求此时直线l 的方程（3）直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程（4）若直线l 交x 轴负半轴于A,交y 轴正半轴于B,△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.。

椭圆方程典型例题20例含标准答案

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个极点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出核心的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个极点的坐标和对称轴的位置，是不能确信椭圆的横竖的，因此要考虑两种情形．典型例题二例2 一个椭圆的核心将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处置方式，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，核心在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，常常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与核心()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）假设线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ．由圆锥曲线的统一概念知：ac x ca AF =-12，∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，因此它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两核心，问可否在椭圆上找一点M ，使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②那么①与②矛盾，因此知足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题进程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一样用分析法，即假设存在，依照已知条件进行推理和运算．进而依照推理取得的结果，再作判定．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，那么直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．因此所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两头坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，那么由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，要紧有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题经常使用的方式是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个核心与短轴两头点的联机相互垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应别离求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ②由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，因此182=a ．故所求方程为191822=+y x ．说明：依照条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于核心的位置是不是确信，假设不能确信，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右核心为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：此题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一样地，求MF eAM 1+都可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．因此21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．因此()332，M ．说明：此题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处置．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离成立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，那么点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可成立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到那个椭圆上的点的最远距离是7，求那个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值和分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题能够用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要擅长应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而增强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，那么4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-．若是21<b ，那么当b y -=时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：依照题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，那么22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ若是121>b ，即21<b ，那么当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：此题的关键是利用形数结合，观看方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设mx y x =++222，显然它表示一个圆，由此能够画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，核心在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，那么 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如下图．观看图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，现在0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个核心F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何转变，120≠∠APB ．（2）若是椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：此题从已知条件动身，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值动身做出估量，因此要从点的坐标、斜率入手．此题的第（2）问中，其关键是依照什么去列出离心率e 知足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，依照120=∠AQB 取得32222-=-+a y x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．那个地址要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222，于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，那么a x y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情形进行讨论．解：当椭圆的核心在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的核心在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴知足条件的4=k 或45-=k ．说明：此题易显现漏解．排除错误的方法是：因为8+k 与9的大小关系不定，因此椭圆的核心可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必需进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右核心2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个概念，或利用第二概念和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆概念，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二概念，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二概念时，要注意核心和准线的同侧性．不然就会产生误解．椭圆有两个概念，是从不同的角度反映椭圆的特点，解题时要灵活选择，运用自如．一样地，如碰到动点到两个定点的问题，用椭圆第一概念；若是碰到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二概念．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此取得55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左核心1F 和右核心2F 的距离别离为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：此题考查椭圆的两个概念，利用椭圆第二概念，可将椭圆上点到核心的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二概念，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一概念，0122ex a r a r -=-=．说明：此题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或核心弦）的有关问题时，有着普遍的应用．请写出椭圆核心在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 别离是椭圆的左、右核心，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：此题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方式：一是目标函数当，即代数方式．二是数形结合，即几何方式．此题假设按先成立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的概念，转化目标，运用数形结合，就能够简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，现在P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，现在P 、A 、2F 共线．成立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如以下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二概念知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．现在P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得知足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，确实是用第二概念转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用核心半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手腕．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：此题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，经常使用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ． (2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边别离平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的极点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一样地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个核心，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一样性，能够设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）．思路一：依照题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，能够确信离心率的取值范围；解出1y 能够求出21F PF ∆的面积，但这一进程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，能够确信离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，即可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=．在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sinsin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e212cos 21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个核心1F ，2F 组成的三角形为椭圆的核心三角形，涉及有关核心三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之显现21PF PF +的结构，如此就能够够应用椭圆的概念，从而可取得有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，假设那个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，能够P 点坐标作为参数，把APOP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围成立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，那么椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ，∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅a a b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b-=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ， ∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：假设已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

一题打天下之数列(43问,含答案,原创)

（09）解不等式：Tn ⩽ 3bn；（10）解不等式： Sn ⩽ 15 ；
an+1 16 （11）若数列 {cn} 满足：cn = b2n − 8bn，求 cn 的最小值；
（12）求 n(Tn − 4n) 的最小值；
{}
（13）设数列
bn an
的前 n 项和为 An，求 An 的计算公式；
（14）若数列 {cn} 满足：cn = (−1)n+1 • bn，求 c1 + c2 + · · · + c2020 的值；
=
bn
cos
nπ ，求 2
c1
+
c2
+
·
··+ (
c2020 )
的值； (
)
()
（18）若函数 f (x) 对 ∀x ∈ R 都有 f (x)+f (1−x) = 2，求 f b1 +f b2 +· · ·+f b2019 ；
b2020
b2020
b2020
（19）若 1 + 1 + · · · + 1 = 1998 ，求正整数 n 的值；
（02）若数列 {cn} 满足：c1 = 1，且 1 + b1 • c1 + b2 • c2 + · · · + bn−1 • cn−1 = bn(n ⩾ 2)，求 {cn}
的通项公式；
（03）若数列 {cn} 满足：c1 = 1，c2 = 3，且 (cn+1 + 1)2 = (cn + 1)(cn+2 + 1)，求证：an − cn = 1；（04）求 a9 + a10 的值；

椭圆最基础大题训练25道

y2 y2 x2 2 22. 已知椭圆 C : + = 1 a > 0 , b > 0 的焦距为 4, 且与椭圆 x + = 1 有相同的离心率,斜率 a2 b 2 2
椭圆基础大题训练 25 道
为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. y2 x2 1 23. 已知椭圆 C: + , 右焦点到直线 l1 : 3 x + 4 y = 0 的距离为 2 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 a b 3 . 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y = kx + m ( km ≠ 0 ) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线 l1 上,求△ OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
椭圆基础大题训练 25 道
M, N 两点．（1）若直线 l 的方程为 y = x - 4 ，求弦 MN 的长；（2）如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式． 1 3 18. 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点( 1, )． 2 2 （I）求椭圆 E 的方程；（II）直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A , B 两点，O 为原点，在 OA , OB 上分别存在异于 O 点的点 M,N ，使得 O 在以 MN 为直径的圆外，求直线斜率 k 的取值范围． 6 y2 x2 19. 设椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )过点 M ( 1, 1 ),离心率 e = ,O 为坐标原点. 3 a b (I)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ) 若直线 l 是圆 O : x2 + y2 = 1 的任意一条切线, 且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 求证: OA ⋅ OB 为定值. y2 x2 20. 已知椭圆 + = 1 a > 0, b > 0 的左右焦点分别为 F 1和 F 2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F 2 a2 b2 和 F1组成了一个高为 3,面积为 33 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1的直线和椭圆交于两点 A,B,求△ F2 AB 面积的最大值. 2 y2 x2 21. 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的离心率为 ,其中左焦点 F -2, 0 . 2 a b (Ⅰ)求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 + y2 = 1 上,求 m 的值.

椭圆一题80问修订

（44）过原点 O(0,0) ，点 P3, 4 的直线 l 交椭圆 E 于点 N ，过点 P 做椭圆 E 的两条切线，
分别切于点 C 和 D ，直线 OP 与交 CD 于点 Q ，求证： OQ OP ON 2 ．（点 P3, 4 可以为
椭圆外任意定点）
（45）过原点
O(0,
0)
，点
Q
MON 为定值．
（27）过点的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，是否存在点 P 使得 PM PN 为定值．
（28）过定点 Qt,0 的直线 l 交椭圆 E 于 M ，N 两点，在 x 轴上是否存在点 P ，使得 PM PN
为定值．（29）过点 F1 的直线 l 交椭圆 E 于 M ，N 两点，是否存在实常数，使 MN F1M F1N 恒成立？并由此求 MN 的最小值．（30）过点 F1 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点， MN 的中垂线交 x 轴于点 D ，是否存在实常数，使 MN F1D 恒成立？（）设直线 l 与椭圆 E 交于 M , N 两点，且以 MN 为直径的圆过椭圆的右顶点 A ，求 AMN 面积的最大值．（31）过点 F1 的直线 l1 交椭圆 E 于 M ，N 两点，直线 l2 : x 4 交 x 轴于点 G ，点 M ，N 在直线 l2 上的投影分别是 P ， Q ，设直线 MQ ， NP 的交点为 D ，是否存在实常数，使 GD DF1 恒成立？（32）过点 F1 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，动点 P 满足 PM MA ， PA AN ，试探究点 P 的轨迹．
y1 y3 y2 y4 ．
（41）过点 F1 ，F2 的弦分别与椭圆 E 为 PS ，PT ，设 PF1 F1S ，PF2 F2T ，证明：

(完整版)椭圆的经典题型

(完整版)椭圆的经典题型引言椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。

本文将介绍椭圆的经典题型，以帮助读者更好地理解和应用椭圆的相关知识。

弧长公式椭圆的弧长公式是椭圆的基本题型之一。

假设我们有一个椭圆，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

如果我们要计算椭圆上一段弧的长度，可以使用如下的公式：s = a∫(1 - e^2·sin^2(θ))^(1/2) dθ其中，s表示弧的长度，e是椭圆的离心率，θ是弧所对应的角度。

离心率与焦点椭圆的离心率和焦点之间有一定的关系。

离心率（e）是描述椭圆形状的一个参数，它的计算公式如下：e = (a^2 - b^2)^(1/2) / a椭圆的长轴上有两个焦点A和B，它们与椭圆上的任意一点C 的距离之和等于长轴的长度（2a）。

这一性质可以表示为：|CA| + |CB| = 2a椭圆的方程椭圆的方程是解决椭圆相关问题的基础。

一般来说，椭圆的标准方程可以表示为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，(x, y)是椭圆上的任意一点，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。

椭圆的面积计算椭圆的面积也是椭圆题型中常见的一种问题。

椭圆的面积可以使用如下公式计算：S = πab其中，S表示椭圆的面积，a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴，π是一个常数，近似等于3.。

结论椭圆的经典题型包括弧长、离心率与焦点、椭圆的方程和面积等。

通过掌握这些基本概念和公式，读者可以更好地理解和解决与椭圆相关的问题。

注意：以上内容为对椭圆经典题型的简要介绍，更详细的内容和例题请参考相关教材或高等数学课程资料。

椭圆难题(包括答案)

关于焦点三角形与焦点弦之马矢奏春创作1F 1F212PF PF b ⋅≤）经过焦点1F 或2F 的椭圆的弦112,),(,x y B x 则弦长2AB a e =±（左焦点取“+”，右焦点取“AB x ⊥轴时，AB 关于直线与椭圆的位置关系问题经常使用处理方法0>，以及在涉及弦长，中点，对称，面积2)y 代入椭圆方程，并将两，在涉及斜率、中点、范围典例剖析1 求椭圆的尺度方程【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

85AP PB =可得：32。

即 22a c ac -）由（1）得：(3,Q c 于是有：322c c +=【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点（1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（4）求OPQ 的最大面积从而求得：1x +0OP OQ ⋅=得所以l 的方程为：）由（1）得：∆>112OPQSOA y =2k -OPQS=6时，取“2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=（1）求椭圆离心率e的取值范围（2）当离心率e取最小值时，PF F的面积为16，设12,A B是椭圆上两动点，若线段AB的垂直平分线恒过定点(0,Q。

①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。

求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；（4）椭圆内部的点()00,x y 满足2200221x y a b+<；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，OA OB +与向量()3,1a =-共线。

椭圆一题80问

已知椭圆22:143x y E +=，左右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，左、右顶点分别为()2,0A '-，()2,0A，上、下定点为(B，(0,B '．（1）已知动点P 在椭圆E 上，另一动点Q ，满足220QF PF ⋅=，12120PF PF QP PF PF ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，求动点Q 的轨迹方程．（2）已知动点P 在椭圆E 上，点Q 为12F PF ∆的内心，求动点Q 的轨迹方程．（3）已知动点P 在椭圆E 上，且0PM FM +=，求证：2OM PF +是否为定值．（4）已知动点P 为椭圆E 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：AN BM ⋅为定值．（）已知动点()(),0P m n m ≠都在椭圆E 上，和直线BP 交x 轴于点M ，点P '与点P 关于x 轴对称，直线BP '交x 轴于点N 问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（5）已知动点P 在椭圆E 上，两定点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MPN ∆的面积的最大值．（6）已知动点P 在椭圆E 上，两定点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MP 和NP 分别与直线3x =交于点C ，D ，问：是否存在点P 使得PMN ∆与PCD ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（7）已知动点P 在椭圆E 上，点Q 在直线y=OP OQ ⊥，求线段PQ 长度的最小值．（8）已知动点P 在椭圆E 上，点Q 在直线y =OP OQ ⊥，试判断直线PQ 与圆223x y +=的位置关系，并证明你的结论．（9）已知动点P 在椭圆E 上，直线:4l x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （点M ，N 不重合），试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的角平分线过PM 中点？如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．（10）已知动点M ，N 是椭圆E 上位于x 轴上方的两点，且直线1MF 与直线2NF 平行，2MF 与1NF 交于点P ．求证：12PF PF +是定值．（11）已知动点P 在椭圆E 上（异于A '，A ），证明：PA PA k k '⋅为定值．（12）已知动点P 在椭圆E 上，过原点的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，证明：PM PN k k ⋅为定值．（13）已知动点P 在椭圆E 上，在点P 的切线l 斜率为k ，证明：OP k k ⋅为定值．（14）已知动点P 在椭圆E 上，在点P 的切线l 斜率为k ，证明：1211PF PF k k k k +⋅⋅为定值．（15）已知动点P 在椭圆E 上，在点P 的切线为l ，证明：两焦点()11,0F -，()21,0F 到切线l 的距离积为定值．（16）过点1F 的光线l 在椭圆E 上一点P 处反射，求证：反射光线必过右焦点2F ．（17）已知,N M 是椭圆E 上的两个动点，若12//NF MF ，求直线2MF 与1NF 交点的轨迹方程．（18）已知,N M是过点(P 的直线l 与椭圆E 的交点，求MN 中点的轨迹方程．（19）已知,N M 是椭圆E 上的两个动点，且,M N 的中点为P ，证明：MN OP k k ⋅为定值．（？？）点M为直线y x =与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于,Q P 两点．求证：直线MP ，MQ 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（20）已知,N M 是椭圆E 上的两个动点，且MN 的垂直平分线交x 轴于点(),0P t ，求t 得取值范围．（21）已知,N M 是椭圆E 上的两个动点，定点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭满足直线PM 与PN 垂直，证明：直线MN 过定点．（22）已知,N M 是椭圆E 上的两个动点，定点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭满足直线PM 与PN 的倾斜角互补，证明：直线MN 的斜率为定值．（23）已知,N M 是斜率为12的直线l 与椭圆E 的两个交点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 左上方，证明：PMN △的内切圆的圆心在一条定直线上．（24）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆E 分别交于M ，N 两点，证明：点O 到直线MN 的距离为定值，并求出这个定值．（25）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆E 分别交于M ，N 两点，证明：点O 在直线MN 的射影P 的轨迹是圆．（26）过动点()00,P x y 与圆22:1O x y +=相切的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，证明：MON ∠为定值．（27）过点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，是否存在点P 使得PM PN ⋅为定值．（28）过定点(),0Q t 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P ，使得PM PN ⋅为定值．（29）过点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，是否存在实常数λ，使11MN F M F N λ=⋅恒成立？并由此求MN 的最小值．（30）过点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，MN 的中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1MN F D λ=恒成立？（）设直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，求A M N ∆面积的最大值．（31）过点1F 的直线1l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线2:4l x =-交x 轴于点G ，点M ，N 在直线2l 上的投影分别是P ，Q ，设直线MP ，NQ 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=恒成立？并由此求得最小值．（32）过点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，动点P 满足PM MA λ=，PA A N μ''=，试探究点P 的轨迹．（33）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，直线l 分别过MN 和CD 的中点，证明：直线l 过定点．（34）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使MN CD MN CD λ+=⋅恒成立？并由此求四边形MCND 面积的最小值和最大值．（35）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，直线3:4l x =-，直线MD 交直线3l 于点P ，证明：P ，C ，N 三点共线．（36）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，直线3:4l x =-，直线MD 交直线3l 于点P ，证明11PF M PF D ∠=∠．（37）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，直线MD 交直线CN 于点P ，证明：点P 的轨迹为直线4x =-．（38）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于M ，N 两点和C ，D 两点，设直线3l 过点1F 且3l x ⊥轴，交1l ，2l 于点P ，Q ，证明：11F P FQ =．（39）过点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线l 与轴交于点P ，1PM MF λ=，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值．（40）过点1F 的直线1l ，2l 分别交椭圆E 于()11,M x y ，()22,N x y 两点和()33,C x y ，()44,D x y 两点，设直线3l 过点1F 且3l x ⊥轴，交1l ，2l 于点P ，Q ，试证明：1324y y y y -=-．（41）过点1F ，2F 的弦分别与椭圆E 为PS ，PT ，设11PF F S λ=，22PF F T μ=，证明：λμ+为定值．（42）过点1F 的动直线交椭圆E 于M ，N 两点，P 为椭圆E 任意一点，且OP OM ON λμ=+，证明：22λμ+为定值．（43）过点1F 的动直线交椭圆E 于M ，N 两点，点P 满足OP OM ON λμ=+，且221λμ+=，证明：P 在椭圆E 上．（44）过原点(0,0)O ，点(P 的直线l 交椭圆E 于点N ，过点P 做椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ，直线OP 与交CD 于点Q ，求证：2OT OP ON ⋅=．（45）过原点(0,0)O ，点(1,Q 的直线l 交椭圆E 于点N ，过点Q 的中点弦为CD ，过C ，D 分别作切线1l ,2l 且交于点P ，求证：2OT OP ON ⋅=．（46）过点(P 的任意直线l 交椭圆E 于点M ，N ，过点P 做椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ，直线l 与交CD 于点Q ，求证：112PM PN PQ+=．（47）过点(P 的直线l 交椭圆E 于点M ，N ，过点P 做椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ，点Q 在直线l ，且满足PN QM PM NQ ⋅=⋅，求点Q 的轨迹方程．（48）过点(1,Q 的直线l 交椭圆E 于点M ，N ，点P 在直线l ，且PN QM PM NQ ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程．（49）过原点(0,0)O ，点(P 的直线l 交椭圆E 于点M ，N ，过点P 做椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ．求证：M ，N 处的切线与CD 平行．（50）过点1F 的直线1l 分别交椭圆E 于M ，N 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PM PN k k +=．（51）过定点(),0Q t 的直线1l 交椭圆E 于M ，N 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PM PN k k +=．（52）过点1F 的直线1l 交椭圆E 于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点M '，证明：点M '，N ，()4,0P -三点共线．（53）过定点(),0Q t 的直线1l 分别交椭圆E 于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点M '，证明：点M '，N ，4,0P t ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线．（54）过点1F 的直线1l 交椭圆E 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，点M 关于x 轴的对称点M '，直线NM '与x 轴交于点P ，证明：1OF OP ⋅为定值．（55）过点(),0Q t 的直线1l 分别交椭圆E 于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点M '，直线NM '与x 轴交于点P ，证明：OQ OP ⋅为定值．（56）过点P 作椭圆E 的两条切线1l ，2l ，且12l l ⊥，求P 的轨迹方程．（57）动点P 在直线240x y ++=上，由P 引椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ．证明：直线CD 过定点．（58）过点(P 作椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ．求证：12CPF DPF ∠=∠．（59）过点(P 作椭圆E 的两条切线，分别切于点C 和D ．求证：22CF P DF P ∠=∠ （60）过动点()0,0P x 作x 轴的垂线交椭圆E 于M ，N 两点，求直线A N '与AM 交点的轨迹方程．（61）过动点()0,0P x 作x 轴的垂线交椭圆E 于M ，N 两点，直线:4l x =与x 轴交于点P ，直线MF 与直线NP 交于点Q ，求证：点Q 恒在椭圆上．（62）过点()4,0P 直线交椭圆E 于M ，N 两点，设()1PM PN λλ=>，过点M 作x 轴垂线与椭圆E 交于另一点Q ，证明：22F Q F N λ=-．（63）过点2F 的直线1l 交椭圆E 异于点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的M ，N 两点，且与直线2:4l x =交于点Q ，求证：2PM PN PQ k k k +=．（64）过点1F 的直线1l 交椭圆E 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，()04,y P -为直线:4l x =-上任意一点，证明：12PM PN PF k k k +=．（65）过点(),0Q t 的直线1l 交椭圆E 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，04,y P t ⎛⎫⎪⎝⎭为直线4:l x t =上任意一点，证明：12PM PN PF k k k +=．（66）过点()2,1P 的直线l 交椭圆E 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，过点N 作斜率为12-的直线交椭圆E 与另一点Q ，求证：直线MQ 过定点．（67）椭圆E 内两条相交弦MN ，PQ ，若MN ，PQ 倾斜角互补，证明：M ，P ，N ，Q 四个端点共圆．（68）过点()0,2A -的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，当OMN △的面积最大时，求l 的方程．（69）不过原点O 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，过原点O 和点()2,1P 的直线1l 垂直平分线段MN ，当PMN △的面积最大时，求l 的方程．（70）直线l 与椭圆E 相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，已知()112m x = ，()222,3n x = ，若m n ⊥ ，证明：MON ∆的面积为定值．（71）点P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线PA '，PA 分别与椭圆E 交于M ，N 两点．证明：点A 在以MN 为直径的圆内．（72）直线:l y kx m =+交椭圆E 于M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线l 过定点．（73）过椭圆外一点()00,P x y 的直线PA '，PA 分别与椭圆E 交于M ，N 两点，直线MN 与x 轴交于点Q ，证明：OP OQ ⋅为定值．（74）过椭圆E 上异于顶点的任意一点()00,P x y 的直线PA '，PA 分别与y 轴交于M ，N 两点，证明：OM ON ⋅为定值．（75）过点(B 的直线l 与椭圆E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线BA 与直线B D ' 交于点Q ．当点P 异于点B '时，求证：OP OQ ⋅为定值．（76）过点()(),002Q t t <<的直线1l 交椭圆E 于M ，N 两点，过M ，N 向直线4:l x t=作垂线，垂足分别为1M ，1N ，记1QMM ∆，11QM N ∆，1QNN ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，是否存在λ，使得对任意的02t <<，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（77）过点()(),002Q t t <<的直线1l 交椭圆E 于M ，N 两点，交定直线4x t=于P 点，设1PM MQ λ=，2PN NQ λ=，证明：12λλ+为定值．（78）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于,A C 和,B D ，设线段,AC BD 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点由已知可得：()1,0F当直线AC 斜率不存在时，:1AC x =，:0BD y =，所以()1,0P ，()0,0Q ，PQ ∴为x 轴；当AC 斜率存在时，设():1,0AC y k x k =-≠，则()1:1BD y x k=--，设()()1122,,,A x y C x y ，联立方程可得：()()222222143841203412y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， 2122843k x x k ∴+=+ ()()()1212122611243ky y k x k x k x x k k ∴+=-+-=+-=-+ 212122243,,224343x x y y kk P k k ⎛⎫++-⎛⎫∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，联立()22113412y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩，可得： 22222114343,,3443114343k k k Q k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222222337434344414334PQk kk k k k k k k k --++∴==--++， PQ ∴的方程为：()222374434341k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪++-⎝⎭，整理可得： ()()()224744044740yk x k y y k k x +--=⇒-+-=，470x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩时，直线方程对k R ∀∈均成立，∴直线PQ 恒过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，而AC 斜率不存在时，直线PQ 也过4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线PQ 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭。

椭圆一题80问共分享

则：
，
同理理可得
题型五、最值问题
例例 8. 过椭圆
的右焦点
的直线交椭圆于 M,N 两点，求
面面积
的最大大值. 【解析】设设 MN：
，与椭圆方方程联立立可得
，
令
，则
，由双勾函数图像可知时
的面面积有最
大大值 .（此时
，即 MN 与轴垂直）
（2015 年年全国卷Ι，2018 年年南昌市高高三摸底考试文文、理理 20）
，上、下顶点分别为
.
题型一一、轨迹问题（定义法、相关点法、参数法）
例例 1. 已知是椭圆
的两条切线，且
，垂足足为 P，求动点 P 的轨迹.
【解析】解一一：(1)当点在轴上时，由对称性知
为等腰直⻆角三⻆角形，切线斜率分别为
-1,1．设（t,0），则方方程为
，联立立方方程
得
，由判
别式=0，解得
。
（2）当最值问题遇⻅见面面积，面面积如何表示是个重要问题，比比如今年年高高三摸底考试的第 20 题，
不不少同学在求
面面积的时候，竟然不不胜其繁的分别用用斜率 k 表示弦 AB 的⻓长、点到
AB 的距离，然后计算面面积，这里里里我们还是应该重视面面积的“割”与“补”，将问题最终转化为
我们熟悉的两根之差.
，作差可得
，
故
（定值）
【一一般结论】动点 P 在椭圆
上，过原点的直线交椭圆 E 于 M，N 两点，则
为定值
（2018 年年南昌市高高三摸底考试 20 题第一一问）
【证明】设
，则
，
因为 M,P 在椭圆上，则有
，作差可得
，
故