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形式语言与自动机理论--第五章(蒋宗礼)
形式语言与自动机理论形式语言与自动机理论formallanguagesandautomatatheory蒋宗礼蒋宗礼课程目的和基本要求课程目的和基本要求?课程性质课程性质技术基础技术基础?基础知识要求基础知识要求数学分析数学分析数学分析数学分析?主要特点主要特点抽象和形式化抽象和形式化理论证明和构造性理论证明和构造性基本模型的建立与性质基本模型的建立与性质或者高等数学或者高等数学或者高等数学或者高等数学离散数学离散数学离散数学离散数学课程目的和基本要求课程目的和基本要求?本专业人员4种基本的专业能力本专业人员4种基本的专业能力计算思维能力计算思维能力算法的设计与分析能力算法的设计与分析能力程序设计和实现能力程序设计和实现能力计算机软硬件系统的认知分析设计与应用能力计算机软硬件系统的认知分析设计与应用能力?计算思维能力计算思维能力逻辑思维能力和抽象思维能力逻辑思维能力和抽象思维能力构造模型对问题进行形式化描述构造模型对问题进行形式化描述理解和处理形式模型理解和处理形式模型课程目的和基本要求课程目的和基本要求?知识知识掌握正则语言下文无关语言的文法识别模型及其基本性质图灵机的基本知识
5.2 RL的封闭性
⑶ r=r1*。 f(L)=f(L(r)) =f(L(r1*)) =f(L(r1)*) =(f(L(r1)))* =(L(f(r1)))* =L(f(r1)*) =L(f(r1*)) =L(f(r))
RE的定义 正则代换的定义 归纳假设 RE的定义 RE的正则代换的定义
5.2 RL的封闭性
⑶ r=r1*。 f(L)=f(L(r)) =f(L(r1*)) =f(L(r1)*) =(f(L(r1)))* =(L(f(r1)))* =L(f(r1)*) =L(f(r1*)) =L(f(r))
RE的定义 正则代换的定义 归纳假设 RE的定义 RE的正则代换的定义
形式语言简介.ppt
产生式的个数是有限的，规则是递归 的，因而所有的小括号匹配的串，都可 以由产生式产生；
它们组成的集合就称为一个语言。
S称为非终结符，在推导过程中，可以被 代替的符号。
(和)称为终结符，在推导过程中，不可以 被代替的符号。
→ 是产生式系统的元符号，不属于非终 结符，也不属于非终结符。
例2-1：由偶数个0组成的串的语言。 规则的自然语言描述方式：
关系1：
文法 S→aSa|bSb|c|ε
产生的语言Fra Baidu bibliotek什么？
S能够产生的所有句子，需要考 虑3个产生式所有可能使用情况
注意对称性
关系2：
构造产生语言L的文法。 L= {wwT|w∈{a,b,c}+}
其中：wT是w的逆（反序）
思考：
产生下列语言的文法： L1={anbn|n>0} L2={anbn|n≧0}
终结符代表在推导的过程中不可以被 替代的符号。
推导的逆过程称为归约。
与pvr =>pur对应，称串pur可以直 接归约成串pvr
记为pvr <=pur
多步推导（至少一步）
y=>+z 表示y可以经过多步推导出z，即
存在串的序列1，2，3 ，…，n ； 有y=1 ，z= n ，
且i=>i+1；对所有n>i≥1。
形式语言与自动机理论精品PPT课件
10
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
• 1959年，乔姆斯基证明了两者是等价的，即文法所 生成的语言都是自动机可识别的，反之亦然。这一 结果宣告了形式语言与自动机理论的诞生。
• 此后，该理论在计算机科学技术中得到迅速而广泛 的应用。例如，用形式化的文法描述高级编程语言 的词法和语法；根据自动机设计编译器。
课程特点
本课程属于专业理论课，主要特点就是形式 化，比较抽象，既有严格的理论证明，又有 很强的构造性，难度较大。
理论计算机科学基础
课程介绍
信息与计算科学专业
培养 解决信息技术中所涉及的数学问题的高级人才。 信息技术：信息的获取、传输和处理。 信息获取：统计、遥感。 信息传输：通信、Internet
主要的问题：可靠性、有效性与安全性。 数学理论：信息论、编码理论、密码学。 信息处理：计算技术，包括数值计算、符号计算、 数据挖掘、计算模拟等技术。 应用广泛，如：银行金融风险的控制、产品设计、 天气预报、密码破译。
理论计算机科学
研究计算理论与技术，是关于计算技术的数学理论。 核心理论：
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
• 1959年，乔姆斯基证明了两者是等价的，即文法所 生成的语言都是自动机可识别的，反之亦然。这一 结果宣告了形式语言与自动机理论的诞生。
• 此后，该理论在计算机科学技术中得到迅速而广泛 的应用。例如，用形式化的文法描述高级编程语言 的词法和语法；根据自动机设计编译器。
课程特点
本课程属于专业理论课，主要特点就是形式 化，比较抽象，既有严格的理论证明，又有 很强的构造性，难度较大。
理论计算机科学基础
课程介绍
信息与计算科学专业
培养 解决信息技术中所涉及的数学问题的高级人才。 信息技术：信息的获取、传输和处理。 信息获取：统计、遥感。 信息传输：通信、Internet
主要的问题：可靠性、有效性与安全性。 数学理论：信息论、编码理论、密码学。 信息处理：计算技术，包括数值计算、符号计算、 数据挖掘、计算模拟等技术。 应用广泛，如：银行金融风险的控制、产品设计、 天气预报、密码破译。
理论计算机科学
研究计算理论与技术，是关于计算技术的数学理论。 核心理论：
形式语言.
第11章 形式语言与自动机简介
第11章 形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示 11.2 正规语言与有限自动机 11.3 上下文无关语言与下推自动机
11.4 图灵机
11.5 线性界限自动机
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示
11.1.1语言 语言是一个非常抽象的概念，概括地说，一种语言 是由某些字符串组成的集合。为了对语言等给出确切的 定义，我们从字母表谈起。 由特定的符号组成的有限集合称为字母表。常见的
11.1.3识别器
对语言进行有限表示的第二种常用方法是识别器。一个
语言识别器的结构如图11-1所示。它由三大部分组成：输入 带、有限状态控制器和辅助存储器。
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
输入带上排列着一个个带单元，每个带单元存放着一个输入字母表
中的符号。连接在有限状态控制器上的读写头能在带上读出某个带单元 上的符号，有限状态控制器根据读到的符号和辅助存储器中取出的信息
字母表是由26个英文字母、10个阿拉伯数字、运算符号
等组成的集合。0和1两个数字也可以组成字母表。 设∑是一个字母表，由∑上的符号组成的有穷序列称为 上的字符串。
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
定义11.1 字母表∑上满足一定条件的字符串的集合L，称为∑上的一 种语言。
第11章 形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示 11.2 正规语言与有限自动机 11.3 上下文无关语言与下推自动机
11.4 图灵机
11.5 线性界限自动机
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示
11.1.1语言 语言是一个非常抽象的概念，概括地说，一种语言 是由某些字符串组成的集合。为了对语言等给出确切的 定义，我们从字母表谈起。 由特定的符号组成的有限集合称为字母表。常见的
11.1.3识别器
对语言进行有限表示的第二种常用方法是识别器。一个
语言识别器的结构如图11-1所示。它由三大部分组成：输入 带、有限状态控制器和辅助存储器。
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
输入带上排列着一个个带单元，每个带单元存放着一个输入字母表
中的符号。连接在有限状态控制器上的读写头能在带上读出某个带单元 上的符号，有限状态控制器根据读到的符号和辅助存储器中取出的信息
字母表是由26个英文字母、10个阿拉伯数字、运算符号
等组成的集合。0和1两个数字也可以组成字母表。 设∑是一个字母表，由∑上的符号组成的有穷序列称为 上的字符串。
2018/9/19
第11章 形式语言与自动机简介
定义11.1 字母表∑上满足一定条件的字符串的集合L，称为∑上的一 种语言。
形式语言与自动机-课程介绍 ppt
原因：两个命题是等价， （蕴涵逻辑等价）。
-
37
反证法
反证（proof by contradiction）
欲证 if H then C ，可以把 H 和 not C
都作为已知的命题，把任何一个矛盾( contradiction ) 命题作为新的结论.
-
38
举例证明或否证
举例证明存在量化的命题 如命题：存在整数 a，满足 a2 = 2a. 证明: 取 a = 2. ，满足 a2 = 2a.
在人工智能、电信领域等有广泛的应用。 通过一些定理的证明和应用，对大家进行思
维训练，从而为今后学习通信软件，协议工 程，编译技术，人工智能等内容提供理论基 础。
-
7
2、为什么学习形式语言与自动机
对客观世界的科学研究：目的在于把抽象数 学的形式化体系发展成为与现实生活相似的 理论模型，从而提供一种通用结构来描述、 理解和解决问题。
形式语言和自动机是密切相关的。 形式语言 ―― 字符串 自动机 ―― 字符串的识别系统
根据复杂程度可将形式语言分类，根据自动 机的接受能力、处理能力的不同也将自动机 分类。二者之间具有较好的对应关系。
-
26
3.3 形式语言与自动机的关系
-
27
语言与有限自动机（Finite Automata）
结构归纳法 对于归纳（递归）定义的集合 S，欲证对于任意 xS，满足性质P(x). 1 基础（basis） // 若有直接定义 aS，则证明 P(a) 2 归纳（induction） // 若归纳定义中有规则 if a1, a2, , an S then f (a1, a2, , an ) S ， 则证明
-
37
反证法
反证（proof by contradiction）
欲证 if H then C ，可以把 H 和 not C
都作为已知的命题，把任何一个矛盾( contradiction ) 命题作为新的结论.
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38
举例证明或否证
举例证明存在量化的命题 如命题：存在整数 a，满足 a2 = 2a. 证明: 取 a = 2. ，满足 a2 = 2a.
在人工智能、电信领域等有广泛的应用。 通过一些定理的证明和应用，对大家进行思
维训练，从而为今后学习通信软件，协议工 程，编译技术，人工智能等内容提供理论基 础。
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2、为什么学习形式语言与自动机
对客观世界的科学研究：目的在于把抽象数 学的形式化体系发展成为与现实生活相似的 理论模型，从而提供一种通用结构来描述、 理解和解决问题。
形式语言和自动机是密切相关的。 形式语言 ―― 字符串 自动机 ―― 字符串的识别系统
根据复杂程度可将形式语言分类，根据自动 机的接受能力、处理能力的不同也将自动机 分类。二者之间具有较好的对应关系。
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3.3 形式语言与自动机的关系
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语言与有限自动机（Finite Automata）
结构归纳法 对于归纳（递归）定义的集合 S，欲证对于任意 xS，满足性质P(x). 1 基础（basis） // 若有直接定义 aS，则证明 P(a) 2 归纳（induction） // 若归纳定义中有规则 if a1, a2, , an S then f (a1, a2, , an ) S ， 则证明
形式语言与自动机理论--(蒋宗礼).154页PPT
形式语言与自动机理论--(蒋宗礼).
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
ห้องสมุดไป่ตู้
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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形式语言与自动机-经典教学课件(完整版)资料讲解
2020/6/20
7
1.1.2 集合之间的关系
•集合相等
–如果集合A，B含有的元素完全相同，则称集 合A与集合B相等(equivalence)，记作A=B。
•对任意集合A、B、C： ⑴ A=B iff AB且BA。 ⑵ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑶ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑷ 如果A是有穷集，且AB，则|B|>|A|。
2020/6/20
2
课程目的和基本要求
• 知识
–掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模 型及其基本性质、图灵机的基本知识。
•wk.baidu.com能力
–培养学生的形式化描述和抽象思维能力。 –使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、
自动化（计算机化）”这一最典型的计算机问 题求解思路。
2020/6/20
3
主要内容
• 语言的文法描述。 • RL
– RG、 FA、RE、RL的性质 。
• CFL
– CFG(CNF、GNF)、PDA、CFL的性质。
• TM
– 基本TM、构造技术、TM的修改。
• CSL
– CSG、LBA。
2020/6/20
4
教材及主要参考书目
1.蒋宗礼，姜守旭. 形式语言与自动机理论. 北京： 清华大学出版社，2003年
3. John E Hopcroft, Jeffrey D Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley Publishing Company, 1979
形式语言与自动机理论--第六章(蒋宗礼)
第6章 上下文无关语言
• Gbra：SS(S)|ε • L(Gbra)不是RL,是CFL
0 1 0 1 ...... 0 1
•高级程序设计语言的绝大多数语法结构都 可以用上下文无关文法(CFG)描述。。 •BNF(巴科斯范式：Backus normal form， 又叫Backus-naur form)。
6.1.1 上下文无关文法的派生树
• 别称
– 生成树 – 分析树(parse tree) – 语法树(syntax tree)
• 顺序
– v1，v2是派生树T的两个不同顶点，如果存在顶 点v，v至少有两个儿子，使得v1是v的较左儿子 的后代，v2是v的较右儿子的后代，则称顶点v1 在顶点v2的左边，顶点v2在顶点v1的右边。
6.1.2 二义性
• 简单算术表达式的二义性文法 Gexp2： EE+E|E-E|E/E|E*E E E↑E|(E)|N(L)|id Nsin|cos|exp|abs|log|int LL,E|E
6.1.2 二义性
句子x+x/y↑2在文法中的三个不同的最左派生
E E+E x+E x+E/E x+x/E x+x/E↑E x+x/y↑E x+x/y↑2 E E/E E+E/E x+E/E x+x/E x+x/E↑E x+x/y↑E x+x/y↑2 E E↑E E/E↑E E+E/E↑E x+E/E↑E x+x/E↑E x+x/y↑E x+x/y↑2
离散数学课件 第六部分 形式语言与自动机
形式语言和 自动机初步
1
第10章 形式语言和自动机初步
10.1 形式语言和形式文法 10.2 有穷自动机 10.3 有穷自动机和正则文法的等价性 10.4 图灵机
2
10.1 形式语言与形式文法
字符串和形式语言 形式文法 形式文法的分类
0型文法 1型文法 或上下文有关文法 2型文法 或上下文无关文法 3型文法 或正则文法
6
字符串的连接运算
设 =a1a2 … an, = b1b2 … bm, =a1a2 … anb1b2 … bm称作与 作的连接
如 =ab, =baa, =abbaa, =baaab 对任意的字符串, ,
(1) ( )γ= ()
即, 连接运算满足结合律
δ
0
1
→{q0} {q0, q1} {q0} {q0,q1} {q0,q1,q2} {q0} *{q0,q1,q2} {q0,q1,q2} {q0}
34
带 转移的非确定型有穷自动机
ε 转移: 不读如何符号, 自动转移状态.
-NFA: :Q(∪{ })→P(Q)
定理 对每一个-NFA M 都存在DFA M 使得
(2) = = 即, 空串是连接运算的单位元
n个的连接记作n 如 (ab)3= ababab, 0=
7
形式语言
1
第10章 形式语言和自动机初步
10.1 形式语言和形式文法 10.2 有穷自动机 10.3 有穷自动机和正则文法的等价性 10.4 图灵机
2
10.1 形式语言与形式文法
字符串和形式语言 形式文法 形式文法的分类
0型文法 1型文法 或上下文有关文法 2型文法 或上下文无关文法 3型文法 或正则文法
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字符串的连接运算
设 =a1a2 … an, = b1b2 … bm, =a1a2 … anb1b2 … bm称作与 作的连接
如 =ab, =baa, =abbaa, =baaab 对任意的字符串, ,
(1) ( )γ= ()
即, 连接运算满足结合律
δ
0
1
→{q0} {q0, q1} {q0} {q0,q1} {q0,q1,q2} {q0} *{q0,q1,q2} {q0,q1,q2} {q0}
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带 转移的非确定型有穷自动机
ε 转移: 不读如何符号, 自动转移状态.
-NFA: :Q(∪{ })→P(Q)
定理 对每一个-NFA M 都存在DFA M 使得
(2) = = 即, 空串是连接运算的单位元
n个的连接记作n 如 (ab)3= ababab, 0=
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形式语言
形式语言与自动机_课件_陈有祺第03章 有穷自动机
若输入串中含有010，则一定能到达终结状态；若输入串中不含子串010 ，则一定不能到达终结状态。因此，L(M1)=L1 。
从给定集合构造接受该集合的FA
构造接受L2的FA M2： L2={x∣x∈{0，1}* ，且x中不能出现子串010}。
M2中的状态和M1完全相同，它们都是要寻找子串010，只是M1在 发现010后就要接受该输入串，而M2在发现010后就要肯定不接 受该输入串。如何表示不接受呢？那就是进入一个“死”状态， 这是一个特殊的非终结状态，到了这个状态以后，无论再遇到什 么输入符号，都不会离开这个状态，当然到不了任何终结状态了 。
经这样分析以后，FA M除初始状态外，只需要设5个状态：模5余0状态 （即终结状态），模5余1状态，模5余2状态，模5余3状态和模5余4状态 ，因为所有二进制数必处于5种状态之一。
从给定集合构造接受该集合的FA
接受能被5整除的二进制数的FA M
用qs表示初始状态，用q0、q1、q2、q3、q4分别表示二进制数被5 整除时余0（即能被5整除，所以它是终结状态。）、余1、余2、 余3、余4的状态。
形式语言与自动机
第三章 有穷自动机
非形式化描述 有穷自动机的基本定义 非确定的有穷自动机 具有ε转移的有穷自动机 有穷自动机的应用 具有输出的有穷自动机
有穷状态系统
指针式钟表共有12*60*60个状态
围棋共有3361个状态
从给定集合构造接受该集合的FA
构造接受L2的FA M2： L2={x∣x∈{0，1}* ，且x中不能出现子串010}。
M2中的状态和M1完全相同，它们都是要寻找子串010，只是M1在 发现010后就要接受该输入串，而M2在发现010后就要肯定不接 受该输入串。如何表示不接受呢？那就是进入一个“死”状态， 这是一个特殊的非终结状态，到了这个状态以后，无论再遇到什 么输入符号，都不会离开这个状态，当然到不了任何终结状态了 。
经这样分析以后，FA M除初始状态外，只需要设5个状态：模5余0状态 （即终结状态），模5余1状态，模5余2状态，模5余3状态和模5余4状态 ，因为所有二进制数必处于5种状态之一。
从给定集合构造接受该集合的FA
接受能被5整除的二进制数的FA M
用qs表示初始状态，用q0、q1、q2、q3、q4分别表示二进制数被5 整除时余0（即能被5整除，所以它是终结状态。）、余1、余2、 余3、余4的状态。
形式语言与自动机
第三章 有穷自动机
非形式化描述 有穷自动机的基本定义 非确定的有穷自动机 具有ε转移的有穷自动机 有穷自动机的应用 具有输出的有穷自动机
有穷状态系统
指针式钟表共有12*60*60个状态
围棋共有3361个状态
形式语言与自动机_课件_陈有祺第07章 下推自动机
其中δ´定义为： δ´(q0´,ε, X0)={(q0 , X0Z0)}， δ´(q, a, Z)包含δ(q, a, Z)， 对一切q∈Q.a∈∑∪{ε},Z∈Γ。 δ´(q, ε, Z)包含(qe , ε)， 对q∈F，Z∈Γ∪{X0}。 δ´(qe ,ε, Z)={（qe ,ε）}。
等价性
M2模拟M1的动作。 通过δ´定义的第（1）条，将M2的栈底X0转为M1的栈底Z0（X0还保留在栈内），
在上述例子中,也可以将最后两个δ函数改为δ（q2，ε，R）={（q3，R）}和δ（ q1，C，R）={（q3，R）}，并令q3为终结状态（在七元组中也相应更改），这 就是一个以终结状态方式接受L的PDA。由此可见，以两种不同方式接受语言的下 推自动机之间是相通的，并没有本质的差别。
下推自动机接受的语言
形式语言与自动机
第七章 下推自动机
下推自动机的定义 下推自动机接受的语言 下推自动机和上下文无关文法的关系 确定的下推自动机
下推自动机的定义
定义 7.1 下推自动机(PushDown Automata）简称 PDA，是一个七元组 M = (Q,∑,Γ,δ,q0 ,Z0 ,F)，其中
① Q是有穷状态集; ② ∑是有穷的输入字母表； ③ Γ是有穷的栈符号表； ④ δ是转移函数，它将Q(∑∪{ε}) Γ映射到(Q Γ)* 的
等价性
定理7.1 如果对于某个按终结状态方式接受语言的PDA M1 ，有 L(M1)=L,则存在一个按空栈方式接受语言的PDA M2 ，使得N(M2)=L。
等价性
M2模拟M1的动作。 通过δ´定义的第（1）条，将M2的栈底X0转为M1的栈底Z0（X0还保留在栈内），
在上述例子中,也可以将最后两个δ函数改为δ（q2，ε，R）={（q3，R）}和δ（ q1，C，R）={（q3，R）}，并令q3为终结状态（在七元组中也相应更改），这 就是一个以终结状态方式接受L的PDA。由此可见，以两种不同方式接受语言的下 推自动机之间是相通的，并没有本质的差别。
下推自动机接受的语言
形式语言与自动机
第七章 下推自动机
下推自动机的定义 下推自动机接受的语言 下推自动机和上下文无关文法的关系 确定的下推自动机
下推自动机的定义
定义 7.1 下推自动机(PushDown Automata）简称 PDA，是一个七元组 M = (Q,∑,Γ,δ,q0 ,Z0 ,F)，其中
① Q是有穷状态集; ② ∑是有穷的输入字母表； ③ Γ是有穷的栈符号表； ④ δ是转移函数，它将Q(∑∪{ε}) Γ映射到(Q Γ)* 的
等价性
定理7.1 如果对于某个按终结状态方式接受语言的PDA M1 ，有 L(M1)=L,则存在一个按空栈方式接受语言的PDA M2 ，使得N(M2)=L。
形式语言与自动机_课件_陈有祺第01章 预备知识
公理和推理规则
在一个系统中，要证明某个语句为真（合法的） 时，需要通过一个语句序列，它们是：
➢ 每个语句或者是公理，或者能借助推理规则由一个 或多个前面的语句推导出来。
➢ 此序列的最后一个语句就是所要证明的语句。
能够加以证明的语句，称为该形式系统的定理。 显然，形式系统中的的每个公理都是该系统的 定理。
常用的证明方法——数学归纳法
定理1.6 前n个连续自然数之和等于n(n+1)/2。
证明：我们用数学式子将上述命题写成
S(n)=
n
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=
n(n+1)/2
归纳基础：n=1。S(1)=1,显然成立。
i 1
归纳步骤：设对于任何k≥1,S(k)=k(k+1)/2 ，要推出
S(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
形式语言与自动机
第一章 预备知识
定理及其证明方法 集合及其基本运算 图和树的简单介绍 字母表，字符串和语言
1.1 定理及其证明方法
什么是证明？ 最严格意义下的证明应当是由一个形式系统
来刻画的。这个形式系统包括以下基本成分： ➢ 一组基本符号 ➢ 一组形成规则 ➢ 一组公理 ➢ 一组推理规则
x, 假设x∈A但xB，可是根据A B的定义，这是不可能的；类 似地，假设x∈B但x A，据B A的定义，也不可能。这就得出
形式语言与自动机PPT课件
4
关于字符串的运算
连接（concatenation） 设 x, y为串, 且 x a1a2 … am, y b1b2 … bn, 则 x 与 y 的连接 x y a1a2 … am b1b2 … bn
连接运算的性质 ( x y ) z x（ y z ）
xxx
x y x+y
2020/11/23
串ω的倒置。
ω= b1b2……bn
= bnbn-1……b2b1
空串ε的逆还是ε
2020/11/23
College of Computer Science & Technology, BUPT
7
字母表的幂运算
幂运算 设 T 为字母表，n 为任意自然数，
定义（1） T0 =
（2）设 x Tn-1，a T， 则a x Tn （3） Tn 中的元素只能由（1）和（2）生成 闭包 T* = T0 T1 T2 … 闭包 T+ = T1 T2 T3 …
由语言的定义知语言是集合，对于集合的运算可应 用于对于语言的计算。如并，交，补，差。
2020/11/23
College of Computer Science & Technology, BUPT
11
语言的基本运算
语言的积：
两个语言L1 和L2的积L1 L2是由L1和L2中的字符 串连接所构成的字符串的集合。即L1中所有字符 串分别与L2中的字符串连接得到的集合。
形式语言及自动机 哈尔滨工业大学(中文版)
1正则表达式(Regular Expression)
自动机通过识别来定义语言，正则表达式通过规则产生语言(或表示语言)；正则表达式，所表示的语言与正则语言等价。
1.1语言的运算
如果L和M是两个语言:
1)L∪M为两个语言的并
2)LM为两个语言的连接
3)L∗为语言的(克林)闭包
示例
四则运算表达式的定义
1)任何的数都是四则运算表达式;
2)如果a和b是四则运算表达式，那么a+b,a−b,a×b,a÷b和(a)都是四则运算表达式.
1.2正则表达式的递归定义
设Σ为字母表，则Σ上的正则表达式，递归定义为:
1)∅是一个正则表达式，表示空语言;
2)ε是一个正则表达式，表示语言{ε};
3)Σ中的任意字符a，都是一个正则表达式，分别表示语言{a};
4)如果正则表达式r和s分别表示语言R和S，则r+s,rs,r∗和(r)也是正则表达式，分别表示语言R∪S,
RS,R∗和R.
示例
00表示语言{00}.(0+1)∗表示任意0和1构成的串.(0+1)∗00(0+1)∗表示至少有两个连续的0的串. (0+ε)(1+10)∗表示没有两个连续0的串.
1.3运算符的优先级
正则表达式的三种运算：“加”(+)、“连接”(·一般省略)和“星”(∗).
正则表达式中运算符的优先级:括号的优先级最高，但括号本身并不是运算
1)首先，“星”优先级最高:r∗
2)其次，“连接”:rs,r·s
3)最后，“加”优先级最低:r+s
示例
01∗+1=(0(1∗))+1
2
有穷自动机和正则表达式
2.1
正则语言的表示
2.2
DF A ⇒RE,递归构造R (k )
形式语言与自动机week1Introduction张雷注
6
2、为什么学习形式语言与自动机
形式语言与自动机是计算机科学的基础理论 之一，是计算机学科的专业基础课。
在人工智能、电信领域等有广泛的应用。 通过一些定理的证明和应用，对大家进行思
维训练，从而为今后学习通信软件，协议工 程，编译技术，人工智能等内容提供理论基 础。
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形式语言和自动机是密切相关的。 形式语言 ―― 字符串 自动机 ―― 字符串的识别系统
根据复杂程度可将形式语言分类，根据自动 机的接受能力、处理能力的不同也将自动机 分类。二者之间具有较好的对应关系。
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14
为什么用形式语言
形式语言的最初起因： 语言学家（Chomsky） 想用一套形式化方法来描述语言。
形式语言在自然语言研究中起步，在计算机 科学中得到广泛应用。
最初的应用：编译 ―― 让计算机按照语法规 则将高级语言方便地翻译成机器语言。
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下推自动机可以看作是由一条输入带，一个 有限控制器和一个下推栈组成。
基本图灵机由一个具有读写头的有限控制器 和一条无限带组成。
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计算机科学：是关于计算知识的有系统的整 体。
-
8
2、为什么学习形式语言与自动机
计算机科学的两个主要部分：
构成计算基础的一些基本概念和模型；
设计计算系统(软件和硬件)的工程技 术（设计理论的应用）
本课程着重介绍第一部分（涉及到一些 第二部分的应用），通过形式化技术对 大家进行思维训练，为今后的学习打好 理论基础。
-
16
为什么用形式语言
比尔.盖茨：人类计算的未来是让计算机能够 看、听、学，能用自然语言与人类交流
形式化非常重要
-
17
3.2. 自动机
什么是自动机？
具有离散输入输出的数学模型。包括： 输入装置 读头+输入带 控制部件。 状态转移 存储单元
大量通信软件的基本工作机制都是有限状态自动机。 自动机理论在通信领域中的应用极为广泛。
合。
字母表：字符的有限集合。
e.g.：26个英文字母构成的字母表。
字符串：字母表中的字符构成的有限序列。
e.g. hello, afjhkfyu
-
11
为什么用形式语言
自然语言：人们平时说话时所使用的一种语 言，不同的国家和民族有着不同的语言。
形式语言
通过人们公认的符号，表达方式所描述的 一种语言，是一种通用语言，没有国籍之 分。
-
19
为什么叫自动机？
可能的状态、运行的规则都是事先确定的。 一旦开始运行，就按照事先确定的规则工作， 因此叫“自动机”。
有限自动机可以认为是由一个带有读头的有 限控制器和一条写有字符的输入带组成。
-
20
自动机举例
例1：打电话 (自动机在通信领域的应用)。
在一次呼叫中，从建立连接到通话完毕，要经
-
18
3.2. 自动机
自动机接受一定的输入，执行一定的动作， 产生一定的结果。使用状态迁移描述整个工 作过程。
状态：一个标识，能区分自动机在不同时刻的状
况。有限状态系统具有任意有限数目的内部“状 态”
自动机的本质：根据状态、输入和规则决定 下一个状态
状态 ＋ 输入（激励）＋ 规则 ―> 状态迁移
在人工智能、电信领域等有广泛的应用。 通过一些定理的证明和应用，对大家进行思
维训练，从而为今后学习通信软件，协议工 程，编译技术，人工智能等内容提供理论基 础。
-
7
2、为什么学习形式语言与自动机
对客观世界的科学研究：目的在于把抽象数 学的形式化体wk.baidu.com发展成为与现实生活相似的 理论模型，从而提供一种通用结构来描述、 理解和解决问题。
计算机（不）能够做什么 计算的复杂性，算法分析 建模工具（状态机 ） 形式文法、形式表达式
-
2
相关课程
先修课程 《离散数学》（《数理逻辑》，《集合论》） 计算机导论与程序设计、数据结构
后续课程 《编译原理》
其它相关课程 《模式识别》、《算法分析》
-
3
教材： 形式语言与自动机 王柏 杨娟 编著 北京邮电大学出版社 2003.1
出版社 Addison Wesley （2001） 清华大学出版社 （影印版）
John.E.Hopcroft, the Turing Award winner in 1986.
First Edition 中译本《自动机理论、语言和计 算导引》 徐美瑞 等译 科学出版社，1990
-
5
其它参 考 书
最初的应用：编译 ―― 让计算机按照语法规 则将高级语言方便地翻译成机器语言。
-
15
为什么用形式语言
现在： 已广泛应用在人工智能、图象处理、 通信协议、通信软件等多个领域
在计算机理论科学方面：
是可计算理论（算法―在有限步骤内求得 解、算法复杂性、停机问题、）、定理自 动证明、程序转换（程序自动生成）、模 式识别等的基础。
-
9
3、形式语言与自动机概述及应用
本门课程将围绕着什么是形式语言、什么是 自动机、以及形式语言和自动机的相互关系
进行阐述。
核心内容
有限状态自动机，正规语言，正规表达式 上下文无关文法，上下文无关语言，下推
自动机 图灵机，计算问题分类
-
10
3.1 形式语言
什么是形式语言 形式语言: 形式化描述的字母表上的字符串的集
例3：在字母表T={a}上，L = {a 2n+1 | n >=0 } 表示任意一对aa (包括0对) 后跟一个a的字 符串。（即含有奇数个a的字符串。）
-
14
为什么用形式语言
形式语言的最初起因： 语言学家（Chomsky） 想用一套形式化方法来描述语言。
形式语言在自然语言研究中起步，在计算机 科学中得到广泛应用。
历摘机，拨号，应答，进行通话等过程，可以分别
《自动机理论及其应用》 何成武 科学出版社1990
《形式语言及其句法分析》 美A.V. 阿霍 等 科学出版社1987
《形式语言》 王兵山，吴兵 编 国防工业大学出版社，1988
《形式语言与自动机》 陈有祺 编著 南开大学出版社，天津，1999
-
6
2、为什么学习形式语言与自动机
形式语言与自动机是计算机科学的基础理论 之一，是计算机学科的专业基础课。
绪论
课程信息 为什么学习形式语言与自动机 形式语言与自动机概述及应用 课程内容及要求
-
1
课程性质
专业基础课
上世纪 60 年代末、70年代初，研究的高峰 之后，向应用领域渗透，研究生课程
近几年，本科阶段的专业基础课
专业工作者必须的理论素养
计算模型 问题分类 形式系统 抽象描述
形式语言是某个字母表上的字符串的集合， 有一定的描述范围。
-
12
为什么用形式语言
例1： 汉语： <主> <谓> <宾> ―― 用数 字、符号等形式化的东西来描述语言 我吃饭 ―― 语法正确 我饭吃 ―― 语法错误 饭吃我 ―― 语法正确，语义错误
-
13
为什么用形式语言
例2：T为PASCAL语言所用的全部符号的集合。 正确的PASCAL程序就是T上的语言。
-
4
经典参考书
书名 Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation （Second Edition）
作者
John E. Hopcroft （Cornell） Rajeev Motwani （Stanford） Jefferey D. Ullman （Stanford）
-
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2、为什么学习形式语言与自动机
计算机科学的两个主要部分：
构成计算基础的一些基本概念和模型；
设计计算系统(软件和硬件)的工程技 术（设计理论的应用）
本课程着重介绍第一部分（涉及到一些 第二部分的应用），通过形式化技术对 大家进行思维训练，为今后的学习打好 理论基础。
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为什么用形式语言
比尔.盖茨：人类计算的未来是让计算机能够 看、听、学，能用自然语言与人类交流
形式化非常重要
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3.2. 自动机
什么是自动机？
具有离散输入输出的数学模型。包括： 输入装置 读头+输入带 控制部件。 状态转移 存储单元
大量通信软件的基本工作机制都是有限状态自动机。 自动机理论在通信领域中的应用极为广泛。
合。
字母表：字符的有限集合。
e.g.：26个英文字母构成的字母表。
字符串：字母表中的字符构成的有限序列。
e.g. hello, afjhkfyu
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为什么用形式语言
自然语言：人们平时说话时所使用的一种语 言，不同的国家和民族有着不同的语言。
形式语言
通过人们公认的符号，表达方式所描述的 一种语言，是一种通用语言，没有国籍之 分。
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为什么叫自动机？
可能的状态、运行的规则都是事先确定的。 一旦开始运行，就按照事先确定的规则工作， 因此叫“自动机”。
有限自动机可以认为是由一个带有读头的有 限控制器和一条写有字符的输入带组成。
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自动机举例
例1：打电话 (自动机在通信领域的应用)。
在一次呼叫中，从建立连接到通话完毕，要经
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3.2. 自动机
自动机接受一定的输入，执行一定的动作， 产生一定的结果。使用状态迁移描述整个工 作过程。
状态：一个标识，能区分自动机在不同时刻的状
况。有限状态系统具有任意有限数目的内部“状 态”
自动机的本质：根据状态、输入和规则决定 下一个状态
状态 ＋ 输入（激励）＋ 规则 ―> 状态迁移
在人工智能、电信领域等有广泛的应用。 通过一些定理的证明和应用，对大家进行思
维训练，从而为今后学习通信软件，协议工 程，编译技术，人工智能等内容提供理论基 础。
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2、为什么学习形式语言与自动机
对客观世界的科学研究：目的在于把抽象数 学的形式化体wk.baidu.com发展成为与现实生活相似的 理论模型，从而提供一种通用结构来描述、 理解和解决问题。
计算机（不）能够做什么 计算的复杂性，算法分析 建模工具（状态机 ） 形式文法、形式表达式
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相关课程
先修课程 《离散数学》（《数理逻辑》，《集合论》） 计算机导论与程序设计、数据结构
后续课程 《编译原理》
其它相关课程 《模式识别》、《算法分析》
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教材： 形式语言与自动机 王柏 杨娟 编著 北京邮电大学出版社 2003.1
出版社 Addison Wesley （2001） 清华大学出版社 （影印版）
John.E.Hopcroft, the Turing Award winner in 1986.
First Edition 中译本《自动机理论、语言和计 算导引》 徐美瑞 等译 科学出版社，1990
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最初的应用：编译 ―― 让计算机按照语法规 则将高级语言方便地翻译成机器语言。
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为什么用形式语言
现在： 已广泛应用在人工智能、图象处理、 通信协议、通信软件等多个领域
在计算机理论科学方面：
是可计算理论（算法―在有限步骤内求得 解、算法复杂性、停机问题、）、定理自 动证明、程序转换（程序自动生成）、模 式识别等的基础。
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3、形式语言与自动机概述及应用
本门课程将围绕着什么是形式语言、什么是 自动机、以及形式语言和自动机的相互关系
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自动机 图灵机，计算问题分类
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3.1 形式语言
什么是形式语言 形式语言: 形式化描述的字母表上的字符串的集
例3：在字母表T={a}上，L = {a 2n+1 | n >=0 } 表示任意一对aa (包括0对) 后跟一个a的字 符串。（即含有奇数个a的字符串。）
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为什么用形式语言
形式语言的最初起因： 语言学家（Chomsky） 想用一套形式化方法来描述语言。
形式语言在自然语言研究中起步，在计算机 科学中得到广泛应用。
历摘机，拨号，应答，进行通话等过程，可以分别
《自动机理论及其应用》 何成武 科学出版社1990
《形式语言及其句法分析》 美A.V. 阿霍 等 科学出版社1987
《形式语言》 王兵山，吴兵 编 国防工业大学出版社，1988
《形式语言与自动机》 陈有祺 编著 南开大学出版社，天津，1999
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2、为什么学习形式语言与自动机
形式语言与自动机是计算机科学的基础理论 之一，是计算机学科的专业基础课。
绪论
课程信息 为什么学习形式语言与自动机 形式语言与自动机概述及应用 课程内容及要求
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专业基础课
上世纪 60 年代末、70年代初，研究的高峰 之后，向应用领域渗透，研究生课程
近几年，本科阶段的专业基础课
专业工作者必须的理论素养
计算模型 问题分类 形式系统 抽象描述
形式语言是某个字母表上的字符串的集合， 有一定的描述范围。
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为什么用形式语言
例1： 汉语： <主> <谓> <宾> ―― 用数 字、符号等形式化的东西来描述语言 我吃饭 ―― 语法正确 我饭吃 ―― 语法错误 饭吃我 ―― 语法正确，语义错误
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为什么用形式语言
例2：T为PASCAL语言所用的全部符号的集合。 正确的PASCAL程序就是T上的语言。
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4
经典参考书
书名 Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation （Second Edition）
作者
John E. Hopcroft （Cornell） Rajeev Motwani （Stanford） Jefferey D. Ullman （Stanford）