第一章 三角公式及其应用1
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
6.1.3两角和与差的正切公式
=
+
−
=
+
=
( − )( − )
( + )( − )
− +
=
−
=
=−
例8.已知 = ,求( + )的值.
解:原式=
+
− ∙
+
=
−
+
=
+
简记：−
注意：公式中, , + , − 均不等于
+ .
例7.求 ° 的值.
分析：把一个具体角构造成两个角的和、差形式.
解: 原式= ( ° − °)
° − °
=
+ °°
−
+ (−)
=
=
+
− (−)
即( − ) =
−
+
两角和与差的正切公式
+
( + ) =
−
简记：+
−
( − ) =
那么 ± 的正切,即( ± ),能否用、的正切来表示呢？
∵ =
新知探究
( + )
∴ ( + ) =
( + )
+ = − 来自 + =
( ≠ )
−
即( + ) =
+
−
+
如何由( + ) =
−
−
求( − ) =
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式（浙教版）学好知识就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，编辑了初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)，欢迎参考!两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tan γ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n) +……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0以上就是为大家整理的初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》任意角的三角函数及其诱导公式
1 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0
6
2）同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期 诱导公式1
7
练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
16
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
17
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
y
P(a,b)
x
y
x
P(a,b)பைடு நூலகம்
Sin(2kπ+α)= Sinα
-π/4
-9π/4
4
小结：正弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
余弦函数是周期函数，周期是 2k 其中最小正周期为 2
5
你记住了吗？
度 弧 度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4
π π 3 ＝cos(π＋6)＝－cos 6＝－ 2 .
方法二
31π 5π － － 6π ＋ cos ＝cos 6 6
π π ＝cosπ－6＝－cos6＝－
3 . 2
解答
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°； 解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
它们的三角函数之间有什么关系？
答案
知识点三
诱导公式四
思考
角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
它们的三角函之间有什么关系？
答案
梳理
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋ α(k∈Z) ， π ＋ α ， －α，π－α的三角函数与 α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解
sin2π－α · sin－αcos－α cos2π－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin α－sin αcos α sin α ＝ ＝－cos α＝－tan α. cos α－cos αsin α
高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数
图1
作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分)， 即为角 α 的终边的范围． 故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}． (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点 P(m，n)位于 y＝3x 在第三象限的图象上，且 m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝ m2＋n2＝ 10|m|＝－ 10m＝ 10.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sinα<0，∴α 是第三、四象限角．又 tanα>0，
∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．]
4．C [∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，π2内随 α 的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得 D 正确．] 6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出
OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα.]
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数诱导公式(第1
思考题 3
已知
π cos( 6
－α)＝
33，求
5 cos(6π
＋α)－sin2(α
－π6 )的值．
【解析】 ∵cos(56π＋α)＝cos[π－(π6 －α)]
π ＝－cos( 6 －α)＝－
33，
π
π
sin2(α－ 6 )＝sin2[－( 6 －α)]
＝1－cos2(π6 －α)＝1－( 33)2＝23.
＝sin(α＋π3 )＝－12.
(3)∵(α＋7π 6 )－(α＋π6 )＝π，
∴cos(7π 6 ＋α)＝cos[π＋(α＋3 3.
探究 3 解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来 探究两个角(或整体)之间的关系，当寻找到角与角之间的联系后， 未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和 有关的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一．
＝－sin4π3 ＝－sin(π＋π3 )＝sinπ3 ＝
3 2.
(2)cos269π＝cos(4π＋5π6 )＝cos5π6 ＝cos(π－π6 )
π ＝－cos 6 ＝－
3 2.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1. (4)sin176π＝sin(2π＋5π6 )＝sin5π6 ＝sin(π2 ＋π3 )＝cosπ3 ＝12.
探究 1 给角求值的步骤： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于 2π的正角的三角函数为 0～2π内的三角函数； ③化 0～2π内的三角函数为锐角的三角函数．
思考题 1 把下列三角函数值化成锐角三角函数值：
(1)sin890°； (2)cos(－1 090°)； (3)tan456π . 【解析】 (1)sin890°＝sin(2×360°＋170°)＝sin170° ＝sin(180°－10°)＝sin10°. (2)cos(－1 090°)＝cos(－3×360°－10°)＝cos( －10°)＝ cos10°. (3)tan456π＝tan(8π＋65π)＝tan65π＝tan(π＋π5 )＝tanπ5 .
高中数学必修四第一章三角函数公式总结
高中数学必修四第一章三角函数公式总结锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=2tanA/1-tanA^2注：SinA^2 是sinA的平方 sin2A三倍角公式sin3α=4sinα·sinπ/3+αsinπ/3-αcos3α=4cosα·cosπ/3+αcosπ/3-αtan3a = tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t，其中sint=B/A^2+B^2^1/2cost=A/A^2+B^2^1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2cosα-t，tant=A/B降幂公式sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan^2α=1-cos2α/1+cos2α半角公式tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA;cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA.sin^2a/2=1-cosa/2cos^2a/2=1+cosa/2tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa三角和sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα两角和差cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]sinθ-sinφ = 2 cos[θ+φ/2] sin[θ-φ/2]cosθ+cosφ = 2 cos[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]cosθ-cosφ = -2 sin[θ+φ/2] sin[θ-φ/2] tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB=tanA+B1-tanAtanB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1+tanAtanB 积化和差sinαsinβ = [cosα-β-cosα+β] /2cosαcosβ = [cosα+β+cosα-β]/2sinαcosβ = [sinα+β+sinα-β]/2cosαsinβ = [sinα+β-sinα-β]/2诱导公式sin-α = -sinαcos-α = cosαtan —a=-tanαsinπ/2-α = cosαcosπ/2-α = sinαsinπ/2+α = cosαcosπ/2+α = -sinαsinπ-α = sinαcosπ-α = -cosαsinπ+α = -sinαcosπ+α = -cosαtanA= sinA/cosAtanπ/2+α=-cotαtanπ/2-α=cotαtanπ-α=-tanαtanπ+α=tanα抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
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第一章 三角公式极其应用1.1和角公式 1、1.1和角公式一、选择题：1.︒︒-︒︒98sin 12sin 98cos 12cos 等于 （ ） A.︒20cos B.︒20sin C.︒-20cos D.︒-20sin2.y y x y y x sin )cos(cos )sin(-+-等于 （ ） A.y x cos sin B.y x sin cos C.x sin D.x cos3.︒-︒15sin 15cos 的值等于 （ ） A.26 B.26- C.22- D.22 4.若,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则=+)4tan(πα （ ） A.1813 B.223 C.2213 D.183 5.在ABC ∆中，,1cos cos sin sin ==B A B A 则ABC ∆的形状是 （ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形二、填空题 6.︒-︒+75cot 175cot 1的值等于 ；7.已知,3)tan(,2tan =-=αβα则)2tan(αβ-的值等于 ；8.已知),,2(,23cos ),23,(,21sin ππββππαα∈-=∈-=则=+)sin(βα .三、解答题：9.已知)cos(,54cos ,53cos βαβαβ+==都是第四象限的角，求和且的值. 10.已知.220,2tan ,31tan βαπβππαβα+-==，求，且11.已知.,21cos cos ,31sin sin βαβαβα+=--=-求12.若A ，B 均为锐角，且4,2)tan 1)(tan 1(π=+=++B A B A 求证.1、1.2二倍角公式一、选择题：1.若=+-=+)2cos(,54)2cos(αππα则 （ ） A.257 B.257- C.2524 D.2524- 2.等于8cos212π- （ ）A.2B.22 C.22- D.21- 3.化简︒-10sin 1的值为 （ ） A.︒10cos B.︒40sin C.︒40sin 2 D.︒40cos 2 4.tan115tan -︒︒152等于 （ ）A.3B.23C.33D.63 5.已知=-∈=ββππββsin cos ),2,4(,412sin 则且 （ ） A.23-B.23C.43- D.43 二、填空题： 6.计算：=ππ83cos 83sin 2 ； 7.=∈=2cos ),2,0(,54cos απαα则 。
8.已知cos232=θ,则sin θ4+cos θ4= . 9.已知α为锐角，且sin α:sin 2α=8:5,则cos α= . 三．解答题10.已知θ是第三象限角，且sin θ4+cos θ4=95,求sin2θ. 11.若2π<β<α<π43，且cos(α-β)=1312，sin(α+β)=-53求sin2α的值12.已知43-=θCOS ,且22πθπ<<-，求2sin θ及θ2sin 的值13.证明（1） θθθθ2sin sin 22cossin 42+= （2） 2tan 2sin sin 22sin sin 22παααα=+-1.2 余弦定理、正弦定理1.2.1 余弦定理∠一.选择题1.在ABC 中，a=7,b=5.c=3,则最大角为（ ）A.︒=∠120A B. ︒=∠120B C. ︒=∠120C D.︒=∠60A 2.在△ABC 中，若,cos 2C b a =则这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰三角形 D.以上都不对 3. 在△ABC 中，若ab c b a 32+=+,则=∠C ( )A.6π B.π32 C.3π D.2π 4. 在△ABC 中，若︒=∠==150,2,33C b a ,则c 等于（ ）A. 49B.7C.13D.13 5. 在△ABC 中，如果b=6,c=4,31cos =A ,那么a 的值满足（ ） A.a=b B.a=c C.c<a<b D.a<c 二.填空题6. 在△ABC 中，AB=4,AC=72,BC=6,则ABC ∠=7. 在△ABC 中，如果（a+b+c ）(b+c-a)=3bc,那么=∠A8.三角形的三边长之比为3：5：7，其最大角为9. 在△ABC 中，sinA=2cosBsinC,则此三角形为 三.解答题10. 在△ABC 中，若13+=a ，b=2,2=c ,求角C 的值11. 在△ABC 中，AB=4,BC=6,︒=∠60ABC ,求AC 的值 12. 在△ABC 中，已知a=4,b=3,c=2, 求△ABC 的面积13.已知a,b,c 分别是△ABC 中角A,B,C 的对边，且ac b c a =-+222 （1）求角B 的大小 （2）若c=3a,求tanA 的值14.已知三角形两边之和为10，其夹角的余弦值为方程02322=--χχ的根，求这个三角形的周长的最小值。
1.2.2 正弦定理1. 在△ABC 中，若,3,3,120===∠︒c a A 则b 的值为（ ）A.3B.22C.32-D.3或32- 2. 在△ABC 中，若32,22,45===∠︒b a A ，则B ∠的值为（ ）A.︒60B.︒120C.︒60或︒120D.︒75或︒153. 在△ABC 中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则BC:AC:AB 等于（ ） A.5:7:8 B.3:2:1 C.6:3:2 D.1:2:34在△ABC 中，,sinA<sinB 是A<B 的（ ）A 、充分必要条件B 、必要充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件5已知△ABC 三个内角的正弦之比SinA:SinB:SinC=2:3:4,则△ABC 的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形 二填空题：6、在△ABC 中，∠A=45°，∠60°a=32，b=7、在△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是a b c ，若a=1,b=3,c=3π则A= 8、在△ABC 中，已知A=120°，b=3, c=5 则SinB+SinC= 。
三解答题：9、在△中，a=,32,22=b ∠A=45°，求∠B 、∠C 、及C 。
10、在△ABC 中，tanA ×sin ²B=tanB ×sin ²A ，判断△ABC 的形状。
11、在△ABC 中，已知BC=5，AC=3，sinC=2SinA,（1）求AB 的值，（2）求sin （2A-4π）的值。
1.3正弦型数y=Asin （ϕωκ+）1.3.2正弦型函数y=Asin （ϕωκ+）的性质与图像一、选择题1、函数y=Asin （ϕωκ+）在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为（ ）A 、)322sin(2π+=x y B 、)32sin(2π+=x y C 、)32sin(2π+=x y D 、)322sin(2π-=x y 2、把函数)62sin(2π+=x y 的图像向右平移6π，所得图像的正数式为（ ）A 、)322sin(π+=x yB 、x y 2sin =C 、)62sin(π+=x yD 、)22sin(π+=x y3、函数y=3sinx+4cosx 的最小周期是（ ） A 、π B 、2π C 、2πD 、5π 4、要得到)42sin(2π+=x y 的图像，只需将y=2sin2x 的图像（ ）A 、向左平移4π个单位 B 、向左平移8π个单位 C 、向右平移4π个单位 D 、向右平移8π个单位二填空题：5、函数y=2sin(2x+30°)的最小正周期是 ，值域是 ；6、函数)225sin(ππ-=y 是 函数。
7y=sinx 上各点横坐标缩小原来的31，在向右平移5π个单位，在向下平移1个单位所得函数的解析式为 。
三、解答题8、画出函数)4sin(2π-=x y 的图像，并指出振幅、周期、初相。
9、已知函数y=Asin （ϕωκ+），A>0,20,0πϕω<<>最小值为-2，周期为2π且它的图像过（0，2），求此函数的解析式。
10x x x x f 2sin 43cos sin 21)(22++=， （1）求f(x)的最小周期，（2）x 为何值是f （x ）有最大值。
最大值为多少？ （3）f （x ）如何由y=sinx 作怎样大的变换得来的。
1.4 三角公式的应用一、选择题二、1已知等于则)2cos(,21)sin(θπθπ-=+ （ ） A 、23B 、-23C 、±23D 、±222、函数x x y 2cot tan +=的最小正周期为（ ） A 、2∏B 、∏C 、∏2D 、∏3 3、x x y cos 3sin -=的最大值为 （ ）A 、31+B 、31-C 、2D 、21 4、已知1sin 3=∂，则=∂2cos （ ） A 、97 B 、97- C 、31- D 、31 5、2cos 2cos sin 22-+-=x x x y 的最大值为 （ ） A 、21 B 、1- C 、0 D 、21- 二、填空题：6、函数x x y 2cos 32sin -=的最小值是 、最小正周期是 。
7、在abc ∆中若a a cos 3sin 2=，则=∠a 。
8、=075sin 30sin 15sin 。
三、解答题： 9、若()53cos ,54cos =+=βαα，且βα,都是锐角，求βsin 的值。
10、求证：αααα2222cot 1cot 1cos sin 1-+=- 11、如图：在山顶铁塔上B 处，测得地面上的一点A 的俯角060=α、在塔底乙处测得A的俯角045=β、已知铁塔BC 部分高20米、求山高CD 。
综合自测题一、 选择题：1、080cos 80sin 10sin 10cos -的值等于 （ ） A 、1 B 、0 C 、-1 D 、21 2、015cos 的值等于 （ ）A 、426-B 、462- C 、426+ D 、426+- 3、015tan 115tan 1+-的值是 （ ）A 、3B 、3-C 、33D 、33- 4、已知312cos 2sin=-x x 、则=x sin （ ） A 、322 B 、98- C 、322- D 、985、化简8sin 1-的结果是 （ ）A 、4cos 4sin +B 、4cos 4sin -C 、4sin 4cos -D 、4cos 4sin --6、在abc ∆中、若c b a cos 1sin sin 2+=、则abc ∆的形状是 （ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、任意三角形7、函数()x x x f cos sin =是 （ ）A 、最小周期为∏的奇函数B 、最小正周期为∏的偶函数C 、最小周期为∏2的奇函数D 、小正周期为∏2的偶函数 8、要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛∏+=32sin x y 的图像，只要把函数x y 2sin =的图像 （ ） A 、向左平移3∏个单位 B 、向右平移3∏个单位 C 、向左平移6∏个单位 D 、向右平移6∏个单位9．函数x x y 24sin sin -=的最小值最大值分别为 （ ）A. -41,41 B.-0,41 C.0，41 D.以上都不对10.若函数的最小正周期为4π，则W 的值为 （） A.21 B.2 C.41D.4 二.填空题 11.tan ο20+tan ︒20tan 3•tan ︒40= ;12.已知51cos sin22=-θθ且0〈θ〈=θπ2sin ,2则 ；13.函数)36(cos 3sin ππ≤≤-+=x x x y 的值域为 ；14.在ABC ∆中，若sin A=,sin sin 22c +β则ABC ∆的形状为 ;15.已知ABC ∆面积为︒=∠=60,6,3316A BC ,则∆ABC 的周长为 ；16.函数y=x x 44cos sin +的最小正周期是 ； 三.解答题 17.作函数)62sin(31π-=x y 在长 度为一个周期的区间上的简图,并指出函数的振幅,最小正周期及初相.18.已知∂为第二象限的角,且415sin ∂,求12cos 2sin )4sin(+∂+∂+∂π的值. 19.求函数xx x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值,并写出该函数在[]π,0上色单调增区间.20.在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,且ccb b ac a -=++ (1)求角B 的大小。